Fracciones

(1)

FRACCIONES

SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

FRACCIONES

FRACCIÓN

: Se denomina fracción o quebrado a: Se denomina fracción o quebrado a una de las varias partes en que se considera la una de las varias partes en que se considera la unidad. unidad. b b a a = = f

f Donde: Donde: a: a: numerador numerador b b :denominador:denominador

Q={ Q={

b

aa

/ / aa

∈

ZZ

∧∧

bb

∈

Z , Z , bb

≠≠

0 0 }}

CLASES DE FRACCIONES

* Por Comparación de sus términos.

1)

1) Fr

Frac

acci

ción

ón PPro

ropi

pia.

a.--

CuaCuando ndo el el numnumereradador or eses menor que el denominador, es decir:

menor que el denominador, es decir: Si: Si: b b a a = = f

f es una fracción propia, entonces a< b.es una fracción propia, entonces a< b.

Ejemplos : Ejemplos :

5

3

;;

7

2

;;

11

8

8 2)

2) Fr

Frac

acció

ción

n Im

Impr

prop

opia.

ia.--

Cuando el numerador esCuando el numerador es mayor que el denominador, es decir:

mayor que el denominador, es decir: Si: Si:

b

aa

=

f

es es una una frafracciócción n impimproropiapia, , ententonconceses a>b. a>b. Ejemplos: Ejemplos:

2

7

;;

5

12

;;

9

17

**

Por su denominador.

1) Fracción Ordinaria o

Común.-1) Fracción Ordinaria o Común.-

Cuando elCuando el denomi

denominador es diferennador es diferente de 10 te de 10 ó ó de una de una potepotenciancia de 10. de 10. Ejemplos: Ejemplos:

8

7

;;

4

25

;;

9

17

17 22)

)

FFrraaccccio

ionnees

s De

Deccim

imal

alees.

s.--

CCuuaannddo o eell denominador es 10 ó

denominador es 10 ó cualquier potencia de 10.cualquier potencia de 10. Ejemplos: Ejemplos:

10

13

;;

100

531

;; 10 10 31 31 5 5

**

Por grupo de fracciones

1)

1) Fr

Frac

acci

cion

onees

s Ho

Homo

mogé

géne

neas

as.-

.-

CCuauandndo o loloss denominadores son iguales.

denominadores son iguales. Ejemplos: Ejemplos:

7

4

;;

7

9

;;

7

20

so

son n frfracacciciooneness homogéneas.

homogéneas.

2)

2) Fr

Frac

accio

cione

nes

s He

Hete

tero

rogé

géne

neas

as.-

.-

CuCuanando do loloss denominadores son diferentes.

denominadores son diferentes. Ejemplos: Ejemplos: 9 9 5 5 ;; 4 4 7 7 ;; 5 5 11 11 so

son n frfracacciciononeses heterogéneas.

heterogéneas.

Fracción

Irreductible.-Fracción Irreductible.-

Son aquellas fraccionesSon aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (PESI), en caso cuyos términos son primos entre sí (PESI), en caso contrario se dice que es reductible.

contrario se dice que es reductible. Ejemp

Ejemplo: Las lo: Las fracciofraccionesnes

9 9 1 1 ,, 5 5 7 7 son irreductibles, son irreductibles, mi

mienentrtras as quque e lalas s frfracacciciononeses

20 20 4 4 ,, 21 21 36 36 son son reductibles. reductibles.

Fra

Fraccio

cciones

nes Equi

Equivale

valente

ntes.-

s.-

UUna na ffrraacccciión ón eses equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes.

pero sus términos son diferentes. Ejemplo: Ejemplo: 7 7 4 4 == 28 28 16 16

son fracciones equivalentes. son fracciones equivalentes. En general: En general: b b a a es es equivalente equivalente si si :: b.k b.k a.k a.k , , con con kk

∈

Z.Z.

Número

Mixto.-Número Mixto.-

Es aquel que consta de una parteEs aquel que consta de una parte entera y una fraccionaria.

entera y una fraccionaria. Ejemplos: Ejemplos:

5

1

2

;;

7

2

5

;;

3

1

1 PROPIEDAD DE FRACCIONES

PROPIEDAD DE FRACCIONES

1)

SSi i a a lolos s ttérérmmininos os de de ununa a ffraraccccióión n se se leless mul

multiptipliclica a o o divdivide ide por un por un mismismo mo númnúmeroero, , lala fracción no se altera. (Fracción e

fracción no se altera. (Fracción equivalente)quivalente)

2)

De dos o más fracciones homogéneas, es mayorDe dos o más fracciones homogéneas, es mayor la que presenta mayor numerador.

(2)

3)

De dos o más fracciones heterogéneas que presentan un mismo numerador es mayor la que presenta menor denominador.

Ejemplo: De las fracciones

6

5

;

6

7

;

6

13

la mayor es

6

13

y la menor es 6 5

. mientras que las fracciones 21 4 ;

35

4

;

13

4

la mayor es

13

4

y la menor es

35

4

.

MCD y MCM de Números Fraccionarios.-

Si:

b a , d c , f e

son fracciones irreductibles, entonces:

f)

;

d

;

(b

MCM

e)

;

c

;

(a

MCD

=

MCD

f)

;

d

;

(b

MCD

e)

;

c

;

(a

MCM

=

MCM

Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 16 12 , 9 42 y 8 9

Solución:

Las fracciones deben ser necesariamente irreductibles:

4

3 =

16

12

;

3

14 =

9

42

;

8

9 =

8

9

Luego:

24

1 =

8)

;

3 ;

(4

MCM

9)

;

14 ;

(3

MCD

=

MCD

126 =

8)

;

3 ;

(4

MCD

9)

;

14 ;

(3

MCM

=

Aplicación:

Hallar los 2/7 de 4/8 de 5/3 de 84 Solución:

7

2

.

8

4

.

3

5

.84 =

21

84 .

5

=20

¿Qué fracción es una Cantidad de otra.?

Ejemplo: ¿Qué parte es la región sombreada de la no sombreada?

Solución:

Podemos interpretar: ¿Qué parte es 1/4 de 3/4.?

3

1 =

3 .

4

4 .

1 =

4 /

3

4 /

1 











Es la tercera parte o un tercio.

NÚMEROS DECIMALES.-

Al dividir los términos de una fracción irreductible, se obtiene un número decimal, puede tener una cantidad de cifras decimales limitada (Decimal Exacto) o una cantidad de cifras ilimitada (Decimal Inexacto)

Conversión de Fracciones a decimales

Numero decimal Decimal Exacto Decimal Inexacto Periódico Puro Periódico Mixto

(3)

1. Decimal Exacto.-

Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando del denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5. Ejemplos: 0,52 = 5 13 = 25 13 2 2,875 = 2 23 = 8 23 3 0,155 = 5 . 2 31 = 200 31 2 3

Fracción Generatriz.-

La fracción generatriz de una fracción decimal exacto será igual al número formado por las cifras decimales dividida entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal.

Ejemplos: * 0,75= 4 3 = 100 75 * 2,225= 40 89 = 1000 2225 En general: 10 s abcde... = de...s abc, n cifras n   

2.-

Decimal Inexacto

2.1Decimal Inexacto Periódico Puro.-

Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplo: 3 0, = 0,333... = 3 1

45 0,

=

.

0,4545....

=

11

5 Fracción Generatriz.-

La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico puro está dado por el número formado por las cifras del período dividido entre tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo: 0,75 = º 75 = 25 99 33

2.2.Decimal Inexacto Periódico Mixto.-

Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente. Ejemplo: 18 0,193 = 8... 0,19318181 = .11 2 17 = 88 17 3 54 0,829 = 88 73

⇒

3 cifras no periódicas

⇒

2 cifras periódicas

Fracción Generatriz.-

La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico mixto estará dado por el números formado por la parte no periódica, seguida de la parte periódica menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tengan la parte no periódica.

Ejemplos: * 0,95454... = 0,954 22 21 = 990 945 = 990 9 -954 * 0,80681818...=0,80681=

88

71 =

99000

79875

=

99000

806 -80681

PROBLEMAS

(4)

1.Un ingeniero ha valorizado los 2/5 de un muro de 3260 soles. ¿Cuál es el precio de todo el muro?

a) 8150 b) 9150

c) 10150 d) 7150 e) 11150

2.Calcular el precio de un rollo de alambre, sabiendo que su mitad, sumada con sus 2/3 partes y 5/8 cuesta 387 soles.

a) 385 b) 400

c) 218 d) 216 e) 214,8

3.¿Qué frente tiene una casa si sus 13/20 excede a su cuarta parte en 7 metros 1/2?

a) 18,10 m b) 18,00 m c) 18,50 m d) 18,75 m e) 18,25 m

4.Se ha repartido una herencia entre tres personas; a la primera le tocó la cuarta parte; a la segunda 1/3 de la herencia y a la última 15000 soles ¿A cuánto asciende la herencia?

a) 28000 b) 40000 c) 36000

d) 35000 e) N.A.

5.Después de construir los 2/7 de un cimiento, se fabrican los 3/5 del resto. ¿Qué longitud tiene el cimiento, si todavía faltan construir 23m?

a) 85,50m b) 78,50m

c) 80,50m d) 80, 25m e) 80,75m 6.Un armario y una mesa cuestan juntos,

625 soles. El precio de la mesa es los 2/3 del precio del armario. Hallar la diferencia de los precios de ambos muebles en soles. a) 250 b) 125 c) 75 d) 375 e) 145 7.Simplificar: 5 1 9 1 2 3 3 1 5 ₈ ₆ ₃ 3 3







_{ }

_

−

+ −



_{ }

_













a) 1/3 b) 3 c) 5 d) 1/5 e) 3/5 8.Hallar “a” en:

1,a

+

2,a

+

3,a

+

4,a

a) 3 b) 9 c) 7

d) 8 e) 5

9.¿Cuántas fracciones de la forma n/144, n

∈

¥ _{tal que sea mayor que 1/3 y menor} que 5/3?

a) 201 b) 181 c) 180

d) 191 e) 190

10. Una bola cae desde la altura de 160m; después de cada rebote se eleva nuevamente hasta una altura igual a la mitad de la altura de la cual cayó. ¿A qué altura se elevará la bola después de haber rebotado por cuarta vez?

a) 20 b) 5 c) 10

d) 25 e) 28

11. ¿En cuanto tiempo se llenará un estanque, si un caño A llena el estanque en 4 horas, un segundo caño B lo hace en 6 horas. Ambos empezaron a funcionar al mismo tiempo y cuando el estanque estaba vacío?

a) 2,0 h b) 2,6 h c) 2,4 h d) 2,5 h e) 2,8 h

12. ¿En cuánto tiempo se llenaría el estanque del problema anterior, si la segunda llave B en lugar de llenarlo en 6 horas, la vacía en ese tiempo?

a) 6h b) 9h c) 10h

d) 12h e) 8h

13. Hallar una fracción propia e irreductible m/n sabiendo que la fracción equivalente a 1/m +1/n tiene como producto de sus términos igual a 840.

a) 5/7 b) 4/7 c) 1/3

(5)

14. Si a y b son naturales y a b 0,711,» 3

+

37

=

hallar b – a. a) 16 b) 11 c) 13 d) 10 e) 15 15. Si: 5 x 0,x09¼ 37

+

27

=

, entonces 2 x es igual a: a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.

16. Hallar el numerador de la fracción equivalente a 13/19 tal que la suma de sus términos (mumerador y denominador) sea 160. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho numerador.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

17. Sabiendo que una fracción es equivalente a 119/133 y que la suma de sus términos es un múltiplo de 45 comprendido entre 600 y 800, hallar la suma de las cifras del denominador.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

18. La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto de dichos racionales.

a) 4/7 b) 5/7 c) 7/3 d) 3/7 e) 2/7 19. Si: a 7 y a b 40. b

=

3

+ =

Hallar a- b a) 12 b) 28 c) 16 d) 14 e) 13

20. ¿Cuántas fracciones de la forma ab/ba son equivalentes a: ¼ 0,571428 a) 3 b) 5 c) 4 d) 8 e) 9 21. Sumar a 1/2 los 2/3 de 41 5 restar de

esta suma la mitad de 3/5 ; dividir esta diferencia entre el resultado de sumar a 1/4 los 5/4 de 1/3.

a) 9/4 b) 9/5 c) 33/10

d) 9/2 e) N.A.

22. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de 7?

a) 7/9 b) 11/9 c) 4/9

d) No le falta nada e) N.A.

23. Al disminuirle una misma cantidad a los dos términos de una fracción a/b resulta el inverso multiplicativo de dicha fracción ¿Cuál es dicha cantidad? a) a – b b) b c) a

d) a + b e) N.A.

24. Si a los dos términos de una fracción se añade 1, el valor de la fracción es 2/3 y si a los dos términos se les resta 1, el valor de la fracción es 1/2 . Hallar el numerador de la fracción original.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

25. Hallar una fracción equivalente a 0,375 tal que el producto de sus términos sea 384. Dar como respuesta el resultado de restar el denominador y numerador de la fracción pedida.

a) 15 b) 10 c) 30

d) 20 e) 35

TAREA DOMICILIARIA

26. Dos jugadores entran al juego con una misma suma de dinero. El primero pierde los 2/3 de su capital y el segundo los 3/4. Al retirarse el primero tiene S/. 15 más que el segundo. Dar como respuesta la suma de los capitales de los jugadores antes de entrar a dicho juego.

a) 480 b) 90 c) 240

d) 180 e) 360

(6)

un prado en 3 horas; el segundo hermando puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres en 6 horas. ¿Qué tiempo emplearán si lo hacen conjuntamente?

a) 4/3 h b) 5/3 h c) 7/3 h d) 2 h e) 13/3 h

28. Una bola de pimpón después de tocar una mesa de mármol por cuarta vez, se, eleva 1,50 cm. Se desea saber desde qué alturá se dejó caer sabiendo que cada vez que rebota, se eleva hasta la tercera parte de la cual cayó.

a) 115, 5 cm b) 110,5 cm

c) 112,5 cm d) 121,5 cm e) 120,5 cm 29. Calcular cuánto se le debe restar al

numerador y denominador de una fracción (que son diferentes) para que se obtenga el inverso multiplicativo de dicha fracción.

a) 0

b) La suma del numerador y el denominador.

c) La diferencia entre el numerador y el denominador.

d) El producto del numerador por el denominador

e) El cociente del mumerador entre el denominador.

30. Un tubo puede llenar un depósito en 2 horas y otro menos grueso en 3 horas, mientras un desagüe puede vaciarlo totalmente en 4. Con los 3 tubos abiertos, el depositó se llenará en:

a) 12/7 h b) 10h c) 11/7h d) 1 hora e) 1 h y 7 min.

31. A y B hacer una obra en 3 días, B y C en cuatro y A y C en cinco. ¿En cuántos días puede hacerlo A trabajando solo? a) 10d b) 7 1 d

17 c) 7d

d) 15d e) 8 1 d 18

32. Se tienen dos cajas de fósforos; se usa de la primera 2/7 del total y de la segunda 1/5 de su total. Los fósforos usados de la primera son once más que la segunda y queda en la primera caja el doble de fósforos que en la segunda. ¿Cuántos fósforos quedan en total?

a) 10 b) 20 c) 40

d) 52 e) 60

33. Calcular el valor de “a +b” en: 0,ab

+

0, ba)

−

0,1

=

1,3

a) 4 b) 9 c) 11

d) 15 e) 17

34. Se deja caer una pelota desde una alura de 9m y que al rebotar alcanza una altura igual a los 3/4 de la altura del rebote anterior. ¿Luego de cuántos rebotes alcanzará la altura de 2217m

256 ?

a) 3 b) 4 c) 2

d) 5 e) 6

35. ¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo denominador es 12, cumplen con la condición que sean mayores que 2/7 pero menores que 5/7?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

36. Hallar una fracción equivalente a 32/144; sabiendo que la suma de sus términos es 154.

a) 40/104 b) 48/106 c) 28/126 d) 36/118 e) 60/94

37. ¿Cuántas fracciones cuyo denominador es 60; son mayores que 4/3 pero menores que 13/4?

a) 114 b) 113 c) 112

d) 111 e) 115

38. ¿Cuántas fracciones propias, cuyos términos son consecutivos, son menores que 0,75?

(7)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39. Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13/4

a) 1/3 b) 2/3 c) 4/9

d) 2/9 e) 2/5

40. Cuántas fracciones propias de la forma: ab

75 son irreductibles

a) 90 b) 35 c) 40

d) 45 e) 50

41. Los obreros A, B y C hacen una obra en 18 días; A y B hacen la misma obra en 30 días. En cuántos días hace la obra C trabajando solo.

a) 50 b) 60 c) 90

d) 84 e) 45

42. ¿Qué hora es cuando han pasado los 5/8 de los 2/3 de los 4/5 del día?

a) 16h b) 12h c) 13h

d) 10h e) 8h

43. Un vendedor ambulante ha vendido los 2/5 de una talega de limones, luego 1/2 del resto y finalmente los 2/3 del nuevo resto. Si entonces tiene 48 limones ¿Cuántos tenía al principio?

a) 480 b) 250 c) 310 d) 155 e) 180 44. Si la fracción ab bb es equivalente a 3 11 , hallar b –a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

45. Hallar la suma de los términos de una fracción irreductible cuyo valor no cambia si le añadimos a la vez 4 al numerador y 10 al denominador.

a) 13 b) 7 c) 8

d) 11 e) 5

46. ¿Cuántos fracciones irreductibles existen tales que sean menores a 11/12, mayores a 4/5 y cuyos denominadores sean 120 ?

a) 7 b) 6 c) 5

d) 4 e) 3

47. ¿Cuál es la última cifra decimal de ₄₂₄1 5 ?

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8 48. Hallar el valor de:

1 1 1 1 S 1 4 4 7 7 10 28 31

= + +

+ +

×

L

×

a) 12 29 b) 13 41 c) 15 37 d) 16 33 e) 10 31 49. Hallar la suma de:

( )

1 1 1

S ... doce sumandos 2 4 8

= + + +

Dar el valor del numerador del resultado.

a) 4095 b) 2048 c) 2047