Distribución Gaussiana o normal

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Los postulados fundamentales de la teoría estadística de “errores” establecen que, dado un conjunto de medidas, todas efectuadas en idénticas condiciones, suficientemente grande :

I. El valor más probable de la serie de mediciones es el valor medio. II. Es igualmente probable cometer “errores” de igual valor y distinto signo (Esto quiere decir que es igualmente probable obtener valores mayores que el valor medio, errores por exceso, o menores que el valor medio, por defecto).

III. En una serie de mediciones es tanto más probable “cometer un error” cuanto menor sea su valor absoluto respecto del valor medio. (Esto significa que es más probable que los valores sean próximos al valor medio que alejados de éste)

FLUCTUACIONES ESTADÍSTICAS

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Curva de Gauss para distintos valores de h (inversamente proporcional

al “ancho” de la distribución)

h grande, valores “concentrados” h pequeña, valores distribuídos

El área bajo la curva es:

si el área bajo la curva vale la unidad, K queda determinada, y la

curva quedará determinada por los parámetros

m

y

h

VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS

Si medimos N veces la magnitud de interés obtendremos los N datos experimentales:

x1, x2, x3, ..., xN

La media aritmética de las N medidas (valor medio o promedio) será: < x > = (x1+ x2+ x3+ ...+ xN)/N

El valor de la medida i-ésima podría escribirse como: xi= < x >+ di

donde di= xi- <x>, es la desviación i-ésima respecto del valor medio <x>.

Es posible probar que d1+ d2 + d3+ ....+ dN= 0,

es decir: la suma de las desviaciones es 0.

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Para medir la dispersión de los valores experimentales entorno al valor

medio se introduce otra magnitud: la desviación cuadrática media,

varianza S

2

:

S

2= (d

12 + d22+ d32 + ....+ dN2)/N (varianza, promedio de las desv.cuadráticas)

y

S=

[(d

1

2 + d

2

2+ d

3

2 + ....+ d

N

2) / N] ½ = [ (Σ (x

i

-<x>)

2

) / N ]½

S, desviación estándar, es la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media. Sdepende del valor que se elija como “mejor valor” de la medidas.

VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS

A partir de

Operando algebraicamente y buscando el mínimo de la función se puede demostrar que:

• el promedio de los valores medidos (valor medio) minimiza la desviación estándar (y la dispersión que queremos cuantificar) y es igual al valor más probable.

• el valor medio coincide con la moda y la mediana

Trabajamos con Sy no con la varianza S2 ya que Sposee las mismas dimensiones que las observaciones.

En realidad la expresión correcta de la desviación estándar es:

S

(

= [ Σ (x

i

-<x>)

2

/

(N-1)

para un solo evento N=1, Sda infinito) S= [ (Σ (xi-<x>)2) / N ]½

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x2 -x1

El número relativo de datos entre x y x+dx, ΔN/N, es :

representa la probabilidad de que una medida caiga en dicho intervalo.

un 95% en <x>±2 σ y un 99.7 % en <x>±3 σ.

La desviación estándar

S (o σ)

se relaciona con

h

en la Gaussiana…

Si (en el caso que N tienda a infinito) integro entre <X>- σ y <X>+ σ … Si realizo una nueva medida habrá un68% de probabilidad que ésta esté

comprendida en <x>± σ

(para N tendiendo a infinito)

DISTRIBUCIÓN DE GAUSS Y MEDICIONES REALES (finitas)

“VARIAS (M) SERIES DE N MEDIDAS” DE UNA MISMA MAGNITUD. Si para cada serie defino <x>i= [(Σ xi)/N

Puedo definir=promedio de los promedios =(Σ<x>i) / M = [Σ xi(suma de todos los valores obtenidos)]/NM (número total de

mediciones)=

Aquí=<X> = promedio total= mejor valor

Considerando a los promedios de cada serie como datos individuales de una serie de M mediciones podremos determinarla desviación estándar, que notaremos σ, para esa serie (o sea la desviación estándar de los promedios)

Es un resultado práctico muy poderoso !! De acuerdo con la definición de desviación estándar (S):

σ= [ Σ(<x>i-<X>)2/ M ]½ desviación estándar de los promedios o

desviación estándar de la media.

La teoría estadística demuestra que puede expresarse en términos de las desviaciones de cada una de las series de N medidas mediante la ecuación

σ

= { Σ d

i2

/ N (N-1)}½ = S / N½

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2) la distribución de los promedios

σ

es más estrecha que la original

S

,

σ

< S (σ = S / √N ).

(σ da el orden de magnitud con el cual podemos esperar que los

promedios fluctuen alrededor del valor más representativo de la

medida)

Una nueva muestra (M+1) tiene un 68% de probabilidad de estar

comprendida en el intervalo <X>± σ y un 95% de estar en el intervalo

<X>± 2σ.

Si hacemos varios muestreos, o sea si tomamos M conjuntos de N observaciones caracterizados por sus respectivas <x>iy Si

1) la

distribución de los valores medios

de los conjuntos <x>

i

es

Gaussiana

y está centrada en <X> (centro de la distribución total).

Como no medimos infinitamente, podemos expresar la medida

como:

x=<X>

i

± σ incluye al mejor valor (con un 68% de probabilidad)

DETERMINACIÓN DE LA DESVIACION ESTANDAR DEL PROMEDIO

CONSECUENCIAÆEn cualquier proceso de medida cuanto mayor sea el

número de observaciones Nmás exacta será nuestra afirmación:

-Sobre el valor más probable (o mejor valor) estimado por <X>ipuesto que σ (que disminuye con N ) me habla de esta estimación pues

x

medido

= <X>

i

± σ

- Sobre la desviación estándar Si(que me habla de la dispersión o precisión de la medida, y NOdisminuye con N )

- Limite al número de medidas

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Resumen tratamiento de incertidumbres en una medición rea

Si:

N = 1

x

m

± Δ

t donde xm: valor medido

Δ

T

= [( Δ s)

2

+ ( Δ a)

2

+ ( Δ d)

2

+ ( Δ i)

2

]

1/2 N < 10

donde Δf estima la incertidumbre máxima debida a las fluctuaciones, a partir del valor mayor medido – el valor menor medido.

Δ

T

=

[( Δ s)

2

+ ( Δ a)

2

+ ( Δ d)

2

+ ( Δ i)

2

+ ( Δ f)

2

]

1/2

N > 10

con σ, la desviación estándar del promedio

Δ

T

=

[( Δ s)

2

+ ( Δ a)

2

+ ( Δ d)

2

+ ( Δ i)

2

+ ( Δσ)

2

]

1/2

σdepende de N, y es menor cuanto más grande sea N,

¿hasta qué punto tiene sentido seguir realizando medidas para lograr σ≈0?

σ

=

[(Σ (x

i

-<x

i

>)

2

)]/N(N-1)]

1/2

= S / √N

ΔT= [( Δ s)2+ ( Δ a)2 + ( Δ d)2+ ( Δ i)2+ ( Δσ)2]1/2

no es razonable esforzarse en disminuir σ mucho más que ( Δ a) Número óptimo

Así para determinar el número óptimo de medidas, como Ses independiente de N, realizamos entre 5 a 10 medidas preliminares y calculamos S

Usando que σ ≈ ( Δ a)

σ ≈( Δ a)

(7)

podemos hacer un tratamiento estadístico de los datos:

Resultado:

X = (

Σ x

i

) / N

Δ f =

σ

(si queremos el resultado con un 68 % de probabilidad)

Δ f = 2

σ

(95 % probabilidad)

Δ f = 3

σ

(99 % probabilidad)

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