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Subespacios invariantes

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Academic year: 2021

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(1)

Subespacios invariantes

Joan Cerd`a

Departament de Matem`atica Aplicada i An`alisi; GARF, Barcelona

E-mail: jcerda@ub.edu http://www.mat.ub.edu/˜cerda/

17 de abril de 2012

(2)

´Indice

1 El problema Historia dim E < ∞ 2 Espectro Espectro de un operador Operadores compactos 3 Subespacios invariantes El problema Teorema de Lomonosov 4 Minimax 5 Algunas demostraciones Espectro Schauder

(3)

EL PROBLEMA

(4)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:

Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

(5)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:

Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

Caso de T tal que T S = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI (S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.

(6)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:

Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

(7)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:

Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

Caso de T tal que T S = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI (S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.

(8)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:

Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

(9)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad: Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

Caso de T tal que T S = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI (S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.

(10)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad: Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

(11)

El problema del subespacio invariante

Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?

T ∈ L(E). F subespacio T -invariante⇔ F subespacio vectorialcerrado no trivialtal que T (F ) ⊂ F .

Per Enflo

Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J. Read (1985) en `1.

E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒[x, T x, T2x, . . .]invariante.

Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad: Caso de T tal que P (T ) compacto no nulo

Caso de T tal que T K = KT (K compacto no nulo)

Caso de T tal que T S = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI (S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.

(12)

El resultado de John von Neumann (1935)

J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto(o sea, K(BH) compacto)

en H, espacio de Hilbertde dimensi´on infinita, tiene subespacio invariante.

Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954. Problema abierto para T arbitrario sobre H!!

(13)

El resultado de John von Neumann (1935)

J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto(o sea, K(BH) compacto)

en H, espacio de Hilbertde dimensi´on infinita, tiene subespacio invariante.

Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954. Problema abierto para T arbitrario sobre H!!

(14)

El resultado de John von Neumann (1935)

J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto(o sea, K(BH) compacto)

en H, espacio de Hilbertde dimensi´on infinita, tiene subespacio invariante.

Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954.

(15)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).

Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es

invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

0 f sobre E = C[0, 1].

(16)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ). Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

(17)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).

Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

0 f sobre E = C[0, 1].

(18)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).

Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

(19)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ). Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

0 f sobre E = C[0, 1].

(20)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ). Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de

det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

(21)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ). Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

0 f sobre E = C[0, 1].

(22)

Caso dim E < ∞

Soluci´on completa considerando subespacios propios:

λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado no nulo

Tambi´en AT = T A ⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):

x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(T x) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ). Si N (λ) = E, T = λI es unoperador escalary todo subespacio es invariante.

Si E es complejo y dim E < ∞, T tiene valores propios (soluciones de det(T − λI) = 0) −→ distinci´on entre casos K = C y K = R.

Falso si dim E = ∞. Ejemplo: Volterra, V f (x) =Rx

(23)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

T x0+ ıT y0= λ(x0+ ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.

(24)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx

kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

(25)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx

kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

T x0+ ıT y0= λ(x0+ ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.

(26)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y

(ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

(27)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y

(ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

T x0+ ıT y0= λ(x0+ ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.

(28)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

(29)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

T x0+ ıT y0= λ(x0+ ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.

(30)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

(31)

Complexificaci´

on de E Banach real

EC= E × E Banach complejo con:

x + ıy := (x, y), r(x + ıy) := rx + ıry), i(x + ıy) := −y + ıx kx + ıyk := m´axϑ∈Rkx cos(ϑ) + y sen(ϑ)kE.

TC: EC→ ECtal que TC(x + ıy) := T x + ıT y (ST )C= SCTCy kTCk = kT k.

complexificacion

E real de dimensi´on finita:

dim E = n < ∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespacios invariantes

dim E = 2, rotaciones sin subespacios invariantes. 2 < dim E < ∞ par, TC tiene vector propio no nulo:

T x0+ ıT y0= λ(x0+ ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.

(32)

Dimensi´on infinita→ Teoria espectral de operadores compactos para K = C

(33)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E. σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on

T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on

´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}: r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

I − T /λ∈ L(E).

(34)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E.

σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on

T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on

´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}: r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

(35)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E. σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on ´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}: r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

I − T /λ∈ L(E).

(36)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E. σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on

T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on

´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:

r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

(37)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E. σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on

T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on

´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}: r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

I − T /λ∈ L(E).

(38)

Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C

σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}

σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ kT k}: |λ| > kT k ⇒ T x − λx = y tiene soluci´on ´unica x, pues F (x) := λ−1(T x − y) contractiva en E. σ(T ) cerrado: Si λ06∈ σ(T ) y |λ − λ0|k(T − λ0I)−1k < 1, la ecuaci´on

T x − λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) = x y tiene soluci´on

´

unica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ − λ0)x) es contractiva en E.

F´ormula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}: r = l´ım n kT n k1/n= ´ınf n kT n k1/n(≤ kT k)!!

Basada en propiedades de la funci´on holomorfa vectorial R : C \ σ(T ) → L(E), R(λ) := (T − λI)−1=1

λ 1

(39)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn).

Teorema

Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(40)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn).

Teorema

Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(41)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn).

Teorema

Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(42)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn). Teorema Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(43)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn). Teorema Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(44)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn). Teorema Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(45)

Caso de K ∈ L(E) compacto

K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,

kxnk ≤ M ⇒ ∃{xnk} convergente

Si K = I ⇒ dim E < ∞ y E ≡ Kn(BE compacta ⇒ dim E = n < ∞ y

E ≡ Kn). Teorema Si λ 6= 0,

dim N (λ) < ∞, pues K = λI sobre N (λ).

N (λ) = 0 ⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto,σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.

Corolario Si K = C, K compacto y r = ´ınfnkKnk1/n> 0, entonces r = m´ax{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = l´ım n kK nk1/n . Existe λ0∈ σp(K) \ {0} y dim N (λ0) < ∞.

(46)
(47)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

F {T }0−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T }0(x) ⊂ F no trivial.

(48)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

(49)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

F {T }0−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T }0(x) ⊂ F no trivial.

(50)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

(51)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

F {T }0−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T }0(x) ⊂ F no trivial.

(52)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

(53)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial. Inversamente,

F {T }0−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T }0(x) ⊂ F no trivial.

(54)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

(55)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial. Inversamente,

F {T }0−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T }0(x) ⊂ F no trivial.

(56)

Subespacios T -hiperinvariantes

Si dim E = ∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)

subespacio T -invariante; sobre ´el, T = λI.

N (λ) tambi´en es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A. Se dice que F es hiperinvariantepara T si es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = T A.

Notaci´on: {T }0:= {A; AT = T A}, y F hiperinvariante significa que es {T }0−invariante.

Hay subespacio hiperinvariante F si y s´olo si

{T }0(x) = {Ax; AT = T A} 6= E

para alg´un x 6= 0 (F = {T }0(x)): hiperinvariante

Si F := {T }0(x) y A ∈ {T }0, para todo Sx con S ∈ {T }0se tiene

ASx ∈ F ya que AS ∈ {T }0.

F := {T }0(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.

Inversamente,

(57)

Viktor Lomonosov

Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con alg´un operador

compacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema del punto fijo).

Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).

El m´etodo de Lomonosov se aplica a m´as operadores: si E complejo, existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con un operador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T de Lomonosov).

El caso real es especial.

(58)

Viktor Lomonosov

Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con alg´un operador compacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema del punto fijo).

Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).

El m´etodo de Lomonosov se aplica a m´as operadores: si E complejo, existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con un operador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T de Lomonosov).

(59)

Viktor Lomonosov

Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con alg´un operador compacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema del punto fijo).

Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).

El m´etodo de Lomonosov se aplica a m´as operadores: si E complejo, existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con un operador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T de Lomonosov).

El caso real es especial.

(60)

Viktor Lomonosov

Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con alg´un operador compacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema del punto fijo).

Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).

El m´etodo de Lomonosov se aplica a m´as operadores: si E complejo, existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con un operador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T de Lomonosov).

(61)

Viktor Lomonosov

Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con alg´un operador compacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema del punto fijo).

Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).

El m´etodo de Lomonosov se aplica a m´as operadores: si E complejo, existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con un operador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T de Lomonosov).

El caso real es especial.

(62)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0.

E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) es hiperinvariante (de dimensi´on finita).

E real:

KC: EC→ EC es compacto y ´ınfnkKCnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0 ⇒

∃NKC(λ) = [x1+ ıy1, . . . , xn+ ıyn] hiperinvariante, con ACKC= KCAC

(63)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0.

E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) es hiperinvariante (de dimensi´on finita).

E real:

KC: EC→ EC es compacto y ´ınfnkKCnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0 ⇒

∃NKC(λ) = [x1+ ıy1, . . . , xn+ ıyn] hiperinvariante, con ACKC= KCAC

si A ∈ {K}0 ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}0-invariante.

(64)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0.

E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) es hiperinvariante (de dimensi´on finita).

E real:

KC: EC→ EC es compacto y ´ınfnkKCnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0 ⇒

∃NKC(λ) = [x1+ ıy1, . . . , xn+ ıyn] hiperinvariante, con ACKC= KCAC

(65)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0.

E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) es hiperinvariante (de dimensi´on finita).

E real:

KC: EC→ EC es compacto y ´ınfnkKCnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0 ⇒

∃NKC(λ) = [x1+ ıy1, . . . , xn+ ıyn] hiperinvariante, con ACKC= KCAC

si A ∈ {K}0 ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}0-invariante.

(66)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0.

E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) es hiperinvariante (de dimensi´on finita).

E real:

KC: EC→ EC es compacto y ´ınfnkKCnk1/n= ´ınfnkKnk1/n> 0 ⇒

∃NKC(λ) = [x1+ ıy1, . . . , xn+ ıyn] hiperinvariante, con ACKC= KCAC

(67)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂SA∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0))

compacto.

hiperinvariante1

(68)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂SA∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0))

compacto.

(69)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂SA∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0))

compacto.

hiperinvariante1

(70)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂SA∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0))

compacto.

(71)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂SA∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0))

compacto.

hiperinvariante1

(72)

Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)

Teorema

Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante. Caso l´ımn→∞kKnk1/n= ´ınfnkKnk1/n= 0.

Se puede suponer kKk = 1

Ad abs. suponer {K}0(x) = E para todo x 6= 0

∃kx0k > 1 con kKx0k > 1 (kKk = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; kx − x0k ≤ 1}

y 0 6∈ K(B(x0)).

{K}0(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}0

t.q. kAx − x0k < 1.

K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂S

A∈{K}0{x ∈ E; kAx − x0k < 1}, con K(B(x0)) compacto.

(73)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk

Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

∃{K}0(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.

(74)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

(75)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

∃{K}0(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.

(76)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

(77)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

∃{K}0(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.

(78)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx0k1/n→ 0 con kc−1 Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

(79)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

∃{K}0(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.

(80)

Continuaci´

on

K(B(x0)) ⊂SNn=1{x; kAnx − x0k < 1}, c := m´ax1≤n≤NkAnk Kx0∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0∈ {x; kAn1x − x0k < 1} x1:= An1Kx0∈ B(x0) ⇒ x2:= An2Kx1∈ B(x0) . . . xk+1:= Ank+1Kxk∈ B(x0) y AnK = KAn. xk+1= Ank+1· · · An1K k+1 x0= (c−1Ank+1) · · · (c −1 An1)(cK) k+1 x0 kKnk1/n→ 0 ⇒ k(cK)nx 0k1/n→ 0 con kc−1Ank ≤ 1 ⇒

B(x0) 3 xk→ 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??

(81)

MINIMAX

(82)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y). Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

(83)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

Teoremas minimax:Condiciones para que se cumpla la igualdad.

(84)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y) ´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

(85)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

Teoremas minimax:Condiciones para que se cumpla la igualdad.

(86)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

(87)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

Teoremas minimax:Condiciones para que se cumpla la igualdad.

(88)

Minimax para una funci´

on de pagos K : X × Y → R

Siempre sup y∈Y ´ınf x∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xy∈Ysup K(x, y) :

Fijados ¯y y x, K(x, ¯y) ≤ supy∈YK(x, y)

´ınfx∈XK(x, ¯y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y)

As´ı supy∈Y´ınfx∈XK(x, y) ≤ ´ınfx∈Xsupy∈Y K(x, y).

Contraejemplo a la desigualdad inversa:

X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y

(89)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua.

K(·, y) concava para todo y ∈ Y . K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(90)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua. K(·, y) concava para todo y ∈ Y .

K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(91)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua.

K(·, y) concava para todo y ∈ Y .

K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(92)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua.

K(·, y) concava para todo y ∈ Y . K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(93)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua.

K(·, y) concava para todo y ∈ Y . K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(94)

El teorema minimax de von Neumann

X, Y compactos convexos de Rny K(x, y) continua.

K(·, y) concava para todo y ∈ Y . K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.

Entoncessupy∈Y´ınfx∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xsupy∈YK(x, y).

1928 J. von Neumann para el caso de s´ımplex de Rny luego (1935/36) mas general.

Usaba una reducci´on al caso n = 1.

En teor´ıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dan dos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) + H(x, y) ≡ 0. La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las ganancias m´ınimas de A, minimizan las p´erdidas m´aximas de B.

(95)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X. As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x. As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos. Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

Para cada (x0, y0) ∈ U (λ0) × L(µ0), se tiene λ0≤ K(x0, y0) ≤ µ0.

(96)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.

As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x. As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos. Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

(97)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X. As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.

As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.

Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

Para cada (x0, y0) ∈ U (λ0) × L(µ0), se tiene λ0≤ K(x0, y0) ≤ µ0.

(98)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X. As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x. As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos. Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

(99)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X. As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x. As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.

Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup

y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

Para cada (x0, y0) ∈ U (λ0) × L(µ0), se tiene λ0≤ K(x0, y0) ≤ µ0.

(100)

Extensi´

on del teorema de von Neumann

X e Y compactos convexos de espacios de Banach.

K(·, y) es cuasi-c´oncava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X. As´ı U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} son convexos.

K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x. As´ı L(λ) :=T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.

Teorema

Si K(·, y) es continua y cuasi-c´oncava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua y cuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces

sup

y∈Y

´ınf

x∈XK(x, y) = ´ınfx∈Xy∈Ysup

K(x, y).

U (λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad, λ0:= sup U (λ)6=∅ λ < +∞, U (λ0) 6= ∅ y µ0:= ´ınf L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.

(101)

Una reducci´

on

Recordemos: U (λ) :=T

y∈Y{K(·, y) ≥ λ} y L(λ) :=

T

x∈X{K(x, ·) ≤ λ}.

Supongamos λ0= supU (λ)6=∅λ y µ0= ´ınfL(µ)6=∅µ satisfacen µ0= λ0. O sea,

K(x0, y) ≥ λ0= K(x0, y0) = µ0≥ K(x, y0) (x ∈ X, y ∈ Y ). Resulta m´ax x m´ıny K(x, y) ≥ m´ıny K(x 0 , y) = K(x0, y0) y K(x0, y0) = m´ax x K(x, y 0 ) ≥ m´ın y m´xaxK(x, y).

Con ello m´axxm´ınyK(x, y) ≥ m´ınym´axxK(x, y).

(102)

Demostraci´

on de µ

0

= λ

0

U (λ0+ ε) = ∅ y L(µ0− ε) = ∅ implican que para cada x ∈ X y cada y ∈ Y

existen ¯y ∈ Y y ¯x ∈ X tales que ¯

λ := λ0+ ε > K(x, ¯y), µ := µ¯ 0− ε < K(¯x, y).

Con los abiertos

Ay:= {x ∈ X; K(x, y) < ¯λ} (y ∈ Y )

Bx:= {y ∈ X; K(x, y) > ¯µ} (x ∈ X)

formamos recubrimientos finitos

X ⊂ N [ j=1 Ayj, Y ⊂ M [ k=1 Bxk, con lo que m´ın j K(x, yj) < ¯λ (∀x ∈ X), m´kaxK(xk, y) > ¯µ (∀y ∈ Y ).

(103)

Continuaci´

on: una funci´

on con punto fijo

ϕk(y) := m´ax(K(xk, y) − ¯µ, 0), ψj(x) := m´ax(¯λ − K(x, yj), 0).

Por las ´ultimas desigualdades, X k ϕk(y) > 0, X j ψj(x) > 0 y F (x, y) := P kϕk(y)xk P kϕk(y) , P jψj(x)yj P jψj(x) 

define una funci´on continua

F : X × Y → X × Y

tal que F ( co{xk}Mk=1× co{yj}Nj=1) ⊂ co{xk}Mk=1× co{yj}Nj=1.

C := co{xk} × co{yj} ⊂ [xk; k = 1, . . . M ] × [yj; j = 1, . . . N ] ⊂ E × F

es compacto convexo. F tiene punto fijo, (ex,ey) ∈ C

(104)

Final de la demostraci´

on

e x = P kϕk(y)xe k P kϕk(y)e , y =e P jψj(ex)yj P jψj(x)e . Por ser K cuasi-c´oncava en x,

ϕk(y) = m´e ax(K(xk,y) − ¯e µ, 0) ≥ 0 ⇒ K(xk,y) ≥ ¯e µ⇒K(x,ey) ≥ ¯e µ. Por ser K cuasi-convexa en y,

K(ex,ey) ≤ ¯λ.

As´ı ¯µ ≤ ¯λ o, equivalentemente, µ0≤ λ0+ 2ε, y ya sabemos que λ0≤ µ0; o

(105)

AP´

ENDICE

(106)

Analiticidad de la resolvente (E complejo)

R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1= 1 λ 1 I−K/λ∈ L(E). Lema

L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1∈ L−1(E) continua.

S ∈ L−1(E) y kHk ≤ 1/(2kS−1k) implican S + H ∈ L−1

(E):

(S + H)x = y tiene soluci´on ´unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva! (S + H)−1− S−1 = (I − S−1H)−1S−1− S−1→ 0 si kHk → 0: k(S(I + S−1 H))−1− S−1kN eumann kS−1k kS−1Hk 1−kS−1Hk ≤ 2kS −1k2kHk si kHk ≤ 1/(2kS−1k). Teorema R0(λ) = R(λ)2, anal´ıtica, y |λ| > kT k ⇒ R(λ) = −λ−1P nλ −n Tn.

R0(λ) = R(λ)2 pues (λ − µ)I = (T − λI)(R(λ) − R(µ))(T − µI) implica

R(λ)−R(µ) λ−µ = R(λ)R(µ) → R(λ) 2 si µ → λ, pues R es continua. Si kT k/|λ| < 1, λ−1P nλ −n Tnes la inversa de T − λI (P kλ−n Tnk ≤P |λ|−nkT kn < ∞, serie de Neumann).

(107)

Analiticidad de la resolvente (E complejo)

R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1= 1 λ 1 I−K/λ∈ L(E). Lema

L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1∈ L−1(E) continua.

S ∈ L−1(E) y kHk ≤ 1/(2kS−1k) implican S + H ∈ L−1

(E):

(S + H)x = y tiene soluci´on ´unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva! (S + H)−1− S−1 = (I − S−1H)−1S−1− S−1→ 0 si kHk → 0: k(S(I + S−1 H))−1− S−1kN eumann kS−1k kS−1Hk 1−kS−1Hk ≤ 2kS −1k2kHk si kHk ≤ 1/(2kS−1k). Teorema R0(λ) = R(λ)2, anal´ıtica, y |λ| > kT k ⇒ R(λ) = −λ−1P nλ −n Tn.

R0(λ) = R(λ)2 pues (λ − µ)I = (T − λI)(R(λ) − R(µ))(T − µI) implica

R(λ)−R(µ) λ−µ = R(λ)R(µ) → R(λ) 2 si µ → λ, pues R es continua. Si kT k/|λ| < 1, λ−1P nλ −n Tnes la inversa de T − λI (P nkλ −n Tnk ≤P n|λ| −nkT kn < ∞, serie de Neumann).

(108)

Analiticidad de la resolvente (E complejo)

R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1= 1 λ 1 I−K/λ∈ L(E). Lema

L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1∈ L−1(E) continua.

S ∈ L−1(E) y kHk ≤ 1/(2kS−1k) implican S + H ∈ L−1

(E):

(S + H)x = y tiene soluci´on ´unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva! (S + H)−1− S−1 = (I − S−1H)−1S−1− S−1→ 0 si kHk → 0: k(S(I + S−1 H))−1− S−1kN eumann kS−1k kS−1Hk 1−kS−1Hk ≤ 2kS −1k2kHk si kHk ≤ 1/(2kS−1k). Teorema R0(λ) = R(λ)2, anal´ıtica, y |λ| > kT k ⇒ R(λ) = −λ−1P nλ −n Tn.

R0(λ) = R(λ)2 pues (λ − µ)I = (T − λI)(R(λ) − R(µ))(T − µI) implica

R(λ)−R(µ) λ−µ = R(λ)R(µ) → R(λ) 2 si µ → λ, pues R es continua. Si kT k/|λ| < 1, λ−1P nλ −n Tnes la inversa de T − λI (P kλ−n Tnk ≤P |λ|−nkT kn < ∞, serie de Neumann).

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