I. Revisión de la Teoría de conjuntos

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Introducción y propósito

El objeto de esta revisión es recordar conceptos matemáticos y estadísticos básicos requeridos para una aplicación posterior en varios aspectos de los mecanismos o esquemas de decisión. La teoría de conjunto como instrumento de descripción y manejo de los espacios muestrales; las técnicas de conteo para definir el número de eventos que los componen y la teoría estadística para describir el comportamiento de los fenómenos a los que están asociados.

I. Revisión de la Teoría de conjuntos

Conceptos básicos.

Se denomina conjunto a una colección bien definida de objetos denominados elementos o miembros.

Sea A = {6,7,8,5,0} ; conjunto A compuesto por los elementos que se listan entre llaves, decimos que A es un conjunto de cinco números enteros cuyos elementos

“a” son los ya señalados; así a ∈ A sii a es un elemento de A.

Es concebible, por supuesto, el conjunto nulo o vacío, un conjunto sin elementos y se denota con el símbolo {Ø}.

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Finito si está vacío, es decir tiene 0 elementos; o si cuenta exactamente de n elementos, siendo n un entero positivo;

de otra forma el conjunto es infinito. Los conjuntos A, B y C, son conjuntos finitos;

el conjunto X = { x : x ≥ 10,57} , es un conjunto infinito. El conjunto de los enteros pares positivos; Y = {2, 4, 6, 8, … , ∞} es también un conjunto infinito. Un conjunto es contable si es finito o si sus elementos pueden ser ordenados en forma de sucesión, en cuyo caso se dice que es contablemente infinito. De lo contrario el conjunto no es contable. El conjunto Y es contablemente infinito; el conjunto X no es contable.

La cantidad de elementos de un conjunto se denomina cardinal del conjunto. El cardinal será

+∞

si el conjunto es de tipo contablemente infinito o no contable.

Sean B = {7,4,3,5,1} y C = {1,3,0,5,7,6,8,9,2}

Podemos explorar como se relacionan ellos entre sí y obtener algunas conclusiones interesantes a nuestro propósito;

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Teoría de la decisión. Revisión de temas básicos. Alfredo Carneiro. UNEFA 2.011 2

1. si ∀ p ∈ A ∃ c ∈ C , p=c; luego decimos que A es un subconjunto de C, o que está contenido en C; expresado como A ⊂ C, o también C ⊃ A, C contiene a A. Notemos que esta relación puede tener dos posibles casos A = C, que no invalida la proposición y hace indistintos A ⊂ C, o, C ⊂ A; o en otro caso, A≠C, lo cual implica que A está contenido totalmente en C, siendo este último una colección más grande de enteros. En este caso decimos que A, es un subconjunto propio de C, el cual es una colección de los números enteros positivos de un solo dígito.

2. Como consecuencia empírica podemos pensar, y de hecho es correcto hacerlo;

que tratándose de cualquier conjunto, es posible definir una colección mayor de elementos similares que lo contenga. Por ejemplo, en los casos que estudiamos, el espacio de los enteros positivos incluye a los tres conjuntos propuestos (N); que a su vez está incluido en todo el espacio de los enteros (Z); que a su vez está incluido en el espacio de los números reales. Este superconjunto es denominado Universo o conjunto universal, denotado por U.

Operaciones con conjuntos

3. Los conjuntos A y B evidencian elementos comunes; 5 y 7; siendo ellos distintos y sin estar contenidos el uno en el otro. Podemos entonces definir D = {5,7} como el resultado de intersectarlos, expresados como D = A ∩ B; D es igual a la intersección de A con B, o D es igual a A intersección B. Como corolario se establece el hecho que la intersección de dos conjuntos exactamente distintos, o mejor dicho, sin elementos comunes, es igual al conjunto vacío o nulo.

Estos conjuntos sin elementos comunes se denominan conjuntos disyuntos.

4. Igual podemos generar un nuevo conjunto que sea la unión de los elementos de uno o más conjuntos; por ejemplo E = {1,3,4,5,6,7,8,0} sería el resultado de la operación A unión B, denotado A ∪B.

5. Igual podemos definir la diferencia entre dos conjunto, por ejemplo entre A y B;

y obtener un nuevo conjunto conteniendo los elementos de A que no pertenecen a B; a este nuevo conjunto se le denomina complemento relativo de B con respecto a A, denotado por A \ B = {x : x ∈ A y x ∉ B} = {0,6,8}.

Cuando la diferencia se hace con el conjunto universal se denomina complemento absoluto o simplemente complemento, y se denota A^c; expresado en lenguaje matemático A^c= {x : x ∈ U ; x ∉ A}.

(3)

conjunto B son disyuntos; (A \ B) ∩ B = {Ø}.

Leyes del álgebra de conjuntos

1ra. Leyes de idempotencia.

a.

A

∪

A = A

b

. A

∩

A = A

2da. Leyes asociativas.

a. (

A

∪

B)

∪

C = A

∪

(B

∪

C)

b. (

A

_∩

B)

_∩

C = A

_∩

(B

_∩

C)

3ra. Leyes conmutativas.

a.

A

∪

B = B

∪

A

b.

A

∩

B = B

∩

A

4ta. Leyes distributivas.

a.

A

_∪

(B

_∩

C)

= (

A

_∪

B)

_∩ (

A

_∪

C)

b.

A

∩

(B

∪

C)

= (

A

∩

B)

∪ (

A

∩

C)

5ta. Leyes de identidad.

a.

A

_∪

Ø = A A

_∩

Ø = Ø

b.

A

∪

U = U A

∩

U = Ø

(4)

6ta. Leyes de complemento.

a.

A

∪

A

^c

= U A

∩

A

^c

= Ø

b. (

A

^c

)

^c

= A U

^c

= Ø ; Ø

^c

= U

7ma. Leyes de Morgan.

a.

(A

∪

B)

^c

= A

^c∩

B

^c

b.

(A

_∩

B)

^c

= A

^c_∪

B

^c

Representación Gráfica de las operaciones básicas de conjunto

Esto se logra a través de diagramas denominados de Venn, están compuestos por un rectángulo que sirve de fondo a círculos que representan los conjuntos, siendo el rectángulo la representación del universo.

A B

U

A B

U

B A

U

B A

U

A ᴜ B A ∩ B

A \ B A^c

(5)

Sean A y B dos conjuntos, se define su producto como el conjunto de pares ordenados (a,b) tal que a ∈ A y b ∈ B

A x B = {(a,b) : a

∈

A , b

∈

B}

A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

El concepto de conjunto producto se extiende a un número finito de conjuntos; así el conjunto producto de los conjuntos A1, A2, … , Am ; A1 x A2 x …. x Am , es el conjunto de todas la m-uplas ordenadas (a1, a2, … , am) tal que ai ∈

A

i

para cada i.

Clases de conjuntos

Los elementos de un conjunto pueden a su vez ser conjuntos, como por ejemplo, en un conjunto de líneas cada línea es a su vez un conjunto de puntos.

Denominamos clase o familia a este tipo de conjuntos; por ejemplo los miembros de la clase { {2,3}, {2}, {5,6} } son los conjuntos {2,3}, {2} y {5,6}.

Considérese un conjunto A. el conjunto potencia de A, denotado P(A), es la clase de todos los subconjuntos de A. siendo A = {a, b, c}, entonces:

P(A) = { A, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {b}, {c}, {a},

Ø

}

En general si A es finito y tiene n elementos P(A) tendrá 2ⁿ elementos, es decir su cardinal es 2ⁿ.

Una partición de un conjunto X es un subdivisión de X entre subconjuntos no vacíos que son disyuntos y cuya reunión es X, es decir la clase de conjuntos no vacíos de X tales que cada a ∈ X pertenece a un único subconjunto. Los subconjuntos de una partición son llamados células.

Considérese las siguientes clases de subconjuntos de X = {1, 2, … , 8, 9}

(i) { {1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9} } (ii) { {1, 3, 5 }, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9} }

(iii) { {1, 3, 5 }, {2, 4, 6, 8}, {7, 9} } , entonces:

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(i) no es una partición de X puesto que 7 no pertenece a ninguna célula (ii) no es una partición de X puesto que 5 ∈ X, pertenece simultáneamente a {1, 3, 5 } y a {5, 7, 9} siendo que estos no son disyuntos;

(iii) es una partición de X puesto que cada elemento de X pertenece a una célula exactamente.

Clases de conjuntos con índices

Con esto significamos que Existe un conjunto Ai , asignado a cada elemento i que pertenece al conjunto de índices I. Así que los conjuntos Ai tienen por índice I. Cuando el conjunto de índices es el conjunto N (de los enteros positivos), la clase con índices { A₁ , A₂ , …} se denomina sucesión de conjuntos.

Por la unión de conjuntos de los A_i ,se entiende el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los A_i ; y por la intersección de los A_i se entiende el conjunto de elementos que pertenecen a cada A_i .

Una clase no vacía

A

de subconjuntos de U se denomina un álgebra (sigma-álgebra) de conjuntos si:

(i) El complemento de algún conjunto de

A

pertenece a

A

; y

(ii) La unión de un número finito (contable) de conjuntos de

A

pertenece a

A ;

esto es si

A

es cerrada para complementos y uniones finitas (contables).

Un álgebra de conjuntos contiene U y

Ø,

y es también cerrada para intersecciones finitas (contables). Este es un concepto muy útil en probabilidades y de forma sencilla podemos definir el álgebra como el conjunto de todos los eventos posibles de un experimento posible.

(7)

II. Revisión de técnicas de conteo.

Introducción

En cualquier investigación de un fenómeno o experimento que se desee describir será necesario hacer abstracciones, particularmente de aquello que define en forma práctica y controlable cuáles son los posibles resultados de los eventos o circunstancias asociados al fenómeno en estudio sin que se tenga que hacer la enumeración directa de ellos, ya que esta última tarea puede resultar imposible a efectos prácticos. Las técnicas para contar satisfacen esta necesidad y en general se les conoce como análisis combinatorio, de lo cual se presenta este resumen como paso previo a la revisión de conceptos sobre probabilidades o probabilidad estadística.

Principio fundamental del conteo

Si un evento puede realizarse de n₁ maneras distintas, y un segundo evento puede realizarse de n2 maneras distintas, y si después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras distintas, así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n₁*n₂*n₃*…*n_n.

Por ejemplo, supongamos que la matrícula del carro consta de dos letras distintas seguidas de tres dígitos, de los cuales el primero no es cero; ¿cuántas matrículas habrá?

i.- Eliminemos las letras compuestas del alfabeto (Ch y Ll), entonces la primera letra podrá colocarse de 27 maneras distintas;

ii.- La segunda letra no puede ser la misma que la primera, por tanto podrá ser de 26 maneras distintas;

iii.- El primer número no puede ser cero, por tanto, será de 9 maneras distintas;

iv.- los dos siguientes números no tienen limitación, por tanto podrán escogerse de 10 maneras distintas cada uno de ellos;

así planteado, el resultado será 27*26*9*10*10 = 631.800 formas distintas de construir o grabar en un placa un número de matrícula.

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Teoría de la decisión. Revisión de temas básicos. Alfredo Carneiro. UNEFA 2.011

Notación Factorial

La noción de factorial de un número (solamente entero positivo) parte del principio más básico que hay

secuencia; definiéndose su función como

estableciéndose como convención que

Permutaciones

Un arreglo u ordenación de

permutación de los n objetos considerados todos ellos cada vez. Una ordenación de un número r de tales objetos, tal que

permutación r o una permutación de n objetos tomados r a la vez El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez es:

nótese (como ya se ha establecido) que si

Una forma fácil de ver muchos de estos problemas es imaginarse un gavetero en el cual se pretende acomodar r elementos cada vez en cada gaveta.

Por ejemplo consideremos el conjunto

i. bcda, dcba, y acdb son permutaciones de la cuatro a la vez

ii. bad, adb, cbd, y bca son permutaciones de cuatro letras tomadas tres cada vez

iii. ad, cb, y bd son permutaciones de cuatro letras tomadas dos cada vez las posible combinaciones de ellas sería

i. P(4,4) = 4! = 4*3*2*1 = 24 todas a la vez

ii. P(4,3) = 4! /(4 cada vez

La noción de factorial de un número (solamente entero positivo) parte del principio más básico que hay n! maneras de organizar n distintos objetos en una secuencia; definiéndose su función como:

estableciéndose como convención que

0! = 1

.

Un arreglo u ordenación de n objetos en una secuencia dada se llama de los n objetos considerados todos ellos cada vez. Una ordenación de tales objetos, tal que r =< n, en un orden dado se llama una

permutación de n objetos tomados r a la vez El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez es:

P(n,r) = n! /(n-r)!

nótese (como ya se ha establecido) que si

n = r

;

P(n,r) = n!

Por ejemplo consideremos el conjunto

{a,b,c,d}

entonces:

bcda, dcba, y acdb son permutaciones de la cuatro letr

bad, adb, cbd, y bca son permutaciones de cuatro letras tomadas tres ad, cb, y bd son permutaciones de cuatro letras tomadas dos cada vez las posible combinaciones de ellas sería

P(4,4) = 4! = 4*3*2*1 = 24 permutaciones de la cuatro letr

/(4-3)! = 24 permutaciones de cuatro letras tomadas tres

La noción de factorial de un número (solamente entero positivo) parte del maneras de organizar n distintos objetos en una

objetos en una secuencia dada se llama de los n objetos considerados todos ellos cada vez. Una ordenación en un orden dado se llama una permutación de n objetos tomados r a la vez.

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez es:

P(n,r) = n!

letras tomadas todas bad, adb, cbd, y bca son permutaciones de cuatro letras tomadas tres ad, cb, y bd son permutaciones de cuatro letras tomadas dos cada vez

de la cuatro letras tomadas permutaciones de cuatro letras tomadas tres

(9)

vez

Permutaciones con repeticiones

Se considera el hecho que en el conjunto de eventos o posibles resultados algunos de los elementos son iguales, es decir que de los n elementos o resultados posibles, ni son iguales hasta nr; entonces las permutaciones se obtienen dada la fórmula

P(n) = n! / (n

1

**!*n**

2

**!…n**

r

!)

Por ejemplo la palabra amar, ¿cuántas combinaciones distintas podemos obtener de sus letras. Observemos que si distinguimos las “a” como a₁ y a₂; a₁a₂mr es igual que a₂a₁mr ; como también lo son ma₁a₂r y ma₂a₁r, así como otras combinaciones. Esas combinaciones repetidas no las deseamos dentro del conteo, pues sólo queremos las que son únicas, distintas.

Si no fuese importante tal distinción, el número de permutaciones sería 4! = 48, pero al introducir el requerimiento de combinaciones únicas, al aplicar la fórmula se obtiene:

P(4) = 4! / 2! = 12

permutaciones distintas.

Si observamos la palabra palangana; observaremos dos letras repetidas la

“a” (4 veces) y la “n” (dos veces). Las permutaciones distintas serían:

P(9)= 9! / (4!*2!) = 7.560

Pruebas ordenadas

Muchos problemas de análisis combinatorio y de probabilidades, en particular; se refieren al modelo básico de la escogencia de de una bola tomada de una urna que contiene n bolas; o lo que es lo mismo en sus efectos, tomar una carta de un mazo de barajas, o también igual en sus efectos, escoger una persona de una población. Cuando escogemos un elemento tras otro, r veces, definimos esta escogencia como una prueba ordenada de tamaño r; y necesariamente debemos considerar los casos de si retornamos el elemento extraído para continuar con el experimento, o continuamos el experimento sin considerar el elemento ya observado.

Consideremos el modelo de la urna con n bolas en ella;

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i.- Prueba con sustitución, significa que la bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente. Puesto que hay n maneras diferentes para escoger cada bola, habrá n elementos obtenidos r veces (por principio fundamental del conteo) por tanto el número de pruebas ordenadas con sustitución será igual a n^r. ii.- Prueba sin sustitución, significa que la bola obtenida no regresa a la urna antes de escoger la siguiente, por tanto no hay repeticiones en la prueba ordenada. Esto significa que este tipo de pruebas es simplemente una permutación r de los objetos en la urna; por tanto habrá

P(n,r) = n! / (n – r)!

pruebas ordenadas de tamaño r sin sustitución tomadas de un grupo de n objetos.

Consideremos el siguiente ejemplo:

¿de cuántas maneras se puede escoger tres carta sucesivas de un mazo de 52 cartas?

i.- Si cada carta se regresa al mazo antes de escoger la siguiente, entonces cada carta puede escogerse de 52 maneras distintas, luego:

52*52*52 = 140.608 pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 con sustitución ii.- Si no hay sustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 maneras distintas, la segunda de 51 maneras, y la tercera y última de de 50 maneras diferentes. Luego habrá

52*51*50 = 132.600 pruebas ordenadas de tamaño r sin sustitución.

Combinaciones

Sea una colección de n objetos; una combinación de ellos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos; es decir, no se tiene en cuenta el orden en el cual se toman. El número de combinaciones de n objetos tomados a la vez se denota por

C(n,r)

.

Consideremos el conjunto {a,b,c,d}, y expresemos los conjuntos de tres letras que se puedan formar; en la tabla siguiente veremos la combinaciones y las permutaciones.

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Puede inferirse que siendo que cada combinación de tres letras produce 3! = 6 permutaciones C(4,3)*3! = P(4,3) implica C(4,3) = P(4,3) / 3!.

C(n,r) = P(n,r) / r! = n! / r! (n

Esto también corresponde (como seguramente han notado) con el denominado binomio de Newton cuya notación

Será también utilizado, así

Por ejemplo ¿cuántos comités de tres personas podrán formarse con un conjunto de ocho personas?.

Cada comité es en esencia una combinación de ocho personas tomadas tres a la vez; por tanto

C(8,3)

Combinaciones abc abd acd bcd

Puede inferirse que siendo que cada combinación de tres letras produce 3! = 6 C(4,3)*3! = P(4,3) implica C(4,3) = P(4,3) / 3!. Así

C(n,r) = P(n,r) / r! = n! / r! (n-r)!

Esto también corresponde (como seguramente han notado) con el denominado binomio de Newton cuya notación

 



 

 r n

Será también utilizado, así

Por ejemplo ¿cuántos comités de tres personas podrán formarse con un conjunto de ocho personas?.

Cada comité es en esencia una combinación de ocho personas tomadas

C(8,3) =

_







 3

8

**= 876/3*2 = 56 comités**

Combinaciones Permutaciones

abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd dbc cdb dcb

Puede inferirse que siendo que cada combinación de tres letras produce 3! = 6

Esto también corresponde (como seguramente han notado) con el

Por ejemplo ¿cuántos comités de tres personas podrán formarse con un

Cada comité es en esencia una combinación de ocho personas tomadas ab cba

ab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd dbc cdb dcb

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Particiones ordenadas

Supóngase que una urna A contiene siete bolas numeradas de 1 a 7;

calcúlese las maneras como podrán sacarse de la urna; dos bolas, luego tres y finalmente dos. Como resulta evidente, queremos calcular el número de particiones ordenadas (A1 , A2 , A3) del conjunto de siete bolas en células A1 con dos bolas; A₂ con tres bolas y A₃ con dos bolas. Significando las particiones ordenadas que distingamos entre ({1,2} {3,4,5} {6,7}) y ({6,7} {3,4,5} {1,2}) cada una de las cuales produce la misma partición de A.

Al comenzar con las siete bolas en la urna, habrán 







 2 7

maneras de sacar las dos primeras bolas; es decir para obtener la célula A₁ ,







 3 5

maneras de obtener A2; y al quedar sólo dos bolas en la urna;







 2 2

maneras de obtener A₃ ; así pues







 2 7 







 3 5 







 2

2

**= 7! / 2!3!2! = 210 maneras de obtener las particiones**

Como regla general observaremos que siendo A un conjunto de n elementos, y sean n1 , n2 , …, nr enteros positivos, con n1 + n2 + …+ nr = n.

Entonces existen

n! / (n

1

**! * n**

2

**! * …* n**

r

!)

particiones ordenadas diferentes de A de la forma (A₁ , A₂ , …, A_r) donde A₁ consta de n1 elementos, A2 de n2 elementos, y así sucesivamente hasta Ar

que constará de nr elementos.

Como ejemplo ¿de cuántas maneras se pueden distribuir 9 juguetes entre cuatro niños si el menor recibe tres juguetes y cada uno de los otros niños recibe dos juguetes?. Como puede observarse se trata de hallar el número de particiones ordenadas de los nueve juguetes entre cuatro células que constan respectivamente de 3 , 2 , 2 y 2 juguetes; así tendremos:

9! / (3! * 2! * 2! * 2!) = 7.560 maneras de distribuir los juguetes según las particiones ordenadas especificadas.

(13)

Diagramas de árbol

Usualmente es conveniente disponer de un

enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos

cada experimento puede suceder de un número finito y contable de maneras. Un método común es el diagrama de árbol, en el cual cada rama desarrolla elementos de cada conjunto de ev

precedentes.

Por ejemplo para hallar el producto A x B x C, donde A = {1,2} , B = {a,b,c,}

y C = {3,4}

Usualmente es conveniente disponer de un método gráfic enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos

cada experimento puede suceder de un número finito y contable de maneras. Un método común es el diagrama de árbol, en el cual cada rama desarrolla elementos de cada conjunto de eventos del experimento en relación con sus

ejemplo para hallar el producto A x B x C, donde A = {1,2} , B = {a,b,c,}

método gráfico, práctico, para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos, en donde cada experimento puede suceder de un número finito y contable de maneras. Un método común es el diagrama de árbol, en el cual cada rama desarrolla los en relación con sus

ejemplo para hallar el producto A x B x C, donde A = {1,2} , B = {a,b,c,}

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II. Revisión de la Teoría de la Probabilidad

El objeto del concepto probabilidad está relacionado con la necesidad de poder describir teóricamente los resultados de circunstancias que en general están regidas por la aleatoriedad. Es un concepto que tiene una raíz intuitiva en la tendencia del ser humano a predecir el resultado de situaciones que aprecia como repetitiva pero cuya causalidad no puede definirse con total exactitud, como por ejemplo el resultado de una apuesta en un juego de azar o las condiciones climatológicas y su efecto sobre la cosecha. Siguiente a esto resulta la necesidad de formalización de los conceptos, axiomas, que rigen la disciplina y que en definitiva será el mecanismo de conceptuación efectiva que haremos en esta revisión.

Por lo pronto baste decir que la probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.

Algunas definiciones necesarias

Una definición elemental es la de

experimento

y en esta revisión usaremos la acepción estadística de ella que lo define como

cualquier proceso que proporciona datos numéricos o no numéricos

Denominamos

espacio muestral al conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de un experimento

y se le representa como

S.

El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.

Los elementos del espacio muestral se llaman puntos muestrales y son los distintos resultados del experimento

.

Si consideramos el conjunto de las partes de

(P(S))

sus elementos son los sucesos o eventos. Un

suceso

o

evento,

por tanto,

es un subconjunto del espacio muestral

.

Gráficamente a través de un diagrama de Venn lo representaremos así:

(15)

Existen dos tipos de sucesos:

·Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto

muestral.

·Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del

espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.

Definiremos

azar como la característica de un experimento que produce resultados diversos, impredecibles en cada situación concreta, pero cuyas frecuencias, a la larga, tienden a estabilizarse hacia un valor "límite" en el infinito

. Esta definición nos permite relacionar directamente la probabilidad con la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento cuando la cantidad de observaciones es muy grande. A modo de ejemplo si arrojo una moneda al aire muchas veces (digamos 10.000 veces) y contabilizo el número de veces que “cae” “cara” o “sello”, tal contabilidad me permitirá predecir con cierto margen de seguridad el resultado posible del experimento; si los resultados han sido seis mil caras y cuatro mil sellos podría decir “la siguiente tirada seguramente será cara”. Independientemente de que me equivoque o no, la mayor frecuencia relativa de las caras dan una base cierta para emitir el juicio o predicción.

Como consecuencia, se definen los

sucesos aleatorios

como los resultados de un experimento cuya variación (la de los resultados) es debida al azar.

La probabilidad de un suceso sólo se define para el caso de sucesos aleatorios, es decir cuya ocurrencia está determinada por el azar.

En general puede decirse que si un suceso A puede ocurrir de n maneras distintas entre un total de s maneras igualmente posibles, definimos entonces su probabilidad p de ocurrencia como :

(16)

p = P(A) =

s n

Por su parte los eventos o sucesos son subconjuntos del espacio muestral S; también lo es el conjunto vacío (

Ø)

, y a su vez S también lo es, se suele denominar a S como el evento cierto o seguro y a

Ø

como el evento imposible.

Así. Si aplicamos las operaciones de conjuntos podemos obtener las relaciones:

(i)

A

_∪

B

es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos suceden,

(ii)

A

∩

B

es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente, (iii)

A

^c es el evento que sucede si y sólo si A no sucede,

Si

A

∩

B = Ø,

se dice de ellos que son mutuamente exclusivos; es decir que la ocurrencia de cualquiera de ellos niega la ocurrencia del otro, no tienen posibilidad de ocurrir simultáneamente.

Por ejemplo; el experimento de lanzar un dado y observar el número de la cara superior; el espacio muestral consiste en los seis números posibles,

S = {1,2,3,4,5,6}

Sea A el evento sale un número par A = {2,4,6}, sea B: sale un número impar B = {1,3,5}, y sea C: sale un número primo C = {2,3,5}

A ∪ C = {1,2,3,4,5,6} evento tal que el número es par o primo

B

∩

C =

{3,5} evento tal que el número es impar y primo

C

^c

=

{1,4,6} evento tal que el número no es primo

Obsérvese que

A

∩

B

=

Ø,

es decir el evento un numero par e impar no puede ocurrir

(17)

caras (c) y sellos (s) que aparecen.

El espacio muestral S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

Sea A el evento “dos o más caras aparecen consecutivamente”

Sea B el evento “todos los resultados son iguales”; entonces A = {ccc, ccs, scc} y B = {ccc,sss}

A ∩ B = {ccc}, evento en que sólo parecen caras Como ejemplo, el evento “cinco

que los conjuntos definidos son categorías dentro de S.

Otro ejemplo; supongamos un lápiz que cae de punta sobre una hoja de papel, observaremos el punto sobre el cual cae la punta del lápiz, más precisamente el punto que marca. Es obvio

experimento.

Representemos estos puntos por el área rectangular

Sean los eventos A y B definidos en el área de caída del lápiz (S) como los comprendidos en las áreas ilustradas en la figura

espacio muestral que no es

diferentes puntos en los cuales el lápiz caerá; ni siquiera contablemente infinito al no poder numerarse sus elementos.

Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, cada subconjunto de es un evento.

que aparecen.

S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

“dos o más caras aparecen consecutivamente”

Sea B el evento “todos los resultados son iguales”; entonces A = {ccc, ccs, scc} y B = {ccc,sss}

B = {ccc}, evento en que sólo parecen caras

Como ejemplo, el evento “cinco caras” es el conjunto vacío, también obsérvese que los conjuntos definidos son categorías dentro de S.

Otro ejemplo; supongamos un lápiz que cae de punta sobre una hoja de papel, observaremos el punto sobre el cual cae la punta del lápiz, más precisamente el punto que marca. Es obvio que el lápiz puede marcar una infinidad de puntos en el

Representemos estos puntos por el área rectangular presentada en la figura

Sean los eventos A y B definidos en el área de caída del lápiz (S) como los comprendidos en las áreas ilustradas en la figura. Este es un ejemplo de un espacio muestral que no es finito, no se puede establecer un límite al número de diferentes puntos en los cuales el lápiz caerá; ni siquiera contablemente infinito al no poder numerarse sus elementos.

Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, cada subconjunto de caras” es el conjunto vacío, también obsérvese

Otro ejemplo; supongamos un lápiz que cae de punta sobre una hoja de papel, observaremos el punto sobre el cual cae la punta del lápiz, más precisamente el que el lápiz puede marcar una infinidad de puntos en el

presentada en la figura.

Sean los eventos A y B definidos en el área de caída del lápiz (S) como los . Este es un ejemplo de un finito, no se puede establecer un límite al número de diferentes puntos en los cuales el lápiz caerá; ni siquiera contablemente infinito al

Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, cada subconjunto de S

(18)

Axiomas de Probabilidad.

Sea S un espacio muestral, sea

ε

la clase de eventos y sea P una función de valores reales definida en

ε

. Entonces P se llama

función de probabilidad

y P(A) es llamada probabilidad del evento si se cumplen los siguientes axiomas:

[P

1

]

Para todo evento A, 0 <= P(A) <= 1.

[P

2

]

P(S) = 1

[P

₃

]

Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces:

P(A

∪

B) = P(A + B)

[P

4

]

Si A1 , A2 , … An es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(A

1 ∪

A

2∪

…A

n

) = P(A

1

) + P(A

2

) + …+ P(A

n

) Teoremas

[T

1

]

Si

Ø

es el conjunto vacío, entonces

P(Ø) = 0

[T

2

]

Si

A

^ces el complemento de un evento; entonces

P(A

^c

) = 1 – P(A) [T

3

]

Si

A

⊂

B

, entonces

P(A) <= P(B)

[T

4

]

Si A y B son dos eventos, entonces la probabilidad del complemento de B con respecto a A;

P(A \ B) = P(A) – P(A

∩

B) [T

₅

]

Si A y B son dos eventos, entonces:

P(A

∪

B) = P(A) + P(B) - P(A

∩

B)

De este teorema es necesario apunta le corolario

(19)

P(A ∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B ∩ C)+P(A ∩ B∩ C)

Espacios finitos de probabilidad

Sea S un espacio muestral finito; S = {a₁, a₂, … , a_n}. Un espacio

finito de probabilidad

se obtiene al asignar a cada punto muestral a_i ∈ S un número real pi , llamado

probabilidad de a

i que satisface:

(i) cada

p

i

>= 0

(ii)

1

∑ =

= n

i

p

i

La probabilidad P(A) de un evento, se define entonces como la suma de las probabilidades de sus puntos muestrales p(a_i).

Ejemplo: Láncense tres moneda al aire y obsérvense el número de caras que resulten; entonces el espacio muestral será S = {0,1,2,3}. Obtenemos un espacio de probabilidad por medio de las siguientes asignaciones:

P(0) = 1/8 ; P(1) = 3/8 ; P(2) = 3/8 ; P(3) = 1/8

Sea A el evento en que aparece al menos una cara A = {1,2,3} y B el evento en que aparecen todas cara o todos sello B = {0,3}. Entonces;

P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/8 + 3/8 + 1/8 P(B) = P(0) + P(3) = 1/8 + 1/8

Ejemplo: Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera; A tiene doble posibilidad de ganar que B; y B el doble de posibilidades que C. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades?.

Sea P(C) = p P(B) = 2p P(A) = 4p ; por definición:

(20)

p + 2p + 4p = 1 7p = 1 p = 1/7 ; en consecuencia:

P(A) = 4p = 4(1/7) = 4/7 ; P(B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 ; P(C) = 1/7

¿cuál es la probabilidad de que B o C ganen?

P({B,C}) = P(C) + P(B) = 1 = (1/7) + (2/7) = 3/7

Espacios finitos equiprobables

Se denomina

espacio equiprobable

o

uniforme

el espacio S en el cual cada punto tiene la misma probabilidad. En particular si s contiene n puntos muestrales, entonces la probabilidad de cada punto es

1/n

. además si un evento A contiene r puntos entonces su probabilidad es

**r * (1/n) = (r/n)**

. Más explícito la probabilidad de A es el número de elementos de A, es decir, el número de formas en las que a puede ocurrir, entre el número de elementos de S, el número de maneras en que s puede suceder.

Ejemplo: Una baraja francesa corriente está constituida por 52 cartas (S). El experimento constituye en seleccionar una carta

Sea A = {picas}, sea B = {figuras ; figuras son J, Q o K}

Calcular P(A); P(B) y P(A ∩ B).

Como se puede intuir la probabilidad de sacar cualquier carta es la misma para todas las cartas; es decir el espacio S es equiprobable; todas las cartas tienen la misma oportunidad de ser seleccionadas

P(A) = (# picas) / (# cartas) ; P(A) = (13 / 52) = 1/4 P(B) = (# figuras)/(# cartas) ; P(B) = (12/52) = 3/13

P(A ∩ B) = (# picas que a su vez son figura)/(# cartas) = 3/52

Ejemplo: sean dos artículos escogidos de un grupo de 12; de los cuales 4 son defectuosos.

Sean A = {dos artículos defectuosos} y B = {dos artículos no defectuosos}

Determinar P(A) y P(B).

(21)

S puede suceder de 

 

2 12

maneras = 66 maneras, es decir el número de veces que se pueden escoger 2 artículos de un total de 12

A puede suceder de 







 2 4

maneras = 6 maneras, es decir las formas en las que se puede escoger 2 artículos defectuosos entre un total de 4 defectuosos

B puede suceder de 







 2 8

maneras = 28 maneras, es decir cuántas formas de escoger 2 artículos no defectuosos entre un total de 8.

Luego P(A) = 6/66 = 1/11 ; P(B) = 28/66 = 14/33

¿cuál será la probabilidad de al menos obtener un artículo defectuoso?

C = {al menso uno es defectuoso} ; es decir el complemento de B; C = B^c ; por definición

[T2]P(C) = P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – (14/33) = 19/33

Espacios muestrales infinitos

Sea S un espacio muestral infinito contable; S = {a1, a2, …}. Obtenemos un espacio de probabilidad asignando para cada ai ∈ S un número real pi, denominado su probabilidad, tal que

(i) cada

p

i

>= 0

(ii)

1

∑

^∞

=

= i

p

i

La probabilidad P(A) de un evento S es entonces la suma de las probabilidades de sus puntos muestrales.

(22)

Ejemplo: Considérese el

lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; n denota el número de veces en que se lanza la moneda. Un espacio de

p(1) = 1/2 ; p(2) = 1/4 ; …

revisión los espacios muestrales infinitos no contables que se referirán son los correspondientes a medidas geométricas finitas m(S

volumen y en los cuales se

evento A es entonces definida como la relación de m(A) a m(S); es decir P(A) = longitud de A / longitud de S ; o

P(A) = área de A / área de S ; o P(A) = volumen de A / volumen de S

Ejemplo: Sobre la línea real R, se selecciona al azar los puntos a y b tal que (

Hallar la probabilidad P para que la distancia entre d entre a y b sea mayor que 3 El espacio muestral consta de todos los pares ordenados [a,b] y forma así la región rectangular que se muestra en el diagrama.

: Considérese el espacio muestral S = {1,2,3, …,

∞

}, del experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; n denota el número de veces en que se lanza la moneda. Un espacio de probabilidad se obtiene designando:

(2) = 1/4 ; ….. p(n) = 1/2ⁿ ; … p(

∞

) = 0. Para los efectos de esta revisión los espacios muestrales infinitos no contables que se referirán son los correspondientes a medidas geométricas finitas m(S), tales como longitud, área o volumen y en los cuales se selecciona un punto al azar. La probabilidad de un evento A es entonces definida como la relación de m(A) a m(S); es decir

longitud de A / longitud de S ; o P(A) = área de A / área de S ; o P(A) = volumen de A / volumen de S

: Sobre la línea real R, se selecciona al azar los puntos a y b tal que ( -2 <= b <= 0 ) y ( 0 <= a <=3 )

Hallar la probabilidad P para que la distancia entre d entre a y b sea mayor que 3 El espacio muestral consta de todos los pares ordenados [a,b] y forma así la región rectangular que se muestra en el diagrama.

, del experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; n denota el número de veces en

probabilidad se obtiene designando:

Para los efectos de esta revisión los espacios muestrales infinitos no contables que se referirán son los ), tales como longitud, área o La probabilidad de un evento A es entonces definida como la relación de m(A) a m(S); es decir

: Sobre la línea real R, se selecciona al azar los puntos a y b tal que

Hallar la probabilidad P para que la distancia entre d entre a y b sea mayor que 3 El espacio muestral consta de todos los pares ordenados [a,b] y forma así la

(23)

de aquellos puntos de S que caen por debajo de la recta x triángulo sombreado en el diagrama. En consecuencia;

p = P(A) = (área de A) / (área de S) = (2/6) = (1/3) Un espacio de probabilidad finito o infinito contable se dice que es Un espacio no contable se dice que es no discreto.

Probabilidad condicional e independencia

Sea E un evento arbitrario

probabilidad de que un evento A suceda después que ha sucedido E; en otras palabras; la probabilidad condicional de A dado E

como sigue:

Como se aprecia en el

probabilidad de ocurrencia de A bajo la condición o hipótesis que tal ocurrencia puede depender de eventos de E. Dicho de otra forma la probabilidad de ocurrencia de A si se sabe que E ocurrió.

Si S es un espacio finito equiprobable y #A de un evento A; entonces:

P(A

∩

E)

= #

P(A|E) = P(A

de S que caen por debajo de la recta x – y = 3, indicada por el triángulo sombreado en el diagrama. En consecuencia;

p = P(A) = (área de A) / (área de S) = (2/6) = (1/3) Un espacio de probabilidad finito o infinito contable se dice que es Un espacio no contable se dice que es no discreto.

Probabilidad condicional e independencia

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(E) > 0.

probabilidad de que un evento A suceda después que ha sucedido E; en otras la probabilidad condicional de A dado E, expresado

P(A|E) = P(A

_∩

E) / P(E)

Como se aprecia en el diagrama de Venn, P(A|E) en cierto sentido mide la probabilidad de ocurrencia de A bajo la condición o hipótesis que tal ocurrencia puede depender de eventos de E. Dicho de otra forma la probabilidad de ocurrencia de A si se sabe que E ocurrió.

i S es un espacio finito equiprobable y #A denota el número de elementos de un evento A; entonces:

= #

P(A

∩

E)

/ #S ; P(E) = (#E / #S) ; luego

P(A|E) = P(A

∩

E) / P(E) = P(A|E) = #(A

∩

E) / #E

y = 3, indicada por el

p = P(A) = (área de A) / (área de S) = (2/6) = (1/3)

Un espacio de probabilidad finito o infinito contable se dice que es discreto.

de un espacio muestral S con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda después que ha sucedido E; en otras , expresado P(A|E), se define

diagrama de Venn, P(A|E) en cierto sentido mide la probabilidad de ocurrencia de A bajo la condición o hipótesis que tal ocurrencia puede depender de eventos de E. Dicho de otra forma la probabilidad de

el número de elementos

/ #S ; P(E) = (#E / #S) ; luego

E) / #E

(24)

Veamos esta ilustración; en un muestreo sin reemplazo, de una población de n elementos 1, 2, …, n; se toma una muestra ordenada. Sean i y j dos elementos diferentes. Si suponemos que i es el primer elemento extraído (evento E); la probabilidad de que el segundo elemento sea j (evento A) estará condicionado por el hecho que la segunda elección estará restringida a una población de n -1 elementos, por lo que P(A|E) = 1 / (n -1). Como puede verse la probabilidad de a queda afectada por la escogencia primera (evento E).

Ejemplo: Sea el experimento de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es seis, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dados sea el dos?

E = {(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)} ;

A = {(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (1,2) , (3,2) , (4,2) , (5,2) , (6,2)}

#(A

∩

E) = 2 ; #E = 5 ; P(A|E) = 2/5

Como ya habrán notado S comprende todas las posibles combinaciones, a saber 36 elementos posibles.

Ejemplo: Consideremos las familias que tengan dos hijos. Si denotamos respectivamente v por varón y m por mujer; y consideramos el orden de nacimiento, tenemos cuatro posibilidades vv, vm, mv y mm. Así asociamos la probabilidad de 1/4 a cada uno.

Dado que una familia tiene un varón (evento E); ¿cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean varones (Evento A)?

P(A|E) = 1/3.

Teorema de la multiplicación para la probabilidad condicional

De la ecuación que define la probabilidad condicional más el hecho que

(A

∩

E) = (E

∩

A)

obtenemos:

P(E

∩

**A) = P(E) * P(A|E)**

de seguidas es inmediato concluir que para los eventos A₁ , A₂ , ... , A_n :

P(A

1∩

A

2∩

, ...,

^∩

A

n

) =

P(A

1

) P(A

2

|A

1

) P(A

3

|A

1∩

A

2

)... P(A

n

|A

1∩

A

2

...

∩

A

n-1

)

(25)

otro tres artículos del lote. ¿Cuál es la probabilidad p que todos los artículos estén buenos.

La probabilidad de que el primer artículo esté bueno es 8/12.

La probabilidad de que el próximo no sea defectuoso será 7/11, les resultará obvio que el muestreo es sin reemplazo

Ya que los dos primeros no han sido defectuosos la probabilidad del tercero será de 6/10.

Así, por teorema de la multiplicación p = (8/12)*(7/11)*(6/10) = 14/55.

Procesos estocásticos finitos y diagrama de árbol

Una sucesión finita de experimentos es los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se denomina un proceso estocástico (finito). Una manera práctica de describir tales procesos y calcula la probabilidad de un evento se obtiene mediante su representación en forma de diagrama de árbol, en el cual las trayectorias dibujadas por las ramas conllevan a la probabilidad del evento.

Ejemplo:

Sean las siguientes tres cajas:

caja (1) contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas, caja (2) contiene seis con una defectuosa,

caja (3) contiene respectivamente 8 y 3.

Escogemos al azar una caja y luego al azar una lámpara. ¿Cuál es la probabilidad p que la lámpara escogida sea defectuosa?.

Puede verse la realización de dos experimentos consecutivos hasta llegar a la lámpara; (i) escoger una de las tres caja (al azar) y (ii) escoger una lámpara.

Podemos representar este proceso como:

(26)

Obsérvese que las trayectorias de las ramas del árbol indican la probabilidad de los diferentes resultados posibles. Si la caja tomada al azar fue la (1) la probabilidad de obtener una lámpara defectuosa es de 2/5; en el caso

será de 3/8. La probabilidad de la ruta será la multiplicación de las probabilidades en ella; por ejemplo caja (1) y lámpara defectuosa será (1/3)*(2/5) = 2/15 (teorema de la multiplicación). Teniendo en cuenta que todas las trayectorias son mutuamente excluyentes la probabilidad total será la suma de las probabilidades de las diversas trayectorias que culminan en una lámpara defectuosa; a saber (1/3)(2/5) + (1/3)(1/6) + (1/3)(3/8) = 118/360

Particiones y teorema de Bayes

Supóngase que los

espacio muestral S; esto es los A Sea B otro evento y

B = donde los eventos Ai∩

B P(B) = P(A

1∩

B) + P(A

Obsérvese que las trayectorias de las ramas del árbol indican la probabilidad de los diferentes resultados posibles. Si la caja tomada al azar fue la (1) la probabilidad de obtener una lámpara defectuosa es de 2/5; en el caso

será de 3/8. La probabilidad de la ruta será la multiplicación de las probabilidades en ella; por ejemplo caja (1) y lámpara defectuosa será (1/3)*(2/5) = 2/15 (teorema de la multiplicación). Teniendo en cuenta que todas las trayectorias son mutuamente excluyentes la probabilidad total será la suma de las probabilidades de las diversas trayectorias que culminan en una lámpara defectuosa; a saber (1/3)(2/5) + (1/3)(1/6) + (1/3)(3/8) = 118/360

Particiones y teorema de Bayes

Supóngase que los eventos A1 , A2 , .. , An forman una partición de un espacio muestral S; esto es los Ai son mutuamente excluyentes y su unión es S.

B =

(S

∩

B) =

(

A

1∪

A

2∪

...

∪

A

n

)

∩

B B

son mutuamente exclusivos; entonces

B) + P(A

2∩

B) + ... + P(A

n∩

B)

Obsérvese que las trayectorias de las ramas del árbol indican la probabilidad de los diferentes resultados posibles. Si la caja tomada al azar fue la (1) la probabilidad de obtener una lámpara defectuosa es de 2/5; en el caso de ser la (3) será de 3/8. La probabilidad de la ruta será la multiplicación de las probabilidades en ella; por ejemplo caja (1) y lámpara defectuosa será (1/3)*(2/5) = 2/15 (teorema de la multiplicación). Teniendo en cuenta que todas las trayectorias son mutuamente excluyentes la probabilidad total será la suma de las probabilidades de las diversas trayectorias que culminan en una lámpara defectuosa; a saber

forman una partición de un son mutuamente excluyentes y su unión es S.

(27)

P(B) = P(A

1

) P(

Por otra parte, para cualquier i

P(A Teorema de Bayes

Si en (2) reemplazamos P(B)

obtenemos el postulado del teorema de Bayes:

Supóngase A1 , A2 , .. , A Entonces para cualquier i

Ejemplo: tres máquinas A, B, C; producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%, respectivamente. Si se selecciona un artículo al azar; y este res

probabilidad que provenga de

Sea X el evento artículo defectuoso; dibujemos el árbol de las probabilidades, sólo por tener más claro el problema

) P(B|A

1

) P(A

2

) P(B|A

2

) + ... + P(A

n

) P(B|A

Por otra parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de A_i dado B se define:

P(A

_i

| B) = P(A

_i ∩

B) / P(B)

(2)

Si en (2) reemplazamos P(B) con (1) y usamos P(A_i ∩ B) obtenemos el postulado del teorema de Bayes:

, .. , An es una partición de S y que B es cualquier evento.

Entonces para cualquier i

tres máquinas A, B, C; producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%, respectivamente. Si se selecciona un artículo al azar; y este resulta ser defectuoso ¿cuál es la probabilidad que provenga de la producción de la máquina A? .

Sea X el evento artículo defectuoso; dibujemos el árbol de las probabilidades, sólo por tener más claro el problema

) P(B|A

n

)

(1)

dado B se define:

B) = P(A_i) P(B|A_i);

es una partición de S y que B es cualquier evento.

tres máquinas A, B, C; producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%, respectivamente. Si se ulta ser defectuoso ¿cuál es la

Sea X el evento artículo defectuoso; dibujemos el árbol de las probabilidades, sólo

(28)

En pocas palabras, dividimos la

defectuoso, proveniente de la máquina A), por la probabilidad del espacio muestral reducido; es decir el evento correspondiente a artículo defectu

las trayectorias que conducen a un artículo

Independencia

Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de ellos no está influenciada por la ocurrencia del otro. S

independientes (i)

P(B) = P(B|A)

, de lo cual se sigue que (ii)

P(A

∩

**B) = P(A)*P(B)**

En pocas palabras, dividimos la probabilidad de la trayectoria pedida (artículo defectuoso, proveniente de la máquina A), por la probabilidad del espacio muestral reducido; es decir el evento correspondiente a artículo defectuo

las trayectorias que conducen a un artículo defectuoso.

Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de ellos no da por la ocurrencia del otro. Sean dos eventos A y B; al ser

**B) = P(A)*P(B)**

probabilidad de la trayectoria pedida (artículo defectuoso, proveniente de la máquina A), por la probabilidad del espacio muestral oso; o mejor todas

Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de ellos no ean dos eventos A y B; al ser

(29)

(i)

P(A

∩

**B) = P(A)*P(B)**

;

P(A

∩

**C) = P(A)*P(C)**

y

P(B

∩

**C) = P(B)*P(C)**

y en consecuencia:

(ii)

P(A

∩

B

∩

**C) = P(A)P(B)P(C)**

Ejemplo: Se lanza una moneda tres veces; obtenemos un espacio equiprobable S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

Consideremos los eventos:

A = {primeros lanzamientos son cara}

B= {segundos lanzamientos son cara}

C = {exactamente dos caras seguidas}

Del análisis se deduce lo siguiente:

(i) A y B son independientes, ya que la segunda cara en nada depende del resultado del primer lanzamiento

(ii) A y C son independientes ya que las dos caras seguidas pueden darse sea que se haya dado A o B, de forma indistinta

(iii) B y C son dependientes; ya que C sólo puede darse si se dan A y B; o si se da B y a continuación otro lanzamiento de cara.

Comprobamos:

P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/2 ; P(C) = 1/4 ... luego:

P(A∩B)=P{ ccc, ccs } = 1/4 ; P(A∩C)= P{ ccc, } = 1/8 ; P(B∩C)= P{ ccs, scc } = 1/4 P(A)*P(B) = (1/2)*(1/2) = 1/4 = P(A∩B) => A y B son independientes

P(A)*P(C) = (1/2)*(1/4) = 1/8 = P(A∩C) => A y C son independientes

(30)

P(B)*P(C) = (1/2)*(1/4) = 1/8 ≠ P(B∩C) => B y C no son independientes

Variables Aleatorias

Una variable aleatoria

X

de un espacio muestral

S

es una función de S en el dominio de

R

, tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un evento o suceso de S.

Las variables aleatorias se clasifican:

Variables aleatorias discretas, definidas sobre conjuntos finitos o infinitos, contables;

Variables aleatorias continuas, definidas sobre intervalos acotados o infinitos en el espacio R en funciones continuas en el intervalo.

Distribución de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjunto de imagen finito; a saber X(S) = { x1 , x2 , ... , xn }. Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de xi como P(X=xi), denotada f(xi).

Esta función f de X(S) definida como f(xi) = P(X=xi), se llama función de distribución de probabilidad de X y se expresa generalmente

x

₁

x

₂

... x

_n

f(x1) f(x2) ... f(xn)

La distribución satisface las condiciones

(i)

f(x

1

) => 0

y (ii)

( ) 1

1

∑ =

= n

i

x

i

f

(31)

Sea x una variable aleatoria con función de densidad f(x). La media de la distribución para variables discretas es

tanto para el casi discreto como para el continuo, la media se llama valor esperado de x. Debe observarse que el valor esperado es la media aritmética y es típico sólo en este sentido. La probabilidad de que un valor de x sea menor que el valor esperado es igual a 1/2 sólo en para tipos de distribución muy especiales.

También debe notarse que el valor esperado es el más probable sólo para cierta clase de distribuciones.

A los efectos prácticos consideraremos que ante una situación en la cual se requiere definir un ganancia de capital, el valor esperado o esperanza será el producto del capital en juego por la probabilidad de obtenerlo o perderlo xi*f(xi).

Por ejemplo supongamos una lotería con un número de un millón de tickets, a razón de Bs. 1 por ticket; con un primer premio de bs. 100.000; y tres premios de Bs. 50.000 cada uno. Una persona que compre un billete tiene una ganancia esperada de:

E = (Bs.100.000/10

⁶

) + (Bs. 50.000(3/10

⁶

)) = Bs. 0,25

por tanto la consideración matemática es que no debería pagar más que Bs. 0,25 por el billete. Otro ejemplo: en una inversión de negocios hay una probabilidad de 0,6 de obtener como ganancia Bs. 300 y una probabilidad de 0,4 de perder Bs.

100. Determinar la esperanza

E = Bs. 3000,6 + (-Bs. 1000,4) = Bs. 140

∑

= n

i

f x

x

1

) (

*

(32)

Bibliografía

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y

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McGraw – Hill, 2008.

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