2-1 Cómo usar el razonamiento inductivo para hacer conjeturas (págs )

(1)

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1.

Un enunciado que puedes demostrar y luego usar como una razón en demostraciones

posteriores es un(a) −−− ? .

2.

El/la ₋₋₋ ? es el proceso en el que se usa la lógica para sacar conclusiones a partir de hechos, definiciones y propiedades dados.

3.

Un(a) ₋₋₋ ? es un caso en el que una conjetura no es verdadera.

4.

Un enunciado que crees verdadero basándote en el razonamiento inductivo se llama

−− − ? .

Haz una conjetura sobre cada patrón. Escribe los próximos dos elementos.

5. x

6.

_ 1 6 , 1 _ 3 , 1 _ 2 , 2 _ 3 , …

7. x

Completa cada conjetura.

8.

La suma de un número par y un número impar es

−−− ? .

9.

El cuadrado de un número natural es ₋₋₋ ? .

Determina si cada conjetura es verdadera. Si no lo es, escribe o dibuja un contraejemplo.

10.

Todos los números cabales son números naturales.

11.

Si C es el punto medio de AB , entonces −− AC −− BC .−−

12.

Si 2x + 3 = 15, entonces x = 6.

13.

Febrero tiene 28 días.

14.

Traza un triángulo. Construye las bisectrices de cada

ángulo del triángulo. Haz una conjetura sobre dónde se intersecan las bisectrices de los tres ángulos.

■ Halla el próximo elemento en el siguiente patrón.

El cuadrado rojo se mueve en dirección contraria a

las manecillas del reloj. La próxima figura es .

■ Completa la conjetura “La suma de dos números impares es

−−− ? ” .

Anota algunos ejemplos y busca un patrón.

1 + 1 = 2 3 + 5 = 8 7 + 11 = 18

La suma de dos números impares es un número par. ■ Halla un contraejemplo para demostrar que

la conjetura “Para todos los números enteros distintos de cero, -x<x” es falsa.

Elige valores positivos y negativos para x y sustituye para ver si la conjetura se cumple.

Sea n = 3. Como -3 < 3, la conjetura se cumple.

Sea n = -5. Como - (-5) es 5 y 5 ≮ -5, la conjetura es falsa.

n = -5 es un contraejemplo.

2-1

Cómo usar el razonamiento inductivo para hacer conjeturas

(págs. 74–79)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

conclusión . . . 81 conjetura . . . 74 contraejemplo . . . 75 contrarrecíproco . . . 83 cuadrilátero . . . 98 definición . . . 97 demostración . . . 104

demostración de dos columnas 111 demostración en párrafo . . . 120 demostración en diagrama de flujo . . . 118 enunciado bicondicional . . . 96 enunciado condicional . . . 81 enunciados lógicamente equivalentes . . . 83 hipótesis . . . 81 inverso . . . 83 negación . . . 82 polígono . . . 98 razonamiento deductivo . . . 88 razonamiento inductivo . . . 74 recíproco . . . 83 teorema . . . 110 triángulo . . . 98 valor de verdad . . . 82

Vocabulario

(2)

Escribe un enunciado condicional a partir de cada diagrama de Venn.

15.

ÕiÃ >ÃÊ`iÊÃi>>

16.

µÕi }Ã

Determina si cada condicional es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo.

17.

Si dos ángulos son adyacentes, entonces tienen un rayo

común.

18.

Si multiplicas dos números irracionales, el producto es

irracional.

Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada enunciado condicional. Halla el valor de verdad de cada uno.

19.

Si ∠X es un ángulo recto, entonces m∠X = 90°.

20.

Si x es un número cabal, entonces x = 2.

■ Escribe un enunciado condicional a partir de la oración “Un rectángulo tiene diagonales congruentes”.

Si una figura es un rectángulo, entonces tiene diagonales congruentes.

■ Escribe el inverso, el recíproco y el

contrarrecíproco del enunciado condicional “Si m∠1 = 35°, entonces ∠1 es agudo”. Halla el valor de verdad de cada uno.

Recíproco: Si ∠1 es agudo, entonces m∠1 = 35°. No todos los ángulos agudos miden 35°, por lo tanto, esto es falso.

Inverso: Si m∠1 ≠ 35°, entonces ∠1 no es agudo. Se puede trazar un ángulo agudo que no mida 35°, por lo tanto, esto es falso.

Contrarrecíproco: Si ∠1 no es agudo, entonces m∠1 ≠ 35°. Un ángulo que mide 35°

debe ser agudo. Por lo tanto, este enunciado es verdadero.

2-2

Enunciados condicionales

(págs. 81–87)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Usa los siguientes enunciados verdaderos para determinar si cada conclusión es verdadera o falsa.

Sue es miembro del equipo de natación. Cuando el equipo practica, Sue nada. El equipo empieza la práctica cuando abre la piscina. La piscina abre a las 8 am durante los días de semana y a las 12 del mediodía los sábados.

21.

El equipo de natación practica sólo los días de semana.

22.

Sue nada los sábados.

23.

La práctica del equipo de natación empieza a la misma

hora todos los días.

Usa la siguiente información para los Ejercicios del 24 al 26.

La expresión 2.15 + 0.07x da el costo de una llamada telefónica de larga distancia, donde x es la cantidad de minutos luego del primer minuto.

Si es posible, saca una conclusión a partir de la información dada. Si no es posible, explica por qué.

24.

El costo de la llamada de larga distancia de Sara es $2.57.

25.

Paulo hace una llamada de larga distancia que dura

diez minutos.

26.

La factura mensual de las llamadas de larga distancia

de Asa es $19.05. ■ Determina si la conjetura es válida según la regla

de separación o la ley del silogismo.

Dado: Si 5c= 8y, entonces 2w=-15. If 5c= 8y, entonces x= 17.

Conjetura: Si 2w=-15, entonces x= 17. Sea p 5c = 8y, sea q 2w = -15 y sea r x = 17. Usando símbolos, la información dada se escribe como p → q y p → r. No se pueden aplicar la regla de separación ni la ley del silogismo. La conjetura no es válida.

■ Saca una conclusión a partir de la información dada.

Datos conocidos: Si hay dos puntos distintos, entonces hay una línea que los atraviesa. A y B son puntos distintos.

Sea p la hipótesis: dos puntos son distintos.

Sea q la conclusión: hay una línea que atraviesa los puntos.

El enunciado “A y B son puntos distintos” coincide

con la hipótesis, por lo tanto, se puede concluir que hay una línea que atraviesa A y B.

2-3

Cómo usar el razonamiento deductivo para verificar conjeturas

(págs. 88–93)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

(3)

Determina si es posible escribir un bicondicional

verdadero a partir de cada enunciado condicional. Si no es posible, da un contraejemplo.

27.

Si 3 - _ 2x 5 = 2, entonces x = 5 _ 2 .

28.

Si x < 0, entonces el valor de x 4 es positivo.

29.

Si un segmento tiene extremos en

(

1, 5

)

y

(

-3, 1

)

,

tentonces el punto medio es

(

-1, 3

)

.

30.

Si la medida de un ángulo de un triángulo es 90°,

entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Completa cada enunciado para formar un bicondicional verdadero.

31.

Dos ángulos son −−−

? si y sólo si la suma de sus medidas es 90°.

32.

x 3_{>0 si y sólo si x es} −−− ? .

33.

Trey puede viajar 100 millas en menos de 2 horas si y sólo si su velocidad promedio es

−−− ? .

34.

El área de un cuadrado es igual a s 2 si y sólo si el perímetro del cuadrado es

−−− ? . ■ Para el condicional “Si un número es divisible

entre 10, entonces termina en 0”, escribe el recíproco y un enunciado bicondicional.

Recíproco: Si un número termina en 0, entonces es divisible entre 10.

Bicondicional: Un número es divisible entre 10 si y sólo si termina en 0.

■ Determina si el bicondicional “Los lados de un triángulo miden 3, 7 y 15 si y sólo si el perímetro es 25” es verdadero. Si es falso, da un contraejemplo. Condicional: Si los lados de un triángulo miden 3, 7

y 15, entonces el perímetro es 25. Verdadero. Recíproco: Si el perímetro de un triángulo es 25,

entonces sus lados miden 3, 7 y 15. Falso; un triángulo con lados con longitudes 6, 10 y 9 también tiene un perímetro de 25.

Por lo tanto, el bicondicional es falso.

2-4

Enunciados bicondicionales y definiciones

(págs. 96–101)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Resuelve cada ecuación. Escribe una justificación para cada paso.

35.

_ m

-5 + 3 = -4.5

36

. -47 = 3x - 59

Identifica la propiedad que justifica cada enunciado.

37.

a + b = a + b

38.

Si ∠RST ∠ABC, entonces ∠ABC ∠RST.

39.

2x = 9 y y = 9. Por lo tanto, 2x = y.

Usa la propiedad indicada para completar cada enunciado.

40.

Prop. reflex. de : figura ABCD

−−− ?

41.

Prop. sim. de =: Si m∠2 = m∠5, entonces

−−− ? .

42.

Prop. trans. de : Si AB −− CD y −− AB −− EF , −− entonces −−− ? .

43.

Kim pidió dinero prestado a una tasa de interés anual

del 6% para comprar un automóvil. ¿Cuánto pidió prestado si pagó $4200 de interés durante el periodo de 4 años del préstamo? Resuelve la ecuación I = Cit para P y justifica cada paso.

■ Resuelve la ecuación 5x- 3 =-18. Escribe una justificación para cada paso.

5x - 3 = -18 Datos conocidos −−−−− + 3 −−− + 3 Prop.de la suma de = 5x = -15 Simplifica. 5x

_

5 = -15

_

5 Prop. de la div. de = x = -3 Simplifica.

■ Escribe una justificación para cada paso. RS = ST Datos conocidos -, / {Ý xÝÊÊ£n 5x - 18 = 4x Prop. de la resta de = x - 18 = 0 Prop. de la resta de = x = 18 Prop. de la suma de =

Identifica la propiedad que justifica cada enunciado. ■ ∠X ∠2, por lo tanto, ∠2 ∠X.

Propiedad simétrica de la congruencia

■ Si m∠2 = 180° y m∠3 = 180°, entonces

m∠2 = m∠3.

Propiedad transitiva de la igualdad

2-5

Demostración algebraica

(págs. 104–109)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

(4)

8 Guía de estudio: Repaso

44.

Escribe una justificación para cada paso, dado que ∠1 y

∠2 son complementarios y ∠1 ∠3. 1. ∠1 y ∠2 compl. £ Ó _Î 2. m∠1 + m∠2 = 90° 3. ∠1 ∠3 4. m∠1 = m∠3 5. m∠3 + m∠2 = 90° 6. ∠3 y ∠2 compl.

45.

Escribe en los espacios en blanco para completar la

demostración de dos columnas. / 1 - 6 Dado: TU −− UV −− Demuestra: SU + TU = SV Demostración de dos columnas:

Enunciados Razones 1. TU −− UV −− 2. b. −−−− ? 3. c. −−−− ? 4. SU + TU = SV 1. a. −−−− ? 2. Def. de seg. 3. Post. de la suma de seg. 4. d. −−−− ?

Halla el valor de cada variable.

46.

âÊÊÓ®

_Â

ÓÊÊÇâ®

_Â

47.

■ Escribe una justificación para cada

paso, dado que m∠2 = 2m∠1. £ Ó

1. ∠1 y ∠2 supl. Teor. del par lineal

2. m∠1 + m∠2 = 180° Def. de supl.

3. m∠2 = 2m∠1 Dado

4. m∠1 + 2m∠1 = 180° Sustituye. Pasos 2, 3

5. 3m∠1 = 180° Simplifica.

6. m∠1 = 60° Prop. de división de =

■ Usa el plan dado para escribir una demostración de dos columnas.

Dado: AD forma una −−

bisectriz con ∠BAC.

Î £ Ó ∠1 ∠3 Demuestra: ∠2 ∠3

Plan: Usa la definición de bisectriz de un ángulo para demostrar que ∠1 ∠2. Usa la propiedad transitiva para concluir que ∠2 ∠3.

Demostración de dos columnas:

Enunciados Razones

1. AD forma una −−−

bisectriz con ∠BAC.

2. ∠1 ∠2 3. ∠1 ∠3 4. ∠2 ∠3 1. Dado 2. Def. de bisectriz de un ∠ 3. Dado 4. Prop. transit. de

2-6

Demostración geométrica

(pp. 110–116)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Usa el plan dado para escribir cada uno de los siguientes. Dado: ∠ADE y ∠DAE son complementarios

∠ADE y ∠BAC son complementarios Demuestra: ∠DAC ∠BAE

Plan: Usa el teorema de los complementos congruentes para demostrar que

∠DAE ∠BAC. Como ∠CAE ∠CAE, ∠DAC ∠BAE según el teorema de los

ángulos comunes.

48.

una demostración

49.

una demostración en

en diagrama de flujo párrafo

Halla el valor de cada variable y menciona el teorema que justifica tu respuesta.

50.

51.

Usa la demostración de dos columnas en el ejemplo de la Lección 2-6 de arriba para escribir cada uno de los siguientes.

■ una demostración en diagrama de flujo

■ una demostración en párrafo

Como AD forma una bisectriz con −− ∠BAC, ∠1 ∠2

según la definición de bisectriz de un ángulo. Se sabe que ∠1 ∠3. Por lo tanto, ∠2 ∠3 según la propiedad transitiva de la congruencia.

2-7

Demostraciones en párrafos y diagrama de flujo

(págs. 118–125)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

(5)

Respuestas,

continuación

CAPÍTULO 2

Vocabulario

1. teorema

2. razonamiento deductivo

3. contraejemplo

4. conjetura