Muestreo en Auditoría

Muestreo en

Auditoría

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MUESTREO EN AUDITORIA 1 PARTE:

CONSIDERACIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS SOBRE MUESTREO EN AUDITORÍA

1.1 Unidad

Consideraciones básicas y conceptos sobre muestreo en auditoría ... 3

1.1.1 Algunas consideraciones básicas ... 3

1.1.2 Conceptos sobre el muestreo de auditoría ... 5

2 PARTE: MUESTREO PARA PRUEBAS SUSTANTIVAS DE CUMPLIMIENTO Y PRUEBAS SUSTANTIVAS DE DETALLE 2.1 Unidad: Temas básicos de estadísticas enfocados a muestreo de auditoría ... 20

2.1.1 Distribuciones de frecuencia ... 20

2.1.2 Principales medidas estadisticas y de dispersión ... 27

2.1.3 Regresión y Correlación ... 30

2.2 Unidad: Muestreo para pruebas de cumplimiento ... 34

2.2.1 Consideraciones Generales ... 34

2.2.2 Muestreo estadístico de atributos ... 47

2.2.3 Muestreo no estadístico de atributos ... 57

2.2.4 Manejo de sotware para determinación de muestras aleatorias ... 60

2.3 Unidad Muestreo de auditoría para pruebas sustantivas de detalle ... 61

2.3.1 Consideraciones generales ... 61

2.3.2 Muestreo proporcionado al tamaño ... 70

2.3.3 Muestreo clásico de variables ... 79

2.3.4 Muestreo no estadístico de variables ... 93

1 PARTE: CONSIDERACIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS SOBRE MUESTREO EN AUDITORÌA

1.1 Unidad: Consideraciones básicas y conceptos sobre muestreo en auditoría

1.1.1 Algunas consideraciones básicas

Al llevar a cabo una auditoría el auditor obtiene evidencia suficiente y confiable que le de una base razonable para emitir su opinión. El muestreo se utiliza muchas veces para obtener evidencia de auditoría. Sin embargo, el concepto de evidencia en auditoría abarca muchas cosas más que el muestreo de auditoría, el cual es sólo una técnica más de auditoría.

1.1.1.1 ¿Cuál es el rol de la auditoría gubernamental en el control externo posterior?

El Sistema de Control Externo Posterior, como componente del Sistema de Control Gubernamental, se ejecuta por medio de la auditoría externa de las operaciones ya ejecutadas.

El rol de la auditoría gubernamental es obtener evidencia suficiente y válida dentro de la planificación y ejecución del trabajo de campo de auditoría para informar acerca del nivel de correspondencia entre la información auditada y el sensor establecido. (Normas de auditoría gubernamental, NIA´s, políticas de control interno, etc.)

Las Normas de Auditoría Gubernamental definen a la auditoria como la acumulación y evaluación objetiva de evidencia para establecer e informar sobre el grado de correspondencia entre la información examinada y criterios establecidos.

La Auditoría Gubernamental se practica a todas las entidades públicas comprendidas en los artículos 3 y 4 de la Ley 1178, de Administración y Control Gubernamentales, promulgada el 20 de julio de 1990 y es ejecutada por:

• La Contraloría General de la República

• Unidades de auditoría interna de las entidades públicas

• Profesionales o firmas de auditoría o consultoría especializada (cuando realizan auditoría a entidades del sector público)

Cuando cualquiera de estas entidades ejecutan tareas de auditoría en el sector público, se los denomina auditores gubernamentales y deben aplicar las Normas de Auditoría Gubernamental.

1.1.1.1.1 ¿Cuál es la característica principal de la Auditoría Gubernamental?

La Ley N° 1178, en sus artículos 15°, para el caso de la Auditoría Interna al ejercer el Control Interno Posterior, y 16° para el caso de la Auditoría Externa al ejercer el Control Externo Posterior, contempla el carácter de independencia e imparcialidad que debe adoptar la Auditoría Gubernamental debido a que las personas e instituciones que lo ejecutan deben estar libres de compromisos y de ideas preconcebidas para tener una

actitud mental independiente, evaluando hechos y circunstancias tal como se presentan, comparados con criterios preestablecidos.

La independencia permite al auditor actuar con absoluta libertad en la emisión de su juicio profesional, por lo que debe estar libre de cualquier condicionante interno o externo que pueda comprometer su percepción u opinión.

1.1.1.1.2 ¿Qué establecen las Normas de Auditoría Gubernamental, respecto a la ejecución del trabajo?

La Norma de Auditoría Gubernamental N° 218 Ejecución menciona que: “Cualquiera sea el objeto del examen y tipo de auditoría a ejecutarse, la misma debe ser planificada y supervisada; estar acompañada de evidencia; y sus resultados deben ser comunicados en forma escrita”. Para esto se debe aplicar la Norma de Auditoría específica para cada caso.

Las Normas Específicas de Auditoría Gubernamental números 224, 234, 244, 254, 264 y 274, hacen referencia a la evidencia, como la cuarta Norma que se debe cumplir en cualquier trabajo de auditoría.

El auditor gubernamental debe obtener la evidencia necesaria que se ajuste a la naturaleza y objetivos del examen, mediante la aplicación de pruebas de cumplimiento y sustantivas que le permitan fundamentar razonablemente los juicios y conclusiones respecto a la entidad auditada.

1.1.1.2 ¿Qué son los universos contables?

En la revisión de estados financieros, los universos contables son muy distintos a los universos clásicos, ya que los universos contables están muy estructurados. La composición de todos los universos contables se conoce o se puede determinar. Por otro lado, se considera que todas las partidas que los conforman se pueden medir. El muestreo se utiliza como una técnica para ayudar a confirmar estas características y no como un medio para determinarlas.

1.1.1.3 ¿Cuál es el propósito por el cual el auditor realiza pruebas?

Las pruebas de una muestra de transacciones o de las partidas incluidas en los saldos de las cuentas pueden ser realizadas tanto para comprobar el cumplimiento de procedimientos seleccionados de control, como para obtener evidencia sustantiva.

El propósito por el cual el auditor realiza pruebas de partidas seleccionadas (ya sea para probar el cumplimiento de controles, para obtener evidencia sustantiva o para ambos) tiene influencia sobre la selección de las partidas a analizar. Ahora, la revisión de operaciones como prueba de cumplimiento brinda, frecuentemente evidencia sustantiva sobre las transacciones probadas. En forma similar, las pruebas específicas con propósitos sustantivos también podría brindar evidencia sobre si los registros contables son aptos para producir información financiera confiable. Por lo tanto, la clasificación de cada uno de los procedimientos en uno de los tipos básicos no es absoluta.

La mayoría de las aplicaciones sobre un universo determinado no brindas información acerca de la posible subestimación del universo y esto es algo que preocupa a los expertos en estadística. Muy rara vez esto preocupa a los auditores, en parte, por la forma en que la partida doble interactúa en todos los universos contables y en parte porque el auditor confía en otra pruebas para satisfacerse que no existen subestimaciones. Por ejemplo, si se omitió registrar un desembolso de banco, las conciliaciones bancarias lo detectarán; Si los registros de venta no reflejan todas las operaciones de venta se descubrirán faltantes de existencias durante las pruebas de esa área. Lo importante es que en la mayoría de las aplicaciones de muestreo, el auditor quiere estar seguro que lo que se incluye en el universo que se está probando, es adecuado.

Para cubrir cualquier subestimación el auditor utiliza otras pruebas sobre universos complementarios (Por ejemplo una muestra de saldos de cuentas por cobrar puede dar información sobre la integridad de los asientos de ventas)

1.1.1.4 ¿Qué son y como se usan las pruebas sustantivas y pruebas de

cumplimiento?

Las pruebas de cumplimiento proporcionan a los auditores evidencia sobre si los controles prescritos se aplican y operan en forma efectiva. Los resultados de estas pruebas ayudan a los auditores a evaluar la posibilidad de que hayan ocurrido errores materiales. Las pruebas sustantivas, por otra parte, están diseñadas para detectar errores materiales, en caso de que estos existan en los estados financieros.

De acuerdo al enfoque de auditoría uno de estos tipos es más utilizado en la revisión. Sin embargo en ningún caso se omite el uso de ambos. Es así que si el enfoque de auditoría es “de confianza”, las pruebas de cumplimiento son mayores que las sustantivas; En cambio, cuando el enfoque de auditoría es “de no confianza”, las pruebas sustantivas son más abundantes que las de cumplimiento.

1.1.1.5 El muestreo como una técnica de auditoría

Los planes de muestreo sólidamente desarrollados son técnicas de auditoría muy útiles; pero el diseño técnico y los requisitos de implantación de tales planes y el análisis matemático de los resultados no debe resultar en detrimento de juicios cuidadosamente considerados con respecto a la suficiencia de la evidencia que se obtuvo y al significado real de los resultados de la prueba.

Como se indicó anteriormente, el muestreo de auditoría es sólo una técnica que el auditor puede usa para obtener evidencia que le dé mayor satisfacción de auditoría. No es la única técnica disponible para el auditor ni tampoco es la única fuente de evidencia, cuando se la utiliza, del saldo de una cuenta o tipo de transacción

1.1.2 Conceptos sobre el muestreo de auditoría

Cada aplicación de muestreo debe ser establecida teniendo en cuenta las siguientes preguntas:

- ¿Qué queremos conseguir? (Objetivos de la prueba)

- ¿Cuál es la relación del procedimiento con los otros procedimientos de auditoría y cuál el grado de satisfacción conjunta que podemos lograr?

- ¿Qué es lo que abarcará la muestra? (Definición del universo y de la unidad de muestreo)

- ¿Cómo se realizará el muestreo? (El método de selección, muestreo estadístico o no estadístico)

- ¿Cuánto se incluirá en el muestreo? (Tamaño de la muestra)

- ¿Qué significan los resultados? (evaluación e interpretación)

1.1.2.1 ¿Cuáles son los objetivos del muestreo de auditoría?

Los objetivos del muestreo de auditoría son:

a. Obtener evidencia del cumplimiento de los procedimientos de control establecidos b. Obtener evidencia directa sobre la veracidad de las operaciones y de los saldos

que se incluyen en los registros contables.

En muchas aplicaciones de muestreo se obtendrá evidencia de ambos. La evidencia conseguida de las pruebas en donde se use muestreo de auditoría se considera junto a la evidencia que se obtenga de otras fuentes, para llegar a una conclusión sobre el saldo de una cuenta o un tipo de operaciones

En términos generales, el auditor puede utilizar dos tipos básicos de muestreo: El muestreo de atributos y el muestreo de variables.

a. El muestreo de atributos se utiliza para estimar la tasa de ocurrencia (o no ocurrencia) de un evento o circunstancia determinada dentro de un universo. En términos de auditoría, los atributos probados son generalmente procedimientos prescriptos por la gerencia para asegurar un nivel adecuado de control interno contable. Por su naturaleza, se espera que los procedimientos de control interno funcionen de la misma forma para operaciones de cualquier tamaño a menos que, por definición del sistema, se requiera procesar de otra manera operaciones de cierto tipo o tamaño. En las pruebas de cumplimiento, la evidencia de in atributo o control o está presente o no lo esta. Por lo tanto, generalmente no se atribuye ninguna cantidad monetaria a los resultados de un plan de muestreo de atributos. b. El muestreo de variables se utiliza para estimar o probar una cantidad monetaria.

Este muestreo trata de contestar a la pregunta “cuánto” mas que a “con qué frecuencia”, a la cual está dirigida el muestreo de atributos. La Principal utilidad del muestreo de variables es en las pruebas sustantivas, para determinar la razonabilidad de los saldos registrados.

1.1.2.2 ¿Cuál la relación con otros procedimientos?

La naturaleza, alcance y oportunidad (NAO) de los procedimientos de auditoría que se deberían llevar a cabo dependen de la evaluación del riesgo de auditoría. Cuando el plan de auditoría incluye una prueba de detalle de una muestra representativa de partidas, el

auditor debe considerar la relación entre la satisfacción de auditoría a obtener de la muestra y la que se obtenga de otras fuentes.

El objetivo de la prueba afecta la elección del método de muestreo. El grado de satisfacción de auditoría que se deba obtener influye en el alcance de la muestra, sobre todo debido al riesgo de muestreo

Riesgo de muestreo

Es el riesgo de que la muestra no sea representativa del universo del cual se tomó y, como consecuencia, el auditor saque conclusiones incorrectas de los resultados de la muestra. Este riesgo tiene dos aspectos. El primero es el riesgo de rechazo incorrecto; esto significa que el auditor concluya que no se puede confiar en los controles o que el saldo de una cuenta no es razonable cuando, en realidad, los controles si son confiables o el saldo de la cuenta es razonable

El segundo aspecto es el riesgo de aceptación incorrecta. Este es el riesgo de que el auditor llegue a la conclusión de que se puede confiar en los controles o que el saldo de una cuenta es razonable, cuando los controles no son confiables en la medida esperada o cuando el saldo no es razonable.

El auditor debe considerar el riesgo de muestreo en el diseño de cada plan de muestreo, por tanto, el auditor debe:

a. diseñar el plan de muestreo de forma que produzca una muestra de tamaño suficiente, y

b. utilizar un método de selección que produzca una muestra que sea representativa del universo y que responda a los objetivos del auditor

1.1.2.3 ¿Qué es el universo en muestreo de auditoría?

La definición del universo es el paso que sigue directamente a la determinación del objetivo de la prueba. Por ejemplo, si el objetivo de la prueba es determinar el nivel de cumplimiento de los procedimientos prescriptos para autorizar los comprobantes, el universo estará formado por todos los comprobantes emitidos durante el periodo de prueba. Asimismo, si el objetivo de una prueba es determinar la razonabilidad de las cuentas por cobrar a una fecha determinada, el universo se definiría como todas las partidas que integran el total de cuentas por cobrar a esa fecha.

1.1.2.4 ¿Qué es la unidad de muestreo?

La unidad de muestreo se define como los elementos individuales que forman el universo, y puede consistir en documentos, asientos, partidas, etc. En los ejemplos anteriores, cada comprobante representaría una unidad de muestreo para la prueba de cumplimiento, y cada saldo de clientes, factura o partida individual por cobrar podría representar una unidad de muestreo para la prueba sustantiva

1.1.2.5 ¿Cuáles son los métodos usuales para seleccionar muestras?

La selección de la muestra se debe llevar a cabo utilizando partidas adecuadas para el objetivo de la prueba. Por ejemplo, si el objetivo de la prueba es comprobar si se han facturado todas las entregas de bienes, no tiene sentido usar las facturas como documentos fuente. Por el contrario, la selección se debe hacer de otros registros de los bienes enviados (por ejemplo, notas de expedición).

Los métodos pueden clasificarse en métodos de muestreo por probabilidades y métodos de muestreo basados en el criterio. Los métodos de muestreo por probabilidades pueden utilizarse tanto en el muestreo estadístico como en el no estadístico. Los métodos basados en el criterio pueden utilizarse solamente en el muestreo no estadístico.

1.1.2.5.1 Muestreo por probabilidades

Requiere que todas las unidades de muestreo del universo tengan una probabilidad conocida de ser seleccionada (aunque no todas tengan el mismo grado de probabilidad). A continuación se explican los métodos más comunes de muestreo por probabilidades: Muestreo de números al azar ilimitado

En este método todas las unidades del universo y todas las combinaciones de unidades de muestreo tienen la misma posibilidad de ser seleccionadas. Para llevar a cabo el muestreo de números al azar, el auditor:

- Determina el tamaño necesario de la muestra

- Genera suficientes números al azar de una secuencia de números que por lo menos sea igual al número de unidades de muestreo del universo, y

- Relaciona los números al azar con unidades de muestreo específicas del universo

Para este fin se pueden utilizar tablas de números aleatorios (Ver tema 2.2.4.2)

El muestreo de números al azar a partir de una secuencia controlada numéricamente ofrece la misma probabilidad de selección a todas las partidas de la secuencia, independientemente de su valor monetario. Por lo tanto, el valor monetario total de las partidas incluidas en la muestra puede resultar insuficiente para el propósito del auditor. Cuando el valor monetario total de las partidas incluidas en la muestra es un aspecto importante, se puede estratificar el universo de manera que la prueba incluya las partidas de mayor valor monetario

Muestreo sistemático de probabilidades

Se refiere a la selección de una muestra en base a uno o más intervalos uniformes de muestreo. Un intervalo uniforme se determina dividiendo el número de partidas del universo por el tamaño deseado de la muestra. Se selecciona un punto de partida al azar,

puede obtener usando una tabla de números aleatorios. Una partida de la muestra se selecciona en el punto inicial y de ahí en adelante en cada intervalo uniforme a lo largo de todo el universo. Por ejemplo supongamos que queremos seleccionar una muestra de 100 elementos de 30.000 líneas del mayor de cuentas por cobrar. Se determina que el intervalo uniforme es 300(30.000/100) y se selecciona un punto de inicio al azar entre 1 y 300 inclusive. Entonces el auditor selecciona la partida correspondiente al punto inicial y cada 300 partidas de ahí en adelante.

Debido a que el punto inicial se selecciona al azar, el método sistemático permite que todas las unidades de muestreo del universo tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas. Sin embargo, no le da a todas las combinaciones posibles de unidades de muestreo la misma probabilidad de ser seleccionadas, por lo que difiere de una muestra de números al azar. Debido a esta diferencia el muestreo sistemático sólo se debe utilizar cuando se espera que los atributos que se están comprobando estén distribuidos al azar en el universo. Un ejemplo de un universo que no está ordenado al azar es una planilla de sueldos en una empresa constructora cuando está organizada por equipos; cada equipo tiene1 supervisor y 9 trabajadores por ejemplo. En estas circunstancias, una selección de cada décimo empleado incluirá sólo supervisores o ninguno, dependiendo del punto de partida.

Cuando se usa el muestreo sistemático de probabilidades, el uso de puntos iniciales al azar múltiples puede reducir la posibilidad de que se ignora un patrón en el universo. Desde cada punto de inicio escogido al azar, se suma el intervalo. Por ejemplo 300, según el ejemplo anterior.

Muestreo por grupos

El muestreo por grupos se refiere a la selección al azar de varios grupos de unidades contiguas de muestreo. Por ejemplo, al seleccionar una muestra de 100 partidas, el auditor puede seleccionar 20 partidas al azar y tomar las 4 partidas contiguas a cada partida seleccionada (5 en total). Una ventaja potencial de este método es que puede reducir el tiempo que se necesita para seleccionar la muestra. La desventaja es que se aumenta considerablemente el tamaño de la muestra necesaria para asegurar que es una muestra representativa. Por lo general no se utiliza el muestreo por grupos.

1.1.2.6 ¿Qué otros métodos de selección de muestras existen?

Muestreo basado en el criterio

En oposición al muestro de probabilidades, la probabilidad de incluir cualquier partida en particular en una muestra basada en el criterio no es conocida o determinable. En consecuencia, los resultados de las muestras seleccionadas mediante este método no deben ser evaluados estadísticamente.

El auditor debe tratar de evitar la introducción de prejuicios en la muestra seleccionada. Los métodos por probabilidades al azar o de otro tipo están diseñados para excluir prejuicios no deseados, y por lo general, son preferibles cuando se pueden aplicar en forma eficiente.

Existen varios métodos de selección de muestras basados en el criterio. Algunos son: a) Muestreo por selección específica.- Confía en el criterio del auditor. Por ejemplo,

al llevar a cabo pruebas para verificar las partidas del recuento físico de existencias, el auditor incluirá partidas con saldos grandes, mediano y más pequeños, partidas de distinto tipo, partidas de diferentes ubicaciones físicas y partidas contadas por diferentes equipos de recuento del cliente a fin de que la muestra sea representativa del universo. Sin embargo, es importante que el auditor no sea influenciado por la conveniencia o inconveniencia de comprobar algunas partidas en particular.

b) Muestreo Casual.- Es un intento de obtener una simulación de muestreo al azar. El nombre no significa ni insinúa descuido. En la selección de las muestras, el auditor elige partidas del universo sin tomar en cuenta el tamaño, fuente u otras características distintivas. Al utilizar el muestreo casual el auditor debe evitar distorsionar la muestra seleccionando solamente, por ejemplo, partidas inusuales o físicamente pequeñas u omitiendo intencionalmente ciertas partidas, tales como la primera o la última del universo.

c) Muestreo sistemático de criterio.- Este método es similar al método de probabilidades mencionado anteriormente, excepto que no es imprescindible, aunque si conveniente, un punto inicial al azar. Este método podría ser usado cuando el intervalo entre las unidades de muestreo es grande y se necesitan contar los registros del cliente para localizar cada partida a incluir. Por ejemplo, suponga que se llevan registros de 10.000 partidas de existencias por número de partidas y que cada página del listado contiene de 12 a 16 partidas, dependiendo de la información almacenada por cada `partida. El auditor puede hacer una selección sistemática basada en tomar la partida número X de cada tantas páginas, en lugar de cada partida, lo que sería necesario en el método de probabilidades.

Muestreo estratificado

Al desarrollar el plan de muestreo, el auditor debería considerar el uso de estratificación en relación con cualquiera de los métodos de selección de muestras que han sido tratados.

La estratificación requiere la división del universo en distintos subuniversos (estratos) en base a unidades relativamente homogéneas. Cada estrato, del cual se seleccionará una muestra, está sujeto a una selección y prueba independiente. Después de hacerse un calculo separado del porcentaje de desvío o error de cada estrato, los resultados de la prueba de cada estrato se combinan en una estimación global para todo el universo. Este tema se ampliará en el desarrollo del tema de muestreo para pruebas de cumplimiento. Muestreo a niveles múltiples

Este método permite una sucesión de distintas selecciones a varios niveles. Un ejemplo de este muestreo es seleccionar una muestra de localidades y después una muestra de

facturas de cada localidad seleccionada. Su objetivo es calcular los resultados para todo el grupo de localidades.

1.1.2.7 ¿Cuál es la relación del muestreo estadístico vs muestreo no estadístico?

Los auditores pueden utilizar métodos de muestreo estadístico o no estadístico para pruebas representativas. Ambos métodos se basan en la presunción de que una muestra revelará información suficiente acerca del universo en su conjunto, para permitir al auditor llegar a una conclusión sobre el universo. La diferencia entre los dos métodos es el grado de formalidad y estructura involucrado en la determinación del tamaño de la muestra, selección de la muestra y evaluación de los resultados.

Al escoger entre el muestreo estadístico y el no estadístico, el auditor debe considerar los objetivos de auditoría y la naturaleza del universo objeto de la muestra, como así también las ventajas y desventajas de cada método. La elección involucra, primordialmente, considerar el factor costo/beneficio en base a una comprensión de ambos métodos.

El muestreo estadístico le permite al auditor disminuir la incertidumbre derivada del muestreo, esto no sucede con el no estadístico. Conforme disminuye la proporción entre la muestra y el universo, los métodos estadísticos son más útiles para asegurar que se seleccionan muestras representativas y que se llega a conclusiones adecuadas. El muestreo estadístico es una forma de volver explícitas algunas consideraciones que están implícitas en el muestreo no estadístico. Al final, ambos están dirigidos hacia el logro del mismo resultado. El auditor aplicará su criterio profesional para evaluar la suficiencia y pertinencia de la evidencia de auditoría que se haya obtenido de la muestra, independientemente del método utilizado.

No es necesario, ni económicamente justificable, llevar a cabo todas las pruebas de auditoría sobre una base estadística. El muestreo no estadístico se puede utilizar cuando el auditor decida que el costo del muestreo estadístico excede los beneficios a obtener. El tamaño de la muestra no debe ser determinante en la decisión de elección entre el muestreo estadístico y el muestreo no estadístico.

La decisión sobre si usar o no un enfoque de muestreo estadístico o no estadístico es un asunto para juicio del auditor respecto de la manera más eficiente de obtener suficiente evidencia apropiada de auditoría en las circunstancias particulares. Por ejemplo, en el caso de pruebas de control, el análisis del auditor de la naturaleza y causa de errores a menudo será más importante que el análisis estadístico de simplemente la presencia o ausencia (o sea, el conteo) de errores. En tal situación, el muestreo no estadístico puede ser el más apropiado.

1.1.2.8 ¿Cuáles son las normas gubernamentales referidas a muestreo?

Aunque no existe una norma específica referida a muestreo, si se menciona este procedimiento en varias partes de dichas Normas. A continuación detallamos las normas y partes en donde se encuentran referencias al muestreo y su uso en la auditoría gubernamental:

Norma Gubernamental Inciso Texto 220 NORMAS DE

AUDITORÍA FINANCIERA

221 - Planificación

i) Muestreo. Para la obtención de las evidencias de auditoría, el auditor debe utilizar, en lo posible, métodos de muestreo estadístico.

224 - Evidencia a) Los papeles de trabajo deben contener:

a) los objetivos, alcance y procedimientos, incluyendo cualquier criterio de

muestreo utilizado. 230 NORMAS DE AUDITORÍA OPERACIONAL 235 Comunicación de resultados

e) e) la metodología, explicando claramente las técnicas empleadas para obtener y analizar la evidencia necesaria para alcanzar los objetivos de la auditoría. Esta explicación debe identificar cualquier supuesto significativo que se haya usado al ejecutar la auditoría; también debe describir las técnicas comparativas que se hayan aplicado, los criterios e indicadores que hayan sido utilizados, y cuando se hayan empleado métodos de muestreo, explicar la forma en que se ha diseñado la muestra y las razones para su selección.

250 NORMAS DE AUDITORÍA ESPECIAL

255 Comunicación de resultados

e) e) la metodología, explicando las técnicas y procedimientos empleados para la acumulación de evidencia y, de ser aplicables, los métodos de muestreo y los criterios de selección, así como el ordenamiento jurídico administrativo y otras normas legales aplicables y obligaciones contractuales consideradas. 260 NORMAS DE AUDITORÍA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN PÚBLICA 265 Comunicación de resultados

05 05. En la metodología se describen y explican las técnicas especializadas o de auditoría que permitieron el logro de los objetivos de la auditoría, y se enuncian los criterios e indicadores técnicos empleados en el desarrollo del examen realizado. Cuando se utilicen métodos de muestreo, se explicará la forma en que se diseñó la muestra y las razones para su selección.

1.1.2.9 ¿Cuál el contenido de la NIA 530 y su uso en muestreo de auditoría?

A continuación se expone un resumen de la NIA 530 “Muestreo En La Auditoria Y Otros Procedimientos de Pruebas Selectivas” a fin de exponer la perspectiva de la normativa internacional al respecto.

1.1.2.9.1 Introducción

El propósito de esta Norma Internacional de Auditoría (NIA) es establecer normas y proporcionar lineamientos sobre el uso de procedimientos de muestreo en la auditoría y otros medios de selección de partidas para reunir evidencia en la auditoría.

1.1.2.9.2 Definiciones

El "Muestreo en la auditoría" (muestreo) implica la aplicación de procedimientos de auditoría a menos de 100% de las partidas que integran el saldo de una cuenta o clase de transacciones de tal manera que todas las unidades del muestreo tengan una oportunidad de selección. Esto permitirá al auditor obtener y evaluar la evidencia de auditoría sobre alguna característica de las partidas seleccionadas para formar o ayudar en la formación de una conclusión concerniente al universo de la que se extrae la muestra. El muestreo en auditoría puede usar un enfoque estadístico o no estadístico.

Para fines de la NIA, "error" significa tanto desviaciones de control, cuando se desempeñan pruebas de control, o información errónea, cuando se aplican procedimientos sustantivos. De modo similar, error total se usa para definir la tasa de desviación o una información errónea total.

"Error anómalo" significa un error que surge de un suceso aislado que no es recurrente salvo en ocasiones identificables específicamente y, por tanto, no es representativo de errores en el universo.

"Universo" significa el conjunto total de datos de los que se selecciona una muestra y sobre los cuales el auditor desea extraer conclusiones. Por ejemplo, todas las partidas en el saldo de una cuenta o de una clase de transacciones constituyen un universo. Un universo puede dividirse en estratos, o sub-universos, siendo examinado cada estrato por separado.. El término universo se usa para incluir el término estrato.

El "riesgo en el muestreo" surge de la posibilidad de que la conclusión del auditor, basada en una muestra pueda ser diferente de la conclusión alcanzada si todo el universo se sometiera al mismo procedimiento de auditoría. Hay dos tipos de riesgo en el muestreo:

(a) el riesgo de que el auditor concluya, en el caso de una prueba de control, que el riesgo de control es más bajo de lo que realmente es, o en el caso de una prueba sustantiva, que no existe un error de importancia relativa cuando en verdad sí exista. Este tipo de riesgo altera la efectividad de la auditoría y es más probable que lleve a una opinión de auditoría inapropiada; y

(b) el riesgo de que el auditor concluya, en el caso de una prueba de control, que el riesgo de control es más alto de lo que realmente es, o en el caso de una prueba sustantiva, que existe un error de importancia relativa cuando de hecho no exista. Ese tipo de riesgo afecta la eficiencia de la auditoría ya que generalmente llevaría a realizar trabajo adicional para establecer que las conclusiones iniciales fueron incorrectas.

Los complementos matemáticos de estos riesgos son llamados niveles de confianza.

El "riesgo no proveniente de la muestra" surge de factores que causan que el auditor llegue a una conclusión errónea por cualquiera razón no relacionada al tamaño de la muestra. Por ejemplo, la mayor parte de la evidencia de auditoría es persuasiva más que

conclusiva, el auditor podría usar procedimientos inapropiados, o el auditor podría mal interpretar la evidencia y dejar de reconocer un error.

"Unidad de muestreo" significa las partidas individuales que constituyen un universo. Por ejemplo, cheques listados en talones de depósito, partidas de crédito en estados bancarios, facturas de ventas o saldos de deudores, o una unidad monetaria.

"Muestreo estadístico" significa cualquier enfoque al muestreo que tenga las siguientes características:

(a) selección al azar de una muestra; y

(b) uso de teoría de la probabilidad para evaluar los resultados de la muestra, incluyendo medición de riesgos de muestreo.

Un enfoque de muestreo que no tenga las características (a) y (b) se considera un muestreo no estadístico.

"Estratificación" es el proceso de dividir un universo en sub-universos, cada uno de los cuales es un grupo de unidades de muestreo que tienen características similares (a menudo, valor monetario).

"Error tolerable" significa el error máximo en un universo que el auditor está dispuesto a aceptar.

1.1.2.9.3 Muestreo en pruebas de control

El muestreo en la auditoría para pruebas de control es generalmente utilizado cuando el control deja evidencia de su aplicación (por ejemplo, iniciales del gerente de crédito en una factura de venta indicando aprobación del crédito, o evidencia de autorización de incorporación de información a un sistema de procesamiento de datos basado en una microcomputadora).

1.1.2.9.4 Muestreo en Procedimientos Sustantivos

Los procedimientos sustantivos están relacionados con montos y son de dos tipos: procedimientos analíticos y pruebas de detalle sobre transacciones y saldos. El propósito de los procedimientos sustantivos es obtener evidencia de auditoría para detectar errores importantes en los estados financieros. Cuando se llevan a cabo pruebas sustantivas de detalle, el muestreo en la auditoría y para seleccionar partidas y reunir evidencia de auditoría puede usarse para verificar una o más características sobre una cifra de los estados financieros (por ejemplo, la existencia de cuentas por cobrar), o para hacer una estimación de alguna partida en particular (por ejemplo, el importe de inventarios obsoletos).

1.1.2.9.5 Consideraciones del Riesgo al Obtener Evidencia

El riesgo de auditoría representa que el auditor emita una opinión inapropiada cuando los estados financieros contengan un error con importancia relativa. El riesgo de auditoría consiste en el riesgo inherente; riesgo de control; y el riesgo de detección.

El riesgo de muestreo y el riesgo no proveniente de muestreo pueden afectar los componentes del riesgo de auditoría. Por ejemplo, cuando se aplican pruebas de control, el auditor puede no encontrar errores en una muestra y concluir que el riesgo de control es bajo, o bien cuando la tasa de error en el universo es, inaceptablemente alta (riesgo del muestreo). También puede haber errores en la muestra, los cuales deja de reconocer el auditor (riesgo no proveniente de la muestra). Con respecto a procedimientos sustantivos, el auditor puede usar una variedad de métodos para reducir el riesgo de detección a un nivel aceptable. Dependiendo de su naturaleza, estos métodos estarán sujetos a riesgos de muestreo y/o riesgos no provenientes del muestreo. Por ejemplo, el auditor puede escoger un procedimiento analítico inapropiado (riesgo no atribuible al muestreo) o puede encontrar sólo errores menores en una prueba de detalle, cuando, en verdad, el error en el universo es mayor que la cantidad tolerable (riesgo del muestreo). Tanto para las pruebas de control como para las pruebas sustantivas, el riesgo de muestreo puede reducirse incrementando el tamaño de la muestra, mientras que el riesgo que no proviene del muestreo puede reducirse con la planeación, supervisión y revisión adecuadas del trabajo.

1.1.2.9.6 Diseño de la Muestra

Cuando se diseña una muestra de auditoría, el auditor deberá considerar los objetivos de la prueba y los atributos del universo de la que se extraerá la muestra.

El auditor debe considerar qué condiciones constituyen un error por referencia a los objetivos de la prueba. Por ejemplo, en un procedimiento sustantivo relacionado a la existencia de cuentas por cobrar, como la confirmación, los pagos hechos por el cliente antes de la fecha de confirmación, pero recibidos poco después de dicha fecha por el cliente no se consideran un error.

Cuando lleva a cabo pruebas de control, el auditor generalmente hace una evaluación preliminar de la tasa de error que espera encontrar en el universo que se somete a prueba y el nivel del riesgo de control. Esta evaluación se basa en el conocimiento previo del auditor o en el examen de un pequeño número de partidas del universo. De modo similar, para pruebas sustantivas, el auditor generalmente hace una evaluación preliminar del monto del error en el universo. Estas evaluaciones preliminares son útiles para diseñar una muestra de auditoría y determinar el tamaño de la muestra. Por ejemplo, si la tasa esperada de error es inaceptablemente alta, normalmente no se llevarán a cabo pruebas de control. Sin embargo, al llevar a cabo procedimientos sustantivos, si la cantidad esperada de error es alta, puede ser apropiado el examen de 100% o la revisión de una muestra bastante grande.

1.1.2.9.7 Estratificación

La eficiencia de la auditoría puede mejorarse si el auditor estratifica un universo dividiéndolo en sub-universos que tengan una característica de identificación. El objetivo de la estratificación es reducir la variabilidad de partidas dentro de cada estrato y por lo tanto permitir que se reduzca el tamaño de la muestra sin un incremento proporcional en el riesgo de muestreo. Los sub-universos necesitan ser cuidadosamente definidos de modo que cualquier unidad de muestreo pueda pertenecer solamente a un estrato.

Cuando se aplican procedimientos sustantivos, el saldo de una cuenta o clase de transacciones a menudo se estratifica por la importancia de su valor monetario. Esto permite que se dirija mayor esfuerzo de auditoría a las partidas de mayor valor que puedan contener el mayor potencial de error monetario. De modo similar, un universo puede ser estratificado de acuerdo a una característica particular que indique un riesgo más alto de error, por ejemplo, cuando se prueba la recuperación de cuentas por cobrar, los saldos pueden ser estratificados por antigüedad.

Los resultados de procedimientos aplicados a una muestra de partidas dentro de un estrato pueden sólo proyectarse a las partidas que constituyen ese estrato. Para llegar a una conclusión sobre el universo entero, el auditor necesitará considerar el riesgo y la importancia relativa en relación a cualquier otro estrato que constituyan el universo total. Por ejemplo, 20% de las partidas en un universo pueden constituir 90% del valor del saldo de cuenta. El auditor puede decidir examinar una muestra de dichas partidas. El auditor evalúa los resultados de esta muestra y llega a una conclusión sobre el 90% del valor independiente del restante 10% (sobre el cual se usará una muestra adicional u otros medios para reunir evidencia, o bien pueda considerarse de poca importancia relativa). 1.1.2.9.8 Tamaño de la Muestra

Al determinar el tamaño de la muestra, el auditor deberá considerar si el riesgo de muestreo se reduce a un nivel aceptablemente bajo. El tamaño de la muestra es afectado por el nivel del riesgo de muestreo que el auditor esté dispuesto a aceptar. Mientras más bajo el riesgo que esté dispuesto a aceptar el auditor, mayor necesitará ser el tamaño de la muestra.

El tamaño de la muestra puede determinarse por la aplicación de una fórmula basada estadísticamente o mediante el ejercicio de juicio profesional aplicado objetivamente a las circunstancias.

1.1.2.9.9 Selección de la Muestra

El auditor deberá seleccionar partidas para la muestra con la expectativa de que todas las unidades de muestreo en el universo tengan una oportunidad de selección. Dado que el propósito del muestreo es obtener conclusiones sobre el universo total, el auditor seleccionará una muestra representativa, la muestra necesitará ser seleccionada de modo que se evite la parcialidad.

En el caso de una prueba de controles, una tasa de error inesperadamente alta en la muestra puede llevar a un incremento en el nivel evaluado de riesgo de control, a menos que se obtenga evidencia adicional que soporte la evaluación inicial. En el caso de un procedimiento sustantivo, una cantidad inesperadamente alta de error en una muestra puede causar que el auditor estime que el saldo de cuenta o clase de transacciones contiene errores de importancia relativa.

Si la evaluación de los resultados de la muestra indica que la evaluación preliminar de la característica relevante del universo necesita revisarse, el auditor puede:

(a) pedir a la administración que investigue los errores identificados y el potencial de errores adicionales, y que registre los ajustes necesarios; y/o

(b) modificar los procedimientos de auditoría planeados. Por ejemplo, en el caso de una prueba de control, el auditor podría ampliar el tamaño de la muestra, probar un control alternativo o modificar los procedimientos sustantivos relacionados; y/o (c) considerar el efecto en la operación

La NIA 530 es efectiva para auditorías de estados financieros para periodos que terminen en o después de julio 1 de 1999. Se permite la aplicación antes de dicha fecha.

1.1.2.10 ¿De qué habla la SAS 39 “Muestreo de Auditoría”?

La “Declaración sobre normas de auditoría -SAS 39 “ da el concepto de muestreo de auditoría, indica los dos enfoques, ya mencionados, de muestreo en auditoría; el estadístico y no estadístico y habla del riesgo del muestreo de auditoría.

A continuación se exponen los conceptos más importantes y un resumen ejecutivo de la norma. (Se anexa una copia de la norma emitida por el comité ejecutivo de normas de auditoría AICPA)

1.1.2.10.1 Conceptos importantes

1.1.2.10.1.1 Definiciones

Muestreo = Aplicación de un procedimiento a menos del 100% Error = Error o irregularidades

Riesgo Máximo = Riesgo de error contable + Riesgo de detección

Los riesgos de error contable y riesgo de detección se reducen a través de pruebas en el control Interno y pruebas sustantivas. Por otro lado, el riesgo de muestreo es función del volumen de la muestra. Así tenemos que:

Si muestra < Entonces >Riesgo de muestreo

1.1.2.10.1.2 El riesgo de muestreo

1.1.2.10.1.3 Muestras de doble propósito Este tipo de muestras buscan verificar:

Procedimientos de control que se cumplen Que el importe monetario es correcto

1.1.2.10.2 Resumen ejecutivo de la norma SAS 39

1.1.2.10.2.1 El muestreo estadístico en la auditoría

El muestreo es la aplicación de un procedimiento de auditoría dentro de un saldo de cuenta o clase de transacciones con el propósito de evaluar alguna característica o clase.

Existen 2 enfoques de muestreo: estadístico y no estadístico, ambos proporcionan al auditor una medida de precisión confiable.

El muestreo estadístico esta permitido conforme a Normas de Auditoría Generalmente Aceptadas, la tercera norma relativa a la ejecución del trabajo establece que la evidencia debe ser comprobatoria, competente, y suficiente, la suficiencia esta relacionada entre otros factores con el diseño y tamaño de la muestra el cual depende tanto de los objetivos como de lo efectivo de la muestra (es decir lograr los mismos objetivos con un tamaño de muestra más pequeño). La elección de usar un enfoque o el otro no debería afectar la decisión del auditor sobre los procedimientos de auditoría a aplicar.

1.1.2.10.2.2 Incertidumbre y Riesgo Máximo

La SAS 39 hace referencia a la incertidumbre inherente en la aplicación de los procedimientos de auditoría como el riesgo máximo, éste es una combinación del riesgo que existe de que ocurran errores importantes en el proceso contable y el riesgo de que el auditor no los detecte, esta incertidumbre puede ser por factores diferentes al muestreo, como examinar la documentación y no detectar errores incluidos en dicha información o seleccionar procedimientos de auditoria no apropiados para lograr el objetivo específico, o el procedimiento de muestreo propiamente, el cual se da cuando una prueba sustantiva o

Tipos de riesgo Pensamos Es

ڿ Riesgo de aceptación incorrecta √ X

¥ Riesgo de rechazo incorrecto X √

Confío Es

ڿ Riesgo de sobreconfianza √ X

¥ Riesgo de poca confianza X √

¥= Se relaciona con la eficiencia de la auditoría

de cumplimiento se limita a una muestra, es decir entre más pequeño es el tamaño de la muestra, mayor es el riesgo de muestreo.

Los tipos de riesgo de muestreo son: Riesgo de aceptación incorrecta, riesgo de rechazo incorrecto, riesgo de sobre confianza sobre el control interno y riesgo de poca confianza sobre el control interno.

1.1.2.10.2.3 Muestreo en pruebas sustantivas de detalle

Al planear una muestra específica para una prueba sustantiva de detalle se debe considerar:

• La relación de la muestra con el objetivo relacionado de auditoría

• Estimaciones preliminares de niveles de importancia (error tolerable)

• El riesgo permisible del auditor de aceptación incorrecta

• Características del universo (Todas las partidas en el universo deben tener la oportunidad de ser seleccionadas dentro de la muestra).

Finalmente para determinar el número de partidas que se seleccionarán en una muestra para una prueba sustantiva particular de detalle, el auditor además de considerar los puntos citados anteriormente debe aplicar su criterio para relacionar estos factores con el objeto de determinar el tamaño de muestra apropiado.

Una vez elegida la muestra, los procedimientos de auditoría deben aplicarse a cada partida de la muestra, si hubieran partidas no examinadas por diversos motivos el auditor debe considerar procedimientos supletorios si es que el saldo o clase dio error en forma considerable, o reconsiderar la evaluación inicial de la confianza que se tenía en el control interno.

1.1.2.10.2.4 Muestreo en pruebas de cumplimiento de los controles internos

Al efectuar la planeación de una muestra de auditoria específica para una prueba de cumplimiento el auditor debe considerar:

• La relación de la muestra con el objetivo de la prueba de cumplimiento (considerando que el muestreo generalmente no es aplicable a pruebas de cumplimiento porque éstas dependen principalmente de la segregación de funciones o no proporcionan evidencia documental de desarrollo)

• El porcentaje máximo tolerable de desviaciones de los procedimientos prescritos de control que soportarían su confianza planeada

• El riesgo permisible del auditor de sobre confianza

• Características del universo (Todas las partidas en el universo deben tener la oportunidad de ser seleccionadas dentro de la muestra).

Una vez elegida la muestra, los procedimientos de auditoría deben aplicarse a cada partida de la muestra, si hubieran partidas no examinadas, se debe usar procedimientos supletorios y considerar las razones para esta limitación especialmente de aquellas partidas seleccionadas como desviaciones de los procedimientos.

Finalmente si el auditor concluye que los resultados de la muestra no soportan el grado planeado de confianza en el procedimiento de control, deberían alterarse las pruebas sustantivas planeadas.

1.1.2.10.2.5 Muestras de doble propósito

El auditor puede diseñar una muestra que se utilizará para dos propósitos: probar el cumplimiento con un procedimiento de control que proporciona evidencia documental del desarrollo y probar si el importe monetario registrado de las transacciones es correcto. El tamaño de una muestra diseñada para un propósito doble debe ser la mayor de las muestras como si se hubieran elegido por separado y su evaluación debe ser independiente uno del otro.

1.1.2.10.2.6 Selección de enfoque de muestreo

El muestreo estadístico ayuda al auditor a cuantificar el riesgo de muestreo y limitarlo a un nivel que el considere aceptable, le permite además diseñar una muestra eficiente, medir la suficiencia de la evidencia, y evaluar los resultados de la muestra.

El muestreo no estadístico permite al auditor diseñar muestras individuales para cumplir los requisitos estadísticos y seleccionar las partidas que van a examinarse, este muestreo incluye costos adicionales de entrenamiento a auditores.

Ambos enfoques si se aplican apropiadamente podrían proporcionar al auditor suficiente evidencia comprobatoria.

2 PARTE: MUESTREO PARA PRUEBAS SUSTANTIVAS DE CUMPLIMIENTO Y

PRUEBAS SUSTANTIVAS DE DETALLE

2.1 Unidad: Temas básicos de estadística enfocados a muestreo de auditoría

2.1.1 Distribuciones de frecuencia

2.1.1.1 ¿Qué son las distribuciones de frecuencia simples?

Una distribución de frecuencia es un resumen de varios datos para facilitar su lectura. Nos ayudan a indicar el número de veces que parece repetido cada valor de una variable.

Estas distribuciones pueden presentarse en:

Series Simples

Distribuciones de frecuencia con valores puntuales

Ejemplo 1 : Entregas con cargo a rendición de cuentas (Bs)

X: Entregas con cargo a rendición de cuentas

5200

6580

4400

Ejemplo 2: Edades de los hijos de Lucy

X: Edades de los hijos de Lucy

3

6

18

Ejemplo 3: Nombres de los asistentes a un curso de magia intergaláctica

X: Casimiro

Inspigan

Gualberto

2.1.1.2 ¿Qué son las distribuciones de frecuencia con valores puntuales?

Este tipo de distribución nos ayuda a indicar el número de veces que se repite la variable. Ejemplo 1: Nº de llamadas de atención a los empleados de una entidad en la gestión 2003

X Número de empleados Comentarios:

0 30 La variable tiene 6 valores

1 20

2 30

3 25 4 15

El número de empleados indica el número de veces que se repite cada valor de la variable. En este sentido, vemos en la 3ra fila que 30 empleados tuvieron 2 llamadas de atención en la gestión 2003

5 10

n= 130

Esta columna se denomina "columna de las frecuencias absolutas simples"

Ejemplo 2: Número de veces que un estudiante del curso de muestreo en auditoría hace fiesta en una semana

X Número de estudiantes 0 5 Comentarios: 1 6

2 8 9 estudiantes hacen fiesta 5 veces a la semana

3 5 Esta columna se denomina "columna de las frecuencias absolutas simples"

4 6 5 9

n= 39

Ejemplo 3: Número de veces de cambios de canal de TV en medio minuto que efectúan 20 personas X Número de personas 2 2 3 1 4 3 5 14

El total de las personas analizadas es de 20. Si estas fueran todas las personas en un edificio, 20 representaría a la población (N), en cambio si fuera sólo algunos de los habitantes de ese edifico, 20 es una muestra (n)

n= 20

2.1.1.3 ¿Qué son y como se determinan los intervalos de clase?

Los intervalos de clase son rangos de ordenamiento de datos y se determinan de acuerdo al número y rango de la variable en un conjunto de datos.

Distribuciones frecuenciales con intervalos de clase (generalmente variables continuas)

Ejemplo 1: Sobresueldos en Bs cobrados por 300 empleados de una entidad

X Ni Comentarios:

0-1000 20 El tamaño de la muestra es de 300

1000-2000 80 El recorrido de la variable es de 5000

2000-3000 95 Existen 5 intervalos de clase

3000-4000 65 La amplitud de cada intervalo de clase es de Bs1000

4000-5000 40

n= 300 Los puntos medios o marcas de clase son: Bs500, 1500, 2500, 3500 y 4500

X Ni

18-20 16

21-40 12

41-60 7

61-80 4

Esta es la columna de frecuencias absolutas simples

81-100 1

n= 40

Ejemplo 3: Notas de un curso universitario de 60 alumnos

X Ni 0-10 2 11-.20 4 21-30 5 31-40 6 41-50 7 51-60 8

Esta es la columna de frecuencias absolutas simples 61-70 10 71-80 12 81-90 2 91-100 4 n= 60

Cuando existen intervalos de clase se pierde algo de la información original, por ejemplo, en el 5to intervalo de clase conocemos que7 alumnos tuvieron notas entre 41 y 50, pero lo que no conocemos exactamente es cuánto cada alumno.

A partir de las frecuencias absolutas simples se puede llegar a otras frecuencias que completan y agregan valor a la información que se pudo recolectar. Tomaremos de referencia el ejemplo No. 1:

Distribuciones frecuenciales con intervalos de clase (generalmente variables continuas) X ni Frecuencias relativas simples (hi)

hi(%) acumuladas (Ni) Frec. Absolutas Frecuencias relativas acumuladas (Hi)

0-1000 20 20/300 0.067 6.67 20 20/300 0.067 1000-2000 80 80/300 0.267 26.67 100 100/300 0.333 2000-3000 95 95/300 0.317 31.67 195 195/300 0.650 3000-4000 65 65/300 0.217 21.67 260 260/300 0.867 4000-5000 40 40/300 0.133 13.33 300 300/300 1 n= 300 100

Con este cuadro podemos indicar por ejemplo que en el cuarto intervalo de clase:

- Existen 65 empleados que cobraron sobresueldos comprendidos entre los Bs3000 y 4000

- La probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga un sobresueldo entre Bs 3000 y 4000 es de 21,7% (65/300) (esta es la definición frecuencial de la probabilidad)

- También en base a la columna hi podemos indicar que el 21.7% de los 300 empleados cobraron sobresueldos entre Bs3000 y 4000. La suma de esta columna es el 100%

- En base a la columna Ni podemos indicar que 260 empleados cobraron sobresueldos menores a Bs 4000

- En base a la columna Hi podemos indicar que 260 empleados de 300 cobraron sobresueldos menores a Bs4000

- También podemos indicar que el 86,7% cobraron sueldos menores a Bs 4000

2.1.1.4 ¿Qué son el histograma y el polígono de frecuencias? Gráficos

Histograma de frecuencias:

Es una gráfica del conjunto de datos compuesta de una serie de rectángulos, cada uno con un ancho proporcional a la amplitud de cada intervalo de clase y altura proporcional al número de elementos que entran en la clase. Si los intervalos fueran de distintas amplitudes, la superficie de cada rectángulo debe ser proporcional a la frecuencia absoluta simple.

Polígono de frecuencias:

Es una línea que une los puntos medios de cada clase de un conjunto de datos, trazada a la altura correspondiente a la frecuencia de los datos. Este gráfico es muy importante pues da información relacionada a la forma de distribución de la variable.

X ni

Frecuencias relativas simples

(hi) hi(%)

Frec Absolutas

acumuladas (Ni) Frecuencias relativas acumuladas (Hi)

0-1000 20 20/300 0.067 6.67 20 20/300 0.067 1000-2000 80 80/300 0.267 26.67 100 100/300 0.333 2000-3000 95 95/300 0.317 31.67 195 195/300 0.650 3000-4000 65 65/300 0.217 21.67 260 260/300 0.867 4000-5000 40 40/300 0.133 13.33 300 300/300 1 n= 300 100

Histograma de frecuencias 0 20 40 60 80 100 0-1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000 Sobresueldos No empleados Serie1

Si dividimos el polígono de frecuencias de una variable y resulta que un lado es exactamente igual al otro, se dice que la distribución de la variable es simétrica, caso contrario se dice que la distribución es sesgada o que tiene sesgo. Si el pronunciamiento de la gráfica es hacia la derecha, entonces el sesgo es positivo, caso contrario es negativo

El anterior gráfico tiene sesgo positivo.

Para representar gráficamente las columnas de las frecuencias acumuladas se precisan los gráficos llamados "ojivas" por la forma de jota que adquiere el gráfico.

X FREC Absolutas acumuladas (Ni)

0-1000 20 1000-2000 100 2000-3000 195 3000-4000 260 4000-5000 300 Frecuencias Acumuladas (Ojiva) 0 200 400 0-1000 20 00 -40 00 -Sobresueldos F rec. Ac u m u la d a s Serie1

La distribución de frecuencias completa y los mismos gráficos, pero adecuados para variables discretas, para el ejemplo en donde X es el No de llamadas de atención a los empleados de una entidad en la gestión 2003 son los siguientes:

X ni Freuencias.Relativas simples (hi) hi(%) Frec. Absolutas acumuladas (Ni) Frec. Relativas acumuladas (Hi) Hi(%) 0 30 30/130=0.23 23.08 30 30/130 = 0.23 23.08 1 20 20/130=0.15 15.38 50 50/130 = 0.38 38.46 2 30 30/130=0.23 23.08 80 80/130 = 0.61 61.54 3 25 25/130=0.19 19.23 105 105/130 = 0.81 80.77 4 15 15/130=0.12 11.54 120 120/130 = 0.92 92.31 5 10 10/130=0.08 8 130 130/130 = 1 100 N= 130 100

Dist frecuencias variables discretas

0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 No llamadas de atención E m ple a dos Serie1

Para graficar las frecuencias absolutas acumuladas X Ni 0 30 1 50 2 80 3 105 4 120 5 130

Frec Absolutas 0 20 40 60 80 100 120 140 1 2 3 4 5 6 N o e m pl ea dos

Llam adas de atención

2.1.2 Principales medidas estadísticas y de dispersión 2.1.2.1 ¿Qué es y cual la aplicación de la media aritmética? Media aritmética

Es la sumatoria de los valores de la variable, entre el total de los casos observados

Ejemplo 1: Si las edades de un grupo de personas son: 25, 29, 32, 30 y 34, entonces la media aritmética es:

M(x) 25 M(x)=150/5= 30 29 32 n=5 30 34 150

Ejemplo 2: las edades de un grupo de alumnos de un internado militar son: 19,19,19,19,19,20,20,20,20,20,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21,21,21,21. Hallar la media aritmética

En este caso podemos agrupar los datos en una distribución de frecuencias: X ni Xi x ni

19 5 95

20 12 240

21 8 168 M(X)=503/25=20.12 años

El hecho de encontrar la media aritmética por este método se llama media aritmética ponderada

2.1.2.2 ¿Cuáles son las propiedades de la media aritmética?

La media de una constante es la constante M(k)=k

Si reemplazamos todos los valores de una variable por la media, la

suma total no varía ∑x=nM(x)

La media de una constante por una variable es igual a la constante por

la media de la variable original M(kx)=kM(x)

Si a todos los valores de una variable le sumamos (o restamos) una constante, entonces la media aritmética también queda incrementada o

disminuida en dicha constante M(x+k)=M(x)+k

La sumatoria de los desvíos respecto a la media es cero ∑[xi-M(x)]=0

La media de la suma de 2 variables es igual a la suma de las variables M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Ejemplo 3: la siguiente tabla refleja la distribución de los salarios mensuales en Bs de un grupo de 90 trabajadores de una empresa.

X:Salarios No Trabajo xi 1100-1400 15 1250 1400-1700 23 1550 1700-2000 30 1850 2000-2300 12 2150 2300-2600 10 2450 n= 90 M(x)= 1,780

2.1.2.3 ¿Qué es y para que sirve la varianza?

La varianza y la desviación típica son medidas de dispersión en estadística. Por esto, y antes de explicarla más ampliamente explicaremos el concepto de medidas de dispersión.

Medidas de dispersión

Una medida de dispersión da información sobre la forma en que los datos de una variable están distribuidos en relación a un valor central, con preferencia la media aritmética

Estas medidas nos proporcionan información adicional que nos permite juzgar la confiabilidad de nuestra ,medida de tendencia central. SI los datos están muy dispersos la media aritmética es menos representativa del conjunto de datos, que cuando se agrupen más estrechamente alrededor de la media. Por ejemplo, un medicamento puede tener una pureza promedio aceptable, pero puede estar variando desde muy buena hasta muy mala y entonces puede ser peligrosa para la salud

Varianza s2 o V(x)

Es el promedio aritmético de las desviaciones o diferencias de los valores de la variable respecto a la media aritmética al cuadrado

2

V(x)=∑[x-M(x)] n

2.1.2.4 ¿Qué es y para que sirve la desviación típica o estándar?

Es la raíz cuadrada de la varianza, esta medida da el promedio de los desvíos respecto a la media en las mismas unidades de la variable.

0 5 10 15 20 25 30 35 1100-1400 1400-1700 1700-2000 2000-2300 2300-2600 Salarios N o t rab aj ad o res

2.1.2.5 ¿Qué es y para qué sirve el Teorema de Chebishev?

La desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de precisión, donde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media. El teorema de Chebishev dice que no importa la forma que tenga la distribución, al menos 75% de los valores caen dentro de +-2 desviaciones típicas a partir de la media de la distribución, y al menos 85% de los valores caen dentro de +-3 desviaciones estándar a partir de la media.

Ejemplo 1: Dadas las siguientes calificaciones de un grupo de 4 estudiantes:3,4,4,5: a) Calcular la varianza y la desviación estándar por dos métodos diferentes

b) Comprobar el resultado con una máquina calculadora

c) ¿Qué ocurriría si a todas las notas les disminuimos 1 punto?

2 2 n = 4 X X-M(x) [X-M(x)] X M(x) = 4 3 -1 1 9 V(x)= 0,5 4 0 0 16 S(x)= 0,7071068 4 0 0 16 5 1 1 25 16 0 2 66

Ahora por el otro método

2

V(x)=M(x2)-[M(x)]2= (66/4)-(4)= 0,5

c) La dispersión sería la misma puesto que la nueva varianza se la obtendría en relación a una nueva media disminuida en un punto (3).

2.1.3 Regresión y Correlación

2.1.3.1 ¿Cómo se efectúa el análisis de dos variables – covarianza? Análisis de dos variables - Covarianza;

En muchos casos existe el interés de investigar en forma simultánea el comportamiento de dos variables; en esos casos la información tiene la forma de pares ordenados puesto que se la toma en forma conjunta. Un caso particular de las estadísticas de dos variables son las series temporales o cronológicas.

(Que la una no tenga nada que ver con la otra). La covarianza de dos variables se define de la siguiente forma:

COVxy=M(XY)-M(X) M(Y)

Si el signo es positivo, la relación entre las variables es directa, es decir que si aumenta la variable X, la variable Y también aumentará.

Si el signo es negativo, la relación es inversa. Si el resultado es cero, existe ausencia de correlación o se trata de variables independientes.

Ejemplo 1;

Suponga que la administración de Toyota quiere conocer si puede relacionar el número de automóviles en circulación con la venta de neumáticos. La empresa dispone de los datos de la siguiente tabla y desea conocer la covarianza de ambas variables:

En millones Autos Neumaticos

X Y XY COVxy=M(XY)-M(X) M(Y)

18 40 720 18,3 44 805,2 M(XY)= ∑(XY)/n= 6542.3/6= 1.090,38 18,9 52 982,8 M(X)= ∑(X)/n= 114.7/6= 19,12 19,4 59 1144,6 M(Y)= ∑(Y)/n= 339.0/6= 56,50 19,8 67 1326,6 20,3 77 1563,1 COVxy=1090.38-(19.12X56.5) 10,10 114,7 339,0 6.542,3

Como el resultado es positivo, la relación entre las variables es directa, es decir que si aumenta el número de automóviles, también aumentará la venta de neumáticos.

Ejercicio:

La empresa de comida rápida Mc Doñas tiene los siguientes datos de venta de hamburguesas y refrescos por mes para el semestre actual. Calcule la covarianza.

Hamburguesas Refrescos X Y XY 50 20 1000 60 25 1500 54 22 1188 58 23 1334 64 27 1728 286,0 117,0 6.750,0

2.1.3.2 ¿Qué es y para que sirve la Regresión; en modelos lineales y no lineales? El análisis de regresión, modelos lineales y no lineales;

En numerosas oportunidades el problema consiste en estimar valores de una variable a partir de datos experimentales de la otra. Por ejemplo, Toyota (del primer ejemplo) puede estar interesada en predecir las ventas de neumáticos de los próximos años en función del número de automóviles que se estiman en circulación para los próximos años. Los pasos para realizar esto son los siguientes:

Paso 1: Representar gráficamente los puntos experimentales o reales en una nube de puntos o diagrama de dispersión, a través del cual se podrá observar el comportamiento y la tendencia de ambas variables. En gran parte de los casos esta es lineal. En otros casos puede existir una tendencia no lineal como la parabólica, exponencial, potencial, polinómicas, etc. La mayoría de estas funciones pueden ser "Linealizadas", es decir, que se les puede dar el tratamiento de líneas rectas utilizando sencillos cambios de variable.

Paso 2: Encontrar la mejor función matemática que se ajuste al diagrama de dispersión, para ello se recurre al cálculo diferencial para obtener la ecuación de la recta por el método de "mínimos cuadrados". Este método consiste en determinar los errores existentes entre los valores reales y los teóricos dados por la función de ajuste, luego se elevan al cuadrado dichos errores y posteriormente se los suma. Finalmente se obtienen las derivadas parciales respecto a los parámetros desconocidos (a y b) y se minimiza la función igualándola a cero.

Las ecuaciones resultantes denominadas normales para determinar la función lineal de ajuste a través del método de mínimos cuadrados son:

1.- na+b∑x =∑y

2

2.- a∑x+b∑x = ∑xy

Con estas ecuaciones podemos obtener la ecuación general de la recta de regresión: y= a+bx

Ejemplo 1:

La compañía Toyota desea estimar las ventas de neumáticos para los dos próximos años en los cuales el gobierno estima que el número de automóviles será de 22.3 y 23.4 millones

X Y XY X2 18 40 720 324 18.3 44 805.2 334.89 18.9 52 982.8 357.21 19.4 59 1144.6 376.36 19.8 67 1326.6 392.04 20.3 77 1563.1 412.09 114.7 339.0 6,542.30 2,196.59 1.- na+b∑x=∑y 1.- 6a+114.7b=339 2.- a∑x+b∑x2 _{= ∑xy 2.- 114.7a+2196.59b=6542.3} Resolviendo el sistema se tiene:

a = -245.53

b = 15.8

Por lo tanto la ecuación de la recta por el método de mínimos cuadrados es: y = -245.53+15.8x

Las ventas estimadas de neumáticos para 22.3 millones de automóviles será: y = -245.53+15.8(22.3)

y = 106.81

2.1.3.3 ¿Qué es y para que sirve el coeficiente de correlación?

El coeficiente de correlación sirve para medir la intensidad de la relación entre dos variables. Una cuantificación de grado de correlación entre dos variables es necesaria para maximizar precisión y objetividad. El coeficiente de correlación o de Pearson es la medida usual de correlación y se la simboliza por "r" para una muestra y "p" para la población.

Los valores que puede tomar "r" se encuentran en el siguiente intervalo:

.

-1

≤

r

≤

1

La magnitud de la relación está indicada por el valor absoluto del coeficiente de correlación, entre mayor sea la magnitud de "r", más fuerte es la relación. El signo (+o-) de un coeficiente sólo indica la dirección de la relación y en realidad está dada por la

covarianza de las variables. Un r=0 indica que no se ha detectado una correlación entre las dos variables:

COVxy r =

SxSy

Ejemplo:

Encontrar el coeficiente de correlación para el ejemplo de los automóviles de Toyota y sus neumáticos X Y XY 18 40 720 COVxy= M(XY)-M(X)M(Y) 18.3 44 805.2 18.9 52 982.8 M(XY)= 6542.3/6= 1090.3833 1090.38 10.1 19.4 59 1144.6 M(X)= 114.7/6= 19.116667 19.12 1080.28 19.8 67 1326.6 M(Y)= 339/6= 56.5 56.5 20.3 77 1563.1 114.7 339.0 6,542.30 COVxy= 1090.38-((19.12x56.5))= 10.291667

con fórmula de Excel 10.291667

Luego: Sx= 0.8070867 Sy= 12.816006 Con esto: COVxy 10.29167 r= SxSy 0.807x12.816 = 0.9949766

con fórmula de Excel 0.9949766 2.2 Unidad: Muestreo para pruebas de cumplimiento

2.2.1 Consideraciones generales

El muestreo para pruebas de cumplimiento también es llamado muestreo de atributos. Los siguientes pasos resumen las consideraciones usuales para llevar a cabo una prueba de cumplimiento, tanto sobre una base estadística como no estadística.

- Determinar los objetivos de la prueba.

- Definir el universo y la unidad de muestreo.

- Determinar el método para seleccionar la muestra.

- Determinar el tamaño de la muestra.