SIERRA, Raúl; VELA, Mauricio

FECHA 28 DE NOVIEMBRE DE 2008

NÚMERO RA El número con que entra el resumen analítico de un documento a la Red. Entonces el analista no es quien otorga este número.

PROGRAMA Ingeniería de sonido

AUTOR (ES) SIERRA, Raúl; VELA, Mauricio

TÍTULO Implementación de Holografía Acústica de Campo Cercano en el Registro Sonoro de Instrumentos Musicales

PALABRAS CLAVES

Holografía, Acústica, Instrumentos, Musicales, Grabación, Registro, Sonoro, Sonido, Contrabajo, Guitarra, Bombo, Campo, Sonoro

DESCRIPCIÓN

Las técnicas de grabación de instrumentos musicales están basadas en sus características físicas, estructurales y de funcionamiento, así como la apreciación subjetiva, pero es más preciso y riguroso un análisis implementando la técnica de holografía acústica de campo cercano, sobre una guitarra, un contrabajo y un bombo, donde se muestra gráficamente su comportamiento sonoro mediante múltiples mediciones sobre sus superficies, con micrófonos dispuestos en un arreglo cuya naturaleza dependerá de las características de radiación de la fuente, y procesamiento matemático a través de Matlab para realizar la reconstrucción y estimaciones de nivel para distancias mayores o

menores a la medida.

FUENTES

BIBLIOGRÁFICAS

•David Miles Huber, Philip Williams, Professional Microphone Techniques, Editorial Mix Pro Audio Series.

•Bill Gibson, The SMART guide to Producing Music With Samples, Loops, and Midi, por, Editorial Artist Pro.

•Earl G. Williams, Fourier Acoustics, Sound radiaton, and NAH, editorial Academic Press.

•J. D. Maynard, E. G. Williams, and Y. Lee. Nearfield acoustic holography I.Theory of generalizad holography and the development of NAH,

•J. D. Maynard, E. G. Williams, and Y. Lee. Nearfield acoustic holography (NAH) II. Holographic reconstruction algorithms and computer implementation.

•Bruno Lopes Campolina, José María Campos Dos Santos, Caracterización de los patrones de radiación de un violín, Facultad de ingeniería mecánica, Universidad estatal de Campinas.

•Comisión Europea, Deliverable 2.2 Technical solution and demonstration of the acoustic holography in solid objects, Tangible Acoustic Interface for Computer Human Interaction.

•Harry F. Olson, Musical engineering, Mc Graw Hill

•Michael C. Harris. Desarrollo de un sistema de holografía acústica de campo cercano tesis para la facultadad de ingeniería mecánica de la Universidad de Brigham Young.

NÚMERO RA

PROGRAMA Ingeniería de sonido

Tiempo de reverberación Cámara anecóica Instrumentos musicales Tipos de instrumentos Instrumentos de cuerda Guitarra acústica Contrabajo Instrumentos de Percusión Bombo

Técnicas de microfonería: sugeridas por varios autores Técnica de captura de Contrabajo

Técnica de captura de Bombo

Técnica de captura de guitarra acústica

Holografía acústica de Campo cercano (NAH): técnica de medición de campo sonoro Transformada de Fourier

Estado estacionario Ondas Planas

Expansión de onda plana Ondas evanescentes Arreglo de medición

Excitador mecánico para instrumentos musicales Excitación de instrumentos de cuerda

Excitación de Bombo

Posiciones de registro sonoro según la NAH

Técnicas de grabación tradicionales versus técnicas de grabación según NAH ADECUACIÓN ACÚSTICA

ANÁLISIS ACÚSTICO DEL LUGAR DE MEDICIÓN RANGO FRECUENCIAL EFECTIVO DE ANÁLISIS

CALIBRACIÓN DEL SISTEMA DE LA ADQUISICIÓN DE DATOS Sistema de grabación multicanal

Proceso de calibración del sistema

REGISTRO SONORO DE CAMPO CERCANO DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES UTILIZANDO LAS TÉCNICAS DE GRABACIÓN TRADICIONALES

ALGORITMO DE RECONSTRUCCIÓN BASADO EN NAH CONVENCIONAL DIAGRAMA DE BLOQUES GENERAL

INTERFAZ GRÁFICA DE USUARIO INTERFAZ PRINCIPAL

INTERFAZ DE PARÁMETROS DE MEDICIÓN INTERFAZ DE ARREGLO DE MEDICIÓN

NÚMERO RA

PROGRAMA Ingeniería de sonido

METODOLOGÍA

1. Enfoque: Empírico analítico, línea de investigación: Tecnologías actuales y sociedad, sub-linea de la facultad: instrumentación y control de procesos: campo temático del programa: grabación y producción

2. TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN: características de estudio de grabación con respuesta al impulso integrada, arreglo de medición, Excitador mecánico para instrumentos musicales, Excitación de instrumentos de cuerda, Excitación de Bombo, Reconstrucción gráfica del campo sonoro, posiciones de registro sonoro según la NAH. Técnicas de grabación tradicionales versus técnicas de grabación según NAH.

3. Población, Instrumentos musicales, Muestra, un Contrabajo, una guitarra y un bombo. 4. Si se implementa un análisis del campo acústico generado por la respuesta al impulso

del contrabajo, la guitarra y el bombo se peden optimizar las técnicas de registro sonoro de campo cercano comúnmente utilizadas por los técnicos e ingenieros de grabación, mejorando de esta manera el proceso de una producción sonora.

5. VARIABLES INDEPENDIENTES

• La calidad acústica de un instrumento depende de los materiales que lo conforman. • Los instrumentos de medición (micrófonos, conversores A/D, pre-amplificadores entre otros.)

• Las características acústicas del lugar de medición, tales como tiempo de reverberación, relación señal-ruido y modos de resonancia, son factores que determinan la calidad de la medición

6.VARIABLES DEPENDIENTES:

El número, posición y espaciamiento entre micrófonos, así como la reconstrucción grafica del campo sonoro de los instrumentos acústicos anteriormente mencionados son los resultados que el algoritmo entrega, dependen directamente de las variables independientes.

• Se concluye, al analizar las graficas de reconstrucción del campos sonoro y medido de los instrumentos musicales, que el nivel sonoro disminuye y el campo sonoro tiende a comportarse con mayor directividad al aumentar la frecuencia de análisis.

• Al comparar el campo sonoro medido contra el estimado se concluye que la geometría de radiación propia de cada instrumento musical mejora considerablemente en las gráficas de presión sonora estimada.

• Existen también fuentes fantasmas, debido a que el recinto de medición no es completamente anecóico, y se utilizaron paneles paralelos a las paredes externas, lo cual usualmente genera concentraciones de energía, que se observan en todas las gráficas de reconstrucción de campo sonoro

• Se llegó a la conclusión de que al posicionar un micrófono que se utiliza en las técnicas tradicionales, en los puntos de mayor presión sonora obtenidos de las gráficas del campo, es más efectiva que la técnica utilizada. • Al comparar el micrófono fabricado para bombo con el de medición, se observa su gran aporte en frecuencias bajas, lo cual lo hace adecuado para instrumentos que manejen frecuencias bajas.

• De igual manera se observa en el caso de la guitarra, que el micrófono de cápsula pequeña, en comparación con el de medición, tiene una respuesta en frecuencias bajas más pobre, mientras acentúa las frecuencias por encima de 1500Hz.

• Se comprobó que la holografía de campo cercano reconoce fuentes fantasmas, lo cual es importante en la toma de decisiones para solucionar problemas de ruido.

• Se demostró que al construir una interfase gráfica para utilizar los algoritmos de cómputo, de la NAH, se convierte en una herramienta eficiente para el procesamiento de datos, aprovechando el potencial de Matlab

• Se demostró por medio de las reconstrucciones del campo, las posiciones utilizadas en las técnicas de grabación tradicionales, logran un buen registro en campo cercano, siempre y cuando el ingeniero de grabación tenga un conocimiento de parámetros acústicos de recintos, instrumentos musicales y el sistema de grabación empleado para este propósito.

• Se demostró que para lograr un registro sonoro con componentes importantes en frecuencias cercanas a 1000Hz, se debe posicionar un

micrófono preferiblemente de cápsula pequeña en el puente, y para el registro de frecuencias bajas, el micrófono debe localizarse cerca al hueco.

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LISTA DE TABLAS

pág.

Tabla 4.2.1configuración del sonómetro para medición de ruido ... 50

Tabla 4.2.2 Resultados del tiempo de reverberación medido... 52

Tabla 4.5.1 separación entre micrófonos de medición en el eje X y Z, rango de análisis efectivo y matriz para la medición de los instrumentos musicales. ... 55

Tabla 5.1.1: Definición de áreas de análisis, guitarra acústica... 70

Tabla 5.1.2: Guitarra, Valores de nivel de presión sonora máximos y sus posiciones. ... 70

Tabla 5.2.1 Definición de áreas de análisis, Contrabajo. ... 73

Tabla 5.2.2: Contrabajo, Valores de nivel de presión sonora máximos y sus posiciones. ... 74

Tabla 5.3.1 Definición de áreas de análisis, bombo. ... 76

Tabla 5.3.2: Bombo, Valores de nivel de presión sonora máximos y sus posiciones. ... 77

Tabla 7.3.1 Especificaciones de micrófono AT 4033... 86

Tabla 7.3.2 Especificaciones de micrófono Shure Beta 52 ... 87

LISTA DE IMÁGENES

pág.

Imagen 2-1: Guitarra acústica ... 13

Imagen 2-2: Contrabajo... 14

Imagen 2-3: Bombo... 16

Imagen 2-4: Técnica 1de grabación para el contrabajo ... 19

Imagen 2-5: Técnica 2 de grabación para el contrabajo ... 19

Imagen 2-6:Posiciones para registro sonoro de un bombo ... 20

Imagen 2-7: Posiciones de micrófono para grabar una guitarra acústica... 22

Imagen 3-1: configuración del arreglo de medición para el bombo... 44

Imagen 3-2: configuración del arreglo de medición para instrumentos de cuerda. 44 Imagen 3-3: Excitador mecánico para instrumentos musicales... 45

Imagen 3-4: Excitador para guitarra ... 46

Imagen 3-5: Sistema mecánico de excitación para realizar las mediciones del bombo ... 46

Imagen 3-6: Pasos para realizar la reconstrucción grafica del campo sonoro ... 47

Imagen 4-1: Planos de la sala de grabación ... 49

Imagen 4-2: Punto de medición de ruido de fondo en el estudio digital ... 50

Imagen 4-3: puntos de medición de tiempo de reverberación en la sala del estudio digital... 51

Imagen 4-4: Sonómetro Svantek 943... 53

Imagen 4-5: micrófono de medición Behringer ECM 8000... 53

Imagen 4-7: Micrófono Audio Technica AT 4033 ... 54

Imagen 4-8: Micrófono Shure Beta 52... 54

Imagen 4-9: Sistema de grabación multicanal... 55

Imagen 4-10: Configuración del sistema de excitación mecánico y arreglo de medición para la adquisición de los datos del campo sonoro de los instrumentos de cuerda ... 56

Imagen 4-11: Configuración del sistema de excitación mecánico y arreglo de medición para la adquisición de los datos del campo sonoro del bombo... 56

Imagen 4-12: Puntos de grabación en el contrabajo empleando técnicas de grabación tradicionales... 57

Imagen 4-13: Puntos de grabación en guitarra acústica empleando técnicas de grabación tradicionales... 58

Imagen 4-14: Puntos de grabación en el bombo empleando técnicas de grabación tradicionales ... 58

Imagen 4-15: diagrama de procesos generales en el algoritmo NAH ... 59

Imagen 4-16: Diagrama de bloques general ... 64

Imagen 4-17: Menú Archivo de la interfase de usuario ... 65

Imagen 4-18: Opciones de parámetros de medición... 66

Imagen 4-19: Opciones de entrada de datos ... 66

Imagen 5-1: Holografía de guitarra para 97 Hz ... 67

Imagen 5-2: Holografía de guitarra para 180 Hz ... 68

Imagen 5-3: Holografía de guitarra para 2316 Hz ... 68

Imagen 5-4: Holografía de guitarra para 3400 Hz ... 69

Imagen 5-5: Holografía para Contrabajo a 88 Hz... 71

Imagen 5-6: Holografía para Contrabajo a 279 Hz... 72

Imagen 5-8: Holografía para Contrabajo a 2000 Hz... 73

Imagen 5-10: Holografía para Bombo 48 Hz... 75

Imagen 5-11: Holografía de bombo para 250 Hz ... 75

Imagen 5-12: Holografía de bombo para 946 Hz ... 75

Imagen 5-13: Holografía de bombo para 2000 Hz ... 76

LISTA DE GRÁFICAS

pág.

Gráfica 2-1: Tiempo de reverberiación ... 7

Gráfica 2-2 La forma de una cuerda estirada vibrando en el modo fundamental para ocho intervalos iguales de un ciclo completo; B. los primeros cinco modos de vibración de una cuerda estirada ... 11

Gráfica 2-3: El sistema vibrando, la malla mecánica, y una característica frecuencial de respuesta- velocidad de una cuerda. En el sistema mecánico, , ,… , ₌ , ₌ … ₌ , y %₌ , %₌ … %₌ , representan las masas, las compliancias, y las resistencias mecánicas de diferentes modos de vibración; = 8 = fuerza manejada. La característica frecuencial de respuesta-velocidad muestra la respuesta como una función de frecuencia de una típica cuerda... 12

Gráfica 2-4: vibración de una membrana circular estirada ... 15

Gráfica 2-5: Región valida de la ecuación de onda homogénea ... 36

Gráfica 2-6: La región sombreada de volumen limita con la superficie S y el exterior normal. ... 37

Gráfica 2-7: Forma del filtro k espacial para tres valores de con kc=20... 40

Gráfica 2-8: disminución de la ventana Tukey para ;A=1 y ;F =2.0... 42

Gráfica 4-1: LEQ del ruido de fondo... 51

LISTA DE ANEXOS

pág. Anexo A: Especificaciones de la Interfaz Digidesign 192:... 83 Anexo B: Especificaciones análogas de la consola de grabación Control 24:... 84 Anexo C: ESPECIFICACIONES de Micrófono de medición Behringer ECM 8000 85 Anexo D: ESPECIFICACIONES del micrófono Shure beta 52:... 86 Anexo E: ESPECIFICACIONES del Micrófono AKG A451 ... 88

INTRODUCCIÓN

La holografía es una herramienta útil en el campo de la acústica, cuyo objetivo es realizar la reconstrucción gráfica del campo sonoro por medio de varias mediciones simultáneas, hechas con múltiples micrófonos ubicados en un arreglo de superficie bidimensional a una distancia predeterminada de la fuente sonora. Mediante procesamiento de señal se realizan reconstrucciones a distancias mayores o menores a la de medición.

Es importante establecer un rango efectivo de análisis cuya frecuencia mínima de medición para este propósito está determinada por las características acústicas del recinto en el que se realice, la frecuencia máxima está dada por el espaciamiento mínimo que se pueda lograr entre los micrófonos, así como las dimensiones de la fuente y sus características frecuenciales.

La holografía acústica de campo cercano suministra un estudio de campo sonoro técnicamente riguroso para distintas geometrías de fuentes sonoras, siendo aplicable en la producción musical, donde se emplean distintas técnicas para el registro sonoro de instrumentos musicales, basadas en las diferentes posiciones de micrófono en la sala de grabación, las más utilizadas son:

• Microfonería estéreo, la cual fue desarrollada a partir de análisis electroacústico y acústico.

• Registro sonoro de campo cercano, la cual se puede considerar una forma de arte subjetiva1 .

El propósito es dar un soporte científico a las técnicas de grabación de campo cercano en una guitarra, un contrabajo y un bombo, con el fin de proporcionar la información necesaria para un correcto registro sonoro en estudios de grabación, a través de un análisis en el que se implementa la holografía acústica de campo cercano.

Este proyecto es de gran utilidad en el estudio del comportamiento del campo sonoro en instrumentos musicales, al igual puede ser implementado en temas como: control de ruido y vibraciones, ultrasonido e infrasonido, entre otros.

1 _{Professional microphone techniques, David Miles Huber, Philyp Williams, editado por bill gibson,} editorial Mix Books.Pág 24 y 25

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 ANTECEDENTES

En la captura sonora en campo cercano en un estudio de grabación, el ingeniero se basa en las características frecuenciales, diagramas directivos, geometría y materiales que conforman un instrumento musical, además debe considerar las condiciones acústicas del lugar de medición, las cuales hacen que las técnicas varíen en la sala de grabación. “La ubicación de micrófonos para el registro de instrumentos musicales, es una forma de arte subjetiva, aunque las guías tienen lugar en el medio profesional, lo que hoy en día se puede considerar una mala técnica, puede ser aclamada en el futuro”2

Sergei Y. Sokolov en 1928 propuso una técnica de imágenes acústicas cuyo fin era detectar fallas en elementos metálicos. Él demostró que las ondas sonoras se pueden utilizar como un microscopio, basándose en un principio de reflexión. En la técnica de reflexión, una onda sonora pulsada es transmitida de un lado de la muestra, reflejado al lado contrario, y regresada a un receptor ubicado en el punto de inicio. En el caso de encontrarse con una grieta en el material, el tiempo de reflexión será alterado, “proporciona información sobre la ubicación de la falla, éste es el mismo caso de las tomografías y ecografías, que a través del análisis acústico proporcionan imágenes sobre un objeto estudiado.” 3

Desde el tiempo en que fue concebida (1950), se notó la efectividad de las mediciones holográficas, “se puede obtener más información, debido a que es una representación tridimensional. En la holografía acústica de campo cercano, una medición realizada sobre una superficie bidimensional puede ser utilizada no solo en el campo de presión sonora tridimensional, sino también en la velocidad de partícula, vector de intensidad acústica, así como velocidad superficial e intensidad de la fuente vibrante, a partir de estas evaluaciones se puede realizar

2 _{Miles Huber, David, Williams, Philyp. Professional microphone techniques,, editado por bill gibson,} editorial Mix Books. Pág 24 y 25.

3 _{Harris, Michael C, Development Of An Energy-Based Nerfiel Holography System, Departamento} de Ingeniería mecánica, Universidad Brigham Young . Pág 1

una reconstrucción gráfica del comportamiento del campo acústico en el espacio, así como en el tiempo”4.

Harry Olson, en 1952 publicó el libro “Musical Engineering”, el cual muestra las características físicas, análisis frecuecial, diagramas directivos y analogías electro-mecánico-acústicas de varios instrumentos musicales.

J.D. Maynard, publicó dos volúmenes sobre holografía acústica de campo cercano, el primero de ellos: teoría de la holografía generalizada y desarrollo de NAH (Nearfield Acoustic Holography), publicado en 1986 junto con E.G Williams y Y. Lee. Este documento trata los principios fundamentales de la holografía y las características del sistema de medición para la misma.

El segundo documento, llamado Algoritmos para la reconstrucción holográfica e implementación computacional, publicado en 1987 en colaboración con W.A Veronesi, trata sobre las aproximaciones y suposiciones necesarias para reducir lo infinito de las integrales de convolución continua a una forma finita y discreta, apropiada para procesamiento numérico de alta velocidad. Para evaluar las integrales de convolución dos suposiciones son hechas: Primero el campo de frontera podrá ser remplazado con un campo constante divido en parches de fuentes puntuales; y, segundo, el campo es insignificante por fuera de una región finita. Cuando estas dos suposiciones son hechas, se emplea uno de los seis métodos desarrollados con las funciones de Green.

Desde entonces, compañías tan importantes como Bruel & Kjaer y Sensound (National Instruments), han desarrollado sistemas para realizar este tipo de mediciones; en Latinoamérica, Brasil, un equipo de investigación de la carrera de Ingeniería Mecánica en la Universidad de Campinas 5.

Hoy en día, los principios básicos de la técnica siguen siendo los mismos, pero a través de la investigación, se ha perfeccionado en varios aspectos, esto se evidencia fácilmente en la tesis presentada por Michael C. Harris en el 2005, en la cual se desarrolló y creo un sistema de holografía acústica de campo cercano planar y cilíndrico por medio de programación computacional; este algoritmo se empleo para hacer la reconstrucción del campo generado por una placa de aluminio y un tubo de plástico ABS, realizando mediciones de presión sonora y mediciones energéticas a través de sensores que suministran esta información.

4 _{J.D. Maynard E, .G. Williams y Y . Lee, Nearfield acoustic Holography: 1. Theory of generalizad} holography and the development of NAH, pag.1.

5 _{Bruno Lopes Campolina, José María Campos Dos Santos, Caracterización de los patrones de} radiación de un violín, Facultad de ingeniería mecánica, Universidad estatal de Campinas. Pag1.

Como conclusión, las ineficiencias que se analizan en este trabajo se relacionan principalmente con el espaciamiento entre los sensores, el cual debe ser menor o igual a la mitad de la longitud de onda de la más alta frecuencia de interés. Una investigación analítica del método de reconstrucción ENAH (Based Nearfield Acoustic Holography) indico que hay una reducción mayor al 75% en los puntos de medición. En el caso de la medición planar se mostró una reducción del 71%, en el caso del bombo esta reducción fue del 68%. Estas reducciones son significantes cuando la NAH es representada escaneando el campo con un sub-arreglo de sensores, reduciendo el tiempo en la adquisición de datos.

Sonia Mireya Mayorga y Rubén Camilo Pachón. de la Universidad de San Buenaventura, en el año del 2005, para su trabajo de grado realizaron un Análisis acústico de Grabación de instrumentos musicales de fabricantes y luthiers colombianos. En el desarrollo de esta investigación se tiene en cuenta los materiales usados para la elaboración del Baby Bass y la guitarra acústica, el proceso de fabricación, diseño y elaboración de los mismos, los parámetros necesarios calculados, además se realizó una comparación de los instrumentos elaborados por Luthiers con otros instrumentos de la misma clase pero de fabricantes extranjeros

1.2 DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Las técnicas de grabación comúnmente empleadas por ingenieros y técnicos, se fundamentan en realizar diferentes configuraciones de micrófonos, con el fin de determinar cual es la ubicación y tipo de micrófono más adecuado para conseguir el sonido deseado, esto hace que el proceso de producción musical requiera más tiempo y dinero.

En este caso, la implementación de Holografía acústica, se realiza con el objeto de argumentar y analizar el comportamiento de campo sonoro generado por instrumentos musicales con el fin de optimizar el registro sonoro en un estudio de grabación.

¿Cómo se implementa la holografía acústica de campo cercano con el fin de determinar la manera más adecuada de realizar el registro sonoro de un contrabajo, un bombo y una guitarra?

1.3 JUSTIFICACIÓN

El objetivo de este proyecto es llevar a cabo un estudio del comportamiento del campo sonoro de instrumentos musicales, mediante la implementación de holografía acústica de campo cercano con el fin de cualificar y mejorar los procesos de las técnicas utilizadas para realizar registro sonoro de instrumentos acústicos.

En la grabación de instrumentos musicales hecha en estudios de grabación, se implementan comúnmente dos técnicas de grabación: la primera es la microfonería estéreo que se basa en diversos fundamentos electroacústicos, la segunda técnica es la microfonería de campo cercano, la cual se sustenta en el análisis del comportamiento acústico de los instrumentos, características de los micrófonos de grabación y condiciones acústicas de la sala.

La holografía acústica, consiste en una reconstrucción gráfica del campo generado por una fuente sonora, en diferentes puntos del espacio. Por esta razón es una herramienta útil para analizar y mejorar las técnicas de microfonería del campo cercano que se utilizan, además de optimizar y disminuir el tiempo empleado en el proceso de producción musical en estudios de grabación, siendo de interés para ingenieros de sonido.

Con el fin de realizar una captura fiable de datos, hay que determinar el rango frecuencial de medición, el cual está relacionado directamente al lugar de la medición y el espaciamiento existente entre los micrófonos; de acuerdo con lo anterior y considerando la popularidad de los instrumentos musicales en los estudios de grabación en Colombia, se define que el bombo, la guitarra y el contrabajo, son los instrumentos que mejor se acomodan a las condiciones de medición.

La adquisición de datos para el análisis holográfico, requiere de una instrumentación relativamente sencilla, por lo cual se necesita un presupuesto relativamente bajo, además se cuenta con la información y tutores necesarios para su desarrollo, son razones fundamentales para la viabilidad de este proyecto.

1.4 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

1.4.1 OBJETIVO GENERAL

Realizar un análisis del comportamiento sonoro de un contrabajo, una guitarra acústica y por último un bombo, a través de la holografía acústica de campo cercano.

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Diseñar y construir un sistema versátil para ubicar el arreglo de micrófonos, el cual permita realizar mediciones holográficas de manera precisa y ordenada.

• Diseñar y construir un sistema de excitación controlada para los instrumentos musicales.

• Realizar la reconstrucción gráfica del campo sonoro de los instrumentos medidos.

• Analizar el comportamiento del campo sonoro reconstruido de los instrumentos escogidos, con el fin determinar la ó las posiciones apropiadas en el registro sonoro de los instrumentos escogidos.

• Comparar las técnicas de grabación comúnmente utilizadas, con las posiciones escogidas a partir de las reconstrucciones de NAH.

1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES

1.5.1 Alcances

• En el área de producción musical, este proyecto podrá dar un criterio acústico para la grabación de un instrumento musical de manera más adecuada y técnica.

• Este proyecto será un aporte a nivel institucional, en la investigación e implementación de la holografía en ubicación espacial de fuentes sonoras, así como análisis de ruido, infrasonido y ultrasonido.

1.5.2 Limitaciones

• Las condiciones ideales para realizar mediciones holográficas incluyen el uso de una cámara anecóica (libre de eco), debido a que se usan micrófonos omnidireccionales en la mayoría de los casos.

2 MARCO DE REFERENCIA

2.1 MARCO TEÓRICO – CONCEPTUAL

2.1.1 Tiempo de reverberación

El tiempo de reverberación se define como el tiempo que tarda en producirse una caída de 60 dB del nivel sonoro una vez cesada la excitación sonora. Normalmente se mide el tiempo correspondiente a una caída de 10dB (EDT – Early Decay Time), 20dB (T20) ó 30 dB (T30) y después se extrapola al intervalo de 60 dB (T60).

Gráfica 2-1: Tiempo de reverberiación

2.1.2 Nivel sonoro continúo equivalente

Se define el nivel sonoro continúo equivalente ( +) medido en ponderación A,

como el nivel sonoro medido en dBA de un ruido supuesto continuo y constante durante un rango temporal de medición, cuya energía sonora sea igual a la del ruido variable medido a lo largo de la misma. Desde el punto de vista matemático, esto se expresa como una sumatoria:

( )

= + ! N , F , N 7(5 N , Ecuación 2-1

Donde:

= !

Es la sumatoria que expresa que el nivel equivalente + , será igual al nivel

integrado ( ) en el intervalo de tiempo de medición”.

2.1.3 Nivel de presión sonora calculado (deciBel)

El nivel de presión sonora en decibeles se define como una relación logarítmica de magnitudes, una medida, y una de referencia, ésta relación varía respecto a la magnitud que se esté manipulando, para unidades de potencia, e intensidad, se utiliza 10*log10(mag1/magref), pero para relaciones de voltaje, corriente y presión acústica se utiliza la relación explicada a continuación:

9 8 7(5 , 9 8 _, % 8 : : $ = Ecuación 2-2

Donde L(db)1 representa el nivel de mag1 en decibeles, respecto a un nivel mínimo de referencia magref que está expresado en las mismas unidades, éste nivel, para valores de presión, será 20 p, que corresponde al umbral mínimo de audición. Es posible encontrar niveles de presión sonora dependiendo de sus unidades, y el valor de referencia.

2.1.4 Frecuencia de Schroeder

La frecuencia de Schroeder, es aquella a partir de la cual las ondas estacionarias se hallan tan poco espaciadas entre sí, que no afectan el sonido y se puede calcular por medio de la siguiente ecuación:

8 = ₂ , $

Ecuación 2-3 Donde:

9

8 = Volumen del recinto. 9

8

2.1.5 Distancia crítica

La distancia crítica es función de la frecuencia y es la distancia donde la intensidad del campo directo y reverberante son iguales; está dada por la siguiente ecuación:

[ ]

B

_{[ ]}

[ ]

2 , N N , O , = Ecuación 2-4 Donde: 9

8 = Volumen del recinto. 9

8

, $ = Tiempo de reverberación.

B= Factor de directividad de la fuente sonora.

2.1.6 Cámara anecóica

El lugar ideal para realizar la captura de los datos es una cámara anecóica, la cual está diseñada para absorber el sonido que incide sobre sus paredes, suelo y techo, minimizando lo más posible los efectos de reflexión y reverberación, además de tener una relación señal-ruido entre 50dB a 70dB; los materiales con los que está constituida son de gran coeficiente de absorción, con un promedio de 0.75, por lo cual la construcción de las misma requiere de una gran inversión económica aparte de la precisión en el diseño.

2.1.7 Instrumentos musicales

Un instrumento musical consiste en la combinación de uno o más sistemas resonantes capaces de producir uno o más tonos o por medio de la excitación de estos, los cuales se encuentran bajo el control de un músico.

Un instrumento musical es un sistema capaz de producir uno o más tonos placenteros. Una composición musical consta de una notación simbólica en el papel de una combinación y secuencia de tonos discretos que son placenteros, expresivos, o inteligibles. Los instrumentos musicales son empleados por los músicos para traducir la notación simbólica de la composición a los sonidos correspondientes. “Los instrumentos musicales son sistemas resonantes o

multiresonantes que producen los tonos discretos de música occidental, estos sistemas resonantes pueden ser excitados de diferentes maneras” 6.

2.1.8 Tipos de instrumentos.

Los instrumentos musicales se pueden dividir entre las siguientes clases: cuerda, viento, percusión e instrumentos eléctricos. En el caso de los instrumentos de cuerdas, las cuerdas pueden ser martilladas o pulsadas. Los instrumentos de viento pueden ser clasificados en los que funcionan mediante una lengüeta mecánica simple, lengüeta mecánica doble, lengüeta labial, lengüeta al aire, y lengüeta de cuerda vocal. Los instrumentos de percusión pueden ser clasificados como de tono definido o tono indefinido.

Se consideró elegir un instrumento de percusión, y de cuerda con el fin de identificar el comportamiento acústico de cada grupo. Los siguientes instrumentos musicales se seleccionaron debido a que son habitualmente utilizados en los estudios de grabación, tienen las dimensiones y espectro de frecuencia aptos para ser capturados por los micrófonos con los que se cuenta para esta medición.

2.1.8.1 Instrumentos de cuerda

Las cuerdas son usadas como el sistema resonante en muchos instrumentos musicales. En los instrumentos musicales de cuerda usan vibraciones transversales, en las cuales cada partícula de la cuerda vibrante es un plano perpendicular a la línea de una cuerda. Se asume que la masa por una unidad de longitud es constante, perfectamente flexible (la rigidez es insignificante), y está relacionada a los soportes masivos sin limite elástico aparente7_.

6 _{Harry F. Olson. Musical Engineering. Mc Graw-Hill Book Company, 1952, Pág. 108} 7 _{Harry F. Olson . Musical Engineering. Mc Graw-Hill Book Company, 1952, Pág. 110}

Gráfica 2-2 La forma de una cuerda estirada vibrando en el modo fundamental para ocho intervalos iguales de un ciclo completo; B. los primeros cinco modos de vibración de una

cuerda estirada

Desde que las cuerdas estén fijas en un soporte, ocurrirán nodos en estos puntos. La frecuencia resonante fundamental de la cuerda es dada por:

8_% = N

Ecuación 2-5 Donde:

= tensión, en Newtons [N].

= masa por unidad de longitud, en Kilogramos [Kg]. = longitud de la cuerda, en metros [m].

Las posiciones relativas de una cuerda vibrando en el modo fundamental para un ciclo completo se pueden observar en la Gráfica 2-2 La forma de una cuerda estirada vibrando en el modo fundamental para ocho intervalos iguales de un ciclo completo; B. los primeros cinco modos de vibración de una cuerda estirada El tamaño de las cuerdas para todas las posiciones durante un ciclo es sinusoidal. Además de la fundamental, otros modos de vibración pueden ocurrir, las frecuencias ser 2, 3, 4, 5, etc., veces la fundamental. En otras palabras, las frecuencias de vibración resonante de una cuerda corresponden a los términos en las series armónicas.

Los primeros modos de vibración de una cuerda son mostrados en la Gráfica 2-2B, los puntos de descanso son términos nodales y se denotan con N, Los

puntos entre los nodos donde la amplitud es máxima (nodos) o mínima (antionodo) se denotan con L.

La cuerda puede ser representada por una analogía mostrada en la Imagen 2.1.7.1.2. La analogía dada es un sistema multiresonante. Las frecuencias resonantes son determinadas por la constante del sistema.

Gráfica 2-3: El sistema vibrando, la malla mecánica, y una característica frecuencial de

respuesta- velocidad de una cuerda. En el sistema mecánico, , ,…

, = , = … = , y %= , %= … %= , representan las masas, las compliancias, y las

resistencias mecánicas de diferentes modos de vibración; 8== fuerza manejada. La

característica frecuencial de respuesta-velocidad muestra la respuesta como una función de frecuencia de una típica cuerda

Las características de la respuesta frecuencial de una cuerda se muestran en la Gráfica 2-3: El sistema vibrando, la malla mecánica, y una característica frecuencial de respuesta- velocidad de una cuerda. En el sistema mecánico, , ,… , = , = … = , y %= , %= … %= , representan las masas, las

compliancias, y las resistencias mecánicas de diferentes modos de vibración;

=

8 = fuerza manejada. La característica frecuencial de respuesta-velocidad

muestra la respuesta como una función de frecuencia de una típica cuerdase observa que los armónicos son múltiplos integrales de la fundamental.

2.1.8.1.1 Guitarra acústica

La guitarra (Imagen 2-1: Guitarra acústica) consiste de seis cuerdas tensadas entre una combinación de puente y cejilla, aseguradas y con tensión variable ajustada por el clavijero.

El cuerpo está constituido por dos tablas paralelas unidas por bordes del mismo material. Las vibraciones de las cuerdas son transmitidas de la cejilla a la tapa, porque que la tapa inferior está acoplada mecánicamente a la parte superior, por medio del alma y los aros; la cavidad del cuerpo, acoplada con el aire exterior al mismo, constituye un resonador. La tapa superior e inferior del cuerpo, así como la combinación de la cavidad y el agujero, forman un sistema multiresonante para acoplar las cuerdas vibrantes con el aire.

Imagen 2-1: Guitarra acústica

Una guitarra puede ser tocada al pulsar las cuerdas con los dedos, al igual que con una plumilla, la longitud de la cuerda, y por ende su frecuencia de resonancia puede ser variada al presionar el dedo contra los trastes, los cuales se encuentran cada uno del siguiente a una distancia tonal de un semitono8.

2.1.8.1.2 Contrabajo

El contrabajo (Imagen 2-2: Contrabajo) consiste en cuatro cuerdas que se encuentran sostenidas por el tiracuerdas y el clavijero, pero que se tensan y acoplan con la caja de resonancia a través del puente, la frecuencia más baja que reproducirá éste será MI (E), que corresponde a 41 Hz, y la más aguda estará en C (do), que corresponde a 260Hz, y cuyos sobretonos pueden llegar hasta 7KHz.

Éste instrumento se basa en el mismo principio que la guitarra, y se vale del acople mecánico entre el puente y las cuerdas para transmitir la vibración de las mismas a la tapa superior e inferior, generando un sonido de componentes principales en frecuencias bajas; la caja de este instrumento es de gran tamaño, al igual que lo son las longitudes de onda que éste propagará Imagen 2-2: Contrabajo.

Los contrabajos, son de la familia de los violines, y al igual que éstos, no tienen trastes que marque la separación de los semitonos, pero funciona con el mismo sistema, pero a diferencia de un bajo eléctrico, las notas deben encontrarse calculando la distancia.

Imagen 2-2: Contrabajo

2.1.8.2 Instrumentos de Percusión

La membrana ideal se asume como flexible y muy delgada en una sección transversal y estirada en todas las direcciones por una fuerza que no es afectada por el movimiento de ésta. Para casos de interés práctico la membrana en instrumentos musicales es asumida como rígida sujeta con abrazaderas y estirada por una masa circular. Las consideraciones serán limitadas para las membranas circulares, porque otros instrumentos musicales no utilizan esta forma.

La frecuencia fundamental de una membrana circular estirada es dada por:

8_, = ,O N

Ecuación 2-6 Donde:

= masa, en gramos por centímetro cuadrado de área. = el radio de la membrana, en centímetros.

La vibración fundamental ocurre cuando hay un nodo y un desplazamiento máximo en el centro del círculo, las frecuencias de los dos siguientes sobretonos con círculos modales son:

, , , , N , O N , O 8 8 8 8 = = Ecuación 2-7

Gráfica 2-4: vibración de una membrana circular estirada

Como se puede observar el la Gráfica 2-4: vibración de una membrana circular estirada B y D, las frecuencias del primer y segundo sobretono con diámetros modales son: , , N O N 2 O 8 8 8 8 = = Ecuación 2-8

Estos modos son mostrados en la Gráfica 2-4: vibración de una membrana circular estirada C y F. Siguiendo esta forma simple de vibración son combinaciones de círculos modales y diámetros modales. La frecuencia de un círculo nodal y un diámetro nodal, Gráfica 2-4 E, es

,

N 2

O 8

Ecuación 2-9

Una membrana circular estirada es usada en el banjo, pandereta, y todo tipo de tambores. En este caso, el aire encerrado así como las características de las membranas controlan los modos de vibración9.

2.1.8.2.1 Bombo

EL bombo consta de un cilindro hueco de madera o metal cubierto a cada extremo por una membrana de plástico estirada (ver Imagen 2-3: Bombo), las cuales pueden ser tensionadas a través de tornillos. Su vibración es compleja, siendo una combinación de la columna de aire y las membranas tensadas. El bombo se ejecuta golpeando la membrana con una vara la cual en su extremo tiene un material suave. El diámetro más común del bombo es de 0.7874 cm, lo que trae como consecuencia un alto contenido de frecuencias bajas.

Imagen 2-3: Bombo

2.1.8.3 Instrumentos de Viento

Un instrumento musical de viento consta de un resonador acoplado a un medio para interrumpir una corriente de aire en frecuencias audibles. La corriente de aire será interrumpida de las siguientes maneras: por la lengüeta de viento en un pito,

por la pipa de un órgano, flauta, entre otros. Como el instrumento debe ser capaz de cubrir un rango de tonos deben estar dadas algunas herramientas para obtener las frecuencias deseadas. En los instrumentos de lengüeta libre, al menos una

lengüeta es utilizada para cada tono que será producido.

2.1.9 Técnicas de microfonería

La manera de realizar la captura sonora de un instrumento musical con un micrófono es empírica en su mayoría, y variará dependiendo de las características sonoras del instrumento, tales como su rango frecuencial, su comportamiento sonoro en el espacio, la interpretación del músico, así como del tipo de sonido que quiera lograrse.

La ubicación de micrófonos para el registro de instrumentos musicales, “es una forma de arte subjetiva que se aplica en un medio profesional”10 _{, esto significa}

que lo que es una mala técnica hoy en día puede ser aclamada en el futuro.

Estas técnicas tienen en cuenta la distancia de la fuente al micrófono, clasificándolos en “ubicación de micrófono en campo cercano, ubicación de micrófono de acentuación, ubicación de micrófono lejano y de ambiente.”11

Usualmente en proyectos musicales la distancia entre el micrófono y el instrumento musical en la grabación de campo cercano va de 0.02m a 0.25cm, cumpliendo dos funciones:

• Conferir al sonido una calidad presente y sólida. • Evitar que el ambiente acústico sea capturado.

Al utilizar ésta técnica hay que tener cuidado de no acercar demasiado el micrófono (menos de 2cm), porque se presentarán coloraciones en la calidad tonal de la fuente debido a el efecto de proximidad que tienen los micrófonos.

En la vida real capturar el balance tonal total (timbre) de una fuente sonora es difícil, debido a que el menor movimiento en el posicionamiento del micrófono cambiará las características tonales del sonido registrado, para resolver este problema existen tres posibilidades:

10_{David Miles Huber, Philyp Williams, editado por bill Gibson. Professional microphone techniques. editorial}

Mix Books. Pág 24

11 _{David Miles Huber, Philyp Williams, editado por bill Gibson. Professional microphone techniques.} editorial Mix Books. Pág 24 y 25.

• “Mover el micrófono sobre la superficie del instrumento hasta obtener el sonido deseado.

• Ubicar el micrófono a una distancia considerable (menos de 0.25cm) de la fuente sonora amplia el ángulo de captura de las características acústicas globales del instrumento musical.

• Ecualizar la señal hasta obtener el balance deseado.” 12

2.1.9.1 Técnica de captura de Contrabajo

Existen varias maneras de capturar un contrabajo con técnicas de campo cercano, para las cuales es importante tener en cuenta el tipo de interpretación, si se hace con arco, éste reproducirá sobretonos del orden de los 10Khz, mientras que si las cuerdas son pulsadas, emitirá un sonido más sordo, con menos sobretonos. Una vez tenido en cuenta lo anterior a continuación se presentan algunas técnicas13: • Se dice que los contrabajos tienen un punto en el que existe mayor nivel, que

se encuentra aproximadamente 10cm por encima de la efe más cercana a la cuerda G (sol).

• En las efes, se encontrará el punto con mayor presencia de bajas frecuencias, pero con una definición más pobre que la del punto de mayor nivel mencionado anteriormente.

• Como se explicó anteriormente, dependiendo de la interpretación, tendrá prioridad, el sonido de los dedos deslizándose sobre la cuerda durante la digitación, en el caso del jazz.

• Otra técnica consiste en envolver un micrófono dinámico en una espuma, y ubicarlo entre el cordal y la caja.

12 _{David Miles Huber, Philyp Williams, editado por bill Gibson. Professional microphone techniques,} editorial Mix Books.Pág 24 y 25.

13 _{David Miles Huber, Philyp Williams, editado por bill Gibson. Professional microphone techniques,} editorial Mix Books.Pág 38 y 39.

Imagen 2-4: Técnica 1de grabación para el contrabajo

Imagen 2-5: Técnica 2 de grabación para el contrabajo

2.1.9.2 Técnica de captura de Bombo

Usualmente se posiciona un micrófono dinámico de cápsula grande en el punto donde se encuentra los niveles de presión sonora altos con el fin de tener una buena calidad en el registro sonoro de un bombo. A continuación se describen algunas técnicas de grabación:

• Una posición de micrófono cercana al martillo capturará con mayor nivel el sonido del golpe.

• Un posicionamiento que no se encuentre direccionado hacia el martillo tendrá más tono de la membrana.

• Acercar el micrófono a la membrana agrega calidez y bajos, pero si se aleja se percibe el clic del martillo.

• Si el parche posterior está montado, un micrófono situado cerca de éste, producirá un sonido más grave, y menos definido.

• “Registrar en el parche posterior afuera del centro podrá reducir lo grave de este sonido, pero captará más del tono del parche.”

Imagen 2-6:Posiciones para registro sonoro de un bombo

2.1.9.3 Técnica de captura de guitarra acústica

Existen diferentes técnicas para registrar con un micrófono en campo cercano una guitarra acústica, cada una de ellas producirá un sonido diferente, asimismo existen también diferentes tipos de guitarras con sonidos y aplicaciones características. Las diferencias entre guitarras incluyen el tipo de tapa, el material de las cuerdas, el cual puede ser acero o nylon, la ejecución con plumilla o solo con los dedos, si son acordes o punteos, etc.

El tipo de guitarra y su manera de ejecución es un factor determinante en el posicionamiento del micrófono, así como la técnica. Las técnicas más comunes son, y pueden verse en la Imagen 2-7: Posiciones de micrófono para grabar una guitarra acústica, Situar el micrófono en donde termina el cuerpo y comienza el diapasón a una distancia entre 15cm y 60cm, lo que produce un sonido balanceado con buenos sobretonos para guitarras de tapa plana, si se desean captura mas frecuencias bajas, el micrófono deberá apuntarse hacia el hueco, de lo contrario, debe alejarse de éste.

• Un micrófono directamente sobre la cejilla entre 20cm y 45cm captura una gran cantidad de sobretonos armónicos, pero puede llegar a acentuar el sonido de la plumilla o de los dedos, situarlo en este punto y ubicarlo apuntando hacia el agujero, acentuará levemente los bajos.

• Una técnica poco común, con la que se obtiene un sonido balanceado con poca acentuación de bajos y el sonido de la pulsación, es utilizar un micrófono de condensador de diafragma grande horizontal apuntando hacia arriba, éste se ubica bajo la parte más ancha de la guitarra para que el diafragma se encuentre entre la mitad y la parte superior de la guitarra, apuntando hacia el clavijero.

• El agujero en la tapa frontal de la guitarra funciona como un port de bajos que resonará a frecuencias bajas (entre 80Hz y 100Hz), un micrófono situado muy cerca de este “port” resultará en un sonido acentuado en bajos y poco natural, esta es una buena técnica en vivo, porque proporciona mayor nivel y menor captura de sonidos externos, para estas condiciones se aconseja atenuar las frecuencias bajas en 5db-10db en la banda de 100Hz. Esta posición también suele tener alto contenido de ruido de plumilla y pulsación, así que ponerlo fuera de eje con el lugar de pulsación eliminará estos ruidos y conservará la acentuación en los bajos.

• Si se ubica un micrófono detrás de la cejilla inferior que sostiene las cuerdas se reduce la acentuación de bajos, captura un mayor nivel de frecuencias medias y produce un sonido limpio y característico del material con abundantes sub-harmónicos. Usualmente el sweet spot se encuentra en la cejilla, cerca al centro, algunos centímetros más cerca de las cuerdas agudas.

• Algunas veces se emplean dos micrófonos mezclados para conseguir la mejor grabación, uno en la parte posterior desfasado y otro en la anterior.

• Realizar el registro entre 15 cm. y 60 cm. por encima de la cejilla que sostiene las cuerdas, captura los armónicos superiores, en este punto los sobretonos suenan más fuerte y son reforzados por la cara anterior de la guitarra. Es aconsejable que la distancia no sea tan pequeña para evitar efecto de proximidad14.

14 _{David Miles Huber, Philip Williams, edited by Bill Gibson. Professional microphone techniques,} Editorial Mix Pro Audio Series. Pág. 58

Imagen 2-7: Posiciones de micrófono para grabar una guitarra acústica

2.1.10 Holografía acústica de Campo cercano (NAH)

La holografía acústica, es una aproximación al problema inverso de reconstrucción de campos sonoros. Este problema inverso tratara sobre el retorno del campo de presión en el espacio y tiempo hacia las fuentes. Solo fuentes más grandes que la longitud de onda pueden ser recuperados en este procedimiento. Cuando las ondas evanescentes están presentes (tal como en placas vibrantes que contienen ondas subsónicas), un requerimiento esencial para mejorar la resolución es la medición del campo sonoro cercano a las fuentes de interés, de lo anterior se origina el nombre de este proceso conocido como NAH (Nearfield Acoustic Holography) el cual no solo reconstruye datos de presión sonora, sino también de los tres componentes de la velocidad del fluido y el vector de intensidad.

2.1.10.1 Transformada de Fourier

La transformada continua de Fourier 8<_;9 de una función 88;9 se define de la

siguiente manera: ∞ ∞ − − = 8 ; $; <_{;9 8 9} <;; 8 Ecuación 2-10

La siguiente notación es para abreviar la transformada, y representarlo con el operador _;, para se expresado como sigue:

9 8 9 8 _; ; 8 ; ≡ < Ecuación 2-11

La transformada inversa de Fourier se definirá de la siguiente manera: ∞ ∞ − = ; ; < ; $< < ; 8_{8 9 8 9} ; π Ecuación 2-12 La notación abreviada de ésta se define como:

9 8 9 8<_; 8 ; ; ≡ − Ecuación 2-13

El par de transformada espacial dada en la y Ecuación 2-10 es la contraparte del par de tiempo-frecuencia: ∞ ∞ − = 8 ! ω!$! ω9 8 9 8 Ecuación 2-14 Y ∞ ∞ − − = ω ω π ω $ ! 88 9 8 9 ! Ecuación 2-15

Se puede ver una sutil diferencia, aunque el signo del término exponencial es invertido. Esto es necesario, para mantener el planteamiento de onda plana dado por 8<;;+<@@+<??−ω!9

El teorema de desplazamiento establece que: ∞ ∞ − − − ₌ − P 9 8 9 P 8_{; ;} <;;_{$; <;} <;; 8 Ecuación 2-16 El teorema de convolución establece que:

9 8 9 8 P 9 P 8 9 P 8; ; : ; $; <;$; <_; <_; 8 − − ; = ∞ ∞ − ∞ ∞ − Ecuación 2-17

Utilizando el teorema de corrimiento, se prueba el anterior problema de la siguiente manera:

[

]

9 8 9 8 P 9 P 8 9 8 P 9 P 8 9 8 P 9 P 8 9 P 8 P 9 P 8 9 P 8 P P P ; ; ; < ; ; < ; ; < ; < < < $; ; : < $; ; : < $; ; : $; ; ; 8 $; $; ; : ; ; 8 ; ; ; ; = = = − = − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − Ecuación 2-18

En notación corta, el teorema de convolución se define como:

[

8 9N 8 9

]

8 _;9 8 _;9

; 8 ; : ; = < <

Ecuación 2-19

Donde el asterisco denota la operación matemática de convolución: ∞ ∞ − − ≡ 8 P9 8 P9 P 9 8 N 9 8; : ; 8 ; ; : ; $; 8 Ecuación 2-20

Tomando la transformada inversa a ambos lados de la Ecuación 2-17 proporciona otra forma del teorema de convolución:

[

8<_;9 8<_;9

]

= 88;9N:8;9

−

Ecuación 2-21

∞ ∞ − ∞ ∞ − − _{= −} = <; _{; ; ; ;} @ ; < 8 ; : ; $; < < < $< < _{O 9 8 9 8 9} ; _{8 P 9 8 P 9 P} 8 π Ecuación 2-22

[

8 9 8 9

]

8 _;9N 8 _;9 ; 8 ; : ; = _π < < Ecuación 2-23

Con el fin de evaluar el problema bidimensional, se utilizan funciones de dos variables, éste problema se soluciona directamente, la función bidimensional f(x,y), tiene una transformada de Fourier bidimensional F(kx,ky) que satisface las siguientes relaciones ∞ ∞ − + − = 8 ; @ $;$@ < <_{; @} 8<;; <@@9 9 O 8 9 O 8 Ecuación 2-24 y ∞ ∞ − ∞ ∞ − + = ; @ @ < ; < @ ; < $< $< < @ ; 8 8 ; @ 9 9 O 8 9 O 8 π Ecuación 2-25 Si se define una convolución bidimensional como:

∞ ∞ − ∞ ∞ − − − ≡ 8 PO P9 8 PO P9 8 PO P9 P P 9 O 8 N N 9 O 8; @ : ; @ 8 ; ; @ @ : ; @ : ; @ $;$@ 8 Ecuación 2-26 O, equivalentemente

[

8 O 9 8 O 9

]

9 O 8 N N 9 O 8; @ : ; @ _{; @} <_; <_@ <_; <_@ 8 ≡ − − Ecuación 2-27

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − + − − − = ; @ ; ; @ @ ; @ < ; < $< $< < < < < < < $@ $; @ ; : @ ; 8 ; @ P P 9 P O P 8 9 P O P 8 9 O 8 9 O 8 8 9 π Ecuación 2-28

2.1.10.2 La función rectangular

La función rectangular se define de la siguiente manera:

> = < = ∏ F , F F 9 F 8 ; ; ; ; Ecuación 2-29

La transformada de Fourier de la función rectangular es: ∞ ∞ − − _{= =} ∏ "-! 8 F 9 9 F 8 9 F "-!8 9 F 8 < < < $; ; _; ; ; ; <; Ecuación 2-30 Donde: ; ; ;9 "-!8 9F 8 "-! = Ecuación 2-31

2.1.10.3 Transformada discreta de Fourier (DFT)

La transformada discreta de Fourier se define como la relación directa e inversa que se definen a continuación:

− = = , F + + + 8 π Ecuación 2-32

− = = , F + + + 8 π Ecuación 2-33

2.1.10.4 Discretización de la transformada de Fourier

Se asume que para el problema de interés, la integral infinita de la transformada continua de Fourier puede ser calculada con precisión usando la integral finita.

∞ ∞ − ∆ − − − − _≈ = <; ; <; $; ; 8 $; ; 8 < F F 9 8 9 8 9 8 Ecuación 2-34

Ésta integral finita puede ser transformada para parecerse a la DFT, mediante el uso de la regla de integración rectangular con una sumatoria. Debe discretizarse la función f(x), con muestras igualmente espaciadas separadas por una distancia equivalente a x y se define:

; +

;= ∆ , +=− F O− F + O O F −

Ecuación 2-35

Donde N es el número total demuestras, y la última muestra está ligeramente cerca al borde derecho del intervalo, como se indica en la Ecuación 2-34, así que tendremos que:

;= F

∆

Ecuación 2-36

Simultáneamente se asume que son relevantes tanto en los números de onda positivos y negativos de la transformada de Fourier, que también se cuantizan como sigue:

<

< = ∆ , =− F O− F + O F −

Ecuación 2-37 Para obtenerla DFT debe restringirse k como sigue:

F @ = π ∆

Esto equivale a una longitud de onda por encima de la extensión completa de la apertura, . Con éstas relaciones, la regla de cuadratura rectangular se utiliza para dar como resultado.

− − = − − − = ∆ ∆ − ∆ ≈ ∆ ∆ ≈ ∆ F F F F F 9 8 9 8 9 8 + + + < ; + ; + 8 ; ; + 8 < π Ecuación 2-39

Para llegar a la Ecuación 2-32 debemos realizar el cambio de índices: m’ = m+N/2 y q’ = q + N/2 para que m’=0,1,…,N-1 y q’ = 0,1,… ,N-1, y sustituya en la Ecuación 2-39 P P , P F F P P P P F F F 9 F P 98 F P 8 9 9 F P 88 9 8 9 8 9 9 F P 8 9 9 F P 88 + + + 8 + + + ; + 8 ; + 8 < − = − − − − = − − − ∆ − − − = ∆ − ≈ ∆ − π π π Ecuación 2-40

Como indican los corchetes, ésta última expresión es equivalente a Ecuación 2-33 si se define 9 9 F P 88 9 8 P P 8 + ; 8₊ = − + − ∆ Ecuación 2-41 y P P 9 8 9 9 F P 88 − ∆< = − . Ecuación 2-42

Si se decide que el valor de N sea una potencia de dos (como en el algoritmo de la transformada rápida de Fourier), entonces el termino −π F = _{. (cabe anotar que}

para propósitos prácticos N deberá ser mayor a dos.) la Ecuación 2-41 y la Ecuación 2-42 proveen los instrumentos para usar la DFT directamente para aproximarse a una transformada de Fourier continua, Ecuación 2-34.

2.1.10.5 Discretización de la transformada inversa de Fourier

Usando un esquema de cuantización y derivación idéntico, se obtiene la aproximación de una transformada inversa de Fourier, usando DFT. Se asume que los límites infinitos se pueden reemplazar por límites finitos sin un error apreciable. ∞ ∞ − ∆ − − − − _≈ = < < < <; <; $< $< < ; 8 π π 8 9 9 8 Ecuación 2-43

Donde <m representa el máximo número de onda, dado por las ecuaciones

Ecuación 2-38y Ecuación 2-38.

; <

< =8 F 9∆ =π F =π F =πF∆ Ecuación 2-44

Esto es una longitud de onda sobre dos muestras espaciales, insertando las ecuaciones dadas anteriormente en la Ecuación 2-43, conduce a:

− − = − − − = ∆ ∆ − ∆ ≈ ∆ ∆ ≈ ∆ F F F F F 9 8 9 8 9 8 + < ; + < < < ; + 8 π π Ecuación 2-45

Realizando el mismo cambio de índices mencionado anteriormente para obtener la DFT inversa Ecuación 2-33: + 8 + + + < < ; + 8 − = − − − = − − − ∆ − − − = ∆ − ≈ ∆ − , P F F P P P P , P F 9 F P 98 F P 8 P 9 9 F P 88 9 8 9 8 9 9 F P 8 9 9 F P 88 π π π Ecuación 2-46 La cual se relaciona con la Ecuación 2-33 al calcular:

P P P 8 9 + + 8 − = Ecuación 2-47

La Ecuación 2-46 y Ecuación 2-47 suministran las herramientas para la aproximación de la transformada inversa de Fourier utilizando DFT.

2.1.10.6 Estado estacionario

Para evaluar fenómenos en el dominio frecuencial se obtiene la solución para estado estacionario a partir de las transformadas de Fourier:

∞ ∞ − − = ω ω π # ω$ ! #8 9 8 9 ! Ecuación 2-48 ∞ ∞ − = # ! $! #8ω9 8 9 ω! Ecuación 2-49

La Ecuación 2-49 se puede definir con respecto al tiempo para proporcionar la importante relación: ∞ ∞ − − − = ∂ ∂ _{ω ω ω} π # ω$ ! ! # _! 9 8 9 8 , Ecuación 2-50 Para que 9 8 9 8 _{ω ω} # ! ! # ₌₋ ∂ ∂ Ecuación 2-51

Donde representa la operación de transformada de Fourier definida en la Ecuación 2-49

La Ecuación 2-49, puede ser usada para calcular la transformada de Fourier para la ecuación de onda del dominio temporal:

, = ∂ ∂ − ∇ ! # # Ecuación 2-52 Dando como resultado:

, = + ∇ # < #

Ecuación 2-53

Donde el número de onda acústico es k= /c, la frecuencia es dad por 2 f= , y #, y es función de #8;O@O?Oω9. Para simplificar la notación se elimina la línea que está encima de la variable. La trasformada de la ecuación de Euler:

# ! & ∇ − = ∂ ∂ , ρ Ecuación 2-54

Se convierte al dominio frecuencial, convirtiéndose en:

# ∇ = , ωρ Ecuación 2-55

Donde se aplica la Ecuación 2-51 para la derivación temporal.

2.1.10.7 Ondas Planas

La propiedad característica de una ola plana es que cada cantidad acústica tiene amplitud y fase constante en cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación. Encontrando las soluciones de la ecuación de onda, es conveniente convertir la ecuación de onda al dominio frecuencial. Esta transformación da la ecuación de Helmholtz, , = + ∇ # < # Ecuación 2-56

Donde el número de onda acústico es < =ω , es la función #

(

;O@O?Oω

)

, y ∇ es

? @ ; ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ Ecuación 2-57 Lo siguiente la solución para #:

( ) ( )

(

<_;; <_@@ <_??

)

#

ω

=

ω

+ +

Ecuación 2-58 Satisface la Ecuación 2-56con tal que:

? @ ; < < < < = + + Ecuación 2-59

Donde

( )

ω es una constante arbitraria, como < es una constante, los tres

números de onda en la parte derecha de la Ecuación 2-59 no dependen uno del otro. La convención es escoger <? como la variable dependiente para que:

@ ; ? < < <

< = − −

Ecuación 2-60

Es importante comprender que la solución de la onda plana todavía satisfaga la ecuación de la onda cuando <; ó <@ >< , una condición bajo que las ondas planas se convierten en ondas evanescentes no propagadas, cuando este es el caso, <_? se convierte en:

? @ ; ? < < < < < =± + − =± ′ Ecuación 2-61

Donde <?′ es real y la onda plana, se vuelve evanescente y tiene la forma de:

(

< ; < @

)

?

<? ; @

#

=

± ′ +

Si las fuentes existen en el medio espacial definió por ?<,, entonces la solución de +<?′? es no física desde que no sea limitada a +∞ . Excluyendo esta solución en la Ecuación 2.1.9.7.7 se convierte en:

(

< ; < @

)

?

<_? ; @

#

=

− ′ +

Ecuación 2-63

Esto muestra el decaimiento de amplitud exponencial en que es característico de ondas evanescentes.

2.1.10.8 Expansión de onda plana

Para propósitos prácticos, debe tenerse en cuenta el uso coordenadas cartesianas, debido a que el análisis se realiza para fuentes geométricamente planas (o cuyo comportamiento se acerca a éste), como es el caso de las placas vibrantes. Notamos que la Ecuación 2-54 es muy similar a la de una cuerda vibrando. , = ∂ ∂ − ∂ ∂ ! ; ω ω Ecuación 2-64

Donde es el desplazamiento normal de la cuerda, y cs es la velocidad de onda,

una constante. Una solución para ésta ecuación, está dada por:

9 8 9 8 9 O 8_{; !} <;; ω! <; ω! ω ₌ − ₊ − − Ecuación 2-65

Donde A y B son constantes arbitrarias. Para que ésta solución satisfaga la Ecuación 2-64, debe darse la condición:

; < =ω_F Ecuación 2-66

Se introduce la solución de la cuerda para explicar las soluciones para onda plana de la Ecuación 2-54 en la Ecuación 2-65 <_; es llamado el número de onda en la dirección x.

Considerando el término de fase en la Ecuación 2-65 dada por φ₈;_O!₉=<_;;−ω!. Se ubica la cresta de una onda viajando a través de una cuerda, al escoger un