47__aplicaciones de Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables

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APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES (OPTIMIZACIÓN)

En esta sección se resolverá algunos ejercicios de aplicación de los criterios de las derivadas parciales para funciones de dos variables (se debe tomar en cuenta los teoremas respectivos explicados en la sección anterior).

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. SeaP x y( 0, 0) un punto crítico de una funciónz = f x y( , ) con

las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y seaH x y( 0, 0) el

determinante de su matriz Hessiana, entonces: 2 2 0 0 0 0 2 0 0 ₂ ₂ 0 0 0 0 2

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

f x y

x

x y

H x y

f x y

y x

y

⎡

∂

⎤

⎢

_∂

_{∂ ∂}

⎥

⎢

⎥

=

⎢

_∂

⎥

⎢

⎥

∂ ∂

∂

⎣

⎦

0 0 ( , ) H x y fxx( ,x y0 0) TIPO

Positivo Positivo Mínimo

Positivo Negativo Máximo

Negativo Punto de silla

Cero Duda

Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo dafxx(x y0, 0), si es

negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el Hessiano es negativo no hay extremo. Y si el Hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) (b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

[ ]

1

;

2

;

3

...

xx xy xz xx xy xx yx yy yz n yx yy zy zy zz

f

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

Δ =

_⎢

_⎥

Δ =

_⎢

_⎥

Δ

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en P x y( ₀, ₀)

ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo

0 0

( , ) 0

xx

f x y < ), entonces la función tiene un máximo enP x y( ₀, ₀)

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150 Mínimos y Máximos Absoluto En esta sección se desea optimizar una función, que es identificar el mínimo absoluto y

/ o el máximo absoluto de la función, en una región determinada en 2

R . Tenga en

cuenta que cuando decimos que vamos a estar trabajando en una región en la 2

R queremos decir que vamos a estar mirando a alguna región en el plano x y. Con el fin de optimizar una función en una región que vamos a tener que conseguir un par de definiciones de un medio y un hecho. Primero vamos a obtener las definiciones de un medio. Definiciones

1. Se llama cerrado si incluye su frontera. Una región se llama abierta si no incluye ningún límite de sus puntos.

2. Una región en _R2_{. Se llama acotada si se puede estar completamente contenida en}

un disco. En otras palabras, una región será limitada si es finito.

Pensemos un poco más sobre la definición de cerrado. Dijimos que una región se cierra si se incluye su frontera. Justo lo que significa esto? Pensemos en un rectángulo. A continuación se presentan dos definiciones de un rectángulo, uno se cerrado y la otra está abierta. 5 3 5 3 : : 1 6 1 6 x x cerrado abierta y y − ≤ ≤ − < < ⎧ ⎧ ⎨ _{≤ ≤} ⎨ _{< <} ⎩ ⎩ En este primer caso no se permite el rango para incluir los puntos finales (es decir, no estamos incluyendo los bordes del rectángulo) y por lo que no se permitió a la región para incluir todos los puntos en el borde del rectángulo. En otras palabras, no se permitió a la región para incluir a su límite y por lo que es abierto.

En el segundo caso, estamos permitiendo que la región que contiene los puntos en los bordes y así contendrá toda su límite y por lo tanto se cierra.

Esta es una idea importante por el hecho siguiente. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Si z= f x y( , )es continua en algunos cerrado, acotado D en_R2_{a continuación, hay}

puntos en D, f x y( ,1 1) y f x y( 2, 2)y de manera que f x y( ,1 1) es el máximo absoluto y

2 2

( , )

f x y es el mínimo absoluto de la función en desarrollo.

Tenga en cuenta que este teorema no nos dice que el mínimo o máximo absoluto se producirá Sólo nos dice que van a existir. Tenga en cuenta también que el mínimo

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absoluto y / o máximo absoluto se puede producir en el interior de la región o puede ocurrir en la frontera de la región.

PROCESO BÁSICO PARA ENCONTRAR EXTREMOS ABSOLUTOS FUNCIONES DE DOS VARIABLES

1. Buscar todos los puntos críticos de la función que se encuentran en la región D y determinar el valor de la función en cada uno de estos puntos.

2. Buscar todos los extremos de la función en la frontera.

3. Los valores de mayor a menor y se encuentran en los dos primeros pasos son el mínimo y el máximo absoluto de la función.

EJERCICIOS RESUELTOS.

1. Determine los tres números positivos cuya suma sea 24 de modo que su producto sea el mayor posible.

Dejar ,x y y z como los tres números positivos cuya suma es 24. Sea P su producto.

24; 24

x+ + =y z z = − − . x y

Entonces

(

)

(

)

2 2

, 24 24

P x y = xyz= xy − −x y = xy−x y−xy Si x≥24 o y≥24 o x= 0

ó y= , entonces 0 P≤ . Por lo tanto el máximo de P se produce en un momento 0

critico dentro del cuadrado 0≤ ≤x 24, 0≤ ≤y 24.

( )

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 , 24 2 , 0; 24 2 0 , 24 2 , 0; 24 2 0 x x y y P x y y xy y P x y y x y P x y x x xy P x y x x y = − − ⇒ = − − = = − − ⇒ = − − =

Porque x>0,y> , el único punto critico es 0

( )

8,8 que da el máximo absoluto.

Entonces z = , y así los tres números positivos son 8, 8 y 8. Alternativamente, ver 8

ejercicio 26.

2. Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo más pequeña posible.

Supongo que lo números no son todos iguales. Reemplazamos los mas pequeños, por

ejemplo x, y el mas largo, digamos y de dos números a y xy

a con el mismo

producto. Se muestra que la suma se reduce. De hecho

(

)

xy ax ay a2 xy

(

a x

)(

y a

)

x y a a a a − − + − − ⎛ ⎞ + −_⎜ + _⎟= =

⎝ ⎠ . Porque x es el más pequeño

y y es el más grande, entonces a− >x 0 y y− > . Ya que cada paso introduce un a 0

nuevo plazo de a, en la mayoría de n medidas de disminución de suma llegamos al

caso de todos los términos de igualdad. En particular, si el producto de tres números

positivos es de 24, la suma por lo menos es que cada número es 3

24. Para probar el

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152

suma y demostrar que el producto se incrementa. De hecho

(

)

(

)(

)

0

a x+ −y a −xy= a−x y−a > .

3. Encuentre el punto del plano 3x+2y− = que esté más cerca al punto z 5

(

1, 2, 3−

)

, y calcule la distancia mínima.

Dejar w unidades de la distancia desde el punto

(

1, 2, 3−

)

a un punto

(

x y z, ,

)

en el plano 3x+2y− −z 5;z=3x+2y− . 5

Entonces 2

(

) (

2

) (

2

)

2 2

(

) (

2

) (

2

)

2

1 2 3 ; 1 2 3 2 8

w = x− + y+ + z− w = x− + y+ + x+ y− .

Porque w será de un mínimo cuando _w2_{es un mínimo, buscamos el valor mínimo}

absoluto de

(

1, 2, 3−

)

. Porque f x y

(

,

)

≥100 cuando

(

x−1

) (

2+ y+2

)

2 ≥100 el

mínimo debe ocurrir en un punto crítico dentro del círculo

(

x−1

) (

2+ y+2

)

2 =100.

(

)

(

) (

)( )

(

)

(

)

(

) (

)( )

(

)

, 2 1 2 3 2 8 3 20 12 50. , 0;10 6 25 , 2 2 2 3 2 8 2 12 10 28. , 0; 6 5 14 x x y y f x y x x y x y f x y x y f x y y x y x y f x y x y = − + + − = + − = + = = + + + − = + − = + = El único punto crítico es 41, 5 14 7 ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ que debe ser el mínimo absoluto. Entonces 33 14 z = .

Por lo tanto, el punto más cercano en el plano de

(

1, 2, 3−

)

es 41, 5 33,

14 7 14 ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y la distancia mínima es de 2 2 2 41 5 33 9 1 2 3 14 14 7 14 14 ⎛ ₋ ⎞ _{+ − +}⎛ ⎞ ₊⎛ ₋ ⎞ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 4. Determine los puntos de la superficie 2 4 y −xz= que estén más cerca al origen, y calcule la distancia mínima. Sea F el cuadrado del número de unidades entre el origen y cualquier punto

(

x y z, ,

)

en el hiperboloide de una hoja 2 4 y −xy= . La distancia es de un mínimo cuando F es

un mínimo. Hemos 2 2 2 2 2

4 _x 2 _y 2

F =x + y +z =x +z +xz+ ⇒F = x+ ⇒z F = z+x.

Por lo tanto, x=0 y z=0 es el único punto crítico de la función, y cuando x= =z 0,

que tenemos F = . 4

Nos muestran que 2 es el valor mínimo absoluto de F .

Considerar una esfera de radio 3, que cruza el plano xz en un círculo de radio 3. Este

círculo con su interior es un conjunto cerrado y acotado de R y así, F tiene un valor mínimo absoluto en R . Porque F tiene el valor 3 en el límite de R y 3 es mayor que 2, entonces el mínimo absoluto de F en R no puede ocurrir en la frontera. Por lo tanto, el mínimo absoluto de F sobre R debe ocurrir en el punto crítico. Por otra

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valor mínimo absoluto de F para todos los puntos. Además, si x=0 y z=0, hemos

2 4 y = . Por lo tanto, la distancia de 2 se produce en los puntos

(

0, 2, 0

)

y

(

0, 2, 0−

)

. Solución alternativa: Completar el cuadrado de x, tenemos 2 2 1 3 4 4 2 4 F =⎛_⎜x+ z⎞_⎟ + z + ≥ ⎝ ⎠ Y la igualdad se da si y solo si 1 0 2

x+ z= y z=0, es decir, es decir, si y solo si x=0 y

0

z= . Por consiguiente F tiene un valor mínimo absoluto de 4 cuando x=0 y z=0.

5. Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide 2 2 2

4 4 4

x + y + z = y el

plano x−4y− = que estén más cerca del origen, y calcule la distancia mínima. z 0

Sea w unidades de la distancia desde el punto P x y z

(

, ,

)

del elipsoide

2 2 2

4 4 4

x + y + z = al origen. Entonces 2 2 1 1 2

4

y +z = − x de modo que

2 2 2 2 2 1 2 3 2

1 1

4 4

w =x +y +z = x + −⎛_⎜ x ⎞_⎟= x +

⎝ ⎠ que tiene un valor mínimo absoluto de 1

cuando porque x=0. Porque P se encuentra sobre el elipsoide y en el plano

4 0

x− y− = , nos encontramos con la coordenadas y y z de P resolviendo el z

sistema 2 2 1, 4 0 y +z = y+ = . Entonces z 4 ; 2 16 2 1; 1 ; 4 17 17 z= − y y + y = y= ± z= m . Los puntos son 0, 1 , 4 17 17 ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 1 4 0, , 17 17 ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.

6. En una fábrica, los trabajadores se han clasificado en dos maneras: A y B . Los trabajadores tipo A ganan $14 por jornada, mientras que los del tipo B ganan $13 . Para alcanzar cierta producción en una jornada, se ha determinado aumentar los

salarios de los trabajadores, si se emplean x trabajadores del tipo A y y del tipo B ,

encontrar el número de dólares del costo de la jornada es _y3+_x2−₈_xy+₆₀₀_.

¿Cuántos trabajadores de cada tipo deben emplearse a fin de que el costo de la jornada sea un mínimo si se requieren por lo menos tres trabajadores de cada tipo para una jornada? 3 2 14 13 8 600, 3, 3, C = x+ y+y +x − xy+ x≥ y≥ x y y enteros.

(

)

(

)(

)

2 2 2 14 2 8 0, 4 7 13 3 8 0 0 3 8 4 7 13 3 32 69 3 23 3 3, 7 x y C x y x y C y x y y y y y y y x = + − = = − ⇒ = + − = = − − + = − + = − − ⇒ = = o 23 71 2 6 8 12 64 3 3 xx yy xy y= ⇒ =x ⇒C = ⇒C = y⇒C = − ⇒D= y−

(6)

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154

( )

7, 3 18

( )

7, 3 24 yy C = ⇒ D = − punto de silla. 71 23 71 23 , 46 28 3 3 3 3 yy C ⎛_⎜ ⎞_⎟= ⇒ D⎛_⎜ − ⎞_⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , mínimo relativo. En

71 23 , 590.2 3 3 C ⎛ _{⎞ ⇒ =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y las curvas de nivel son aproximadamente 1

(

2 2

)

2 2 2 16 46 8 23 2 z= h − hk+ k =h − hk+ k .

Elegimos z = y completar el cuadrado de h para obtener una representación 1

paramétrica. Por lo tanto

(

)

2 2 1 4 7 4 cos 7 h k k k sen θ h k θ = − + ⇒ = ⇒ = + . 71 23 4 cos 3 7 3 7

x = + sen θ + θ ⇒ =y +sen θ . Vemos que el punto entero más

cercano

(

24,8

)

se encuentra fuera la curva, pero

(

25,8

)

se encuentra en el interior.

De hecho, C

(

24,8

)

=592 pero C

(

25,8

)

=591 es el mínimo.

7. Una inyección de x miligramos de cierto medicamento A y y miligramos del

medicamento B produce una respuesta de R unidades, y 2 3

(

)

R=x y c− −x y , donde

c es una constante positiva. ¿Qué dosis de cada medicamento ocasionarán la

respuesta máxima?

(

)

2 3 2 3 3 3 2 4_, _0, ₀ R= x y c− −x y =cx y −x y −x y x≥ y≥ . Si x≥c y, ≥c x, = , o 0 y= , 0 entonces R≤ . Tanto, el máximo que buscamos ha de producirse en un punto crítico 0 dentro del cuadrado 0≤ ≤x c, 0≤ ≤ . y c 3 2 3 4 2 3 2 x R = cxy − x y − xy y ₃ 2 2 ₃ 3 2 ₄ 2 3 y R = cx y − x y − x y .

(

)

(

)

3 2 2 0; 2 3 2 0; 3 2 0; 3 3 4 0; 3 4 3 x y R = xy c− x− y = x+ y= ⇒c R = x y c− x− y = x+ y= c El único punto crítico es cuando 1 1 3 2 x= c⇒ =y c. Por lo tanto, la respuesta máxima es cuando 1 3c mg de droga A y 1 2c mg de B se inyecta.

8. Suponga que t horas después de la inyección de x miligramos de adrenalina la

respuesta es de R unidades, y t

(

)

R=te− c−x x, donde c es una constante positiva.

¿Qué valores de x y t producirán la respuesta máxima?

Dejar R t x

( )

, =te−t

(

c−x x

)

. Parcial de diferenciación, se obtiene

( ) (

, 1

) (

t

)

t

(7)

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1, 0

t= x = o x=c. Si R t x_x

( )

, =0, entonces o bien t=0 o 1

2 x= c. Los puntos críticos son

( ) ( )

0, 0 , 0, c , y 1,1 2c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. El dominio de R es el conjunto cerrado, pero son límites

{

( )

t x, :t≥0, 0≤ ≤x c

}

.

Para demostrar que 1 1 1 2 2

1, 0.09

2 4

R⎛_⎜ c⎞ =_⎟ e c− ≈ c

⎝ ⎠ es un valor máximo absoluto,

considere la cerrada y acotada D=

{

( )

t x, : 0≤ ≤t 2, 0≤ ≤x c

}

.

En los tres lados de la frontera t=0,x= , y 0 x=c tiene el valor 0. Porque

(

)

1 2 1 2

4 2

c−x x= c −⎛_⎜x− c⎞_⎟

⎝ ⎠ a continuación, en el lado t=2, hemos

( )

_2, ₂ 2

(

)

1 2 2 _0.07 2 _1,1

2 2

R x = c− c−x x≤ c c− ≈ c < ⎜R⎛ c⎞_⎟

⎝ ⎠.

Por lo tanto R tiene un valor máximo absoluto en D que debe ocurrir en el punto

crítico interior. Además, porque

( )

t

(

1

)

t 0

t

D te− = −t e− < para x>1, entonces _te−t_es

decreciente para t>1. Por lo tanto, para cualquier punto

( )

t x, fuera de D tenemos

( )

_, t

(

)

₂ 2

(

)

( )

_2, R t x =te− c−x x< e− c−x x<R x . Por lo tanto el máximo absoluto en D es un máximo absoluto de todo el dominio de R. Por lo tanto, la máxima respuesta se produce cuando t=1 y 1 2 x= c.

Alternativamente R t x

( )

, =g t h x

( ) ( )

, donde g t

( )

=te−t,t≥0 y

( ) (

)

, 0

h x = c−x x ≤ ≤x c. Porque g y h son positivos, maximizamos cada función por

separado.

( ) (

1

)

t

g t′ = −t e−

Porque g t′

( )

>0 donde 0≤ <t 1 y g t′

( )

<0 si t>1, entonces g tiene un valor

máximo absoluto cuando t=1.

( )

2 h x′ = −c x Porque h x′

( )

>0 si 0 1 2 x c ≤ < y h x′

( )

<0 si 1 2c< ≤ , entonces x c h tiene un valor máximo absoluto cuando 1 2 x= c. Así, R tiene un valor máximo absoluto cuando t=1 y 1 2 x= c. 9. Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide 2 2 2

36x +9y +4z =36 si las aristas deben ser paralelas a los ejes

coordenados.

Dejar 2 , 2wl y 2h el número de unidades de la longitud, anchura y altura,

respectivamente, del paralelepípedo P . Continuación, en el octante el vértice de P

(8)

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156

(

)

2 2 2 2 9 2 2 36 9 4 36; 4 4 4 h h ω ω + + = = − − l l . Si V unidades cúbicas es el volumen de P, entonces V =

( )( )( )

2_l 2

ω

2h =8_l

ω

h. Dejar

(

)

2 2 2 2 2 2

(

2 2

)

(

2 2 4 2 2 4

)

, 64 144 4 4 144 4 4 f _l ω =V = _l ω h = _l ω − _l −ω = _l ω − _l ω −_l ω

El dominio de f es la región cerrado y acotado por el circulo 2 2

4_l +ω =4, y

(

,

)

0 f _l

ω

= en la frontera. Tanto el máximo que buscamos ha de ocurrir en un interior de puntos críticos.

(

_,

)

_{144 8}

(

2 ₁₆ 3 2 ₂ 4

)

(

_,

)

_{144 8}

(

2 ₈ 4 ₄ 2 2

)

f_l _l ω = _lω − _lω − _lω ⇒ f_ω _lω = _l ω− _l ω− _l ω

(

_,

)

₀ ₂₈₈ 2

(

₄ ₈ 2 2

)

₀ ₈ 2 2 ₄ f_l _l ω = ⇒ _lω − _l −ω = ⇒ _l +ω = (_l=0 o

ω

=0 da un punto frontera)

(

)

2

(

2 2

)

2 2 , 0 576 2 2 0 2 2 f_ω _lω = ⇒ _l ω − _l −ω = ⇒ _l +ω =

Por lo tanto

2 1 3 = l y 2 4 3 ω = . El único punto crítico, y por lo tanto el valor máximo absoluto, es cuando 1 3 = l y 2 3 ω= . Entonces 2 9 4 4 4 3; 3 4 3 3 h = ⎛_⎜ − − ⎞_⎟= h=

⎝ ⎠ y el volumen

máximo es 8 1 2

( )

3 16 16 3

3

3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ ₌ ₌

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ . Como alternativa, porque la suma

2 2 2

36_l +9ω +4h es una constante, el producto 81 2

(

2

)( )( )

2 2

36 9 4

4V = l ω h es mayor

cuando las condiciones son iguales, y así

2 2 2 1 2 36 9 4 12 , , 3 3 3 h h ω ω = = = ⇒ = = = l l .

10. Se elabora una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10 . Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0.30 por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse.

Dejar _lpie,ω pie, y h pie la longitud, anchura y altura del piso, de la caja 3

V pie el

volumen. Entonces .15_l

ω

+30 2

(

_lh+2

ω

h

)

=10, 3_l

ω

+12_lh+12

ω

h=200. Porque la

suma es constante, el producto 2

(

)(

)

432V = l3

ω

12_lh 12

ω

h es mayor cuando

3 2 2 2 200 200 500 3 12 12 432 2 3 3 27 10 5 2 2 3 6 h h h h h h h ω ω ω ω ω _ω ω ω ω ⎛ ⎞ = = = ⇒ =_⎜ _⎟ ⇒ = ⎝ ⎠ = = = ⇒ = l l l l l l l l

11. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de ₁₀_pie3_empleando

(9)

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pie cuadrado, el costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por pie cuadrado, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por pie cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea un mínimo.

Dejar _lpie,ω pie y h pie la longitud, anchura y altura, respectivamente, de la caja.

Que centavos C es el costo de los materiales. Entonces ωh 16 h 16

ω = ⇒ = l l y 256 192 18 16 12 18 C ω ωh h ω ω = _l + + _l = _l + +

l . Si l≥1000 y

ω

≥0.1 o l≥0.1 y

1000

ω

≥ , entonces C ≥18 1000 0.1

(

)( )

=1800. Si _l≤0.1, entonces

( )

2560.1 2560 C≥ = ; si

ω

≤1, entonces

( )

1920.1 1920 C ≥ = . Por lo tanto, el valor mínimo absoluto de C debe ocurrir en un momento crítico en el interior de la plaza 0.1≤ ≤_l 1000, 0.1≤ ≤ω 1000. 2 2 3 2 2 2 256 64 192 9 512 18 0 18 0 18 192 64 27 9 C C ω ω ω ω ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₋ _{= ⇒ =} ∂ ₌ ₋ _{= ⇒} ₋ _⇒ ₌ ⎜ ⎟ ∂ ∂ _⎝ _⎠ l l l l l l l

El único punto crítico, y por lo tanto el valor mínimo absoluto, es cuando 8

3 = l y 2

ω

= . Entonces h=3 y C=288.

12. Suponga que T grados es la temperatura en cualquier punto

(

x y z, ,

)

de la esfera

2 2 2 4 x +y +z = , y T =100xy z2 . Obtenga los puntos de la esfera donde la temperatura es la máxima y también los puntos donde es mínima. Además, calcule la temperatura en estos puntos. Porque 2 2 2 4 y = −x − es una función de z x y z

( )

(

2 2

)

2 2 , 100 4 4 T x z = xz −x −z ⇒x +z ≤ (1) Así:

( )

(

)

(

2 2

)

(

2 2

)

, 100 2 4 100 3 4 x T x z = _⎣⎡xz − x +z −x −z ⎤_⎦= − z x +z − y

( )

(

)

(

2 2

)

(

2 2

)

, 100 2 4 100 3 4 z T x z = _⎣⎡xz − z +x −x −z ⎤_⎦= − z z +x − .

Si T x z_x

( )

, =0 y T x z_z

( )

, =0, hemos

(

2 2

)

3 4 0

z x +z − = (2)

(

₃ 2 2 ₄

)

₀

x z +z − = (3)

Si z=0, continuación de la ecuación (3) obtenemos x=0 o z= ± 2

Si x=0, continuación de la ecuación (2) obtenemos z=0 o z= ± 2

Si x≠0 y z≠0, entonces obtenemos ₃_x2+_z2− = y ₄ ₀ ₃_z2+_x2− = ₄ ₀

(4)

Las soluciones de la ecuación (4) son x= ±1 y z= ± . Usamos (1) para encontrar el 1

(10)

www

.

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Matematica1

158 Por lo tanto, T

( )

0, 0 = ⇒0 T

( )

0, 2 = ⇒0 T

(

0, 2− = ⇒

)

0 T

( )

2, 0 = ⇒0 T

(

−2, 0

)

=0 y

( )

1,1

(

1, 1

)

200

(

1, 1

)

(

1,1

)

200

T =T − − = ⇒T − =T − = − .

Porque 2 2

4

x +z ≤ es un conjunto cerrado y acotado y T tiene el valor 0 en el límite,

el máximo absoluto y el mínimo de T se encuentran en los puntos críticos. Además

2 ₂

y = cuando x= ±1 y z= ± . Por lo tanto, 200 grados es la mayor temperatura, y 1

esta temperatura se produce en los puntos

(

1,± 2,1

)

y

(

− ±1, 2, 1− . La menor

)

temperatura es −200 grados, que se produce en los puntos

(

1,± 2, 1− y

)

(

− ±1, 2,1

)

. Alternativamente, los extremos de la T se produce en el máximo de 2 T .

( )

2 _{2500 2} 2 2 2 ₂ 2 T = x y y x Porque la suma de los factores 2 2 2 2 2x +y +y +2z = es la 8

más grande una constante, el producto es cuando los factores son iguales, que es

cuando 2 2 2 1

( )

2 2 8 2 1, 2, 1

4

x =y = z = = ⇒ = ±x y= ± z= ± que conduce a la misma

conclusión.

13. Suponga que en la producción de cierto artículo se requieren x horas – máquina y

y horas – persona, y que el costo de producción está dado por f x y

(

,

)

, donde

(

)

3 2

, 2 6 500

f x y = x − xy+y + . Determine los números de horas – máquina y de horas – persona necesarios para producir el artículo al costo mínimo.

Cuando la producción de la mercancía requiere x horas máquinas y y horas –

persona, el costo de producción está dada por

( )

_, ₂ 3 ₆ 2 ₅₀₀ _0, ₀ f x y = x − xy+y + ⇒ ≥x y≥ .

( )

2 2 , 6 6 0; x f x y = x − y= y=x y

( )

2 , 6 2 0; 6 2 0; 0, 3 y f x y = − +x y= − +x x = x=

Los puntos críticos son

( )

0, 0 y

( ) ( )

3, 9 .f 0, 0 =500 y f

( )

3,9 =473. Ahora

(

)

2

(

) (

)

2

, 2 9 3 500

f x y =z x− + x−y + . Sí x≥10,f x y

( )

, ≥100 11

( )

+500 1600= >473; si 0≤ ≤x 10 y y≥60 entonces f x y

(

,

)

≥ −9 100

( ) ( )

+ 30 2+500=500>473. Por lo tanto, el mínimo absoluto debe ocurrir en un punto crítico dentro del rectángulo

0≤ ≤x 10, 0≤ ≤y 60, es decir, en

( )

3,9 .

14. Una tienda de ropa vende dos tipos de camisa que son similares pero que son elaboradas por diferentes fabricantes. El costo de la tienda para el primer tipo es de

$40 y el costo del segundo tipo es de $50 . Por medio de la experiencia, se ha

determinado que si el precio de venta del primer tipo es de x dólares y el precio de

venta para el segundo tipo es de y dólares, entonces el número de camisas del primer

tipo que se venden mensualmente es 3200 50− x+25y, y el de las del segundo tipo es

25x−25y. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada tipo de camisa a fin de obtener la

(11)

www

.

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Matematica1

Los beneficios son la unidad x−40 y −50.

(

)(

) (

)(

)

2 2 40 3200 50 25 50 25 25 3950 250 50 50 25 128, 000 3950 100 50 0 250 50 50 0 4200 50 0, 84 2 4450 50 0, 89 100 50 50 2500 0 x y x y x y xx yy xy P x x y y x y x y x xy y P x y P x y P P x x P P y y P P P D = − − + + − − = + − + − − ⇒ = − + = ⇒ = + − = + = − = = ⇒ + = − = = = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = >

El punto crítico es un máximo relativo. Ya que P es una cuádrica. También es un

máximo absoluto, vender la primera $84, el segundo en $89 para una ganancia de

$49.025.

15. Un decorador, quien es un monopolista, hace dos tipos de marcos para pinturas.

Por medio de la experiencia, el decorador ha determinado que si elabora x marcos del

primer tipo y y marcos del segundo tipo y los pone a la venta en una sala de

exhibición, pueden venderse por

(

100 2x−

)

dólares y

(

120 3y−

)

dólares cada uno,

respectivamente. El costo total de fabricación de estos marcos es

(

12x+12y+4xy

)

dólares. ¿Cuántos marcos de cada tipo debe producir para obtener la máxima utilidad, y cuál es esa utilidad?

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 100 2 120 3 12 12 4 2 4 3 88 108 4 4 88 0 4 6 108 0 3 2 4 48 0, 12 2 20 0, 10 4 4 8 12,10 x y x y x y yy yy P R C x x y y x y xy x xy y x y P x y P x y P P x x P P y y P P D = − = − + − − + + = − − − + + = − − + = ⇒ = − − + = ⇒ − = − + = = − = − = = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

Es un máximo relativo, ya que P es una cuádrica, es un máximo absoluto.

(

12,10

)

1064 P = . Producir 12 de tipo 1, 10 de tipo 2, con una ganancia de $1064 . 16. Demuestre que la caja rectangular de mayor volumen que puede colocarse dentro de una esfera tiene la forma de un cubo. Dejar P

(

12,10

)

=1064 unidades que el diámetro de la esfera, donde P

(

12,10

)

=1064 es una constante. Suponemos que el cuadro es un sólido rectangular y que la caja con mayor volumen se inscribe es la esfera. Si los lados de la caja tienen una longitud ,x y

y z unidades, y el volumen es V unidades cúbicas, a continuación v= xyz. Porque el

cuadro se inscribe en la esfera, una diagonal de la caja es de un diámetro de la esfera.

Por lo tanto 2 2 2 2

x +y +z =a . Eliminamos la variable z. Entonces

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

V = x y z =x y a −x −y . Dejar f la función definida por

(

)

2 2

(

2 2 2

)

2 2 2 4 2 2 4

,

f x y =x y a −x −y =a x y −x y −x y y el valor máximo de V se produce en el punto donde f tiene un valor máximo. Para encontrar el punto crítico de f fijamos derivadas parciales iguales a 0. Así,

(

)

2 2 3 2 4 , 2 4 2 0 x f x y = a xy − x y − xy = (1)

( )

2 2 4 2 3 , 2 2 4 0 y f x y = a x y− x y− x y = (2)

(12)

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.

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Matematica1

160

Eliminamos a de la ecuación del sistema en (1) y (2). Porque x≠ y 0 y ≠ , dividimos 0

la ecuación (1) por y y ecuación (2) por x. Esto se traduce en

2 3 3 2a xy−4x y−2xy = (3) 0 2 3 3 2a xy−2x y−4xy = (4) 0 Restando la ecuación (4) de la ecuación (3), tenemos 3 3 2x y 2xy 0 − + = . Dividiendo a

ambos lados por 2xy , obtenemos 2 2 2 2

0 x y y x y x − + = ⇒ = ⇒ = . Sustituyendo y = en la ecuación (1), tenemos x 2 3 5 5 3 2 1 1 2 4 2 0 2 6 3 3 3 3

a x − x − x = ⇒ a = x ⇒ =x a⇒ =y a. Se muestra que

6 1 1 1 3 , 3 3 3 27 f⎛_⎜ a a⎞ =_⎟ a ⎝ ⎠ es un valor máximo absoluto. Debido a que el domino de f es el cerrado y acotado en sí 2 2 2 x +y ≤a y f tiene el valor 0 en la frontera, entonces

f tiene un valor máximo que debe ocurrir en el punto crítico interior. Porque

2 2 2 2

x + y +z =a , a continuación, sustituyendo los valores encontrados para x y y ,

obtenemos 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3

z =a −x −y =a − a − a = a . Por lo tanto 1 3

3

x = a. Por lo

tanto x= = y concluimos que y z V tiene un volumen máximo si la caja está en la

forma de un cubo. Como alternativa, porque la suma de los factores de 2 2 2 2

V = x y z es

la constante 2 2 2 2

x + y +z =a el producto es mayor, cuando los factores son iguales,

por lo tanto, x= = y concluimos que y z V tiene un volumen máximo si la caja esta

en forma de un cubo.

17. Se elabora una caja sin tapa con una cantidad de material dada. Determine las dimensiones relativas de la caja que contenga el mayor volumen posible.

Dejar , wl y h el número de unidades de la longitud, anchura y altura de la caja. Sea S

unidades cuadradas que su superficie (S es una constante) y V unidades cubicas su

volumen.

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 3 2 2 2 , 0, 0 2 2 2 0 2 0 2 S w S w w S w h wh h V wh w w w V Sw w w S w w − − = + + ⇒ = ⇒ = = > > + + ∂ ₌ − − _{= ⇒ −} ₋ ₌ ∂ + l l l l l l l l l l l l l l l y

(

)

2 2 2 3 2 2 2 0 2 0 2 V S w w S w w w _w ∂ ₌ − − _{= ⇒ −} ₋ ₌

∂ l l_l₊ l l . Restando, se obtiene

2 =_w2 ⇒ =_w l l y así , 3 3 S S ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ es el único punto crítico. Entonces

1 2 3 S h= y 3 2 1 2 3 S V = ⎜ ⎟⎛ ⎞

(13)

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.

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Matematica1

(

)

(

)

0 2 w S w V w − = ≤ + l l l . Si

(

)

3 3 2 0.1 ₁ 0.1 2 20 2 3 S S _S _S w≤ S ⇒ ≤V = < ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ l

l y lo mismo si

0.1 S ≤

l . Por lo tanto, el volumen máximo absoluto se produce en un momento

crítico dentro del cuadrado 0.1 S ≤ ≤_l 10 S ⇒0.1 S ≤ ≤w 10 S. Es decir, cuando 1 : : 1 :1 : 2 w h= l . Como alternativa, porque la suma _lw+2_lh+2wh es una constante, el producto 2

( )( )(

)

4V = lw 2_lh 2wh es mayor cuando las condiciones son iguales. Por lo tanto w 2 h 2wh 1 2 2 :w h: 2 : 2 :1 h w = = ⇒ = = ⇒ = l l l l . 18. Un monopolista produce engrapadoras y grapas cuyas ecuaciones de demanda son 11 2 2

x= − p− q y y=19−2p−3q, donde la demanda de engrapadoras es 1000x si el

precio unitario es p dólares, y la demanda de grapas es de 1000 y cajas si el precio unitario por caja es q dólares. El costo de producción de cada engrapadora es de $2 , y el de cada caja de grapas es de $1. Demuestre que para obtener la máxima utilidad total, las engrapadoras deben ser gratuitas y las grapas deben ser costosas. Centro de actividad:

(

)(

) (

)(

)

2 2 2, 1 2 11 2 2 1 19 2 3 17 26 2 4 3 41 1 17 4 4 0 26 4 6 0 2 1 4 0, 4 9 9 2 0, 2 P q P q p q p q P p p q q p q p q p pq q P p q P p q P P p p P P q q − − ⇒ − − − + − − − = + − − − − = − − = ⇒ = − − = ⇒ − = − − = = − − = − + = =

Porque el único punto crítico no está en el dominio, el máximo es en la frontera. Si

2 13 46 0 26 3 41 26 6 0 3 3 p= ⇒ =P q− q − ⇒P′= − q= ⇒ =q ⇒ =P . Sí 2 0 17 2 41 0

q= ⇒ p− p − ≤ . Por lo tanto, el máximo beneficio se produce si las

grapadoras son libres y una caja de grapas se vende por $4.33. Nota: Se recomienda consultar el archivo de optimización localizado en el enlace de TRAYECTO I MECANICA MANTENIMIENTO, TRIMESTRE II. DÁMASO ROJAS FEBRERO 2012