Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Segunda Parte

EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sección 1.1

En los problemas 1 a 12, damos una ecuación diferencial junto con el campo o área donde surge. Clasifíquelas como una ecuación diferencial ordinaria (EDO) o una ecuación diferencial parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependientes. Si la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, indique si la ecuación es lineal o no lineal.

1. (vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología). 

Esta ecuación implica sólo las derivadas ordinarias de x con respecto a t, y la más alta derivada tiene el segundo orden. Por lo tanto, es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con variable independiente t y variable dependiente x. Esta es lineal porque x, dx/dt, y d2_x/dt2 _{aparecen en la combinación aditiva} (incluso con coeficientes constantes) de sus primeras potencias.

3.   (competencia entre dos especies, ecología). 

Es una ecuación diferencial ordinaria ya que no contiene derivadas parciales. Puesto que la derivada de orden más alto es dy / dx, la ecuación es una ecuación de primer orden. Este mismo término también muestra que la variable independiente es x y la variable dependiente es y. Esta ecuación no es lineal a causa de la y en el denominador de la expresión:

Sección 1.2

En los problemas 3 a 8, determine si la función dada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente.

5

.

x=cos 2 tdx

dt+tx=sen 2t dx

dt= d

dt(cos 2 t )=(−sin 2t )(2)=−2sin 2 t dx

dt+tx=−2 sin 2 t+t cos 2t  sin 2t

en cualquier intervalo. Por lo tanto, x (t) no es una solución a la ecuación diferencial dada.

20. Determine los valores de m para los que la función (x) = emx _{es una}

solución de la ecuación dada.

a) d 2_y dx2+6

dy

dx+5 y=0

Sustituyendo φ (x) = emx _{en la ecuación dada:}

(e mx)' '+6(e mx)'+5(e mx)=0 emx

(m2+6 m+5)=0

Ya que emx _{ 0 para cualquier x, φ (x) satisface la ecuación dada si y sólo si:} (m+5)(m+1)

b) d 3 y dx3+3 d2y dx2 +2 dy dx=0 (e mx)' ' '+3(e mx)' '+2(e mx)'=0 e mx (m3+3 m2+2 m)=0   m(m2+3 m+2)=0   m(m+2)(m+1) m=0 ;m=−5 ; y m=−1 Sección 1.3

5. La ecuación logística para la población de cierta especie (en miles) está dada por

dp

dt=3 p−2 p 2

(a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cómputo o el método de isóclinas.(no esta el programa)

(b) Si la población inicial es 2000 [es decir, p(0) 2], ¿qué puede decir acerca de la población límite límt→+∞p(t)? (c) Si p(0) 0.5, ¿cuál es el valor de límt→+∞p(t)? El campo de dirección indica que todas las curvas solución (aparte de p (t) ≡ 0) se acercará a la línea horizontal (asíntota) p = 1,5 cuando t → + ∞. Por lo tanto:

Limt → + ∞ p (t) = 1,5. (d) ¿Podría una población de 3000 disminuir hasta 500?

disminuirán de manera constante, pero nunca pueden llegar a 1500 o cualquier valor menor, es decir, las curvas solución no pueden cruzar la línea de p = 1,5. De hecho, la función constante p (t) ≡ 1.5 es una solución a la ecuación logística dada.

7. Considere la ecuación diferencial dp

dt=p ( p−1)(2− p)

para la población p (en miles) de cierta especie en el instante t.

(a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cómputo o el método de isóclinas.

(b) Si la población inicial es 3000 [es decir, p(0) 3], ¿qué puede decir acerca de la población límite límt→ +∞ p(t)?

El campo de dirección indica que todas las curvas solución con p (0)> 1 se acercarán a la línea horizontal (asíntota) p = 2 cuando t → + ∞. Por lo tanto limt → + ∞p (t) = 2 cuando p (0) = 3.

(c) Si p(0) 1.5, ¿cuál es el valor de límt→ +∞ p(t)?

El campo de dirección muestra que una población de entre 1000 y 2000 (es decir 1 <p (0) < 2) se aproximará a la línea horizontal p = 2 cuando t → + ∞ (d) Si p(0) 0.5, ¿cuál es el valor de límt→ +∞ p(t)?

El campo de dirección muestra que una población inicial de menos de 1000 (es decir 0 ≤ p (0) <1)se aproximará a cero cuando t → + ∞

(e) ¿Puede una población de 900 crecer hasta 1100?

De acuerdo con la respuesta del punto d) la línea de p = 1 es una asíntota. El campo de dirección indica que una población de 900 (p (0) = 0.9) disminuye de forma constante con el tiempo y por lo tanto no puede aumentar a 1100.

Sección 1.4

8. Utilice el método de Euler para aproximar la solución del problema con valor inicial y ´=1−sen y , y (0)=0 en x=π ,usando 1, 2, 4 y 8 pasos . Valores iniciales: x0 = y0 = 0 f(x,y) = 1− seny. Número de pasos es N Paso h = (π − x0) / N = π/N. Para N = 1, h = π, x 1=x 0+h=π y 1= y 0+h(1−seny 0)=π ≈3.1416 . Para N = 2, h = π/2, x1 = x0 +π/2 = π/2 y1 =y0 +h(1 − seny0) = π/2 ≈ 1.571 x2 = x1 +π/2 = π y2 = y1 +h(1− seny1)=π/2 ≈ 1.571

15. Ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton establece que la razón de cambio en la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio M(t) y la temperatura del cuerpo. Es decir,

dT

donde K es una constante. Sea K 1 (minutos)-1 y consideremos constante a la temperatura del medio, M(t) ≡ 70°F. Si el cuerpo tiene una temperatura inicial de 100°F, utilice el método de Euler con h = 0.1 para aproximar la temperatura del cuerpo después de:

(a) 1 minuto. (b) 2 minutos.

La variable independiente es el tiempo t y la variable dependiente es la temperatura T (t) de un cuerpo.

La ecuación diferencial que describe la Ley de Newton de enfriamiento, f (t, T) = K (M (t) - T). Con los valores sugeridos de K = 1 (min)-1_{, M (t) ≡ 70º, h = 0,1, y la} condición inicial T (0) = 100º, el valor inicial del problema se convierte:

dT dt =70−T T (0 )=100 Fórmulas a utilizar: (1) _{tn+1 = tn + 0.1} (2) _{Tn+1 = Tn + 0.1(70 − Tn)} Cuando n = 0 t 1=t 0+0.1=0.1 T 1=T 0+0.1(70−T 0)=100+0.1(70−100)=97 Cuando n = 1 t 2=t 1+0.1=0.2 T 2=T 1+0.1(70−T 1)=97+0.1(70−97)=94.3 Cuando n = 2 t 3=t 2+0.1=0.3 T 3=T 2+0.1(70−T 2)=94.3+0.1(70−94.3)=91.87

n = 3 91.87+0.1(70 – 91.87)=89.683 n = 4 89.683+0.1(70 – 89.683)=87.715 n = 5 87.715+0.1(70 – 87.715)=85.943 Sección 2.2

En los problemas 1 a 6, determine si la ecuación diferencial dada es separable. 3.

dy dx=

y ex+ y

x2+2

Esta ecuación es separable ya que: dy dx= y ex+ y x2₊₂=

(

ex x2₊₂

)

ye y =g ( x ) p( y )

En los problemas 17 a 26, resuelva el problema con valor inicial. 24.

dy dx=8 x

3_e−2 y_{, y (1)=0}

Se separan las variables y se integra:

∫

e 2 y dy=

∫

8 x 3 dx⇒=e2 y

2 =2 x 4+C 1⇒ e2 y =4 x 4 +C Se sustituye con la condición inicial, y(1) = 0:

1=4+C⇒ C=−3.

Por lo tanto, la respuesta es: e 2 y=4 x 4−3⇒ y1

2=ln(4 x 4−3) Sección 2.3

En los problemas 17 a 22, resuelva el problema con valor inicial. 17 . dy dx− y x=x e x

, condición inicial y (1)=e−1

 Ecuación lineal con: P(x)=−1/ x yQ(x)=xex

 Continua en cualquier intervalo que no contenga 0 El factor de integración está dado por:

μ (x )=exp

[

_∫

(

−1

x

)

dx

]

=¿ e−ln x=1

xcuando x >0

Se multiplica la ecuación por su factor de integración: 1 x dy dx− y x2=e x D_x

(

y x

)

=e x

El resultado de la integración produce: y

x=e

x

+C

y=x ex+Cx

Aplicando la condicióninicial , y (1)=e−1 se obtiene : e−1=e+C

C=−1

El resultado es: y=x ex

−x

en el intervalo(0, ∞) que contiene el vaor inicial x =1 30. Ecuaciones de Bernoulli. La ecuación:

dy dx+2 y=x y 2 (18) es un ejemplo de una ecuación de Bernoulli. (En la sección 2.6 se analizan con más  detalle las ecuaciones de Bernoulli).

(a) Muestre que la sustitución υ= y3_{reducela ecuación(18 )a la ecuación} d υ

dx+6υ=3 x (19)

(b) Despeje

υ en la ecuación(19) . Luego hagala sustitución υ= y3para obtener la solución de la ecuación(18) (a)Se multiplica ambos lados de la ecuación (18) por y2 _:

y2dy dx+2 y

3 =x

Si υ= y3_{entonces υ´=3 y}2_y´ _{De acuerdo con esto y}2_y´ ₌ υ ´

3 : 1 3 d υ dx+2 υ=x ó d υ dx+6 υ=3 x

(b)La ecuación (19) es lineal con P(x)=6∧Q( x)=3 x . De acuerdo con esto: μ(x)=exp

(

_∫

6 dx

)

=e 6 x v ( x )=e−6 x

_∫

₍

_{3 xe}6 x

₎

_dx=e−6 x 2

(

xe 6 x −

∫

e6 x_dx

₎

=¿

e−6 x 2

(

xe 6 x −e 6 x 6 +C1

)

=¿ x 2− 1 12+C e −6 x

De lo anterior, se deduce que C=C1

2 es una constante arbitraria .

Realizando la Sustitución: y=

√

3 x 2− 1 12+C e −6 x Sección 2.4

En los problemas 9 a 20, determine si la ecuación es exacta. Si lo es, resuélvala. 14.

et(y−t ) dt+

(

1+et

)

dy =0

La ecuación es exacta por lo tanto: Condiciones: M (t , y )=et(y−t ) N (t , y )=1+et Solución: ∂ M ∂ y =e t =∂ N ∂ t

F (t , y )=

_∫

(

1+et

₎

_dy=

₍

_1+et

₎

_{y +h (t )=} ¿ ∂ F ∂t =e t_{y+h ´ (t)=e}t_{(y −t )=} ¿ h ´ (t)=−tet

h ´(t)=−

∫

t et_dt=− (t−1)et =¿

(

1+et

)

y−(t−1) et=C Despejando y : y=(t−1) e t +C 1+et

En los problemas 21 a 26, resuelva el problema con valor inicial. 24.

(

etx+1

)

dt+

(

e1– 1

)

dx=0, x (1)=1.

Se estima si la ecuación es exacta:

dM dx =e

t

=∂ N ∂t

Es exacta, por lo tanto:

F (t , x )=

∫

(

et−1

)

dx=x

(

et−1

)

+g (t ) ∂ F ∂t =xe t +g´ (t )=x et₊₁ g(t)=

∫

dt=t x

(

et₋₁

₎

+t=C

Despejando con una solución general en donde x (1)=1

(1)( e−1 )+1=C en donde C=e

Por lo tanto la solución final es:

x= e−t et−1

Sección 2.5

En los problemas 7 a 12, resuelva la ecuación. 9.

(

2 y2+2 y +4 x2

)

dx +(2 xy +x )dy =0 Derivadas parciales: M ( x , y )=2 y2+2 y +4 x2 N (x , y )=2 xy+ x ∂ M ∂ y = ∂ ∂ y

(

2 y 2 +2 y +4 x2

₎

_{=4 y+2} ∂ N ∂ x = ∂ ∂ x(2 xy +x )=2 y +1

Se considera una ecuación no exacta ya que:

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x Resolviendo: ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x N =¿ (4 y +2)−(2 y +1) 2 xy+ x =¿ 2 y +1 x (2 y +1)= 1 x

Se aplica un factor integrante, en este caso es μ :

μ (x )=exp

(

_∫

1

xdx

)

=exp

(

ln|x|

)

=|x|

en donde:

μ (x ) = x

Multiplicando la ecuación diferencial por x se obtiene una ecuación exacta:

(

2 y2

Por lo tanto se obtiene: F(x , y)=

∫

x2(2 y +1)dy=¿ x2

₍

_y2 +y

)

+h (x) ∂ F ∂ x=2 x

(

y 2 +y

)

+h ´ ( x )=¿

(

2 y2+2 y +4 x2

)

x h ´ ( x )=4 x3 h ( x )=

_∫

4 x3dx=x4 F ( x , y )=x2

(

y2+y

)

+x4=¿ x2y2+x2y +x4

La solución general es: x2y2+x2y +x4=C 12.

(

2 x y3₊₁

₎

_dx+

₍

_{3 x}2_y2 −y−1

₎

_dy=0 Derivadas parciales: M ( x , y )=2 x y3+1 N (x , y )=3 x2y2−y−1 Entonces: ∂ M ∂ y =6 x y 2∂ N ∂ x

Esta ecuación es exacta, de acuerdo con esto se desarrolla:

F(x , y)=

∫

(

2 x y3

+1

)

dx=¿

∂ F ∂ y=3 x 2_y2 +g ´ ( y )=3 x2_y2 −y−1 g ´ ( y )=− y−1 g ( y )=−ln

|

y

|

la ecuación dada tiene una solución general: x2_y3

+x−ln|y|=C x2_y3

x2_y3 x2_y3

(m+5)(m+1) (m+5) m=−5