CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA Definición.

Es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia.

L1 = Tangente. OC = Radio. BC = Diámetro L2 = secante MN = Cuerda

Definiciones

Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de esta. OC, OA, OB.

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. BC, MN. Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos. L2 .

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. BC. Tangente: Recta que toca la circunferencia en un punto único, L1. Arco: Es una parte de la circunferencia, AN.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.

Estrategias metodológicas.

1.- Aplique lluvia de ideas para establecer la diferencia entre circunferencia y círculo. 2.- Construya una sopa de letras.

3.- Aplique el arte de enseñar con todo el cerebro.

4.- Tome un hilo de cualquier longitud, mídalo, construya con él una circunferencia; determine el valor del diámetro. Divida la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro. ¿Que valor obtiene?. Aplique la fórmula L = 2 p r. Compare el resultado con la longitud del pabilo. L = 2pr p = 3,1416... L = Longitud de la circunferencia. L L 2 N M O B C A 1

CÍRCULO Definición.

Es el conjunto de puntos del plano que comprenden la circunferencia y sus puntos interiores

ELEMENTOS DEL CÍRCULO.

Sector circular: Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco limitado por estos. El sector circular AOV.

Segmento circular: Es la parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. El segmento circular NMB.

Nota: El radio y el diámetro es el mismo de la circunferencia.

ÁREA DEL CÍRCULO.

A = pr2

Ejemplo. Hallar el área de un círculo generado en la experiencia realizada para calcular el valor de pi.

ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

Estrategia metodológica

Lluvia de ideas y actividades lúdicas

Ángulo central

Definición.

Es el ángulo con vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos semi-rectas que determinan dos radios.

Definición

La medida de un ángulo central es el arco comprendido entre sus lados A B M O N A C O

< COM = Arco CM

Postulado de la adición de arcos

Sean A, B, C puntos de una circunferencia AC = AB + BC

2. Ángulo Inscrito

Definición.

Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son semi-rectas que determinan dos cuerdas.

T Ángulo inscrito R S M O C A _B A B C

Teorema

La medida del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Hipótesis: <ABC inscrito en la circunferencia de centro O

Tesis: <ABC = ArcoAMC

2

Demostración.

Primer caso . Un lado pasa por el centro. Fig. 1

Se traza el radio OC y se forma el triángulo isósceles COB en el cual, se tiene: 1.- <a = <a1 _{¿Por qué?}

2.- <a + <a1 _{= <b Por ser el <b exterior al triángulo COB} 3.- 2<a ? <b Por sustitución de 1 en 2

4.- <a ? <b/2 Por inverso multiplicativo 5.- <b = Arco AMC Por ser ángulo central 6.- <a =

2

ArcoAMC

Por sustitución de 5 en 4 Segundo caso. El centro es interior al ángulo Fig. 2. Se deja como ejercicio

Tercer caso. El centro es exterior al ángulo Fig. 3. Se deja como ejercicio

3. Ángulo semi-inscrito

Definición.

Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados dos semi – rectas, una secante y una tangente. V S A B O Fig. 2 C A M 1 2 B O Fig. 3 C A M D 1 2 B O Fig. 1 C A M a b a’

Postulado

Los arcos comprendidos entre paralelas son iguales. Teorema

La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Hipótesis: <ABC semi-inscrito en la circunferencia de centro O. Tesis: m <2 = ArcoAMB

2

Demostración.

Se traza AD ¦ a BC.

1. Arco AMB = Arco DNB Por postulado 2. m< 2 = m <1 Por alternos internos

3. m <1 = ArcoDNB 2 Por inscrito 4. m <1 = 2 ArcoAMB Por 1 5. Luego : m <2 = ArcoAMB 2 Por 2 4. Ángulo exterior N O D 2 1 A C M B E R J S H Q W R P _T B N A E F G M

Definición.

Es un ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados pueden ser: Dos semi-rectas secantes, una semi-recta tangente y otra secante, dos semi-rectas tangentes.

Teorema

La medida del ángulo exterior es igual a la semi-diferencia aritmética de los arcos comprendidos entre sus lados.

Así la medida de: <JSR =

2 ArcoHQ ArcoAWQ− < NAP = 2 arcoEF arcoEP− < TRB = 2 arcoGM arcoTB− 5. Ángulo ex-inscrito Definición.

Es un ángulo adyacente a un ángulo inscrito. Teorema

La medida de un ángulo ex - inscrito es igual a la semi - suma de los arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de sus lados y en la prolongación del otro.

< a = 2 ArcoTE ArcoTVF+ 6. Ángulo interior Definición.

Su vértice es un punto del círculo y sus lados dos semi - rectas que cortan la circunferencia.

E

T

F

V

Ángulo Ex_ inscrito

Q C

Teorema

La medida del ángulo interior es igual a la semi – suma de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.

< 1 2 ) (BC QE Arco + =

RELACIONES MÉTRICAS ENTRE CUERDAS, SECANTES Y TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA.

Teorema

Toda cuerda en una circunferencia es media proporcional entre el diámetro que pasa por uno de sus extremos y su proyección sobre el mismo.

En la siguiente figura ,sean los segmentos: SU, SA, SL. SL SA SA SU ₌ Ejemplo

Una cuerda de 20 cm en una circunferencia se une al diámetro por uno de sus extremos, y su proyección sobre el diámetro es 12 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

Basta escribir la proporción geométrica y hallar el valor de la variable. En la siguiente proporción, x, es el diámetro. cm cm cm x 12 20 20 = Teorema

Cuando dos cuerdas se cortan en un círculo el producto de los segmentos de la primera es igual al producto de los segmentos de la segunda.

Hipótesis: AF y TH cuerdas Tesis : AE x EF = ET x EH E H F A T A S U L

Demostración.

Construcción auxiliar: trazamos las cuerdas AH y TF

1.- <

2

1= ArcoHF Por ser ángulo inscrito 2.- <

2

3= ArcoHF Por ser ángulo inscrito

3.- <1 = < 3 Por propiedad transitiva entre 1 y 2 4.- <

2

2= ArcoAT Por ser ángulo inscrito 5.- <

2

4= ArcoAT Por ser ángulo inscrito 6.- < 2 = < 4 Por propiedad transitiva entre 4 y 5

7.- Triángulo AEH ˜ Triángulo TEF. Por 3 y 6. Por la tanto podemos establecer la siguiente proporción geométrica. 8.- ET AE EF EH ₌

El lado opuesto del < 1 es el lado opuesto del <3. El lado opuesto del < 2 es el lado opuesto del < 4.

9.- EH×ET = AE×EF Por propiedad fundamental de la proporción geométrica

Teorema

E

H

2

1

3

4

F

A

T

B F E 1 2 3 4 5 H O A

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos secantes el primero por su segmento externo es igual al segundo por el suyo.

Hipótesis.

AF y AB Segmentos secantes a la circunferencia O. Tesis.

AF x EA = AB x AH Demostración

Construcción auxiliar: trazamos las cuerdas FH y EB, formándose los triángulos AHF y AEB.

1.- <

2

3= ArcoEH Por ser ángulo inscrito 2.- <

2

5= ArcoEH Por ser ángulo inscrito

3.- < 3 = < 5 Por propiedad transitiva entre 1 y 2 4.- <

2

4= ArcoEHB+ ArcoEF por ser ángulo ex – inscrito 5.- <

2

2= ArcoHEF +ArcoHB Por ser ángulo ex – inscrito

6.- < 4 = < 2 Por propiedad transitiva entre 4 y 5 .

) (ArcoEHB +ArcoEF = ArcoHEF+ ArcoHB

7.- σAHF ~ σ AEB Por 3 y 6 8.-

AB AF EA AH ₌

El lado opuesto del < 3 es al lado opuesto del <5, y el lado opuesto del < 2 es al lado opuesto del <4 (los lados opuestos de < 5 iguales son proporcionales)

9.- AH×AB=EA×AF

Ejemplo

1.-Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes los segmentos interior y exterior de uno de ellas miden 14 cm y 7cm, respectivamente. El segmento interior de la segunda mide 19cm. ¿Cuánto mide el segmento exterior?

AC.AB = AE .AD (1)

Datos

AC = 14 cm + 7cm AB = 7 cm AD = x = 21 cm AE = 19 cm + x

Sustituyendo esto valores en la igualdad (1) tenemos: 21x7 = (19 + x)x

147 = 19x + x2

Tenemos una ecuación de segundo grado, por lo tanto la igualamos a cero y ordenamos. 0 = x2 _{+ 19x - 147, lo mismo que 1x}2 _{+ 19x - 147 =0}

a =1 b = 19 c= - 147

Aplico la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. x=− +b b − ac a 2 4 2 x = ) 1 ( 2 ) 147 )( 1 ( 4 19 19+ 2 − − − x = − +19 361 588+ 2 x1= 19 30 8058 2 + , x2 = − −19 30 8058 2 ,

x1 = 5,9029218 cm x2 =- 24,9 cm Descartado. ¿Por qué?

2.- Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los segmentos interior y exterior de una de ellas miden 8 cm y 3 cm respectivamente. El segmento exterior de la segunda mide 2 cm. ¿Cuánto mide el segmento interior? R. 14,5 cm

3.- Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los segmentos interior y exterior de una de ellas miden 4cm y 6 cm. El segmento interior de la segunda mide 5cm. ¿Cuánto mide su segmento exterior? R. 5,63941 cm

E C A B D X

Teorema

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan un segmento tangente y un segmento secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento externo.

AC AB AB AD ₌ Ejemplo

1.-Desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante los segmentos

interiores y exteriores de la secante mide 22cm y 18cm. Cuanto mide el segmento AB. Basta escribir una proporción geométrica en la cual el segmento AB (x) ocupa los

términos medios y los extremos, los segmentos AM y EA. AM =22cm + 18cm =40cm 40cm X X 18cm X2_=720cm2 X= 26,8328cm Prueba 40 26 8328 26 8328 18 , , = 26,8328 x 26,8328 = 40 x 18

720 = 720 no colocamos unidades porque carece de sentido.

C A

B

PROBLEMAS

Calcular el valor de los segmentos x, y.

Hallar el valor de < 3, si <1 = 130º

¿Qué nombre recibe el triángulo AEM ? R/ < 3 = 80º

Una persona tiene terreno cuadrado de 20 m de lado. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por medio de una cuerda de 10 m de lado. Qué área en m2 _{tiene la parte del} terreno

por la cual no puede pasar el caballo. R/85,84cm2

Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. El segmento interior de la primera mide 6cm, su segmento exterior mide 3cm y el segmento interior de la segunda mide 5cm; ¿Cuánto mide su segmento externo? R/ 3,26cm

5 c m 1 8 c m 1 0 c m C x B A D E F y ? 10m 20m 3 A 2 M 1 4 E

S

Datos: O = Centro de la circunferencia. Arco AL = 100º SL = diámetro <8= 70º < SOI = 1000 Hallar: < 1 Arco LI Arco AU < x < 2. R/ 10º; 80º; 40º; 140º; 30º.

Una cuerda de 5cm, se une a un diámetro de 12cm. Calcular: Proyección de la cuerda sobre el diámetro.

La parte del diámetro que no pertenece a la proyección.

La distancia del extremo de la proyección al centro de la circunferencia. R/ 2,08 cm; 3,92 cm. Desde el punto exterior a una circunferencia se trazan 2 secantes, los segmentos interior y exterior de la 1ra _{secante mide 6cm y 9cm respectivamente, el segmento exterior de la 2}da _{mide 5cm,} ¿Cuánto mide su segmento interno? R/ 13cm.

Datos O = centro de la circunferencia Arco LI = 50º Arco SV = 80º < 3 = 120º Hallar Arco IV < VLU < 2 < 4 <5 R/ 50º; 140º; 140º; 60º; 40º.

9.-Una cuerda de 4cm se une al diámetro por uno de sus extremos. La proyección de la cuerda sobre el diámetro mide 3cm. Cuánto mide la parte del diámetro que no pertenece a la proyección de tal cuerda sobre el diámetro R/2,33cm

L U A 100º S O I Z x 8 2 1 A L U I O S V 5 2 3 4

10.-Datos O = centro de la circunferencia < 1= 45º < 2 = 80º Arco TS = Arco SK = 50º Hallar Arco VS Arco VK < KTR < VTK R/ 130º; 80º; 140º; 40º.

11.- Desde el punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes: el segmento interior y exterior de la primera miden 4 cm y 3 cm respectivamente; el segmento interior de la segunda mide 6 cm, cuánto mide su segmento externo R/ 2,47cm

12.-Hallar el valor de los segmentos x, y. R/ 2,25cm; 2,83 cm

13.- Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos uno tangente y el otro secante. El segmento tangente mide 18cm. Si el segmento interno de la secante mide 15cm. ¿Cuánto mide el externo?

14. -Para el siguiente gráfico se conoce: arco EA = 1000

Arco EC = 80 0

<6 = 300

,<3 = 1200

El segmento AC, no pasa por el centro de la circunferencia

Hallar el valor de los ángulos 1, 4 y 5. A T R S O V K 2 1 6 4cm 5cm 3,781cm B x y D F A E C A E D H C 1 2 3 4 5 6

R. 150 0 _{; 20}0 _{; 50} 0

15.-Dado el valor de los siguientes ángulos: Ángulo 1 = 200

; Ángulo 2 = 400

; Ángulo 3 = 500

; Ángulo 5 = 300

Ángulo 6 = 1500_{. O = No es el centro de la circunferencia.} Hallar el valor de los arcos:

AE; AB; DC.

16.- Según el siguiente gráfico se pide calcular: UV (D). Diámetro

VN NL

Longitud de la circunferencia Área del círculo

R. 10,66 cm; 2,34 cm; 33,48 cm; 89,24 cm ; 4,41 cm A E D H C B 1 2 3 4 F A L U O V N S D 10 cm 6 cm 5 cm 2 O 5 6

17.- Para el siguiente gráfico se conoce: arco EA = 120º Arco BC= 100º <6 = 35º

<1 = 160º El segmento AC, no pasa por el centro de la circunferencia. Hallar el valor de los ángulos 3, 4, 5 18.-Datos: 0 = centro de la circunferencia AN = Diámetro NR = 15 cm RS = 40 cm Hallar: MN; AN 1 C D A B E H 4 2 3 5 6 X N M Y A O S R 15 cm 40 cm