Curso de nivelación Estadística y Matemática

(1)

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Segunda clase: Matrices, derivadas e integrales

M.Sc. Juan Diego Chavarría Mejía

(2)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(3)

Definición de matrices

¿Qué es una matriz?

Se define como un arreglo rectangular de números, parámetros

o variables. Los números miembros del arreglo, normalmente se

conocen como

elementos.

Por convención, las matrices se

representan con letras en mayúsculas.

Ejemplo

Los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la

naturaleza.

(4)

Dimensión

¿Qué es la dimensión u orden de una matriz?

Es el número de filas

(m)

y el número de columnas

(n)

con

que cuenta una matriz específica.

Ejemplo matriz de orden (

m x n

)

A

=

2

6

4 a

11 a

12 . . .

a

1 n

a

21 a

22 ...

...

a

m

1 a

mn

3

7

5

(5)

Otras definiciones

¿Qué es una matriz cuadrada?

Cuando tiene la misma cantidad de filas que de columnas (caso

particular si la matriz es de orden 1, lo cual llamamos

escalar).

¿Qué es una igualdad de matrices?

Si se tiene el mismo orden y además cada elemento es igual en

ambas matrices.

(6)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(7)

Vectores

¿Qué es un vector?

Es una matriz de una sóla fila o de una columna.

Ejemplo vector columna de 4x1

B

=

2

6

4

1

2

3

4

3

7

5 Ejemplo vector columna de 1x4

(8)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(9)

Suma y resta de Matrices

¿Cómo se suma y restan las matrices?

Sean

A

y

B

dos matrices de orden

m x n

(mismo orden), su

suma (o resta) es una matriz

C

de orden

m x n

donde cada

elemento de

C

es la suma (o resta) de los elementos

correspondientes de

A

y

B

.

Conformabilidad para la suma

(10)

Suma y resta de Matrices

Ejemplo

A

=



1 2 3

0 1 4

B

=



2 3 0

1 2 5

A

+

B

=



3 5 3

1 3 9

A B

=



1

3

1

(11)

Algunas propiedades importantes

Propiedades de la aditividad de matrices

A

+

B

=

B

+

A

+ (B

+

C

) = (A

+

B) +

C

k

(A

+

B) =

kA

+

kB

= (A

+

B)

k

(12)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(13)

Multiplicación de una matriz por un Escalar

¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar?

Sea

A

una matriz y

k

un escalar, su multiplicación es la

multiplicación de cada elemento de

A

por

k

.

Ejemplo

C

=



1 2

3 4

k

=

3 A

⇤

k

=



3 6

9 12

(14)

Multiplicación de vectores y matrices

Principio básico

Multiplicar filas por columnas.

Conformables para la multiplicación

Cuando los vectores o matrices son compatibles para la

multiplicación. Para esto el número correspondiente a las

columnas de la primera matriz (vector) debé ser igual al

correspondiente a las filas de la segunda matriz (vector).

(15)

Multiplicación de vectores

Ejemplo

D

=

⇥

2

3

4 ⇤

E

=

2

4

1

2

3

5 D

⇤

E

=

⇥

7 ⇤

F

=

⇥

3

1

4 ⇤

G

=

2

4

6

2

3

5 F

⇤

G

= [0]

(16)

Multiplicación de vectores

Ejemplo

H

=



1 2 1

4 0 2

I

=

2

4

3

1

5

4

2

3

5 H

⇤

I

=



3

8

12

(17)

Algunas propiedades importantes

Propiedades de la multiplicación de matrices

A

(BC

) = (AB)

C

A

(B

+

C

) =

AB

+

AC

(A

+

B

)

C

=

AC

+

BC

k

(AB) = (kA)

B

=

A

(kB) = (AB)

k

(18)

Otras definiciones

¿Qué es una matriz transpuesta?

La transpuesta de una matriz

A

se obtiene intercambiando sus

filas por sus columnas y se denota como

A

0 _.

Ejemplo

J

=



1

2

3

4 J

0

₌



1

3

2

4 K

=



2

3

7

1

5 K

0

₌

2

4

2

3

1

7

5

3

5

(19)

Otras definiciones

¿Qué es una matriz simétrica?

Es aquella que cumpe que

A

=

A

0 _.

Ejemplo

L

=



1 2

2 1

L

0 ₌



1 2

2 1

(20)

Otras definiciones

¿Qué es una matriz identidad?

Es una

matriz diagonal

de unos, es decir, una matriz

cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal

principal son ceros y los elementos dentro de la diagonal son

unos.

Ejemplo

I

3 =

2

4 1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

5 I

2 =



1 0

0 1

(21)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(22)

Inversa de una matriz

¿Qué es la inversa de una matriz?

Si

A

y

B

son dos matrices cuadradas tales que

AB

=

I

.

Ejemplo

M

=

2

4

1

2

3

1

2

4

3

5 N

=

2

4

6

1

2

0

3

1

0

1

3

5 M

⇤

N

=

2

4

1

0

1

0

1

3

5

(23)

Inversa de una matriz

¿Cómo saber si una matriz tiene inversa?

Para esto se obtiene el determinante. Si el determinante es

diferente de 0 se dice que la matriz es una

matriz no singular

(osea tiene inversa) pero si el determinante es igual a 0 se dice

que la

matriz es singular

(osea no tiene inversa).

(24)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(25)

Cadenas de Markov

¿Qué es una Cadena de Markov?

Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo.

Requiere el uso de una

Matriz de transición de Markov

(o

“Markov”), donde cada valor en la matriz es una probabilidad

de pasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro

estado.También hay un vector que contiene la distribución

inicial en los distintos estados.

Ejemplo

x

0 o

=

⇥

A

0 B

0 ⇤

M

=



P

AA

P

AB

P

BA

P

BB

(26)

Cadenas de Markov

Ejemplo

x

0 t

M

=

x

t

0 +1

x

0 t

+1

M

=

x

t

0 +2

x

0 t

MM

=

x

t

0 +

2 x

0 t

M

2 =

x

t

0 +2

...

x

0 t

M

n

=

x

t

0 +

n

(27)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(28)

¿Qué es una derivada?

Es una

función

que mide como cambia la variable

y

ante

cambios infinidesimales en

x

. Famosa por su representación

geométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del

siguiente cociente de diferencias:

dy

dx

=

4 lim

x

!

0

4 y

4 x

=

4 lim

x

!

0 f

(x

0 +

4 x

)

f

(x

0 )

4 x

Ejemplo

y

=

3x

2

4

(29)

(30)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(31)

Reglas para una función de una variable

Derivada de una constante

y

=

k

dy

dx

=

0 Derivada de una potencia

y

=

x

n

dy

(32)

Reglas con dos o más funciones de la misma variable

Derivada de una suma o resta

d

dx

[f

(x

)

±

g

(x

)] =

f

0 (x

)

±

g

0 (x

)

Derivada de un producto

d

dx

[f

(x

)

g

(x

)] =

f

(x

)

g

0 (x

) +

f

0 (x

)

g

(x

)

Derivada de un cociente

d

dx



f

(x

)

g

(x

)

=

f

0 _(x

₎

_g

_(x

₎

_f

_(x

₎

_g

0 _(x

₎

g

2 _(x)

(33)

Reglas para funciones de variables diferentes

Regla de la cadena

Si tenemos una función diferenciable

z

=

f

(y

), donde

y

es a

su vez una función diferenciable de otra variable

x

,

y

=

g

(x

),

entonces la derivada de

z

respecto a

x

es igual a la derivada

de

z

repecto

y

, por la derivada de

y

respecto a

x.

Ejemplo

Sea

z

=

3y

2 y

y

=

2x

+

5, entonces:

dz

(34)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(35)

Diferenciación parcial

Diferenciación Parcial

y

=

f

(x

1 ,

x

2 , ...,

x

n

)

Si mantienen constantes

(n

1)

variables independientes mientras

se permite que cambie una variable se obtiene.

Ejemplo

f

(x

1 ,

x

2 ) =

3x

1

2 +

x

1 x

2 +

4x

2

2 ∂

y

∂

x

1 =

6x

1 +

x

2 ∂

y

∂

x

2 =

x

1 +

8x

2

(36)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(37)

Definición

Integrales

Se puede entender como la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños. Su interpretación geométrica se puede

entender como el área bajo la curva.

Z

_b

a

f

(x

)

dx

=

n

lim

!

• n

Â

i

=1

f

(x

i

)

4 x

i

(38)

(39)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(40)

Integrales indefinidas

Z

f

(x

)

dx

=

F

(x

) +

c

Vamos a disponer de infinitas soluciones dado que no conocemos

el término constante

(c

).

(41)

Reglas básicas de la integración

La regla de la potencia

Z

x

n

dx

=

1 n

+

1 x

n

+

1 +

c

(

n

6 =

1 )

La regla exponencial

Z

e

x

dx

=

e

x

+

c

La regla logarítmica

Z

₁

x

dx

=

ln

(

x

) +

c

(

x

>

0 )

(42)

Reglas de operación

Regla de la suma

Z

[f

(x

) +

g

(x

)]

dx

=

Z

f

(x

)

dx

+

Z

g

(x

)

dx

Integral de un múltiplo

Z

kf

(x

)

dx

=

k

Z

f

(x

)

dx

(43)

Agenda

1 Matrices y vectores

Vectores

Suma y resta de Matrices

Multiplicación de Matrices

Inversa de una matriz

Cadenas de Markov

2 Derivadas

Definición

Reglas de diferenciación

Derivadas parciales

3 Integrales

Definición

Integrales indefinidas

Integrales definidas

(44)

Integrales definidas

Si incluimos

límites de integración, dado que obtenemos un

valor númerico específico, libre de la variable

x

, así como de la

constante arbitraria

c

. Este valor se llama la integral definida

de

f

(x

)

de

a

b

.

Z

_b

a

f

(x

)

dx

=

F

(b)

F

(a)

Ejemplo

Z

₅

1 3x

2 _dx

(45)

Algunas propiedades de las integrales

Propiedades

Z

_b

a

f

(x

)

dx

=

Z

_a

b

f

(x

)

dx

Z

_a

a

f

(x

)

dx

=

F

(a)

F

(a) =

0 Z

_d

a

f

(x

)

dx

=

Z

_b

a

f

(x

)

dx

+

Z

_c

b

f

(x

)

dx

+

Z

_d

c

f

(x

)

dx

(46)

Bibliografía

Chiang, A. Wainwright, K

Métodos fundamentales de economía matemática

. Mc Graw-Hill,

2006.

Parra, A

Álgebra Matricial

Trabajo docente, Pontifícia Universidad Católica de Chile.

Steward, J.

Cálculo de una variable