Las Matemáticas como conjunto de disciplinas y como una ciencia especial
Hablamos de las Matemáticas como un conjunto de disciplinas teóricas (Aritmética;
Álgebra, que incluye el Álgebra Lineal; Geometría; Análisis Matemático, que incluye el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral; Estadística matemática; Topología; Cálculo numérico; etc…) o bien de la Matemática, en singular, como una ciencia que contiene todos esos conocimientos. Todas las disciplinas matemáticas tienen en común tratar con objetos abstractos. Pero lo esencial, es que sus correspondientes conocimientos teóricos están organizados en forma deductiva a partir de unos principios muy generales, llamados axiomas o postulados de la teoría correspondiente. Y eso es lo que nos permite considerar a la Matemática como una ciencia.
A partir de los axiomas o postulados se obtienen por razonamiento lógico los llamados teoremas de la correspondiente disciplina metemática. A su vez, los axiomas o postulados de cada disciplina utilizan algunos conceptos muy básicos que no se definen (quedan descritos implícitamente por los propios axiomas). Pero los teoremas utilizan normalmente otros conceptos, más elaborados, que se definen perfectamente a partir de los más básicos.
Pongamos algunos ejemplos:
1) La Aritmética puede organizarse a partir de unos axiomas sobre las propiedades más elementales de los números naturales. A partir de ahí se van construyendo los diferentes conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales y complejos) y se deducen sus propiedades, que serían los teoremas (por ejemplo, un teorema es:
“La expresión decimal de un número racional es siempre exacta o periódica”).
2) El Álgebra Lineal, que es una parte importante del Álgebra, está basada en los axiomas de un espacio vectorial. Los vectores geométricos, los polinomios y las matrices son ejemplos muy importantes de espacios vectoriales. Un teorema del Álgebra Lineal es, por ejemplo: “Para que una matriz real y cuadrada tenga matriz inversa es necesario y suficiente que su determinante sea diferente de cero”.
3) La Geometría Métrica Plana está basada en unos axiomas que utilizan conceptos básicos como “punto”, “recta” y “distancia entre dos puntos” (uno de ellos es: “por dos puntos diferentes pasa una única recta”). Luego se definen conceptos más complicados como triángulo, círculo, elipse, etc… Un teorema de la Geometría Métrica Plana es el famoso Teorema de Pitágoras.
4) El Análisis Matemático se basa en axiomas sobre números reales y estudia funciones y sus propiedades. Son muy característicos del Análisis conceptos tan importantes como continuidad, derivabilidad e integrabilidad de funciones. Las funciones pueden ser reales o complejas. A su vez pueden depender de una sola variable o de varias variables. En Análisis Matemático se estudian también
“sucesiones” y “series”, que son en última instancia funciones de tipos muy especiales. Un teorema de Análisis es, por ejemplo: “Toda función real de una variable que sea derivable en un punto es continua en dicho punto”.
5) La Estadística Matemática está basada en la teoría de probabilidades, que tiene también unos axiomas donde se utilizan conceptos básicos como “suceso aleatorio” y “probabilidad de un suceso”. Un concepto posterior, no básico, es por ejemplo el de “recta de regresión de una variable aleatoria respecto de otra variable aleatoria”. Y un ejemplo de teorema es: “La probabilidad de la coincidencia de dos sucesos aleatorios independientes es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos”.
Sin embargo, todas las demás ciencias tratan de explicar alguna parcela de la Naturaleza (incluyendo la naturaleza humana y su comportamiento), para lo cual recogen datos de la observación de fenómenos naturales o de la realización de experimentos (caso importante de la Ciencias Experimentales, que mediante técnicas de laboratorio provocan fenómenos en situaciones controladas y con posibilidad de realizar medidas de las variables que interesan). Pues bien, en eso la Matemática se distingue de las demás ciencias, pues no intenta explicar algo natural en concreto.
Las ciencias más antiguas son la Filosofía y las Matemáticas (y dentro de ella la Geometría), muy entrelazadas desde la antigua Grecia. Como ejemplo podemos citar la escuela filosófica de los pitagóricos, siendo Pitágoras un geómetra griego como todo el mundo sabe, que vivió 500 años antes de Jesucristo. Las Matemáticas usan, como las demás ciencias, la lógica aristotélica para sus razonamientos. Pero a su vez, la Lógica como disciplina de la Filosofía, utiliza cuestiones matemáticas como el Álgebra de Boole.
Se considera un hito fundamental, en el proceso de las Matemáticas por constituirse en ciencia, la inmensa obra de “Los elementos” (trece libros), compilados por Euclides tres siglos antes de Jesucristo, donde se axiomatiza por primera vez la Geometría y se desarrolla la Aritmética. “Los elementos” recogen muchos conocimientos matemáticos de siglos anteriores y de otras culturas más antiguas, como la egipcia y la babilónica.
Las Matemáticas como lenguaje de otras ciencias
En la medida en que las demás ciencias nacen mucho más tarde (la mayoría a partir del renacimiento y algunas son muy modernas), los conocimientos matemáticos no sólo le sirven como “herramientas”, sino que las propias teorías matemáticas sirven como modelos de organización deductiva de conocimientos. Así, todas ellas pasaron por una etapa inicial, como las Matemáticas, en que eran un conjunto de conocimientos sin una ordenación lógica que permitiese darles una explicación coherente a todos, o casi todos.
Para luego ir buscando los conocimientos más importantes y generales, con los conceptos más básicos, que permitiesen ir dando explicación lógica a los demás en un proceso deductivo, al modo de las teorías matemáticas. Así, por ejemplo, las leyes de la Mecánica de Newton son un conjunto de axiomas para esa teoría de la Física.
Pero no sólo las Matemáticas han servido a otras ciencias, sino que otras ciencias han servido a las Matemáticas: TODO ES PENSAMIENTO HUMANO. Así el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral se consideran bien fundamentados sólo a partir del siglo XVII, con Newton y Leibniz. Y la ayuda viene de la Física principalmente, a través de Isaac Newton (Leibniz, coetáneo de Newton, era filósofo). En efecto, Newton vio la necesidad de manejar bien el cálculo infinitesimal para dar explicaciones
adecuadas a su Física, y es por ello que estudió gran parte de las Matemáticas desde los griegos hasta su época, para sentar finalmente las bases del Cálculo en su obra
“Principia Mathematica” (1687). Por su parte, Leibniz publicó resultados parecidos sobre Cálculo Diferencial en 1684 (la conocida notación de la derivada como cociente de dos diferenciales es de esa época), y poco después publicó sus resultados sobre Cálculo Integral, entre los cuales incluía el Teorema Fundamental del Cálculo (relación entre derivación e integración).
Así, no es posible hablar de velocidad instantánea de un móvil o de la rapidez con que reaccionan dos sustancias en un instante determinado, sin utilizar el concepto de derivada de una función; pero también cuando los profesores de Matemáticas explicamos el concepto de derivada muchas veces usamos ejemplos como la velocidad de un móvil, la velocidad con que varía la temperatura de un cuerpo, o la velocidad con que cambian los precios. E igualmente, para hablar del trabajo mecánico de una fuerza variable a lo largo de una cierta trayectoria es preciso hablar de trabajos elementales en desplazamientos infinitesimales sobre la trayectoria, para luego ver el trabajo total como el límite de una suma de trabajos elementales (esencialmente, el concepto de integral aplicado a este caso). Y los profesores de Matemáticas usamos ejemplos como este, además del intuitivo cálculo de áreas, para que el alumnado entienda el concepto de integral definida o de integral curvilínea.
Aplicaciones de las Matemáticas
La Historia del conocimiento científico está llena de ejemplos de aplicaciones del Análisis Matemático y de la Geometría a la Física, principalmente, y con ella a todas las Ingenierías. Pero también a la Química, a la Arquitectura y a la Economía. Incluso hay aplicaciones del Análisis Matemático a la Biología y a la Medicina (por ejemplo, en Ecología se estudian comportamientos de especies que compiten en un mismo espacio, mediante ecuaciones diferenciales; y recientemente fue noticia que un determinado modelo matemático permitía predecir las evoluciones de ciertos tumores cancerígenos).
Hay incluso aplicaciones del Álgebra a ciertas cuestiones de la Lingüística.
Un aspecto interesante de las Matemáticas es su enorme capacidad de ser aplicadas, como de hecho ya lo han sido y seguirán siéndolo. Incluso algunas cuestiones que parecían ser meras elucubraciones teóricas, y que, por supuesto, no pretendían servir como herramienta de ninguna ciencia, han tenido posteriormente enormes aplicaciones.
Uno de los ejemplos más notables es el nacimiento en el siglo XIX (hacia 1830) de las Geometrías no euclídeas, desarrolladas por el alemán Riemann, el ruso Lobachevsky y el húngaro Bolyai, cuando cambiaron el axioma de las paralelas en la axiomática de la Geometría dada por Euclides: Se sospechaba desde hacía mucho tiempo que dicho axioma podía ser una consecuencia de los restantes, con lo cual no sería un verdadero axioma sino un teorema, pero nadie había logrado una demostración del mismo;
decidieron entonces sustituirlo por otras versiones contradictorias, pensando que si, en verdad, este axioma era consecuencia de los demás, en la nueva teoría obtenida tendrían que aparecer contradicciones; pero esas contradicciones no resultaron por ningún lado, obteniéndose dos nuevas Geometrías tan consistentes desde el punto de vista lógico como lo era la Geometría Euclídea. Pues bien, una de esas Geometrías (la de Riemann) sirvió a Einstein, casi un siglo más tarde, para desarrollar una de sus teorías de la relatividad y describir el universo.
Hay una famosa frase de Galileo Galilei, matemático, físico y astrónomo italiano, que vivió entre los siglos XVI y XVII, que expresa la importancia de las Matemáticas para otras ciencias, en particular para las Ciencias Experimentales: “El libro de la naturaleza está escrito en caracteres matemáticos”. Y podríamos apostillar: “el que no sepa un mínimo de matemáticas, no podrá leerlo”.
Una de las teorías matemáticas que más aplicaciones tienen en la descripción de fenómenos, en distintas ciencias, es la Teoría de Ecuaciones Diferenciales. Así tenemos ejemplos clásicos como la ecuación del calor o de difusión, la ecuación de onda o de la cuerda vibrante, la ecuación de Laplace y la ecuación de Schrödinger. Pero hay muchos más: La ecuación diferencial que rige el proceso de desintegración radiactiva de una sustancia; las que sirven para estudiar los crecimientos de poblaciones; las que describen ciertas leyes físicas, en procesos de cambio de temperatura, en circuitos eléctricos, en problemas de mezclas, en situaciones de equilibrio o de movimiento; las que describen el crecimiento de bacterias, la asimilación de sustancias por el organismo humano; etc..
Pero las Matemáticas llegan más lejos todavía: No sólo tienen múltiples aplicaciones en otras ciencias, sino que, como ya dijimos, en muchos casos son la herramienta fundamental para tratar de organizar los conocimientos de esas ciencias, en forma razonada, dentro de determinadas teorías científicas. Esas teorías tratan de dar explicación lógica a muchos fenómenos, que han sido conocidos por vía experimental o por observaciones múltiples.
En ocasiones, en la Historia de las Ciencias, han existido disciplinas matemáticas que iban bien para montar una teoría científica que se necesitaba. Pero otras veces, las necesidades de una teoría científica han obligado a crear (o a mejorar) una determinada disciplina matemática, para poderla usar como herramienta. Como ejemplo de lo primero puede mencionarse el caso de las teorías de la relatividad de Einstein, para las cuales existían ya las matemáticas adecuadas. Y como ejemplo de lo segundo puede ponerse la conocida Mecánica de Newton.
Para concluir, diremos que la herramienta fundamental de las llamadas “ciencias no exactas”, que tratan situaciones muy complejas del mundo real o del comportamiento humano (como Biología, Medicina, Farmacia, Sociología, Psicología, Economía y Educación, entre otras), es la Estadística. Pero no se usa directamente la Estadística Matemática, sino la llamada Estadística Descriptiva, que es un compendio de los conocimientos más aplicables de la anterior.
Modelos matemáticos
Se llaman así las relaciones matemáticas entre ciertas variables (normalmente ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones, de diferentes tipos), que permitan representar de un modo aproximado situaciones o comportamientos de diversa naturaleza, para lo cual es necesario dar un significado apropiado a dichas variables. Se considera que el modelo es “bueno” si permite describir o pronosticar aspectos relevantes del fenómeno real asociado, dentro de unos márgenes razonables de error.
En realidad, cuando una disciplina matemática sirve para fundamentar una determinada teoría científica, se puede considerar que es “un modelo matemático adecuado a dicha teoría”. Lo cual no impide que haya otro modelo mejor (porque corresponda a una teoría científica más general, que incluya a la anterior, o bien porque sea más exacto en sus predicciones).
Como ejemplo de modelo matemático podemos mencionar la ecuación diferencial dt kC
dC =− , que corresponde aproximadamente al fenómeno de desintegración radioactiva de una cierta sustancia. Aquí la función C(t) representa la cantidad de sustancia que queda sin desintegrarse en el instante t , y k es una constante positiva, característica de la sustancia que se desintegra. La ecuación diferencial expresa que “la velocidad con que disminuye la sustancia residual, al irse desintegrando, es directamente proporcional a la propia cantidad de dicha sustancia residual”, hecho que puede detectarse experimentalmente en forma muy aproximada. Resolviendo la anterior ecuación diferencial, se obtiene la función C(t), que nos predice cuánta cantidad de sustancia queda por desintegrarse en cada momento. La observación experimental confirma el resultado obtenido anteriormente, por lo cual el modelo utilizado se considera “bueno”.
En caso de que alguna conclusión matemática extraída de un determinado modelo no concuerde con la realidad observable, habrá que concluir que dicho modelo no sirve para describir ese fenómeno. Habrá, entonces, que buscar otro modelo o perfeccionar el que tenemos.
De igual modo, si una determinada teoría científica no es capaz de explicar ciertos fenómenos detectados experimentalmente u observados, mediante el aparato matemático que le da soporte lógico, es que se necesita otra teoría más general, que mantenga con explicación los fenómenos que eran conocidos anteriormente y obtenga también explicación para los fenómenos nuevos, en un todo coherente. Y ello puede implicar, a su vez, un cambio de disciplina matemática como herramienta de trabajo teórico.
______________________________________________________________________
