INDICE
Tema
Página
Contenido de la Estadística 3
Población y muestra 3
Variable 5
Distribución de frecuencias para datos no agrupados 6 Distribución de frecuencias para datos agrupados 7
Gráficos 11
Diagrama de tallo y hoja 13
Medidas de tendencia central a partir de datos no agrupados 14 Medidas de dispersión a partir de datos no agrupados 17
Medidas de posición 19
Medidas de tendencia central a partir de datos agrupados 21 Medidas de dispersión a partir de datos agrupados 24
Probabilidad 26 Uniones e intersecciones 28 Técnicas de conteo 29 Permutaciones y combinaciones 30 Tablas de probabilidad 32 Probabilidad condicional 33 Axiomas de probabilidad 33 Teorema de Bayes 36 Distribuciones de probabilidad 37 Distribución Binomial 37 Distribución de Poisson 38 Distribución normal 39
Aproximación normal a la distribución binomial 44
Muestreo 45
Números índice 46
Series de tiempo 49
Métodos de suavizamiento 52
CONTENIDO DE LA ESTADISTICA
1
Estadística.- Es la ciencia de reunir, analizar, presentar e interpretar datos.Descriptiva: La organización y resumen de datos, así como las características de dichos datos (media, desviación estándar).
Estadística
Teoría de la probabilidad: Nos proporciona una base racional en problemas con factores aleatorios.Inferencial: El análisis e interpretación de muestras, para analizar el comportamiento de poblaciones.
POBLACIÓN Y MUESTRA
Población : Es el total de los elementos que se estudian.
Muestra : Es un conjunto de elementos extraídos de un conjunto mayor (población).
1 Anderson, Sweeney, Williams.
Estadística para Administración y Economía. Thomson Editores. México 1999. Págs. 12-15
Finita.- El numero de elementos es limitado
Población
Infinita.- El numero de elementos es muy grande
Grande.- Convencionalmente 30 o más elementos
Muestra
Pequeña.- < 30
Población
Muestra
Estudio de una población
Conocimiento exacto
Mucho tiempo requerido
Alto costo
Estudio de una muestra
Conocimiento aproximado
Rápido
Variable2: Cualquier propiedad o característica de algún evento, objeto o persona, que puede tener diversos valores en diferentes instantes, según las condiciones. La altura, el peso, el tiempo de reacción y la dosis de un medicamento son ejemplos de variables. Una variable debe contrastarse con una constante, la cual, por supuesto, no tiene diversos valores en diferentes instantes. Un ejemplo de una constante es el símbolo matemático π; el cual siempre tiene el mismo valor (3.1416).
Las variables de acuerdo a sus características se pueden clasificar de la siguiente manera:
• Variable independiente La variable independiente de un experimento es aquella que es controlada en forma sistemática por el investigador. Por ejemplo, un científico podría estar interesado en el efecto del alcohol sobre el comportamiento social . Para investigar esto, es probable que el investigador varié la cantidad de alcohol y mida sus consecuencias sobre la conducta social de las personas. La cantidad de alcohol es la variable independiente.
• Variable dependiente La variable dependiente en un experimento es la medida por un investigador para determinar el efecto de la variable independiente. Por ejemplo, en el experimento de los efectos del alcohol, la cantidad de alcohol es la variable independiente. El comportamiento social de los sujetos se mide para ver si es afectado por la cantidad de alcohol consumida. Así, el comportamiento social es la variable dependiente.
• Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado. El peso, la altura y el tiempo son ejemplos de variables continuas. • Variable discreta Una variable discreta es aquella que esta limitada a ciertos valores,
generalmente números enteros. Con frecuencia son el resultado de la enumeración o del conteo. El numero de hijos de una familia, la cantidad de estudiantes de una clase, son ejemplos de variables discretas.
Datos. Medidas que se realizan sobre los sujetos de un experimento. Por lo general, los datos constan de las medidas de la variable dependiente o de otras características del sujeto, como la edad, el sexo, el numero de individuos, etc.
Estadístico Número calculado a partir de los datos de la muestra que cuantifica una característica de ella. Así, el promedio de un conjunto de datos de la muestra seria un estadístico.
Parámetro Número calculado sobre los datos de una población, que cuantifica una característica de la población. Por ejemplo, el valor promedio de un conjunto de datos poblacionales se llama parámetro. Debe observarse que el estadístico y el parámetro son conceptos muy similares. La única diferencia es que un estadístico se calcula sobre una muestra y un parámetro se calcula respecto a una población.
2 Webster Allen L.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
PARA DATOS NO AGRUPADOS
3
Una distribución de frecuencias presenta los valores de los datos y su frecuencia de aparición. Al ser presentados en una tabla, los valores de los datos se enumeran en orden, donde por lo general el valor del dato menor aparece en la parte superior de la tabla.
Ordenaremos las calificaciones que aparecen en la siguiente tabla (n =70), en una distribución de frecuencias, la cual aparece en otra tabla inmediatamente después.
95 57 76 93 86 80 89 76 76 63 74 94 96 77 65 79 60 56 72 82 70 67 79 71 77 52 76 68 72 88 84 70 83 93 76 82 96 87 69 89 77 81 87 65 77 72 56 78 78 58 54 82 82 66 73 79 86 81 63 46 62 99 93 82 92 75 76 90 74 67 3 Anderson, Sweeney, Williams.
Estadística para Administración y Economía. Thomson Editores. México 1999. Pág. 25
Tabla de frecuencias: Calificación f Calificación f 46 1 76 6 52 1 77 4 54 1 78 2 56 2 79 3 57 1 80 1 58 1 81 2 60 1 82 5 62 1 83 1 63 2 84 1 65 2 86 2 66 1 87 2 67 2 88 1 68 1 89 2 69 1 90 1 70 2 92 1 71 1 93 3 72 3 94 1 73 1 95 1 74 2 96 2 75 1 99 1 TOTAL 70
Nótese que la suma de las frecuencias es igual al número de datos n
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
PARA DATOS AGRUPADOS
4
Distribución de frecuencias .- Es un resumen tabular de un conjunto de datos que muestra la frecuencia (o la cantidad) de artículos en cada una de varias clases que no se traslapan. Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias), ordenará los datos si estos se dividen en clases y se registrará el número de observaciones de cada clase.
4 Anderson, Sweeney, Williams.
Estadística para Administración y Economía. Thomson Editores. México 1999. Págs. 31-32
Resumen de datos cuantitativos.- Como ya se dijo una distribución de frecuencias es un resumen tabular , pero hay que tener mas cuidado para los datos cuantitativos, para lo cual hay que definir los tres pasos necesarios para definir las clases en una distribución de frecuencias con los datos cuantitativos que se dan en la tabla siguiente:
68 71 77 83 79 72 74 57 67 69 50 60 70 66 76 70 84 59 75 94 65 72 85 79 71 83 84 74 82 97 77 73 78 93 95 78 81 79 90 83 80 84 91 101 86 93 92 102 80 69
1. Determinar el número de clases.
2. Determinar el ancho o intervalo de cada clase. 3. Determinar los límites de clase.
Número de clases5.- Las clases se forman al especificar los intervalos de los valores de los datos que se usan para agrupar los elementos en el conjunto. El número de clases en una tabla de frecuencias es algo arbitrario. En general, la tabla debería de tener entre 5 y 20 clases. Muy pocas clases no revelarían ningún detalle sobre los datos, y demasiadas clases seria tan confuso como la misma lista de datos originales.
Se puede seguir una regla simple para aproximar el número de clases a utilizar, c, es:
en donde n es el número de observaciones. El número de clases es la menor potencia a la cual se eleva 2, de manera que el resultado sea igual o mayor que el número de observaciones. En el ejemplo, se tiene que n = 50 observaciones. Así,
2c ≥ 50
Despejando c, lo cual puede hacerse fácilmente con una calculadora manual, se encuentra que 26 = 64. Esta regla sugiere que debería haber seis clases en la tabla de frecuencias. Por razones de conveniencia, puede utilizarse un número mayor o menor de clases.
5 Webster Allen L.
Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw-Hill, México 2000. Páginas 22-24
Ancho o intervalo de clase. Es el rango de valores encontrados dentro de una clase, y se recomienda que dichos intervalos sean de igual tamaño, por lo tanto, el ancho o intervalo de clase puede determinarse de la siguiente manera:
Ya que se decidieron seis clases en el ejemplo, entonces el intervalo de clase se convierte en: IC =
6
50
102
−
= 8.7
Debido a que 8.7 es un número poco práctico, el intervalo o ancho de clase puede ajustarse levemente hacia arriba o hacia abajo. Por razones de conveniencia el intervalo de clase se ajustó a 10.
Límites de clase. Se deben de escoger los límites de clase de tal manera que cada dato pertenezca a una clase y solo a una.
Por lo tanto y de acuerdo a estos tres pasos, la tabla de frecuencia del ejemplo, quedaría de la siguiente manera: Clase Frecuencia 50 a 59 3 60 a 69 7 70 a 79 18 80 a 89 12 90 a 99 8 100 a 109 2 Totales 50
Distribuciones de frecuencias relativas y de frecuencias porcentuales
Una distribución de frecuencias muestra la cantidad (frecuencia f) de datos correspondientes a cada una de varias clases que no se traslapan. Sin embargo, muchas veces nos interesa conocer la proporción, o porcentaje, de los artículos en cada clase. La frecuencia relativa (f.r.)de una clase es
Ancho o intervalo de clase valor máximo – valor mínimo para una tabla de frecuencias IC =
la proporción de la cantidad total de datos que pertenecen a esa clase. Para un conjunto de datos con n observaciones, la frecuencia relativa de cada clase se determina mediante la formula:
La frecuencia porcentual (f.r.%)de una clase es la frecuencia relativa multiplicada por 100
Tabla de distribución de frecuencias, frecuencias relativas y porcentuales:
Clase Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia porcentual
50 a 59 3 0.06 6.00% 60 a 69 7 0.14 14.00% 70 a 79 18 0.36 36.00% 80 a 89 12 0.24 24.00% 90 a 99 8 0.16 16.00% 100 a 109 2 0.04 4.00% Totales 50 1.00 100.00% Distribuciones acumuladas
Una variación de la distribución de frecuencias, que proporciona otro resumen tabular de datos cuantitativos, es la distribución de frecuencias acumuladas. En ella se usa la cantidad de clases, anchos de clase y limites de clase que fueron definidos para la distribución de frecuencias. Sin embargo, mas que mostrar la frecuencia de clase, la distribución de frecuencias acumuladas muestra la cantidad de elementos menores que, o iguales al limite superior de clase para cada clase. En la siguiente tabla se muestra ya con la frecuencia acumulada (f.a.).
Clase Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia porcentual
Frecuencia acumulada 50 a 59 3 0.06 6.00% 3 60 a 69 7 0.14 14.00% 10 70 a 79 18 0.36 36.00% 28 80 a 89 12 0.24 24.00% 40 90 a 99 8 0.16 16.00% 48 100 a 109 2 0.04 4.00% 50 Totales 50 1.00 100.00%
Frecuencia relativa de una clase =
n
clase la de Frecuencia
GRAFICOS
6Gráficas de barra y diagramas de pastel
Una gráfica de barras es una forma gráfica de representar datos cualitativos que se han resumido en una distribución de frecuencias, de frecuencias relativas o de porcentuales. En el eje horizontal de la gráfica se especifican los indicadores o nombres que se usan para cada una de las clases. En el eje vertical puede representarse una escala de frecuencias, una de frecuencias relativas o una de porcentuales. Entonces, con una barra de un ancho fijo trazada sobre cada indicador de clase llegamos a la altura que corresponde a la frecuencia, frecuencia relativa o la porcentual de la clase, indicada en el eje vertical. Las barras se separan a fin de señalar que cada clase es una categoría diferente.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Coke
Classic
Diet
Coke
Dr.
Pepper
Pepsi-Cola
Sprite
Marca
Frecuencia
El diagrama de pastel es un método gráfico que se usa mucho para presentar distribuciones de frecuencias relativas de datos cualitativos. Para trazarlo se dibuja primero un círculo, a continuación, con las frecuencias relativas, se divide el circulo en sectores o partes, que corresponden a la frecuencia relativa de cada clase. Por ejemplo, como hay 360° en un círculo, y
6 Webster Allen L.
como Coke Classic tiene .38 de frecuencia relativa, el sector de la gráfica de pastel que le corresponde debe tener .38 x 360 = 136.8 grados. Se efectúan cálculos semejantes para las demás clases. Frecuencia Porcentual 38% 16% 10% 26% 10% Coke Classic Diet Coke Dr. Pepper Pepsi-Cola Sprite
Histograma
Otra presentación gráfica común de datos cuantitativos es el histograma. Este resumen gráfico se puede preparar con datos que se han resumido anteriormente en una distribución de frecuencias, de frecuencias relativas o de frecuencias porcentuales. Un histograma se traza colocando la variable de interés sobre el eje horizontal y la frecuencia, la frecuencia relativa o la frecuencia porcentual de cada clase trazando un rectángulo cuya base es el intervalo de clase sobre el eje horizontal, y cuya altura es la frecuencia correspondiente.
0
5
10
15
20
Clases
Frecuencia
50 - 59
60 - 69
70 - 79
80 - 89
90 - 99
100 - 109
Ojiva
Una gráfica de una distribución acumulada se llama ojiva. Los valores de los datos están en el eje horizontal y las frecuencias acumuladas, frecuencias relativas acumuladas o frecuencias porcentuales acumuladas se muestran en el eje vertical.
Diagrama de tallo y hojas
Es una forma de mostrar tanto el orden de rangos como la forma de un conjunto de datos, en forma simultanea.
Para ilustrar el uso del diagrama de tallo y hojas, considere los siguientes 20 datos: 112, 73, 84, 95, 68, 118, 86, 107, 100, 94, 81, 75, 66, 66, 104, 92, 77, 83, 75 y 69. A fin de desarrollar el diagrama de tallo y hojas con los datos anteriores, primero los ordenamos, de acuerdo con los dígitos iniciales de cada uno, en el lado izquierdo de una línea vertical. A la derecha de esta recta se anota el ultimo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 50 a 59 60 a 69 70 a 79 80 a 89 90 a 99 100 a 109 Cla se s F re c ue nc ia a c um ul a d a
dígito de cada dato, conforme al orden en que fueron anotadas. El ultimo dígito de cada dato se coloca en el renglón de los primeros dígitos del numero correspondiente.
6 8 6 6 9 7 3 5 7 5 8 4 6 1 3 9 5 4 2 10 7 0 4 11 2 8
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A PARTIR
DE DATOS NO AGRUPADOS
7Existen tres métodos comunes para identificar el centro de un conjunto de datos no agrupados: la media, la mediana y la moda.
La media o media aritmética, es la medida de tendencia central que usualmente conocemos como promedio.
La media de una población es el parámetro µ. Si hay N observaciones en el conjunto de datos de la población, la media se calcula de la siguiente manera:
7 Webster Allen L.
Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw-Hill, México 2000. Páginas 41-46 Media poblacional N N
∑
= + + + = 1 i N 3 2 1 x N ...x x x x µLa media de una muestra es un estadístico
x
, con n observaciones en el conjunto de datos de la muestra, la cual se determina de la siguiente manera:Ejemplo.- Se supone que una muestra de los ingresos por ventas mensuales en miles de dólares, para cinco meses es de 56, 67, 52, 45 y 67. ¿Calcular la media?
x = 5 67 45 52 67 56+ + + + = 57.4
La mediana algunas veces es llamada media posicional, porque queda exactamente en la mitad del conjunto de datos, después de que las observaciones se han colocado en serie ordenada.
Si el conjunto de datos tiene un número impar de observaciones, la posición de la mediana es:
2
1
mediana
la
de
Posición
=
n
+
En el ejemplo anterior, si ordenamos los datos nos queda: 45, 52, 56 ,67 ,67 Media muestral
n
n
x
x
x
x
n n∑
=
+
+
+
+
=
1 i 3 2 1...
x
x
3
2
1
5
mediana
la
de
Posición
=
+
=
O sea la tercera posición 56
En un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios. Si los ingresos para un sexto mes en el ejemplo anterior es 35 y se adiciona al conjunto de datos, entonces la serie ordenada queda de la siguiente manera:
35, 45, 52, 56, 67, 67 Y la posición de la mediana queda: Posición de la mediana =
2 1 6+
= 3.5
Es decir la posición tres y medio, o sea se saca un promedio de la tercera y cuarta posición que son
52 y 56 para sacar el valor de la mediana:
2 56 52+
= 54 que es el valor de la mediana
La moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia. En el ejemplo anterior la moda es 67. Si la séptima observación fuera 56 y se agregara al conjunto de datos, entonces seria una observación bimodal con modas 56 y 67
Ejemplo.- La emisión de la revista Fortune del 17 de Febrero de 1997, reporto que en 1996 las utilidades en millones de dólares de 6 empresas fueron las siguientes:
Exxon 7,510 General Electric 7,280
Philipp Morris 6,246 I.B.M. 5,429
Intel 5,157 General Motors 4,289
¿Calcular las tres medidas de tendencia central?
Media:
x
= 6 289 , 4 157 , 5 429 , 5 246 , 6 280 , 7 510 , 7 + + + + + = 5,985Mediana: Primero hay que ordenar los datos. 4,289, 5,157, 5,429, 6,246, 7,280, 7,510 la posición de la mediana = 2 1 + n = 2 1 6+ = 3.5
o sea que hay que sacar el promedio entre la tercera y la cuarta posición
2 246 , 6 429 , 5 + = 5,837.50
Moda: No tiene moda.
MEDIDAS DE DISPERSION A PARTIR DE DATOS NO
AGRUPADOS
8MEDIDAS DE DISPERSION : Miden que tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media, las cuales son: el rango, la varianza y la desviación estándar.
Rango.- La medida de dispersión mas simple (y menos útil) es el rango o recorrido. El rango es simplemente la diferencia entre la observación mas alta y la mas baja.
Varianza y desviación estándar de una población.- La varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar son medidas de dispersión mucho mas útiles. Proporcionan una medida mas significativa sobre elpunto hasta el cual se dispersan las observaciones alrededor de su media.
La varianza es el promedio de las observaciones respecto a su media elevadas al cuadrado, la cual se denota como σ2 (se lee como sigma al cuadrado) y esta dada por la siguiente formula:
Varianza poblacional:
(
) (
) (
)
(
)
N x N x x x x n i i n− =∑
= + + − + − + − = 1 2 2 3 2 2 2 1 2 µ µ µ ... µ σ8 Webster Allen L.
En donde: x1,x2,x3,...,xn son las observaciones individuales
µ es la media poblacional
N
es el número de observacionesLa desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, la cual se denota como σy cuya formula es:
Desviación estándar poblacional
σ
=
σ
2Ejemplo.- Una compañía de seguros para automóvil, vende 5 tipos diferentes de pólizas para el Neón 1993. Sus respectivos costos en dólares son: $110, $145, $125, $95 y $150. Calcular la varianza y la desviación estándar.
Primero se saca la media:
125
$
5
150
95
125
145
110
+
+
+
+
=
=
µ
Después se calculan la varianza y la desviación estándar:
(
) (
) (
) (
) (
)
430
5
125
150
125
95
125
125
125
145
125
110
2 2 2 2 2 2=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
σ
74
.
20
$
430
=
=
σ
Varianza y desviación estándar para una muestra.- La varianza y desviación estándar para una muestra representan medidas de dispersión alrededor de la media. Se calculan de manera parecida a aquellas para una población. La varianza de la muestra s2 es :
Varianza de la muestra
(
)
1
2 2−
−
=
∑
n
X
X
s
iy la desviación estándar de la muestra es:
Desviación estándar de la muestra
2
s
s
=
Medidas de posición.- Son aquellas que nos permiten identificar valores ubicados en diferentes posiciones de un grupo de datos. Estas medidas se conocen como: cuartiles, deciles y percentiles. Los cuartiles (primero, segundo y tercero) señalan el valor que está al 25,50 y 75% de la totalidad de los datos (el segundo cuartil equivale a la mediana).
Los deciles (del primero al noveno) marcan el valor ubicado al 10,20,....,80 y 90% de los datos (el quinto decil equivale a la mediana)
Los percentiles (del 1 al 99) indican el valor que está al 1,2,...98 y 99% de los datos. Observe que los deciles primero, segundo, etc. Equivalen a los percentiles décimo, vigésimo, etc. Y los cuartiles equivalen a los percentiles 25, 50 y 75.
Las fórmulas para obtener estas medidas se presentan a continuación. En ellas se señala entre paréntesis la posición del elemento deseado, siendo n el número de datos. X indica el valor correspondiente a la posición calculada.
Cuartiles:
Mediana
2
1
2
1
4
*
2
2
1
4
*
3
2
1
4
2 3 1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
n
X
n
X
Q
n
X
Q
n
X
Q
Deciles:
etc.
2
1
10
*
2
2
1
10
*
3
2
1
10
4 2 3 1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
D
n
X
D
n
X
D
n
X
D
Percentiles:etc.
2
1
100
*
2
2
1
100
*
3
2
1
100
4 2 3 1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
P
n
X
P
n
X
P
n
X
P
Ejemplo.- determine el valor del tercer cuartil, del cuarto decil y del percentil 17 de los siguientes 26 valores ordenados: 3, 5, 6, 11, 14, 18, 20, 24, 25, 27, 27, 28, 28, 31, 33, 34, 36, 44, 45, 47, 48, 48, 50, 50, y 52
La posición del tercer cuartil es la siguiente:
Posición de
20
2
1
4
78
2
1
4
26
*
3
3=
+
=
+
=
Q
El valor que corresponde a la posición 20 es 45, por lo que el tercer cuartil es igual a 45 La posición del cuarto decil es la siguiente:
Posición de
10
.
9
2
1
10
104
2
1
10
26
*
4
4=
+
=
+
=
D
Para determinar el valor que corresponde a la posición 10.9, debe sumarse al valor de la décima posición (25), nueve décimas de la diferencia entre el valor de la décima posición y el de la decimaprimera posición (27-25 = 2), es decir,
25
+
09
*
2
=
26
.
8
. El valor del cuarto decil es 26.8La posición del percentil 17 es la siguiente:
Posición de
4
.
92
2
1
100
442
2
1
100
26
*
17
17=
+
=
+
=
P
Para determinar el valor que corresponde a la posición 4.92, debe sumarse al valor de la cuarta posición (11), 92 centésimas de la diferencia entre el valor de la cuarta posición y el de la quinta posición (14 – 11 = 3), es decir,
11
+
0
.
92
*
3
=
13
.
76
. El valor del percentil 17 es 13.76MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN A
PARTIR DE DATOS AGRUPADOS
9Al trabajar con datos que han sido agrupados en una distribución de frecuencias, no se conoce cuáles son las observaciones individuales. Sin los valores específicos, los procedimientos mostrados anteriormente para calcular las medidas descriptivas, simplemente no se aplican. Deben encontrarse métodos alternativos. Debe tenerse en mente que los cálculos hechos utilizando datos agrupados son sólo aproximaciones. Por tanto, las observaciones individuales no agrupadas deberían utilizarse cuando sea posible.
La media.- Al calcular la media de datos agrupados, se supone que las observaciones en cada clase son iguales al punto medio de la clase. Dada esta suposición, se debe de tener en cuenta la frecuencia y los puntos medios de cada clase cuando se calcule la media utilizando datos agrupados. La formula para el calculo de la media es:
Media con datos agrupados
=
∑
=
∑
∑
f
fM
n
fM
X
g 9 Webster Allen L.en donde: f es la frecuencia o número de observaciones de cada clase M es el punto medio de cada clase
n es el tamaño de la muestra y es igual a las frecuencias sumadas en todas las clases
Ejemplo.- De acuerdo a la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados vista anteriormente, se va a calcular la media:
Clase Frecuencia (f ) M fM 50 - 59 3 54.5 163.5 60 - 69 7 64.5 451.5 70 - 79 18 74.5 1341.0 80 - 89 12 84.5 1014.0 90 - 99 8 94.5 756.0 100 - 109 2 104.5 209.0 Totales 50 3935.0
7
.
78
50
3935
=
=
gX
La mediana.- Si se han registrado datos en una tabla de frecuencia, no pueden colocarse en un arreglo ordenado para calcular la mediana, por lo que primero hay que hallar la clase de la mediana de la distribución de frecuencia. La clase de la mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor que o igual a n 2.
Mediana para datos agrupados
( )
C f F n L x md md g ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = 2 ˆEn donde:
md
L
es el límite inferior de la clase de la mediana
F
es la frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase de la mediana md
f
es la frecuencia de la clase de la mediana
C
es el intervalo de clase de la clase de la mediana
Siguiendo con el ejemplo anterior, ahora hallaremos cual es la clase de la mediana en la tabla de distribución de frecuencias:
Debido a que n es 50, se necesita localizar la primera clase con una frecuencia acumulada de 25 o más, por lo que la tercera clase será la clase de la mediana.
Clase Frecuencia (f) M fM F 50 - 59 3 54.5 163.5 3 60 - 69 7 64.5 451.5 10 70 - 79 18 74.5 1341.0 28 80 - 89 12 84.5 1014.0 40 90 - 99 8 94.5 756.0 48 100 - 109 2 104.5 209.0 50 Totales 50 3935.0
Por lo que la mediana se obtiene mediante la formula anterior
:
( )
10
78
.
33
18
10
2
50
70
ˆ
g=
+
⎢⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
=
x
La moda.- Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, esta se hallará en la clase que tenga la frecuencia más alta, llamada la clase modal. Para estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la siguiente formula:
Moda para datos agrupados
( )
C
D
D
D
L
x
a b a mo⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
~
En donde
:
moL
es el límite inferior de la clase modal. aD
es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que le antecede bD
es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que le sigueC
es el intervalo de clase de la clase modalPor lo tanto, y de acuerdo a lo anterior, en este ejemplo la clase modal es la misma que la de la clase de la mediana Clase Frecuencia (f) M fM F 50 - 59 3 54.5 163.5 3 60 - 69 7 64.5 451.5 10 70 - 79 18 74.5 1341.0 28 80 - 89 12 84.5 1014.0 40 90 - 99 8 94.5 756.0 48 100 - 109 2 104.5 209.0 50 Totales 50 3935.0
Y la moda quedará como sigue:
(
18
12
) (
18
7
) ( )
10
76
.
47
7
18
70
~
⎥
=
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
+
=
gx
Varianza y desviación estándar.- Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, la varianza y la desviación estándar pueden calcularse mediante las siguientes formulas:
Varianza para datos agrupados
1
2 2 2−
−
=
∑
n
x
n
fM
s
g yDesviación estándar para datos agrupados
s
g=
s
2Por lo que, y siguiendo con el ejemplo anterior, a la tabla de distribución de frecuencias, habría que agregarle dos nuevas columnas,
M
2y
fM
2:Clase Frecuencia (f) M fM F
M
2fM
2 50 - 59 3 54.5 163.5 3 2,970.25 8,910.75 60 - 69 7 64.5 451.5 10 4,160.25 29,121.75 70 - 79 18 74.5 1341.0 28 5,550.25 99,904.50 80 - 89 12 84.5 1014.0 40 7,140.25 85,683.00 90 - 99 8 94.5 756.0 48 8,930.25 71,442.00 100 - 109 2 104.5 209.0 50 10,920.25 21,840.50 Totales 50 3935.0 316,902.50Entonces, la varianza y la desviación estándar quedarían:
(
)
31
.
147
1
50
7
.
78
50
50
.
902
,
316
2 2=
−
−
=
gs
14
.
12
31
.
147
=
=
gs
Coeficiente de variación.- El coeficiente de variación (CV) es una sencilla medida que permite comparar el grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a su media. Se calcula dividiendo la desviación estándar de una distribución por su media y multiplicando por 100.
Coeficiente de variación
( )
100
g gx
s
CV
=
( )
100
15
.
43
70
.
78
14
.
12
=
=
CV
Sesgo.- La asimetría o sesgo de una distribución de frecuencias expresa su deformación respecto al eje vertical y puede medirse mediante el coeficiente de sesgo de Pearson.
Coeficiente de sesgo
(
)
g g gs
x
x
P
=
3
−
ˆ
Si
P
<
0
, los datos están sesgados a la izquierda, siP
>
0
, entonces están sesgados a la derecha; siP
=
0
están distribuidos normalmente.Utilizando el ejemplo anterior nuevamente, el coeficiente de sesgo será:
(
)
03
.
0
14
.
12
3
.
78
7
.
78
3
=
−
=
P
Por lo que los datos están sesgados a la derecha.
PROBABILIDAD
10La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entere 0 y 1:
P(evento cierto) = 1 P(evento imposible) = 0
Por tanto:
0
≤
P
( )
E
i≤
1
, en donde Ei es algún eventoEl proceso que produce un evento es denominado experimento. Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio muestral. El espacio muestral de lanzar un dado es:
10 Webster Allen L.
(
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
)
=
ss
y para una moneda:
(
águila,sol)
=
ss
La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:
( )
∑
P
E
i=
1
MODELOS DE PROBABILIDAD.- Existen solamente tres modelos generalmente aceptados: 1. Modelo de frecuencia relativa (a posteriori).
2. Modelo subjetivo.
3. Modelo clásico (a priori).
El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante:
( )
nes
observacio
de
Número
pasado
el
en
evento
el
ocurrido
ha
que
veces
de
Número
relativa
Fecuencia
P
E
=
Por ejemplo, asumiendo que durante el año anterior hubo 50 nacimientos en un hospital, de los cuales 32 eran niñas. El modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el siguiente nacimiento sea una niña es:
(
)
0
.
64
50
32
s
nacimiento
de
total
Número
anterior
año
el
nació
que
niñas
de
Número
=
=
=
niña
P
El modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. La probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente en México, es un ejemplo. Debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, se obtendrá una estimación subjetiva.
De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento se determina mediante:
( )
resultados
posibles
de
total
Número
evento
un
ocurir
puede
que
las
en
formas
de
Número
clásico
Modelo
P
E
=
La probabilidad clásica implica la determinación de algún evento a priori (antes del hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se puede determinar que la probabilidad de sacar un as es:
( )
0
.
077
52
4
resultados
posibles
de
total
Número
ocurrir
puede
evento
el
que
las
en
formas
de
Número
=
=
=
as
P
UNIONES, INTERSECCIONES Y RELACIONES ENTRE EVENTOS11.- Un conjunto es toda reunión de objetos. Si se han identificado dos conjuntos A y B, es completamente posible que algunos elementos estén en ambos conjuntos. Por ejemplo, se asume que el conjunto A consta de todos los estudiantes de la clase de estadística, y el conjunto B consta de todos los estudiantes de la carrera de Mercadotecnia. Aquellos elementos (estudiantes) que estén en ambos conjuntos constituyen la intersección entre A y B. La intersección entre A y B, que se escribe
A
I
B
y se lee como “A intersección B”, consta de los elementos que son comunes tanto a A como a B.Intersección entre A y B: Es el conjunto de todos los elementos que están tanto en A como en B
Para que ocurra
A
I
B
, tanto “A como B” deben ocurrir. El estudiante debe estar en la clase de estadística y en la carrera de Mercadotecnia.La unión de A y B, que se escribe
A
U
B
y se lee “A unión B”, consta de tales elementos que están o en A o en B o en ambos.La unión de A y B: Es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B
11 Webster Allen L.
Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno prohibe la ocurrencia del otro. Un ejemplo clásico de eventos mutuamente excluyentes es el de sacar un águila o un sol al lanzar una moneda una vez. Si sale un águila, no puede ocurrir que salga un sol.
Eventos colectivamente exhaustivos.- Son aquellos que constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral. Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Además, debido a que existe la certeza de que uno de los eventos ocurrirá, su probabilidad combinada será igual a uno:
(
1
ó
2
ó
3
ó
4
ó
5
ó
6
)
=
1
P
Eventos independientes.- Son aquellos eventos en que la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia del otro. Algunos ejemplos incluyen el resultado de un lanzamiento de una moneda y la de un dado, el resultado del lanzamiento de una moneda no afecta al dado.
Eventos complementarios.- Son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir y se escribe como
A
, y se denomina “no A”.( )
A
+
P
( )
A
=
1
P
( )
A
P
( )
A
P
=
1
−
TECNICAS DE CONTEO
12
Para encontrar la probabilidad de muchos eventos es necesario determinar el número de resultados posibles del experimento implicado. El determinar el número de resultados posibles se conoce como conteo.
Regla de la multiplicación.- Para poder conocer el total de resultados posibles de un experimento que esta integrado por dos ensayos, donde uno de ellos posee m resultados posibles y el otro tiene n resultados posibles, entonces el número de resultados posibles esta dado por:
m x n
Que se conoce como “El principio fundamental de conteo”.
Si el experimento esta compuesto por k ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n1 resultados posibles, el segundo posee n2 resultados, el tercero tiene n3 resultados posibles,
entonces el número total de resultados posibles esta dado por:
12 Johnson Robert, Kuby Patricia.
n
1x n
2x n
3x ...x n
k Que se conoce como “El principio general de conteo”.Ejemplo 1 : Un vendedor de automóviles ofrece uno de sus modelos compactos con dos opciones de transmisión (estándar o automática) y en uno de tres colores (negro, rojo o blanco). ¿Cuántas elecciones posibles de transmisión y color son posibles?
Por el principio fundamental de conteo, tenemos: m = 2 (opciones de transmisión)
n = 3 (opciones de color)
Por lo tanto el número total de resultados posibles será: m x n = 3 x 2 = 6
Ejemplo 2.- En muchos estados de la Unión Americana, se usan tres letras seguidas de tres dígitos, para elaborar las placas de los automóviles. Si se pueden usar cualquiera de las 26 letras del alfabeto y cualquier dígito del 0 al 9. ¿Cuántos números de placas diferentes son posibles?
Para la primera letra hay 26 opciones posibles (n1 = 26), 26 para la segunda (n2 = 26) y 26 para la tercera (n3 = 26). De igual forma hay 10 opciones posibles para el primer dígito (n4 = 10), 10 para el segundo (n5 = 10) y 10 para el tercero (n6 = 10). En consecuencia y de acuerdo al principio general de conteo, tenemos:
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
13
Permutaciones.- Cuando se elige más de un artículo (sin reemplazo) de una sola categoría y el orden de selección es importante, los diversos resultados posibles reciben el nombre de permutaciones. Por ejemplo, cuando se anuncian el primero, segundo y tercer lugar de un concurso, el orden de elección es importante.
El número de permutaciones, o arreglos, de r artículos elegidos sin reemplazo de un conjunto de n artículos
(
r
≤
n
)
, el cual se denota nP
r, esta dado por la siguiente formula:13 Webster Allen L.
Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw-Hill, México 2000. Páginas 93-95
posibles
resultados
x
x
x
x
x
2 3 4 5 6 1n
n
n
n
n
n
placas.
de
números
00
,
576
,
17
10
*
10
*
10
*
26
*
26
*
26
=
(
)
!
!
r
n
n
P
r n=
−
Las permutaciones se emplean siempre que se elija más de un artículo (sin reemplazo) de un conjunto de artículos y si el orden de selección si es importante.
Ejemplo.- Una liga de boliche está conformada por diez equipos. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse los equipos al final del torneo? (No se admiten empates)
En virtud de que el orden si tiene importancia, calcularemos entonces el número de permutaciones de diez artículos ( r ), tomados de un conjunto de 10 artículos ( n ):
(
10
10
)
!
3
,
628
.
800
!
10
10 10=
−
=
P
recuerde que 0! es igual a 1Combinaciones.- Cuando al elegir los artículos de un conjunto total y el orden no es importante, los posibles resultados se denominan combinaciones.
El número de combinaciones, o arreglos, de r artículos, elegidos sin reemplazo de un conjunto de n artículos
(
r
≤
n
)
, el cual se denota nC
r, esta dado por la siguiente formula:(
)
!
!
!
r
n
r
n
C
r n=
−
Las combinaciones se emplean siempre que se eligen uno o más artículos (sin reemplazo) de un conjunto de artículos, y si el orden de selección no es importante.
Ejemplo.- ¿Cuántas combinaciones son posibles en el concurso Mélate, si se tienen que escoger 6 números diferentes de un total de 49 números?
Como el orden no es importante, calcularemos entonces las combinaciones posibles para escoger 6 números ( r ), de un total de 49 números (n):
(
49
6
)
!
13
,
983
,
816
!
6
!
49
6 49=
−
=
C
TABLAS DE PROBABILIDAD
14
Las Tablas de probabilidad son útiles al calcular la probabilidad de eventos. Pongamos por ejemplo la siguiente tabla de los empleados de cierta compañía, en cuanto a género y clasificación:
Género Personal (P) Línea (L) Auxiliar (A) Total
Hombres (H) 120 150 30 300
Mujeres (M) 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
La tabla muestra por ejemplo que de los 170 miembros del personal (P), 120 son hombres y 50 son mujeres. Una tabla de probabilidad puede crearse dividiendo cada una de las entradas por el total, 500 trabajadores. Los resultados se ven a continuación:
Género Personal (P) Línea (L) Auxiliar (A) Total
Hombres (H) 120/500 = 0.24 150/500 = 0.30 30/500 = 0.06 300/500 = 0.60 Mujeres (M) 50/500 = 0.10 140/500 = 0.28 10/500 = 0.02 200/500 = 0.40 Total 170/500 = 0.34 290/500 = 0.58 40/500 = 0.08 500/500 = 1.00 Los valores en los márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales. Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar una trabajador de línea de manera aleatoria es P(L) = 0.58 y la probabilidad de seleccionar un hombre P(H) = 0.60. Las probabilidades conjuntas en las celdas de la tabla, muestran la probabilidad de la intersección entre dos eventos. Por ejemplo, la probabilidad de seleccionar un miembro del personal hombre, es decir, un trabajador que sea parte del personal y que sea hombre, es P
(
HIP)
=0.24. Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes. Por tanto la probabilidad de que sea hombre será:( )
H = P(
H P) (
+P H L) (
+P H A)
=0.24+0.30+0.06=0.60P I I I
14 Webster Allen L.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
15
La probabilidad condicional, es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que o a condición de que el evento B ya haya ocurrido. Se denota como P
(
A B)
y se lee como “la probabilidad de A dado B”. Esta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ya haya ocurrido:(
)
(
( )
)
B
P
B
A
P
B
A
P
=
I
B
dado
A
de
condicioal
Pobabilid
Ejemplo.- Si regresamos a la tabla anterior de trabajadores y quisiéramos calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre dado que es de personal, entonces usaríamos la fórmula de la probabilidad condicional de la siguiente manera:
(
)
(
( )
)
0
.
71
34
.
0
24
.
0
=
=
=
P
P
P
H
P
P
H
P
I
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
16
Existen dos reglas básicas que deben seguirse para calcular la probabilidad de eventos más complejos: la regla de la multiplicación y la regla de la adición. Cada una se utiliza para propósitos específicos. La regla de la multiplicación se utiliza para determinar la probabilidad de “A y B”,
(
A B)
P I , y la regla de la adición se utiliza para calcular “A o B”, P
(
AUB)
Regla de la multiplicación.- El propósito de esta regla es el de determinar la probabilidad del evento conjunto P
(
AIB)
. El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes o independientes.Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se calcula mediante la fórmula siguiente:
15 Webster Allen L.
Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw-Hill, México 2000. Páginas 84-85 16 Webster Allen L.
(
A
B
)
P
( )
A
P
( )
B
P
X
tes
independie
eventos
de
ad
Probabilid
I
=
Ejemplo.- Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones de una baraja de 52 cartas y sacar un número par con un dado.
Debido a que estos dos eventos son independientes, simplemente se multiplican sus probabilidades individuales:
(
C P)
= P( )
C XP( )
P =13 52 X3 6=39 312=0.125P I
Si los eventos son dependientes, entonces, se debe considerar el primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la probabilidad del evento B depende de la condición de que A ya haya ocurrido, por lo que se necesita entonces del principio de probabilidad condicional, por lo que la fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos dependientes será:
(
)
( )
X
(
)
es
dependient
eventos
de
ad
Probabilid
P
A
I
B
=
P
A
P
B
A
Ejemplo.- Volviendo al ejemplo de la tabla anterior, se puede calcular mediante esta fórmula la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar, sea hombre y personal administrativo.
(
H
P
)
P
( )
H
P
(
P
H
)
P
I
=
X
Este último termino es la probabilidad condicional de que el empleado sea del departamento de personal dado que o a condición de que sea hombre, y se calcula de la siguiente manera:
(
)
(
( )
)
0
.
40
60
.
0
24
.
0
=
=
=
H
P
H
P
P
H
P
P
I
Por lo que:(
H
P
)
=
P
( )
H
X
P
(
P
H
) (
=
0
.
60
) (
X
0
.
40
)
=
0
.
24
P
I
Regla de la adición.- La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad de A o B,
(
A B)
P U . El procedimiento exacto depende de si A o B son o no son mutuamente excluyentes. Si los eventos no son mutuamente excluyentes, quiere decir que ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que se requiere que en la fórmula se reste la probabilidad del evento conjunto. De
acuerdo a estas premisas, la fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos cuando estos no son mutuamente excluyentes, quedará como sigue:
(
)
( )
( )
(
)
s)
excluyente
mutuamente
son
no
eventos
los
(cuando
B
o
A
evento
del
ad
probabilid
La
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
U
=
+
−
I
Ejemplo.- Siguiendo con la tabla anterior, calcular la probabilidad de que el trabajador escogido al azar, sea un trabajador hombre o un trabajado de personal.
Debido a que estos eventos son mutuamente excluyentes, ya que si contamos todos los trabajadores hombres y todos los trabajadores de personal, ocurre que sea trabajador hombre y de personal, por lo que hay que restarle dicha probabilidad. Por lo tanto el cálculo de la probabilidad se hará de la siguiente manera:
(
H P)
= P( ) ( ) (
H +P P −P H P) (
= 0.60) (
+ 0.34) (
− 0.24)
=0.70P U I
Si los eventos son mutuamente excluyentes, esto significa que no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que entonces la probabilidad conjunta será igual a 0. Entonces la fórmula para el cálculo de la probabilidad para eventos que son mutuamente excluyentes, estará dada por:
(
)
( )
( )
s)
excluyente
mutuamente
son
eventos
los
(cuando
B
o
A
evento
del
ad
Probabilid
B
P
A
P
B
A
P
U
=
+
Ejemplo.- Siguiendo con los mismos datos de la tabla anterior, calcularemos ahora la probabilidad de que el trabajador sea de la línea (L) o auxiliar (A).
Ya que en este caso no puede ocurrir los dos eventos al mismo tiempo, o sea que el trabajador sea de la línea o auxiliar, se trata de dos eventos que son mutuamente excluyentes, por lo tanto el cálculo de la probabilidad respectiva es:
(
L A)
= P( ) ( ) (
L +P A = 0.58) (
+ 0.08)
=0.66TEOREMA DE BAYES
17
El teorema de Bayes es un concepto útil al calcular ciertas probabilidades. Primero escribiremos la fórmula del teorema, y después mediante un ejemplo se verá la aplicación de la fórmula.
(
)
(
(
)
(
)
)
D
B
P
D
A
P
D
A
P
D
A
P
I
I
I
+
=
Bayes
de
Teorema
Ejemplo.- Una compañía manufacturera utiliza dos maquinas para elaborar su producto. La maquina A produce el 60% de la producción total, y la maquina B el restante 40%. El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas, mientras que las unidades producidas por la maquina B salen defectuosas en un 4%.
En el diagrama de árbol que se muestra abajo, se pueden ver todas las posibles probabilidades que acompañan al problema.
17 Webster Allen L.
