CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA
INTRODUCCIÓN.
La primera observación de la electrización se remonta a la época de la Grecia antigua. A Tales de Mileto se le atribuye haber observado la atracción que el ámbar previamente frotado, ejerce sobre pequeños pedazos de fibra y paja. A pesar de que la electrización del ámbar por fricción fue transmitida de un escrito a otro, nada nuevo se descubrió hasta principios del siglo XVII en que Sir William Gilbert anunció el descubrimiento de que muchas sustancias podían ser electrizadas por frotamiento y que el ámbar es uno de los muchos materiales que manifiestan el efecto.
EL ELECTROSCOPIO.
Dispositivo que sirve para detectar y medir la carga eléctrica de un objeto. Los electroscopios han caído en desuso debido al desarrollo de instrumentos electrónicos mucho más precisos, pero todavía se utilizan para hacer
demostraciones. El electroscopio más sencillo está compuesto por dos conductores ligeros suspendidos en un contenedor de vidrio u otro material aislante.
Se puede utilizar un electroscopio para determinar si un objeto está cargado
eléctricamente. Cuando un objeto cargado se acerca al bulbo, las hojas divergen.
a) El electroscopio neutro tiene las cargas distribuidas uniformemente, las hojas están juntas.
(b) Las fuerzas electrostáticas causan que las hojas diverjan.
ELECTRIZACIÓN
Si frotarnos una barra de plástico con una piel de gato, o si frotamos una barra de vidrio con seda. Las barras adquieren la propiedad de atraer cuerpos ligeros corno pedacitos de papel a una pequeña bola hecha da material ligero como corcho o médula de saúco (Sambucus peruviana) suspendida por hilos de seda. Se dice que estos cuerpos están electrizados.
Si frotarnos una barra de cobre sostenida por la mano, no habrá acción sobre los cuerpos ligeros, pero si frotamos la misma barra de cobre pero esta vez sostenida por un mango de vidrio, se electriza y ejercerá acción sobre los cuerpos ligeros.
O sea que tenemos cuerpos de dos categorías, los primeros como al vidrio, plexiglás, ebonita, resina que se electrizan agarrándolos con 1a mano y otros cuerpos que necesitan un mango de un material de la primera categoría para poder ser electrizados
La experiencia demuestra que en los cuerpos de la primera categoría la electricidad permanece localizada en los puntos frotados, no se propaga, estos cuerpos son malos conductores de la electricidad se conocen como aislantes o dieléctricos.
Para los cuerpos de segunda categoría, las propiedades de la atracción sobre cuerpos ligeros no solo se manifiestan en los puntos frotados, sino en todos los puntos, a sea la electrización producida se transmite a todos los puntos del cuerpo, estos cuerpos son conocidos como conductores.
El cuerpo humano y la tierra son conductores. Además de la electrización por frotamiento descrita, hay otras formas de electrización que indicamos a continuación.
1° Electrización por contacto La carga es transferida al electroscopio cuando la varilla cargada toca el bulbo. Entonces, cuando una
varilla con carga opuesta se acerca al bulbo, las hojas se colapsan y se juntan.
El electroscopio neutro se toca con una varilla cargada negativamente; las cargas son
transferidas al bulbo.
El electroscopio tiene una carga negativa neta.
La varilla cargada positivamente atrae los electrones; las hojas se colapsan.
2° Electrización por inducción Al tocar el bulbo se proporciona una trayectoria para la transferencia de carga, los electrones son transferidos a la tierra. Cuando el dedo se retira, el electroscopio tiene una carga neta, el
electroscopio queda cargado positivamente.
Tierra eléctrica se refiere a la tierra (o sea al “suelo”) o a algún otro objeto que pueda recibir o suministrar electrones sin cambiar
significativamente su propia condición eléctrica. Como esto se debe a electrones que han sido transferidos, usted puede preguntarse cómo se puede cargar positivamente un electroscopio. Esto se hace cargando por inducción. Al tocarse el bulbo con un dedo, el electroscopio hace
tierra, es decir, se da una trayectoria para que los electrones puedan escapar del bulbo. Entonces, cuando se acerca al bulbo una varilla cargada negativamente los electrones son repelidos del bulbo. Al retirar los dedos se deja al
electroscopio una carga positiva neta. 3º Piezoelectricidad. Una lámina de cuarzo convenientemente tallada, se electriza por compresión o por tracción, el fenómeno es reversible. Estos cuerpos son conocidos como piezoeléctricos.
4° Electrización por las fuentes de electricidad. Si ponemos una pila o un
acumulador, uno de sus polos se conecta a tierra y el otro a un conductor aislado, éste se electriza. Con una sola pila la electrización es débil, pero si se dispone de muchos elementos se obtiene electrización fácil de poner en evidencia.
ELECTRICIDAD POSITIVA Y NEGATIVA Cuando frotamos entre sí dos sustancias
diferentes y luego las separamos, nos
encontramos con dos tipos de electricidad. Para ver mejor esto realicemos la siguiente
experiencia.
Dispongamos de dos barras de plástico y dos barras de vidrio. Se carga por frotamiento con una piel una de las barras de plástico y se la suspende mediante un gancho y un hilo de nylon como se muestra en la figura siguiente, pudiendo girar libremente.
Si acercamos a esta barra de plástico la otra frotada similarmente, observamos que gira alejándose, si acercamos la piel a la barra de plástico suspendida observamos que ésta gira acercándose. De igual modo si acercamos la barra de vidrio electrizada por frotación con seda observamos que el plástico gira acercándose y si acercamos la seda el plástico gira alejándose.
Puesto que la piel al igual que el vidrio, atraen al plástico electrizado, ambos tienen la misma clase de electrización. Se dice que estén cargados positivamente. De modo similar el plástico y la seda estarán carga dos negativamente.
Las Cargas positivas las designamos por el signo (+) y las Cargas negativas por el signo (-). De esta experiencia también podemos describir que
“Las Cargas iguales se repelen y las Cargas contrarias se atraen”.
También es una observación experimental que la carga no puede ser creada ni destruida, la carga total de un sistema no puede ser cambiada. Del punto de vista macroscópico las cargas pueden reagruparse y cambiarse de diferentes maneras o sea que “La carga neta se conserva en un sistema cerrado”.
TEORÍA DE LA ELECTRIZACIÓN La Carga es una propiedad característica y fundamental de las partículas elementales que forman luego materias. Las sustancias estén formadas por moléculas y estas por átomos. Cada átomo contiene un núcleo que tiene una cantidad conocida de carga positiva. Esta Carga positiva se debe a la presencia de un cierto número de protones. Todos los protones son semejantes y tienen la misma masa y la misma carga positiva. Alrededor de cada núcleo atómico hay un número de partículas cargadas negativamente, llamadas electrones.
Normalmente cada átomo de una sustancia es eléctricamente neutro, o sea que tiene cantidades
iguales de carga positiva y negativa, la carga de un electrón es igual pero opuesta a la carga de un protón. En cada núcleo hay tantos protones como electrones hay rodeándolo.
Los átomos aislados o los grupos grandes de átomos y moléculas tienen una afinidad para adquirir electrones adicionales sobre el número exacto que neutralizan las cargas positivas del núcleo. Esta afinidad de los átomos para tener más electrones que el número suficiente de ellos, varía considerablemente de una sustancie a otra. Por lo tanto, cuando dos sustancias diferentes se ponen en contacto, la que tiene mayor afinidad toma las electrones próximos de la otra y
adquiere una carga negativa, mientras que la otra queda cargada positiva mente, tal es el caso del Caucho cuando se frota con una piel.
LA LEY DE COULOMB
Esta ley de la fuerza entre los cuerpos cargados puede enunciarse como sigue:
“Cuerpos con cargas similares se repelen y con cargas diferentes se repelen; para cargas puntuales (llamando puntual cuando sus dimensiones espaciales son muy pequeñas comparadas con cualquier longitud del problema en cuestión) la fuerza de interacción es
proporcional al producto de lo cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.
La ley fue establecida en 1784 por Coulomb por medios experimentales utilizando una balanza de torsión.
Podemos nosotros reproducir este experimento en una forma sencilla, para esto dispongamos de dos esferas pequeñas de médula de saúco (se puede usar esferas de tecknopor) suspendidas de hilo de nylon, como se muestra en la figura (a) donde la distancia puede variarse a voluntad. Al ponérsele carga a las esferas estas toman la posición mostrada en la figura (b).
Donde
θ
es el ángulo de deflexión, mg los pesos, FE. la fuerza electrostática y T la tensión en las cuerdas. De las leyes de la mecánica encontramos la relación entre FE yθ
.θ
tan
mg
F
E=
Variando la separación d entre los soportes podemos observar diferentes deflexiones. De las medidas de FE en función de la separación de equilibrio r de las cargas encontramos que
2
1
r FE ∝
esta evidencia experimental se presenta a continuación en forma de ecuación
2 2 1
r
q
q
k
F
E=
Donde
q
1 yq
2 representan las magnitudes de las cargas. La dependencia de la carga no fue establecida por Coulomb, puesto que no tenía medios independientes para juzgar la magnitud de la carga, r es la distancia entre los centros de las cargas.Como la fuerza es un vector la ley de Coulomb la podemos escribir de la siguiente forma, fuerza sobre la carga → → = 3 21 21 2 1 1 r r q q k F O 2 21 21 2 1 1 ˆr r q q k F→ = Donde 21 21 21 ˆ r r r →
= , vector unitario a lo largo de
21
r
Fuerza sobre la carga q
→ → → − = = 3 12 1 12 2 1 2 r F r q q k F UNIDADES
Como la carga eléctrica es un concepto nuevo, no conocido en la mecánica es necesario introducir una nueva unidad fundamental. Sistema CGS. En este sistema hacemos k = 1 y la unidad de carga se llama el statcoulombio.
Sistema M.KS. En esta sistema la unidad de carga se define a partir de la corriente eléctrica, concepto que veremos más adelante en detalle, la unidad fundamental es el ampere y la carga está definida por ampere - segundo, y a esto se le llama Coulombio (C). Como FE está en Newton,
q1 y q2 en Coulombios y r en metros, la
constante k se fija por estas elecciones y toma el valor 9
10
9874
,
8
×
=
k
22 C NmEl cual puede aproximarse a 9x109 en la mayoría
de los cálculos numéricos.
Es útil expresar el valor de k en la forma
0
4
1
πε
=
k
Donde
ε
0 es una constante que se conoce como la permitividad del espacio libre y su valor es12 0 =8,85415×10−
ε
22Nm C
Ejemplo 1. Se tienen dos cargas puntuales.
C
q
9 1=
2
×
10
− ,r
1=
2
i
ˆ
+
ˆ
j
+
3
k
ˆ
→ en metros yC
q
9 2=
3
×
10
− ,r
2=
i
ˆ
+
3
ˆ
j
+
k
ˆ
→ en metros. ¿Cuál es esfuerzo sobre cada una de ellas? Solución. Fuerza sobreq
1: → = 3 →21 21 2 1 0 1 4 1 r r q q Fπε
→ → →−
=
1 2 21r
r
r
=(
2
i
ˆ
+
j
ˆ
+
3
k
ˆ
) (
−
i
ˆ
+
3
ˆ
j
+
k
ˆ
)
=i
ˆ
−
2
j
ˆ
+
2
k
ˆ
( )
[
12 2 2 22]
12 9 3 21 = + − + = = r Luego(
)(
)
(
i j k)
F ˆ 2ˆ 2ˆ 3 10 3 10 2 10 9 2 9 9 9 1 − + × × × = − − →(
i
j
k
)
F
2
10
9ˆ
2
ˆ
2
ˆ
1=
×
−
+
− → N Fuerza sobreq
2(
i
j
k
)
F
F
2
10
9ˆ
2
ˆ
2
ˆ
1 2=
−
=
−
×
−
+
− → → N El modulo es( )
[
2 2 2]
12 9 9 2 1 2 10 1 2 2 6 10 − − + − + = × × = = F F NEjemplo 2. ¿Cuál de las dos situaciones siguientes daría como resultado una mayor fuerza?
a) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 100 C sobre una de 1 C.
b) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 1 C sobre una de 100 C.
Solución.
Las dos opciones nos conducen a la misma situación, ya que tienen la misma distancia. Y el producto de la carga es la misma
→ →
=
r
r
q
q
k
F
122Lo único que cambia es la dirección de la fuerza. Ejemplo 3. ¿Si deseo trasladar una carga de 1C del origen a el punto (100,100, 100) y luego del punto al origen, en cual de los dos la fuerza de atracción debe ser mayor?
Solución.
Al igual que en el problema anterior, la misma fuerza, en magnitud, que se requiere para trasladar la carga del origen al punto y del punto al origen es la misma. Por lo tanto la misma fuerza que se requiere para trasladar la carga del origen al punto es la misma que la que se requiere para trasladar la carga del punto al origen. Analicemos la siguiente relación.
→ →
=
r
r
Q
q
k
F
p 2 04
πε
Donde qp es una carga llamada carga de prueba, que podemos utilizar para medir la fuerza necesaria del para trasladar la carga del origen al punto P. Analicemos ahora la fuerza para trasladar la carga del punto P al origen
→ →
=
r
r
Q
q
k
F
p 2 04
πε
Observemos que ambas relaciones son las mismas.
Ejemplo 4. Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de 20,0 cm tienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en exceso hay en cada esfera si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de 4,57x 10-21 N?
Solución.
Primero encontramos la carga de las esferas.
⇒
=
22 04
1
r
q
πε
F
2 04
πε
Fr
q
=
= 4πε0(4,57×10−21)(0,2)2=
1
,
43
×
10
−16C
Luego, el número total de electrones requerido es: C 10 6 , 1 C 10 43 , 1 19 16 − − × × = = e q n =894
Ejemplo 5. Determine la fuerza eléctrica, de atracción, ejercida por una carga
Q
1=
2
,
0
μ
C
que se encuentra en la posición (1, 1,1) sobre la carga
Q
2=
−
2
,
0
μ
C
en el origen.Solución.
La fuerza, mediante la ley de Coulomb queda determinada por: r r Q Q F ˆ 4 2 0 2 1
πε
= →Determinemos para ello el vector que existe entre las cargas:
(
) (
i
) (
j
)
k
r
12=
0
−
1
ˆ
+
0
−
1
ˆ
+
0
−
1
ˆ
→ k j iˆ− ˆ− ˆ − =La magnitud del vector 12 →
r
es:( ) ( ) ( )
1
21
21
23
12=
−
+
−
+
−
=
=
→r
r
Por lo tanto el vector unitario es:
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
12 12i
j
k
r
r
r
=
→=
−
−
−
→ r r Q Q F ˆ 4 2 0 2 1πε
= →(
)(
)
( )
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− − − × − × = − − 3 ˆ ˆ ˆ 3 4 10 2 10 2 2 0 6 6 i j k πε(
iˆ ˆj kˆ)
3 10 36 3 − − − × = − La magnitud de la fuerza es 3 3 10 36× −3 = F = 36 x 10-3 N Es decir, el término:2 0 2 1 4 r Q Q F
πε
= Ya que la magnitud del vector unitario es 1
Ejemplo 6. Encuentra la fuerza de repulsión que existe entre dos cargas de 2 C cada una. Una de las cargas esta en el origen y la
coordenada de la otra carga en (0, 0,0) Solución. Primeramente sabemos que las dos cargas no pueden estar en el mismo punto. Para estar en el mismo punto tendríamos r = 0, que en la ecuación de la ley de Coulomb nos conduciría a una indeterminación debido a la división entre cero.
( )
0
4
πε
0Q
q
k
F
=
pSabemos del hecho que la fuerza eléctrica entre dos cargas es una ley
2
1
r F∝
La fuerza crece muy rápidamente a medida que r es pequeña, como se puede observar en su gráfico
Ejemplo 7. Dos esferas idénticas pequeñas y conductoras tienen cargas de 3x10-9 C y -1x10-9
C, respectivamente. Cuando se colocan separadas 3 cm.
a) ¿Cuál es la fuerza entre ellas?
b) Si se ponen en contacto y luego se separan 3 cm,
c) ¿cuál es la fuerza entre ellas? Solución.
a) La fuerza entre las dos esferas cuando están separadas 3 cm. es:
(
) (
)
(
2)
2 9 9 0 3 10 10 1 10 3 4 1 − − − → × × − × × =πε
F =−3×10−5 NLa fuerza es de atracción e igual a 3x10-5 N.
b) Cuando se ponen en contacto se produce equilibrio de las cargas diferentes o sea
9 9
9 1 10 2 10
10
3× − − × − = × − ⇒ Sería la carga total, la que se distribuye por igual en cada una de las esferas, por ser idénticas.
C 10 1 2 10 2 9 9 2 1 − − × = × = = q q
c) La fuerza entre las dos esferas cuando se colocan a 3 cm es:
(
) (
)
(
2)
2 9 9 0 3 10 10 1 10 1 4 1 − − − → × × × × =πε
F = 1×10−5 NEjemplo 8. Dos esferas conductoras iguales de tamaño insignificante se cargan con 16,0 x 10-14 C y -6,4 x 10-14 C, respectivamente, y se colocan separadas 20 centímetros. Luego se mueven a una distancia de 50 centímetros separación. a) Compare las fuerzas entre ellas en las dos posiciones.
b) Las esferas se conectan por medio de un alambre fino. ¿Qué fuerza ejerce la una sobre la otra?
Solución.
La ecuación que da la fuerza entre las esferas, que se pueden considerar como cargas puntuales, es 2 2 1 0
4
1
r
q
q
F
πε
=
Luego( )
1 22 0 12
,
0
4
1
q
q
F
πε
=
y( )
2 2 1 0 25
,
0
4
1
q
q
F
πε
=
∴( )
( )
0
,
2
6
,
25
5
,
0
2 2 2 1=
=
F
F
b) Si las esferas se unen por un alambre, las cargas, que se atraen a una otra, pueden fluir por el alambre bajo influencia de las fuerzas que actúan en ellas. Las cargas neutralizarán lo más lejos posible y (16,0 x 10-14 – 6,4 x 10-14) = 9,6 x
10-14 C se distribuirán sobre el sistema. No
tomar en cuenta el efecto del alambre, por simetría 4,8 x 10-14 C quedará en cada esfera. La
2 2 0
4
1
r
q
F
πε
=
=(
)(
)
( )
2 2 14 9 5 , 0 10 8 , 4 10 9 , 9 C − × × =8
,
29
×
10
−17N
Ejemplo 9. Un electrón tiene una masa de 9,1 x 10-31 kg y una carga eléctrica de 1,6 x 10-19 C.
Suponga que dos electrones están colocados cerca de uno de otro. Compare las fuerzas gravitacionales y eléctricas entre ellas.
Solución. La fuerza de atracción gravitacional entre los electrones es:
2 2 r m G FG = =
(
)(
2)
2 31 11 9,1 10 10 6 , 6 r − × × = 2 2 72 m N 10 6 , 54 r − ×La fuerza de repulsión entre los electrones es:
2 2 0
4
1
r
q
F
eπε
=
=(
)(
2)
2 19 9 1,6 10 10 9 , 9 r − × × = 2 2 29 m N 10 04 , 23 r − × Luego 42 72 2910
2
,
4
10
6
,
54
10
04
,
23
=
×
×
×
=
−− G eF
F
La fuerza gravitacional entre los electrones es despreciable en comparación con la fuerza eléctrica.
Ejemplo 10. Dos esferas conductoras pequeñas, cada uno de la masa 0,25 g, están colgando por medio de hilos aisladores de longitud 50
centímetros de modo que apenas se tocan. Se da una carga, que comparten igualmente, y a cada una toma una posición tal que el hilo por el cual cuelga forma un ángulo de 45º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada una?
Solución.
Hay tres fuerzas que actúan en cada esfera, el peso mg que actúa hacia abajo, la fuerza
repulsiva de Coulomb F que actúa
horizontalmente, y la tensión T en el hilo de soporte. Puesto que la esfera está en equilibrio, las componentes horizontales y verticales deben equilibrarse por separado. Así
mg = Tcos 45º y F = Tsen 45º o F = mg tan 45º Pero 2 2 0
4
1
r
q
F
πε
=
=(
)
2 2 02
sen
45
º
4
1
h
q
πε
Donde q es la carga sobre cada esfera. ∴
(
h)
mg q2 =4πε
0 2 sen45º =(
2,5 9,8)
2 1 5 , 0 2 10 9 1 2 9 ⎥ × ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × = 13,6 x 10-14 C2.⇒ q = 3,7 x 10-7C.Ejemplo 11. Las cargas puntuales de
magnitudes 2,5 x 10-14 C, 1,0 x 10-14 C, -3,5 x 10
-14 C, y 2.0 x 10-14 C se ponen en las esquinas A,
B, C, y D de un rectángulo respectivamente en el cual el AB tiene una de longitud 8 cm y BC tiene una longitud de 6 cm. ¿Qué fuerza actúa sobre la carga en D debido a las otras tres?
Solución.
Las cargas en A, B, C, y D son q1, q2, - q3, y q4,
respectivamente. Las fuerzas ejercidas sobre q4,
por las otras tres se muestran en el diagrama como los vectores F1, F2, y F3, respectivamente.
Los ejes x e y se han seleccionado en las direcciones mostradas. 2 4 1 0 1 4 1 b q q F
πε
= ,(
2 2)
4 2 0 2 4 1 b a q q F + =πε
, 2 4 3 0 3 4 1 a q q Fπε
=Las tres fuerzas que actúan sobre q4 se combinan
en una sola fuerza F con componentes (Fx, Fy) a
lo largo de los ejes elegidos. F2 se descompone
(
8cm) (
6cm)
10cm BD= 2 + 2 = Obtenemosθ
sen
2 3F
F
F
x=
−
, Fy =F1−F2cosθ
De estas ecuaciones, se obtiene
(
)
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + × + − = 2 2 2 2 2 2 3 0 4 4 a b a b a q a q q Fxπε
=(
)
⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − 32 2 2 2 2 3 0 4 4 a b a q a q qπε
=(
)(
) (
)
(
(
)(
)
)
⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × − × × × × − −− − − − 2 3 2 2 14 2 2 14 14 9 10 10 10 8 10 0 , 1 10 8 10 5 , 3 10 0 , 2 10 9 = 8,40 x 10-16 N.Del mismo modo
(
)
⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = 32 2 2 2 2 1 0 4 4 a b a q a q q Fyπε
= 13,58 x 10-16 N.El vector F tiene componentes: (8,40x10-16 N y 13,58x10-16 N),
Cuya magnitud es:
2 2 13,58
40 ,
8 + = 15,97x10-16 N, a un ángulo
de tan-1 (13,58/8,40) = 58°16’ con el eje x. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN - DISTRIBUCIÓN DE CARGAS
Si más de dos cargas puntuales están presentes, las fuerzas mutuas se determinan por la
aplicación repetida de la ley de Coulomb, esto viene a ser la ley de adición o principio de superposición y se demuestra
experimentalmente.
Si son n las cargas esto es q1, q2, q3.
La fuerza sobre la carga es
3 1 1 1 0 1 1
4
i i n i ir
r
q
q
F
→ ≠ →∑
=
πε
Donde la sumatoria so extiende sobre todas las cargas con excepción de la Carga q1.
Ejemplo 12. Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de las x. La carga q1
= + 3,00 μC está en el origen, y la carga q2 = -
5,00 μC está en x = 0,200 m. La carga q3 = -
8,00 μC.
¿Dónde está situada q3 si la fuerza neta sobre q1
es 7,00 N en la dirección negativa x? Solución.
Como la fuerza neta de q2 y q3 sobre q1 está
sobre el eje x, la carga q3 necesariamente estará
sobre el eje x.
Como F2→1 es negativa, F3→1 también debe ser
negativa porque la fuerza neta sobre q1 es 7,00 N
en la dirección negativa x. q2 está a la derecha de q1.
(
q
q
)
j
F
ˆ
20
,
0
4
1
2 1 2 0 1 2πε
=
→ →(
)(
)
jˆ 04 , 0 10 3 10 5 10 9 6 6 9 × − × − × − = =−3,375ˆjNq3 debe estar a la izquierda de q1.
(
)(
)
j
x
F
8
10
3
10
ˆ
4
1
2 6 6 0 1 3 − − → →×
×
=
πε
j x ˆ 216 , 0 2 =j
F
F
F
sobre1=
2 1+
3→1=
−
7
,
00
ˆ
→ → → → j x j j 3,375ˆ 0,216 ˆ ˆ 00 , 7 =− + 2 − 375 , 10 216 , 0 2 = x m 144 , 0 ± = xPara que
F
3x sea negativa,q
3 debe estar enx = - 0,144 m.
Ejemplo 13. Se colocan cuatro cargas idénticas q en los vértices de un cuadrado de lado L. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas las fuerzas que actúan sobre una de las cargas. b) Halle la magnitud y dirección de la fuerza total que ejercen sobre una carga las otras tres. Solución.
a) Consideremos la fuerza sobre la carga situada en el origen de coordenadas
b)
i
L
q
F
ˆ
4
1
2 2 0 1πε
=
→(
i
j
)
L
q
F
ˆ
ˆ
2
2
2
4
1
2 2 0 2=
−
→πε
j
L
q
F
ˆ
4
1
2 2 0 3πε
−
=
→ La fuerza total 3 2 1 → → → →+
+
=
F
F
F
F
Reemplazando(
i j)
L q F ˆ ˆ 4 2 1 4 1 2 2 0 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = →πε
El módulo(
)
2 2 02
4
1
2
2
1
L
q
πε
F
=
+
Formando un ángulo de 45º debajo del positivo de eje x.
Ejemplo 14. Dos cargas puntuales se
encuentran separadas una distancia d. ¿Dónde y qué carga se debe colocar para que el sistema quede en equilibrio?
So1ución.
La posición de la tercera carga Q debe estar en la recta formada por la línea que une las dos cargas, de no ser así no habría equilibrio como muestra la figura la componente vertical no tiene anulación posible.
Para determinar la posición de la carga Q llamaremos x a esta posición.
Como Q está en equilibrio,
(
)
2 0 2 03
4
1
4
1
x
d
x
−
=
πε
πε
⇒(
d−x)
2 =3x2 ⇒ 0 2 2 2 +dx−d = x Resolviendo:2
3
2
1 ±
−
=
x
hay dos posiciones posibles
(
)
d
x
2
1
3
1−
=
= 0,36dy(
)
d
x
2
1
3
2+
−
=
= −1,36d ,x1 está entre ellas a la derecha de q.
x2 está fuera a la izquierda de q.
Ahora encontramos el valor Q para x1, para que
haya equilibrio es necesario que las fuerzas sobre q se anulen.
( )
4
(
0
,
36
)
0
1
3
4
1
2 0 2 0=
+
d
d
πε
πε
⇒Q = −1,71qLa situación x2 = - 1,36 d, no es posible, porque
estando Q a la izquierda de las dos cargas positivas, tendría que ser negativa y no habría forma de lograr el equilibrio con las dos cargas positivas en diferentes posiciones, como se muestra a continuación
Fuerzas sobre q
Fuerzas sobre 3q
Ejemplo 15. Las cargas se colocan en el eje x como sigue: q1 = + 2
μ
C en x = 0, q2 = - 3μ
Cen x = 2 m, q3 = - 4
μ
C en x = 3m, y q4 = +μ
Cen x = 3,5 m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza en q3? Solución. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 43 4 2 23 2 2 13 1 3 r q r q r q kq F
=
(
)
(
)
( )
( )
( )
⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − × 9 2 2 2 5 , 0 1 1 3 3 2 4 10 9μ
Cμ
Cμ
Cμ
C = 2,44 x 10-10N/CEjemplo 16. Tres cargas positivas idénticas q se colocan en las esquinas de un triángulo
equilátero de lado L. ¿Qué fuerza experimenta una de las cargas?
Solución. F = 2F1cos 30° = 2 2 2 2 3 º 30 cos 2 L q k L q k =
Ejemplo 17. La sal de mesa (cloruro de sodio) es un cristal con una estructura cúbica simple con iones de Na+ y de Cl- que se alternan en
sitios adyacentes del enrejado.
La distancia entre iones es 2,82 x 10-10m = 0,282
nm (1 nm = 10-9 m).
a) ¿Qué fuerza experimenta un ión del Na+ debido a uno de sus vecinos Cl- más cercano? b) ¿Qué fuerza experimenta un ión de Cl -debido a un ión de Na+ vecino?
c) ¿En qué fuerza experimenta un ión de Na+ en el origen debido a los iones de Cl- en (a, 0, 0) y (0, a, 0)?
d) ¿Cuál es el peso de un ión del Na+ de masa 3,82 x 1026 kg? Solución. a) 2 2 1 r e k F = =
(
)
(
9)
2 2 19 910
282
,
0
10
6
,
1
10
9
− −×
×
×
= 2,90 x 10-9 Nb) Por la tercera ley de Newton:
La fuerza sobre el Cl- debido al Na+ es igual
que la fuerza en el Na+ debido al Cl-.
c)
F
→=
F
→1+
F
→2 = 2,90 x 10-9( )
iˆ + jˆ N 2 2 2 1F
F
F
=
+
= 4,10 x 10-9 N d) W = mg = (3,82 x 1026)(9,8) = 3,7 x 105NComo las fuerzas eléctricas que actúan en objetos cargados pequeños son mucho más grandes que sus pesos, a menudo no se toman en cuenta.
Ejemplo 18. Dos esferas idénticas de tecknopor, cada una de 0,030 kg, cada esfera atada a un hilo de 30 cm de largo y suspendidas de un punto. A cada esfera se le da una carga q (frotándola con un paño), las dos esferas se repelen formando un ángulo de 7º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada esfera?
Solución.
Dibuje el diagrama de fuerzas para una de las esferas. La esfera está en equilibrio, tal que:
∑
F
H=
0
y∑
F
V=
0
0 cos − mg = T θ ⇒ Tcosθ = mg 0 sen − F = Tθ
⇒ Tsenθ
= F Dividiendo: mg F T T = =θ
θ
θ
tan cos sen , donde(
)
2 2sen
2
L
θ
q
k
F
=
Resolviendo:(
)(
)
k
L
mg
q
2 2=
tan
θ
2
sen
θ
=(
)( )(
)( )( )(
9)
10 9 sen7º 3 , 0 2 º 7 tan 8 , 9 03 , 0 × ⇒q = 0,146 x 10-6 C = 0,146μ
CEjemplo 19. Dos esferas idénticas de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L, como se muestra en la figura. Cada esfera tiene la misma carga; por tanto, q1 = q2 = q. El radio de cada
esfera es muy pequeño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que éstas se pueden tratar como cargas puntuales. Demuestre que, si el ángulo
θ
es pequeño, la separación deequilibrio d entre las esferas es 3 1 0 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = mg L q d
πε
.(Sugerencia: Si
θ
es pequeño, tanθ
≅senθ
).Solución.
Examinando las fuerzas:
0
sen
−
e=
=
∑
F
xT
θ
F
y0
cos
−
=
=
∑
F
yT
θ
mg
. Luego 2 2 cos sen d kq F mg e = =θ
θ
. Pero L d θ 2 tan ≈ . ⇒ mg L kq d 2 3 = 2 ⇒ 3 1 0 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = mg L q dπε
Ejemplo 20. Dos esferas pequeñas de masa m = 15,0 g cuelgan de hilos de seda de longitud L = 1,20 m de un punto común. Cuando se les proporciona a las esferas cantidades iguales de carga negativa, de modo que q1 = q2 = q, cada
hilo cuelga a
θ
= 25,0° respecto a la vertical, a) Dibuje un diagrama que muestre las fuerzas sobre cada esfera. Trate las esferas como cargas puntuales.b) Halle la magnitud de q.
c) Ahora se acortan los dos hilos a una longitud L = 0,600 m, en tanto que las cargas q1 y q2
permanecen sin cambio. ¿Cuál es el nuevo ángulo que cada hilo forma con la vertical? (Sugerencia: Esta parte del problema se puede resolver numéricamente empleando valores de prueba de
θ
y ajustando estos valores hasta obtener una respuesta congruente consigo misma).Solución. a)
b) Usando el mismo análisis que en el problema anterior, encontramos: θ mg d πε q 4 2 tan 0 2 = y 5 2(1,2)sen2 = d ⇒
[
°]
° = 4πε0 2(1,2)sen25 2(0,015)(9,80)tan25 q ⇒ q = 2,79 x 10-6 C.c) Del problema anterior,
2 2 tan d kq mg
θ
= . L d θ 2 sen = ⇒ θ L mg kq θ 2 2 2 sen ) 2 ( tan = θ 2 2 2 -6 9 sen ) 6 , 0 ( 4 ) )(9,8 015 , 0 ( ) 10 )(2,79 10 99 , 8 ( × × = Luegoθ
θ
2 sen 331 , 0 tan = . Hacemosθ
tan = y yθ
2 sen 331 , 0 = yLa intersección es la solución. Obtenemos θ =39,5°.
Ejemplo 21. Dos esferas idénticas se sujetan a hilos de seda de longitud L = 0,500 m y se cuelgan de un punto común. La masa de cada esfera es m = 8,00 g. El radio de las esferas es muy pequeño en comparación con la distancia entre ellas, por lo que se les puede tratar como cargas puntuales. A una esfera se le proporciona una carga positiva q1, y a la otra una carga
positiva diferente q2 esto provoca que las esferas
se separen de tal modo que cuando están en equilibrio, cada hilo forma un ángulo
θ
= 20,0° con la vertical.a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada esfera en equilibrio, e identifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera.
b) Halle la magnitud de la fuerza electrostática que actúa sobre cada esfera, así como la tensión en cada hilo.
c) Con base en la información dada, ¿qué se puede afirmar acerca de las magnitudes respectivas de q1 y q2? Explique sus respuestas.
d) Ahora se conectan las esferas mediante un alambre pequeño, lo que permite que se transfiera carga de una esfera a la otra hasta que ambas tienen la misma carga; después se retira el alambre. Cada hilo forma ahora un ángulo de 30,0° con la vertical. Halle las cargas originales. (Sugerencia: La carga total del par de esferas se conserva). Solución. a) b)
T
= mg
cos
20
°
=
0
,
0834
N
Luego 1 2 2 1 N 0285 , 0 20 sen r q kq T Fe = °= =r1 es la separación entre las cargas
m
342
,
0
sen20
m)
500
,
0
(
2
1=
°
=
r
c) De (b), 2 2 1 9 342 , 0 10 9 0285 , 0 = × q q ⇒.
C
10
71
,
3
13 2 2 1 −×
=
q
q
d) Las cargas sobre las esferas se igualan conectándolas con un alambre, pero aun tenemos
2 2 2 0 e
4
1
N
0453
,
0
tan
r
Q
θ
mg
F
πε
=
=
=
con2
2 1q
q
Q
=
+
. La separaciónr
2 es:º
30
m)sen
500
,
0
(
2
2=
r
= 0,500 m. Luego: 2 2 0 2 1 4 2 πε Fr q q Q= + = e = 1,12 x 10-6 C.Esta ecuación, con la de la parte (b), nos da dos ecuaciones en
q
1y q2.C
10
24
,
2
6 2 1+ q
=
×
−q
y.
C
10
70
,
3
13 2 2 1 −×
=
q
q
Por eliminación, sustitución y después de resolver la ecuación cuadrática resultante, obtenemos:
C
10
06
,
2
6 1=
×
−q
yq
2=
1
,
80
×
10
−7C
.Ejemplo 22. Se colocan tres cargas puntuales idénticas q en tres vértices de un cuadrado de lado L. Halle la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre una carga puntual - 3q situada a) en el centro del cuadrado;
b) en el vértice vacío del cuadrado.
En cada caso, dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que ejercen sobre la carga - 3q las otras tres cargas.
Solución. a)
6
,
4
1
)
2
(
)
3
(
4
1
2 2 0 2 0L
q
πε
L
q
q
πε
F
=
+
=
hacia lacarga izquierda inferior. Las otras dos fuerzas son iguales y opuestas.
b) La carga izquierda superior y la carga derecha más baja tienen fuerzas de igual magnitud perpendiculares el uno al otro, dando por resultado una fuerza total 2 veces de la fuerza de una, dirigida hacia la carga izquierda más baja. Así pues, toda la suma de las fuerzas a: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 0 ( 2 ) ) 3 ( 2 ) 3 ( 4 1 L q q L q q πε F
N
2
3
2
3
4
2 0 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
L
πε
q
.Ejemplo 23 Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La velocidad inicial del protón tiene una magnitud
0
v
y está dirigida formando un ángulo α abajo de la horizontal.a) Halle la distancia máxima que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias.
b) ¿Después de qué distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c) Dibuje la trayectoria del protón.
d) Halle los valores numéricos de hmax y d si E =
500 N/C,
v
0 = 4,00 x l05 m/s y α = 30.,0°. Solución. eE Fy =F
x=
0
p pm
eE
m
F
a
y y=
=
a
x=
0
a) y m eE α v y a v v p y y y = + Δ = + Δ 2 sin 2 2 2 0 2 0 2 maxh
y
=
Δ
cuandov
y=
0
eE
α
m
v
h
p2
sin
2 2 o max=
⇒
b) 2 0 2 1 t a t v y= y + y Δ origt
t
=
cuando Δy=0 orig orig 02
1
sin
0
v
α
a
yt
⎟
t
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⇒
Luego Δy=0 ya
α
v
t
0
,
2
0sin
orig=
o eE α m v torig = 2 0 p senα
α
eE
m
v
t
v
d
x2
pcos
sen
2 0 orig 0=
=
c) d) ) 500 )( 10 6 , 1 ( 2 30 sen ) 10 67 , 1 ( ) 10 4 ( 19 2 27 2 5 max − − × ° × × = h = 0,42 m. ) 500 )( 10 6 , 1 ( 30 sen 30 cos ) 10 67 , 1 ( ) 10 4 ( 2 19 27 2 5 − × ° ° × × = d = 2,49 m.CARGA DISTRIBUIDA. En el caso ya no de cargas puntuales sino de una distribución continua, a pesar que la carga eléctrica se
encuentre en múltiplos de una carga básica que es el electrón (e = 1,6x10-19 C), la cual es
extremadamente pequeña. Esto significa que la carga macroscópica está compuesta de un número muy grande de electrones. Así podemos describir una distribución de carga en términos de una densidad de carga.
Densidad de carga volumétrica definida por
dV dq V q V Δ = Δ = → Δlim0
ρ
Densidad de carga superficial definida por
dS dq S q S Δ = Δ = → Δlim0
σ
Densidad de carga lineal definida por
l l l d dq q = Δ Δ = → Δlim0
λ
Ejemplo 24. ¿Cuál sería la fuerza sobre une carga q, debido a cargas distribuidas por volumen?
Solución.
Sea al volumen V con densidad de Carga
ρ
( )r' . La fuerza sobre la Carga q es:( )
'
'
'
4
3 ' 0dV
r
r
r
r
q
F
r V qπε
∫
→ →ρ
→ → →−
−
=
Del mismo para una distribución superficial, con densidad de Carga
σ
( )r' ( )'
'
'
4
3 ' 0dS
r
r
r
r
q
F
r S qπε
∫
→ →σ
→ → →−
−
=
y para una distribución lineal, con densidad de Carga
λ
( )r' ( )'
'
'
4
3 ' 0l
ld
r
r
r
r
q
F
qλ
rπε
∫
→ → → → →−
−
=
Ejemplo 25. La figura muestra un alambre infinito horizontal con densidad lineal de carga λ, y un alambre finito de largo y densidad lineal de carga λ’ = λ
0 (y + a), donde λ0 es una constante
de unidad C/m2.
a) ¿Cuál es la fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l?
b) ¿Cuál es la fuerza que el alambre de largo
lejerce sobre el alambre infinito? Solución.
a) La fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l: → →
=
dq
E
F
d
,(
)
j
y
a
E
ˆ
2
0+
=
→πε
λ
,(
a
y
)
dy
dy
dq
=
λ
'
=
σ
0+
Luego:(
)
(
a
y
)
j
dy
y
a
F
d
ˆ
2
0 0+
+
=
→πε
λ
σ
= dy ˆj 2 0 0πε
λσ
∫
∫
= = → → l 0 0 0 ˆ 2 j dy F d Fπε
λσ
= jˆ 2 0 0πε
λσ
lb) La fuerza que el alambre de largo lejerce sobre el alambre infinito por la tercera ley de Newton es: j F ˆ 2 0 0
πε
λσ
l − = −→Ejemplo 26. Una esfera maciza, no conductora de radio R, tiene una densidad de carga
volumétrica
ρ
=
A
r
, donde A es constante. Calcular la carga de la esfera.Si dV dq =
ρ
⇒ dq =ρ
dV y∫
= ==
r R rdV
q
0ρ
, con r A =ρ
y dV = 4π
r2dr :∫
∫
= = R r dr A Rrdr r A q 0 2 0 4π
4π
= 2 2 ARπ
Ejemplo 27. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma
(
r)
e−r= 2
0
ρ
ρ
y radio R limitadaexteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Determine la carga total en la esfera aisladora.
Solución.
La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:
∫
=
V dV
q
ρ
En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma:
φ
θ
θ
ρ
π π d d dr r r e q r R sen 2 2 2 0 0 0 0 −∫ ∫ ∫
= =∫
Re
−rdr
0 04
πρ
= 4πρ
0(
1−e−R)
CAMPO ELÉCTRICO - INTRODUCCIÓN. Nosotros conocemos la existencia del campo gravitacional porque al dejar en un punto del espacio (cerca de la tierra) una masa m esta sufre la acción de la fuerza gravitacional F→ ,
habiendo en ese punto una intensidad de campo gravitacional →
g
, donde m F g → → =Este valor en el punto no cambie con el tiempo, depende de la masa de la tierra y de la distancia
r
r
mM
G
F
Tˆ
2=
→ yr
r
GM
g
Tˆ
2=
→La Ley de Coulomb establece la fuerza de interacción entre dos cargas, pero cuando quitamos una de las cargas ¿qué hay en ese espacio? Similarmente al campo gravitacional podemos decir que el espacio que rodea a la carga esta afectado por lo que llamamos campo eléctrico.
DEFINICIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO Sea una carga q1 fija en el espacio, la acción
sobre la carga q2 es 12 3 12 2 1 0 4 1 → → = r r q q F
πε
= r r q q ˆ 4 1 2 12 2 1 0πε
Sí variamos la posición de q2 la fuerza en cada
punto dependerá de las coordenadas de su posición. Para eliminar la dependencia de la fuerza a q2, se especifica esta como carga
unitaria y positiva. Así el campo fuerza se define como la fuerza por unidad de carga positiva en todos los puntos alrededor de q1, un resultado
equiva1ente se obtiene dividiendo la fuerza en cada punto por el valor de q2, esto es
12 3 12 1 0 2
4
1
→ → →=
=
r
r
q
q
F
E
πε
= r r q ˆ 4 1 2 12 1 0πε
Para el caso del Campo debido a cargas distribuidas.
- Cargas puntuales. Campo producido por las n cargas puntuales (q1, q2,
q
3, q2…..q2)en un punto determinado por →r .∑
= → → → → →−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
n i i i ir
r
r
r
q
E
1 3 04
1
πε
- Distribución volumétrica ( )'
4
1
3 ' 0dV
r
r
r
r
E
V i i r∫
→ → → → →−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
ρ
πε
- Distribución superficial ( )'
4
1
3 ' 0dS
r
r
r
r
E
S i i r∫
→ → → → →−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
σ
πε
- Distribución lineal ( )
'
4
1
3 ' 0l
ld
r
r
r
r
E
i i r∫
→ → → → →−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
λ
πε
Ejemplo 28. Un dipolo eléctrico consiste en las cargas + q y - q separadas por una distancia. 2a Si las cargas se colocan en (0, 0, a) y (0, 0, - a) en el eje de z (el eje del dipolo), determine el campo eléctrico del dipolo en un punto a una distancia z del origen en el eje de z, donde z >> 2 a. Exprese el resultado en los términos del momento dipolo eléctrico, definido como
aq p =2 . Solución.
(
)
(
( )
)
2 0 2 04
1
4
1
a
z
q
a
z
q
E
+
−
+
−
=
πε
πε
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = 2 2 2 2 0 2 1 2 1 4 1 a az z a az z qπε
Comoa2 <<2az << z2, podemos eliminar a2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
z
a
z
z
a
z
2
1
1
2
1
2 2 Usandoδ
δ
≈ + − 1 1 1 , siδ
<<1:⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
z
a
Z
z
a
z
2
1
1
2
1
1
2 2⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
=
z
a
z
a
z
q
E
1
2
1
2
4
1
2 0πε
= 3 0z
aq
πε
o 3 02
z
p
E
πε
=
La materia en la naturaleza es por general eléctricamente neutra, no se encuentra tan a menudo situaciones donde las fuerzas se deben a la carga neta en un objeto. Sin embargo, todo puede adquirir un momento dipolar cuando está colocado en un campo eléctrico porque las cargas negativas en los átomos son jaladas en una forma tirada y las cargas positivas en el núcleo son jaladas en la dirección opuesta. Así los dipolos eléctricos desempeñan un papel muy importante en nuestra comprensión de la
materia. Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, tiende a alinearse con su eje paralelo al campo. Si no es paralelo al campo, experimenta un torque
τ
→. Asociado a este torque hay una energía potencial U, donde→ → →
×
=
p
E
τ
yU
=
−
→p
⋅
E
→=
−
pE
cos
θ
Aquí
θ
es el ángulo entre el campo eléctrico y el eje del dipolo y el p = 2aq es el momento del dipolo.Ejemplo 29. Se coloca una carga positiva puntual q en x = a, y una carga negativa puntual - q en x = - a.
a) Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = 0.
b) Deduzca una expresión para el campo eléctrico en los puntos sobre el eje de las x. Con base en su resultado, grafique la componente x del campo eléctrico en función de x con respecto a valores de x entre - 4a y 4a.
Solución.
Una carga positiva y negativa, de igual
magnitud
q
, están sobre el eje x, a una distanciaa
del origen.a) En un punto entre ellas,
,
2
4
1
2 0a
q
πε
E
=
a la izquierda. b) En cualquier posición x, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − > ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = a x x a q x a q πε a x x a q x a q πε a x x a q x a q πε E , ) ( ) ( 4 1 , ) ( ) ( 4 1 | | , ) ( ) ( 4 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0con el sentido positivo hacia la derecha. Graficado a continuación.
Ejemplo 30. Disponemos de tres cargas q1, q2 y
q3 (q1 = +5×10-5 C, q2 = q3=
- q1/2) sobre una circunferencia de radio 1 m,
como indica la figura.
a) Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga q1.
b) Calcular la fuerza total ejercida sobre una carga de + 1 C situada en el centro de la circunferencia.
Solución. a)
La fuerza ejercida por q2
(
i
j
)
d
q
q
F
sen
30
º
ˆ
cos
30
º
ˆ
4
2 0 2 1 21=
−
+
→πε
Cond
=
3
R
y q2 = - q1/2,cos
30
º
=
−
3
/
2
y 2 / 1 º 30 sen =− Tenemos:( )
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
−
=
→j
i
R
q
F
ˆ
2
3
ˆ
2
1
3
8
0 2 2 1 21πε
(
i
j
)
R
q
ˆ
3
ˆ
48
2 0 2 1+
=
πε
La fuerza ejercida por q3
(
i
j
)
d
q
q
F
sen
30
º
ˆ
cos
30
º
ˆ
4
2 0 3 1 31=
−
+
→πε
Cond
=
3
R
, q3= - q1/2,cos
30
º
=
−
3
/
2
2 / 1 º 30 sen = Tenemos:( )
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
−
=
→j
i
R
q
F
ˆ
2
3
ˆ
2
1
3
8
0 2 2 1 31πε
(
i
j
)
R
q
ˆ
3
ˆ
48
2 0 2 1−
−
=
πε
La fuerza neta es 31 21 → → →+
=
F
F
F
neta(
)
(
i j)
R q j i R q ˆ 3ˆ 48 ˆ 3 ˆ 48 2 0 2 1 2 0 2 1 + − − − = πε πεj
R
q
ˆ
24
3
2 0 2 1πε
−
=
Reemplazando valores(
) (
( )
)
j Fneta ˆ 00 , 1 6 10 5 3 10 9 2 2 5 9 − → × × − = =−6,49519N jˆLa fuerza neta sobre q1