3.1 DEFINICION. Una elipse E es el conjunto de los puntos del plano euclideano IR2 tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano

3.1 DEFINICION.

Una elipse E es el conjunto de los puntos del plano euclideano IR2 tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es una constante. Sean Fl y

F,

dos puntos del plano ft2 y a un número real positivo. Entonces

3.2 NOTACION Y PROPIEDADES

1. Los puntos Fl y F, se denominan focos de la elipse.

2. El punto medio Fo = i ( F l

+

F,) del segmento FlF2 se llama centro de la elipse.

3. Si Fl t F,, la elipse corta la recta X' que pasa por Fl y F2 en exactamente dos puntos Vl y V,, que reciben el nombre de vértices de la elipse. Se demuestra que

El segmento V1V2 se llama eje mayor de la elipse y tiene longitud 2a. El número

a se llama semieje mayor.

4. Si Fl t F,, la elipse corta la recta Y' que pasa por F, y es perpendicular al eje mayor en exactamente dos puintos Bl y B2. Se demuestra que

d ( B , , F,) = d ( B , , Fo)

Y que b2 + C 2 = a2

El segmento BlB2 se llama eje menor de la elipse y tiene longitud 26. El número b se llama semieje menor.

C

5. El número e =

-

se llama excentricidad de la elipse. Es fácil de ver que O I e 5 1 . a

3.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE CON EJE PARALELO A UN

EJE

DE COORDE-

NADAS CARTESIANAS.

TEOREMA.

l. La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es paralelo el eje X es

en donde se tiene que

con a > b ,

centro de la elipse: _{(h, k)}

vértices de la elipse: (h - a ,

k)

y ( h

+

a , k )

La Elipse 77

2. La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje

Y

es ( x - q 2

+-=

(Y

-q2

2 con a > b,

b2 a

en donde se tiene que

[centro de la elipse: _{(h, k )}

{vértices de la elipse: (h,

k

- a ) y (h, k + a )

[focos de la elipse: (h, k - e) y (h,

k

+

c), c =

Jm

Elipse con eje paralelo al eje X

3.4

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1. Hallar una ecuación de la elipse con vértices ( 4 , - 7 ) y (2,5) y uno de los focos en ( 1 , 3 ) .

SOLUCION. Representamos gráficamente los vértices

VI

= (-4, - 7 )

Y

v2

= ( 2 , 5 )

y el foco F2 = (1,3)

Debemos calcular la longitud 2a del eje mayor y el foco Fl .

Se tiene _{2a = d(V,,V2)} = J[2-(-4)12 +[5-(-7)12 =

J180

Los vectores

Fl

-

Vl

y V2 - F2 son paralelos y tienen igual longitud pues d(V,,

F,)

= d(V2,

F2)

Por consiguiente, son iguales y se cumple

Fl

-

Vl

=

V2

-

F2

O

Fl

=

Vl

+V2 -

F2

= (-4, - 7 ) + ( 2 , 5 ) - ( 5 3 )

y así

F,

= (-3,

-

5).

Designemos con

P

= (x, y) un punto arbitrario de la elipse. Por definición se debe verificar d(P,

Fl)

+

d(P,

F2)

= 2a

Y eliminando los radicales del primer miembro

se obtiene

RESPUESTA. La ecuación buscada es

656x2

+

5 0 4 ~ ~ - 216xy

+

1200x

+

960y - 13545 = O

(x - h)2

PROBLEMA 2. Demostrar que

+

- k)2 = 1, a > b, es la ecuación de una

a b2

elipse con centro (h, k) y eje mayor paralelo al eje X. Probar que

a

= semieje mayor, b = semieje menor

(h

-

a , k) , (h

+

a, k) son los vértices de la elipse, (h - c, k) , (h

+

c, k) son los focos de la elipse, donde c =

d

m

.

SOLUCION. Puesto que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje X, los focos Fl , F2 y

el centro ( h , k) tienen igual ordenada k.

Siendo el centro el punto medio de los focos tenemos

F l = ( h - c , k ) y F 2 = ( h + c , k ) , con c>O.

Si

P

= ( x , y ) es un punto cualquiera de la elipse se debe cumplir d ( P , F l ) + d ( P , F , ) = 2 a , a > O

Observemos que (1) implica que c

<

a

En efecto, por la desigualdad triangular 2c = d(F,, F2)

<

d ( P , F,)

+

d ( ~ , F2) = 2a

para cualquier punto de la elipse. Así c

<

a .

Volviendo a la ecuación (1) podemos escribir

Desarrollando 2 2 [ [ ( x - h)+c12 + ( Y - k ) 2 ] = [ 2 a - / [ ( x

-

h)-c12 + ( y - k ) l ] ( x - h ) 2

+

2c(x

-

h ) + c 2 +(y - k ) 2 = = 4 a 2

-

4 a , / [ ( x - h ) - c12 + ( y

-

k ) 2

+

( X - h ) 2 - 2c(x - h )

+

c 2 + ( y - k)' 2

De (2) se tiene c2

<

a 2 y podemos hacer b2 = a2

-

c

>

0 , con b

>

0.

La última ecuación se convierte en b 2 ( x - h ) 2

+

- k ) 2 = a2b2, y si b > O , dividiendo

( x - h)' _{( y}

_-

_{k ) 2}

por a2b2 se obtiene

7

+ - = l .

Hallaremos los vértices del eje mayor. La recta L que contiene al eje mayor es y = k . Por lo tanto, haciendo y = k en la ecuación de la elipse, obtenemos

y así, VI = (h - a , k ) y V2 = (h

+

a , k ) son los vértices de la elipse. Puesto que por definición se tiene

1 2a

semiejemayor = -d(Vl,V2) = - = a

2 2

vemos que a es el semieje mayor.

De igual modo, la recta que contiene al eje menor es x = h . Por lo tanto, haciendo x = h en la ecuación de la elipse, obtenemos

y así

B,

= (h, k - b ) y B2 = (h, k

+

b ) son los extremos del eje menor.

Luego se tiene semieje menor = - ~ ( B ~ , B ~ ) 1 =

-

2b = b

2 2

PROBLEMA 3. Hallar una ecuación de la elipse con centro en (O, l ) , sus focos en el eje Y, y la longitud del eje mayor igual a 513 veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto (- 12/5,4).

SOLUCION. Designaremos con a y b las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente. Se tiene entonces que

a = Q b (1)

Puesto que se trata de una elipse con eje paralelo al eje Y y centro en (0, l ) , la ecuación buscada es de la forma

Debemos determinar a y b .

X 2 ( y - 1)2

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene

-

+ - = 1 , b2 25b2

9

La Elipse 81 9 O 25b2 = 144 + 81 b = 3 y de aquí a = f b = $ x 3 = 5 . 2 x (Y -

q2

RESPUESTA. La ecuación de la elipse es

-

+ - = l .

9 25

PROBLEMA 4. Sean e un número real O < e < 1,

F

un punto fijo y

L

una recta que no contiene a

F.

1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia del punto F es e veces la distancia de la recta L forman una elipse.

2 ) Si a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, y si

c =

Jn',

probar que c = ea.

Nota. Llamamos foco al punto F, excentricidad al número e , y directriz a la recta L.

1) Consideramos un sistema de coorde- nadas cartesianas

XY

con origen en el punto

F

tal que el eje X sea perpen- dicular a la recta

L

y orientamos

X

posi- tivamente en el sentido de la recta L al punto F.

Se tiene así F = ( O , 0 )

, L

: x = -d

,

donde d = d ( F , L ) .

Designemos con P = ( x , y ) un punto tal que d ( P , F ) = e d ( P , L ) .

Se tiene entonces

e 4 d 2

Sumando - ₂ en ambos miembros para completar cuadrados en los corchetes,

1 - e

se tiene

e 2 d 2

y dividiendo ambos miembros entre _-2

1 - e

2

Puesto que O < e < 1 implica e2 < 1 y 1 - e > O , ambos denominadores son positivos y la ecuación es, en verdad, la de una elipse con centro en

[&,

o]

y ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

1 - e

2) Siendo O < e2 < 1 se obtiene 1 - e2 < 1

Así, si a y 6 son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, se cumple

La Elipse 83

2 2 2 e 2 d 2

Luego c = a - b = - - - e2d - e 4 d 2 2 e 2 d 2 2 2

2 = e x = e a ,

(1

-

e 2 ) 2 l - e ( 1 - e 2 ) (1

-

e 2 )

PROBLEMA 5. Un satélite se mueve al- rededor de la tierra describiendo una ór- bita elíptica, donde la tierra es un foco y la excentricidad es

#.

La distancia más corta a la tierra es 450 Krns.

Hallar la distancia más grande a la que se aleja el satélite de la tierra.

SOLUCION. Sean Fl = (-c, O) y F. = (c, O)

los focos de la elipse y la tierra ubicada en el foco F1 (Ver figura). Designaremos con a y b los semiejes mayor y menor, respectivamente.

Es claro que distancia más corta= d(Fl, V.) = a - c = 450 (1) distancia máxima = d(Fl,

V2

)

= a

+

c (2) Debemos calcular d(Fl, V.) = a

+

c

Por el problema 4 ,si e es la excentricidad se tiene c = ea. Sustituyendo e = obtenemos a = 3c Resolviendo (1) y (3) a - c = 4 5 0 a = 3c da c=225. Finalmente de (2) d(Fl, V2) = a

+

e = 4c = 4 x 225 = 900 Km. RESUESTA. 900 Krns.

PROBLEMA 6. Hallar la ecuación de la elipse con focos (-2.1) y (6,O) y excen-

-

J 6 5 tricidad e =

-

10

SOLUCION. Designemos con

C

el centro de la elipse, VI y V, los vértices y F, = (-2,l) y

F2

= (6, O), los focos de la elipse.

Puesto que Fl y F2 son dados necesitamos calcular 2 a = d [ v 1 ,

V2).

Si c = d ( F l , C) = d(F2, C) entonces

Y

por el problema 4

,

c = e a

De ( 1 ) y ( 2 ) y e = @ / l o se obtiene a = 5

Si P = ( x , y ) pertenece a la elipse se debe cumplir

,/(X+,/-

= 10

Eliminando radicales se obtiene

PROBLEMA 7. Hallar la ecuación de cada

'

t

elipse con un vértice en (1, 1) y un vértice en (3,5) si el eje mayor es vertical.

SOLUCION. Sean E , y E2 las elipses cuyas ecuaciones se trata de hallar. Las ecuaciones buscadas son de la forma

(1: - h ) 2 _{( y}

-

_k)2

+

=

1 con a > b 2

b a

Para

El

se tiene centro: (1,5)

( x - 1)2 ( y - 5 ) 2 b = 3 - 1 = 2 yasí,

El:-

+-= 1

La Elipse 85

Para IE2 se tiene centro: ( 3 , l )

( x - 3)2 _{( y} - l), b = 3 - 1 = 2 yasí, E,:

-

+ - =

1

4 16

( x - 1 ) 2 ( y - 5 ) 2

+-= (x - 3)2 ( y - 1)2

RESPUESTA. Las ecuaciones son

-

1 y

----

+

-

= 1

4 16

4

16

PROBLEMA 8. La cuerda de una elipse a través de un foco y perpendicular al eje mayor 2b2

se llama lado recto o cuerda focal. Probar que la longitud del lado recto es

-

.

SOLUCION. Consideremos la ecuación de una elipse centrada en el origen y eje mayor paralelo al eje

X

' X 2 y2

- + = 1 a2 b2

Los extremos de un lado recto tienen abscisas x = f c

y ordenadas y:

donde a 2 = b2

+

c 2 ,

A s

(.,

-

:]

y

:)

son los extremos de un lado recto. 2b2

Luego, l a longitud del lado recto es

-

.

PROBLEMA 9. Un techo de 20 mts. de ancho tiene la forma de una semielipse. iCúal es la altura del techo a 4 mts. de las paredes laterales, si éste tiene una altura de 18 mts. en el centro y de 12 mts. en las paredes?

SOLUCION. Consideramos un sistema de coordenadas cartesianas

XY

con origen en el centro de la elipse. La ecuación de la elipse es

2

x y2 Y A

Luego - + - = l . 100 36

altura buscada

A 4 mts. de distancia de la pared, la abs- cisa tiene valor x, = 10 - 4 = 6 y la or-

paredes

denada correspondiente yo en la elipse _u

(0,O)

G2 yo2

cumple

-

+

-

= 1 de donde y, = 4.8. x

100 36 l l I l l l l l l l / l l l l l l l / l 7

Luego, la altura buscada es yo

+

12 = 4.8

+

12 = 16.8

RESPUESTA. El techo tiene 16.8 mts. de altura a 4 metros de las paredes laterales.

3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1. Hallar la ecuación de la elipse con focos en (0,O) y ( 0 , B ) y semieje menor 3.

PROBLEMA 2. Hallar la ecuación de la elipse con centro en (-1, l ) , semieje mayor 3 y excentricidad 213 si el eje mayor es horizontal.

PROBLEMA 3. Un arco tiene la forma de una semielipse. ¿Qué tan ancho es el arco a

una altura de 6 m sobre la base, si éste tiene 32 m de ancho en la base y una altura de 12m?

PROBLEMA 4. Hallar la ecuación de la elipse con vértices en (-1,

-

1) y (3,3) y excen- tricidad e =

b.

PROBLEMA 5. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (-4,3). Hallar la ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 1512.

2b2

La

Elipse 87

PROBLEMA 6. Hallar la ecuación de la elipse con vértices en (2,O) y (2,6) y uno de los focos en (2,5).

PROBLEMA 7. Hallar una ecuación de la elipse con centro en (6, l), vbrtice en (0,

-

5) y un foco en el eje X.

RESPUESTAS.