POTENCIA
Eie radical
y
centro radical
Sección áurea
Rectángulo áureo
TEMAR
El alumno hará, más adelante, aplicación de esta teoría a laresolución dealgún problema detangencias. Eldesarrollo del tema puede hacerse en dosclases.
Objetivos
y
orientaciones metodológicas
Enesta unidad seadquirirá conclaridad elconcepto de "potencia deun punto respecto de una circunferencia". Como aplicación, se obtendrá el"ejeradical dedos circunferencias" en diversas posiciones de éstas y"el centro radical detres circunferencias".
1. Introducción
p @
Una circunferencia y un punto cualquiera, que puede ser exterior P,interior 0, operteneciente a ellaR (Fig. 1), se relacionan entre sí mediante un valor constante.
Esta relación tiene aplicación en la resolución de algunos casos de tangencias, tal como veremos en el tema 5.
o
o2. Potencia de un punto respecto
de
una circunferencia
Fig. 1.Lasrectas a yb,secantes a la circunferencia de centro Oyque pasan por el puntoP, cortan a lacircunferencia en los puntos A,A' YB,B', respectivamente (Fig. 2).
Del análisis dela figura se deduce que lostriángulos
PAB'yPBA'son semejantes portener los ángulos iguales, ya que dos de ellos loson: elde vértice
P
es común en ambos triángulos, y los de vértices A' yB'porser ángulos inscritos a la circunferencia y abarcar ambos elmismo arco,AB,de ella.Por tanto, los lados deestos triángulos son proporcionales yse cumple:a
PA PB' --=- -PB PA' obienI
FA
.
.
F'.
N
=
.
PB .
PF
I
b Fig. 2. DIBUJOTÉCNICO" -Bachillerato 19a
Si se generaliza la anterior expresión cuando se agregan otras secantes concurrentes enP, se obtiene (Fig. 3):
PA .PA' = PE· PE' = PC· PC' = PD· PD' =".= K
Kes laconstante que da elvalor de la potencia del punto Prespecto dela circunferencia decentro
o
.
Dada la condición de constante de cada uno de los productos anteriores, cuando uno de los factores aumenta, el otrodisminuye.
Fig. 3.
Dentro del haz de rectas que pasan por el punto
P
están las tangentes t¡ y t2, en las que, como casosparticulares de las secantes anteriores, sus puntos comunes con la circunferencia son coincidentes, respectivamente, en T¡ y T2(Fig. 4).
En este caso se cumplirá:
PT¡ . PT¡ = PT2 . PT2
=
PT¡2= PT22= K otambién:PT1
=
PT2=
{
j(
Del análisis de las Fig.
3
y4
y de la expresión deducida de cada una de ellas resulta:PA .PA' = PT 2
=
K
1 o también: PA{
K
----{
K
PA'De donde resulta que el segmento
{
K
es media proporcional entre los segmentosPA yPA',pero también entrePE yPE', PCy PC'.Fig. 4. Todo lo anterior nosllevaal siguiente resumen: La potencia K de un punto P exterior a una circunferencia respecto de ésta es un valor positivo igual al producto de los segmentos que se determinan en una secante trazada desde
P
o al cuadrado del segmento tomado sobre una de las tangentes trazadas desdeP
cuyos extremos son P y el punto de tangencia.a Consideremos ahora la posición del punto O interior a lacircunferencia yrepitamos elanálisis inicial anterior (Fig. 5).
Las rectas
a
yb
,
secantes a
la circunferencia de centro
0, que pasan por el punto Qlacortan en los puntos A, A'yE,E', respectivamente.
Lostriángulos OAB' YOEA' son semejantes portener los ángulos iguales: los que tienen el vértice común O, por ser opuestos por el vértice, los de vértices AyE,por serinscritos enla circunferencia yabarcar el mismo arco
A'B' y, por último, los de vértices A' yB' también son inscritos yabarcan el arco comúnAE.
b
Fig. 5.
De donde se deduce: a
OB OA' o bien
l
OA
'
QA'
=
OB .00
'
I
Lo que demuestra que es un valor constantedependiente de la circunferencia y de la posición del punto O respecto de ella, perode valor negativo, yaque al ser Oel origen de todos los segmentos, sia uno de ellos,factor deunproducto, se leconsidera positivo, el
otro,que tiene sentido contrario, será negativo. Portanto:
Fig. 6.
OA . QA'
=
OB . OB'= ... =
-KObsérvese que, en este caso, nose puede hallar--rK, por tratarse deun número complejo, como tampoco se pueden trazar tangentes a la circunferencia desde el punto Ointerior aella.
Por último, cuando el punto R pertenece a la
circunferencia de centro 0
,
el valor de la
p
o
t
enc
i
a
de aquél respecto de ésta es cero, ya que uno de los segmentos es nulo (Fig. 6).
p
Dedonde se deduce: I
La potencia de un punto O interior a una circunferencia respecto de ésta es negativa.
Esta conclusión no contradice las deducciones anteriores, porque, en este caso, la potencia delpunto R
respecto de la circunferencia de centro
°
también esuna constante.
o
Fig. 7.
Se puede considerar un caso límite cuando la
circunferencia tiene radio cero,es decir,es un punto. En este caso lapotencia deun puntoPrespecto deotro
°
es elcuadrado de la distancia entre ambos (Fig.7).3. Eje radical de dos circunferencias
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas.
Si desde un punto
P
exterior a dos circunferen-cias, perteneciente al eje radical de ambas, se trazan rectas tangentes a éstas, los segmentos,
cuyos extremos son el punto P y los puntos de tangencia, son iguales (Fig. 8).
Si seaplica aesta definición una delas conclusiones del apartado anterior, se deduce lasiguiente propiedad, de la que deriva la máxima utilidad del concepto de potencia:
La longitud de los citados segmentos es la
raíz
cuadrada de la potencia del puntoP
respecto de lascircunferencias
0
,
y02'
Fig. 8.e,
Fig. 9.
Fig. 10.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
Veamos cómo se obtiene el eje radical en diferentes casos según la posición relativa de las dos circunfe
-rencias o cuando una de ellas, o lasdos,setransforman enotro elemento geométrico alalcanzar suradio unvalor límite.
3.1. Circunferencias secantes (Fig. 9)
El eje radical, el' de dos circunferencias secantes de centros 01 y 02 es la recta que pasa por los puntos de intersección de ambas, A y B, cuya potencia respecto de cada una de ellas tiene elmismo
valor, cero. Elsegmento 0102 es perpendicular al eje
radical elpor pertenecer ala mediatriz del segmento
AB.
3.2. Circunferencias tangentes (Figs
.
10
y11)
Tanto si setrata de circunferencias tangentes exteriores, Fig. 10, como interiores, Fig. 11, eleje radical e,es la
perpendicular al segmento 0P2' que pasa por el punto
común de ambas circunferenciasT,cuya potencia respecto
de ambas es cero. Por tanto, el eje radical de dos
circunferencias tangentes es la recta tangente común a ambas.
3.3. Circunferencias exteriores
3.3.1. Primer procedimiento (Fig. 12)
Se trata, como enelcaso anterior, de conocerun punto
q
u
e te
n
ga
la
mis
m
a
p
otencia
r
e
sp
ecto
de las
circunferencias decentros 01y02·
Los ejes radicales, ely
e
2, que resultan de emparejarcada una de las circunferencias dadas con otra
cualquiera de centro
e
y secante aambas, se cortan en elpuntoPEl valor de la potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro
e
esPA . PB = PM· PN Esta igualdad significa que elpunto Ptiene la misma potencia respecto de la circunferencia de centro 01' a la quepertenecen los puntos AyB,y dela de centro 02' en la que se encuentran los puntosMy N
El eje radic
al,
e"de
l
as
c
ir
c
unf
e
rencias de centros
01y02es la perpendicular porelpuntoP a la recta Opz. Fig. 11.
e,
Fig. 12.
3.3.2. Segundo procedimiento (Fig. 13)
El punto medio,
P
,
del segmentoT
IT
2, perteneciente auna de las tangentes comunes a las circunferencias de
centros
°
1
y02' está a la misma distancia,-
Y
K
,
de lospuntos TIyT2· Se puede afirmar, por tanto, que elpunto
P tiene la misma potencia, K, respecto de las dos
circunferencias y, en consecuencia, eleje radical, er,de
ambas es la perpendicular porPa la recta
°
1°
2,En la
Fig
.
13
pu
eda a
p
recí
ar
se qu
o
el
__o
í
o
ra
d
i
cal e no
rcoincide con lamediatriz del segmento TIT2.
Sólo en el caso de que ambas circunferencias sean
iguales coincidirán las dos rectas (Fig. 14).
Fig. 13.
3.4.
Una circunferencia interior a la otra
(Fig. 15)Sesigue elmismo proceso que elutilizado en el primer caso, cuando las circunferencias eran exteriores.
Los ejes radicales el y e2de lacircunferencia auxiliar
de centro
e
con cada una de las dadas decentros°
1y 02Sg
cor
t
an
Gilol
pun
to
P
,
que
t
e
n
d
r
á
.
r
espect
o
de est
a
s
dos, la misma potencia. Por tanto, el eje radical, er, de
las dos circunferencias dadas pasa por P y es
per-pendicular ala recta
°
1°
2,Fig. 14.
3.5. Una circunferencia
yun punto
02 (Fig. 16)Es un caso límite: elradio deuna delascircunferencias,
la de centro 02en este caso, es cero.
Para el cálculo del eje radical se puede seguir cualquiera
delos procedimientos utilizados cuando se trataba de dos
circunferencias exteriores, Se
ha o
ptado por e
l pri
me
r
o
d
e
ellos.
Fig.
15.
Eleje radical, el' delacircunferencia de centro 01yde la auxiliar de centro
e
,
que corta aaquella en lospuntos Ay B, es perpendicular a la rectao
l
e.
Por lo mismo, el eje radical,e
2, de la"circunferencia" 02y dela auxiliar seráperpendicular a larecta 02
e
ypasará por lospuntos M y N,que, en este caso, coinciden con02' Por elpuntoP, donde se cortan elye2, pasa elejeradical, er, delacircunferencia de centro
°
1ydel punto 02yserá perpendicular alarecta°
1
°
2
'
Fig. 16.
Fig. 17.
Fig. 18.
Fig.
19.
Fig. 20.
24 DIBUJO TÉCNICO II -Bachillerato
3.6. Dos puntos (Fig. 17)
Cuando elradio de ambas circunferencias es cero, el
segmento O¡02 es también el correspondiente al
comprendido entre los puntos detangencia. Por tanto, el ejeradical es la mediatriz delsegmento que determinan
ambos puntos.
3.7. Una circunferencia yuna recta
r
(Figs. 18y19)En este caso límite, elradio de la circunferencia de centro
02tiene valor infinito, porlo que ésta se convierte enla
rectar.
Si la circunferencia yla recta son secantes, como en la
Fig.18, elejeradical, er' pasa por los puntos comunes de
ambas, AyB,luego es la propia rectar, que, además, es
perpendicular a larecta0P2 Si larecta yla circunferencia,
en lugar de ser secantes, son tangentes, los puntos AyB
coinciden, porlo que el eje radical también es la recta.
Cuando lacircunferencia y larecta son exteriores, caso
delaFig.19,se procede como cuando las circunferencias
son exteriores. Eleje radical de lacircunferencia de centro O¡y de laauxiliar de centro
e
esla recta e¡y eldelarectary de la circunferencia auxiliar ese2,coincidente conr. El
puntoPdonde secortane¡ ye2pertenece alejeradical, er'
de la circunferencia de centro O¡yde la rectar, el cual, al
tener que serperpendicular a la recta O¡
q
,
coincide con larectar.
Resumiendo:
El eje radical de una circunferencia y una recta es siempre la propia recta.
4. Circunferencias coaxiales
En elapartado anterior hemos hallado eleje radical
de dos circunferencias, pero pueden ser más de dos las
que tengan un eje radical común a todas ellas. Al
conjunto de circunferencias que tienen el mismo eje
radical seles denominan circunferencias coaxiales y se
dice que forman un haz. Los centros de todas las
circunferencias del haz pertenecen a una recta
perpendicular al eje radical común a todas ellas.
En laFig.20se determina un haz de circunferencias
coaxiales conotras dosexteriores dadas de centros
°
¡yO2.Con ayuda de la circunferencia auxiliar de centro
e
secalcula el ejeradical,e,de ambas. Con centro en un punto
cualquiera, 0, de eryrradio OT¡
=
OT2=
{
K
se traza lacircunferencia que contendrá a todos los puntos,T3,T4, T5...,
Tn,de tangencia de las circunferencias del haz con las
rectas tangentes a ellas que pasan por elpunto O. Las
perpendiculares aéstas por los citados puntos cortan a
la recta 0¡02 en los puntos 03' 04' 05···'
o
;
que sonUna recta t,tangente común ados circunferencias cualesquiera de este haz,corta al eje radical enunpunto
R
que equidista delos puntos M y N de tangencia, ya que se ha de cumplir:RM=RN=
-
!
K
Cuando las dos circunferencias iniciales,
°
1y02'sonsecantes, como en la Fig. 21,o tangentes, caso de la
Fig. 22, se cumplen las mismas propiedades deducidas
antenormente, aunque el
proceso se
simplifica, ya que
eltrazado delejeradical es inmediato y la determinación de circunferencias coaxiales con las iniciales norequiere ningún cálculo. Es suficiente que tengan el centro en la recta 0102y que pasen porA yB,puntos cuya potencia es cero respecto delhaz, en el primer caso, o que sean tangentes alejeradical en elpunto T,en elsegundo.
5. Centro radical de tres circunferencias
El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.Según esta definición el centro radical Cres elpunto
de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos (Fig.23).
En el apartado 3,para hallar el eje radical de dos circunferencias, se hallaba un punto,P,de éste con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro C. En aquellos casos Pera el centro radical de las dos circunferencias iniciales de centros
°
1y 02Yde la auxiliar de centro C.En el caso de que los centros delastres circunferencias estén alineados, el centro radical será un punto del
infinito, ya que los tres ejes radicales serán paralelos.
Al igual que en los casos analizados en la obtención delejeradical, el radio de alguna delas circunferencias que intervienen en la determinación del centro radical
puede tenerun valor límite, cero oinfinito.Para hallar en estos casos el centro radical, se trazan dos de los ejes radicales aplicando los razonamientos vistos anteriormente.
Sidesde el centro radical de tres circunferencias se trazan las rectas tangentes a éstas, los puntos de tangencia pertenecen a una circunferencia de centro C; y radio
..
JK
(Fig. 24). Fig. 24. Fig. 21. Fig. 22.oe
Fig. 23.Fig. 25.
m x
Fig. 26.
Fig. 27.
26 DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato
6. Sección áurea de un segmento
Dado un segmento m =PT, se dice que: elsegmento x
=
PA es sección áurea del primero, o que el puntoA
lo divide en media y extrema razón, cuando x es media proporcional entre el segmento entero, m, y la diferencia,m
-
x
,
entre ambos (Fig. 25). Es decir:m
x --=- -xm-x
o también:r
=
m (m - x)=
m2 - mx por tanto: m2 = X2+
mx =x(x
+
m) Locual significa que:Si al segmento m se le suma su áureo
x,
el segmento que resulta, x+
m, tiene como sección áurea el segmento inicial m (Fig. 26).La r
elació
n
entre myx
esm
=1
,618x
.
P
orotrapar
t
e
,
si,por simplificar la primera expresión, sustituimos m -x poryse cumple:
Aplicando ahora una de las propiedades de las proporciones, consistente en restar acada numerador su denominador, se obtiene:
m-x
x-y
x
yque se transforma en:
Luego se puede enunciar:
La parte menor que resulta al dividir un segmento en media y extrema razón es sección áurea de la parte mayor (Fig. 27)
Vistas las propiedades anteriores sellega ala siguiente
conclusión:
Existe una serie de segmentos en la que cada
uno es la suma de los dos anteriores y es, a su
vez, la sección áurea del siguiente.
Por ejemplo: el segmento x - (m- x) es la sección áurea dem
-
x
,
que, a suvez,lo es dexy éste lo es dem, que lo es dem+
x, etc.7. Obtención
gráfica
del segmento
áureo de otro dado
Acabamos de demostrar que una de las relaciones entre un segmento dado, m, y su áureo, x,es que, a su vez,elsegmento mes áureo dem
+
x,por lo que se ha de cumplir: m2 =x(x+
m).Esta fórmula coincide con laque resulta al tomar en
la Fig.
28
la potencia del puntoP
respecto de la circunferencia decentro Oydiámetro m, en la quem esigual a
-
{
K
,
la raiz cuadrada de la potenciaPor tanto, para calcular x,segmento áureo de m, se
traza la circunferencia de diámetro mtangente en Tal segmento PT =m. Larecta que une elpunto Pcon el centro de lacircunferencia corta a ésta enlos puntos Ay
A'. ElsegmentoPA =x es elsegmento áureo de m y, a
suvez,éste loes dePA' =x
+
m.8. Obtención gráfica de un segmento
conociendo
su áureo
(Fig. 29)Repitiendo el razonamiento y el trazado anteriores,pero
haciendo que el segmento x, ahora conocido, ocupe la
posición que antes ocupaba elsegmento m, resulta que
m-x es eláureo dexy éste, a suvez,lo es dem, que es
lo que se buscaba.
9
.
Rectángulo
áureo
Es aquél cuyo lado menor es segmento áureo del mayor.
En laantigüedad losgeómetras consideraron que en la relación áurea existía una armonía de proporciones,
razón porla que se hallan presentes con frecuencia en detalles constructivos deedificios antiguos.
El rectángulo áureo tiene como propiedad más
importante laposibilidad de efectuar una separación
ilimitada de rectángulos semejantes a él, por tanto
también áureos, cada vezde menor tamaño.
Si en el rectángulo ABCD de la Fig. 30, de
dimensiones calculadas en apartados anteriores AB =
x yAD =m,se construye sobre ellado CDelcuadrado
CDEF, se delimita el rectángulo ABFE semejante al
p
r
im
e
ro
.
Repi
t
iend
o
e
l proc
e
so a pa
r
tir
d
e
l
último
rectángulo sepuede seguir indefinidamente obteniendo
losrectángulosAGHE, luegoAGIJ. ..,de proporciones
áureas.
Sise opera a la inversa yal rectángulo inicial ABCD se leagrega elcuadradoBLKC, cuyo lado eselmayor del rectángulo departida, seobtiene otrorectángulo, ALKD,
semejante al inicial, yse puede seguir también indefi -nidamente. m Fig. 28. Fig. 29. Fig. 30. DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato 27
ACTIVIDADES
1. Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcional entre los segmentos a = 64 mm y
b = 30 mm.
2. Sinutilizar una circunferencia auxiliar, determinar el ejeradical de la circunferencia de centro 01y el punto 0z(Fig. 31).
o
Fig. 31. Fig. 32.
3. Calcular el punto P, situado por encima de la recta 0pz' que tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que elsegmento 010Zse ve bajo un ángulo de 300 (Fig. 32).
4. Hallar elcentro radical de las circunferencias de centros 01y 0zy la rectal (Fig. 33).
o
Fig. 33.O2
o
003
5. Hallar elcentro radical de las circunferencias de centros 01y 02Ydel punto 03(Fig. 34).
Fig. 34.
6. Sabiendo que ellado de unpentágono regular es sección áurea de su diagonal, dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, Ay C, no consecutivos (Fig. 35).
7. Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm.
8. El punto C,es elcentro radical detres circunferencias de centros 01' O;y 03' Determinar elradio de las dos últimas
(Fig. 36).
oA
Fig. 35.
28 DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato