Ejercicios Resueltos Optica 1

(1)

ÓPTICA

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN MÉTODO MÉTODO 11.. En En ggeenneerraall:: Se dibuja un esue!a "#n l

Se dibuja un esue!a "#n l#s ra$#s.#s ra$#s. Se "#!%ara el resul&ad# del "

Se "#!%ara el resul&ad# del "'l"ul# "#n el esue!a.'l"ul# "#n el esue!a. (.

(. En l#En l#s %s %r#r#blble!e!as as de de lelen&n&eses::

Se &ra)a un ra$# %aralel# al eje *%&i"# ue al l

Se &ra)a un ra$# %aralel# al eje *%&i"# ue al llegar a la len&e se re+ra"&alegar a la len&e se re+ra"&a a, -a"ia el +#"# i!agen si

a, -a"ia el +#"# i!agen si es "#nergen&e/ #es "#nergen&e/ #

b, alej'nd#se de 0l de !#d# ue su %r#l#nga"i*n %asa %#r el +#"# #bje&#, si

b, alej'nd#se de 0l de !#d# ue su %r#l#nga"i*n %asa %#r el +#"# #bje&#, si es diergen&e.es diergen&e. Se &ra)a un s

Se &ra)a un segund# ra$#egund# ra$# ue %asa %#r el "en&r# de la len&e ue %asa %#r el "en&r# de la len&e sin desiarse.sin desiarse. 2.

2. En l#s En l#s %r%r#b#ble!le!as as de de es%es%ej#ej#s es es+0s+0ri"ri"#s:#s: Se &ra)a un ra$# %aralel# al eje *%&i"# ue al l

Se &ra)a un ra$# %aralel# al eje *%&i"# ue al llegar al es%ej# se re+lejalegar al es%ej# se re+leja a, -a"ia el +#"# si es "*n"a#/ #

a, -a"ia el +#"# si es "*n"a#/ #

b, alej'nd#se de 0l de !#d# ue su %r#l#nga"i*n %asa %#r el +#"#, si

b, alej'nd#se de 0l de !#d# ue su %r#l#nga"i*n %asa %#r el +#"#, si es "#ne3#.es "#ne3#. Se &ra)a un s

Se &ra)a un segund# ra$#egund# ra$# ue %asa %#r el "en&r# de "ura&ura del es%ej# sin desiarse.ue %asa %#r el "en&r# de "ura&ura del es%ej# sin desiarse.

RECOMENDACIONES RECOMENDACIONES 1.

1. Se -ar' una liSe -ar' una lis&a "#n s&a "#n l#s da&l#s da&#s/ %a#s/ %as'nds'nd#l#s al #l#s al Sis&eSis&e!a In&!a In&erna"erna"i#nal si#nal si n# l# ei n# l# es&uis&uiesen.esen. (.

(. Se -arSe -ar' #&' #&ra lra lis&is&a "#a "#n lan las ins in"*"*gngni&i&asas.. 2.

2. Se dibujarSe dibujar' un "r#' un "r#uis duis de la si&ue la si&ua"i*na"i*n/ %r#/ %r#"ura"urand# nd# ue las due las dis&an"is&an"ias del "ias del "r#ur#uis sean "is sean "#-er#-eren4en4 &es "#n ella.

&es "#n ella. 5.

5. Se -ar' una liSe -ar' una lis&a de las&a de las e"uas e"ua"i#n"i#nes ue "#es ue "#n&engn&engan las inan las in"*gn"*gni&as $ ali&as $ algun# gun# de l#s dde l#s da&#s/ !a&#s/ !en"i#4en"i#4 nand# a la le$ # %rin"i%i# al ue se

nand# a la le$ # %rin"i%i# al ue se re+ieren.re+ieren. 6.

6. En "as# de &eneEn "as# de &ener algur alguna re+na re+ereneren"ia/ al &"ia/ al &er!iner!inar l#s "ar l#s "'l"ul'l"ul#s se -a#s se -ar' un ar' un an'lisn'lisis del ris del resul&esul&ad#ad# %ara er si es el

%ara er si es el es%erad#.es%erad#. 7.

7. En !u"-#s %En !u"-#s %r#blr#ble!as lae!as las "i+rs "i+ras signas signi+i"a&ii+i"a&ias de l#as de l#s da&#s da&#s s#n ins s#n in"#-e"#-eren&ren&es. Se res. Se res#les#ler' eler' el %r#ble!a su%#niend

%r#ble!a su%#niend# ue l#s da&#s ue a%are"en "#n una # d#s "i+ras s# ue l#s da&#s ue a%are"en "#n una # d#s "i+ras signi+i"a&ias &ienen laigni+i"a&ias &ienen la !is!a %re"isi*n ue el res&# de l#s da&#s %#r l# general &res "i+ras s

!is!a %re"isi*n ue el res&# de l#s da&#s %#r l# general &res "i+ras signi+i"a&ias,/ $ al +inal seigni+i"a&ias,/ $ al +inal se -ar' un "#!en&ari# s#bre el las "i+ras signi+i"a&ias del resul&ad#.

-ar' un "#!en&ari# s#bre el las "i+ras signi+i"a&ias del resul&ad#.

AC8ARACIONES AC8ARACIONES 1.

1. 8#s da&#s de l8#s da&#s de l#s enu#s enun"iadn"iad#s de l##s de l#s %r#bs %r#ble!as nle!as n# suel# suelen &eneen &ener un n9r un n9!er# !er# ade"uade"uad# de "ad# de "i+rasi+ras signi+i"a&ias/ bien %#rue el reda"&#r %iensa ue la ;si"a es una ra!a de las

signi+i"a&ias/ bien %#rue el reda"&#r %iensa ue la ;si"a es una ra!a de las Ma&e!'&i"as $ l#sMa&e!'&i"as $ l#s n9!er#s en&er#s s#n n9!er#

n9!er#s en&er#s s#n n9!er#s <e3a"&#s= %.ej la el#"idad de s <e3a"&#s= %.ej la el#"idad de la lu): la lu): 2>1?2>1?@@_{!s "ree ue es}_{!s "ree ue es}

2?? ??? ???/???????????????... !s, # %#rue a9n n# se -a

2?? ??? ???/???????????????... !s, # %#rue a9n n# se -a en&erad# de ue se %uede usar "al4en&erad# de ue se %uede usar "al4 "ulad#ra en el e3a!en $ le %are"e !'s sen"ill# usar 2>1?

"ulad#ra en el e3a!en $ le %are"e !'s sen"ill# usar 2>1?@@_{ue (BB B( 56@ !s,.}_{ue (BB B( 56@ !s,.}

P#r es# -e su%ues&# ue l#s da&#s &ienen un n9!er# de "i+ras signi+i"a&ias ra)#nables/ "asi P#r es# -e su%ues&# ue l#s da&#s &ienen un n9!er# de "i+ras signi+i"a&ias ra)#nables/ "asi sie!%re &res "i+ras signi+i"a&ias. Men#s "i+ras dar;an resul&ad#s/ en "ier&#s "as#s/ "#n a!%li# sie!%re &res "i+ras signi+i"a&ias. Men#s "i+ras dar;an resul&ad#s/ en "ier&#s "as#s/ "#n a!%li# !argen de err#r. As; ue "uand# &#!# un da&# "#!#

!argen de err#r. As; ue "uand# &#!# un da&# "#!# c c  2>1?  2>1?@@ !s $ l# rees"rib# "#!#: !s $ l# rees"rib# "#!#: Cifras significativas

Cifras significativas: 2: 2 c

c  2/??>1?  2/??>1?@@ !s !s

l# ue uier# indi"ar es ue su%#ng# ue el da&# #riginal &iene &res "i+ras signi+i"a&ias n# ue l# ue uier# indi"ar es ue su%#ng# ue el da&# #riginal &iene &res "i+ras signi+i"a&ias n# ue las &enga en

(2)

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el ue &endr;a si l# &#!ara &al

el ue &endr;a si l# &#!ara &al "#!# l# dan. 2>1?"#!# l# dan. 2>1?@@_{!s &iene una s#la "i+ra}_{!s &iene una s#la "i+ra signi+i"a&ia/ $ un err#r}_{signi+i"a&ia/ $ un err#r}

rela&i# del 2? F. C#!# l#s err#res se suelen a"u!ular a l# larg# del "'l"ul#/ el err#r +inal ser;a rela&i# del 2? F. C#!# l#s err#res se suelen a"u!ular a l# larg# del "'l"ul#/ el err#r +inal ser;a inad!isible. En&#n"es/ G%ara u0 reali)ar l#s "'l"ul#sH C#n una es&i!a"i*n ser;a

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el ue &endr;a si l# &#!ara &al

el ue &endr;a si l# &#!ara &al "#!# l# dan. 2>1?"#!# l# dan. 2>1?@@_{!s &iene una s#la "i+ra}_{!s &iene una s#la "i+ra signi+i"a&ia/ $ un err#r}_{signi+i"a&ia/ $ un err#r}

rela&i# del 2? F. C#!# l#s err#res se suelen a"u!ular a l# larg# del "'l"ul#/ el err#r +inal ser;a rela&i# del 2? F. C#!# l#s err#res se suelen a"u!ular a l# larg# del "'l"ul#/ el err#r +inal ser;a inad!isible. En&#n"es/ G%ara u0 reali)ar l#s "'l"ul#sH C#n una es&i!a"i*n ser;a

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PRO8EMAS PRO8EMAS

DIOPTRIO P8ANO DIOPTRIO P8ANO 1.

1. Un Un rara$# $# de de lulu) d) de +e +rere"u"uenen"i"ia 6>a 6>1?1?1515_{J) in"ide/ "#n un 'ngul# de in"iden"ia de 2?K/}_{J) in"ide/ "#n un 'ngul# de in"iden"ia de 2?K/ s#bre una l'4}_{s#bre una l'4}

!ina de idri# de "aras %lan#4%aralelas de es%es#r 1? "!. Sabiend# ue el ;ndi"e de re+ra""i*n !ina de idri# de "aras %lan#4%aralelas de es%es#r 1? "!. Sabiend# ue el ;ndi"e de re+ra""i*n del idri# es 1/6? $ el del aire 1/??:

del idri# es 1/6? $ el del aire 1/??: a,

a, Enun"ia las le$Enun"ia las le$es de la re+ra""i*n $ es de la re+ra""i*n $ dibuja la !ar"-dibuja la !ar"-a de l#s ra$#a de l#s ra$#s en el aire $ en el in&s en el aire $ en el in&eri#r deeri#r de la l'!ina de idri#.

la l'!ina de idri#. b,

b, Cal"ula la l#ngi&ud dCal"ula la l#ngi&ud de #nda de la lu) en el aire #nda de la lu) en el aire $ en el idri#e $ en el idri#/ $ la l#ngi&ud re"#/ $ la l#ngi&ud re"#rrida %#r el rrrida %#r el ra$#a$# en el in&eri#r de la l'!ina.

en el in&eri#r de la l'!ina. ",

", Jalla el 'ngul# uJalla el 'ngul# ue +#r!a el ra$# e +#r!a el ra$# de lu) "#n la n#rde lu) "#n la n#r!al "uand# e!er!al "uand# e!erge de nue# al aire.ge de nue# al aire. Da&#:

Da&#:c c  2/??>1?  2/??>1?@@ !s !s (P.A.U. Set. 14)(P.A.U. Set. 14)

Rta.:

Rta.:_b)_b) λ_λaireaire = 6,00×10 = 6,00×10-7-7 m; m; λ λvidriovidrio = 4,00×10 = 4,00×10-7-7 m; m; L L = 10,6 cm; c) = 10,6 cm; c) ααr 2r 2 = 30,0º = 30,0º Datos

Datos Cifras significativas: 3Cifras significativas: 3 Frecuencia del rayo de luz

Frecuencia del rayo de luz f f = ,00×10 = ,00×101414_!z_!z "n#ulo de incidencia

"n#ulo de incidencia ααii = 30,0º = 30,0º

$%&e%or de la l'mina de vidrio

$%&e%or de la l'mina de vidrio ee = 10,0 cm = 0,100 m = 10,0 cm = 0,100 m (ndice de reracci*n del vidrio

(ndice de reracci*n del vidrio nnvv = 1,0 = 1,0

(ndice de reracci*n del aire

(ndice de reracci*n del aire nnaa = 1,00 = 1,00

+elocidad de la luz en el vaco

+elocidad de la luz en el vaco cc = 3,00×10 = 3,00×10_m.%_m.% Incógnitas

Incógnitas

/on#iud de onda de luz en el aire y en el vidrio

/on#iud de onda de luz en el aire y en el vidrio λ λaa,, λ λvv /on#iud recorrida &or el rayo de luz en el inerior de la l'mina

/on#iud recorrida &or el rayo de luz en el inerior de la l'mina L L "n#ulo de de%viaci*n del rayo al %alir de la l'mina

"n#ulo de de%viaci*n del rayo al %alir de la l'mina ααr 2r 2 Ecuaciones

Ecuaciones

(ndice de reracci*n de un medio en el ue la luz %e de%&laza a la velocidad

(ndice de reracci*n de un medio en el ue la luz %e de%&laza a la velocidad vvmediomedio nnmediomedio==_vv cc medio medio

elaci*n enre la velocidad

elaci*n enre la velocidad vv, la lon#iud de onda, la lon#iud de onda λ λ y la recuencia y la recuencia f f vv = = λ λ   f f /ey de nell de la reracci*n

/ey de nell de la reracci*n nnii %en %en ααii = = nnr r %en %en ααr r Solución:

Solución:

a) /a% leye% de nell de l

a) /a% leye% de nell de la reracci*n %on5a reracci*n %on5 1 $l rayo incidene, el rayo reracado

1 $l rayo incidene, el rayo reracado y la normal e%'n en el mi%mo &lanoy la normal e%'n en el mi%mo &lano 2 /a relaci*n maem'ica enre lo% ndice% de reracci*n

2 /a relaci*n maem'ica enre lo% ndice% de reracci*n nnii y y nnr r de lo% medio% de lo% medio% incidene y reracado y lo% 'n#ulo% de incidencia y reracci*n

incidene y reracado y lo% 'n#ulo% de incidencia y reracci*n ααii y y ααrr, e%5, e%5 nnii %en %en ααii = = nnr r %en %en ααr r

$n la i#ura %e &uede ver el rayo incidene ue orma un &rimer 'n#ulo de $n la i#ura %e &uede ver el rayo incidene ue orma un &rimer 'n#ulo de

incidencia de 30º, lue#o el rayo reracado ue orma &rimer 'n#ulo de reracci*n

incidencia de 30º, lue#o el rayo reracado ue orma &rimer 'n#ulo de reracci*n ααr 1r 1, lue#o el %e#undo, lue#o el %e#undo 'n#ulo de incidencia

'n#ulo de incidencia ααi 2i 2 y el %e#undo 'n#ulo de reracci*n y el %e#undo 'n#ulo de reracci*n ααr 2r 2 al %alir el rayo de luz de la l'mina al %alir el rayo de luz de la l'mina b) /a velocidad de la luz en el aire e%5

b) /a velocidad de la luz en el aire e%5 vvaireaire==_nncc aire aire = =3,003,00××1010  _m_m_//_%% 1,00 1,00 ==3,003,00××1010  _m_m_//_%%

8or ano, la lon#iud de onda de la luz en el aire e%5 8or ano, la lon#iud de onda de la luz en el aire e%5



 _aire_aire==vvaireaire f f == 3,00 3,00××1010-- mm//%% ,00 ,00××10101414 %%−−11 = =6,006,00××1010 − −77 m m /a velocidad de la luz en el

/a velocidad de la luz en el vidrio e%5vidrio e%5

L L 30º 30º α α_{r 1}_{r 1} α α_{r 2}_{r 2} α α_{i 2}_{i 2} A A BB C C 10 mm 10 mm

(8)

(9)

vvidrio=_n c vidrio

=3,00×10 m/%

1,0 =2,00×10 m/% 8or ano, la lon#iud de onda de la luz en el vidrio e%5

 vidrio= v_vidrio f = 2,00×10- m/% ,00×1014%−1=4,00×10 −7 m

9omo el e%&e%or de la l'mina vele 10 cm, la lon#iud recorrida &or el rayo e% la :i&oenu%a del ri'n#ulo <9

$l &rimer 'n#ulo de reracci*n αr 1 %e &uede calcular a&licando la ley de nell 1,00  %en 30º = 1,0  %en αr 1 %enα r 1= 1,00 · %en30º 1,0 =0,333 αr 1 = arc %en 0,333 = 1,º 8or ano la :i&oenu%a L vale

L= e

co%α _{r 1}=

10,0 cm

co%1,º=10,6 cm

c) 9omo la l'mina de vidrio e% de cara% &aralela%, el %e#undo 'n#ulo de incidencia ai 2 e% i#ual al &rimer 'n#ulo de reracci*n5

αi 2 = αr 1 = 1,º

8ara calcular el 'n#ulo con el ue %ale de la l'mina, %e vuelve a a&licar la ley de nell enre el vidrio >ue a:ora e% el medio incidene) y el aire >ue e% el medio reracado)5

1,0  %en 1,º = 1,00  %en αr 2

%enα _{r 2}=1,0·%en1,º

1,00 =0,00 αr 2 = arc %en 0,00 = 30,0º

Análisis: Este resultado es correcto porque se sabe que el rayo sale paralelo al rayo incidente original.

(. Un ra$# de lu) %asa del agua ;ndi"e de re+ra""i*nn  52, al aire n  1,. Cal"ula:

a, El 'ngul# de in"iden"ia si l#s ra$#s re+lejad# $ re+ra"&ad# s#n %er%endi"ulares en&re s;. b, El 'ngul# l;!i&e.

", GJa$ 'ngul# l;!i&e si la lu) in"ide del aire al aguaH

(P.A.U. Jun. 13)

Rta.:_{a) θ}i = 36,º; b) λ = 4,6º

Datos Cifras significativas: 3

(ndice de reracci*n del aire n = 1,00

(ndice de reracci*n del a#ua na = 4 . 3 = 1,33

"n#ulo enre el rayo reracado y el rele?ado θ i = 0,0º Incógnitas

"n#ulo de incidencia nv

"n#ulo lmie λ

Ecuaciones

/ey de nell de la reracci*n ni %en θ i = nr %en θ r

Solución:

a) &licando la ley de nell de la reracci*n5 1,33 %en θ i = 1,00 %en θ r

aire _@

(10)

(11)

 la vi%a del dibu?o debe cum&lir%e ue

θ r B 0º B θ rA = 10º

9omo el 'n#ulo de releAi*n θ rA e% i#ual al 'n#ulo de incidencia θ i, la ecuaci*n anerior %e conviere en5 θ i B θ r = 0º

$% decir, ue el 'n#ulo de incidencia θ i y el de reracci*n θ r %on com&lemenario%

i %abemo% ue el %eno de un 'n#ulo e% i#ual al co%eno de %u com&lemenario, enonce% la &rimera ecuaci*n ueda5

1,33 %en θ i = %en θ r = co% θ i

tg θ _i= 1

1,33=0,7 θ i = arc # 0,7 = 36,º

b) "n#ulo lmie λ e% el 'n#ulo de incidencia al ue el de reracci*n vale 0º 1,33 %en λ = 1,00 %en 0,0º

%en λ = 1,00 . 1,33 = 0,7 λ = arc %en 0,7 = 4,6º

c) Co 9uando la luz &a%a del aire al a#ua, el 'n#ulo de reracci*n e% menor ue el de incidencia 8ara con%e#uir un 'n#ulo de reracci*n de 0º el 'n#ulo de incidencia endra ue %er mayor ue 0º y no e%ara en el aire

DambiEn &uede deducir%e de la ley de nell

1,00 %en λ1 = 1,33 %en 0º %en λ1 = 1,33 / 1,00  1 lo ue e% ab%urdo

2. El 'ngul# l;!i&e idri#4agua es de 7?L na  1/22,. Un ra$# de lu) ue se %r#%aga en el idri# in"i4

de s#bre la su%er+i"ie de se%ara"i*n "#n un 'ngul# de 56L re+ra"&'nd#se den&r# del agua. Cal"u4 la:

a, El ;ndi"e de re+ra""i*n del idri#. b, El 'ngul# de re+ra""i*n en el agua.

(P.A.U. Set. 03)

Rta.: a) nv = 1,4; b) θ r = º

"n#ulo lmie vidrio-a#ua λ = 60,0º

(ndice de reracci*n del a#ua na = 1,33

"n#ulo de incidencia θ i = 4,0º

Incógnitas

(ndice de reracci*n del vidrio nv

"n#ulo de reracci*n en el a#ua θ r

Ecuaciones

/ey de nell de la reracci*n ni%en θ i = nr %en θ r

Solución:

(12)

(13)

nv %en 60,0º = 1,33 %en 0,0º nv = 1,4

Análisis: El ndice de refracci!n del vidrio es "ayor que el del agua# lo que corresponde a un "edio "ás $denso% !ptica"ente.

b)

1,4 %en 4º = 1,33 %en θ r

θ r = arc %en 0,16 = 4,7º

Análisis: Al ser "enor el ndice de refracci!n del agua# el rayo se ale&a de la nor"al.

5. S#bre un %ris!a euil'&er# de 'ngul# 7?K er +igura,/ in"ide un ra$# lu!in#s# !#n#"r#!'&i"# ue +#r!a un 'ngul# de 6?K "#n la n#r!al a la "ara A. Sabien4 d# ue en el in&eri#r del %ris!a el ra$# es %aralel# a la base AC:

a, Cal"ula el ;ndi"e de re+ra""i*n del %ris!a.

b, De&er!ina el 'ngul# de desia"i*n del ra$# al salir del %ris!a/ dibujand# la &ra$e"&#ria ue sigue el ra$#.

", E3%li"a si la +re"uen"ia $ la l#ngi&ud de #nda "#rres%#ndien&es al ra$# lu!in#s# s#n dis&in4 &as/ # n#/ den&r# $ +uera del %ris!a.

Da&#:naire  1 (P.A.U. Set. 11)

Rta.:_{a) n} & = 1,; b) αr 2 = 0º

"n#ulo% del ri'n#ulo euil'ero α = 60º

"n#ulo de incidencia αi = 0º

(ndice de reracci*n del aire na = 1,0

Incógnitas

(ndice de reracci*n del &ri%ma n &

"n#ulo de de%viaci*n del rayo al %alir del &ri%ma αr 2 Ecuaciones

/ey de nell de la reracci*n ni %en αi = nr %en αr

Solución:

a) $n la ley de nell de la reracci*n

ni %en αi = nr %en αr

ni y nr re&re%enan lo% ndice% de reracci*n de lo% medio% incidene y reracado y αi y αr lo% 'n#ulo% de incidencia y reracci*n ue orma cada rayo con la normal a la %u&ericie de %e&araci*n enre lo% do% medio%

Ge la i#ura %e &uede ver ue el &rimer 'n#ulo de reracci*n αr 1 ue orma el rayo de luz al enrar en el &ri%ma vale 30º

>$% i#ual al ue orma la normal al lado < con la ba%e 9) n &=nr = n_i%enα i 1 %enα _{r 1} = 1,0·%en0º %en30º =1,

b) 9uando el rayo %ale del &ri%ma, el 'n#ulo de incidencia αi 2 del rayo con la normal al lado <9 vale 30º +olviendo a a&licar la ley de nell

%enα _{r 2}=ni%en α i 2 n_r = 1, ·%en30º 1,0 =0,77 ue corre%&onde al 'n#ulo de 0º

αr 2 = arc %en 0,77 = 0º

c) /a recuencia f de una onda elecroma#nEica e% una caracer%ica de la mi%ma y no vara con el medio @_i @_r vidrio a#ua C B A C B A 50º _α r 1 C B A α_{i 2} αr 2

(14)

(15)

/a lon#iud de onda λ e%' relacionada con ella &or

c = λ  f

/a velocidad de la luz en un medio ran%&arene e% %iem&re menor ue en el vaco $l ndice de reracci*n del medio e% el cociene enre amba% velocidade%

n_medio= c

v_medio

/a velocidad de la luz en el aire e% &r'cicamene i#ual a la del vaco, mienra% ue en el &ri%ma e% 1, vece% menor 9omo la recuencia e% la mi%ma, la lon#iud de onda >ue e% direcamene &ro&orcional a la

recuencia) en el &ri%ma e% 1, vece% menor ue en el aire

ESPEOS

1. Un es%ej# "*n"a# &iene 6? "! de radi#. Un #bje&# de 6 "! se "#l#"a a (? "! del es%ej#: a, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s.

b, Cal"ula la %#si"i*n/ &a!a# $ na&urale)a de la i!agen.

", Dibuja una si&ua"i*n en la ue n# se +#r!e i!agen del #bje&#.

(P.A.U. Jun. 14)

Rta.5 b) s' = 1,00 m; yH = 2 cm; +, I, 

Datos (convenio de signos DIN) Cifras significativas: 2

adio de curvaura del e%&e?o ( = -0 cm = -0,0 m

DamaJo del ob?eo y = ,0 cm = 0,00 m

8o%ici*n del ob?eo s = -20 cm = -0,20 m

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en s'

DamaJo de la ima#en y'

Otros símolos

Gi%ancia ocal del e%&e?o f

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n de la ima#en y la del ob?eo en lo% e%&e?o% _s'1 1

s=

1

f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A L= y' _y =

− s' s elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución: a) b) f = ( . 2 = -0,0 KmL . 2 = -0,2 m 1 s' + 1 −0,20 [m]= 1 −0,2[m] sH = B1,0 m

/a ima#en %e encuenra a 1,0 m a la derec:a del e%&e?o A/ = - sH . s = -1,0 KmL . -0,20 KmL = ,0

yH = A/  y = ,0  ,0 cm = 2 cm

/a ima#en e% virual, derec:a y >cinco vece%) mayor

Análisis: El resultado del cálculo coincide con el del dibu&o.

) * + , ( s s' f * + ,

(16)

(17)

c) 9uando el ob?eo %e encuenra en el oco, lo% rayo% %alen &aralelo% y no %e coran, &or lo ue no %e orma ima#en

(. Un #bje&# de 1/6 "! de al&ura es&' si&uad# a 16 "! de un es%ej# es+0ri"# "#ne3# de radi# (? "!. De&er!ina la %#si"i*n/ &a!a# $ na&urale)a de la i!agen:

a, r'+i"a!en&e. b, Anal;&i"a!en&e.

", GSe %ueden #b&ener i!'genes reales "#n un es%ej# "#ne3#H

(P.A.U. Set. 09)

Rta.:_{b) sH = B6,0 cm; yH = 6,0 mm}

adio de curvaura del e%&e?o conveAo ( = B0,20 m

DamaJo del ob?eo y = 1, cm = 0,01 m

8o%ici*n del ob?eo s = -0,1 m

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en sH

DamaJo de la ima#en yH

Otros símolos

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n de la ima#en y la del ob?eo en lo% e%&e?o% 1 s' 

1

s=

1

f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A L=

y' y =

− s' s elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución: a) b) 1 s ' + 1 −0,1 [m]= 1 0,10 [m] sH = 0,060 m /a ima#en %e encuenra a 6,0 cm a la derec:a del e%&e?o

A/ = - sH . s = -0,060 KmL . -0,1 KmL = 0,40 yH = A/  y = 0,40  1, cm = 0,60 cm = 6,0 mm /a ima#en e% virual, derec:a y menor

Análisis: El resultado del cálculo coincide con el del dibu&o.

c) /a% im'#ene% &roducida% &or e%&e?o% conveAo% %on %iem&re viruale% Ge la ecuaci*n de lo% e%&e?o%5

1 s'  1 s= 1 f 1 s ' = 1 f − 1 s s' = 1 1 f − s1 , - ) +' * ( f s s'

(18)

(19)

8olo% crierio de %i#no% s M 0, y en lo% e%&e?o% conveAo% f  0, &or lo ue

1

f −

1

s0

8or ano, sH  0 %iem&re /a ima#en %e va a ormar a la derec:a del e%&e?o y va a %er virual >lo% rayo% de luz no aravie%an lo% e%&e?o%)

2. Un #bje&# de 6 "! de al&ura es&' si&uad# a una dis&an"ia 3 del 0r&i"e de un es%ej# es+0ri"# "*n4 "a#/ de 1 ! de radi# de "ura&ura. Cal"ula la %#si"i*n $ &a!a# de la i!agen:

a, Si x  6 "!

b, Si x  (6 "!

En l#s d#s "as#s dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s. (P.A.U. Set. 04)

Rta.:_{a) sH = -1, m; yH = -10 cm; b) sH = 0, m; yH = 10 cm}

adio de curvaura del e%&e?o ( = -1,0 m

8o%ici*n del ob?eo5 en el &rimer ca%o s1 = -7 cm = -0,7 m

en el %e#undo ca%o s2 = -2 cm = -0,2 m

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en en ambo% ca%o% s1'# s2H

DamaJo de la ima#en en ambo% ca%o% y1H, y2H

Otros símolos

Ecuaciones

s= 1 f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A_/= y'

y =

− s ' s elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución: a) f = ( . 2 = -1,0 KmL . 2 = -0,0 m 1 s ' + 1 −0,7 [m]= 1 −0,0 [m] sH = -1, m

/a ima#en %e encuenra la 1, m a la izuierda del e%&e?o

A/ = - sH . s = 1, KmL . -0,7 KmL = -2 yH = A/  y = -2   cm = -10 cm /a ima#en e% real, inverida y mayor >el doble)

b) 1 s ' + 1 −0,2 [m]= 1 −0,0 [m] sH = B0,0 m

/a ima#en %e encuenra a 0,0 m a la derec:a del e%&e?o A/ = - sH . s = -0,0 KmL . -0,2 KmL = 2 * + , ) ( f s s' ) * + , ( f s s'

(20)

(21)

yH = A/  y = 2   cm = 10 cm /a ima#en e% virual, derec:a y mayor >el doble)

Análisis: En a"bos casos# el resultado del cálculo coincide con el del dibu&o.

5. Un es%ej# es+0ri"# "*n"a# &iene un radi# de "ura&ura de ?/6 !. De&er!ina anal;&i"a $ gr'+i"a4 !en&e la %#si"i*n $ au!en&# de la i!agen de un #bje&# de 6 "! de al&ura si&uad# en d#s %#si"i#4 nes di+eren&es:

a, A 1 ! del es%ej#. b, A ?/2? ! del es%ej#.

(P.A.U. Set. 05)

Rta.:_{a) sH = -0,33 m; A}/ = -0,33; b) sH = -1, m; A/ = -,0

adio de curvaura del e%&e?o ( = -0,0 m

8o%ici*n del ob?eo5 en el &rimer ca%o s1 = -1,0 m

en el %e#undo ca%o s2 = -0,30 m

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en en ambo% ca%o% s1'# s2H

umeno de la ima#en en ambo% ca%o% A1, A2

Otros símolos

Ecuaciones

s= f 1 umeno laeral en lo% e%&e?o% A/= y' _y =−_s s'

elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución: a) f = ( . 2 = -0,0 KmL . 2 = -0,2 m 1 s ' + 1 −1,0 [m]= 1 −0,2[m] sH = -0,33 m

/a ima#en %e encuenra la 33 cm a la izuierda del e%&e?o

A/ = - sH . s = 0,33 KmL . -1,0 KmL = -0,33 yH = A/  y = -0,33  ,0 cm = -1,7 cm /a ima#en e% real, inverida y menor >la ercera &are)

b) 1 s ' + 1 −0,30 [m]= 1 −0,2 [m] O C I F V R f s s'

(22)

(23)

sH = N1, m /a ima#en %e encuenra a 1,0 m a la izuierda del e%&e?o

A/ = - sH . s = 1, KmL . -0,30 KmL = N,0 yH = A/  y = N,0   cm = N2 cm /a ima#en e% real, inverida y mayor >cinco vece%)

6. Dad# un es%ej# es+0ri"# de 6? "! de radi# $ un #bje&# de 6 "! de al&ura si&uad# s#bre el eje *%4 &i"# a una dis&an"ia de 2? "! del es%ej#/ "al"ula anal;&i"a $ gr'+i"a!en&e la %#si"i*n $ &a!a# de la i!agen:

a, Si el es%ej# es "*n"a#. b, Si el es%ej# es "#ne3#.

(P.A.U. Jun. 06)

Rta.:_a) sH1 = -1, m; yH1 = -0,2 m; b) sH2 = 0,14 m; yH2 = 0,023 m

adio de curvaura del e%&e?o c*ncavo ( = -0,0 m

adio de curvaura del e%&e?o conveAo ( = B0,0 m

8o%ici*n del ob?eo s1 = -0,30 m

Incógnitas

8o%ici*n de la% im'#ene% ue dan ambo% e%&e?o% sH1 # sH2 DamaJo de la% im'#ene% ue dan ambo% e%&e?o% yH1, yH2 Otros símolos

Ecuaciones

1 s=

1 f

y =

− s ' s elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución: a) 1 s ' 1 + 1 −0,30 [m]= 1 −0,2 [m] I C O F V R f s s'

(24)

(25)

sH1 = N1, m /a ima#en %e encuenra a 1,0 m a la izuierda del e%&e?o

A/ = - sH . s = 1, KmL . -0,30 KmL = N,0 yH = A/  y = N,0   cm = N2 cm = -0,2 m /a ima#en e% real, inverida y mayor >cinco vece%)

b) 1 s ' 2 + 1 −0,30 [m]= 1 0,2 [m] sH2 = 0,14 m

/a ima#en %e encuenra a 0,14 m a la derec:a del e%&e?o

A/ = - sH . s = -0,14 KmL . -0,30 KmL = 0,4 yH = A/  y = 0,4   cm = N2,3 cm = -0,023 m /a ima#en e% virual, derec:a y menor

7. Un #bje&# de 2 "! es&' si&uad# a @ "! de un es%ej# es+0ri"# "*n"a# $ %r#du"e una i!agen a 1? "! a la dere"-a del es%ej#:

a, Cal"ula la dis&an"ia +#"al.

b, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s $ #b&0n el &a!a# de la i!agen.

", GEn u0 %#si"i*n del eje -a$ ue "#l#"ar el #bje&# %ara ue n# se +#r!e i!agenH

(P.A.U. Jun. 08)

Rta.: a) f = N0,40 m; b) yH = 3, cm

8o%ici*n del ob?eo s = -,00 cm = -0,000 m

8o%ici*n de la ima#en s' = 10,0 cm = -0,100 m

DamaJo del ob?eo y = 3,00 cm = 0,0300 m

Incógnitas

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n de la ima#en y la del ob?eo en lo% e%&e?o% 1

s ' +

1

s=

1

f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A/=

y ' y = − s ' s I C O F V R f s s' O V I F' C R f s s'

(26)

(27)

Solución: a) 1 0,100 [m]+ 1 −0,0-00 [m]= 1 f f  -0,400 m b) A_/=− s ' s = N 0,100 [m] N 0,0-00 [m]=1,2

yH = A/  y = 1,2  3,00 cm = 3,7 cm = 0,037 m /a ima#en e% virual, derec:a y mayor

Análisis: Los resultados están de acuerdo con el dibu&o.

c) $n el oco /o% rayo% ue %alen de un ob?eo %iuado en el oco %alen &aralelo% y no %e coran, &or lo ue no %e orma ima#en

. Un es%ej# es+0ri"# +#r!a una i!agen ir&ual/ dere"-a $ de &a!a# d#ble ue el #bje&# "uand# 0s&e es&' si&uad# er&i"al!en&e s#bre el eje *%&i"# $ a 1? "! del es%ej#. Cal"ula:

a, 8a %#si"i*n de la i!agen.

b, El radi# de "ura&ura del es%ej#.

Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s. (P.A.U. Jun. 0)

Rta.: a) sH = B0,20 m; b) (  N40 cm

umeno laeral A/ = 2,0

Incógnitas

adio de curvaura del e%&e?o (

Otros símolos

DamaJo del ob?eo y

Ecuaciones

1 s=

1 f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A_/= y '

y =

− s ' s elaci*n enre la di%ancia ocal y el radio de curvaura f = ( . 2 Solución:

a)

A/ = 2,0 = N sH . s

sH = -2,0 s = -2,0  >-10 cm) = 20 cm = 0,20 m /a ima#en %e encuenra la 20 cm a la derec:a del e%&e?o Análisis: En un espe&o# la i"agen es virtual si se for"a $a

la dereca% del espe&o# ya que los rayos que salen refle&a0 dos s!lo se cortan $a la i1quierda%.

b) C F O I R f s s' F O I C

(28)

(29)

1 0,20 [m]+ 1 −0,10 [m]= 1 f f = -0,20 m (  2 f = N0,40 m = N40 cm

Análisis: El signo negativo indica que el espe&o es c!ncavo# ya que su foco y su centro de curvatura se en0 cuentran $a la i1quierda% del espe&o. El espe&o tiene que ser c!ncavo# ya que los espe&os conve2os dan una i"agen virtual pero "enor que el ob&eto. Los resultados de s' y f están de acuerdo con el dibu&o.

8ENTES

1. Un #bje&# de 2 "! de al&ura se si&9a a 6 "! $ er&i"al!en&e s#bre el eje de una len&e delgada "#nergen&e de (6 "! de dis&an"ia +#"al. Cal"ula:

a, 8a %#si"i*n de la i!agen. b, El &a!a# de la i!agen.

Ja) un dibuj# del %r#ble!a (P.A.U. Jun. 03)

Rta.:_{a) s' = 3 cm; b) y' = -1, cm}

8o%ici*n del ob?eo s = -7 cm = -0,7 m

Gi%ancia ocal de la lene f = 2 cm = 0,2 m

Incógnitas

Otros símolos

umeno laeral A/

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n de la ima#en y la del ob?eo en la% lene% 1 s ' −

1 s=

1 f '

umeno laeral en la% lene% A/=

y ' y = s' s Solución: a) 1 s ' − 1 −0,7 [m]= 1 0,2 [m] s3 = 0,3 m

Análisis: La i"agen es real ya que s3 es positiva# es decir a la dereca de lente que es la 1ona donde se for0 "an las i"ágenes reales en las lentes.

b) y ' 0,030 [m]= 0,3- [m] −0,7 [m] y3 = N0,01 m = -1, cm

Análisis: El signo negativo nos indica que la i"agen es invertida. Los resultados nu"4ricos están en conso0 nancia con el dibu&o.

(. Un #bje&# de 1/6 "! de al&ura se si&9a a 16 "! de una len&e diergen&e ue &iene una +#"al de 1? "!. De&er!ina la %#si"i*n/ &a!a# $ na&urale)a de la i!agen:

F

FH

(30)

(31)

a, r'+i"a!en&e. b, Anal;&i"a!en&e.

", GSe %ueden #b&ener i!'genes reales "#n una len&e diergen&eH

(P.A.U. Set. 09)

Rta.:_{b) sH = -6,0 cm; yH = 6,0 mm}

8o%ici*n del ob?eo s = -1 cm = -0,1 m

Gi%ancia ocal de la lene f = -10 cm = -0,10 m

Incógnitas

Otros símolos

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n de la ima#en y la del ob?eo en la% lene% 1 s' −

1

s=

1

f '

umeno laeral en la% lene% A_/= y'

y = s'

s Solución:

a)

b) 8ara una lene diver#ene, f = -0,10 m5

1 s ' − 1 −0,1 [m]= 1 −0,10 [m] s' = -0,060 m y ' 0,001 [m]= −0,060 [m] −0,1 [m] y' = 0,0060 m = 6,0 mm

Análisis: La i"agen es virtual ya que s' es negativa# es decir se for"a a la i1quierda de lente que es la 1ona donde se for"an las i"ágenes virtuales en las lentes. El signo positivo del ta"a5o o indica que la i"agen es dereca. Los resultados nu"4ricos están en consonancia con el dibu&o.

c) /a% im'#ene% &roducida% &or la% lene% diver#ene% %on %iem&re viruale% Ge la ecuaci*n de la% lene%5

1 s ' − 1 s= 1 f 1 s ' = f 1  s1 s' = 1 1 f  1 s

8olo% crierio de %i#no% s M 0, y en la% lene% diver#ene% f M 0, &or lo ue 1

f  1 s0

8or ano, sH M 0 %iem&re /a ima#en %e va a ormar a la izuierda de la lene y va a %er virual >lo% rayo% de luz aravie%an la% lene% y orman la% im'#ene% reale% a la derec:a de ella%)

+

+ H

s s'

(32)

(33)

2. Un #bje&# de 2 "! de al&ura se si&9a a 6 "! de una len&e delgada "#nergen&e $ %r#du"e una i!agen a 2/6 "! a la dere"-a de la len&e:

a, Cal"ula la dis&an"ia +#"al.

b, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s $ #b&0n el &a!a# de la i!agen.

", GEn u0 %#si"i*n del eje -a$ ue "#l#"ar el #bje&# %ara ue n# se +#r!e i!agenH

(P.A.U. Jun. 08)

Rta_{5 a) f = 0,2 m; b) y' = -1, cm}

8o%ici*n del ob?eo s = -7,0 cm = -0,70 m

8o%ici*n de la ima#en s' = 37, cm = 0,37 m

Incógnitas

Gi%ancia ocal de la lene f '

Otros símolos

Ecuaciones

1 s=

1 f '

y ' y = s' s Solución: a) 1 0,37 [m]− 1 −0,7[m]= 1 f ' f3 = 0,20 m

Análisis: La distancia focal da positiva# que está de acuerdo con el dato de que la lente es convergente. b) y ' 0,0300 [m]= 0,37 [m] −0,70 [m] y3 = N0,010 m = N1,0 cm Análisis: El signo negativo nos indica

que la i"agen es invertida. Los resultados nu"4ricos están en consonancia con el dibu&o.

c) $n el oco /o% rayo% ue %alen de un ob?eo %iuado en el oco %alen &aralelo% y no %e coran, &or lo ue no %e orma ima#en

5. Una len&e "#nergen&e %r#$e"&a s#bre una %an&alla la i!agen de un #bje&#. El au!en&# es de 1? $ la dis&an"ia del #bje&# a la %an&alla es de (/ !.

a, De&er!ina las %#si"i#nes de la i!agen $ del #bje&#. b, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s.

", Cal"ula la %#&en"ia de la len&e.

(P.A.U. Set. 1)

Rta5 a) s = -0,24 m; sH = 2,4 m; c) 6 = 4,4 dio&ra%

umeno de la lene A/ = 10,0

Gi%ancia enre el ob?eo y %u ima#en d = 2,70 m

Incógnitas

8o%ici*n del ob?eo y de la ima#en s# sH

8oencial de la lene 6

F

FH

(34)

(35)

Otros símolos

Gi%ancia ocal de la lene f

Ecuaciones

1

s=

1

f '

y' y =

s' s

8oencia de una lene 6 =1

f Solución:

a) Gel aumeno laeral &odemo% e%ablecer la relaci*n maem'ica enre la% di%ancia% s del ob?eo a la lene y sH de la ima#en a la lene

A/= s' _s

s3 = 10,0 s

/a di%ancia del ob?eo a la &analla >donde %e orma la ima#en) e% la %uma de e%a% do% di%ancia% >%in ener en cuena lo% %i#no%)5

7sO B 7sH7 = 2,70 m

Deniendo en cuena ue, &or el crierio de %i#no%, la di%ancia del ob?eo a la lene e% ne#aiva, s M 0, &ero la di%ancia de la ima#en, cuando e% real, a la lene e% &o%iiva sH  0, ueda

0s B sH = 2,70 m

unue no% dicen ue el aumeno e% 10, el %i#no correco e% -10, &or lo ue, la relaci*n con el %i#no adecuado enre la% do% di%ancia% e%5

s3 = - 10,0 s u%iuyendo sH y de%&e?ando s, ueda

- s N 10,0 s = 2,70 m s=2,70 [m] −11,0 =−0,24 m s3 = - 10,0 s = 2,4 m b) c) 1 2,4[m]− 1 −0,24 [m]= 1 f ' = 6 6 = 4,4 dio&ra%

6. Un #bje&# de 2 "! de al&ura se "#l#"a a (? "! de una len&e delgada de 16 "! de +#"al. Cal"ula anal;&i"a $ gr'+i"a!en&e la %#si"i*n $ &a!a# de la i!agen:

a, Si la len&e es "#nergen&e. b, Si la len&e es diergen&e.

(P.A.U. Set. 06)

Rta_{5 a) sH = 0,60 m; y' = -,0 cm; b) sH = -0,06 m; yH = 1,3 cm}

Gi%ancia ocal de la lene f = 1 cm = 0,1 m

s s

(36)

(37)

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en en amba% lene% s1'# s2'

DamaJo de la ima#en en amba% lene% y1H, y2H

Otros símolos

Ecuaciones

1

s=

1

f '

y ' y =

s ' s Solución:

a) 8ara la lene conver#ene, f = B0,1 m5 1 s ' − 1 −0,20 [m]= 1 0,1[m] s3 = 0,60 m y ' 0,030 [m]= 0,60[m] −0,20 [m] y3 = N0,00 m = -,0 cm

Análisis: La i"agen es real ya que s3 es positiva# es decir a la dereca de la lente que es la 1ona donde se for"an las i"ágenes reales en las lentes. El signo negativo del ta"a5o nos indica que la i"agen es inverti0

da. Los resultados nu"4ricos están en consonancia con el dibu&o. b) 8ara la lene diver#ene, f = N0,1 m5

1 s ' − 1 −0,20 [m]= 1 −0,1 [m] s3 = N0,06 m y ' 0,030 [m]= −0,0-6 [m] −0,20 [m] y3 = 0,013 m = 1,3 cm

Análisis: La i"agen es virtual ya que s3 es negativa# es decir a la i1quierda de lente que es la 1ona donde se for"an las i"ágenes virtuales en las lentes. El signo positivo del ta"a5o nos indica que la i"agen es dere0

ca. Los resultados nu"4ricos están en consonancia con el dibu&o.

7. Un #bje&# de 2 "! se si&9a a (? "! de una len&e "u$a dis&an"ia +#"al es 1? "!: a, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s si la len&e es "#nergen&e.

b, Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s si la len&e es diergen&e.

", En a!b#s "as#s "al"ula la %#si"i*n $ el &a!a# de la i!agen.

(P.A.U. Jun. 1)

Rta5 >c) sH = 0,20 m; y' = -3,0 cm; >d) sH = -0,067 m; yH = 1,0 cm

Gi%ancia ocal de la lene f = 10 cm = 0,10 m

Incógnitas

8o%ici*n de la ima#en en amba% lene% s1' # s2'

DamaJo de la ima#en en amba% lene% y1H, y2H

F FH s s' F FH s s'

(38)

(39)

Incógnitas Otros símolos

Ecuaciones

1 s=

1 f '

umeno laeral en la% lene% A/= y' _y = s' _s

Solución:

a)

Análisis: La i"agen es real ya que s3 es positiva# es decir a la dereca de la lente que es la 1ona donde se for"an las i"ágenes reales en las lentes. El signo negativo del ta"a5o nos indica que la

i"agen es invertida. Los resultados nu"4ricos es0 tán en consonancia con el dibu&o.

b)

Análisis: La i"agen es virtual ya que s3 es negativa# es decir a la i1quierda de lente que es la 1ona donde se for"an las i"ágenes virtuales en las lentes. El signo positivo del ta"a5o nos

indica que la i"agen es dereca. Los resultados nu"4ricos están en consonancia con el dibu&o.

c) 8ara la lene conver#ene, f = B0,10 m5 1 s ' − 1 −0,20 [m]= 1 0,10 [m] s3 = 0,20 m y ' 0,030 [m]= 0,20[m] −0,20 [m] y3 = N0,030 m = -3,0 cm 8ara la lene diver#ene, f = N0,10 m5

1 s ' − 1 −0,20 [m]= 1 −0,10 [m] s3 = N0,067 m y ' 0,030 [m]= −0,067 [m] −0,20 [m] y3 = 0,010 m = 1,0 cm

. Se uiere +#r!ar una i!agen real $ de d#ble &a!a# de un #bje&# de 1/6 "! de al&ura. De&er!ina: a, 8a %#si"i*n del #bje&# si se usa un es%ej# "*n"a# de!  16 "!.

b, 8a %#si"i*n del #bje&# si se usa una len&e "#nergen&e "#n la !is!a dis&an"ia +#"al ue el es4 %ej#.

", Dibuja la !ar"-a de l#s ra$#s %ara l#s d#s a%ar&ad#s an&eri#res.

(P.A.U. Jun. 11) Rta.:_a) se = -11 cm; b) sl = -11 cm F FH s s' F FH s s'

(40)

(41)

umeno laeral A/ = -2,0

adio del e%&e?o c*ncavo ( = -1 cm = -0,1 m

Incógnitas

8o%ici*n del ob?eo ane el e%&e?o se

8o%ici*n del ob?eo ane la lene sl

Otros símolos

Gi%ancia ocal del e%&e?o y de la lene f

Ecuaciones

elaci*n enre la &o%ici*n s' de la ima#en y s la del ob?eo en lo% e%&e?o% 1 s ' +

1

s=

1

f elaci*n enre la &o%ici*n s' de la ima#en y s la del ob?eo en la% lene% 1

s ' −

1

s=

1

f

umeno laeral en lo% e%&e?o% A/= y ' _y =−_s s'

y '

y =

s ' s

elaci*n enre la di%ancia ocal f y el radio ( de curvaura de un e%&e?o f = ( . 2 Solución:

a) i la ima#en e% real y de amaJo doble, iene ue %er inverida, &or lo ue el aumeno laeral %er' ne#aivo

A/ = -2,0 = N sH . s sH = 2,0 s f e = ( . 2 = -0,07 m 1 s ' + 1 s= 1 f 1 2,0 s+ 1 s= 1 −0,07 [m] s_e=3(−0,07 [m]) 2 =−0,11 m

Análisis: En un espe&o# la i"agen es real si se for"a $a la i1quierda% del espe&o# ya que los rayos que salen refle&ados s!lo se cortan $a la i1quierda%.

b) i la lene e% conver#ene, la di%ancia ocal e% &o%iiva f l = = 0,07 m

9omo la ima#en e% real el aumeno laeral e% ne#aivo A/ = -2,0 = sH . s sH = -2,0 s 1 s ' − 1 s= 1 f 1 −2,0 s− 1 s= 1 0,07 [m] ) * + , ( f s s' FF s s' F'

(42)

(43)

s_l=−30,07 [m]

2 =−0,11 m

CUESTIONES

DIOPTRIO P8ANO.

1. Cuand# un ra$# de lu) !#n#"r#!'&i"a %asa desde el aire al agua nagua  52,/ se %r#du"e un

"a!bi#: A, En la +re"uen"ia. , En la l#ngi&ud de #nda. C, En la energ;a. (P.A.U. Set. 10) Solución: <P

$l ndice de reracci*n QnR de un medio e% el cociene enre la velocidad QvR de la luz en e%e medio y la velocidad de la luz QcR en el vaco

nau#a=

v_au#a c

Gel valor na#ua = 4.3, %e deduce ue la velocidad de la luz en el a#ua e% va#ua = 3.4 c M c

/a recuencia de una onda arm*nica e% caracer%ica e inde&endiene del medio &or el ue %e &ro&a#a $% el nSmero de o%cilacione% >en el ca%o de la luz como onda elecroma#nEica) del cam&o elEcrico o ma#nEico en la unidad de iem&o y corre%&onde al nSmero de onda% ue &a%an &or un &uno en la unidad de iem&o l &a%ar de un medio >aire) a oro >a#ua) en el ue la velocidad de &ro&a#aci*n e% menor, la recuencia Q f R %e maniene &ero, de la relaci*n enre la velocidad de &ro&a#aci*n QvR y la lon#iud de onda Q λR,

v = λ  f la lon#iud de onda, Q λR di%minuye &ro&orcionalmene

/a ener#a de una luz monocrom'ica e%, %e#Sn la ecuaci*n de 8lancT, E f =   f

&ro&orcional a la recuencia > e% la con%ane de 8lancT) y no variara al cambiar de medio %i E%e no ab%orbiera la luz $l a#ua va ab%orbiendo la ener#a de la luz, &or lo ue %e &roducira una &Erdida de la ener#a, ue a lo lar#o de una ciera di%ancia :ara ue la luz de?ara de &ro&a#ar%e &or el a#ua

(. Cuand# la lu) in"ide en la su%er+i"ie de se%ara"i*n de d#s !edi#s "#n un 'ngul# igual al 'ngul# l;!i&e es# signi+i"a ue:

A, El 'ngul# de in"iden"ia $ el de re+ra""i*n s#n "#!%le!en&ari#s. , N# se #bsera ra$# re+ra"&ad#.

C, El 'ngul# de in"iden"ia es !a$#r ue el de re+ra""i*n.

(P.A.U. Set. 05)

Solución: <

9uando un rayo &a%a del medio m'% den%o al meno% den%o e incide en la %u&ericie de %e&araci*n con un 'n#ulo %u&erior al 'n#ulo lmie, el rayo no %ale reracado %ino ue %ure releAi*n oal i el 'n#ulo de incidencia e% i#ual al 'n#ulo lmie, el rayo reracado %ale con un 'n#ulo de 0º y no %e ob%erva

2. Cuand# se #bsera el le"-# de un r;# en dire""i*n "asi %er%endi"ular/ la %r#+undidad real "#n re4 la"i*n a la a%aren&e es:

(44)

(45)

A, Ma$#r. , Men#r. C, 8a !is!a.

Da&#nagua naire, (P.A.U. Jun. 9" # Set. 03)

Solución: 

&licando la ecuaci*n del dio&rio e%Erico5 n' s' − n s= n ' −n (

Deniendo en cuena ue &ara una %u&ericie &lana ( = U, n = n >a#ua) y n' =1 >aire), ya ue el rayo de luz viene de%de el ondo del ro :acia no%oro%, ueda 1 s' − n s=0⇒ s' = s n

e% decir, la ima#en del ob?eo %e orma ane% del dio&rio > s M 0, &or lo ue sVM 0) y e%, &or ano, virual 9omo n  1 &ara el a#ua, la di%ancia sH a la ue %e ormar' la ima#en e% menor ue la di%ancia s del ob?eo >vEa%e el dia#rama)

5. Un ra$# lu!in#s# ue iaja %#r un !edi# del ue el ;ndi"e de re+ra""i*n esn1/ in"ide "#n "ier&#

'ngul# s#bre la su%er+i"ie de se%ara"i*n de un segund# !edi# de ;ndi"e n( n1  n(,. Res%e"&# al

'ngul# de in"iden"ia/ el de re+ra""i*n ser': A, Igual.

, Ma$#r. C, Men#r.

(P.A.U. Set. 0)

Solución: B

e#Sn la %e#unda ley de nell de la reracci*n,

%enθ i %enθ r =ci c_r= n_r n_i

en el ue θ i e% el 'n#ulo ue orma el rayo lumino%o incidene con la normal a la %u&ericie de %e&araci*n, θ r e% el 'n#ulo ue orma el rayo lumino%o reracado con la normal a la %u&ericie de %e&araci*n, ci e% la

velocidad de la luz en el medio incidene y cr e% la velocidad de la luz en el %e#undo medio, y ni y nr %on lo% ndice% de reracci*n de la luz en el &rimer >incidene) medio y el %e#undo >reracado)

/a ecuaci*n anerior %e &uede e%cribir5

n1 %en θ 1  n2 %en θ 2 i n1  n2 enonce%5

%en θ 1 8 %en θ 2 θ 1 8 θ 2

$l 'n#ulo de reracci*n >θ 2) e% mayor ue el 'n#ulo de incidencia >θ 1)

6. Un ra$# de lu) in"ide desde el aire n  1, s#bre una l'!ina de idri# de ;ndi"e de re+ra""i*nn 

1/6. El 'ngul# l;!i&e %ara la re+le3i*n &#&al de es&e ra$# es: A, 51/@L , B?L C, N# e3is&e. (P.A.U. Set. 08) Solución: 9 s s H

(46)

(47)

8ara ue eAi%a 'n#ulo lmie, la luz debe &a%ar de un medio m'% den%o *&icamene >con mayor ndice de reracci*n) a uno meno% den%o

8or la ley de nell

n1 %en θ 1  n2 %en θ 2

$l 'n#ulo lmie e% el 'n#ulo de incidencia &ara el ue el 'n#ulo de reracci*n vale 0º n1 %en λ1 = n2%en 0º = n2

i n2  n1 enonce%5

%en λ1 = n2 / n1  1 lo ue e% ab%urdo

7. El 'ngul# l;!i&e en la re+ra""i*n aguaaire es de 5@/71L. Si se %#see #&r# !edi# en el ue la el#4 "idad de la lu) seav !edi#  ?/@@v agua/ el nue# 'ngul# l;!i&e !edi#aire, ser':

A, Ma$#r. , Men#r.

C, N# se !#di+i"a.

(P.A.U. Jun. 04)

Solución:<

$l 'n#ulo lmie e% el 'n#ulo de incidencia &ara el ue el 'n#ulo de reracci*n vale 0º &licando la 2 ley de nell de la reracci*n5

%en i / %en r = vi . vr 8ara el 'n#ulo lmie λa#ua 5

%en λa#ua / %en 0º = va#ua . vaire %en λa#ua = va#ua . vaire 9on lo% dao%5

va#ua = vaire  %en λa#ua = 0,7 vaire 8ara un nuevo medio en el ue vmedio = 0,7 va#ua,

vmedio M va#ua

>%en λmedio = vmedio . vaire) M >va#ua . vaire = %en λa#ua) λmedio M λa#ua

9on lo% dao%5

%en λmedio = 0,7 va#ua . vaire = 0,7  0,7 vaire . vaire = 0,66 λmedio = 41º M 4,61º

. Si el ;ndi"e de re+ra""i*n del dia!an&e es (/6( $ el del idri# 1/(. A, 8a lu) se %r#%aga "#n !a$#r el#"idad en el dia!an&e.

, El 'ngul# l;!i&e en&re el dia!an&e $ el aire es !en#r ue en&re el idri# $ el aire.

C, Cuand# la lu) %asa de dia!an&e al idri# el 'ngul# de in"iden"ia es !a$#r ue el 'ngul# de re+ra""i*n.

(P.A.U. Jun. 05)

Solución: <

$l 'n#ulo lmie λ e% el 'n#ulo de incidencia &ara el ue el 'n#ulo de reracci*n vale 0º &licando la 2 ley de nell de la reracci*n5

(48)

(49)

ni %en i  nr %en r

$l ndice de reracci*n del aire QnaR e% el cociene enre la velocidad de la luz en el vaco QcR y la velocidad de la luz en el aire QvaR 9omo %on &r'cicamene i#uale%

na = c . va = 1 $l 'n#ulo lmie enre el diamane y el aire e% λd 5

nd %en λd = na%en 0º = 1

λd = arc %en >1 . nd) = arc %en >1 . 2,2) = 23º n'lo#amene &ara el vidrio5

λv = arc %en >1 . 1,27) = 2º /a% ora% o&cione%5

 Ge la deinici*n de ndice de reracci*n,

n = c . v ueda

vd = c . nd = 3×10 Km.%L . 2,2 = 1,2×10 m.% vv = c . nv = 3×10 Km.%L . 1,27 = 2,4×10 m.%

9 9uando la luz &a%a de un medio m'% den%o *&icamene >diamane) a oro meno% den%o >vidrio) el rayo reracado %e ale?a de la normal >el 'n#ulo de incidencia e% menor ue el 'n#ulo de reracci*n)

@. Cuand# un ra$# de lu) in"ide en un !edi# de !en#r ;ndi"e de re+ra""i*n/ el ra$# re+ra"&ad#: A, ar;a su +re"uen"ia.

, Se a"er"a a la n#r!al.

C, Puede n# e3is&ir ra$# re+ra"&ad#.

(P.A.U. Set. 0")

Solución: 9

9uando la luz &a%a de un medio m'% den%o *&icamene >con mayor ndice de reracci*n) a oro meno% den%o >&or e?em&lo del a#ua al aire) el rayo reracado %e ale?a de la normal 8or la %e#unda ley de nell de la reracci*n5

ni %en i  nr %en r i ni  nr, enonce% %en r  %en i# y r  i

8ero eAi%e un valor de i, llamado 'n#ulo lmie λ, &ara el ue el rayo reracado orma un 'n#ulo de 0º con la normal 8ara un rayo incidene con un 'n#ulo mayor ue el 'n#ulo lmie, no a&arece rayo reracado e &roduce una releAi*n oal

B. En el +#nd# de una %is"ina -a$ un +#"# de lu). Obserand# la su%er+i"ie del agua se er;a lu): A, En &#da la %is"ina.

, S*l# en el %un&# en"i!a del +#"#.

C, En un ";r"ul# de radi# R alreded#r del %un&# en"i!a del +#"#.

(P.A.U. Set. 10)

Solución: 9

/a %u&ericie circular iluminada %e debe la ue lo% rayo% ue vienen de%de el a#ua e inciden en la %u&ericie de %e&araci*n con 'n#ulo %u&erior al 'n#ulo lmie no %alen al eAerior, &orue %uren releAi*n oal

(50)

(51)

$l 'n#ulo lmie e% el 'n#ulo de incidene &ara lo cual el rayo reracado %ale con un 'n#ulo de reracci*n de 0º

8or la 2 ley de nell

na#ua %en i = naire %en r na#ua %in λ = 1 %in 0º λ = arc %en >1.na#ua)

Gel ri'n#ulo rec'n#ulo del dibu?o %e deduce ue5 ( =  # λ

ESPEOS.

1. En un es%ej# es+0ri"# "#ne3# la i!agen ue se +#r!a de un #bje&#/ es: A, Real iner&ida $ de !a$#r &a!a# ue el #bje&#.

, ir&ual dere"-a $ de !en#r &a!a# ue el #bje&#. C, ir&ual dere"-a $ de !a$#r &a!a# ue el #bje&#.

(P.A.U. Set. 0)

Solución: <

+Ea%e la marc:a de lo% rayo%

/a ima#en %e orma Qder'%R del e%&e?o, &or lo ue e% virual $l i&o de ima#en e% inde&endiene de la di%ancia del ob?eo al e%&e?o

(. 8a i!agen +#r!ada en l#s es%ej#s es: A, Real si el es%ej# es "#ne3#.

, ir&ual si el es%ej# es "*n"a# $ la dis&an"ia #bje&# es !en#r ue la +#"al.

C, Real si el es%ej# es %lan#.

(P.A.U. Set. 06)

Solución: <

Dal como %e ve en la i#ura

i %e a&lican la% ecuacione% de lo% e%&e?o%5 1 s '  1 s= 1 f Ge%&e?ando sH s ' = f s s− f

9omo la% coordenada% s y f %on ne#aiva%, %i O sO M O f O s  f

y sH = >N)>N) . >B) 0, lo ue indica ue la ima#en e% virual >%e QormaR der'% del e%&e?o)

2. Si "#n un es%ej# se uiere #b&ener una i!agen !a$#r ue el #bje&#/ -abr' ue e!%lear un es%e4 j#: A, Plan#. , C*n"a#. C, C#ne3#. , ) + * ( f s s' * + , ) ( f s s' h R W 0º

(52)

(53)

(P.A.U. Set. 08)

Solución: <

$n lo% e%&e?o% &lano% el amaJo de la ima#en e% i#ual y en lo% conveAo% e% %iem&re menor !abr' ue u%ar un e%&e?o c*ncavo y %iuar el ob?eo denro de la di%ancia ocal, al como %e ve en la i#ura

i %e a&lican la% ecuacione% de lo% e%&e?o%5 1 s ' + 1 s= 1 f y A/= y ' y = − s ' s

8ara ue la ima#en %ea mayor, el aumeno laeral :a de %er, en valor ab%oluo, mayor ue la unidad, y &or ano5

O s' O  O sO Ge%&e?ando f f = 1 1 s ' + 1 s

i O s' O  O sO

1

∣ s ' ∣<

1

∣ s∣

/a coordenada s e% ne#aiva y %i la sH e% &o%iiva, >lo ue ocurre cuando la ima#en e% virual y %e orma a la derec:a del e%&e?o)

1

s ' +

1

s <0

y f M 0, lo ue indica ue el e%&e?o debe %er c*ncavo

5. Si un es%ej# +#r!a una i!agen real iner&ida $ de !a$#r &a!a# ue el #bje&#/ se &ra&a de un es4 %ej#:

A, C*n"a# $ el #bje&# es&' si&uad# en&re el +#"# $ el "en&r# de la "ura&ura. , C*n"a# $ el #bje&# es&' si&uad# en&re el +#"# $ el es%ej#.

C, C#ne3# "#n el #bje&# en "ualuier %#si"i*n.

(P.A.U. Jun. 1)

Solución: 

$n lo% e%&e?o% conveAo% el amaJo de la ima#en e% %iem&re menor !abr' ue u%ar un e%&e?o c*ncavo y %iuar el ob?eo enre el cenro de curvaura y el oco al como %e ve en la i#ura

6. Para #b&ener una i!agen en la !is!a %#si"i*n en ue es&' "#l#"ad# el #bje&#/ Gu0 &i%# de es4 %ej# $ en u0 lugar -a de "#l#"arse el #bje&#H:

A, C*n"a# $ #bje&# si&uad# en el "en&r# de "ura&ura. , C#ne3# $ #bje&# si&uad# en el "en&r# de "ura&ura. C, C*n"a# $ #bje&# si&uad# en el +#"#.

(P.A.U. Set. 11)

Solución: 

$l re%ulado %e ve en la i#ura, en la ueO e% el ob?eo, ) la ima#en, * el cenro de curvaura y + el oco del e%&e?o c*ncavo

* + , ) ( f s s' * + O ) ) * + , ( f s s'

(54)

(55)

7. Si se desea #b&ener una i!agen ir&ual/ dere"-a $ !en#r ue el #bje&#/ se usa: A, Un es%ej# "#ne3#.

, Una len&e "#nergen&e. C, Un es%ej# "*n"a#.

(P.A.U. Jun. 13)

Solución: <

+Ea%e la marc:a de lo% rayo%

/a ima#en %e orma Qder'%R del e%&e?o, &or lo ue e% virual $l i&o de ima#en e% inde&endiene de la di%ancia del ob?eo al e%&e?o

. Un es%ej# "*n"a# &iene @? "! de radi# de "ura&ura. 8a dis&an"ia del #bje&# al es%ej# %ara ue su i!agen sea dere"-a $ 5 e"es !a$#r es:

A, 6? "!. , 2? "!. C, 7? "!.

(P.A.U. Set. 13)

adio de curvaura ( = -0,0 cm = -0,00 m

umeno laeral A/ = 4,00

Incógnitas

8o%ici*n del ob?eo s

Otros símolos

DamaJo del ob?eo y

Ecuaciones

1 s=

1 f

y =

− s ' s Solución: <

/a di%ancia ocal del e%&e?o e% la miad del radio de curvaura 9omo el e%&e?o e% c*ncavo el oco %e encuenra a la izuierda, y, &or el convenio de %i#no%, la di%ancia ocal e% ne#aiva

f  ( . 2 = -0,400 m $l aumeno laeral en e%&e?o% e%

A/=− s' _s =4,00

sH = -4,00 s e %u%iuyen f , s' en la ecuaci*n de lo% e%&e?o%

1 −4,00 s+ 1 s= 1 −0,400 [m]

y muli&licando ambo% lado% &or >-4,00 s) ueda una ecuaci*n %encilla 1 N 4,00 = 10 s

, ) + *

( f s s'

(56)

(57)

cuya %oluci*n e%5

s = -0,300 m

@. D#s es%ej#s %lan#s es&'n "#l#"ad#s %er%endi"ular!en&e en&re si. Un ra$# de lu) ue se des%la4 )a en un &er"er %lan# %er%endi"ular a l#s d#s/ se re+leja su"esia!en&e en l#s d#s es%ej#s. El ra$# re+lejad# en el segund# es%ej#/ "#n res%e"&# al ra$# #riginal:

A, Es %er%endi"ular. , Es %aralel#.

C, De%ende del 'ngul# de in"iden"ia.

(P.A.U. Set. 04)

Solución: <

+Ea%e la i#ura i %e llama α al 'n#ulo ue orma el rayo con el e%&e?o :ori-zonal, el 'n#ulo con ue %ale el rayo rele?ado en el e%&e?o verical re%&eco a la :orizonal, ambiEn vale α

e cum&le ue5

9   ; α i2  09  0α

r 2  0 i2  α

8ENTES.

1. En una len&e "#nergen&e/ l#s ra$#s ue salen del +#"# #bje&#/ A, C#nergen en el +#"# i!agen.

, E!ergen %aralel#s. C, N# se des;an.

(P.A.U. Set. 98)

Solución: <

$n la% lene% conver#ene%, lo% rayo% conver#en $% decir, lo% rayo% ue lle#an &aralelo% conver#en en el oco ima#en, y ambiEn lo% rayo% ue %alen del oco ob?eo %alen &aralelo%

&licando la ecuaci*n de la% lene% del#ada% 1 s' − 1 s= 1 f '

i s = f >el ob?eo %e coloca en el oco), y eniendo en cuena ue f = - f H, ueda sH = U /a% ora% o&cione%5

5 conver#en en el oco ima#en lo% rayo% ue lle#an &aralelo% a una lene conver#ene 95 no %e de%van lo% rayo% ue &a%an &or el cenro *&ico de una lene conver#ene

(. En las len&es diergen&es la i!agen sie!%re es: A, Dere"-a/ !a$#r $ real.

, Dere"-a/ !en#r $ ir&ual. C, Dere"-a/ !en#r $ real.

(P.A.U. Jun. 03$ Jun. 06)

Solución: < i₁ r ₁ i 2 r 2 α ₉

(58)

(59)

Gerec:a, menor y virual

Ge acuerdo con la re&re%enaci*n #r'ica5

2. Al a&raesar una len&e delgada/ un ra$# %aralel# al eje *%&i"#: A, N# se des;a.

, Se des;a sie!%re.

C, Se des;a # n#/ de%endiend# del &i%# de len&e.

(P.A.U. Set. 98)

Solución:<

i la lene e% conver#ene, el rayo %e de%va y &a%a &or el oco ima#en i la lene e% diver#ene, el rayo %e de%va y %u &rolon#aci*n &a%a &or el oco ob?eo

&licando la ecuaci*n de la% lene% del#ada% 1 s' − 1 s= 1 f '

%i s = N U >el rayo viene de%de el ininio), ueda sH = f H >%i la lene e% conver#ene) o, eniendo en cuena ue f H = f# ueda sH = N f >%i la lene e% diver#ene)

5. Si se desea +#r!ar una i!agen ir&ual/ dere"-a $ de !en#r &a!a# ue el #bje&#/ se debe u&ili4 )ar:

A, Un es%ej# "*n"a#. , Una len&e "#nergen&e. C, Una len&e diergen&e.

(P.A.U. Jun. 0")

Solución: 9

/o% dibu?o% mue%ran la ormaci*n de im'#ene% en lo% ca%o% en ue el ob?eo %e encuenra de%&uE% del oco ob?eo y ane% del oco ob?eo

$n odo% lo% ca%o% la ima#en e%

virual, derec:a y menor ue el ob?eo

6. Para #b&ener una i!agen ir&ual/ dere"-a $ de !a$#r &a!a# ue el #bje&# se usa: A, Una len&e diergen&e.

, Una len&e "#nergen&e. C, Un es%ej# "#ne3#.

(P.A.U. Jun. 10$ Jun. 09)

Solución: <

$l dia#rama mue%ra la ormaci*n de la ima#en cuando el ob?eo %e encuenra denro de la di%ancia ocal

/a% ora% o&cione%5

 y < Fal%a /a% lene% diver#ene% y lo% e%&e?o% conveAo% %iem&re &roducen im'#ene% viruale%, derec:a%pero_{de menor amaJo ue el}

ob?eo F X Y _FH F X Y FH F X Y FH F FH X Y

(60)