Secuencia didáctica para la enseñanza de programación lineal

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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SECUENCIADIDÁCTICAPARALAENSEÑANZADE PROGRAMACIÓNLINEAL MaríaReyGenicio,ClarisaHernández,SilviaForcinito

FacultaddeIngeniería.UniversidadNacionaldeJujuy Argentina [email protected]

Campodeinvestigación: Pensamientoalgebraicoygráfico Nivel: Medio

Resumen.EstapropuestadidácticasesostieneenunProyectodeInvestigación,quetiene comomarcoteóricolasdiferentesTeoríasCognitivistas,losaportesdeBixio(1998),deGuy Brousseau(1986)ydeArtigue,M.,Douady,R.yMoreno,L.(1999).Pretendebrindaral docenteunmaterialestructuradoenformaclara,precisayamenaparalaenseñanzadel tema;nocomoalgoprescriptivosinocomounapropuestaquepuedaserreflexionada,es decirqueorienteelanálisisyloscriteriosdeaccióndelprofesorylepermitadecidirentre alternativas y comprobar resultados. Está pensada para que el alumno resuelva las actividadesenbaseasusconocimientospreviosyalainteraccióngrupalycomuniquesus resultadosenunapuestaencomún.Lafuncióndeldocenteseráladeinstitucionalizarlos conocimientospuestosenjuego.

Palabrasclave:secuenciadidáctica,enseñanza,programaciónlineal

Consideracionessobrelapropuesta

EnelmarcodelProyectodeInvestigaciónsehadesarrolladounapropuestadidácticapara abordareltema:ProgramaciónLineal.Sintetizamosacontinuaciónaportesteóricosy conceptosbásicosquesustentanlamismadesdediferentesfuentes.

Fuentepsicológica.

TeoríasCognitivas:entiendenqueelaprendizajeefectivorequiereparticipaciónactivadel

estudianteenlaconstruccióndelconocimiento,yaqueesteprocesoestámediadopor procesosdepensamiento,comprensiónydotacióndesignificado.Laactividaddelos alumnosesbasefundamentalparaelaprendizajemientrasquelaaccióndeldocentees aportarlasayudasnecesarias,estableciendoesquemasbásicossobreloscualesexplorar, observar,yreconstruirconocimientos.Enesosesquemassearticulanlainformación (aportadapordocente,textos,materialesuotrosalumnos)conlasaccionescognitivasde lossujetos.

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Interacción SocioCognitiva: la cognición humana óptima se lleva a cabo con la

colaboracióndeotraspersonas ydeobjetosfísicosysimbólicosquepotencianlas capacidadesindividuales.Así,losprocesosgrupalesdeconstruccióndeconocimientosson medios altamente eficaces para un aprendizaje significativo, aunque requieren una intervención del docente muy cuidadosa, optimizando actividades, facilitando intercambioscognitivos,supervisando,recuperandooportunamenteloproducidoencada grupo,ylograndolareorganizaciónfinaldelosconocimientos.

DidácticageneralyDidácticadelaMatemática

Estrategiadidáctica:segúnBixio(1998),esunconjuntodeaccionesquerealizaeldocente conclarayconcienteintencionalidadpedagógica.Algunosdesuscomponentessonel estilodeenseñanza,laestructuracomunicativadelaclase,elmododepresentarlos contenidos,lasconsignas,losobjetivosysuintencionalidad,larelaciónentrematerialesy actividades, los criterios de evaluación, etc. Las estrategias deben apoyarse enlos conocimientos previos de los alumnos (significatividad), orientar la construcción de conocimientosapartirdematerialesadecuadosyserfactiblesdedesarrollarseenel tiempoplanificado,conlacantidaddealumnosconquesecuentayconlacargahoraria destinada.

Ingenieríadidáctica:elaboracióndeunconjuntodesecuenciasdeclasesconcebidas,

organizadasyarticuladaseneltiempoparaefectuarunproyectodeaprendizaje,yparala que,enlosanálisispreliminares,setuvieronencuentalasdificultadesyloserroresmás frecuentesdeestosaprendizajes,lasprácticashabitualesparaeltratamientodeeste temaylosdiferentesenfoquesquepresentanloslibrosdetextosobreelmismo.La concepciónyeldiseñodelasactividadesseencuadrandentrodela«Teoríadelas situacionesdidácticas»deGuyBrousseau(1986):proponersituaciones«adidácticas»en lasqueeldocentenodebemostrarsuintencionalidadniintervenirindicandoalalumno quéhacer;sinoprovocarqueelalumnoaceptelaresponsabilidaddelasituaciónde aprendizaje.Estassituaciones,enfrentanalosalumnosanteunconjuntodeproblemas

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192 queevolucionandemaneratalqueelconocimientoquesequierequeaprendanesel

únicomedioeficazpararesolverlos.Intervienenlas«variablesdidácticas»paraqueel conocimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las «recontextualizaciones»delosconceptostratadosenlosdistintosmarcosleotorgan significatividadalapropuesta.

Enlaresolucióndelosproblemasseesperaqueaparezcandistintasestrategias.También sesugierenpuestasencomúnenlasquesevalidenresultados,detectenerrores,analicen distintaspropuestasyrepresentacionesutilizadas yelijanlasmáseficaces, debatan argumentaciones,identifiquenconocimientospuestosenjuego,etc.,afindequeestos evolucionenenlatotalidaddelgrupodeclaseyconverjanhaciael“saber”quesequiere construir.

Losproblemasdiseñadosrespondenalas«condicionesdelbuenproblema»enunciadas porArtigue,Douday&Moreno(1999):a)losenunciadostienensentidoenrelacióncon losconocimientosprevios;b)todoslosalumnosestánencondicionesdedaralguna respuesta,almenosparaelproblemainicial;c)admitendistintasestrategiasderesolución ysepuedenformularendistintosmarcos.Y,principalmente,elconocimientobuscadoes unconocimientoadaptativoentantoeselmediocientíficoderespondereficazmentea losproblemas.Ademásseproponequeenlapuestaenmarchasecumplanlasfases enunciadasporDouadyenlasque,dadoelproblemainicial:1ºSemovilizanlosobjetos matemáticosconocidospararesolverelproblema(Fase:Antigua).2ºSeponenen marchainstrumentosnuevos.Apareceel“nuevoimplícito”(Fase:Búsqueda).3ºSe hacenexplícitoslosconocimientosconstruidosenlafaseanterior(Fase:Explicitación).4º El docente descontextualiza el conocimiento dándole la categoría de «objeto matemático»(Fase:Institucionalización).5ºSedaalosalumnosdiversosproblemas destinadosaprovocarelfuncionamientocomoinstrumentosexplícitosdeloquehasido institucionalizado(Fase:Familiarización–reinversión).6ºElnuevoobjetoessusceptible deconvertirseenantiguoparaunnuevociclodeladialécticainstrumentoͲobjeto(Fase:

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193 Complejidaddelatareaonuevoproblema).

Propuestadidáctica

Seindicaránsóloalgunosdelosproblemaspropuestosencadaunadelasactividadesque seelaboraron.Encadaactividadeldocenteinstitucionalizará,enelmomentoadecuado, losconocimientospuestosenjuego.

Secomienzaconunaactividadintroductoriacuyoobjetivoesqueelalumnosefamiliarice conelmanejodedesigualdadesquecontienenunasolavariable,paraelloseproponen ejerciciosdesimbolizacióndeinecuacionessencillasquefiguranenavisosy/oartículos aparecidosendiariosy/orevistaslocales,larepresentacióneinterpretacióngráficaenla rectarealyporúltimolacontextualizaciónmedianteunasituaciónrealdeunainecuación dada.

Delasiguienteactividadseindicansoloalgunosdelosejercicios,enellaseincluyeron problemasabiertosamúltiplesrespuestas,paraqueelalumnosedesprendadela concepcióndequeunproblemamatemáticotieneunarespuestaúnica.Tambiénse pretendequeelestudianterelacioneinecuacionesconsituacionesdelavidareal.

Actividad

1.Elartículomáseconómicoqueproduceunaempresatieneuncostode$2.a)Simboliza

ladesigualdadexpresadaenelenunciado,llamandoCalcostodecadaartículo.b)Enun

sistemadeejescoordenadoscartesianos,enelejehorizontalserepresentanloscostosde

losdistintosproductosyenelejeverticallagananciacorrespondienteacadaproducto,

quesiempreespositiva.Escribelascoordenadasde5posiblespuntosqueverifiquenla

desigualdad dada en a) y luego represéntalos en dicho sistema. c) Mediante un

sombreado,representaenelplanoladesigualdadexpresadaena).

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2.Expresamedianteunainecuacióncadaunadelasrepresentacionesgráficasdadas

a) b) c)

3.Representaenunsistemadeejeslassiguientesinecuaciones:

a)xt3 b)yd1/2 c)x<о1 d)yt0

4.Unaheladeríavende2tiposdeheladosAyB.Lagananciaqueobtieneporlaventade1

Kg.deheladotipoAesde$2ylaqueobtieneporlaventade1Kg.tipoBesde

$3.Eldueñodelaheladeríaquiereobtenerunagananciade$21.

a)SimbolizaelenunciadollamandoxalosKg.deheladosvendidosdeltipoAeyalosdel tipoB.b)Representagráficamenteenunsistemadeejeslaecuaciónobtenidaena).c)Si vende7Kg.deheladotipoA¿cuántosKg.deheladotipoBdeberíavender?d)Sivende600 gr.deheladotipoB¿cuántosKg.debevenderdeltipoA?

5.Suponga,queenelproblemaanterior,ahoraeldueñodelaheladeríaquiereobtener

unagananciamínimade$21.

a)Simbolizaahoraelenunciadodelproblema.b)Contestelosítemsc)yd)enunciadosen

elejercicioanterior.c)Podríavender5Kg.deheladotipoAy6Kg.deltipoB?.d)Podría vender1/2Kg.deheladotipoAy5Kg.deltipoB?.e)Proponeotrasoluciónposibleparala

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ventadehelados.f)Representaenunsistemadeejes,laregióncorrespondienteala

desigualdadsimbolizadaenelincisoa).

Enlaactividadreciénenunciada,seincluyeademásunavariadaejercitacióndonde,por ejemplo,elalumnodebeidentificarpuntoscuyascoordenadassatisfaganinecuaciones dadas,decidirsiunpuntoperteneceonoaunaregión,dadalarepresentacióngráfica obtenerlainecuaciónquelecorresponde,etc.

La siguiente actividad tiene por finalidad, por un lado, que el alumno aprenda a representarenelplanounsistemadeinecuacioneslineales,identificandolaregión solucióndelsistemaydeterminandolascoordenadasdelosvérticesdedicharegiónypor otrolado,quedadaunaregiónpuedaplantearelsistemadeinecuacionescuyasolución sealaregióndada

Actividad

1.Retomaelproblema5delaactividadanterioryconsideraademásqueenlaheladería

sevendencomomáximo5Kg.deheladotipoB.

a)Plantealanuevadesigualdadcorrespondientealproblema.b)¿Podríavender7Kg.de

heladotipoAy1Kg.deheladotipoB?.c)¿Podríavender2Kg.deheladotipoA?.d)

¿CuántosKg.deheladodetipoApodríavendercomomínimo?e)Realizanuevamenteel

gráficocorrespondientealproblema6,yenelmismosistemarepresentalainecuación

halladaenelítema).f)Identificalaregióndelgráficoquecorrespondealasolucióndel problemaeindica3solucionesposibles,distintasalasyavistas.g)Planteaunsistemacon

todaslasinecuacionesqueintervienenenelproblema

2.Dadoelsiguientesistemadeinecuaciones:y<2+x;ytx4

a)Representalaregiónsolucióndelsistema.b)Indicasilossiguientespuntosperteneceno noalaregiónquecorrespondealasolucióndelsistemadado:P1(0,о5);P2(1,2);P3(5,

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196 о9);P4(8,10)c)Completaelvalordexoy,segúncorresponda,paraquelospuntos

indicadosseansolucióndelsistema:P1(4,);P2(,о1.3);P3(,9);P4(8.7,) 3.Dadoelsiguientesistemadeinecuaciones:xd3;y+x>0;2y+xd10

a)Representalaregiónsolucióndelsistema.b)Indicasilossiguientespuntosperteneceno noalaregiónquecorrespondealasolucióndelsistemadado:P1(о4,3);P2(о2;3);P3(3

,о3);P4(2,о1)c)Completaelvalordexoy,segúncorresponda,paraquelospuntos

indicadosseansolucióndelsistema:P1(0,);P2(,1/2);P3(о7.4,);P4(,6.2) 4.Dadoslossiguientesgráficos:

i) ii) iii)

a)Escribeunsistemadeinecuacionesquetengacomosoluciónlaregiónsombreada.

b)Determinalascoordenadasdelosvérticesdecadaunadelasregiones

La secuencia continua con una actividad que incluye problemas concretos de programaciónlineal.Sibienelalumnoexplícitamentenosabequeestáusandouna funciónobjetivoyresolviendounproblemadeprogramaciónlineal,podráreconocerque hayunafunciónenlaqueintervienendosvariablesquesedebeoptimizar.

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197 Actividad

1.Estelarecibe$11paracomprarlapicerasycarpetas,conlaconsignadequeno

necesariamentegastetodalaplata.Enlalibreríadesubarrioleofrecenlaslapicerasa$2 cadaunaylascarpetasa$3cadauna.

a)¿Podríaconesedineroyenesalibrería,comprar:i)1carpetay1lapicera?;ii)2

lapicerasy3carpetas?;iii)4lapicerasy1carpeta?b)Planteaunsistemaconlas

desigualdadesinvolucradasenelenunciado,paraellollamaCalnúmerodecarpetasyLal

númerodelapiceras.c)Representalaregióncorrespondientealsistemaymarcaenel

gráficosussoluciones.d)Listatodaslassolucionesdelproblema.

2.Unnegociovendemermeladadefrutillaydenaranja.Laestadísticamuestraquese

vendecomomínimoeldobledemermeladadefrutillaquedenaranja.Ahora,porrazones

deespacio,alosumopuedentenerunstockde15frascos,deloscualesporlomenos5 debenserdefrutillay2denaranja.

a)Escribeelsistemaderestriccionesdelproblema.b)Graficalaregiónfactible.c)Sihay

10frascosdefrutilla,¿cuántosfrascosdemermeladadenaranjapuedehaber?d)Enel

gráficodonderepresentastelaregiónfactible,marcatodoslospuntoscorrespondientesa

lassolucionesposiblesyluegoescribelascoordenadasdedichospuntos.e)Silaganancia queseobtieneporlaventadelamermeladadefrutillaesde$0,40porcadafrascoyde

$0,50porladenaranja,escribeunafórmulaqueexpreselaganancia,enfuncióndelos

frascosvendidosdeambasmermeladas.f)Indicacuálserálagananciaparacadaunade

lassolucionesposibles.g)Determinacuántosfrascosdecadaunadelasmermeladasse

debenvenderparaquelagananciaseamáxima.h)Observaelgráficoeindicadóndese

ubicaelpuntoquecorrespondealacantidaddefrascosvendidosqueproducenla

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3.Elsiguientegráfico,representalaregiónfactiblecorrespondiente

aunsistemaderestricciones.Considerandoquexeysonenteros:

a)Encuentraelsistemaderestricciones.b)Determinatodaslas

soluciones del sistema y marca, en el gráfico, los puntos

correspondientes.c)Silafunciónobjetivoesf(x,y)=x+y,indicael

valordedichafunciónparacadasolucióndelsistema.d)Determina

cuáldetodaslassolucionesminimizalafunciónobjetivoycuálla

maximiza.e)Observaelgráficoeindicadóndeseubicael/los

puntosquecorrespondenalasoluciónqueminimizalafuncióny

dóndeseubicaelolospuntosquecorrespondenalasoluciónque

maximizalafunción.

4.Unaindustriavinícolaproducevinoyvinagre.Eldobledelaproduccióndevinoes

siempremenoroigualquelaproduccióndevinagremáscuatrolitros.Porotraparte,el

tripledelaproduccióndevinagresumadoconcuatroveceslaproduccióndevinose

mantienesiempremenoroiguala17litros.Sabiendoquecadalitrodevinodejaun

beneficiode$2,5ycadalitrodevinagre$1,4:

a)Planteaelsistemaderestricciones.b)Graficalaregiónfactible.c)Determinatodaslas

solucionesposiblesymarcaenelgráficolospuntoscorrespondientes.d)Determinael

beneficioparacadaunadelassoluciones.e)Hallaelnúmerodelitrosdecadaproducto

quesedebenproducirparaalcanzarunbeneficiomáximo.f)Observaenelgráficoeindica

dóndeseubicaelpuntoquecorrespondealbeneficiomáximo.

Lasecuenciaprosigueconunaactividadcuyoobjetivoesqueelalumnosefamiliaricecon laaplicacióndeprogramaciónlinealyaprecieladiversidaddeproblemasdondesepuede utilizar.Hayproblemasquetienensolucionesmúltiples,otroscuyaregiónfactibleesuna regiónnoacotadayotrosdondeintervienentresvariables,queluegosereducenados,lo quelohacedeunacomplejidadmayor.Paraestaactividadseríaconvenientequeel profesorformegruposydistribuyaunoodosproblemasacadaunodeellosyluego,en

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199 una puesta en común, cada uno de los grupos comunique a sus compañeros las

resoluciones.

Parafinalizarlasecuencia,seincluyeunaactividaddefamiliarización(seindicansolo algunosdelosejercicios)

Actividad

1.Elsiguientegráficorepresentalaregiónfactibledeunsistemade

restricciones.

a)Escribeelsistemaderestricciones.b)Planteaunproblemadonde

el sistema de restricciones sea el indicado en a).c) Indicatres

soluciones posibles al problema planteado. d) Determina las

coordenadasdelosvérticesdeltriángulocorrespondientealaregión

factible.

2.Representa,siemprequeseaposible,lasolucióndelsiguientesistemaderestricciones:y

d2x+6;ydx;xt0;yt1

3.Enelsistemaderestriccionesdelejercicioanterior,eliminasólounadelasinecuaciones paraquetengasoluciónnovacía.

4.Dadoelsiguientesistema:x+4yd16;x+2yd10;2x+yd14;xt0;yt0

a)Represéntalográficamente.b)Conlasrestriccionesanterioresencuentraelmáximode

lafunciónf(x,y)=3x+5.c)Discutesielresultadoobtenidoenelapartadob)seguiría siendoelmismoalañadirlacondiciónxd5

Conclusión

Las actividades diseñadas responden a las "condiciones del buen problema" ya enunciadas.Entodalasecuenciaseenfrentaalosalumnosaunconjuntodeproblemas

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queevolucionandemaneratalqueelconocimientoquesequierequeaprendanesel únicomedioeficazpararesolverlos,almismotiempolasvariablesdidácticassehacen variarparaqueelconocimientoevolucioneennivelescrecientesdecomplejidad.

Enlaimplementacióndeldiseñoseobservóquelamayoríadelosalumnosmostraron mayorentusiasmoycompromisoconlatarea,yquealgunosotorgaronvaloralhechode implicarseenunaconstrucciónquelespermitióotorgarsignificadoalconocimiento

Referenciasbibliográficas

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