Grupo: 20
4. Dada la ecuación (2k+2) +4x-4kx+k-2=0, hallar la suma de sus raíces sabiendo que estas son inversas
Solución.
La ecuación equivale a :(2k+2) +4(1-k)x+k-2=0 ………α
r y s sean las raíces de la ecuación “α” tienen raíces inversa . Entonces.
rs=1 k= .
reemplazamos el valor de “k” en la ecuación “α” , entonces la ecuación “α” equivale a :
6 -20x+6=0
Nos pide : r+s. r+s= r+s=
14. para que valores de “m” las raíces de la ecuación
( b )(m+1)=am a cm+c son de signos contrario e iguales en valor absoluto. Solución.
La ecuación equivale a: (m+1) -{b(m+1)+a(m-1)}x+c(m-1)=0 …………β
r y s sean las raíces de la ecuación “β” tienen raíces de signos contrario e iguales en valor absoluto , Entonces. r+s =0 r+s = =0
bm+b+am-a =0 despegamos “m” el valor que nos pide calcular m=
24.Si “ r “ y “s “ son las raíces de la ecuación a +2bx+c=0 , hallar la ecuación cuyas raíces son “ ” y “ ”, y probar que cuando a+c=0 , esta ecuación es la misma que la ecuación original .
Solución.
Construimos la ecuación a partir de la raíces “ ” y “ ”, entonces
-{ }x+ )=0 la ecuación queda de la siguiente manera en
función de r y s
De la ecuación. a +2bx+c=0 de raíces “ r “ y “s “, podemos obtener
r+s= ……..m , rs= ………n , reemplazamos las ecuaciones “m” y “n “ en la ecuación “ϴ ” , entonces se tiene.
-{ }x+ =0
-{ }x+ =0 la ecuación equivale a.
a +2b(2c+a)x+ =0 ………….z
Probar que cuando a+c=0 , esta ecuación es la misma que la ecuación original . Entonces
a +2bx+c
a +2bx+c a +2b(2c+a)x+
a=ac c=1 también 2b =2b(2c+a) a=-1 a+c=0
Grupo : 21
3. resolver. = 4
Solución.
= 4
Sea, m= entonces la ecuación equivale a.
= 4 =0 factorizando tenemos , m(m -4)=0 m=0 m -4 = 0 Reemplazando, tenemos . m=0 m -4 = 0 =0 – 4=0 factorizando tenemos. x(x+3) =0 (x+4)(x - 1)=0 ( x=0 ) ( x+4 =0 ) ( x=0 ) ( x= -4 ) , Entonces. CS={-4 ,-3 ,0 ,1}
13. resolver. Solución.
La ecuación equivale a:
=
Sea n= , entonces la ecuación equivale a : + = 0 , factorizando :
+ = 0 (8 )( )=0 8 . Reemplazando, tenemos. 8 factorizando: cs= Grupo : 22
3. Si a>0 y b>0 , hallar valor de verdad de las siguientes afirmaciones : Solución .
a)
Demostrando, que:
Se sabe que :a>0 y b>0 , entonces : ab>o………..m
Sumando “a” en la desigualdad “m”, entonces : ab +a > a , factorizando “a” : a(b+1)> a ……….z
multiplicamos por “ ” a desigualdad “z” , entonces se tiene ,que : Entonces la proposición es ………. Falso
b)
Demostrando , que : Se sabe que :a>0 y b>0
b >a , entonces : b , b> b-a ………q
multiplicamos por “a” a la desigualdad “q” entonces se tiene , que: ab>ab : Entonces la proposición es ………. Verdadero
c)
Demostrando que : Se sabe que :a>0 y b>0
Como a>0 ,entonces: >0 y también ; ab>0
Sumamos “ ab “ a la desigualdad >0: ab+ > ab , factorizamos ,” a” Que de la siguiente manera : a(b+a)>ab , luego multiplicamos por
Entonces : a > , multiplicamos por Resultar que :
Entonces la proposición es ………. Verdadero
d)
Demostrando que :
Se sabe que :a>0 y b>0 , teniendo que: entonces b < a Multiplicando por “b” a la desigualdad b < a se tiene que :
Multiplicando por , se tiene que :
Entonces la proposición es ……….. Verdadera
13. para números reales cualesquiera, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a)
Si, , multiplicamos por , entonces : no cambia la desigualdad porque : c < 0
Entonces la proposición es ………. falso
b)
si , multiplicamos las desigualdad , entonces :
Entonces:
Entonces la proposición es ……….. Verdad c)
si. , multiplicamos por -1 la desigualdad :
sumamos “a” entonces: .
, elevamos al cuadrado , entonces se tiene: Entonces la proposición es ………. Verdad d)
Si , y entonces : se cumple :
23. Si a, b, c son números reales positivos y diferentes, demostrar que.
Solución.
Si a ,b ,c . mayores que cero y diferentes
, sumando las tres desigualdades, se tiene :
………z Si a ,b ,c . mayores que cero y diferentes
, elevamos al cuadrado:
………..d
………..r De las desigualdades “z” y “r”, se tiene :
……….t De las desigualdades “d” y “t” se tiene que:
Grupo: 23 1. Hallar conjunto solución de :
Solución.
x c.s.=
11. Hallar conjunto solución de: Solución.
La desigualdad equivale a : , puntos críticos. x= , x= 1
Ubicamos los puntos críticos en la recta real
Entonces . x
21. definimos la operación del siguiente modo , Hallar el conjunto solución de
Solución.
Aplicamos la operación definida en la desigualdad dada, entonces.
Puntos críticos: z=3 , z= -2 Ubicamos los puntos críticos en la recta real.
Entonces.
31. determinar “m” de manera que la raíz de la ecuación en : , sea menor que 1. Solución.
Despejamos “x” de la ecuación x = la raíz de la ecuación en sea menor que 1.
x< 1 <1 , – 1 < 0 , Puntos críticos. m= -7 , m=
Ubicamos los puntos críticos en la recta real.
Entonces. m , Grupo: 24 8. demostrar que: a) si b) si c) si d) si > Solución. a) si Como tenemos -3 x 2 sumando 3 , -3 x 2
b) si Sol; si tenemos: Sumando 5 Invirtiendo,tenemos: ……… es verdadera c) si Sol: Como tenemos: Multiplicando por 2 Sumando 5 Invirtiendo, por 3 ……… es verdadera d) si > Sol: Como tenemos: Multiplicando por 2 Sumando 3 Invirtiendo , >……… es verdadera
18. dado los conjuntos: ,
B , ,
. Hallar los intervalos que corresponden a las siguientes operaciones . a) b) c) d) Solución.
Resolviendo los conjuntos:
Sumando 2 B -2 4 restado 2 -4 dividiendo entre 3 Multiplicando por -1 U >
, RESOLVER: a) : ( - U > )∩ ∩ Cs= b) Sol: ( ∪ ( U >))-( U Cs = ( U ) c) SOL: ( ∩ )∪ Cs = d) SOL: ( U >)- )- U > U > Cs = >
28. dado los conjuntos: ,
B , , hallar el conjunto D,si
. Solución. Tenemos: Sumamos 3 B tenemos: Dividimos entre 2 .
Grupo: 25 7. Resolver la inecuación dada:
Solución.
La ecuación equivale a. >0
El termino , porque < o , entonces, factorizando la desigualdad equivale a:
(x- 2)(x + 4)>0 , Puntos críticos. x= - 4; x= 2 Ubicamos los puntos críticos en la recta real.
Entonces ,
17. Resolver la inecuación dada:
Solución.
La ecuación. , factorizamos
utilizando el esquema de Ruffini.
-5 0 X=1 1 -2 -33 6o X=2 1 9 X=-3 6 -18 -3 1 -3 6 -9 1 0 3 18 -1 -4 14 14 -36 1 -1 -5 -24 36 9 -24 36 0 3 2 2 -6 -36 1 1 -2 3 -6 0 2 0 6 X=2 0
La ecuación equivale a. , >0 entonces se cumple .
La desigualdad que de la siguiente manera.
)
Obtenemos los Puntos críticos igualando a cero cada factor. x = 1 , x= 2 , x= - 3
Ubicamos los puntos críticos en la recta real.
Grupo: 26
3. Resolver. .
Solución.
Calculamos el universo “U1 “de ………….q
U1 :
U 1: x 2 x x U1 : x 2
U1 =
Elevamos al cuadrado la ecuación “q” , entonces se tiene .
=
} x } U2 { (x-5)(x+4)= } U2 { x=5 , x= -4 } U1 { x=5 , x= -4 } { 5 } 13. resolver. . Solución.
Calculamos el universo “U1 “de . ………..c
U1:
U 1: x x U1 =
Elevamos al cuadrado la ecuación “c” , entonces se tiene . .
= ………r
U2 : , también U2=
Elevamos al cuadrado la ecuación “r ” , entonces se tiene
La ecuación equivale a : , factorizando
x= x= 6
U1 , ya que no satisface la ecuación. Entonces.
c,s.= {6}
23. dada la ecuación . el valor de “x” que la satisface es x=c/d con enteros primos entre si . Hallar c2-d.
Solución.
Calculamos el universo “U “de …………..s
U :
La ecuación “ s” equivale a .
Elevamos al cuadrado la ecuación “t“, entonces se tiene.
, ,
, ……….. b
Elevamos al cuadrado la ecuación “b“, entonces se tiene.
, , x=
c,s = U { } c,s = ,
Comparando la igualdad se tiene, c= 9 , d= 16
Nos pide calcular. c2-d. entonces reemplazando los valores de c y d . c2-d = 65
Grupo: 27
10. resolver la inecuación dada y representar sus soluciones sobre una recta real.
Solución.
………..h
Hallamos el universo “ U” de la desigualdad “h”
{ x }
C.S=
20. resolver la inecuación dada y representar sus soluciones sobre una recta real.
Solución.
………A
De la desigualdad “A” se tiene que : , es un numero positivo; Calculamos el universo “ U”:
U : , factorizando: U :
U :
U:
La desigualdad “ A” es equivalente, a:
, puntos críticos , x= 2 , x=5 ; ubicamos en la recta real :
Entonces de la recta se tiene , que :
C.S= U:
C.S=
30. resolver:
Solución.
………….. v
Los radicales pares proporcionaran el universo “ U “ , entonces se tiene :
Luego factorizamos , como los radicales pares son positivos , entonces la desigualdad “ v” se reduce , a:
Como los radicales impares tienen los mismos signos que sus cantidades sub radicales entonces la desigualdad se reduce , a:
, ,
Puntos críticos: ubicamos en la recta real:
+ - + - - - + - +
Entonces la solución se encuentra en los intervalos “ negativos”
C.S1= C.S= U { } C.S= C.S= Grupo: 28 ;
4. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones para números reales a) si b) c) d) Solución. a) Si , cumple , la desigualdad
Entonces la proposición “ a)” es ……….. verdad
2 10
Solución. b)
………..q
de la desigualdad “ q” se tiene que :
, por propiedad de valor absoluto con inecuación se tiene , que :
entonces :
Entonces la proposición “ b)” no cumple con la condición ,entonces : es ……… falso
Solución. c ) completamos cuadrados . Entonces se tiene , que : a : <0
La desigualdad equivale a : extraemos la raíz cuadrada a la desigualdad , entonces se tiene , que:
Por propiedad del valor absoluto, queda de la siguiente manera .
Entonces la proposición “ c)” es ……….. verdad Solución. d)
Por definición de valor absoluto con inecuaciones, que :
restamos 7 a la desigualdad , entonces se tiene , que:
invertimos la desigualdad , entonces se tiene, que:
Entonces la proposición “ d)” es ……….. verdad
14. en los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado.
a)
b) E=
c) d)
Solución. a)
Por definición de valor absoluto se tiene, que:
= , = , entonces: , Reemplazando: E = E = , por lo tanto E =5 Solución. b) E=
Por definición de valor absoluto se tiene, que:
= , =
, entonces : = , Reemplazando:
E = , por lo tanto E= 4 Solución. c )
Por definición de valor absoluto se tiene, que:
= , =
,
Para : no se reduce la expresión E en un valor independiente: Reemplazando:
Solución. d )
Por definición de valor absoluto se tiene, que:
= , =
, entonces : =
Reemplazando: =
E= , por lo tanto E=2
Grupo: 29
3. Determine el conjunto solución. Solución.
La ecuación. equivale , a:
, entonces por definición del valor absoluto:
Reduciendo se tiene, que: x= 3 x = Entonces : c.s= { }
13. Determine el conjunto solución . Solución.
. ………w
Obtenemos los puntos críticos : , ubicamos en la recta real :
Para , en la ecuación “w”: 2 , entonces: c.s1= Para , en la ecuación “w” Por lo tanto: c.s2= C.S2= 0 Para , en la ecuación “w” Entonces: C.S3= C.S3= 2 - -1 +
23. hallar los números reales que satisfacen la desigualdad dada.
Solución. ,
por definición de valor absoluto con inecuaciones:
, factorizando se tiene:
los puntos críticos para : ; , ubicamos los puntos críticos en la recta real:
C.S1=
los puntos críticos para : ubicamos los puntos
críticos en la recta real :
+ + C.S2=
Por lo tanto: C.S= C.S1 C.S2 C.S=
33. hallar los números reales que satisfacen la desigualdad dada. Solución. De la desigualdad: , también - 3 - + -1/2 + + 1/2 - -3 - + 3
……….m
Puntos críticos: ubicamos en la recta real:
a. Para : , entonces la desigualdad “m” se tiene :
factorizando :
C.S1= C.S1 =
b. Para : , entonces la desigualdad “m” se tiene :
, completando cuadrados:
2= 2=
c. Para , entonces la desigualdad “m” se tiene :
, factorizamos por diferencia de cuadrados:
C.S.3 =
3=
d. Para : , entonces la desigualdad “m” se tiene :
c.s4=
2
C.S1 2 C.S.3 4
43. determinar el conjunto solución de la inecuación. < 2.
Solución. < 2
La desigualdad equivale a : …………..z Puntos críticos: , ubicamos en la recta real :
a) para : , entonces la desigualdad “z” se tiene :
, entonces:
1=
1 =
b). para : , entonces la desigualdad “z” se tiene : la desigualdad equivale a :
, entonces:
C.S2= C.S2= C.S= 1 C.S2 C.S = > C.S = 53. resolver. . Solución. . ………..H La desigualdad “H” se reduce + ………..p
Puntos críticos : , ubicamos en la recta real :
a). para: , entonces la desigualdad “p” se tiene :
C.S1= C.S1=
b). para. , entonces la desigualdad “p” se tiene: 4
C.S2=.
Entonces, C.S2=
c). para : ,entonces la desigualdad “p” se tiene :
C.S3= , entonces: C.S3=
C.S= C.S1 C.S2 C.S3 C.S=
. Sean los conjuntos y .
Hallar. A B. Solución.
Del conjunto A, se tiene :
La desigualdad equivale a: , por propiedad se tiene :
Entonces el conjunto A, tiene elementos
Del conjunto B, tiene :
La desigualdad equivale a:
Entonces el conjunto B, tiene elementos Nos pide calcular : A
Entonces: A =
A =
73. hallar los conjuntos y . Hallar A B.
Solución.
……….v
Puntos críticos: x=4 , ubicamos en la recta real :
a). para: 4> , la desigualdad se tiene: , entonces su equivalencia, es:
x , entonces : C.S1= 4>
C.S1=
b). , la desigualdad se tiene: , entonces su equivalencia, es:
C.S2= =
Entonces C.S. del conjunto A ,es:
Del conjunto B , se tiene : , entonces
U:
Por lo tanto el conjunto B , tiene elementos, Nos pide A B. A B =
Grupo: 30
8. resolver
Solución.
Por definición e máximo entero se tiene, que :
{ }
{ }
Factorizamos por diferencia de cuadrados cada desigualdad , entonces se tiene , que : {
Obtenemos puntos críticos:
Ubicamos en la recta real e intersectamos las posibles soluciones y que de la forma siguiente
18. resolver.
Solución. , por propiedad se tiene, que:
-1 3
- +
28. resolver la inecuación. Solución.
Por propiedad de máximo entero se tiene , que :
Factorizando se tiene:
Los puntos críticos se obtiene igualando cada factor igualando a cero , entonces se tiene, que:
Ubicamos los puntos críticos en la recta real.
;2 >
38. dado los conjuntos y
. Hallar : A
Solución.
- Del conjunto A , se tiene que:
x 2
x - Del conjunto B , se tiene que :
Por propiedad: = , entonces la ecuación equivale a:
( )( )
, Factorizando se tiene
, entonces se tiene, que: - Entonces : A =
B= , complemento del conjunto B, es :
- Nos pide : A , entonces :
A = (A