Fundamentos de Navegación Aérea

Fundamentos de Navegaci´ on A´ erea

Tema 2: Modelos de la superficie terrestre. Geodesia y cartograf´ıa. Rutas a´ereas.

Geodesia

Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida y representaci´on de la Tierra y de su campo gravitatorio.

Tambi´en estudia otros fen´omenos, como por ejemplo el

movimiento de las placas tect´onicas, la rotaci´on de la Tierra, el desplazamiento de los Polos o las mareas.

Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales (´utiles para una cierta regi´on, como por ejemplo un pa´ıs) o globales.

Medida de la Tierra: A peque˜na escala (topograf´ıa:

estudios geod´esicos, triangulaciones geod´esicas con teodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra,

aplanamiento, etc...).

Representaci´on de la Tierra: En este aspecto,

´ıntimamente ligada a la cartograf´ıa.

Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto se denomina geodesia f´ısica (rotaci´on, mareas,

Modelos de Tierra en la Antig¨ uedad

En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), los

desplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de la curvatura muy poco apreciable.

Por tanto, t´ıpicamente se asum´ıa un modelo de Tierra plana¹. No obstante ya hab´ıa algunos efectos apreciables para una mente observadora:

En un eclipse de Luna, la sombra de la Tierra es circular (¿y si la Tierra fuera un disco?).

Cuando un barco se adentra en el mar, ¡lo

´

ultimo que desaparece son las velas!

Los griegos fueron los primeros en proponer otro modelo de Tierra diferente: una Tierra esf´erica.

1A´un existe quien as´ı lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society.

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Modelos de Tierra en la Antig¨ uedad

Los griegos eligieron una esfera por coherencia con las observaciones, pero sobre todo por motivos filos´oficos: la esfera es el s´olido m´as perfecto.

Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esfera Pit´agoras, Arist´oteles, Plat´on o Arqu´ımedes.

El primero en estimar la circunferencia de la esfera terrestre fue Erat´ostenes, alrededor del a˜no 240 A.C.

Erat´ostenes de Cirene era un matem´atico, poeta, atleta, ge´ografo y astr´onomo griego.

Tambi´en estim´o la inclinaci´on del eje de la Tierra con respecto a la ecl´ıptica (plano

donde orbita la Tierra en torno al Sol), y se le atribuye estimar la distancia Tierra-Sol y

Midiendo la circunferencia de la Tierra

Erat´ostenes us´o trigonometr´ıa para medir el radio de la Tierra, supuesta ´esta esf´erica (el radio real es aproximadamente 6370 kil´ometros).

En Asu´an, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontraba totalmente vertical. ¿Qu´e es el Solsticio de Verano y qu´e

implica que el Sol est´e vertical?

El mismo d´ıa, en Alejandr´ıa, un obelisco proyectaba una sombra de ´angulo 7,12^o. Erat´ostenes sab´ıa que la distancia entre Alejandr´ıa y Asu´an era de unos 5000 estadios.

En unidades modernas, 1 estadio = 157.5 metros.

Ejercicio: Reproducir el c´alculo de

Erat´ostenes. ^{5 / 62}

Modelo de Tierra esf´ erico

Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estim´o el per´ımetro de la Tierra en 29000 kil´ometros (realmente son unos 40000 kil´ometros). Dado el prestigio de Ptolomeo, ´esta estimaci´on se mantuvo durante la Edad Media y Renacimiento y fue la utilizada por Col´on para planear su viaje a las Indias.

Si la Tierra es esf´erica, se pueden definir latitud, longitud, meridianos y paralelos.

¿Cu´al es la latitud y longitud de Sevilla?

¿qu´e longitud tiene un cierto arco dado sobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo?

Tomando el radio de la Tierra como 6366.7 kil´ometros, ¿qu´e longitud cubre un minuto de arco de meridiano? (1’=1/60 grados)

Modelo de Tierra elipsoidal

Cassini (Francia, s.XVIII) midi´o con precisi´on un arco de meridiano y observ´o el siguiente fen´omeno: tomando como referencia Par´ıs, 1 grado de arco medido hacia el Norte era m´as largo que un grado de arco medido hacia el Sur.

Para resolver la discrepancia, propuso un modelo elipsoidal (de revoluci´on) de la

Tierra, de forma que el radio en el Polo es mayor que el radio en el Ecuador.

Huygens y Newton hab´ıan propuesto d´ecadas atr´as el modelo opuesto, un

elipsoide de revoluci´on con mayor radio en el Ecuador que en el Polo.

El asunto se converti´o en una cuesti´on de orgullo nacional, Francia vs. Gran Breta˜na.

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La geodesia en tiempos modernos

La academia de Ciencias francesa mand´o una expedici´on a regiones polares para hacer medidas m´as precisas.

Las medidas dieron la raz´on a los ingleses.

Este fue el primer avance importante en geodesia en casi 20´ siglos.

En el siglo XIX, la geodesia aparece como ciencia independiente gracias a las

contribuciones de Bessel, Gauss, etc...

En tiempos modernos, la geodesia ha

experimentado un nuevo auge gracias a la exploraci´on del espacio.

Sistemas basados en sat´elites como GPS y otros permiten determinar medidas

geod´eticas con una precisi´on antes

Modelos de Tierra

Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, en

diferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos de Tierra.

En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana (p. ej. en Mec´anica del Vuelo).

En el otro extremo est´a la superficie topogr´afica de la Tierra:

es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacen falta infinitos puntos: no es pr´actica en la mayor parte de los casos.

Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matem´atica, de referencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no es exactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades:

Esfera: m´as simple pero menos precisa.

Elipsoide de revoluci´on achatado en los polos.

Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproxima bien la topogr´afica, definida en base al modelo geopotencial

(gravitatorio y de rotaci´on terrestre). ^{9 / 62}

Elipsoides de referencia

Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamente elipsoidal, ´este modelo tiene el m´erito de ser lo

suficientemente simple como para ser manejable y lo

suficientemente preciso como para ser ´util en la pr´actica.

Para definir un elipsoide son necesarios dos par´ametros:

r_e = semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a].

r_p = semieje polar (menor) [a veces llamado b].

T´ıpicamente no se emplea b, sino que se utiliza el “factor de achatamiento” o de aplanamiento (flattening): f = 1 − r_p/r_e. En tablas se suele dar m´as bien 1/f .

Otra alternativa a f es la excentricidad e = q

1 − r_p²/r_e².

Elipsoides de referencia

Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejor diferentes zonas de la Tierra.

Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro.

En la actualidad ha emergido un est´andar com´unmente aceptado en todo el mundo.

Se denomina Elipsoide Internacional de Referencia WGS84.

Para el WGS84, r_e = 6378,137 kil´ometros y 1/f = 298,257224.

El uso del WGS84 se debe a que es

empleado por los sat´elites GPS; todos los receptores GPS trabajan con coordenadas definidas por el elipsoide WGS84.

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Otros elipsoides de referencia

Ejemplos de otros elipsoides de referencia:

En Espa˜na hasta hace poco se usaba el ED50, basado en el Internacional, pero ahora se usa el ETRS89 (basado en el GRS80) que es equivalente (por mil´ımetros) al WGS84.

Sistema Geogr´ afico de referencia

Tambi´en llamado ejes Tierra o ECEF (Earth Centered, Earth Fixed).

Ligado a la Tierra, rota con ella.

Util para referenciar posiciones en toda la Tierra.

Coordenadas cartesianas:

x^ECEF = [x^ECEF y^ECEF z^ECEF]^T.

El plano Ox^ey^e contiene al Ecuador y el plano Ox^ez^e al Meridiano de Greenwich.

La forma de la Tierra se asimila al elipsoide WGS84.

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Coordenadas geod´ eticas o geod´ esicas

Un punto queda determinado por su

altitud h, latitud geod´esica φ y longitud geod´esica λ.

Obs´ervese que h mide la altitud sobre una perpendicular al suelo (vertical local) que no coincide en general con una l´ınea que una el punto con el

centro de la Tierra.

Relaci´on con las coordenadas cartesianas:

x^ECEF = h + r_e

p1 − f (2 − f ) sen² φ

!

cos φ cos λ = h + r_e

p1 − e²sen² φ

!

cos φ cos λ,

y^ECEF = h + r_e

p1 − f (2 − f ) sen² φ

!

cos φ sen λ = h + r_e

p1 − e² sen² φ

!

cos φ sen λ,

z^ECEF = h + r_e(1 − f )²

p1 − f (2 − f ) sen² φ

!

sen φ = h + r_e(1 − e²) p1 − e² sen² φ

!

sen φ.

Coordenadas geoc´ entricas

Tambi´en se pueden emplear coordenadas esf´ericas tradicionales:Un punto P queda determinado por el radio r (medido desde el

centro de la Tierra), la latitud geoc´entrica φ_C y la longitud geoc´entrica λ_C.

Es evidente que λ_C = λ, al ser el elipsoide de revoluci´on. No obstante, φ 6= φ_C.

En la figura se ha elegido un meridiano β por el que se ha “cortado” el elipsoide.

Usando la figura se pueden demostrar las f´ormulas de la anterior transparencia.

Relaci´on con las coordenadas cartesianas:

x^ECEF = r cos φ_C cos λ_C, r =

q

(x^ECEF)² + (y^ECEF)² + (z^ECEF)², y^ECEF = r cos φ_C sen λ_C, tan λ_C = ^{y ECEF}

x ECEF ,

z^ECEF = r sen φ_C, tan φ_C = q ^zECEF

(x ECEF )2 +(y ECEF )2

. 15 / 62

Demostraci´ on de las expresiones

Consideremos primero un punto sobre el elipsoide (h = 0).

La ecuaci´on del elipsoide es ^z_r2²

p + ^β_r2²

e = 1. La pendiente de la recta tangente z = z(β), derivando, se obtiene como ^2zz0

r_p² + ^2β

r_e² = 0, es decir, z⁰ = −^β_z ^r

p2

r_e² .

Puesto que la pendiente es

tan(π/2 + φ) = −_{tan φ}¹ y de la figura

z

β = tan φ_C llegamos r´apidamente a tan φ = _β^{z re2}

r_p² = tan φ_C ^re2

r_p².

Demostraci´ on de las expresiones

Por otro lado, de la ecuaci´on del elipsoide, β² = r_e² − z^{2 r}_r^e2₂

p . Sustituyendo la anterior expresi´on:

β² = r_e² − β² tan² φr_p⁴ r_e⁴

! r_e² r_p²

Luego,operando:

β² = r_e²

1 + tan² φ^r_r^p22 e

= r_e² cos² φ 1 −



1 − ^r

p2

r_e²



sen² φ

Igualmente:

z² = β² tan² φr_p⁴ r_e⁴ =

r_e² sen² φ^r

4 p

r_e⁴

1 −



1 − ^r

p2

r_e²



sen² φ

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Demostraci´ on de las expresiones

Teniendo en cuenta que _e^rp

e = 1 − f y que x = β cos λ, y = β sen λ, se llega a las expresiones para h = 0.

Para h 6= 0, es claro que hay que a˜nadir una cantidad h cos φ a β y h sen φ a z, llegando a las expresiones anteriores.

Pasar de coordenadas cartesianas a geod´ esicas

Dadas las coordenadas geod´esicas, es inmediato obtener las coordenadas x^ECEF.

El procedimiento inverso ha de hacerse num´ericamente.

Unicamente se puede calcular con facilidad λ de´ tan λ = ^yECEF

x^ECEF.

Para ello conviene definir la funci´on N(φ) = √ ^re

1−e² sen² φ y escribir p = p

(x^ECEF)² + (y^ECEF)².

1 Asumir h₀ = 0. Entonces tan φ₀ = _p(1−e^zECEF₂₎.

2 Iterar para i = 0, 1, . . .:

a Calcular N_i = √ ^re

1−e² sen² φ_i . b Calcular h_{i +1} = _{cos φ}^p

i − N_i.

c Calcular φ_{i +1} de tan φ_{i +1} = ^zECEF

p

1−e^{2 Ni}

Ni +hi+1

. Volver a (a).

3 Parar cuando el procedimiento iterativo converja.

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Sistema de referencia local y radios de curvatura

En la figura se ve un sistema de ejes definido localmente, llamado NED:

North-East-Down.

Coincide con el sistema definido por las coordenadas curvilineas φ, λ, h, de

forma que N=e_φ, E=e_λ, D=−e_h. Dicho sistema es fundamental en navegaci´on a´erea, a veces se llama

“navigation frame”.

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano (λ =cte) es R_mer = ^re(1−e2)

(1−e² sen² φ)^3/2.

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo (φ =cte) es R_normal cos φ, donde R_normal = √ ^re

1−e² sen² φ.

Modelos gravitatorios

Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homog´enea por capas esf´ericas (como una cebolla), la aceleraci´on de la gravedad g ser´ıa igual a G = −^µ_r3^e r , donde r = x^ECEF.

En realidad, se tiene que G = G (r , λ, φ).

Para estudiar G es m´as sencillo usar un potencial U^G y utilizar coordenadas geoc´entricas r , λ_C, φ_C.

Por tanto G = ∇U^G, es decir, en esf´ericas:

G = ^∂U_∂r^G e_r + ¹_r ^∂U_∂φ^G

C e_φ

C + _{r cos λ}¹

C

∂U^G

∂λ_C e_λ

C. Modelo esf´erico: U^G = ^µ_r^e .

Modelo elipsoidal (J₂):

U^G = ^µ_r^e h

1 + ^J₂^{2 r}_r^e
2

(1 − 3 sen² φ_C) i

, donde J₂ es un coeficiente.

Modelo EGM96: hasta 360 t´erminos realizando correciones por la forma de la Tierra y la distribuci´on m´asica.

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La rotaci´ on de la Tierra

La Tierra rota con una velocidad ω_e en torno al eje z^e. Puesto que los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejes hay que a˜nadir las fuerzas de inercia ficticias.

Concretamente aparece una aceleraci´on centr´ıfuga, dada por a_cent = −ω_e × (ω_e × x^ECEF).

Se tiene que a_cent = −ω_e² x^ECEF y^ECEF 0T

.

Si escribimos U^ω = ^{ωe2r2 cos}₂ ^{2 φC} , se tiene que a_cent = ∇U^ω. N´otese que desde el punto de vista de un observador, la

aceleraci´on centr´ıfuga es completamente indistinguible de la gravitatoria.

El geopotencial

Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleraci´on centr´ıfuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la

“gravedad sentida” g .

Se tiene por tanto g = G + a_cent.

A nivel de potenciales, U^g = U^G + U^ω. La funci´on U^g se denomina geopotencial.

Obs´ervese que esta misma operaci´on no se puede realizar con la otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad del

sistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis.

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El geoide

El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficie que aproxima la forma verdadera de la Tierra.

Se define el geoide como la superficie equipotencial (con respecto al geopotencial U^g) que mejor aproxima (en el

sentido de m´ınimos cuadrados) el nivel medio del mar global.

Con los modelos gravitatorios antes expuestos:

1 Si se considera la gravedad de una esfera y se desprecia la rotaci´on de la Tierra, se tiene que el geoide es una esfera.

2 Si se considera la gravedad con el modelo J₂ (de un elipsoide) y con la rotaci´on de la Tierra, se obtiene el elipsoide WGS84.

3 Si se considera el modelo completo de gravedad EGM96 se obitene el llamado

El geoide

En las figuras se puede ver la relaci´on entre la superficie de la Tierra (topogr´afica), el geoide, y el elipsoide.

Se define N como la undulaci´on del geoide. Se tiene

N ≤ 100 m (para el geoide EGM96 respecto al elipsoide

WGS84). En la figura de la izquierda aparece la altura elipsoidal (como h) y la altura ortom´etrica o elevaci´on geoidal (como H).

La altura AGL h_AGL es la distancia a la superficie, y se define como altitud menos altura elipsoidal.

Un modelo de terreno vendr´a dado como una funci´on que da la altura elipsoidal

dependiendo de los valores de λ y φ. ^{25 / 62}

Otros modelos gravitatorios de referencia

Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos m´as

simples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, si se quiere una gran precisi´on habr´a que utilizar el modelo m´as complejo disponible.

La mayor parte de los sistemas de navegaci´on emplean

modelos simplificados, donde se define g como un escalar y luego se escribe gⁿ = [0 0 g ], donde n es el sistema de

referencia NED (luego D es “hacia abajo”).

Nosotros usaremos g = ^µe

(r_e+h)² .

El WGS84 define un modelo simplificado con algunos coeficientes (no lo usaremos).

Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir la posibilidad de que tenga errores (anomal´ıas gravitatorias):

gⁿ = [ξg − ηg g ], donde ξ y η son peque˜nos ´angulos, que se mantendr´an constantes en peque˜nas distancias.

L´ınea de plomada y deflexi´ on vertical

La linea de plomada o vertical astron´omica es perpendicular al geoide, y es hacia donde en la realidad se dirige g .

La linea perpendicular al elipsoide es hacia donde se dirige g seg´un el modelo de la anterior transparencia.

La diferencia entre ambas es la llamada

“deflexi´on vertical”.

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Cartograf´ıa

Cartograf´ıa: es la disciplina que estudia la teor´ıa y la confecci´on de mapas geogr´aficos y cartas.

Para ello combina ciencia, t´ecnica e incluso est´etica, partiendo de la premisa de que se puede comunicar informaci´on

geogr´afica de forma efectiva modelando adecuadamente la realidad f´ısica.

Los principales problemas que encuentra la cartograf´ıa son:

Seleccionar los aspectos geogr´aficos que se muestran en una representaci´on.

Eliminar la complejidad innecesaria o

irrelevante contenida en una representaci´on.

Combinar los elementos representativos que tiene una representaci´on para comunicar de forma efectiva la informaci´on deseada.

Plasmar la representaci´on de la realidad

tridimensional sobre una superficie plana (el

Proyecciones. Mapas y Cartas

Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tama˜no reducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella.

Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no es completamente fiel a la realidad) debido a que la superficie que se pretende representar tiene curvatura.

Esto fue demostrado matem´´ aticamente por Euler.

Para crear un mapa se emplea una proyecci´on.

Concretamente, se proyecta el plano terr´aqueo sobre una cierta superficie:

Un plano (proyecci´on tipo azimutal).

Un cilindro (proyecci´on cil´ındrica).

Un cono.

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Proyecciones.

Otras formas de clasificar una proyecci´on podr´ıan ser:

Por la orientaci´on de la superficie respecto al Ecuador:

normales, trasversales u oblicuas.

Por la posici´on del globo terr´aqueo respecto a la superficie:

tangente (podr´ıa tener una l´ınea sin deformaci´on) o secante (podr´ıa tener dos l´ıneas sin deformaci´on).

M´as importante es el tipo de proyecci´on; p.ej. para el caso de un plano:

Gnom´onica (la proyecci´on pasa por el centro de la Tierra).

Estereogr´afica (pasa por el punto antipodal).

Ortogr´afica (la proyecci´on tiene una direcci´on fija).

Escenogr´afica (la proyecci´on viene desde fuera del globo terrestre).

Propiedades de una proyecci´ on

Las propiedades m´as importantes de una proyecci´on son:

Conformidad. Una proyecci´on es conforme si preserva los

´

angulos (y por tanto los rumbos); adem´as preserva las formas a nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendo

perpendiculares. Muy ´utiles en navegaci´on.

Conservaci´on de ´areas. Una proyecci´on es equiareal si mantiene la proporci´on entre ´areas. ´Utiles sobre todo en aplicaciones

administrativas/pol´ıticas.

Equidistancia: una proyecci´on NO puede mantener la

proporci´on correcta entre TODAS las distancias. No obstante s´ı pueden existir algunas l´ıneas con esta propiedad: l´ıneas

automecoicas. Una carta que tenga “muchas” l´ıneas automecoicas se denomina equidistante.

Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lo fuera, ser´ıa una representaci´on perfecta del globo terrestre.

Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades.

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Proyecci´ on de Mercator.

Muy utilizada en navegaci´on mar´ıtima.

Inventada en el siglo XVI.

Cil´ındrica, trasversal y conforme.

Ecuaciones matem´aticas:

x = λ − λ₀, y = ln

tan

π

4 + ^φ₂

. No acotada en y : se suele cortar a altas latitudes.

Cuanto m´as cerca de los polos, m´as se distorsiona el mapa (observar como se ampl´ıa la distancia en proyecci´on entre paralelos

Proyecci´ on cil´ındrica equidistante.

Permite ver la Tierra completa.

Cil´ındrica, trasversal, tangente, ortogr´afica.

T´ıpicamente usada para representar trazas de sat´elites.

Ecuaciones matem´aticas:

x = λ − λ₀, y = φ.

Acotada en y . Por tanto, no conforme.

Tampoco es equiareal.

Su sencillez la hace popular en representaciones generadas por ordenador.

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Proyecci´ on estereogr´ afica.

Util para estudiar las proximidades de´ un punto, p.ej. el Polo.

Conforme.

Plana, normal, tangente, estereogr´afica.

Ecuaciones matem´aticas:

x = cos φ sen(λ − λ₀),

y = cos φ₀sen φ − sen φ₀ cos φ cos(λ − λ₀).

No acotada: se suele cortar a puntos cercanos al antipodal del centro de la proyecci´on.

Util para estudiar las proximidades´ de un punto.

Proyecci´ on de Lambert.

Utilizada en navegaci´on a´erea.

C´onica, normal, secante y estereogr´afica.

Las lineas rectas aproximan rutas

ortodr´omicas (ver m´as adelante). Ecuaciones matem´aticas:

x = ρ sen(n(λ − λ₀)), y = ρ₀ − ρ cos(n(λ − λ₀)),

donde: ^{n =} ln(cos φ1 sec φ2)

ln(tan(π/4+φ2/2) cot(π/4+φ1/2)), ρ = F cotⁿ(π/4 + φ/2), ρ₀ = F cotⁿ(π/4 + φ₀/2), F = 1/n cos φ₁ tanⁿ(π/4 + φ₁/2).

No acotada se suele reducir a una zona de inter´es.

2 paralelos automecoicos (φ₁, φ₂).

Suelen ser locales y no globales.

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Proyecci´ on azimutal equidistante.

En el emblema de la ONU.

Azimutal, escenogr´afica, tangente, normal.

Ecuaciones matem´aticas:

x = _{sen c}^c cos φ sen(λ − λ₀),

y = _{sen c}^c [cos φ₀ sen φ − sen φ₀ cos φ cos(λ − λ₀)], donde cos c = sen φ₀ sen φ − cos φ₀ cos φ cos(λ − λ₀).

Acotada: convierte el punto antipodal en una circunferencia lim´ıtrofe.

S´olo libre de distorsi´on en torno al punto central.

Todas las distancias medidas desde el punto central son verdaderas (l´ıneas

Rutas m´ as usuales

Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problema de encontrar el camino m´as apropiado para ir de uno a otro.

En la realidad, esta elecci´on del camino (que se plasma en el plan de vuelo) est´a sujeta a numerosas restricciones. A d´ıa de hoy, se vuela entre “waypoints”.

Adem´as habr´ıa que tener en cuenta los vientos.

No obstante, en esta lecci´on vamos a simplificar el problema y vamos a suponer que en principio cualquier camino es volable.

Adem´as supondremos que la Tierra es una esfera de radio R_e. Veremos dos posibilidades:

El camino m´as corto: Ruta ortodr´omica.

El camino m´as simple de volar: Ruta loxodr´omica.

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Rutas ortodr´ omicas. C´ırculos m´ aximos

Una Ruta ortodr´omica entre dos puntos de la Tierra es el camino m´as corto entre dichos puntos.

Podemos traducir el problema a t´erminos matem´aticos, considerando un modelo de Tierra esf´erica.

Dados dos puntos P_A y P_B en la esfera, dados como (φ_A,λ_A) y (φ_B,λ_B), de todas las curva sobre la esfera que unen dichos puntos, ¿cu´al es la de m´ınima distancia?

Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una l´ınea recta.

En una superficie con curvatura, dicha curva se denomina geod´esica y en general no es una recta.

La geometr´ıa diferencial da unas ecuaciones para hallar la geod´esica en funci´on de la primera forma diferencial, los s´ımbolos de Christoffel, etc...

Para el caso de la esfera, la soluci´on es simple y s´olo requiere el uso de geometr´ıa elemental.

C´ırculos m´ aximos

®

En una esfera, un “c´ırculo mayor” (gran c´ırculo, c´ırculo m´aximo) viene dado por la intersecci´on de un plano que pasa por el centro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esf´ericas” (geod´esicas) son los c´ırculos mayores. Obs´ervese que

cualesquiera dos rectas esf´ericas cortan siempre en dos puntos; por tanto, no existen paralelas en geometr´ıa esf´erica.

El problema queda reducido a:

Dados dos puntos, determinar el c´ırculo mayor que contiene a ambos. ¿Es dicho c´ırculo ´unico?

Medir la distancia sobre dicho c´ırculo: dar´a la distancia entre los dos puntos.

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C´ırculo m´ aximo entre dos puntos

Dados dos puntos P_A = (φ_A, λ_A), P_B = (φ_B, λ_B), se dice que P_A y P_B son antipodales si φ_B = −φ_A y λ_B = 180^o + λ_A.

Si P_A y P_B NO son antipodales, existe un ´unico c´ırculo

m´aximo que contenga a ambos. La ortodr´omica ser´a el arco m´as corto que los una.

Si P_A y P_B son antipodales, existen infinitos c´ırculos m´aximos que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos c´ırculos m´aximos es una ortodr´omica. ¿Por qu´e? ¿Cu´al es por tanto la distancia entre dos puntos antipodales (en millas n´auticas)?

¿Son los meridianos ortodr´omicas?

¿Son los paralelos ortodr´omicas?

C´ alculo de la ruta ortodr´ omica. Rumbo

Recordemos que en una esfera,

r = R_e [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ].

Recordemos adem´as los vectores que definen la base local en coordenadas curvil´ıneas:

e_r =





cos φ cos λ cos φ sen λ

sen φ



, e_φ =





− sen φ cos λ

− sen φ sen λ cos φ



, e_λ =





− sen λ cos λ

0



. F´ısicamente e_r apunta hacia el c´enit, e_φ hacia el Norte y e_λ

hacia el Este.

Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo (tambi´en llamado azimut) en un punto de la curva como el

´

angulo que forma el vector e_φ con el vector tangente de dicha curva e_t, medido en el sentido de las agujas del reloj.

¿Qu´e significado f´ısico tienen los rumbos 0^o, 90^o, 180^o y 270^o? En general el rumbo cambiar´a seg´un el punto de la curva y el

sentido en que se recorra. ^{41 / 62}

C´ alculo de la ruta ortodr´ omica

Escribamos los vectores de los puntos:

r_A = R_e





cos φ_A cos λ_A cos φ_A sen λ_A

sen φ_A



, r_B = R_e





cos φ_B cos λ_B cos φ_B sen λ_B

sen φ_B



. Geom´etricamente, se puede ver que el arco que abarca la ortodr´omica es el ´angulo α formado por los vectores.

Por tanto:

r_A · r_B = kr_Akkr_Bk cos α, y se llega a:

cos α = sen φ_A sen φ_B + cos φ_A cos φ_B cos(λ_B − λ_A)

¿Cu´al ser´ıa la ecuaci´on impl´ıcita que verificar´ıan todos los puntos de la ortodr´omica?

Una vez se tiene α, d = αR_e.

C´ alculo del rumbo en la ortodr´ omica I

¿C´omo calcular el rumbo del que habr´ıa que partir desde A para recorrer la ortodr´omica? Recordemos que el rumbo ser´ıa el ´angulo entre el vector e_φ en A y la tangente e_t en A.

En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que define la ortodr´omica ser´a:

n = r_A × r_B

Por otro lado, e_t ser´a perpendicular tanto a n como a e_r en A. Por tanto:

e_t(A) = n × e_r(A) = (r_A × r_B) × e_r(A)

Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega a:

e_t(A) = −e_r(A) × (r_A × r_B) = (e_r(A) · r_A)r_B − (e_r(A) · r_B)r_A

= R_e (r_B − cos αr_A)

43 / 62

C´ alculo del rumbo en la ortodr´ omica II

El m´odulo de dicho vector e_t es:

ke_t(A)k = kR_e (r_B − cos αr_A) k

= R_ep

(r_B − cos αr_A) · (r_B − cos αr_A)

= R_e q

R_e² + cos² αR_e² − 2R_e² cos² α = R_e² sen α Por tanto el vector e_t normalizado es:

e^∗_t(A) = e_r(B) − cos αe_r(A) sen α

El rumbo χ(A) se encontrar´a de

cos χ(A) = e_φ(A)·e^∗_t(A) = e_φ(A) · e_r(B) − cos αe_φ(A) · e_r(A) sen α

C´ alculo del rumbo en la ortodr´ omica III

Luego finalmente:

cos χ(A) = e_φ(A) · e_r(B) sen α

Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a:

cos χ(A) = cos φ_A sen φ_B − cos φ_B sen φ_A cos(λ_B − λ_A) sen α

¿Es el rumbo constante en todos los puntos de la ortodr´omica?

¿C´omo se resolver´ıa el problema inverso? (Dado un punto inicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar el punto al que se llega siguiendo una ortodr´omica).

¿Cu´al es el rumbo en el caso antipodal?

Observaci´on: las calculadoras devuelven el arcocoseno entre 0⁰ y 180⁰: rumbo con componente Este. Si B est´a al Oeste de A, es necesario corregir (360 grados menos arcocoseno).

45 / 62

Rutas loxodr´ omicas

En la pr´actica, un piloto no puede volar una ruta ortodr´omica porque el rumbo de la ruta se modifica continuamente.

La ruta m´as f´acil de volar es una que mantenga el rumbo constante.

Una ruta loxodr´omica entre dos puntos de la Tierra es el camino m´as corto entre dichos puntos tal que el rumbo de dicho camino es constante.

Por tanto, son f´aciles de volar para un piloto humano.

Una ruta ortodr´omica ser´a m´as corta, pero no volable; por tanto se puede aproximar por varios segmentos loxodr´omicos.

¿Son los meridianos loxodr´omicas?

¿Son los paralelos loxodr´omicas?

¿Son las loxodr´omicas curvas cerradas?

C´ alculo de la loxodr´ omica I

En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado un

rumbo χ y un punto inicial, ¿qu´e curva se obtiene si se vuela con dicho rumbo constante? La soluci´on est´a clara en el caso de meridianos y paralelos.

Supongamos, en el caso general, que describimos la curva

sobre la esfera con una ecuaci´on del tipo φ = φ(λ). Por tanto se tendr´ıa:

r (λ) = R_e [cos φ(λ) cos λ cos φ(λ) sen λ sen φ(λ)]^T

De geometr´ıa diferencial sabemos que e_t = _{d λ}^d r (λ). Por tanto: e_t = R_e e_φφ⁰ + e_λ cos φ
. Se calcula f´acilmente que ke_tk = R_ep

φ⁰² + cos² φ.

Puesto que cos χ = e_φ · _ke^et

tk, obtenemos: cos χ = √ ^φ0

φ⁰²+cos²φ, y despejando φ⁰ llegamos a la ecuaci´on diferencial

φ⁰

cos φ = 1

tan χ ^{47 / 62}

C´ alculo de la loxodr´ omica II

Puesto que se tiene R _{d φ}

cos φ = − ln tan (π/4 − φ/2), integrando llegamos a la siguiente soluci´on:

ln tan (π/4 − φ_A/2) tan (π/4 − φ/2)



= λ − λ_A tan χ

¿Cu´al ser´ıa la distancia entre dos puntos de una loxodr´omica?

Recordar:

d =

Z λ λ_A

ke_tkd λ = R_e

Z λ λ_A

pφ⁰² + cos² φd λ Usando la ecuaci´on diferencial:

d = R_e

Z λ λ_A

φ⁰p

1 + tan² χd λ = R_e 1 cos χ

Z λ λ_A

φ⁰d λ = R_e 1 cos χ

Z φ φ_A

d φ Se llega a: d = R_e ^φ−φA .

C´ alculo de la loxodr´ omica III

Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos A y B, hallar la loxodr´omica que los une y la distancia

loxodr´omica que los separa.

En primer lugar hallar el rumbo de la ecuaci´on:

ln  tan (π/4 − φ_A/2) tan (π/4 − φ_B/2)



= λ_B − λ_A tan χ

Observaci´on 1: Si |λ_B − λ_A| > π, para ir por el camino corto (atravesando el meridiano 180⁰) hay que corregir λ_B: sumar 2π (si λ_B < 0) o restar 2π (si λ_B > 0).

Observaci´on 2: las calculadoras devuelven el arcotangente

entre −90⁰ y 90⁰: rumbo con componente Norte. Si B est´a al Sur de A, es necesario corregir (arcotangente m´as 180 grados).

En segundo lugar calcular la distancia de: d = R_e φ_B − φ_A cos χ . Tener cuidado con los casos especiales (paralelos)!!

En una proyecci´on de Mercator las loxodr´omicas son rectas. ^{49 / 62}

Rutas ejemplo

Estudiemos las rutas entre Sevilla (λ = 5^o59⁰W, φ = 37^o24⁰N) y las ciudades:

Madrid (λ = 4^o1⁰W, φ = 40^o46⁰N).

Nueva York (λ = 73^o58⁰W, φ = 40^o47⁰N).

Melbourne (λ = 144^o58⁰E, φ = 37^o49⁰S).

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)

Madrid 411.01 23.78 411.02 24.38

NY 5728.8 296.27 5877.2 273.67

Melbourne 17466 100 17641 118.3

Si num´ericamente se calculan los mismos casos sobre el elipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)

Madrid 410.64 23.86 410.65 24.47

NY 5742.7 296.26 5891.5 273.65

Melbourne 17469 99.86 17644 118.16

Rutas ejemplo: Sevilla-Madrid

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

−6

−5.5

−5

−4.5

−4

distancia (km.)

longitud (grad.) Ortodromica

Loxodromica

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

37 38 39 40 41

distancia (km.)

latitud (grad.) Ortodromica

Loxodromica

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

23.5 24 24.5 25 25.5

distancia (km.)

Rumbo (grad.) Ortodromica

Loxodromica

51 / 62

Rutas ejemplo: Sevilla-Nueva York

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

−80

−60

−40

−20 0

distancia (km.)

longitud (grad.) Loxodromica

Ortodromica

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

35 40 45

distancia (km.)

latitud (grad.) Loxodromica

Ortodromica

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

240 260 280 300

distancia (km.)

Rumbo (grad.) Loxodromica

Ortodromica

Rutas ejemplo: Sevilla-Melbourne

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−50 0 50 100 150

distancia (km.)

longitud (grad.) Loxodromica

Ortodromica

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−40

−20 0 20 40

distancia (km.)

latitud (grad.) Loxodromica

Ortodromica

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

90 100 110 120 130

distancia (km.)

Rumbo (grad.) Loxodromica

Ortodromica

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Aproximaci´ on de ortodr´ omicas por loxodr´ omicas

En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra de forma que la ortodr´omica se aproxima por tres loxodr´omicas.

La proyecci´on de la figura es tipo Mercator.

Problemas inversos

Los problemas inversos consisten en, dado un punto inicial, un rumbo y una distancia, encontrar el lugar a donde se llega,

siguiendo una ruta bien ortodr´omica, bien loxodr´omica. Los resolvemos como problema de clase.

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El “Jet Stream”

Se conoce como “Jet Stream” (corriente de chorro) unas corrientes de aire que se pueden encontrar en la atm´osfera terrestre a la altura de la tropopausa.

Fluyen fundamentalmente hacia el Este por caminos

“sinuosos”, en forma de tubos estrechos.

Pueden alcanzar velocidades desde 100 km/h hasta incluso 400 km/h (m´as velocidad en invierno que en verano).

Uso del “Jet Stream”

En los vuelos largos hacia el Este se busca el “Jet Stream”

para economizar combustible y disminuir considerablemente el tiempo de vuelo (incluso hasta un 30 %!). Ejemplo: Tokyo - Los ´Angeles.

Tambi´en se utiliza en vuelos continentales en Norteam´erica.

Volando hacia el Oeste, simplemente se evita el “Jet Stream”.

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Ap´ endice: Trigonometr´ıa Esf´ erica

Objeto: Estudiar relaciones angulares en tri´angulos esf´ericos (los tri´angulos de la geometr´ıa esf´erica), permite demostraciones

simples para ortodr´omicas (no loxodr´omicas).

®

La Encyclopædia Britannica de 1911 dice:

“Perhaps to the student there is no part of ele- mentary mathematics so repulsive as is spherical

En una esfera, un “c´ırculo mayor” (gran c´ırculo, c´ırculo m´aximo) viene dado por la intersecci´on de un plano que pasa por el centro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esf´ericas” (geod´esicas) son los c´ırculos mayores. Obs´ervese que

cualesquiera dos rectas esf´ericas cortan siempre en dos puntos; por tanto, no existen paralelas en geometr´ıa esf´erica.

El ´angulo entre dos rectas esf´ericas viene dado por el ´angulo entre las tangentes

Ap´ endice: Trigonometr´ıa Esf´ erica

®

¯ b ca °

Al-Jayyani

Matem´atico musulm´an nacido en C´ordoba o Ja´en en el siglo X. Escribi´o el primer tratado sobre trigo- nometr´ıa esf´erica, “Libro de los arcos desconocidos sobre una esfera”.

Un tri´angulo esf´erico es el

determinado por tres rectas esf´ericas.

En un tri´angulo esf´erico hay seis

´

angulos: los formados entre las rectas en los v´ertices, que llamaremos α, β y γ, (que NO suman 180^o) y tres

´

angulos interiores, a, b, y c, que se oponen a los anteriores.

Obs´ervese que si el radio de la esfera es unidad, entonces a, b y c (en

radianes) corresponden a las

longitudes de los arcos que forman el tri´angulo; por ello se denominan

“lados”, mientras que α, β y γ son los “´angulos”.

59 / 62

Ap´ endice: Trigonometr´ıa Esf´ erica

®

¯

° c a

b

Figura: Representaci´on de un tri´angulo esf´erico

Existen otras f´ormulas, pero ´estas son las m´as importantes. A veces se usan simult´aneamente para resolver

ambig¨uedades de signo.

Por simplicidad, podemos representar un tri´angulo esf´erico como en la figura.

Se cumplen las siguientes relaciones:

Leyes de cosenos:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α cos b = cos a cos c + sen a sen c cos β cos c = cos b cos a + sen b sen a cos γ cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a cos β = − cos α cos γ + sen α sen γ cos b

cos γ = − cos β cos α + sen β sen α cos c Ley de senos:

sen α

sen a = sen β

sen b = sen γ sen c

Ap´ endice: Trigonometr´ıa Esf´ erica

Obs´ervese que si los lados a, b, c son peque˜nos, entonces se tiene que sen a ≈ a y cos a ≈ 1 − a²/2.

Usando estas aproximaciones:

La ley del coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α) queda:

1 − a²

2 ≈ (1 − b²

2 )(1 − c²

2 ) + bc cos α = 1 − b²

2 − c²

2 + b²c²

4 + bc cos α despreciando t´erminos de orden alto y cambiando el signo:

a² = b² + c² − 2bc cos α La ley de senos queda:

sen α

a = sen β

b = sen γ c

Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometr´ıa plana. Por tanto para peque˜nas distancias la trigonometr´ıa esf´erica coincide con la plana.

61 / 62

Ap´ endice: Trigonometr´ıa Esf´ erica

®

¯

° c a

b

El razonamiento anterior permite intuir que cuanto m´as “grande” sea un tri´angulo

esf´erico, m´as grande ser´a la desviaci´on de un tri´angulo plano.

Esta idea intuitiva se puede cuantificar mediante el llamado Teorema de Girard.

Si llamamos S a la superficie del tri´angulo esf´erico, y R al radio de la esfera en la que est´a inscrita el tri´angulo, se verifica que:

S = (α + β + γ − π)R²

S cuantifica el tama˜no del tri´angulo, y la f´ormula

α + β + γ − π (llamada el exceso esf´erico) cuantifica la

desviaci´on de la trigonometr´ıa plana (donde los ´angulos de un tri´angulo suman π).