PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO.
2oCuatrimestre. Temas XVIII y XIX y XX de la Unidad Didáctica V
PROBLEMA 1
En el origen y en el punto A(0,0,d) se hallan situadas dos antenas idénticas en mag-nitud y fase. a) Demostrar que el factor de agrupación tiene el valor absoluto |f(θ)| = ¯
¯cos(1 2kd cos θ
¯
¯ . b) Representar para d = λ/2 los diagramas de radiación en los planos X=0 e Y=0, suponiendo las dos antenas isótropas. c) lo mismo cuando son dos dipolos paralelos de tamaño igual a media longitud de onda y orientados en la dirección OX pos-itiva. Recuerde que el campo magnético creado en la región de Fraunhofer por el dipolo situado en el origen viene dado por la expresión
Hx= jIoe−jkrcos(π cos α/2) sen α
Figura 1
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 2
Una agrupación lineal de cinco antenas isótropas separadas entre sí por la distancia d se colocan en el eje OY, en las posiciones (0,md,0) con m = 0, 1, 2, 3, 4, tal como se indica en la figura. Las corrientes están en fase y tienen valores respectivos I1, I2, ....I5dados por la relación Im+1= Io µ 4 m ¶ con m=0,1,2,3,4
a) Demostrar que el factor normalizado de la agrupación es |f(θ)| = [cos(kd/2 cos θ)]4
b) Represente el diagrama de radiación en el plano z = 0. Tome d = λ/2 c) Halle la anchura del lóbulo principal.
Figura 2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 4
Según la Unidad Didáctica V de electromagnetismo de la UNED, el campo magnético en la zona de radiación (aproximación de primer orden por desarrollo en multipolos) tiene la expresión: Ho= − ωk 4π [p × ur] e−jkr r siendo p= Z V r0ρ(r0)dV
Kraus, por su parte, da como expresión del campo magnético lejano de una antena de dipolo corto de longitud l
Hϕ=
jωIol exp [j(ωt − βr)] sen θ
4πcr = j
Ioβl
4πr exp [j(ωt − βr)] sen θ a) Justifique que ambas expresiones son equivalentes.
b) Calcule la directividad de esta antena de dipolo corto.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 5
El factor de agrupación de un ‘‘array’’ de n antenas se define por f (θ) = sen (nΨ/2)
sen (Ψ/2) con Ψ = δ + kd cos θ
¿Como se define el factor normalizado? ¿Porqué es más útil? Dos antenas presentan un factor de agrupación normalizado
F (θ) = cos [(1 + cos θ)π/4]
¿Cuál es la separación de las antenas? ¿Cuál es la diferencia de fase?
caso de que sean antenas dipolo λ/2 PROBLEMA 6
Dos antenas isótropas idénticas, alineadas sobre la recta θ = 0 y separadas por una distancia d = mλ , emiten con una diferencia de fase δ. Su diagrama de radiación presenta nulos en cuatro direcciónes θ, tales que sen θ vale 3/4 ó -1/4
a) Determine m y δ
b)Dibuje el diagrama polar de radiación del sistema. PROBLEMA 7
Se dispone de n antenas isótropas idénticas alineadas sobre la recta θ = 0. Su sepa-ración mútua es d = mλ y pueden emitir con una diferencia de fase δ entre dos contiguas sucesivamente. A partir del diagrama de radiación adjunto, determine n, m y δ
Figura 7
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 8
Consideremos la radiación de una antena lineal de longitud λ/2, alimentada por una destribución senoidal de corriente I(z, t) = Iocos(kz) exp jωt con k = 2π/λ. Los resul-tados obtenidos en el párr.19.3 de la Unidad Didáctica 5 pueden alcanzarse considerando la antena como una sucesión de dipolos elementales alineados Idz. La contribución al campo de radiación (zona de Fraunhoffer) creado en un punto P lejano, a una distancia r en la dirección θ del dipolo situado en B viene dada por
dEθ(r, θ, t) =
j60πI(z, t)
a) Qué significado físico tiene la presencia de j =√−1
b) Demuestre que la suma de todas estas contribuciones conduce al campo eléctrico total, que tiene la sóla componente
Eθ(r, θ, t) = Eo(r, t)f (θ) siendo f (θ) = cos [(π/2) cos θ] sen θ y Eo(r, t) = j60Io r exp [j(ωt − kr)]
c) Represente el diagrama de radiación del campo E normalizado y compárelo con el del dipolo hertziano.
d) Halle la directividad de la antena.
Figura 8 AYUDA: Z eαzcos βzdz = e αz α2+ β2[α cos βz + β sen βz] Z π o cos2[(π/2) cos θ] sen θ dθ = 1, 219 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 9
La figura 9 respresenta el diagrama de radiación conjunta de dos antenas isótropas idén-ticas que emiten con una longitud de onda λ, con un desfase δ y separadas una distancia d = mλ.
normalizado
F (θ) = 1 N
sen (nΨ/2) sen (Ψ/2)
con Ψ = δ + kd cos θ, y aplíquelo al caso concreto del problema. b) Determine δ y m.
Siendo θ el ángulo que forma la dirección considerada con la recta que determinan las antenas.
Figura 9
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 10
El diagrama de radiación de dos antenas isótropas idénticas es el representado en la figura 10a. Si la longitud de onda es de 100 m, halle la separación entre las antenas y la diferencia de fase con que emiten.
b) Ocho antenas isótropas idénticas que emiten en fase se colocan en la forma que indica la figura 10b, lo cual equivales a tener cuatro antenas de intensidad relativa 1:3:3:1. El diagrama de radiación que se obtiene si la separación entre antenas contiguas es λ/2, es el representado. Halle la expresión del factor de agrupamiento y con ello justifique la forma y características específicas del diagrama. Compárelo con el que producirían las ocho antenas colocadas en fila.
Figura 10a Figura 10b − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 11
Las figuras 11a y 11b son los diagramas de radiación del campo eléctrico de las dos agrupaciones de antenas que se señalan.
a) Determine en cada caso, los datos que faltan, es decir, la separación d entre las antenas y la diferencia de fase con que emiten.
b)Defina el parámetro anchura de lóbulo principal αo. Calcule su valor aproximado para las dos agrupaciones dadas.
PROBLEMA 12
En la figura 12 se muestra el diagrama de radiación de dos antenas isótropas identicas que emiten con una longitud de onda λ y un desfase δ. La distancia que las separa es d = mλ.
a) Calcule λ y δ.
b) Defina ‘‘anchura de lóbulo a 3dB’’ y hállela para el lóbulo más pequeño del diagrama. c) Defina la directividad de una antena. ¿Cómo podría calcularla aproximadamente en este caso?
Figura 12
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
PROBLEMA 13
El diagrama de potencia de una agrupación de seis antenas isótropas idénticas es el que muestra la figura 13.
a) Determine el desfase con que emiten las antenas y la separción entre ellas. b) Halle la intensidad relativa al máximo principal de los otros lóbulos c) Halle la anchura de banda a 3dB del lóbulo principal.
Figura 13
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 14
El factor de agrupación normalizado de n antenas con alimentación uniforme, sepa-ración d, diferencia de fase δ y longitud de onda λ, es
F (θ) = ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n sen(nΨ/2) sen (Ψ/2) ¯ ¯ ¯ ¯ con Ψ = δ + kd cos θ.
En la figura 14 se representa esta función para el caso n = 5.
a) Dibuje con precisión razonable el diagrama de radiación de esta agrupación con δ = 0 y d = λ/2
b) Lo mismo para δ = π/2 y d = λ/4
En ambos casos describa las características más destacadas y calcule los ángulos de los mínimos.
c) Qué condición debe existir entre d y λ, en el caso n = 5 para que el diagrama presente únicamente un lóbulo?
Figura 14
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 15
El factor de agrupación normalizado de n antenas con alimentación uniforme, sepa-ración d, diferencia de fase δ y longitud de onda λ, es
F (θ) = ¯ ¯¯ ¯1n sen(nΨ/2) sen (Ψ/2) ¯ ¯¯ ¯ con Ψ = δ + kd cos θ.
En la figura 14 se representa esta función para el caso n = 5.
a) ¿Qué valor debe de tener δ para que el máximo principal se halle en la dirección θ = π/2 (‘‘broadside array’’ – transversal)? ¿Y para que aparezca en la dirección θ = 0 (‘‘endfire array’’–longitudinal)?
b) Si se define la anchura del lóbulo principal como el ángulo 2α entre los dos nulos adyacentes, halle su expresión aproximada para n grande (o sea, para α ¿ 1) en los dos tipos de agrupación anteriores, comprobando que es inversamente proporcional a n en el primer caso y a √n en el segundo.
c) Represente el factor de agrupación en función de Ψ para el caso n = 2. − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 16
Dos Dipolos 1 y 2, de ejes paralelos al eje OZ, están situados en los puntos (0,0,0) y (d,0,0), y soportan corrientes de intensidades I y −2I respectivamente. El campo que en el plano OXY crea el dipolo 1 es, como se sabe, proporcional a I exp(−jkr)/r, siendo r =px2+ y2la distancia de un punto lejano en la dirección que forma con el eje OX un ángulo φ.
a) Demostrar que la intensidad de la radiación en dicha dirección es proporcional a A − B cos(kd cos φ), siendo A y B números enteros que debe determinar.
numéricos necesarios, entre ellos los de las direcciónes de máximos y mínimos y los de las intensidades respectivas.
c) Determinar la anchura de banda a 3db en grados sexagesimales.
Figura 16
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 17
Se tiene un agrupamiento lineal de n=7 antenas de alimentación uniforme, con una separación entre ellas de d = 5 m, una diferencia de fase δ = π/2, y que emiten con una longitud de onda λ = 10m.
Dibuje con precisión razonable en un papel polar, el diagrama de radiación de dicha agrupación. Indique en cualquier caso las características más destacadas y dé los ángulos donde se situan máximos y mínimos. Compare las magnitudes en dB del lóbulo principal y del secundario de mayor intensidad. En la figura 17 se representa el factor de forma normalizado para una agrupación de siete elementos.
Figura 17
PROBLEMA 18
Se dipone de cuatro antenas idénticas de intensidad Io cuya fase relativa es ajustable y que emiten con longitud de onda λ. Se colocan alineadas con una separación d = λ/m (m entero) entre dos contiguas y emiten con una diferencia de fase consecutiva δ. Halle los valores más sencillos de m y δ de modo que la mayor parte de la energía emitida se concentre en una sola dirección o haz. ¿Cuál es la intensidad máxima alcanzable? Dibuje la forma del diagrama de radiación en estas condiciones.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 19
Determinar el factor de agrupación de dos antenas colocadas en el eje X, separadas por una distancia d = mλ, siendo λ la longitud de onda, y que emiten isotrópicamente en el plano XY cuando las amplitudes de las ondas emitidas por ambas antenas está en la relación 1:A y presentan una diferencia de fase δ. ¿Qué valores de δ, de A y de m producen cada uno de los diagramas de potencia de radiación siguientes?
Figura 19
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 20
Dos antenas isótropas 1 y 2 situadas en el plano XY, emiten ondas electromagnéticas con una frecuencia de f = 300MHz, una diferencia de fase δ, y amplitudes A1 = 1 y A2 = A. La primera antena se halla en el origen de coordenadas (0,0). ¿Cuál debe ser la posición (x2,y2) en centímetros de la segunda? ¿Y los valores de A y δ para obtener los siguientes diagramas de intensidad de la radiación resultante?
Figura 20
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 21
Se ha podido determinar una zona del diagrama de radiación de una agrupación lineal de n = 11 antenas isótropas idénticas que emiten a 10GHz (fig.21a). Aparece un máximo principal en θ = 60oy un nulo adyacente en θ = 70o (cos 70 = 0, 34202).
a) Determine la separación en centímetros y la diferencia de fase en grados sexagesi-males entre cada par de antenas contiguas.
b) Complete, con precisión razonable, el diagrama de radiación. Determine la posición del otro nulo que flanquea el máximo principal.
AYUDA: La gráfica de la función ganancia para n = 11 se representa en la figura 21b.
PROBLEMA 22
En un punto P1(−d/2, 0, 0) se coloca un dipolo que emite con una amplitud A y en el punto P2(d/2, 0, 0) se coloca otro dipolo cuya amplitud es ρA y cuya fase difiere en δ con respecto al primero. Los ejes de ambos dipolos son paralelos al eje 0Z y emiten con la misma longitud de onda λ = 10m. Halle los valores de ρ, δ y d que pueden dar lugar, en el plano XY, a cada uno de los diagramas normalizados de intensidad radiada siguientes:
NOTA: Obsérvese que en el último diagrama no hay nulos y que la intensidad relativa de los mínimos es 1/9
Figura 22 PROBLEMA 23
Se ha podido determinar una zona del diagrama de radiación de potencia en el plano XY de una agrupación lineal de n = 7 antenas isótropas idénticas que emiten a 10MHz
(fig.23a). Aparece un máximo principal en θ = 60oy un nulo adyacente en θ = 77, 6o (cos 77, 6 = 0, 2147).
a) Determine la separación en metros y la diferencia de fase en grados sexagesimales entre cada par de antenas contiguas.
b) Complete, con precisión razonable, el diagrama de radiación. Determine la posición del otro nulo que flanquea el máximo principal.
AYUDA: Las antenas están situadas en el eje X. La gráfica de la función ganancia para n = 7 se representa en la figura 23b.
PROBLEMA 24
La figura 24 representa el diagrama de radiación de campo de una batería de antenas isótropas. La anchura del lóbulo principal puede definirse como el ángulo, αo,que deter-minan las direcciones de los nulos adyacentes (BWFN), pero es más habitual tomar el que corresponde a las direcciones de la mitad de potencia, o sea a 3dB del máximo (HPBW). Este ángulo vale, 0,44αoen un sistema de radiación transversal largo y uniforme.
a) ¿Con qué diferencia de fase están emitiendo las antenas contiguas del agrupamiento de la figura?
b) Pruebe que para el lóbulo principal la BWFN vale aproximadamente 2λ/L radianes. ¿Está de acuerdo con el valor del gráfico?
c) La directividad de un sistema de antenas puede expresarse como D = 4π/ΩA, siendo ΩAel ángulo sólido que abarca el haz principal (se ignoran los lóbulos menores). Com-pruebe que aproximadamente para el sistema en estudio D = 22, 5.
Figura 24 PROBLEMA 25
Dos antenas isótropas idénticas situadas sobre un mismo meridiano a una distancia d = λ/memiten con una longitud de onda λ y un desfase δ. Se realizan medidas de intensidad a una cierta distancia fija mucho mayor que λ. Los observadores situados en las direcciones de los cuatro puntos cardinales perciben las señales con igual intensidad y se detecta un máximo de la intensidad en la dirección 60odel norte hacia el oeste.
a) Determine, con estos datos, el valor máximo de m y la diferencia de fase con que emite una antena con respecto a la otra.
b) Dibuje con precisión razonable y señalando los valores numéricos necesarios el dia-grama completo de la intensidad de la radiación.
Figura 25
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 26
Se tiene una agrupación de N antenas idénticas, siendo N muy grande. Demuestre que el nivel del primer lóbulo secundario contiguo a un lóbulo principas está 13,5 dB por debajo de éste. Admita, como hipótesis simplificadora, que cada máximo secundario se halla aproximadamente en medio de dos nulos consecutivos.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 27
Dos antenas isótropas situadas en O(0,0,0) y P(d,0,0) emiten con la frecuencia de 1MHz, en oposición de fase y con amplitudes de campo A1y A2 distintas. El diagrama de ra-diación de campo resultante, en un plano que contenga las dos antenas, tiene la forma que representa la figura. Halle
a) La relación A1/A2
b) La separación d en metros de las antenas c) La anchura de banda a 3 dB
PROBLEMA 28
En la figura 28 se observa el diagrama de radiación de campo de una batería de 40 antenas isótropas idénticas, espaciadas con d = λ/4. La anchura del lóbulo principal puede definirse como el ángulo que forman las direcciones de los nulos adyacentes (BWFN) o bien como el que determinan las direcciones de mitad de potencia (HPBW), o sea, a 3 dB del máximo.
a) ¿Con qué diferencia de fase están emitiendo las antenas contiguas
b) Demuestre que para el lóbulo principal, BWFN vale aproximadamente 114, 6p2λ/L siendo L la longitud total de la batería de antenas. Compruebe que HPBW es unos 2/3 de dicho valor.
La directividad de un sistema radiante viene dada por D = 4π/Ω, siendo Ω el ángulo sólido que abarca el haz principal. Estime aproximadamente D (en dB), considerando el haz principal definido por las direcciones de potencia mitad.
Figura 28
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 29
Ocho antenas isótropas idénticas que emiten en fase se agrupan tal como indica la figura adjunta, lo cual equivale a un sistema de cuatro antenas que producen campos de intensi-dades relativas 1:3:3:1
a) Halle la expresión del factor normalizado de agrupación. Dibuje el diatrama de ra-diación.
b) Compárelo con el que producirían las ocho antenas colocadas en fila y con el mismo espaciado λ/2. Señale las diferencias principales.
oPROBLEMA 30
Dos antenas isótropas idénticas, colocadas en las posiciones (-120m,0,0) y (120m,0,0), emiten con una longitud de onda λ = 240m. La segunda antena lleva un retardo de 0,3µs respecto de la primera. Dibuje el diagrama normalizado de intensidad de la radiación re-sultante, señalando los valores pertinentes (posición y magnitud de máximos y mínimos) y estimando la anchura de banda a 3dB de los lóbulos, en cada uno de los tres planos Z = 0, Y = 0 y X = 0.
PROBLEMA 31
Dos planos perfectamente conductores delimitan un ángulo diedro recto, en el que se coloca un dipolo eléctrico elemental paralelo a su arista. El diagrama de radiación de campo que resulta es el que muestra la figura 31. Decida, argumentando su respuesta, si la distancia
h del dipolo a la arista es 0,5λ, 1,0λ o 1,5λ. ¿Qué aspecto tendría el diagrama en los otros
dos casos?
Figura 31
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 32
Un sistema está formado por un dipolo elemental situado en el origen de coordenadas p= pocos ωtuz.Obtenga las expresiones explícitas de los campos eléctrico y magnético en la zona de radiación. Calcule la potencia radiada. (po= 2, 4 · 10−6C/m; f = 1MHz)
PROBLEMA 33
Por una espira de radio a situada en el origen de coordenadas, circula una corriente I = Iocos ωt. La espira es lo suficientemente pequeña comparada con la longitud de onda de la oscilación para poder suponer que la amplitud de la corriente es la misma en todos los puntos de la espira. Obtenga las expresiones explícitas de los campos eléctrico y magnético en la zona de radiación. Calcule la potencia radiada (a = 20 cm; Io= 75 A; f = 30 MHz).
PROBLEMA 34
Si se desea tener a una distancia de 10Km de una antena de media longitud de onda, en su plano ecuatorial una intensidad de campo eléctrico de 1V/m, encontrar la potencia que debe ser radiada por la antena y la amplitud de corriente de la antena.
Una antena lineal simétrica está situada a una altura h sobre la superficie plana de la tierra. Considerando la tierra como un conductor perfecto, determinar el menor valor de h para que la radiación sea máxima a un ángulo como el que muestra la figura.
Figura 35
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − PROBLEMA 36
Dos antenas lineales de media longitud de onda están dispuestas sobre el eje Y separadas por una distancia d = l/4. Las antenas se alimentan por señales desfasadas π/2 de amplitud Imy frecuencia 1MHz. Teniendo en cuenta que el factor de agrupación para una alineación en el eje Y es:
F (θ, ϕ) = sen (nΨ/2)
sen (Ψ/2) con Ψ = δ + kd sen θ sen ϕ En el plano ecuatorial calcular:
a) Los campos de radiación
b) ¿Para qué dirección es máxima la radiación? ¿Y mínima? Dibujar de manera aprox-imada el diagrama de radiación.
c) ¿Qué valor debe tener Impara que en la dirección de máxima radiación la potencia media recibida por unidad de ángulo sólido sea de 1Kw?
PROBLEMA 37
Dos antenas de media longitud de onda se encuentran sobre el eje Y separadas por una distancia d=l/4 Las antenas se alimentan por señales desfasadas en π/4, de amplitud Imy frecuencia 1MHz.
Figura 36
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − En el plano ecuatorial, calcular
a) Campos de radiación
b) Dibujar de manera aproximada el diagrama de radiación. ¿Para qué dirección es máxima? ¿Y mínima?
c) ¿Qué valor debe de tener Impara que en la dirección de máxima radiación y a una distancia de 10 Km, la potencia media recibida por unidad de ángulo sólido sea de 1Kw?
