Espacios vectoriales y bases
En los cap´ıtulos anteriores conocimos y trabajamos con conjuntos distin-guidos, a saber, los n´umeros reales R, el plano R2, el espacioR3, en forma general para n ∈ N, el espacio Rn, y para m, n ∈ N los espacios de las matrices de orden m por ncon entradas reales,Mm×n(R).Vimos, que en estos conjuntos est´an definidas dos operaciones, la suma y la multiplicaci´on por un escalar.
Denotemos conV a cualquiera de los conjuntosR,R2,R3,RnyMm×n(R). Para dos elementos cualesquiera pertenecientes a V, v1 y v2, el elemento
v1+v2 ∈V y denota su suma y, siλ∈R,denotamosλ·v1∈V el elemento
que resulta de multiplicar el elemento v1 por el escalar λ.
Adem´as se satisfacen las siguientes propiedades:
1. Siv1,v2 ∈V,yλ∈R, entoncesv1+v2 ∈V yλ·v1 ∈V.
2. Siv1 yv2∈V,v1+v2 =v2+v1.
3. Siv1,v2 yv3 ∈V, entonces (v1+v2) +v3 =v1+ (v2+v3).
4. Existe un ´unico elemento en Vque llamamos el cero de V, lo denotamos con 0V tal quev1+0V =v1.
5. Para cada v1 ∈ V,existe un ´unico elemento que llamamos −v1,
tal que
v1+ (−v1) =0V
6. Siλ∈R,yv1,v2 ∈V entonces,λ·(v1+v2) =λ·v1+λ·v2.
7. Siλ, µ∈Ry v1 ∈V entonces, (λ+µ)·v1=λ·v1+µ·v1.
8. Siλ, µ∈Ry v1 ∈V entonces, (λµ)·v1=λ(µ·v1).
9. Para cualquier v1∈V se tiene que 1·v1 =v1.
Definici´on 7.1: Espacio vectorial real
Unespacio vectorial reales un conjuntoV para el que est´an definidas dos operaciones, la suma de sus elementos y la multiplicaci´on de un elemento de V por un escalar real, tal que se cumplen las propiedades 1 a 9 listadas.
A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectores. Ejemplo 7.1.
El siguiente conjunto es tambi´en espacio vectorial real. {[x1, x2]∈R2 |3x1−x2 = 0}
En cada espacio vectorial real, existen subconjuntos que por sus carac-ter´ısticas tambi´en cumplen con las propiedades 1 a 9 listadas, a ellos los llamamossubespacios.
Definici´on 7.2: Subespacio de un espacio vectorial real
SiV es un espacio vectorial real, un subconjuntoW ⊆V es un subes-pacio de V, si W es en s´ı mismo, un espacio vectorial real con las operaciones de suma y multiplicaci´on por un escalar definidas paraV.
Ejemplo 7.2.
Ejemplos de subespacios son:
1. En el planoR2,una recta cualquieraL que pasa por el origen. 2. En el espacioR3,cualquier recta o plano que contenga al origen.
3. Para cualquier espacio vectorial real V, son subespacios el propio V
y el conjunto {0V}, cuyo ´unico elemento es el elemento neutro (el
elemento cero), les llamamos elsubespacio totaly el subespacio trivial respectivamente.
4. Para Mn×n(R), n∈N,el espacio vectorial de las matrices cuadradas de ordenn, el subconjunto que consta de las matrices diagonales es un subespacio.
5. Para Mn×n(R), n∈N,el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto que consta de las matrices triangulares superiores (inferiores) es un subespacio.
Definici´on 7.3: Subespacio generado
Si V es un espacio vectorial real y {v1,v2,v3, . . . ,vs} es un conjunto
de s elementos de V, s ∈ N,entonces el conjunto W ⊆V, que consta de todas las combinaciones posibles de estos elementos,
W ={λ1v1+λ2v2+· · ·+λsvs |λi ∈R;i= 1, . . . , n}
es un subespacio de V y se llama el subespacio generado por el conjunto de vectores v1,v2,v3, . . . ,vs.
En efecto, verificaremos la propiedad 1. Observe que usaremos que cada elemento de W est´a en V y que en V se cumplen las propiedades 1 a 9.
Seanλ1v1+λ2v2+· · ·+λsvsyµ1v1+µ2v2+· · ·+µsvsdos combinaciones
lineales, entonces
(λ1v1+λ2v2+· · ·+λsvs) + (µ1v1+µ2v2+· · ·+µsvs) = (λ1+µ)v1+
(λ2+µ2)v2+· · ·+ (λs+µs)vs.Por lo tanto la suma de dos combinaciones
lineales es una combinaci´on lineal y es un elemento de W. Siλ∈R yλ1v1+λ2v2+· · ·+λsvs∈W,entonces
λ(λ1v1 +λ2v2+· · ·+λsvs = (λλ1)v1+ (λλ2)v2+· · ·+ (λλs)vs. Por
lo tanto la multiplicaci´on de un escalar por una combinaci´on lineal es un elemento de W.
El resto de las propiedades se satisfacen ya que lo hacen enV.
Observaci´on 7.1.
Si V es un espacio vectorial real, y si W ⊆ V, para determinar si W es un subespacio, basta verificar que se cumplen las siguientes propiedades:
• El elemento 0V ∈W.
• Siw1 yw2 ∈W, entoncesw1+w2 ∈W.
• Siλ∈Ryw∈W,λw∈W.
Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores son: Ejemplo 7.3.
1. En el espacioR2:
(a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector no nulo[a, b]t, describe la ecuaci´on vectorial de una rectaLgenerada por ´el. Les un subespacio deR2.
L= x1 x2 ∈R2 | x1 x2 =λ a b ;λ∈R .
(b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectoresno colineales[a, b]ty [d, e]t, describe a todoR2,el es un subespacio.
R2= x1 x2 ∈R2 | x1 x2 =λ a b +γ d e ;λ, γ∈R . 2. En el espacioR3:
(a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector no nulo [a, b, c]t, describe la ecuaci´on vectorial de una recta L gen-erada por ´el,L es un subespacio deR3.
L= x1 x2 x3 ∈R3| x1 x2 x3 =λ a b c ;λ∈R .
(b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectores no colineales [a, b, c]t y [d, e, f]t , describe la ecuaci´on vectorial del plano P generado por ellos y P es un subespacio deR3.
P = x1 x2 x3 ∈R3 | x1 x2 x3 =λ a b c +γ d e f ;λ, γ ∈R .
Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores de espe-cial importancia son los siguientes.
Ejemplo 7.4.
En el espacioMn×1(R), siA∈Mm×n(R) es tal que el sistema homog´eneo
AX = 0m×1, tiene infinidad de soluciones, su conjunto soluci´on es el sube-spacio generado por el Sistema fundamental de soluciones, como vimos en el cap´ıtulo de Sistema de Ecuaciones Lineales.
Ejemplo 7.5.
SeaAuna matriz de ordenm×syb∈Mm×1(R),consideremos el sistema
AX =b.Si b es tal que el sistema es consistente, sabemos de lo visto en el cap´ıtulo 5 que bes una combinaci´on lineal de las columnas de la matriz A. SiW es el espacio enMm×1(R) generado por las columnas deAentoncesW consiste de lasb∈Mm×1(R) para los cuales el sistemaAx=bes consistente. Los dos ejemplos anteriores asocian a una matriz A ∈ Mm×n(R), dos subespacios, que llamamos espacios fundamentales deA. A ellos les dedicamos la siguiente secci´on de este cap´ıtulo.
7.1
Espacios fundamentales
A una matriz A ∈ Mm×n(R) se le asocian los siguientes subespacios, se
llaman:
• Espacio Columna de Ao Rango de A, se denota por EC(A).
• Espacio Rengl´on deA, se denota porER(A).
Lo primero que haremos ser´a comprender de cuales elementos constan y aprenderemos a dar una descripci´on expl´ıcita de cada uno de ellos.
7.1.1 Espacio Nulo SeaA∈Mm×n(R). A= a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... am1 am2 . . . amn
Definici´on 7.4: Espacio Nulo
Sea A ∈ Mm×n(R). El espacio nulo de la matriz A, EN(A), es el
conjunto de vectores X ∈Mn×1(R), tal que:
EN(A) ={X ∈Mn×1(R)|AX= 0m×1}.
Es decir, EN(A) es el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo
AX= 0m×1.
Observaci´on 7.2.
• El espacio nulo de Aconstar´a de un solo vector, es decir,
EN(A) = {0n×1} cuando el sistema homog´eneo asociado a la matriz A tenga soluci´on ´unica.
• El espacio nulo deAconstar´a de una infinidad de vectores cuando el sistema homog´eneo asociado a la matriz A, tenga infinidad de soluciones.
La siguiente observaci´on es consecuencia de la estructura del conjunto soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos en el cap´ıtulo 4, Secci´on 4.6.1.
Observaci´on 7.3.
SiA ∈ Mm×n(R), EN(A) ⊆Mn×1(R), es en efecto un subespacio
de Mn×1(R),ya que cumple con las propiedades:
• El vector X = 0n×1 ∈ Mn×1(R) siempre es soluci´on del sistema homog´eneo, puesto que A0 = 0.
• SiX1 yX2∈EN(A), entoncesX1+X2 ∈EN(A),puesto que si
AX1 = 0n×1 yAX2 = 0n×1 entonces,
A(X1+X2) =AX1+AX2 = 0n×1+ 0n×1= 0n×1.
• Si λ ∈ R y X ∈ EN(A), A(λX) = λAX = λ0n×1 = 0n×1, es decir, cualquier m´ultiplo escalar de una soluci´on del sistema homog´eneo es soluci´on del sistema.
Observaci´on 7.4.
Dada una matrizA∈Mm×n(R),para describir precisamenteEN(A) basta encontrar el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo asociado a la matrizA,que es el conjunto de combinaciones lineales de los vectores que pertenecen a un sistema fundamental de soluciones.
Ejemplo 7.6. EncontrarEN(A) para A= 1 1 0 1 0 0 . Soluci´on I
EN(A) = X= x1 x2 ∈M2×1(R)|AX= 0n×1 . Es decir [x1, x2]t∈EN(A) significa que
1 1 0 1 0 0 x1 x2 = 0 0 0 .
Recuperamos el sistema que representa,
x1 + x2 = 0
x2 = 0 0 = 0
por lo quex1=x2= 0.Obtenemos queEN(A) ={02×1}= 0 0 . J Ejemplo 7.7. EncontrarEN(A) cuandoA= 1 2 3 2 −1 4 5 0 11 Soluci´on I
Al resolver por el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan el sistema homog´eneo inducido porA, AX = 03×1, llegamos a la matriz reducida
R= 1 0 11 5 0 1 2 5 0 0 0
Como R tiene dos pivotes y una variable par´ametro, el sistema ho-mog´eneo tiene infinidad de soluciones:
x1 =− 11
5 x3 y x2 =− 2 5x3.
Haciendox3 =t, el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo asociado a la matrizA, es decir, EN(A) es:
EN(A) = x1 x2 x3 =t −11 5 −2 5 1 |t∈R
En este ejemploEN(A)6={03×1},sus elementos son los vectores colin-eales al vector v= [−11
5 ,− 2 5,1]
t,que tambi´en podemos ver como todas las
combinaciones lineales que podemos formar con v.
Observe que tambi´en EN(A) est´a generado porw= [11,2,−5]t. J
Ejemplo 7.8.
Encontrar el espacio nulo de la matrizA para
A= 1 1 2 1 2 −1 4 1 4 1 8 3 Soluci´on I
Resolvemos el sistema homog´eneoAX= 04×1, aplicando las operaciones
R2→R2−2R1, R3 →R3−4R1yR3 →R3−R2tenemos queAes equivalente por filas a la matriz escalonada
R= 1 1 2 1 0 −3 0 −1 0 0 0 0
Esta matriz R tiene 2 pivotes y dos variables par´ametro. Ahora, las ecuaciones
x1+x2+ 2x3+x4 = 0; −3x2+−x4 = 0 son equivalentes a las siguientes:
x1 =−x2−2x3−x4 −3x2 =x4, de donde, x2 =− 1 3x4 x1=−(− 1 3x4)−2x3−x4= 1 3x4−2x3−x4 =−2x3− 2 3x4
Hacemos x3 = s y x4 = t tenemos que el espacio nulo de A, que es el conjunto soluci´on del sistemaAX = 04×1, se describe como:
x1 x2 x3 x4 = −2s− 23t −13t s t (7.1) para todos, t∈R. EN(A) = x1 x2 x3 x4 = −2s−23t 0− 1 3t s+ 0 0 + t |s, t∈R EN(A) = x1 x2 x3 x4 =s −2 0 1 0 +t −23 −1 3 0 1 |s, t∈R
Observe que un sistema fundamental de soluciones paraAX = 04×1 es −2 0 1 0 , −23 −13 0 1 J Proposici´on 7.1.
EN(A) es el subespacio generado por los vectores del sistema funda-mental de soluciones.
7.1.2 Espacio Columna
Demos la definici´on de este espacio.
Definici´on 7.5: Espacio Columna o Rango de una matriz Sea A ∈ Mm×n(R). El Espacio Columna de A o Rango de A, es el subespacio deMm×1(R) generado por las columnas deA,lo denotamos
EC(A).
EC(A) ={x1Col1(A) +· · ·+xnColn(A); x1, x2, . . . xn∈R}. Si b∈ Mm×1(R) y b∈ EC(A),entonces el sistema AX =b es consis-tente, ya que existen λ1, . . . , λn∈Rcon
λ1Col1(A) +· · ·+λnColn(A) =b. SeaA∈Mm×n(R), A= a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... am1 am2 . . . amn yb= b11 b21 .. . bm1
Conforme a la definici´on, un vector b∈ EC(A), si es una combinaci´on lineal de las columnas de A, es decir, existen x1, x2, . . . xn n´umeros reales tal que, x1 a11 a21 .. . am1 +x2 a12 a22 .. . am2 +· · ·+xn a1n a2n .. . amn = b11 b21 .. . bm1 (7.2)
Realizando la suma del lado izquierdo de (??) obtenemos el sistema de ecuaciones lineales, x1a11+x2a12+· · ·+xna1n = b11 x1a21+x2a22+· · ·+xna2n = b21 .. . ... x1am1+x2am2+· · ·+xnamn = bm1
SeaX= x1 x2 .. . xn
,entonces este sistema es, AX=b.
Obtenemos una segunda definici´on para el espacio columna, Definici´on 7.6: Segunda definici´on del Espacio Columna SeaA∈Mm×n(R).El Espacio Columna deAo Rango deA,EC(A)⊆
Mm×1(R),es el conjunto.
EC(A) ={b∈Mm×1(R)|existeX∈Mn×1(R) para el cualAX =b}
Los elementos deEC(A) son todos los vectores b∈Mm×1(R) para los cuales el sistema AX =bes consistente.
Observaci´on 7.5.
Para un vector b∈Mm×1(R) cualquiera, se tiene que b∈EC(A) si y s´olo si, el sistemaAX =bes consistente.
Observemos que cada vector columna,Colj(A) paraj= 1. . . , n,pertenece
aEC(A).
Para mostrar esto, para cada j = 1, . . . , n sean ej ∈ Mn×1(R) tal que
ej = 0 .. . 1 .. . 0
, el vector que tiene 1 en la j-´esima entrada y el resto de sus
entradas igual a cero, se tiene
Observaci´on 7.6.
Si A ∈ Mm×n(R), el Espacio Columna EC(A) es un subespacio de
Mm×1(R),ya que satisface las siguientes propiedades:
• El vector 0m×1 ∈ Mm×1(R) es un elemento de EC(A) ya que
A0n×1 = 0m×1.
Por lo tanto, 0m×1 ∈EC(A).
• Si b1 y b2 ∈EC(A), entonces los sistemas AX =b1 y AX =b2 son consistentes.
As´ı, el sistema AX = b1+b2 es consistente puesto que existen
X1, X2∈Mn×1(R) tal queA(X1+X2) =AX1+AX2 =b1+b2. • Si b ∈ EC(A), cualquier m´ultiplo escalar de b ∈ EC(A). En
efecto, existe X1 ∈Mn×1(R) con AX1=b, as´ı,
AλX1 =λAX1=λb. De donde, λb∈EC(A).
Es importante poder describir geom´etricamente al espacio columna. Por ejemplo, si consideramos una matriz A de orden 3 no nula, sabemos que
EC(A) es el subespacio de M3×1(R) generado por las columnas de A o el conjunto de vectores b ∈ M3×1(R) para el cual el sistema es consistente.
EC(A) puede ser una recta, un plano, o inclusive todoM3×1(R).
Veamos a trav´es de los siguientes ejemplos como determinar lo anterior. Ejemplo 7.9.
EncontrarEC(A) cuando Aes la matriz del ejercicio ??,
A= 1 2 3 2 −1 4 5 0 11 . Soluci´on I
Para encontrar EC(A) vamos a utilizar la descripci´on que obtuvimos para EN(A).
EN(A) = X ∈R3 |X= x1 x2 x3 =t −115 −25 1 ;t∈R
SiX ∈EN(A), tenemosAX = 03×1.Este sistema homog´eneo lo pode-mos representar como la combinaci´on lineal de las columnas deA siguiente,
x1 1 2 5 +x2 2 −1 0 +x3 3 4 11 = 0 0 0
Sustituimos los valores de cada componente de X, obtenemos:
−11 5 t 1 2 5 +− 2 5t 2 −1 0 +t 3 4 11 = 0 0 0 (7.3)
La igualdad en (??) se cumple para cualquier valor de t ∈R. Esto nos dice que podemos encontrar una combinaci´on lineal de las columnas de A
igualada al vector cero con al menos un coeficiente distinto de cero.
Hacemos por ejemplot= 1,tenemos la combinaci´on lineal de los vectores columna deA: −11 5 1 2 5 − 2 5 2 −1 0 + 3 4 11 = 0 0 0
De la ´ultima expresi´on, despejemos al vectorCol3(A) = 3 4 11 . 3 4 11 = 11 5 1 2 5 + 2 5 2 −1 0 (7.4)
Observe que Col3(A) no es indispensable para describir EC(A) ya que por la definici´on de EC(A), EC(A) = a 1 2 5 +b 2 −1 0 +c 3 4 11 ;a, b, c∈R
remplazamos al vector 3 4 11 utilizando (??) EC(A) = a 1 2 5 +b 2 −1 0 +c 11 5 1 2 5 + 2 5 2 −1 0 ; a, b, c∈R simplificando, hacemosd=a+c11 5 y e=b+c 2 5 obtenemos que EC(A) = d 1 2 5 +e 2 −1 0 ; d, e∈R J
En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encon-trado una forma m´as sencilla de describir al espacio columna de A,EC(A).
Lo hicimos dando el valor t= 1 al ´unico par´ametro que aparece en la des-cripci´on del conjunto soluci´on del sistema homog´eneoAX = 03×1.
Al hacerlo pudimos expresar la tercera columna deA en t´erminos de la primera y la segunda columnas.
Otra cuesti´on que observar, en el ejemplo??, la matriz escalonada que se obtuvo tiene los pivotes en la primera y la segunda columnas y en la tercera columna a la variable par´ametro y, las columnas que generan a EC(A),
son las mismas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matriz escalonada obtenida al encontrar EN(A).
Veamos otro ejemplo: Ejemplo 7.10.
Encontrar el espacio columna de la matrizA para
A= 1 1 2 1 2 −1 4 1 4 1 8 3 Soluci´on I
Con lo hecho en el ejemplo anterior, sabemos que debemos encontrar
EN(A) y con ello encontrarEC(A). En el ejemplo??encontramos que
EN(A) = X ∈M4×1(R) ; x1 x2 x3 x4 =s −2 0 1 0 +t −2 3 −13 0 1 ;s, t∈R EncontremosEC(A).
Tenemos ya el conjunto soluci´on del sistema homog´eneoAX = 04×1,por lo que se cumple x1 1 2 4 +x2 1 −1 1 +x3 2 4 8 +x4 1 1 3 = 0 0 0
sustituyendo los valores de cada xi, i = 1,2,3,4. que encontramos en (??), obtenemos (−2s−2 3t) 1 2 4 +− 1 3t 1 −1 1 +s 2 4 8 +t 1 1 3 = 0 0 0 (7.5) Hagamoss= 1 yt= 0 en (??), obtenemos, −2 1 2 4 + 2 4 8 = 0 0 0
por lo que el vector en la tercera columna deAes m´ultiplo escalar del vector que est´a en la primera columna
2 4 8 = 2 1 2 4 Hagamoss= 0 yt= 1 en (??), obtenemos −2 3 1 2 4 − 1 3 1 −1 1 + 1 1 3 = 0 0 0
por lo que el vector en la cuarta columna deAes una combinaci´on lineal de los vectores que corresponden a las columnas primera y segunda de A, as´ı
1 1 3 = 2 3 1 2 4 + 1 3 1 −1 1
EC(A) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores en las columnas de A, EC(A) = x1 1 2 4 +x2 1 −1 1 +x3 2 4 8 +x4 1 1 3 |x1, x2, x3, x4 ∈R
al reemplazar las expresiones de los vectores columna Col3(A) y Col4(A) nos queda: EC(A) = r 1 2 4 +s 1 −1 1 |r, s∈R J
En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encon-trado una forma m´as sencilla de describir al espacio columna de A,EC(A).
Lo hicimos dando primero los valores t= 1, s= 0 y luego los valores t= 0, s = 1 a los dos par´ametros que aparecieron en la descripci´on del conjunto soluci´on del sistema homog´eneoAX = 04×1.
Al hacerlo, pudimos expresar la tercera columna deAen t´erminos de la primera y, a la cuarta columna deA, en t´erminos de la primera y la segunda columnas.
Otra cuesti´on que observar es, en el ejemplo??, la matriz escalonada que se obtuvo al resolver el sistema homog´eneotiene dos pivotes en la primera y la segunda columnas y en la tercera y cuarta columnas a las variables par´ametro. Las columnas con las que se describe a EC(A), son las mis-mas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matriz escalonada obtenida al encontrar EN(A).
En los ejemplos anteriores se han descrito expl´ıcitamente los espacios nulos y los espacios columna de dos matrices. Perm´ıtanos insistir en lo siguiente:
A= 1 2 3 2 −1 4 5 0 11 EN(A) ={X ∈R3 |AX= 03×1}= X∈R3 |X =t −11 5 −25 1 ;t∈R EC(A) = d 1 2 5 +e 2 −1 0 ; d, e∈R
El n´umero de inc´ognitas enAX = 03×1 es igual a 3, es igual al n´umero de columnas de A.
Hay infinidad de soluciones del sistema homog´eneo, hay una variable par´ametro y por lo tanto hay un solo vector que genera al espacio nulo.
Al resolver el sistema AX = 03×1, el n´umero de pivotes en la matriz escalonada R equivalente por filas a A, es 2, que es el n´umero de vectores con el que describimos a EC(A), m´as pre-cisamente, las columnas que utilizamos para describir a EC(A) son las columnas de A en donde se encuentran los pivotes de la matriz escalonada R equivalente por filas a A.
• En los ejemplos ??y?? A= 1 1 2 1 2 −1 4 1 4 1 8 3 EN(A) ={X ∈R4;AX= 03×1}= X ∈R4; x1 x2 x3 x4 =s −2 0 1 0 +t −23 −1 3 0 1 ;r, t∈R
EC(A) = r 1 2 4 +s 1 −1 1 ;r, s∈R
El n´umero de inc´ognitas enAX = 03×1 es igual a 4.
Hay infinidad de soluciones del sistema homog´eneo, haydos varia-bles par´ametro y por lo tanto hay dos vectores que generan al espacio nulo.
Al resolver el sistema AX = 03×1, el n´umero de pivotes en la matriz escalonada R equivalente a A es 2, que es el n´umero de vectores con el que se describeEC(A).
Las columnas que utilizamos para describir a EC(A) son las columnas de A en donde se encuentran los pivotes de la matriz escalonada R equivalente por filas a A.
En los dos ´ultimos ejemplos, encontramos quehab´ıa infinidad de solu-ciones en el sistema homog´eneo, en el caso general:
SeaA ∈ Mm×n(R), tal que el sistema AX = 0m×1 tiene infinidad de soluciones.
Para encontrarEC(A) consideramos el espacio nulo de A:
EN(A) ={X ∈Mn×1(R) ;AX = 0m×1}.
Resolvemos el sistema homog´eneo mediante el m´etodo de elimi-naci´on de Gauss (Gauss-Jordan). Llamamos R a la matriz escalonada (escalanoda reducida).
Como hay infinidad de soluciones, hays≥1 pivotes yn−svariables par´ametro en la matriz R y cualquier soluci´on del sistema homog´eneo est´a descrita mediante los par´ametros.
Escribimos el sistemaAX = 0m×1,como combinaci´on de las colum-nas de A. En esta combinaci´on lineal, sustituimos cada una de las variables xi parai= 1, . . . , n,con el valor obtenido en t´erminos de los par´ametros.
hacemos igual a cero.
Obtendremos quen−svectores columnas deA, los que correspon-den a las columnas deRen donde est´an las variables par´ametro, quedan descritos en t´erminos de los vectores columna de A que corresponden a las columnas deR en donde aparecen los spivotes.
Utilizamos las expresiones obtenidas para losn−svectores colum-nas y las sustituimos en la combinaci´on lineal de la que partimos.
Simplificamos reagrupando t´erminos para describir EC(A), como el conjunto de combinaciones lineales de las columnas de la matriz A
correspondientes a las columnas de la matrizRen donde se encuentran los pivotes.
Proposici´on 7.2.
Sea A ∈Mm×n(R), si el sistema AX = 0m×1 tiene infinidad de solu-ciones, entonces, EC(A) est´a generado por los vectores columna de
A, correspondientes a las columnas pivote de la matriz escalonada (escalonada reducida) R, que se obtiene al resolver el sistema AX = 0m×1,por alguno de los m´etodos de eliminaci´on.
Hemos podido describir aEC(A) cuandoAX = 0m×1 tiene infinidad de soluciones.
¿Qu´e sucede si AX = 0m×1 tiene una ´unica soluci´on? Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 7.11.
EncontrarEC(A) siA es la matriz del ejemplo??,
A= 1 1 0 1 0 0 .
Soluci´on IVimos queEN(A) ={X∈R2;AX = 0 3×1}= 0 0 .
x1 1 0 0 +x2 1 1 0 = 0 0 0
Como la ´unica soluci´on es x1 = 0 yx2 = 0, tenemos que
0 1 0 0 + 0 1 1 0 = 0 0 0 .
y por lo tanto no podemos expresar uno de los vectores columna de A en t´erminos del otro. Si la soluci´on del sistema homog´eneo es ´unica, ninguno de los vectores columna de Aes colineal al otro y los dos vectores columna se necesitan para describir a EC(A) :
EC(A) = x1 1 0 0 +x2 1 1 0 ;xi ∈R, i= 1,2 .
Ahora, los vectores b que pertenecen a EC(A) son aquellos para los cuales el siguiente sistema tiene soluci´on
x1 + x2 = b11
x2 = b21 0 = b31
El sistema AX = b es consistente y tiene soluci´on ´unica si b31 = 0. Dado b = [b11, b21,0]t, la soluci´on del sistema A[x1, x2, x3]t = [b11, b21,0]t, es: x1 =b11−b21, x2 = b21. En consecuencia, EC(A) = es el plano xy en R3.
J
Ejemplo 7.12.
Encontrar los espaciosEC(A) y EN(A) cuando
A= 1 2 3 2 −1 4 3 11 5
Soluci´on ILa matriz asociada Aes equivalente por filas a la matriz
R= 1 2 3 0 −5 −2 0 0 −4 .
Observemos que R es equivalente a la matriz identidad de orden 3 y por lo tanto A es invertible. Esto significa que cualquier sistema AX = b es consistente. Lo que equivale a que cualquier b ∈ R3 pertenece al espacio columna, es decirEC(A) =R3.
El m´etodo que utilizamos en los ejemplos??y??no nos es ´util en este ejemplo.
Si lo utilizamos nos produce una igualdad del tipo:
0· 1 2 3 + 0· 2 −1 11 + 0· 3 4 5 = 0 0 0 ,
de la que no podemos deducir algo.
Tenemos queno podemos expresar una columna deAen t´erminos de las otrasy as´ı:
EC(A) = r 1 2 3 +s 2 −1 1 +t 3 4 5 ;r, s, t∈R =R3 Observaci´on 7.7.
En los ejemplos ?? y ??, para cada una de las matrices dadas, se obtuvo que EN(A) es el espacio nulo y que EC(A) se construye con todas las combinaciones lineales posibles de los vectores columna deA
en cada caso.
En cada uno de los ejemplos el n´umero de inc´ognitas del sistema homog´eneo es igual al n´umero de columnas pivote.
La soluci´on en el sistema homog´eneo es ´unica, hay cero variables par´ametro.
El n´umero de pivotes en las matrices escalonadas es igual al n´umero de columnas de cada matriz necesarias para describir EC(A).
Proposici´on 7.3.
SeaA∈Mm×n(R).Si el sistema AX = 0m×1 tiene soluci´on ´unica, en-tonces la matriz escalonadaR,obtenida al resolverlo por alg´un m´etodo de eliminaci´on, tiene n pivotes y EC(A) est´a generado por todos los vectores columna deA, correspondientes a las columnas pivote deR.
7.1.3 Espacio Rengl´on
Empezamos con la definici´on:
Definici´on 7.7: Espacio Rengl´on
Sea A ∈ Mm×n(R). El espacio rengl´on de A, se denota ER(A), es el espacio generado por los vectores rengl´on de la matriz A, es decir, sus elementos son combinaciones lineales de los vectores rengl´on deA.
ER(A) ={v∈M1×n(R) ;v=x1R1(A)+x2R2(A)+· · ·+xmRm(A,)
para x1, x2, . . . xm ∈R}.
Llevamos a la matrizAa una matriz escalonadaRmediante operaciones elementales de rengl´on. Sabemos que los renglones de R son resultado de combinaciones lineales de los renglones de A y rec´ıprocamente, por lo que
ER(A) =ER(R),
Sit es el rango de R como matriz escalonada (R tiene t≤m renglones distintos de cero), cualquier combinaci´on lineal:
x1R1(A) +x2R2(A) +· · ·+xmRm(A), para x1, x2, . . . xm∈R
puede expresarse como combinaci´on lineal de los renglones distintos de cero de R, (la matrizA yR son equivalentes por filas):
x1R1(R) +x2R2(R) +· · ·+xtRt(R), para x1, x2, . . . xt∈R
De donde el espacio rengl´on est´a generado por los vectores rengl´on de la matriz escalonada R obtenida al escalonar la matriz A.
Encontrar el espacio rengl´on de la matriz B si B = 1 2 4 1 −1 1 2 4 8 1 1 3 . Soluci´on I
LlevamosB a una forma escalonadaRmediante las operaciones elemen-tales: R2 →R2−R1, R3 →R3−2R1, R4 →R4−R1,R4 ↔R2, R4 →R4−3R2, R2 → −R2. B = 1 2 4 1 −1 1 2 4 8 1 1 3 →→ · · · →R= 1 2 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ER(B) ={v∈M1×3(R) ;v=x1[1,2,4] +x2[0,1,1];x1, x2∈R}. ER(B) es un plano enR3. J Observaci´on 7.8.
En el ejemplo ??hemos encontradoER(B).Observe que es un subes-pacio generado por los dos vectores rengl´on de la matriz escalonada R, donde se encuentran sus pivotes.
Sabemos que EC(B) tambi´en est´a generado por dos vectores, los vectores en la primera y segunda columnas de B, que son los corres-pondientes a las columnas de R en donde se encuentran los pivotes.
El espacio ER(B) ⊆M1×3(R), mientras que, EC(B) ⊆M4×1(R). Claramente son diferentes, sin embargo, concluimos que el n´umero de vectores que requerimos para generarER(B) es el mismo que el n´umero de vectores para generar a EC(B) ya que ambos est´an determinados por el n´umero de pivotes de la matriz R.
Observaci´on 7.9.
Como sabemos que los vectores rengl´on de una matrizA, son los vec-tores columna de su matriz transpuesta At, el espacio que genera el conjunto de vectores rengl´on de A, coincide con el espacio que genera el conjunto de los vectores columna deAt.Se tiene que:
ER(A) =EC(At).
Recordemos que en cap´ıtulos anteriores vimos que podemos ver los vec-tores en Rn ya sea como vectores rengl´on o como vectores columna ya que tenemos las correspondencias biyectivas
Rn↔M1×n(R) Rn↔Mn×1(R) M×1(R)↔M1×n(R); x1 .. . xn ↔[x1,· · ·, xn] ; X↔Xt
Los espacios M1×n(R) y Mn×1(R) como espacios de matrices son dife-rentes, sin embargo con ellos hemos descrito al espacioRn.
Ejemplo 7.14.
VerificarER(B) =EC(Bt) para B la matriz en el ejemplo ??. Soluci´on I La matrizB en ??esB = 1 2 4 1 −1 1 2 4 8 1 1 3
Observamos que la matriz transpuesta de B, Bt, es la matriz A del ejemplo ??. Tenemos queBt=A.
A= 1 1 2 1 2 −1 4 1 4 1 8 3
Tenemos que verificarER(B) =EC(Bt) =EC(A). En ??encontramosEC(A), EC(A) = v∈M3×1(R) ;v=r 1 2 4 +s 1 −1 1 ;r, s∈R
Por otro lado de??obtuvimos,
ER(B) ={v∈M1×3(R) ;v=x1[1,2,4] +x2[0,1,1];x1, x2∈R},
Interprtemos aER(B) y aEC(A) como planos enR3 y calculemos el vector normal de cada uno de ellos.
El vector normal deEC(A) es el vector [6,3,−3] =−3[−2,−1,1].
El vector normal deER(B) es el vector [−2,−1,1].
Vemos que los vectores normales de los dos planos son colineales y los dos planos contienen al origen.
La ecuaci´on normal del planoER(B) es−2x1−x2+x3= 0. La ecuaci´on normal del planoEC(A) es 6x1+ 3x2−3x3= 0.
Ambas ecuaciones representan el mismo plano
En R3,los espaciosER(B) =EC(Bt) =EC(A) son el mismo. J
7.2
Bases
En las secciones anteriores vimos que para determinar el espacio nulo, el espacio columna y el espacio rengl´on de una matrizA∈Mm×n(R),bastaba con encontrar para cada uno de ellos, un conjunto de vectores B que los generaran.
En los ejemplos ??y??vimos que para describir EC(A),no eran nece-sarios todos los vectores columna, que bast´o con un subconjunto de ellos.
En particular, en el ejemplo??, la matriz tiene tres columnas.
A= 1 2 3 2 −1 4 5 0 11
Para determinar EC(A) solamente necesitamos la primera y la segunda columnas de la matrizA,ya que la tercera columna result´o ser combinaci´on lineal de las otras dos. El conjunto
B= 1 2 5 , 2 −1 0 .
es un conjunto m´ınimo de generadores para EC(A). Algo similar pas´o en el ejemplo??, para la matriz
A= 1 1 2 1 2 −1 4 1 4 1 8 3
En este caso la matriz tiene cuatro columnas. Al determinar EC(A) sola-mente requerimos la primera y la segunda columna, ya que la tercera y la cuarta columnas son combinaci´on lineal de la primera y de la segunda. En este caso el conjunto que encontramos fue
B= 1 2 4 , 1 −1 1 .
Algo diferente sucedi´o en el ejemplo??en donde la matrizA fue
A= 1 2 3 2 −1 4 3 11 5
Aqu´ı la matriz tiene tres vectores columna y los tres fueron necesarios para describir EC(A) ya que no pudimos remplazar a ninguno de ellos y
B= 1 2 3 , 2 −1 11 , 3 4 5 .
¿Por qu´e en unos casos al describir EC(A) se pueden omitir algunos vectores columna y en otros no es posible?
La respuesta a esta pregunta est´a en el espacio EN(A). Es decir, en la naturaleza del conjunto soluci´on del sistema homog´eneo inducido por la matriz A, que puede tener infinidad de soluciones o tener soluci´on ´unica.
Si el sistema homog´eneo tiene infinidad de soluciones, hay variables par´ametro, y estas nos permiten remplazar a ciertos vectores. Este fue el caso en los ejemplos??y??.
Si el sistema homog´eneo tiene soluci´on ´unica, todas las variables corre-sponden a pivotes, no hay variables par´ametro y no es posible remplazar a vector columna alguno. Este fue el caso en el ejemplo??.
7.2.1 Independencia lineal y dependencia lineal
Dada una matriz A∈Mm×n(R), queremos hacer expl´ıcitas las condiciones
para determinar cu´ales columnas deAson suficicentes para generarEC(A). Por los ejemplos anteriores sabemos que estas condiciones tienen relaci´on con el espacio nulo deA.
Definici´on 7.8: vectores linealmente independientes enMm×1(R)
Dado un conjunto de svectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆Mm×1(R).
Definimos la matriz A ∈ Mm×s(R), tal que Coli(A) = vi donde i= 1, ..., s.
A= [v1 |v2| · · · |vs].
Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto de vectores
li-nealmente independiente si el sistema homog´eneo AX = 0m×1 tiene soluci´on ´unica, y por lo tanto la ´unica soluci´on esX= 0m×1.
Definici´on 7.9: vectores linealmente dependientes en Mm×1(R) Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆ Mm×1(R). Defini-mos la matriz A∈Mm×s(R),porColi(A) =vi dondei= 1, ..., s.
A= [v1 |v2| · · · |vs].
Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto de vectores
li-nealmente dependiente si el sistema homog´eneo AX= 0m×1 tiene infinidad de soluciones.
Ejemplo 7.15.
Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependien-te o linealmendependien-te independiendependien-te. S= 1 2 5 , 2 −1 0 , 3 4 11 . Soluci´on I
Construimos la matrizA cuyas columnas son los vectores enS.
A= 1 2 3 2 −1 4 5 0 11 .
Observe queAes la matriz del ejemplo??y en este ejemplo, encontramos que el conjunto soluci´on del sistema homog´eneo tiene infinidad de elementos. Concluimos que S es linealmente dependiente. J
Proposici´on 7.4.
Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆ Mm×1(R). Este conjunto es linealmente dependiente si y solamente si al menos uno de ellos es combinaci´on lineal de los restantes.
Ejemplo 7.16.
Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependi-ente o linealmdependi-ente independidependi-ente.
S= 1 2 3 , 2 −1 11 , 3 4 5 . Soluci´on I
Como antes, construimos la matrizA,
A= 1 2 3 2 −1 4 3 11 5
Observe que A es la matriz del ejemplo ?? y en este ejemplo, encon-tramos que el sistema homog´eneo tiene soluci´on ´unica. Concluimos que S
es linealmente independiente.
J
Ejemplo 7.17.
Seav∈Mm×1(R) dondeves un vectorno nulo. Entonces {v}siempre es linealmente independiente. v= v11 v21 .. . vm1 Soluci´on I SeaA= v11 v21 .. . vm1
,que es una matriz de ordenm×1.
Construimos el sistema homog´eneo asociado a A. Sea x ∈ M1×1(R), el sistema es Ax= v11 v21 .. . vm1 x= xv11 xv21 .. . xvm1 = 0 0 .. . 0 = 0m×1
Esta igualdad obliga a que xvi1 = 0 para toda i= 1, . . . m. Como para alg´un i, vi1 6= 0, puesv 6= 0,entonces se debe tener que x = 0. Por lo que el sistema homog´eneo tiene soluci´on ´unica, de donde, {v} es linealmente independiente.
En resumen, para una matriz A∈Mm×n(R) :
• SiEN(A)6={0n×1},los vectores columnas de Ason linealmente dependientes. (Hay infinidad de soluciones para el sistema ho-mog´eneo.)
independientes. (Hay una ´unica soluci´on del sistema homog´eneo.)
La definici´on de independencia lineal para cualquier espacio vectorial real V es:
Definici´on 7.10: vectores linealmente independientes
Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆V. Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto
de vectores linealmente independiente si dada una combinaci´on lineal de los vectores con coeficientes reales que es igual al vector cero:
x1v1+x2v2+· · ·+xsvs=0V
se tiene que
x1=x2 =· · ·=xs= 0.
Esto es equivalente a que la ´unica soluci´on de la ecuaci´on
x1v1+x2v2+· · ·+xsvs=0V
es la trivial.
Definici´on 7.11: vectores linealmente dependientes
Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆V. Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto
de vectores linealmente dependientesi no es linealmente indepen-diente.
Es decir, existe una combinaci´on lineal de los vectores con coefi-cientes reales igual al vector cero, con al menos un coeficiente distinto de cero:
Existe x1v1+x2v2+· · ·+xsvs =0V,con al menos un xi 6= 0.
En cualquier espacio vectorial real V, un vector v 6= 0V siempre es
linealmente independiente. Soluci´on I
Sea λ∈ R,0V 6= v ∈ V. Supongamos que el linealmente dependiente,
por lo que tenemos la combinaci´on lineal λv=0V,con el ´unico coeficiente λ6= 0,multiplicamos por λ−1, obtenemos v =λ−10V =0V. Lo que no es
posible ya que el vector es no nulo por hip´otesis.
Ejemplo 7.19.
Para la matriz dada, verifique que el sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo AX = 03×1 es un conjunto linealmente independi-ente. A= 1 2 3 3 5 4 2 −1 4 1 0 3 3 4 5 0 0 2 Soluci´on I
Reducimos a la matrizAmediante operaciones elementales para obtener la matriz reducidaR. R= 1 0 0 −61 16 − 105 16 − 7 2 0 1 0 1 8 5 8 0 0 0 1 35 16 55 16 5 2
Hay tres variables pivote y tres variables par´ametro.
El conjunto soluci´on consta de los vectores [x1, x2, x3, x4, x5, x6]t∈M6×1(R) tal que x1 x2 x3 x4 x5 x6 = r6116+s10516 +t72 −r18 −s58 −r3516−s5516−t52 r s t =r 61 16 −1 8 −35 16 1 0 0 +s 105 16 −5 8 −55 16 0 1 0 +t 7 2 0 −5 2 0 0 1 .
Recuerde que el sistema fundamental de soluciones es el conjunto de vectores con los que expresamos cualquier soluci´on, consideremos cualquier combinaci´on lineal de estos vectores igual al vector cero,
r 61 16 −18 −3516 1 0 0 +s 105 16 −58 −5516 0 1 0 +t 7 2 0 −52 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 es lo mismo que r6116 +s10516 +t72 −r18 −s58 −r3516−s5516−t52 r s t = 0 0 0 0 0 0
Para que se d´e la igualdad, necesariamente debe suceder que
r =s=t= 0. J
Proposici´on 7.5.
SeaA∈Mm×n(R) tal queEN(A)6={0n×1},es decir, hay infinidad de soluciones para el sistema homog´eneo. Entonces un sistema fundamen-tal de soluciones siempre es un conjunto linealmente independiente.
7.2.2 Conjuntos de generadores
Abordaremos el problema siguiente: Dado un subespacio W de un espacio vectorial real V, queremos encontrar un conjunto de generadores para W. Es decir, queremos encontrar {v1,v2,v3, . . . ,vs} ⊆V tal que
W ={λ1v1+λ2v2+· · ·+λsvs;λi∈R;i= 1, . . . , s}
EnR3,exprese al planoP como un subespacio generado por un conjunto de vectores. P = x1 x2 x3 ∈R3;x1+ 2x2+ 4x3= 0 . Soluci´on I
Para hacer lo que nos pide el ejemplo, basta encontrar una ecuaci´on vectorial paraP como lo hicimos en el cap´ıtulo 3.
Tomemos los puntosO(0,0,0), P(0,−2,1) yQ(4,0,−1) en P.
Sabemos que los vectores −OP−→ = 0 −2 1 y −−→ OQ= 4 0 −1 yacen en el planoP, su producto cruz es−OP−→×OQ−−→= [2,4,8] que es colineal a la normal deP.
Una ecuaci´on vectorial para el planoP est´a dada por
P = x1 x2 x3 ∈R3; x1 x2 x3 =s 0 −2 1 +t 4 0 −1 ;s, t∈R
El plano P est´a generado por el conjunto: 0 −2 1 , 4 0 −1 . J
Observe que para un subespacio podemos encontrar muchos conjuntos de vectores diferentes que lo generan.
Ejemplo 7.21.
Encontrar un conjunto diferente de generadores para el plano del ejemplo ??
Soluci´on ITomemos ahora en el plano del ejemplo??, los puntosP(5,−1 2,−1)
Q(0,−2,1) yR(2,1,−1).
Encontrando los vectores fijos equivalentes a −P Q−→ y −→P R, damos otra ecuaci´on vectorial paraP.
P = x1 x2 x3 ∈R3; x1 x2 x3 =s −5 −3 2 2 +t −3 −3 2 0 ;s, t∈R .
Por lo que el siguiente conjunto tambi´en genera al plano P. −5 −3 2 2 , −3 −3 2 0 . J Ejemplo 7.22.
Encontrar un conjunto de generadores para EN(A) y EC(A) cuando
A= 1 1 1 −1 −2 3 3 2 7
Soluci´on I Encontramos primero EN(A). LLevamos a la matriz a una forma reducida mediante las operacionesR2→R2+R1, R3→R3−R1, R3 →
R3−R2, R1 →R1+R2. R= 1 0 5 0 1 −4 0 0 0
Recuperamos el sistema y obtenemos
x1 =−5x3, x2= 4x3. EN(A) = x1 x2 x3 ∈R3; x1 x2 x3 =t −5 4 1 ; t∈R
EN(A) est´a generado por v= −5 4 1 .
Observe que para cualquierλ6= 0, λvtambi´en genera aEN(A).
Ahora encontremos un conjunto de generadores paraEC(A).
Sabemos que un conjunto de generadores para EC(A) es 1 −1 3 , 1 −2 2 , 1 3 7 .
Nos proponemos dar otro conjunto de generadores con menos elementos puesto que al ser EN(A) 6= 0 los vectores columna forman un conjunto linealmente dependiente.
Como conocemos EN(A) tenemos que −5 1 −1 3 + 4 1 −2 2 + 1 1 3 7 = 0 0 0 y por lo tanto 5 1 −1 3 −4 1 −2 2 = 1 3 7
Concluimos que para generar a EC(A) nos basta el conjunto 1 −1 3 , 1 −2 2 . J 7.2.3 Bases de espacios
En lo que hemos estudiado trabajamos con ejemplos de espacios vectoriales reales y algunos de sus subespacios.
Una propiedad importante de cualquier espacio vectorial es que tienen conjuntos de generadores con un n´umero m´ınimo de elementos, a los que llamaremosbases. Lo escribimos en plural puesto que mostraremos que no son ´unicas.
Definici´on 7.12: Base de un espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores B = {v1,v2, . . . ,vs} ⊆V. Decimos que B={v1,v2, . . . ,vs},es una base
para V si:
• El conjunto B={v1,v2, . . . ,vs} genera aV.
• El conjunto B={v1,v2, . . . ,vs} es linealmente independiente.
Damos algunos ejemplos.
Ejemplo 7.23.
Ejemplos de bases para V =R2.
1. B= 1 0 , 0 1
es una base, se llama la base can´onica. Soluci´on I
B genera a R2 y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuaci´on x1 x2 =x1 1 0 +x2 0 1
tiene soluci´on ´unica para todo valor dex1, x2 ∈R,puesto que la matriz asociada es la identidad de orden 2,I2.
2. B= 1 2 , 3 −1 es una base. Soluci´on I
B genera a R2 y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuaci´on x1 x2 =x1 1 2 +x2 3 −1
tiene soluci´on ´unica para todo valor dex1, x2 ∈R,puesto que la matriz asociada al sistema es 1 3 2 −1
cuyo determinante es −7 y es equivalente a I2.
J
Ejemplo 7.24.
Ejemplos de bases para V =R3.
1. B= 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1
es una base, se llama la base can´onica.
Soluci´on I
B genera a R3 y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuaci´on x1 x2 x3 =x1 1 0 0 +x2 0 1 0 +x3 0 0 1
tiene soluci´on ´unica para todo valor de x1, x2, x3 ∈ R, puesto que la matriz asociada al sistema es la identidad de orden 3, I3.
2. B= 1 1 0 , 3 0 −1 , 0 0 −2 es una base. Soluci´on I
B genera a R3 y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuaci´on x1 x2 x3 =a 1 1 0 +b 3 0 −1 +c 0 0 −2
tiene soluci´on ´unica para todo valor de x1, x2, x3 ∈ R, puesto que la matriz asociada al sistema es
1 3 0 1 0 0 0 −1 −2
cuyo determinante es 6 y es equivalente a I3. J
Ejemplo 7.25.
Ejemplo de base para V =Rn.
B={e1,e2, . . . ,en} los vectores definidos despu´es de la observaci´on ??
es una base, se llama la base can´onica. Soluci´on I
B genera a Rn y es un conjunto linealmente independiente, ya que la ecuaci´on x1 .. . xn =x1e1+x2e1+· · ·+xnen
siempre tiene soluci´on ´unica para x1, . . . , xn ∈ R, pues su matriz asociada
es In. J
Ejemplo 7.26.
Ejemplos de bases para V =M2×2(R).
1. Una base para V =M2×2(R) es,
B= 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 . Soluci´on I B genera a M2×2(R). Si x1 x2 x3 x4 ∈ M2×2(R), debemos encontrar
a, b, c, d∈R y una combinaci´on lineal tal que
x1 x2 x3 x4 =a 1 0 0 0 +b 0 1 0 0 +c 0 0 1 0 +d 0 0 0 1 que equivale a x1 x2 x3 x4 = a b c d
La igualdad entre las dos matrices se da, si en cada una de las entradas se da la igualdad , de donde, al resolver el sistema, obtenemos que tiene ´
unica soluci´on:
a=x1, b=x2, c=x3, d=x4. x1 x2 x3 x4 =x1 1 0 0 0 +x2 0 1 0 0 +x3 0 0 1 0 +x4 0 0 0 1 .
B es linealmente independiente. Si tenemos una combinaci´on lineal de elementos de B igualada al vector cero,
a 1 0 0 0 +b 0 1 0 0 +c 0 0 1 0 +d 0 0 0 1 = 0 0 0 0
Como obtuvimos que la soluci´on es ´unica para cualquier x1, x2, x3, x4 necesariamente a=b=c=d= 0.
2. Otra base paraV =M2×2(R) es,
B= 1 0 0 1 , 1 0 0 −1 , 0 1 1 0 0 −1 1 0 . Soluci´on I
B genera a M2×2(R) y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuaci´on x1 x2 x3 x4 =a 1 0 0 1 +b 1 0 0 −1 +c 0 1 1 0 +d 0 −1 1 0 es lo mismo que x1 x2 x3 x4 = a+b c−d c+d a−b
que es un sistema con inc´ognitasa, b, c ydcuya matriz asociada es 1 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 1 1 −1 0 0
cuyo determinante es −4 por lo que es equivalente a I4.
De donde la ecuaci´on siempre es consistente y tiene soluci´on ´unica. J
En los ejemplos de bases que hemos presentado tenemos que la ecuaci´on que nos permite verificar que un conjunto de vectores es una base, tiene como matriz asociada a una matriz cuadrada.
Ejemplo 7.27.
Consideremos enR3 el conjunto del ejemplo??. Veremos queS no es una base.
Soluci´on I S= 1 2 5 , 2 −1 0 , 3 4 11 . Consideramos la ecuaci´on x1 x2 x3 =a 1 2 5 +b 2 −1 0 +c 3 4 11
cuya matriz asociada es
1 2 3 2 −1 4 5 0 11
cuyo determinante es igual a cero y por ende la ecuaci´on no siempre es consistente, y cuando lo es, tiene infinidad de soluciones.
Observe adem´as que la matriz cuyas columnas son los vectores en S
es tal que su espacio nulo es distinto de cero por lo que S es un conjunto linealmente dependiente y EC(A) no es todoR3. J Ejemplo 7.28. Consideremos enR3 el conjunto S= 1 1 2 , 1 0 3 , 1 2 1 , 2 0 7 .
Veremos queS no es una base. Soluci´on I
Consideramos la ecuaci´on x1 x2 x3 =a 1 1 2 +b 1 0 3 +c 1 2 1 +d 2 0 7
cuya matriz asociada esA= 1 1 1 2 1 0 2 0 2 3 1 7 .
Recordando lo estudiado en el cap´ıtulo 4, como el sistema inducido por la matriz A tiene 3 ecuaciones y 4 inc´ognitas, el sistema homog´eneo tiene infinidad de soluciones. Por lo que el conjuntoSes linealmente dependiente y no es una base. Sin embargo el conjuntoS es un conjunto de generadores
como veremos en el ejemplo siguiente. J
Ejemplo 7.29. Para la matrizA= 1 1 1 2 1 0 2 0 2 3 1 7 .
Encontrar bases para los espacios ER(A), EN(A) y EC(A).
Soluci´on I
LLevamos a la matriz A mediante las operaciones elementales R2 →
R2−R1, R3→R3−2R1, R3→R3+R2, R2 →R2+ 2R3 R1 →R1−2R3,
R2 → −R2, R1 →R1−R2 a su forma reducida R. Tenemos
R= 1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 . 1. ER(A)
Sabemos que ER(A) est´a generado por los renglones distintos de R, por lo que
ER(A) ={[x1, x2, x3, x4]∈M4×1(R) ; [x1, x2, x3, x4] =
r[1,0,2,0] +s[0,1,−1,0] +t[0,0,0,1];r, s, t∈R}.
2. EC(A)
Sabemos que EC(A) est´a generado por los vectores columna de A
correspondientes a las columnas de R donde est´an los pivotes de R. por lo que,
EC(A) = x1 x2 x3 ∈M3×1(R) ; x1 x2 x3 =r 1 1 2 +s 1 0 3 +t 2 0 7 ;r, s, t∈(R)
Observe que nos basta para generar R3 las dos primeras y la cuarta columna de A. Esto prueba que las columnas deA es un conjunto de generadores para R3.
3. EN(A)
Para encontrar EN(A), recuperamos el sistema homog´eneo inducido por R,
x1 + 2x3 = 0
x2 − x3 = 0
x4 = 0
Este sistema tiene infinidad de soluciones,x3es una variable par´ametro,
x1 =−2x3 x2 = x3 x4 = 0 haciendox3=t, EN(A) = x1 x2 x3 x4 ∈M4×1(R) ; x1 x2 x3 x4 =t −2 1 1 0 ;t∈(R) J Observaci´on 7.10.
De los ejemplos, se puede observar que para un espacio vectorial real V no nulo:
• Existen conjuntos de generadores diferentes y que adem´as, el n´umero de elementos en ellos puede variar.
conservando la propiedad de que el conjunto obtenido siguiera siendo un conjunto de generadores.
Cuando el conjunto de generadores es una base no puede reducirse el n´umero de sus elementos si se quiere conservar la propiedad de que genere. En este sentido decimos que una base es un conjunto m´ınimo de generadores.
• Existen conjuntos de vectores que son linealmente independientes, con un n´umero distinto de elementos, por ejemplo, un conjunto con un vector no nulo es siempre linealmente independiente. Dada una base, el n´umero de vectores en ella no puede aumentarse sin perder la propiedad de ser linealmente independientes. En este sentido decimos que una base es un conjunto m´aximo linealmente independiente.
Convenci´on. La base para el espacio vectorial nulo, V ={0V} es el
conjunto ∅.
7.2.4 Dimensi´on de un espacio vectorial
En todos los ejemplos vistos encontramos que el n´umero de elementos de la baseB dada es finito.
Un teorema importante del ´algebra lineal establece que, dado un espacio vectorial, siempre tiene una base y que el n´umero de elementos de una base es un invariante. Cualesquiera bases dadas, como conjuntos, pueden ser diferentes, pero el n´umero de los elementos en cada una de ellas, siempre es el mismo.
Definici´on 7.13: Dimensi´on de un espacio vectorial SeaV un espacio vectorial real y sea B una base paraV.
Ladimensi´on de V es el n´umero de elementos en cualquier base y se denota por dimV.
• Si el n´umero de elementos de la baseBes finito, supongamos que | B |= n, con n ∈ N, decimos que el espacio vectorial V es de dimensi´on finitay escribimos dimV =n.
• Si el n´umero de elementos de la base B es infinito, decimos que el espacio vectorial V es de dimensi´on infinita y escribimos dimV =∞.
La dimensi´on del espacio vectorial nulo, V = {0V} es igual a cero.
dim{0V}= 0.
Observaci´on. El lector se ha dado cuenta que en todos los casos en los que hemos trabajado, hemos consideradoespacios vectoriales de dimensi´on finita. Ejemplo 7.30. 1. La dimensi´on deR2 es igual a 2. 2. La dimensi´on deR3 es igual a 3. 3. La dimensi´on deRn es igual a n. 4. La dimensi´on deM2×2(R) es igual a 4. 5. La dimensi´on deM3×3(R) es igual a 9. 6. La dimensi´on deMm×n(R) es igual a mn. 7. La dimensi´on deMn×n(R) es igual a n2.
8. En el ejemplo ??, encontramos bases para cada uno de los espacios
ER(A), EC(A) y EN(A),por lo que sus dimensiones son:
dim ER(A) = 3,dim EC(A) = 3 y dim EN(A) = 1.
Para una matriz A ∈Mm×n(R), el n´umero de los elementos de la base de EN(A) y el n´umero de los elementos de la base de EC(A) reciben un nombre.
Definici´on 7.14: Nulidad de una matriz A∈Mm×n(R)
Para una matriz A∈Mm×n(R),lanulidad de A es la dimensi´on del espacio EN(A).
Definici´on 7.15: Rango de una matriz A∈Mm×n(R)
Para una matriz A ∈ Mm×n(R), el rango de A es la dimensi´on del espacio EC(A).
De la Observaci´on??, en la secci´on 6.1.3 sobre el espacio rengl´on de una matrizA y, de la definici´on de dimensi´on de un subespacio, tenemos que,
dim EC(A) =dim ER(A).
Teorema 7.1 (Teorema del rango o de la Dimensi´on). Para una matriz A∈Mm×n(R),se cumple que:
dimEN(A) + dimEC(A) = n
nulidadA + rangoA = n.
Observaci´on. Para una matriz A ∈ Mm×n(R), consideramos el sis-tema AX =b. Para resolverlo por cualquiera de los m´etodos de elimi-naci´on llevamos a A a una matriz R que est´a escalonada (escalonada reducida) por filas.
En el cap´ıtulo de sistemas de ecuaciones lineales, llamamos rango A al n´umero de renglones distintos de cero en la matriz R, que son los renglones de R en donde aparecen las variables pivotes, eso es porque el n´umero de pivotes deR nos da la dimensi´on deEC(A) como hemos visto.
Por otro lado, el conjunto soluci´on de del sistema homog´eneoAX = 0n×1, que es EN(A) est´a generado por sus sistema fundamental de soluciones, el n´umero de vectores en este conjunto, queda determinado
por el n´umero de variables par´ametro, el cual como hemos visto nos da la dimensi´on de EN(A).
Es por ello que
rango de A+nulidad de A=
n´umero de variables pivote + n´umero de variables par´ametro = n´umero de variables en el sistema.
Es decir, el Teorema del Rango fue establecido informalmente en el cap´ıtulo 4.
7.2.5 Ejercicios
1. Verifique queRn es un espacio vectorial.
2. Determine si el conjunto W ∈ M1×2(R) tal que W = {[x1, x2] ∈
M1×2(R) ; 2x1 −3x2 = 0} es un subespacio. Haga un dibujo de los elementos de W.
3. Determine si el conjunto W ∈ M1×2(R) tal que W = {[x1, x2] ∈
M1×2(R) ; 2x1 −3x2 = 3} es un subespacio. Haga un dibujo de los elementos de W.
4. Determine si el conjunto W ∈ M1×3(R) tal que W = {[x1, x2, x3] ∈
M1×3(R) ; 2x1+ 3x2+ 5x3= 0}es un subespacio.
5. Determine si el conjunto W ∈ M1×3(R) tal que W = {[x1, x2, x3] ∈
M1×3(R) ;−x1+ 2x2+X3 = 5} es un subespacio.
6. En el espacio de matrices Mn×n(R), determine si el conjunto W que
consta de todas las matrices invertibles es un subespacio.
7. Compruebe que los siguientes conjuntos de vectores generan el mismo subespacio de M1×3(R).
S ={[2,−2,4],[6,0,2]}yT ={[−2,−4,6],[6,6, ,−8]}.
8. Determine si el vector [−4,6,8] pertenece al subespacio generado por el conjunto S del ejercicio anterior.
9. Para cada uno de los siguientes conjuntos determine si es un conjunto linealmente independiente o linealmente dependiente.
(b) T ={[−1,−1,−1],[−2,−3,−2],[−1,−1 2,5]}.
10. Determine los valores de λ para los cuales el conjunto de vectores siguiente es linealmente independiente o linealmente dependiente.
S ={[3,−1, λ],[−2,1,−2],[−1,6,3]} 11. Para cada una de las siguientes matrices.
(a) 0 1 0 0 0 3 −1 1 2 −1 (b) 3 1 0 1 3 0 0 0 3 (c) 2 5 0 1 1 3 1 2 2 0 3 3
i. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a ER(A).
ii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a EC(A).
iii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a EN(A).
iv. Determine una base paraER(A) y de su dimensi´on. v. Determine una base paraEN(A) y de su dimensi´on. vi. Determine una base paraEC(A) y de su dimensi´on.
vii. Compruebe el Teorema del rango para lanulidady elrango
de la matriz A. 12. ParaA= 0 −1 1 0 ,sea W ={B∈M2×2(R);BA=AB}. Muestre que W es un subespacio y encuentre una base para W.