Ejercicios Maquinas Hidraulicas Resueltos

“TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS: BOMBAS ROTODINÁMICAS CAP. 19”

PRESENTADO POR: FERNANDO FERNANDEZ JARABA

CARLOS PACHECO ESCORCIA MAURICIO MACHADO CALDERON

JOSEPH SUAREZ MARTINEZ ANTHONY ESCOBAR VARGAS

ZORAIDA POLO CHARRIS

PRESENTADO A:

ING. CRISTIAN ANTONIO PEDRAZA YEPES

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA MECANICA VIII SEMESTRE

Ingeniería Mecánica.

2 19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3/h tiene una tubería de

aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba.

Solución.

Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el cálculo de la altura útil.

2 2

2

s E s E s E

P

P

v

v

H

Z

Z

g

g















3 1200 0.3333 / 3600 Q  m s 2 2 4 (4)(0.3333) 3.0180 / (0.375) s s Q v m s D





   2 2

(3.0180)

0.4643

2

(2)(9.81)

s

v

m

g





2 2 4 (4)(0.3333) 2.6526 / (0.400) E E Q v m s D





   2

(2.6526)

2

0.3586

2

(2)(9.81)

E

v

m

g





Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos:

2 2

(12 2) (0.5 0.08)

14.686

2

S E

v

v

H

m

g





 







19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el

estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las siguientes dimensiones: D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 = 50 mm; β1 = 45°; β2 = 60°. La entrada en los alabes es radial

(caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba gira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua. Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d) La potencia de accionamiento.

Solución.

a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. La sección de entrada en los alabes del rodete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir:

1 1 1m

3 El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la entrada τ1 < 1, de manera que:

1 1 1 1m

Q



 

b D C

En nuestro caso τ1 = 1. Asimismo a la salida:

2 2 2 2m

Q

 

b D C Si los alabes son afilados a la salida (caso normal): τ2 = 1

1 1 (0.075)(500) 1.964 / 60 60 D n u 







 m s 1m 1 1tan 45 1 1.964 / C C u   u m s Sustituyendo 3 1 (0.50)(0.075)( m) 0.0231 / 23.11 / Q



C  m s L s

Ingeniería Mecánica. 4 2 2u 1 1u 2 2u u

u C

u C

u C

H

H

g

g









Ya que C1u 0(entrada en los alabes radial).

2 2 2m 1 1 1m Q



b D C 



b D C (



2 1) Y 1 1 2 1 2 2 (50)(75) (1.964) 0.4909 / (50)(300) m m b D C C m s b d    2 2 1 1 (300) (1.964) 7.854 / (75) D u u m s D    Además 2 2 2 2 (0.4909) (7.854) 7.506 / tan tan 60 m u C C u m s



      Luego (7.854)(7.506) 6.061 9.81 HuH   m

C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por.

2 2 1 1

( _{u u}) (0.0231)(1000)(0.15)(7.506) 26.268

M Q



r C rC   m N

d) n_v n_h n_m 1

Deducimos que PQ gH



(0.0231)(1000)(9.81)(6.061) 1375.4 W 1.3754KW 19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de agua hay un desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado. La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25. Calcular la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento de esa bomba.

Solución. (1000)(9.81) 16.487 (0.7)(1)(0.85) a h v m Q gH QH P QH n n n



    4.8 3 0.08 / 60 Q  m s

Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los correspondientes a la impulsión.

5 2 2 4 (4)(0.08) 1.132 / (0.300 ) a a Q v m s d





   4 ₂ (4)(0.08)₂ 1.630 / (0.250 ) i i Q v m s d





  

La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que la de impulsión para evitar la cavitación.

2

0.065

2

a

V

m

g



2

0.135

2

i

V

m

g



Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil.

2

2

t Z A ra ri

v

H

z

z

H

H

g











2 2

2

2

t i

v

v

g



g

zZzA20m Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra

2 ' ''

2

a a ra a a a a

L

v

H

d

g













_





_





Donde



a'= 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ;

'' a



= 0.4 (codo90°, r/D=0.25) 5 6 (1.132)(0.300) Re 3.372 10 1.007 10 a a a v d x v x     ( 2 H O v a 20°C = 1.007x10-6 _m2_/s) 5 5 6

17 10

3.372 10

1.007 10

a

k

x

x

d

x

 





(k para hierro galvanizado = 17x10-5m)

Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody



a 0.01844

Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:

2

6

(1.132)

3.7 0.4 0.01844

0.292

0.300

2(9.81)

ra

H





_







_



m





Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri 2 ' ''

2

2

i i ri i i i i

L

v

H

d

g













_





_





Ingeniería Mecánica.

6 Donde '

i



=0.2 (válvula compuerta abierta)

'' i



= 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25) 5 6 (1.630)(0.250) Re 4.046 10 1.007 10 i i i v d x v x    

17 10

5

0.000680

0.250

i

k

x

d







En el diagrama de Moody se lee



i



0.01887

Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:

140 1.630 0.2 2(0.4) 0.01887 1.566 0.250 2(9.81) ri H _   _  m   Sustituyendo el la ecuación.

20 0.292 1.566 0.135

21.993

H











m

Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será.

3

(0.08)(1000)(9.81)(21.993)

29.009 10

29.009

(0.7)(1)(0.85)

a

P





x

W



KW

19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h. De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la

salida del rodete: b2 = 20 mm. Angulo de los alabes a la salida: β2 = 45°. Se sabe además que para

el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%, rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular: A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C2; componente radial de la

velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.

7 Solución.

a)El caudal de la bomba es 160 3

0.0444 /

3600

Q  m s

El caudal bombeado por el rodete es:

e i v Q Q q q n    Además. 1 1 2 2 2 2.62 / (0.3)(0.02)(0.9) m m v Q Q C C C m s D b n





     2 2 (0.3)(1.450) 22.777 / 60 60 D n u 







 m s 1 2 1 11.388 / 2 D u u m s D   1 1 1 arctanCm 12.96 u



   2 2 2 2 2 2 20.157 / tan m u m C C u u C m s



     2 2 2 2m 2u

20.326 /

C



C



C



m s

2 2 2 arctan m 7.41 u C C



  

Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con este angulo α2 a la entrada de la misma.

b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo

u C

1 1u



0

2 2u 1 1u u

u C

u C

H

g





2 2

46.799

u u

u C

H

m

g





Ingeniería Mecánica.

8 La altura útil será: Hn H_{h u} (0.8)(46.799)37.439m

c) int ( )( ) i e i r P  Q q q HH _



g (0.0444)(1000)(9.81)(37.439) 22.671 (0.9)(0.8) v h Q g H KW n n



   

d)La potencia de accionamiento será: 22.671 26.672 0.85 a m Pi P K n   

e)Altura dinámica del rodete:

2 2 2 1

20.708

2

d

C

C

H

m

g







Altura de presión del rodete: Hp HuHd 26.091m

Grado de reacción de la bomba: p

100

55.75%

u

H

H









f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema será: P_E (0.305)(13600)(9.81)40.692N m/ 2

Ahora bien, siendo

2 2

0

2

S E

v

v

g





, por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y

0

S E

z z  , por estar los puntos S y E a la misma cota.

S E

P

P

H

g







y 2 407.972 / 4.07972 S E P P 



gH  N m  bar

19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba en estar condiciones. (0.016)(1000)(9.81)(26) 5.038 0.81 a tot Q gH P KW n



  

19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450

mm; b1 = 40 mm; b2 = 20 mm; β1 = 10°; β2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%;

ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; nv=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura

de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.

9 Solución. a) Q



b D C1 1 1m

C

1m



u

1

tan10

(τ1 = 1) 1 1 (0.15)(1500) 11.781 / 60 60 D n u 







 m s C1mu1tan102.077m s/ 3 (0.04)(0.15)(2.077) 0.0392 / Q



 m s b) 2 2u u

u C

H

g



(entrada en los alabes radial)

2 2 1 1 450 (2.077) 35.43 / 150 D u u m s D    2 2 2 2 2 2 tan tan 30 m m u C C C u u



   

Por la ecuación de la continuidad:

1 1 2 1 2 2 (40)(150) (2.077) 1.385 / (20)(450) m m b D C C m s b D    ₂ (35.43) (1.385) 32.944 / tan 30 u C    m s (35.43)(32.944) 118.690 9.81 u H   m

c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna:

(0.0392)(1000)(9.81)(118.690) 45.591

i u

PQ gH



  KW

d) La altura útil es: Hn H_{h u} (0.88)(118.690) 104.447 m

e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: Hrint Hu H 14.243m

f) La potencia de accionamiento de la bomba será:

(0.0392)(1000)(9.81)(104.447) 48.927 0.82 a tot P P KW n   

19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de

impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 = 25mm; β2 = 30°. La bomba gira a 1450 rpm. La entrada en los alabes es radial. El rendimiento hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión

Ingeniería Mecánica.

10 del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de impulsión.

Solución.

La velocidad periférica del rodete a la salida es:

2 2 (0.4)(1450) 30.369 / 60 60 D n u 







 m s

Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería; llamando vt a la velocidad del agua en la tubería, tendremos:

2 2 2 2

4

t m t

d

Q





D b C





v

2 2 2 2 2

1

0.150

0.563

4

(0.4)(0.025)(4)

t m t t t

d

C

v

v

v

D b









Por el triangulo de velocidades a la salida: 2

2 2 2 30.369 0.974 tan m u t C C u v



   

La altura teórica o altura de Euler será:

2 2 2 2 2 2 2

94.0122 3.016

tan

u m u t

u C

u

u C

H

v

g

g

g













La altura útil será: H H n_{u h} (94.0122 3.016 )(0.82) v_t 77.090 2.473 v_t Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil.

2 2 2

60 2 7

69

2

2

2

t t t Z A ra ri

v

v

v

H

z

z

H

H

g

g

g













  





Donde vt - velocidad del agua en la tubería.

Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene: v_t248.524v_t158.7230

Resolviendo tenemos: v_t 3.076 /m s y 2

0.482

2

t

v

m

g



Sustituyendo, obtendremos: 2

69

69.482

2

t

v

H

m

g







a) El caudal será: 2 3

0.0544

/

55.4

4

t t

d

Q





v



m

s



l/s

11 2 2

2

2

A A E E A ra E

P

v

P

v

z

H

z

g

g

g

g

















2

0 0 0 2

4

2

E E

P

v

g

g



   

 

6.482

E

P

m

g



 

PE  63.591Pa 0.63591bar

c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el nivel superior del depósito de impulsión Z: 2 2

0 0

2

2

S S t S ri Z

P

v

v

z

H

z

g

g

g











  

56 7

63

S

P

g





 

Ya que

v

S



v

t

El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S).

2 2

2

2

S S A A A ra S

P

v

P

v

z

H

H

z

g

g

g

g



















Suponiendo zS zE, tendremos:

0 0 0 2 69.482

P

S

4 0.482

g



   



 

2 69.482 4 0.482

63

S

P

m

g



  

 



(63)(1000)(9.81) 618.030 6.18030 S P   Pa bar

19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.

Ingeniería Mecánica. 12 Solución. PS (a t=50°C) = 0.12335 bar ₂ 3

(50

)

988.20

/

H O

C

Kg m







min 0.12335 0.100 0.22335 E P    bar 5 2 750 (750)(13.6)(9.81) 1.0006 10 / amb P  Torr  x N m 3 2.5 0.04167 / 60 Q  m s 4 ₂ (4)(0.04167)₂ 2.358 / (0.150) E E Q C m s d





   2 2

(2.358)

0.283

2

(2)(9.81)

E

C

m

g





Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas)

5 5

1000 10

10 5 8

0.22335 10

0 0 3 0.283

0.283

0.283

(988.20)(9.81)

0.150

(988.20)(9.81)

S

x

x

H





 



   



_



_











6.8856 43.3933 S H  



0.1 0.00066667 150 k d   6 (2.358)(0.150) Re 636.151 0.556 10 Cd v x    

En el diagrama de Moody se lee





0.0185

(6.8856)(43.3933)(0.0185) 6.0828

S

H   m

Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H.

2 2

2

S E S E S E

P

P

v

v

H

z

z

g

g















S E v v z_S z_E

63 ( 6.482)

69.482

S E

P

P

H

m

g









 



19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3 Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m. la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.

13 Solución.

Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación

total Q gH Pa n



 3 3 3 2 0.08 1.33 10 / 60 (0.84)(1000) 840 / 2 gasolina t Z A ra ri Q x m s Kg m v H z z H H g



         

Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión.

3 3 2

(4)(1.33 10

/ )

0.3018 /

(0.075 )

a

x

m

s

v

m s

m









Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. va vi 2 3 2 2 2 2

4.64 10

2

2

2

2

2

a a i i t a i

v

x

m

g

v

v

v

v

v

v

g

g

g

g





 







Ingeniería Mecánica.

14 Hallamos el numero de Reynolds.

3 3

(0.3018)(0.075)(840)

Re

23.76675 10

(0.8 10 )

a a a

v d

x

x













Rugosidad sobre el diámetro.

4 3

0.4 10

5.33 10

0.075

a

k

x

x

d

 





Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody



_a 0.032

Ahora hallamos Hra.

0.032

0.075

a a ra a a

L

L

H

d











_

_





Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor.

0.032

0.075

i i ri i i

L

L

H

d











_

_





Esto se debe a que va vi y da di

El valor de z_Z z_A50m

Reemplazando los valores obtenemos H.

3 (0.032)(0.3018) 50 4.64 10 2(9.81)(0.075) 0.075 i a L L H   _  _ x    Donde Li + La = 70m 3 (0.032)(0.3018) 70 50 4.64 10 2(9.81)(0.075) 0.075 H   _ _ x   

50.143

H



m

Por último determinamos la potencia.

3

(1.33 10 )(840)(9.81)(50.143)

0.5

a

x

P





1101868 1.1018 a P  W KW

15 19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que está conectado el vacuómetro.

DATOS Q= SOLUCIÓN

Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro. Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e.

Aplicando la ecuación de Bernoulli:

Ingeniería Mecánica.

16 Es igual al término porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces tienen el mismo diámetro.

El término es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio.

Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y alcachofa. Velocidad=

Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene:

El término es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están en la misma tubería, que tiene un solo diámetro.

El término es negativo escrito en esta forma, con el término delante de , porque es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:

17

19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50 cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m. Calcular la altura útil de la bomba.

2

2

s s e e s e

P

V

P

V

Z

H

Z

g

g

















e s e s

P

P

H

Z

Z













Conversiones

80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms² 200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms² Reemplazando en la formula:

800000 Kg/ms² = 81.3265 m 9800 Kg/m²s²

Ingeniería Mecánica. 18 26664 Kg/ms² = 207208 m 9800 Kg/m²s² H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m H = 93.85 m

19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es





0

.

11

, desarrolla una altura útil de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4) para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a 1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración.

Solucion.

H

h







h

H

g

P

P

Hsmas

A S



_{rA E}











_ A

P

= Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración.

S

P = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C.

E rA

H

_ = Perdida de carga en la tubería de aspiración.

h



= Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante.

m h m h H h 9 , 9 11 . 0 * 90 *      



Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada.

2 5 2 2 2 5

*

10

*

*

*

1

10

*

1

s

m

Kg

m

s

m

Kg

pascal

m

N

bar

pascal

bar



19 Ahora bien,

m

Hsmas

m

Hsmas

m

m

Hsmas

h

H

g

P

P

Hsmas

s m kg s m Kg s m m Kg s m Kg s m Kg E rA S A

5

,

1

4

,

11

9800

97000

5

,

1

9

,

9

8

,

9

*

1000

3000

*

100000

2 2 2 2 3 2 2 * * * *



























_

19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud. Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min. Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El rendimiento de la bomba es del 65%.

Calcular:

1. La potencia de accionamiento. Datos:

TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta

DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión DA, i = 300mm *

mm

m

1000

1

= 0.3 m

LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m. Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m. Material: HIERRO GALVANIZADO.

Q = Caudal Bombeado Q= 6000l/min. = 6000

min

l

x

seg

60

min

1

= 100

s

l

Q = 100

s

l

∆A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión

Ingeniería Mecánica.

20 ηTOTAL: Eficiencia total de la bomba

ηTOTAL =65 %

PA: Potencia de accionamiento

PA = ?

Solución.

Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación:

PA =

TOTAL

Q gH





Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio. PA = TOTAL Q gH





PA = 3 2 3 0.001 (100 / )( )(1000 )(9.8 / ) 1 0.65 m kg L s m s L m PA = 2 1 1507.6Kg m s/ ( ) H m( ) s   PA = 1507.6 H

La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene gracias a la siguiente ecuación:

H = 2

(

)

2

t z a ra ri

v

Z

Z

H

H

g









En donde:

(Z_z Z_a): Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión

(Z_z Z_a) = 10m.

ra

H

: Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de aspiración Donde: 2 ' ''

2

a a ra a a a a

L

v

H

d

g













_





_





21

' a



: Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie)

' a



= 6.1

'' a



: Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo)

'' a



= 0.4

Va : Velocidad en la tubería de aspiración Esta es posible gracias a la siguiente ecuación:

Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos:

2 4 a a Q V d







3



2

4 0.1

/

(0.3 )

a

m

s

V

m





1.414 / a V  m s ri

H : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión

2 ' ''

2

2

i i ri i i i i

L

v

H

d

g













_





_





En donde: ' i



: Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta)

' i



= 0.2

i



: Factor de fricción

Para conocer el



i (factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la

rugosidad relativa

a

d

k

, una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de fricción.

Ingeniería Mecánica. 22 Rea = a a a

d

v



.

En donde:

Va: Velocidad en la tubería de aspiración

da: diámetro en la tubería de aspiración

ν: viscosidad cinemática del agua

V

H2O a 20ºc= 1.007*10-6

_s

m

2 Rea = ₂ 6 1.414 (0.3 ) 1.007 *10 m m s m s  Rea = 4.212* 105 a

d

k

; En donde:

K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra en este rango:

0.15 ≤ k ≤ 0.20

Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5 m Al reemplazarlo en la ecuación tenemos:

a

d

k

=

m

m

3

.

0

10

*

17

5 a

d

k

= 5.67* 10-4

A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es:

i



= 0.0226

Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las tuberías: Tubería de aspiración: 2 ' ''

2

a a ra a a a a

L

v

H

d

g













_





_





23 2 2

10

(1.414

/ )

6.1 0.4 (0.0226)

0.3

2(9.8 /

ra

m

m s

H

m

m s















_

_

_

_







2 2 2 1.999396 / (7.253 19.6 / ra m s H m s            0.739 ra H  m Tubería de impulsión

En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que:

Va = Vi = 1.414m/s 2 ' ''

2

2

i i ri i i i i

L

v

H

d

g













_





_





2 2

150

(1.414

/ )

0.2 (0.0226)

0.3

2(9.8 /

)

ri

m

m s

H

m

m s















_



_

_

_

_

_











1.173 ri H  m

Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente: H = 2

(

)

2

t z a ra ri

v

Z

Z

H

H

g









H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m H = 12.01m

Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma determinamos lo que nos están pidiendo:

Ingeniería Mecánica.

24 PA = 1507.6 (12.01) (W)

PA = 18.112 Kw.

19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/min a 1000 rpm el diámetro del rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada – salida se crea un diferencia de presión 3 Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete radial. Hallar Altura efectiva, potencia útil,

 Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli

Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda:

Luego nos queda

 Para determinar la potencia utilizamos la ec.

Reemplazando nos queda: Sabiendo que:

 Para determinar

Realizamos el triangulo de vela la salida:

1 2 60 D N U 



= Determinamos Hu

25

Luego utilizando la relación

2 2u 1 1u u

u C

u C

H

g





Pero como la entrada es radial entonces

2 2u u

u C

H

g



Hallamos u Determinamos el valor de C2 sabiendo que C2 es = a C2m

Entonces

Reemplazamos los valores:

Utilizando la relación de triángulos:

19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de 1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en

Ingeniería Mecánica.

26 todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C22

m (C2 en m/s).

Calcular:

a) El rendimiento hidráulico.

b) Los ángulos álabes a la entrada y a la salida β1 y β2.

Datos de entrada: H=22m Hr=0.027 C22 n= 1.200 r.p.m. D1= 180 mm D2=300 mm C2u=25 m/s Cm= constante Consideraciones:

Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m

Desarrollo:

a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula: ηh = H/HU ; donde H= Hu – Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler

27

a) Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico

b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida

Ingeniería Mecánica. 28

19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e igual a 3 m/s; β2=60o.Se desprecian

las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial. Calcular:

a) Velocidad periférica a la salida del rodete b) Altura de presión a la salida del rodete. c) Altura de la velocidad a la salida del rodete.

d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes. Análisis y datos de entrada:

29 Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión respectivamente.

Datos conocidos:

-Cm: 3 m/s y es constante.

-β2 = 60o.

-V2= 2 m/s, velocidad de succión.

-La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0.

-Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba

Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada por

Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0. Se desprecia la fricción. Despejando H: Como la altura efectiva de la bomba es

, y las pérdidas son despreciables tenemos que

Ingeniería Mecánica. 30 Despejando: C2u = -Ecuación 1

Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2)

Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y . Tenemos que

Despejando

-ECAUCION 2

Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática

Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es: a)

b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida de la bomba(nivel del eje de bomba)

Aplicando Bernoulli

-Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada

-Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y su velocidad es baja.

-como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0. Despejando

31 , a la salida del rodete es igual a C2 y la halamos mediante el triangulo de

velocidades

, analizando el triangulo formado por C2, C2u y Cm tenemos que

No tenemos Reemplazando los valores obtenemos que

Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s

Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada

b) seria la altura de presión en el rodete.

c) El ángulo q deberían tener los álabes directrices a la entrada seria igual a β1 y se hallaría

mediante el triangulo de velocidades para 1

Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a

tenemos solo de este triangulo Cm, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q

, pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le

damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a cero) solo faltaría despejar y hallar µ1.

Ingeniería Mecánica.

32 Despejando tenemos que

La magnitud de , teniendo este valor procedemos a hallar β1 por trigonometría

.

19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3/h sirve para elevar agua a una altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El

rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es de 0.95.

Calcular la potencia de la red. Datos de entrada:      

33 Solución:

Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de accionamiento.  .

Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así poder realizar el trabajo.

19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de aceite creando un incremento de presión efectiva de 2 bar.

Pasamos el caudal a Convertimos el a Kilopascales

Ingeniería Mecánica.

34

19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración).

Calcular la potencia útil de la bomba

La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en la siguiente fórmula:

PQ gH



El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera: 2 2

2

2

e e s s e e

P

v

P

v

Z

H

Z

g

g

g

g













_

_













Despejando H tenemos: 2 2 2 2 s s e e s e P v P v H Z Z g g g g





      _   __  _{ }     

Reorganizando la ecuación encontramos:

2 2

2

s e s e s e

P

P

v

v

H

Z

Z

g

g















La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente término de la ecuación: s e

P

P

g





35 El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de las tuberías:

s e

Z Z

En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación:

V= Q/A ; A = Luego reemplazando:

AS = A = = 0,031 m2

AE = A = = 0,049 m2

Se hallan las velocidades: VE = Q / A1 V1= VE = 6122 m/h = 1,7 m/s VS= Q / A2 V2 = VS = 9677 m/h = 2,68 m/s

Se sustituye todo los valores en H:



 

2



2 2

2.68 /

1.7

/

0.2

0.35

2(9.8 /

)

m s

m s

H

m

m

m s



_







 











H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m H= 0,77 m

Por último se halla la potencia útil de la bomba según la ecuación 19,17 del libro “Claudio Mataix” de maquinas hidráulicas:

Ingeniería Mecánica.

36 P = (300 m3/h) (1000 Kg/m3) (9,8 m/s2) (0,77 m)

P = 2263800W = 2263,8 KW

19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las

diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba.

Datos de entrada: Q = 50 m3/h Pa = ? P2 = 2,6 bar. Hm =? P1 = 250 Torr Z2 – Z1 = 0,6 m η 3

1000

Kg m

/





D1 = D2

Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento

1

a

P

QgH





Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de presión H.

Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía:

2 2 1 1 2 2 1 2

( )

( )

2

l r

2

P

v

P

v

Z

H

h

h

Z

g

g

g

g







   







Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda

reducida a: 2 2 1 1 2 2 1 2

( )

( )

2

2

P

v

P

v

Z

H

Z

g

g

g

g

















37 Despejando tenemos: 2 2 2 1 2 1 2 1

( )

( )

2

2

P

P

v

v

H

Z

Z

g

g

g

g

















La velocidad expresada en términos de Q es:

2 2 2 4

16Q

v

D







 







Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2:

2 2 2 2 _{2 4 2 4} 2 1 2 1

16

16

( )

( )

2

2

2

2

Q

Q

v

v

_D

_D

g

g

g

g



























































Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero.

La ecuación se reduce a: 2 1 2 1

P

P

H

Z

Z

g

g













Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades:

2 2 2 1 100000 2.6 260000 ( / ) 1 133 250 332250 ( / ) 1 Pa P bar Pa N m bar Pa P Torr Pa N m Torr        _{ }                    

La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro.

3 1 3 (50 / ) 0.0138 / 3600 h Q m h m s s    _{ }  

Ingeniería Mecánica. 38





















2 3 2 2 3 2

260000 ( 332250

/

0.6

1000

/

9.81 /

260000 (332250

/

0.6

1000

/

9.81 /

N m

H

m

Kg m

m s

N m

H

m

Kg m

m s



_{ }





















_



















29.89

0.6

30.49

H

m

m

H

m







Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento:

1

a

P

QgH







 







Reemplazando;

1

6657.54

0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49)

Pa





_



_



w





19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de 20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente, son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden

despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3/h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la

bomba; b) Potencia de accionamiento. Agua a 10ºC ∆z = 20m L de aspiración = 4m L de impulsión = 25m D de aspiración = 300mm D de impulsión = 250mm Q = 800m^3/h η total = 75%

39 Buscamos en tablas los siguientes datos

ε=0.25mm υ=1.03*10^-3 φ=999.7 kg/m^3

Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las siguientes ecuaciones Re v DS v  2

2

f

LV

h

f

D g



₂ 0.9

1.325

5.74

ln

3.7

f

E

D

R







_











_

_







3 3 800 / 0.22 / Q m h m s

Re



906513.6

4 8.33 10 E x D  

Re 1087816.31



3 1 10 E x D   f = 0.012 hf =0.079 f2 = 0.02 hf2 = 2.05

Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra ecuación queda de la siguiente forma

Ingeniería Mecánica. 40 De 2 2

2

2

A A Z Z A r ext Z

P

v

P

v

z

H

H

z

g

g

g

g





















Quedaría que: H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m Ahora calculamos la potencia útil

( )

PQ gH W



3 3 2

(0.22 / )(999.7 / )(9.81 / )(22.129 ) 47.7445

P m s Kg m m s m  KW

Y calculamos la potencia de accionamiento

tot P n Pa  47.7445 63.6593 0.75 KW Pa  KW

19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%. Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular:

a) Diámetro exterior del rodete.

b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral.

c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el caudal y el ancho del rodete a la entrada.

d) .

41 Datos. = 0.75 n= 750 rpm = 45° = 2 m/s = 15 mm 15 m Solución.

Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):

A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que: x 750 rpm

Ingeniería Mecánica.

42



0, por estar abierto a la atmósfera.

 , por mantenerse constante. Por lo tanto, comprobamos que:

Ahora, se calcula la altura útil:

Sabiendo que (1), se determina los valores de y con el segundo triángulo de velocidades: Donde (2) Reemplazando (2) en (1): Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:

Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz.

Con el valor de , determinamos el diámetro externo: Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm.

Para determinar la altura dinámica , determinamos el valor de a partir del segundo triángulo de velocidades:

43

Respuesta b)/: La altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral es 8.67 m.

El caudal se calcula de la siguiente manera:

Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que:

(3)

Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación:

Con este dato, procedemos a calcular la anchura del rodete a la entrada a partir de (3):

Respuesta c)/: Según las condiciones diametrales, el caudal es y el ancho de rodete a la entrada es 0.0375 m.

El valor de , se obtiene a partir del primer triángulo de velocidades. Por lo que: Respuesta d)/: El valor de es .

El rendimiento de la bomba, se determina a partir de:

Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 %

19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D1= 100 mm; D2/D1= 2;

b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión

tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los álabes radial. Calcular:

a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos característicos).

Ingeniería Mecánica.

44 c) La potencia en el eje de la bomba.

d) La presión en bar del manómetro de impulsión. Datos. = 0.96 = 0.9 = 0.65 n= 1500 rpm = 15° = 30° = 100 mm = 2 = 20 mm = -4 m c.a. Solución.

Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):

Del primer triángulo de velocidad, determinamos : Para este caso, y

Del segundo triángulo de velocidad, determinamos : x

45

Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a calcularlo así:

Respuesta b)/: El caudal es .

Para determinar la potencia del eje, se calcula como primera medida el rendimiento hidráulico:

Determinamos la altura útil H:

Determinamos la potencia interna:

Calculamos la potencia de accionamiento:

Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es

Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración: