´
ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´
IA
Grupos B y C
Curso 2006/07
Lista n´
umero uno
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 3x−2y = 6 9x+ 4y = 108 , b) x+y−2z = 9 2x−y+ 4z = 4 2x−y+ 6z = −1 , c) x+y+z = 2 2x+ 3y+ 5z = 11 x−5y+ 6z = 29 .
2. Hallar la ecuaci´on y = ax2+bx+c de la par´abola que pasa por los puntos P
1 = (−1,−10),
P2= (1,−6) yP3= (2,−13).
3. Hier´on, rey de Siracusa, hab´ıa dado a un platero 7465 gramos de oro para hacer una corona que quer´ıa ofrecer a J´upiter. Para conocer si el orfebre hab´ıa reemplazado oro por plata le pidi´o a Arqu´ımedes que lo averiguara sin da˜nar la corona. Arqu´ımedes meti´o la corona en agua y perdi´o 467 gramos de su peso (es decir, el agua desalojada pes´o 467 g.). Se sabe que el oro pierde en el agua 52 mil´esimas de su peso y que la plata pierde 95 mil´esimas. Hallar los gramos de oro y plata de la corona real.
4. Bajo ciertas condiciones se puede mezclar tolueno con ´acido n´ıtrico para obtener trinitrotolueno (tambi´en conocido como TNT) y agua. Ajustar la correspondiente reacci´on qu´ımica: x C7H8+
y HN O3→z C7H5O6N3+w H2O.
5. Resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales: a) x+y = 1 x−y = 199 , a’) 101x+y = 1 99x−y = 199 . b) x+y = 1 1001x+y = 2 , b’) x+y = 1 10005x+y = 2 , b”) x+y = 1 1001x+ 1001y = 2 . 6. Resuelve, por el m´etodo de Gauss-Jordan, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales sobre el
cuerpoC: a) x − 3y + 5z = 0 2x − 4y + 2z = 0 5x − 11y + 9z = 0 , b) x − 2y + 3z + 4t + 5u = 0 x + 4y + 7t + 2u = 0 2x + 2y + 3z + 11t + 7u = 0 3x + 6y + 3z + 18t + 9u = 0 , c) x + 2y − √2z = 0 3x − (√2 + 6)z = 0 −x + y + 3z = 0 , d) x + y + iz + t = 0 2x − y + 2z − t = 1 x + iy − z + it = 2 x + y + z − t = 0 .
7. Resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales:
a) −x+z = −2 2x−y+z = 1 −3x+ 2y−2z = −1 x−2y+ 3z = −2 5x+ 2y+ 6z = −1 , b) x1+ 2x3−2x4 = 1 −x1+x2+x4 = −2 x2+ 2x3−x4 = 1 , c) x+ 2y+ 2z−s+ 3t = 0 x+ 2y+ 3z+s+t = 0 3x+ 6y+ 8z+s+ 5t = 0 . d) 3x2−6x3−4x4−3x5 = −5 −x1+ 3x2−10x3−4x4−4x5 = −2 2x1−6x2+ 20x3+ 2x4+ 8x5 = −8 .
8. Discutir los siguientes sistemas en funci´on del par´ametro m : a) x+ 2y+z = 1 −x+ 2z = 3 3x+ 2y+mz = 1 , b) x+my+z = 1 mx+y+ (m−1)z = m x+y+z = m+ 1 .
9. ¿Tiene soluci´on el sistema
2 sinα−cosβ+ 3 tanγ = 3 4 sinα+ 2 cosβ−2 tanγ = 10
6 sinα−3 cosβ+ tanγ = 9
?
10. Determinar el valor deaen el siguiente sistema para que: a) tenga una ´unica soluci´on, b) tenga m´as de una soluci´on y c) no tenga soluci´on.
x+y−z = 1 2x+ 3y+az = 3 x+ay+ 3z = 2 .
11. Estudia la compatibilidad de los sistemas siguientes seg´un los valores de los par´ametros reales a
yb: a) ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + bz = 3 , b) ax + by + 2z = 1 ax + 2(b−1)y − 3z = 1 ax + by + (b+ 3)z = 2b−1 .
12. Sean >2. Demuestra que el sistemaS es compatible determinado y calcula su soluci´on. Usando este resultado, halla la matriz inversa de la matrizA.
S: x1+x2 = α1 x1+x3 = α2 .. . ... x1+xn = αn−1 x1+x2+· · ·+xn = αn , A= 1 1 0 0 · · · 0 0 1 0 1 0 · · · 0 0 .. . ... ... ... · · · ... ... 1 0 0 0 · · · 0 1 1 1 1 1 · · · 1 1 .
13. Elimina los par´ametrosα,β yγde los sistemas siguientes:
a) x1 = α + β + 2γ x2 = 2α − β + γ x3 = β + γ x4 = α + γ , b) x1 = α + β + iγ x2 = α − β x3 = β + γ x4 = α + β + γ , c) x1 = 2α + 2β + γ − 1 x2 = −α − 2β + γ + 2 x3 = α + 3β − 2γ − 5 x4 = 4α − 2β + 6γ + 4 .
Lista n´
umero dos
1. a) Encontrar todas las matrices escalonadas reducidas por filas enM1×3(K),M2×3(K),M3×3(K),
M3×1(K) yM3×2(K).
b) En los mismos conjuntos del apartado anterior encontrar todas las matrices escalonadas redu-cidas por columnas.
c) Encontrar todas las matrices escalonadas por filas en M3×3(K) y decir en cada caso cu´al es
su forma escalonada reducida.
2. a) Decir cu´ales de las siguientes matrices son equivalentes por filas hallando su forma escalonada reducida por filas:
A= 1 −2 0 −3 0 0 −1 0 0 0 0 0 , B= 0 3 −6 −4 −1 3 −10 −4 2 −6 20 2 , C= 0 0 −1 0 2 −4 1 −6 −1 2 1 3 , D= 0 0 0 1 0 3 −6 −4 1 −3 10 4 , E= −1 6 −16 −8 1 −3 10 −2 −1 3 −10 −1 , F = 0 0 0 1 0 3 −6 −4 1 3 10 4 .
b) Encontrar la forma escalonada reducida por columnas de las anteriores matrices y decir cu´ales son equivalentes por columnas.
c) Encontrar la forma escalonada reducida por filas de las traspuestas de las anteriores matrices.
d) Hallar, si existen, las soluciones de los sistemas cuyas matrices ampliadas son las anteriores. 3. Calcula el rango de cada una de las matrices:
0 1 2 −1 0 1 0 −2 4 2 0 2 0 0 1 2 3 5 1 1 −1 0 2 1 1 2 2 1 5 7 , 2 −3 1 0 1 0 −1 0 1 2 0 0 1 −3 2 2 1 0 1 −6 5 6 2 0 0 0 0 1 1 1 , 1 i 3i 3 2 +i 1 1 + 2i 4 +i −1 +i 1 +i 1 +i −1 +i .
4. Calcula el rango de cada una de las siguientes matrices en funci´on de los par´ametrosayb: 2 a b a+b a a 0 0 b 0 b 0 a+b 0 0 a+b , a a b b b a a b b b a a a b b a .
5. Hallar el rango de la matrizA= 2a b 1 2 ab 1 2 b a
6. a) Calcular el rango de las matrices siguientes seg´un los distintos valores dea: A= 2 0 1 1 −1 1 3 0 a 1 0 −2 −1 1 2 0 , B = 2 0 1 1 1 −1 1 3 0 −a a 1 0 −2 2 −1 1 2 0 4 .
b) Probar que existe un ´unico valor deapara el cual el sistema de ecuaciones lineales 2x1 + x3 + x4 = 1 −x1 + x2 + 3x3 = −a ax1 + x2 − 2x4 = 2 −x1 + x2 + 2x3 = 4 ,
es compatible indeterminado. Resolver el sistema para ese valor de a.
c) Probar que existen infinitos valores deapara los cuales el sistema del apartado anterior es compatible y determinado. Resolver el sistema, para todos estos valores dea.
7. Resolver los siguientes sistemas: a) x1−x2+x3+ 4x4 = 6 2x1+ 3x2−x3−11x4 = −7 x2+x3+x4 = 1 b) x+y+z = 3 x−y+z = 1 2x+az = b
8. Discutir seg´un los valores deaybel sistema con coeficientes reales:
ax+y+z = 1 x+ay+z = b x+y+az = b2
9. Discutir los siguientes sistemas seg´un los valores dea. a) (a+ 1)x+y+z = a−1 x+ (a+ 1)y+z = 2 x+y+ (a+ 1)z = a+ 1 b) ax+y+z = 1 x+ay+z = 1 x+y+az = 2a−1
10. Hallar el rango de la siguiente matriz seg´un los valores del par´ametroa: a 1 1 2 2 a a2 1 2 1 1 2 .
11. Calcular para cadax∈Cel rango de la matriz x −1 x 0 x 0 x x 0 −1 1 x 1 x 0 0 1 x x 0 .
Lista n´
umero tres
1. SeanA= 1 2 1 0 3 −1 2 0 1 ∈ M3(R) yB= 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 ∈ M3(R). Calcula: a) A2yB2; b) 3A3−1 2A+A 0 y 3B3−1 2B+B 0; c) (At)2+AAt+AtA−3I3 y d) (At)2+AtB+BtA.e) ¿Existe alguna matrizX no nula tal queXA=BXt?
2. Resolver la siguiente ecuaci´on matricial: 1 −1 3 3 x y = 1 x y −1 3 2 .
3. Hallar las matricesAyB que son soluciones del siguiente sistema: 3A+ 2B= 2 −1 5 5 ; 2A+B = 1 3 −2 0 .
4. Obtener las matricesAyB que verifiquen el sistema: 2A+B = 1 2 2 −2 1 0 ; A−3B= −4 −3 −2 −1 0 −1 . 5. SeanA= 0 1 1 0 yB= 1 0 1 1
. ¿Por qu´e no se cumplen las igualdades (A+B)2=A2+B2+
2AB, (A−B)2=A2+B2−2ABy (A+B)(A−B) =A2−B2?
6. Si H ∈ Mn×n(K), se define la traza de H como Tr(H) = n
X
i=1
hii. Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×m(K), demostrar que Tr(AB) = Tr(BA).
7. SeaA∈ Mm×n(R). Demostrar que:
a) SiAAt= 0, entoncesA= 0. b) Si Tr(AtA) = 0, entoncesA= 0.
8. Probar que si A es una matriz idempotente (o sea, verifica que A2 =A) entonces tambi´en es
idempotente la matrizB=I−Ay queAB=BA= 0.
9. Dada una matriz cuadrada A, demostrar queA+Ates una matriz sim´etrica. Probar que toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz sim´etrica y otra antisim´etrica. 10. Hallar la inversa de las siguientes matrices planteando un sistema de ecuaciones y resolvi´endolo
por el m´etodo de Gauss: a) 3 2 4 3 b) 3 3 4 1 1 1 3 4 3 c) 2 1 1 2 1 0 3 1 −2 d) 2 −1 2 −1 1 0 2 −1 3
11. Calcula, por el m´etodo de Gauss, el rango de la matrizA. Utiliza el mismo m´etodo para encontrar la matriz inversa de B. A= 0 −1 3 1 −1 2 0 2 0 4 8 1 1 3 5 −2 , B= 2 1 3 0 −1 1 0 −2 0 1 2 0 1 0 1 1 .
12. Calcula la inversa de cada una de las matrices siguientes:
1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , −1 0 1 0 1 −1 0 1 1 1 −1 0 1 1 1 −1 , 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 .
13. Dadas las matrices:
A= 1 −2 0 −3 0 0 −1 0 0 0 0 0 , B= 0 3 −6 −4 −1 3 −10 −4 2 −6 20 2 , C= 0 0 −1 0 2 −4 1 −6 −1 2 1 3 , D= 0 0 0 1 0 3 −6 −4 1 −3 10 4 , E= −1 6 −16 −8 1 −3 10 −2 −1 3 −10 −1 , F = 0 0 0 1 0 3 −6 −4 1 3 10 4 .
a) Encontrar una matriz EA producto de matrices elementales de forma que HA = EAA, dondeHArepresenta la forma escalonada reducida por filas de A. Hacer lo mismo para las restantes matrices.
b) Encontrar una matrizEA0 producto de matrices elementales de forma queHc A=AE
0
A, donde Hc
A representa la forma escalonada reducida por columnas de A. Hacer lo mismo para las
restantes matrices.
14. Dadas las siguientes matrices hallar su rango y su forma can´onica equivalente (es decir, la matriz escalonada reducida por columnas de su matriz escalonada reducida por filas). Hallar tambi´en matricesQyP (productos de matrices elementales) tales queP AQsea igual a la forma can´onica deA. Proceder an´alogamente con las matrices B yC.
A= 1 2 1 5 2 5 1 14 4 9 3 24 ,B= 1 −2 3 −1 5 −1 2 −3 2 −1 0 0 1 −1 1 , C= 1 0 −1 1 0 2 2 2 −1 4 5 3 .
Lista n´
umero cuatro
1. Calcula los siguientes determinantes:i) 1 −2 −3 4 −2 3 4 −5 3 −4 −5 6 −4 5 6 −7 , ii) 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 , iii) 3 9 27 81 1 1 1 1 −2 4 −8 16 2 4 8 16 , iv) 1 2 0 0 0 3 4 0 0 0 −8 9 2 −7 7 5 −6 0 1 8 8 7 0 0 −1 .
2. Calcula el siguiente determinante: x a1 a2 a3 · · · an−1 1 a1 x a2 a3 · · · an−1 1 a1 a2 x a3 · · · an−1 1 a1 a2 a3 x · · · an−1 1 . . . . . . . . . . . . a1 a2 a3 a4 · · · x 1 a1 a2 a3 a4 · · · an 1 .
3. Hallar el valor de los determinantes:
a) 1 1 1 1 1 (1 +a) 1 1 1 1 (1 +b) 1 1 1 1 (1 +c) ; b) 1 +i 1 2 0 2 +i 3 4 3 4 +i 2 3 2 1−i 2 4 6 ; c) 1 2 3 4 · · · n −1 0 3 4 · · · n −1 −2 0 4 · · · n .. . ... ... ... . .. ... −1 −2 −3 −4 · · · 0 ; d) x+a b c a x+b c a b x+c ; e) 1 1 1 a b c b+c c+a a+b .
4. Resolver los ejercicios siguientes utilizando determinantes: 1, 8, y 9 de la hoja 1; 4, 7, 9 y 11 de la hoja 2, y 10, 11 y 12 de la hoja 3 de ejercicios complementarios.
5. Consideramos las matrices
A= 2 −3 −2 2 0 1 −2 1 1 −1 1 0 y C= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
de M3×4(R). Cada uno de los apartados siguientes demuestra queA y C son matrices
a) Comprobar (usando menores) que tienen el mismo rango.
b) Comprobar queC se puede obtener a partir deArealizando operaciones elementales sobre las filas y sobre las columnas de A. (Indicar en cada paso qu´e operaciones elementales se han realizado)
c) Encontrar matrices invertiblesP∈GL3(R) yQ∈GL4(R) tales queC=P AQ.
6. a) ¿ Para qu´e valores deaes invertible la matrizA= −1 a 0 2 0 a −1 3 −1 ? b) HallarA−1 cuandoa= 1.
7. a) Probar que det
1 cosx cos 2x
cosx cos 2x cos 3x
cos 2x cos 3x cos 4x
= 0 para todo n´umero realx.
b) ¿Por qu´ex= 2 es soluci´on de la ecuaci´on det x 4 2 3−x x 1 1 1 +x x = 0? Hallarlas todas.
Lista n´
umero cinco
1. Consideremos el conjunto R2 con la operaci´on interna:
(x, y) + (x0, y0) = (x+x0, y+y0),
y una de las siguientes operaciones externas:
a) λ(x, y) = (λx,0),
b) λ(x, y) = (λx, λy),
c) λ(x, y) = (λ+λx−1, λ+λy−1),
d) λ(x, y) = (λy, λx),
donde λ ∈ R. Determinar en cada caso si las operaciones definen una estructura de espacio vectorial enR2.
2. EnQ×Qse definen las operaciones suma y multiplicaci´on por un escalar como sigue:
(a, b) + (a0, b0) = (a+a0, b+b0) yλ·(a, b) = (λa,0)
Justificar si (Q×Q,+,·) es o no unQ-espacio vectorial.
3. ConsideremosR2con las operaciones de suma⊥y producto por escalares?definidas como sigue:
(x1, x2)⊥(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2−2x1y1−1),
λ ?(x1, x2) = (λx1, λx2+λ(1−λ)x21+ 1−λ).
Determinar si (R2,⊥, ?) es un espacio vectorial real.
4. EnR3definimos las operaciones suma ⊥y producto por escalares? como sigue:
(x1, x2, x3)⊥(y1, y2, y3) = (x1+y1+ 1, x2+y2−1, x3+y3+ 3),
λ ?(x1, x2, x3) = (λx1+λ−1, λx2−λ+ 1, λx3+ 3λ−3).
Estudiar si (R3,⊥, ?) es o no un espacio vectorial real.
5. SeaV el espacio vectorial de las aplicaciones deRenR. Demostrar que son subespacios vectoriales
deV:
a) V1={f ∈V|f(3) = 0};
b) V2={f ∈V|f(7) =f(1)};
c) V3={f ∈V|f(−x) =−f(x)}.
6. Determinar cu´ales de los siguientes subconjuntosF deRn son subespacios vectoriales:
a) F ={(x1, ..., xn)∈Rn |x1+x2+· · ·+xn = 0},
b) F ={(x1, ..., xn)∈Rn |x1+x2+· · ·+xn = 1},
c) F ={(x1, ..., xn)∈Rn |xi≤0 ,para cadai∈ {1, ..., n}},
d) F ={(x1, ..., xn)∈Rn | m´ax{|xi| | i∈ {1, ...n}} ≤1}.
7. a) Determinar los valores reales de ay b para que el vector (1,4, a, b) sea combinaci´on lineal de los vectores (1,2,−1,2) y (0,1,2,1).
b) Demostrar que para cada terna de n´umeros reales a, b yc los vectores (1, a, b), (0,1, c) y (0,0,1) son linealmente independientes.
c) ¿Para qu´e valores reales de los escalaresaybson linealmente independientes los vectores (1,1,0, a),(3,−1, b,−1) y (−3,5, a,−4)?
8. Sean ¯u,¯vy ¯wtres vectores linealmente independientes. Mostrar que ¯u+ ¯v,u¯−v¯y ¯u−2¯v+ ¯wson linealmente independientes.
9. Halla tres polinomios P1(X), P2(X) y P3(X) en R5[X] linealmente independientes tales que
Pi(0) = 1,Pi(1) = 0 y Pi(2) =−5 (i= 1,2,3). 10. Escribir la matrizE= 3 1 1 −1
como combinaci´on lineal de de las matrices:
A= 1 1 1 0 , B= 0 0 1 1 y C= 0 2 0 −1 .
11. Estudiar si los conjuntos siguientes son base del espacio vectorial dado:
a) {1, X+ 3,(X+ 3)2,(X+ 3)3}enR3[X]. b) 1 0 1 1 , 0 1 1 1 , 1 1 0 1 , 1 1 1 0 enM2(R). c) 1 1 1 1 , 1 −1 −1 1 , −1 1 1 −1 , −1 0 0 1 enM2(R).
12. a) Demostrar que los conjuntos siguientes son bases deR4:
B1={(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)},
B2={(1,2,0,0),(0,1,2,−1),(1,−1,−1,−1),(0,1,1,0)}.
b) Encontrar las coordenadas del vector u= (1,2,−1,−2) respecto de cada una de las bases anteriores.
13. Estudiar si son dependientes o independientes los siguientes conjuntos de vectores y encontrar una base del subespacio vectorial que generan:
a) {(2,3,1),(1,0,1),(0,3,−1)};
b) {(2,3,1,0,1),(0,1,2,1,4),(0,0,1,4,5),(0,0,0,3,1)}; c) {(1,2,1),(2,4,1),(−3,−6,−3)}.
14. En R3 se consideran los subespaciosE1 =L[(1,2,1),(1,3,2)] y E2 =L[(1,1,0),(3,8,5)].
Com-probar que E1=E2.
15. Estudiar si los vectores (1,0,−1,2), (2,3,1,1), (1,3,2,−1) y (1,1,0,1) de K4 son linealmente
independientes. Extraer de ellos el mayor n´umero posible que lo sean y construir una base deK4
que contenga a esos vectores elegidos. 16. Se considera la matrizA=
2 1 −2 0
. Probar que el conjunto
H={X∈M2×2(K)|XA=AX}
es un subespacio vectorial de M2×2(K) y calcular su dimensi´on.
17. SeaW =L[¯v1,¯v2,v¯3,v¯4]⊂R[t], donde ¯v1=t3−2t2+4t+1, ¯v2= 2t3−3t2+9t−1, ¯v3=t3+6t−5
18. Hallar una base, la dimensi´on y unas ecuaciones impl´ıcitas del subespacio H cuyas ecuaciones param´etricas son:
H: x = 2α1−α2+α3+α4 y = α1+α2+ 2α3+α4 z = 3α1+ 3α3+ 2α4 t = −α1+ 5α2+ 4α3+α4
Ampliar la base de H a una base deK4.
19. En el espacio vectorialR5consideramos el subespacio vectorial Lde ecuaciones impl´ıcitas:
x+ 2y− z = 0
y+ 2z− t+ w= 0 3x+ 4y− 7z+ 2t− 2w= 0
a) Comprobar que los vectoresu1= (1,0,1,1,−1) yv1= (0,0,0,1,1) pertenecen aL.
b) ¿Son linealmente independientes los vectoresu1yv1?
c) Prolongar{u1, v1}hasta una base B1 deL.
d) Prolongar{u1} hasta una baseB2 deL, que no contenga a ning´un m´ultiplo dev1.
e) Escribir, si es posible, las coordenadas de los vectores:
(2,−1,0,0,1),(1,1,1,1,−2) y (−3,2,1,0,0) respecto de las bases B1 yB2.
20. Hallar la dimensi´on y una base del espacioW cuyas ecuaciones impl´ıcitas son:
x+ 2y+ 2z−s+ 3t = 0 x+ 2y+ 3z+s+t = 0 3x+ 6y+ 8z+s+ 5t = 0
21. Dado el subespacio vectorial W ={(x1, x2, x3, x4) ∈R4|x1+x2−x3+x4 = 0} ⊂ R4, hallar
una base deW. Determinar si (1,−2,0,1)∈W y, en ese caso, hallar sus coordenadas respecto a dicha base deW.
22. Estudiar si {(2,1,1),(−2,1,3),(1,3,1)} es una base de R3 y dar las coordenadas de (1,1,1) en
dicha base. Hallar la matriz del cambio de base respecto a la can´onica.
23. Demostrar que B ={1, X, X2, X3} es una base de R3[X] (espacio vectorial de los polinomios
reales de grado menor o igual que 3). Probar que {(1 +X)3, X(1 +X)2, X2(1 +X), X3} es
otra base deR3[X] y hallar respecto a esta segunda base las coordenadas de los elementos de la
primera. Hallar las matrices de cambio de base. 24. Dados los conjuntos de vectores
B ={(3,2,5),(2,1,3),(1,0,2)} y B0 ={(−2,1,3),(−2,1,2),(1,−1,3)},
se pide:
a) Demostrar que son bases deR3 y hallar las matrices del cambio de base en los dos sentidos.
b) Hallar las coordenadas de ¯vB= (2,−1,−4) en la baseB0.
c) Hallar las coordenadas de ¯wB0= (0,1,5) en la baseB.
d) Escribir las coordenadas de ¯v y ¯wen la base can´onica.
25. Halla un sistema de ecuaciones homog´eneas cuyo espacio de soluciones sea el m´ınimo subespacio que contiene a los vectores (−1,0,1,0,0), (0,−1,1,1,0) y al subespacio de soluciones del sistema:
x1 − x2 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 − x5 = 0 x2 + x4 − x5 = 0 .
Lista n´
umero seis
1. Dado un subconjunto linealmente independiente {u1, u2, u3} de un espacio vectorialV, se
con-sideran los subespacios H1 =L[u1+u2, u2+u3] yH2 =L[u1+u2+u3, u2−u3]. ¿Cu´al es la
dimensi´on deH1∩H2?
2. SeanH ={(x, y, z, t)∈R4|x+y=z+t= 0} yL=L[(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)]
subespa-cios vectoriales de R4. Hallar una base y la dimensi´on de: a)H; b)L; c)H∩Ly d)H+L.
3. En R4 se consideran los subespacios vectoriales U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y +z +t = 0} y W = {(x, y, z, t)∈R4kx+y=z−2t= 0}. Hallar bases, dimensiones y ecuaciones impl´ıcitas
y param´etricas de:U,W,U∩W yU+W. 4. Sean los subespacios vectoriales deR4:
U =L[(1,1,0,−1),(1,2,3,0),(2,3,3,−1)], W =L[(1,2,2,−2),(2,3,2,−3),(1,3,4,−3)].
Hallar: a) la dimensi´on deU +W y b) la dimensi´on deU∩W.
5. Para cada n´umero realase considera el subespacio vectorial deR3definido por Ha ={(x, y, z)∈R3|ax−y+z= 0}.
Sea u= (1,1,1). ¿Para qu´e valores dease cumple la igualdadR3=Ha⊕L[u]?
6. SeanU, W subespacios deR3 definidos porU ={(x, y, z)∈
R3|x=y =z}yW ={(x, y, z)∈ R3|x= 0}.
a) Hallar una base deU y otra deW.
b) Comprobar queR3=U⊕W.
7. SeanH ⊂R4de ecuacionesx−y=z+t= 0 y L⊂R4 generado por (1,−1,0,0), (1,0,−1,0) y
(1,0,0,−1). Hallar bases, dimensiones y ecuaciones impl´ıcitas y param´etricas deH, L,H∩L y
H+L.
8. Sean los subespacios
U =L[(1,3,−2,2,3),(1,4,−3,4,2),(2,3,−1,−2,9)], W =L[(1,3,0,2,1),(1,5,−6,6,3),(2,5,3,2,1)],
deR5. Hallar una base y la dimensi´on deU∩W.
9. Dados los subespacios, U =L[(1,2,1,3),(0,1,2,1),(6,11,4,17)] yW : 4x1−x2+x3−x4 = 0
de R4. Hallar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas deU +W y deU ∩W. ¿EsU+W una
suma directa?
10. Seanaybn´umeros reales y consideremos los subespaciosHyLdeR4cuyas ecuaciones impl´ıcitas
son H : bx1−bx2+x4 = 0 x3 = 0 yL: (a−1)(2x1−x2)−2x3 = 0 2bx1−(a+b)x2+ 2x4 = 0
a) Calcular la dimensi´on deH yL. ¿Existen valores deayb para los queH =L?
b) ¿C´omo han de seraybpara queH+L6=R4?
11. SeaH ⊂R4 el subespacio definido como H ={x−y+z−2t=x−2y+z−t= 0}. Hallar las
ecuaciones impl´ıcitas de un subespacio L⊂R4tal que R4=L⊕H.
12. Para cada uno de los siguientes pares de subespaciosU,W deR4, hallar una base y la dimensi´on
a) U =L[(1,2,1,0),(0,−1,0,1)],W =L[(0,0,1,1),(1,1,2,2)].
b) U ={(a, b, c, d)∈R4:b+c+d= 0},W ={(a, b, c, d)∈R4:a+b= 0, c= 2d}.
13. Sean H = {(x, y, z, t) ∈ R4|x−y = z+t = 0} y L = L[(2,1,1,1),(0,1,−1,−1),(1,0,1,1)]
subespacios vectoriales de R4.
a) Hallar una base deH y las ecuaciones impl´ıcitas deL.
b) HallarH∩LyH+L. ¿EsH+Lsuma directa?
c) SiU =L[(0,2,1,0),(0,0,0,1)] hallarH+U yL+U. ¿Se trata de sumas directas?
d) Encontrar una base y la dimensi´on de los espacios cociente: R4/H,
R4/L, R4/(H ∩L), R4/(H+L),H/(H∩L) y (H+L)/L.
14. SeanV =R5yW ={(x
1, x2, x3, x4, x5)∈R5|x4=x5= 0}. Hallar una base y la dimensi´on de
V /W.
15. W =L[(1,2,3,4),(2,2,1,1),(0,1,2,3)] yW0=L[(1,0,−1,2),(2,3,0,1)] son subespacios deV =
C4. Hallar una base y la dimensi´on deV /W y deV /W0.
16. En el espacio vectorialR5consideramos el subespacio vectorial Lde ecuaciones impl´ıcitas:
x+ 2y− z = 0
y+ 2z− t+ w= 0 3x+ 4y− 7z+ 2t− 2w= 0
a) Encontrar, si existen, vectores de la base can´onica de R5 cuyas clases formen una base del
cociente R5/L.
b) Encontrar, si es posible, una base deR5/Ltal que ninguno de sus elementos sea la clase de
un vector de la base can´onica deR5.
c) Sean
A1={(0,0,0,−1,1) +L,(1,0,0,0,1) +L}, A2={(1,0,0,0,0) +L,(1,0,0,0,1) +L},
A3={(1,0,0,0,0)+L,(1,0,0,0,1)+L,(0,1,0,0,0)+L}, A4={(1,0,0,0,0)+L,(1,1,0,0,0)+L}.
1) ¿Cu´ales de los conjuntos anteriores son linealmente independientes? 2) ¿Cu´ales son sistemas de generadores?
3) ¿Cu´ales son base?
4) Escribe los vectores (1,0,0,1,1)+L, (0,1,1,4,1)+Ly (2,1,0,1,2)+Lcomo combinaci´on lineal de los elementos deA2 y de los deA3, de dos formas distintas, si es posible.
5) Escribe las coordenadas de los vectores del apartado anterior respecto deA4.
Lista n´
umero siete
1. Determinar cu´ales de las aplicaciones siguientesf :R2→
R2son lineales: a) f(x, y) = (y, x), b) f(x, y) = (0, x), c) f(x, y) = (1, x+y), d) f(x, y) = (x2, y2). 2. Sea f : R2 →
R3 la aplicaci´on lineal determinada por f(1,0) = (1,1,1), f(0,1) = (1,0,0).
Calcularf(2,−1) y hallar el n´ucleo y la imagen def. 3. Seaf :R4→R3la aplicaci´on lineal dada por
f(x, y, z, t) = (x+z+t, x+y+ 2z+t, y+z).
a) Encontrar bases de los subespacios vectoriales im f, kerf y del espacio vectorialR4/kerf.
b) Describir expl´ıcitamente, mediante matrices, la factorizaci´on can´onica de f. Comprobar, mediante el producto adecuado de estas matrices, que la aplicaci´on f se factoriza en la composici´on de las otras tres.
c) Calcular bases tales que las matrices de la factorizaci´on can´onica respecto de ellas tengan ceros y unos en su diagonal principal, y ceros fuera de ella.
4. Consid´erense los vectores deR3:v1= (1,0,0),v2= (0,0,1),v3= (1,1,0),v4= (1,0,1). Seanw1
yw2 dos vectores cualesquiera deR2.
a) ¿Existe alguna aplicaci´on lineal f de R3 en R2 tal que f(v1) = w1, f(v2) = w2, f(v3) =
w1+w2, f(v4) =w1−w2?
b) Demostrar que existe una ´unica aplicaci´on linealg deR3 en
R2tal queg(v1) =w1,g(v2) =
w2,g(v3) =w1−w2,g(v4) =w1+w2.
c) ¿Cu´ales son las posibles dimensiones del n´ucleo deg?
5. Encontrar una aplicaci´on linealf :R3→R3 que cumpla las tres condiciones siguientes:
a) f(1,0,0)∈L[(0,0,1)],
b) f2=f, y
c) kerf ={(x, y, z)∈R3 |x+z= 0}.
6. SeanBc la base can´onica deR4, yu1= (1,0,1,0), u2= (0,1,0,1) vectores deR4. Se pide:
a) Construir un subespacioW deR4tal que R4=W ⊕L[u1, u2].
b) Construir una aplicaci´on linealf :R4→
R4 tal que kerf =L[u1, u2] e im f =W.
c) Decidir si existe alguna aplicaci´on lineal g : R4 → R4 tal que kerg = L[e1, e2] e im g =
L[e1, e3, u2].
7. SeaV = (R5)∗ y seanw1,w2,w3, w4 los elementos deV definidos por:
w1(x, y, z, s, t) =x+y+z, w2(x, y, z, s, t) =x+s+t,
w3(x, y, z, s, t) =t, w4(x, y, z, s, t) =x+y+ 2z+s+t;
¿existe una base de V que contenga aw1,w2,w3,w4?
8. Hallar las coordenadas de la forma linealw:R4→Rdefinida porw(x, y, z, t) = 3x−5y+ 4z+t,
respecto de la base dual de la base can´onica {e1, e2, e3, e4}, y de la base dual de la baseB =
9. EnR3se consideran la base can´onicaBc={e1, e2, e3}y la base
B={(1,0,1),(0,1,−2),(−1,−1,0)}.
a) Calcular la base dual de cada una de ellas.
b) Estudiar si las formas lineales f1, f2, f3 de R3 en R dadas por f1(x, y, z) = x+ 2y+z,
f2(x, y, z) = 7x+ 14z,f3(x, y, z) = 3x+y+zforman una base del espacio dual (R3)∗, y en
caso afirmativo, calcular la base de la que es base dual. 10. Se considera el espacio vectorial realR4 y, en ´el, los vectores u
1 = (1,0,0,1), u2 = (0,3,1,0) y
u3= (1,0,1,2). Se pide:
a) Probar que los vectoresu1,u2,u3son linealmente independientes y encontrar un vectoru4de
R4tal queu1,u2,u3,u4formen una base deR4. Determinar la base dual de{u1, u2, u3, u4}.
b) Determinar el subconjuntoM del espacio vectorial dual (R4)∗ formado por las aplicaciones lineales f :R4→Rque se anulan enu1 y enu2 y que no se anulan enu3.
c) Determinar el subespacio vectorialF de (R4)∗ generado porM, es decir, el m´ınimo
subes-pacio vectorial de (R4)∗ que contiene aM. ¿CoincideF con M? Hallar una base deF.
11. Se consideran los espacios vectorialesR3 yR4, y en ellos sus bases can´onicasBc yB0c,
respecti-vamente. Se pide:
a) Determinar todas las aplicaciones lineales f :R3→R4, dando sus matrices respecto deBc
yB0
c, tales que
1) ker(f) es el subespacio de ecuaciones impl´ıcitas: x1 − x2 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 , 2) f(e1) = (−1,1,−1,0), 3) L[f(e2)] =L[(1,0,2,1)].
b) De todas las aplicaciones lineales obtenidas ena), determinar aquella cuya aplicaci´on lineal dual f∗ : (R4)∗→( R3)∗ transforma α: R4 → R (x1, x2, x3, x4) 7→ −2x1+x2+x3−x4 en β: R 3 → R (y1, y2, y3) 7→ 2y1−y2+12y3 .
c) Para la aplicaci´on lineal f determinada en b), dar bases en R3, R3/ker(f), im(f) y R4
de forma que las matrices, respecto de esas bases, de las aplicaciones lineales que dan la descomposici´on can´onica de f, tienen ceros y unos en sus diagonales principales y ceros fuera de ellas. Determinar esas matrices.
12. Seaf :R3→R3 la aplicaci´on lineal dada porf(x, y, z) = (x−2y−2z,−x+z, x−y−2z). Se
pide:
a) Demostrar quef es una simetr´ıa, es decir, quef2=Id
R3.
b) Determinar la base de la simetr´ıa:U ={u∈R3 | f(u) =u} y la direcci´on de la simetr´ıa:
W ={u∈R3|f(u) =−u}, dando bases deU y deW.
c) Encontrar una baseBdeR3 tal queM
B(f) = 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 . d) SeaB0∗ la base de (
R3)∗dual de la baseB0={(2,−1,1),(1,1,0),(1,0,1)}deR3. Escribir la
matriz de cambio de baseM(B0∗,B∗
c), siendoB∗c la base de (R3)∗ dual de la base can´onica
deR3.
Lista n´
umero ocho
1. ¿Para qu´e valores deaybes diagonalizable la matrizA= 1 0 0 b 2 b 0 0 a ?
2. ¿Para qu´e valores del par´ametroaes diagonalizable la matrizA= 1 0 0 a 1 0 1 1 2 ? 3. Se considera la matrizA= −7 −6 12 10
. Encontrar la f´ormula de recurrencia que d´e la potencia
n-´esima de la matrizA.
4. Hallar el polinomio caracter´ıstico, los valores propios y los subespacios invariantes de los endo-morfismos deKn cuyas matrices respecto de la base can´onica son las siguientes:
a) −4 −6 0 3 5 0 3 6 5 b) 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 −2 c) 1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4 d) −3 1 −1 −7 5 −1 −6 6 −2 .
¿Qu´e endomorfismos son diagonalizables?
5. Hallar el polinomio caracter´ıstico, los valores propios y los vectores propios de las siguientes matrices: a) 1 2 2 1 b) 2 3 2 1 c) 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 3 0 0 2 1 d) 2 3 4 6 2 1 4 2 4 6 2 3 4 2 2 1 .
6. Hallar la matriz respecto de la base can´onica de un homomorfismo f : R4 → R4 tal que f(1,0,1,0) = (2,1,−1,0), L[(0,1,−1,0)] sea el subespacio de vectores propios de f para el valor propio−1 yH ={x+z=x−y+t= 0} sea el subespacio de vectores propios def para el valor propio 2.
7. Se dan las expresiones recurrentes
un = 3un−1+ 3vn−1
vn = 5un−1+vn−1
yu0=v0= 1. Hallar las
expre-siones de un yvn en funci´on den.
8. En un criadero de conejos se denota por xn eyn el n´umero de machos y hembras al cabo de n
a˜nos. Sabiendo que
xn+1 = 5xn−3yn
yn+1 = 6xn−4yn
y que x1 = 2, y1 = 1, hallar el n´umero total de
conejos al cabo de 20 a˜nos.
9. Hallar los valores de ayb para que sea diagonalizable la matriz A= 2 0 0 a 2 0 b 0 a . Para esos valores de aybencontrar una matrizP tal queP−1AP sea diagonal.
10. a) Seaf un endomorfismo no diagonalizable deC2 de traza 2. Calcular detf.
b) SeaAuna matriz cuadrada de orden dos con traza 5 y determinante 4. ¿Es diagonalizable? 11. Probar que las matrices
1 0 0 0 −1 1 0 0 −1 y 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1
no son semejantes, si bien tienen los mismos valores propios.
12. Dadas las siguientes parejas de matrices estudiar si son o no semejantes. a) 1 1 1 −1 y 1 0 1 −1 . b) 2 1 0 0 2 1 0 −1 0 y 1 0 0 0 1 1 0 0 2 .
13. Encontrar todos los subespacios invariantes del endomorfismo deK4definido por
f(x) = (x1,2x2,3x3,4x4).
14. Seaf :K4→K4 el endomorfismo
f(x) = (2x1−x3,−2x1+ 4x2+ 2x3,4x3+x4,4x4).
Calcular todos los autovectores def, y obtener todos los planos invariantes def en los que est´an contenidos.
15. Se consideran los siguientes subespacios deR4:
H : ( x−y+z−t = 0 x+y+z+t = 0 , L : ( x+y+z = 0 x+ 2z = 0 . Probar que existe un ´unico endomorfismof :R4→
R4 cuyos valores propios son 1, 2 y H es el
subespacio propio asociado a 1, Les el subespacio propio asociado a 2. 16. Se tienen dos sucesiones (xn), (yn) de n´umeros reales tales que
xn+1= 6xn−yn, yn+1= 3xn+ 2yn.
Calcular 14(3xn+1+yn+1), siendox1= 1,y1=−1.
17. ¿Existe alg´un endomorfismof :R9→R9con dos subespacios propiosH,Ltales que dim(H)−
dim(L) = 6 y dim(L(H, L)) = 16 ?
18. SeaM una matriz diagonalizable. ¿Para qu´e valores de λes diagonalizable la matrizM−λI? 19. ¿Existe alguna matriz regular 7×7 con coeficientes reales, cuyo polinomio caracter´ıstico sea
−X7+X3−X?
Lista n´
umero nueve
1. Demostrar que cualquier matriz cuadrada real de orden 2 cuyo determinante es negativo, es semejante a una matriz diagonal.
2. SeaA∈M3(C) una matriz no diagonal con un ´unico autovalorλy que verifica que (A−λI)2= 0.
Calcular la forma de Jordan JA de la matrizA.
3. De un endomorfismo f de R5 se sabe que su polinomio caracter´ıstico es −(X −2)3(X−3)2.
Determinar todas las formas de Jordan posibles de f. 4. Calcular 2 −1 1 0 15 .
5. Discutir seg´un los valores dea,b,cla expresi´on del polinomio m´ınimo de la matriz
A= 1 a b 0 1 c 0 0 1 .
6. ¿Es cierto que si los polinomios m´ınimo y caracter´ıstico de un endomorfismo coinciden (salvo signos), entonces el endomorfismo es diagonalizable?
7. El polinomio m´ınimo de un endomorfismo deCn esXn. ¿Cu´al es su forma de Jordan?
8. EnR3se consideran los endomorfismos dados por las matrices
A= 1 0 −1 0 1 0 1 1 −1 y B = 0 1 0 −1 0 1 −1 1 1 . Se pide:
a) Forma can´onica de Jordan y matriz de paso de ambos.
b) ¿Son las matrices A y B semejantes? En caso afirmativo encontrar una matriz P tal que
B =P AP−1.
9. Calcular en funci´on dea, b∈Cla forma de Jordan de
2a −1 0 b 2 0 4 0 b .
10. Para cada una de las matrices siguientes hallar: los polinomios caracter´ıstico y m´ınimo, la forma can´onica de Jordan, la base de Jordan correspondiente y tambi´en una matrizP tal queP−1M P
sea la forma de Jordan de M:
(a) −1 1 1 −3 3 1 −2 1 2 , (b) 3 −1 0 5 −1 −1 2 −1 1 , (c) 0 1 0 −2 3 0 −1 1 1 , (d) −2 0 1 0 −1 0 −1 0 0 , (e) −1 0 3 −2 −1 2 1 0 −4 0 6 −3 −2 0 2 0 , (f) 2 0 1 −1 −1 −1 6 −7 1 1 1 1 2 2 −4 6 , (g) 2 2 −3 4 −2 2 1 0 3 3 −5 7 4 2 −6 7 , (h) 1 1 −1 2 −1 3 −1 2 1 1 −1 3 2 0 −2 3 , (i) 1 0 0 0 −1 2 1 0 −1 0 2 0 −1 0 1 1 , (j) 3 1 0 0 −4 −1 0 0 7 1 2 1 −17 −6 −1 0 ,
(k) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , (l) 2 −2 −9 −2 5 0 0 −2 0 1 1 −1 −4 −1 2 0 0 2 0 −1 1 −1 −4 −1 2 , (m) −2 0 3 4 5 0 −2 0 6 7 0 0 −2 0 8 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , (n) 5 0 6 7 9 14 0 5 0 8 10 15 0 0 5 0 11 16 0 0 0 5 12 17 0 0 0 0 13 18 0 0 0 0 0 19 .
11. Hallar una base B del espacio vectorial de los polinomios complejos de grado ≤ 4 tal que la matriz respecto de la base B del endomorfismo definido porf(p(X)) =p(X+ 1) sea una matriz de Jordan.
12. Hallar la forma de Jordan de una matriz complejaM de orden 13 de la que se sabe que tiene un solo autovalor, el rango de (M −2I13) es ≥11 y el rango de (M −2I13)8 es 1.
13. Hallar la forma de Jordan de un endomorfismo deC2n del que se sabe que ker(f) = Im(f).
14. Seaf un endomorfismo deC2 tal que para un cierto enterok≥1,fk es la identidad deC2. ¿Es f diagonalizable?
15. ¿Existe alg´un endomorfismof deR3con un valor propioλque verifique dim(im(f−λI)) = 2 y
dim(im(f−λI)2) = 0?
16. Seaa, bn´umeros complejos yf el endomorfismo deC3 definido por la matriz
−1 a−1 −1 1 b a+ 1 1 1 1 .
Hallar aybsabiendo que im(f) = ker(f◦f), y obtener la forma de Jordan def.
17. Determinar la forma de Jordan deM = 1 2 −2 1 1 0 1 2 −1 y la suma P2000 n=0(−1) nMn.
18. Determinar qu´e condiciones deben cumplirαyβ para que la forma de Jordan de la matriz 1 α αβ 0 1 α2β 0 α(1 +β) 1 sea 1 0 0 1 1 0 0 1 1 .
19. Seaf un endomorfismo deC3tal que ker(f) = im(f ◦f). Hallar la forma de Jordan def.
20. Encontrar los polinomios caracter´ıstico y m´ınimo de un endomorfismof deC8 del que se sabe lo
siguiente: sus valores propios son: 1,−1 ei, la matriz de Jordan correspondiente al valor propio 1 tiene dimensi´on 3 y dos cajas, la del valor propio−1 tiene dimensi´on 1, y la del valor propioi
Lista n´
umero diez
1. (e) ¿Cu´ales de las siguientes aplicaciones son formas bilineales sobreRn?
a) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) =x1|y1|+· · ·+xn|yn|. b) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) =|x1y1+· · ·+xnyn|. c) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = (x1+· · ·+xn)(y1+· · ·+yn). d) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = p x2 1y 2 1+· · ·+x2nyn2. e) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = (x1+y1)2+· · ·+ (xn+yn)2−(x21+· · ·+x2n)−(y21+· · ·+yn2).
f) F((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) =x1y1+· · ·+xkyk dondekes un n´umero natural fijo tal que
1≤k≤n.
En los casos de respuesta afirmativa, estudia si son sim´etricas o antisim´etricas y da una matriz deF respecto de la base can´onica deRn.
2. Demuestra que
F : R2[X]×R2[X] → R
(p, q) 7→ R1
0 p(t)q(t)dt
es una forma bilineal sim´etrica y calcula su matriz respecto de la base {1, X, X2} de
R2[X].
CalculaF(p, q) parap(X) = 1 +X yq(X) = 2X−X2.
3. Determina cu´ales de las siguientes aplicacionesF :M3(R)× M3(R)→Rson formas bilineales:
a) F(A, B) =tr(AtB),
b) F(A, B) = det(AB),
c) F(A, B) =tr(A)tr(B).
4. Sean f1, f2 :V →Kdos formas lineales en un espacio vectorialV de dimensi´on finita sobre el
cuerpoK. Probar que la aplicaci´onF:V×V →Kdefinida porF(u, v) =f1(u)f2(v), para todos
u, v ∈ V, es una forma bilineal. Si B ={u1, u2, . . . , un} es una base de V, calcular MF(B) en
funci´on de las matrices def1yf2respecto deB.
5. SeaF la forma bilineal enR3cuya expresi´on anal´ıtica en cierta baseB={e
1, e2, e3}esF(u, v) =
u1v1−u1v2+ 3u2v2, dondeu=u1e1+u2e2+u3e3 yv=v1e1+v2e2+v3e3. Halla la matriz de
F respecto de la baseB0 ={e0
1, e02, e03} parae01 =e1+e2+e3,e02 =−e2,e03 =e1−e3. Calcula
tambi´enF(u, v) parau= 2e01+e03 yv=−e02+ 2e03.
6. Dada la forma bilineal F : R1[X] ×R1[X] → R de la que se sabe que es sim´etrica y que F(X + 1, X + 1) = 8, F(X + 2, X+ 2) = 11, f(X, X) = 3, calcular su matriz respecto de la base usual{1, X}.
7. SeaF :R2×R2→Runa forma bilineal dada por
F((x1, x2),(y1, y2)) = 2x1y1−4x1y2+ 5x2y1+λx2y2.
Determinaλpara queF sea degenerada. Para este valor deλdetermina los subespacios: {u∈R2|F(u, v) = 0 para todov∈R2},{v∈R2|F(u, v) = 0 para todou∈R2}.
8. Dadas las matricesA= 1 1 1 1 yB = −1 1 1 −1
, ¿pueden representar la misma forma bilineal sim´etrica en bases distintas?
9. Dadas las matrices complejas A= 1 0 1 0 2 2 1 2 3 , B= 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1 .
Construye dos matrices regulares X eY tales queXtAXeYtBY sean diagonales.
10. Determina cu´ales de las siguientes formas bilineales sim´etricas son equivalentesi) enR3 yii) en C3:
a) F1((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1−12x1y3−12x3y1,
b) F2((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 12x1y2+12x2y1−x3y3,
c) F3((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 12x1y2+12x2y1+x3y3.
11. SeaV un espacio vectorial real bidimensional yF :V ×V →Runa aplicaci´on tal queF(x, y) = x1y1−2x1y2+ 3x2y2.
a) Probar que es una forma bilineal. Escribir F como suma de una forma bilineal sim´etrica y otra antisim´etrica.
b) Escribir la expresi´on anal´ıtica de la forma cuadr´atica asociada y clasificarla. 12. Para cada una de las siguientes formas cuadr´aticas q : Kn →
K determina la forma bilineal
sim´etrica asociadaFq, y una baseB deKn tal que la matrizMF(B) sea diagonal:
a) q(v) =ix2−2y2 para todov= (x, y)∈ C2, b) q(v) = 4x2−9xy+ 5y2 para todov= (x, y)∈R2, c) q(v) = 6xy para todov= (x, y)∈R2, d) q(v) = 2xy+y2−2xz para todov= (x, y, z)∈ R3, e) q(v) =−x2−4xy+ 3y2+ 2z2para todov= (x, y, z)∈ R3, f) q(v) =xy+yz+ztpara todov= (x, y, z, t)∈R4, g) q(v) =xy+ 2xz+ 3xt+yz+ 2yt+ztpara todov= (x, y, z, t)∈R4, h) q(v) =x2+ 2y2+ 3z2+ 4t2+ 2xy+ 2xz+ 2xt+ 4yz+ 4yt+ 6ztpara todov= (x, y, z, t)∈ R4.
13. Se considera la aplicaci´onq:R2[X]→Rdefinida por q(p) =R01p(t)
2dt. Se pide:
a) Probar queqes una forma cuadr´atica.
b) Calcular la matriz deqrespecto de la baseB={1, X, X2}de
R2[X], y determinar su rango
y su ´ındice.
14. Dada la forma bilinealF :R3×R3→Rdefinida por
f(x, y) =x1y1+x1y2+x1y3+x2y1+x2y2−x3y1+ 2x3y3
hallar su forma cuadr´atica asociadaqf, la forma polar, la matriz asociada y la signatura deqf. 15. SeaV el espacio vectorialM2(R), yM =
1 2 2 5 .Demuestra que F: V ×V → R (A, B) 7→ tr(AtM B) es una forma bilineal sim´etrica, calcula su matriz respecto de la base
B= 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 ,
16. ¿A qu´e intervalo debe pertenecera para que la forma cuadr´aticaφ(x, y) = 2x2+axy+ 6y2sea
definida positiva?
17. Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas sobreR3.
a) φ(x, y, z) =x2−z2−2xy+xz
b) φ(x, y, z) = 2x2+y2+ 5z2−2xy−2yz+ 6xz.
c) φ(x, y, z) =−x2−2y2−z2+ 2xy+ 2yz.
18. Dada la familia de formas cuadr´aticasfa(x, y, z) =x2+y2+ (a+ 1)z2+ 2ayz+ 2xz, clasificarlas
seg´un los valores del par´ametroa.
19. ¿Tiene soluci´on no nula enRla ecuaci´onx2+y2+z2+2xy= 0? ¿y la ecuaci´on 2x2+2y2+z2+2xy=
0?
20. Probar que las siguientes expresiones definen sendos productos escalares enR3.
a) hx, yi= 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x1y3+x2y1+x2y3+x3y1+x3y2.
b) hx, yi=x1y1+ 2x2y2+ 3x3y3+ 2x2y3+ 2x3y2.
21. Estudiar seg´un los valores deael car´acter de la forma cuadr´atica real
g(x, y, z) =x2+ 2y2+ 2z2−2xy+ 2ayz.
22. Seaf la forma bilineal enR3 definida por
f(x, y) =x1y1−2x2y2+x3y3+x1y2+x1y3+x2y1−2x2y3+x3y1−2x3y2.
a) Dar la forma cuadr´aticaφf asociada af y su matriz.
b) Encontrar una baseB={v1, v2, v3} deR3que verifique
f(vi, vj) = 0,∀i6=j, f(vi, vi) = 1, i= 1,2 yf(v3, v3) =−1.
c) ¿Cu´al es la signatura de φf?
23. Sea q : R4 → R la forma cuadr´atica cuya matriz respecto de la base can´onica de R4 es M =
1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 5 4 0 0 4 −1 . Se pide:
a) Encontrar una base del hiperplanoH :x−y+z−t= 0, expresar la forma cuadr´aticaq|H
en funci´on de esa base, y calcular el rango y el◦´ındice deq|
H.
b) Encontrar un subespacio G de R4 de dimensi´on 2, tal que la forma cuadr´atica q|
G sea
definida negativa. 24. Seaq:R4→
Rla forma cuadr´atica definida por
q(x, y, z, t) = 2x2+ay2+ 2z2+at2+ 2xz+ 2yz .
Se pide, en funci´on del par´ametroa:
a) diagonalizarq, determinando la base de la diagonalizaci´on,
b) el rango y el ´ındice deq, y
Lista n´
umero once
1. Estudiar si el conjunto de puntos de R3: {(1,2,3),(−1,3,1),(7,−1,9)} es af´ınmente
indepen-diente.
2. Demostrar que los conjuntos de puntos
{(1,−1,2),(2,0,2),(2,−2,2),(1,−1,3)},{(0,1,1),(1,1,2),(1,1,0),(0,2,1)}
son referencias afines deR3. Construir, para cada uno de ellos, una referencia cartesiana; encontrar
la matriz de cambio de referencia, y obtener las coodenadas del punto (0,1,1) respecto de cada una de dichas referencias.
3. Se consideraR3con su estructura af´ın usual. Demostrar queR={p= (1,1,0);u
1= (0,0,2), u2=
(−1,1,1), u3= (−1,0,1)}es un sistema de referencia cartesiano. Hallar las coordenadas respecto de R del punto (1,1,1), y las ecuaciones respecto deR, de la variedad que pasa por el punto (1,−1,1) y cuya direcci´on esW =L[(0,1,0),(1,0,1)].
4. SeaAun plano af´ın real. Si las coordenadas dep∈Ason (3,6) respecto del sistema de referencia {O;u1, u2} y (−1,1) respecto de{O0;v1, v2}, hallar las coordenadas deO0 respecto del primer
sistema de referencia, sabiendo que v1= 2u1−u2,v2= 3u1.
5. En el espacio af´ın real de dimensi´on tres se considera la recta de ecuaciones impl´ıcitasx1−2x2+
3x3= 1,x1+x2−x3=−1 en una referencia{p;e1, e2, e3}. Calcular las ecuaciones de dicha recta
en la referencia dada por{q=p+ 3e1;u1=e1−e2, u2=e2−e3, u3=e1+e3}.
6. En el espacio af´ın real de dimensi´on cinco se dan los subespacios M : {x1 = 1, x2 = 0, x3 =
1, x4 = 0} yN :{x1 = 0, x2 = 1, x5 = 5}. Determinar la posici´on relativa de M yN. Calcular
ecuaciones impl´ıcitas para M+N.
7. En el espacio af´ın real de dimensi´on cuatro, considero los subespacios afines F1, de ecuaciones
impl´ıcitasx4= 1,x1+ 2x2+ 3x3+ 2x4= 2, yF2, de ecuaciones impl´ıcitasx1−x2+x3+x4= 1,
3x2+ 2x3+x4 = 2, ambos en la misma referencia. ¿Cu´al es su posici´on relativa? Calcular las
ecuaciones impl´ıcitas de la suma y un conjunto af´ınmente independiente de puntos que la generen. ¿Cu´al es la direcci´on de la suma?
8. En el espacio af´ın real de dimensi´on cinco, consideramos los siguientes subespacios afines:F, de ecuaciones impl´ıcitasx1−3x2+ 5x3−x4= 3,x1+ 2x2−3x3−2x4+x5= 1, yG, de ecuaciones
impl´ıcitas x1−2x2+x3−x4+x5 = 3,x2+x3−x4+x5 = 2, ambos en la misma referencia.
Calcular la posici´on relativa de ambos subespacios, las ecuaciones impl´ıcitas deF∩Gy deF+G, as´ı como un conjunto de puntos af´ınmente independiente que genere F ∩Gy otro que genere
F+G. ExpresarF∩Gcomoa+H, dondeaes un punto de la intersecci´on yH es la direcci´on de dicha variedad.
9. En el espacio af´ın real de dimensi´on cinco, considero los siguientes subespacios afines: F, de ecuaciones impl´ıcitas x1−2x2+x3−x4= 3,x1−x2−3x3+x4+ 2x5= 1, yG, de ecuaciones
impl´ıcitas 2x1−3x2−2x3+ 2x5= 3,x2−4x3+ 2x4+ 2x5= 2,x1−x2+x3= 0, ambos en la
misma referencia. Calcular la posici´on relativa de ambos subespacios, las ecuaciones impl´ıcitas deF∩Gy deF+G, as´ı como un conjunto de puntos af´ınmente independiente que genereF∩G
y otro que genereF+G.
10. En el espacio af´ınR4 se consideran los planosL
1, de ecuaciones impl´ıcitasx1= 1,x1+x2−x3−
x4=−1; y L2 de ecuaciones impl´ıcitasx1+x2−x3= 0, 2x1+x2−x3−2x4=−1.
a) ¿Cu´al es la posici´on relativa de L1yL2?
b) Calcular una ecuaci´on o ecuaciones impl´ıcitas deL1+L2y un conjunto de puntos af´ınmente
c) Encontrar un planoL3 que se cruce conL1.
11. En el espacio af´ınR4se consideran las siguientes variedades afines referidas al sistema de referencia
can´onico Rc: los puntos A= (1,0,0,0) y B = (1,1,1,1), el hiperplano η :x−y+z−t = 2 y
el plano π : 8 > > < > > : x = 1 +λ−µ y =λ+µ z = 2 +λ t =−1 +µ . Sea R ={(1,−1,0,0); (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)}
otro sistema de referencia de R4. Se pide:
a) Encontrar las coordenadas de los puntosAyBy las ecuaciones deηyπrespecto del sistema R,
b) Calcular, en el sistema de referenciaR, las ecuaciones impl´ıcitas del plano que pasa por los puntosAyB y es paralelo a la recta intersecci´on deη yπ.
12. En el espacio af´ınR4, determinar la recta que es paralela a los hiperplanos 3x+ 2y−z+ 8t= 2
y x−y−z = 3, pasa por el punto A = (1,0,1,0) y corta al plano de ecuaciones: 2x−y = 0,
y+z= 5.
13. En el espacio af´ın usual R4 consideramos un plano π y dos puntos P y Q, cuyas ecuaciones y
coordenadas respecto del sistema de referencia can´onico son:
π: (
x+y= 0
z+t= 1 , P = (1,−1,0,1), Q= (1,0,0,0).
a) Encontrar un planoπ0 tal que π∩π0 ={P}.
b) Encontrar una rectarque pase por el puntoQy tal quer+π=R4.
c) ¿Existe una rectastal que P∈sys+π=R4?
d) Encontrar un sistema de referenciaRdeR4 tal que las ecuaciones deπrespecto deRsean
(
x= 0
z= 0 .
14. En el espacio af´ınR4se consideran las variedades afines F eGde ecuaciones
F : x = λ + µ y = 1 − λ + µ z = −1 + λ + µ t = − λ G: x − 2y − 2z + t = 4 x − 2z − t = −2 x − y − 2z = 1
a) Estudiar la posici´on relativa deF yG.
b) Encontrar una recta paralela aF y que est´e contenida enG.
c) ¿Existe alg´un sistema de referencia deR4 tal que las ecuaciones de F sean x= 0,y = 0?
Razonar la respuesta.
15. a) Encontrar las ecuaciones impl´ıcitas de la recta que pasa por el punto (0,1,0) y es paralela a los planosπ1:x+y+ 2z= 4 yπ2:x−y−z= 1.
b) Estudiar la posici´on relativa de las rectas
r: ( x − y + z = 0 2x + y + z = 1 y s: x = 1 + λ y = 2 + λ z = + λ
Lista n´
umero doce
1. En cada uno de los casos siguientes, halla la transformaci´on af´ınf deR2 que satisface las
condi-ciones dadas. Encuentra adem´as el conjunto de puntos fijos def.
a) f(0,0) = (1,−1),f(1,0) = (3,−1),f(0,1) = (2,2);
b) f(2,1) = (1,2), f(−1,−1) = (1,1),f(0,1) = (2,−1);
c) f(`1) = m1, f(`2) = m2, f(`3) = m3 donde `1 : x = 1, `2 : y = x, `3 : y = −2,
m1: 2x−y= 0,m2:x+y= 0, m3: 2x+y= 1.
2. Seaf :A1→A2una aplicaci´on af´ın cuya matriz en las referencias cartesianasR1={p;e1, e2, e3}
de A1 y R2 = {q;u1, u2} de A2 es M = 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 1
. Determina la matriz de f en las referenciasR0
1={p+e1+ 2e3;e3, e1+e2, e2+e3}deA1 yR02={q+ 2u1;u1+u2,−u2} deA2.
3. Hallar la ecuaci´on de la aplicaci´on af´ın f : R2 → R2 que deja invariantes las rectas que pasan
por el punto (2,1) y tal quef(1,0) = (4,3).
4. Hallar la ecuaci´on de la aplicaci´on af´ın f :R2→R2 que verifique que toda rectar es paralela a f(r), el punto (1,3) permanece fijo yf(2,1) = (4,−3).
5. Seanr1:x−2y=−2,r2:x+y= 1 yr3:x+ 4y=−2 tres rectas en el plano af◦´ın real. Escribe
las ecuaciones de las aplicaciones afines que transformanr1, r2yr3enr3, r2yr1respectivamente.
6. Sea A =R2. Sean `
1, `2 ⊂A las rectas de ecuaciones x+y = 1 y x−y = 1 respectivamente.
¿Existe alguna aplicaci´on af◦´ınf tal que `1 y`2 sean rectas invariantes,f|`1 sea una simetr◦´ıa
central y f|`2 sea una homotecia de raz´on 3? ¿Esf unica? En caso afirmativo,´
a) ¿cu´ales son las rectas deAinvariantes porf?,
b) ¿cu´ales son los puntos fijos def?,
c) ¿cu´ales son las ecuaciones de f en el sistema de referencia cartesiano can´onico? 7. Seaf una aplicaci´on af´ın deR3cuya matriz respecto del sistema de referencia can´onico es
1 0 0 0 −1 2 −1 1 2 1 1 2 0 0 1 0 .
Halla la imagen porf del planoπde ecuaci´onx−y+ 2z= 1. Describe el subespacio de puntos fijos de f.
8. Halla el centro y las ecuaciones en la referencia cartesiana can´onica de una homoteciaf :R4→R4
de raz´on 2, tal quef(2,0,1,0) = (−1,0,1,1).
9. Determina las ecuaciones de la aplicaci´on af´ınf deR3que deja fijos todos los puntos del planoS
de ecuaci´onx+3y+2z+5 = 0 y que transforma el puntoP = (0,0,0) en el puntoQ= (−5,5,−5). Demuestra adem´as que en cada planoT paralelo aS, la aplicaci´on af´ınf induce una traslaci´on, es decir f|T es una traslaci´on.
10. EnR3se da el endomorfismo af´ınf de matrizN=
1 0 0 0 −2 −1 −1 −1 4 4 2 3 1 1 1 1 , el puntoP= (0,2,1) y los subespaciosM :{x1+x2+x3= 1}, N:{x1= 0, x2+x3= 0}.
a) Hallar unas ecuaciones impl´ıcitas del subespacio de puntos fijos def.
b) Hallar unas ecuaciones impl´ıcitas de los subespaciosf(M),f−1(N),f−1(P) y el subespacio imagen de f.
11. EnR3 se consideran las rectasr:{x
1= 1, x3= 0}, s:{x1= 0, x2 = 1}y t:{x2= 0, x3 = 1}.
Hallar la matriz correspondiente a una transformaci´on af´ınf :R3→R3tal quef(r) =s,f(s) =t
yf(t) =r.
12. En el espacio af´ın realR3, seaf una aplicaci´on af´ın que tiene por ecuaciones
x0 = 4 + x + 3y + 3z y0 = 3 + 4y + 3z z0 = −6 − 6y − 5z
Demuestra quef es composici´on de una traslaci´onTvy una aplicaci´on af´ıng que tiene un plano de puntos fijos y en cuya direcci´on est´a el vectorv de la traslaci´on. Determina el vector v de la traslaci´on y el planoπde puntos fijos deg.
13. Demuestra que la aplicaci´on
f : R3 → R3
(x1, x2, x3) 7→ (−1 + 2x1+x2+x3,1−x1−x3,2−2x1−2x2−x3)
es una simetr´ıa. Determina la base, la direcci´on y las ecuaciones de la proyecci´on asociada. 14. Comprueba que la aplicaci´on af´ın cuya matriz en una referencia cartesianaRes
M = 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 0 −1 1 −1 1
es una proyecci´on. Halla su base, y su direcci´on, as´ı como una referenciaR0 en la que la matriz de la proyecci´on sea diagonal.
15. En el espacio af´ınR3seaπel plano de ecuaci´onx+y+z= 1. Se considera el puntoq= (0,1,0) y
los vectoresv1= (1,0,−1) yv2= (1,−1,0) y el sistema de referencia cartesianoR={q;v1, v2}de
π. Sean (α, β) las coordenadas de un puntop∈πrespecto deR. Seaf :π→πla aplicaci´on af´ın que mandapal punto de coordenadas (α−2β+1, α−β−1) (tambiC¸ ´en respecto deR). Encuentra el conjunto de puntos fijos de f y el conjunto de rectas que f deja invariantes. Encuentra las ecuaciones impl´ıcitas (en el sistema de referencia can´onico deR3) de la imagen porf de la recta
que pasa por los puntos (0,2,−1) y (5/2,1/2,−2) (observa que ambos puntos pertenecen aπ). 16. Se considera la aplicaci´on af´ın
f : R3 → R3 (0,0,0) 7→ (1,0,0) (1,1,−1) 7→ (1,0,0) (1,−1,1) 7→ (0,1,0) (−1,1,1) 7→ (0,0,1) .
a) Halla la imagen de f y demuestra que el plano af´ın πen R3 de ecuaci´onx+y+z= 1 es
invariante por f.
b) Comprueba queR={(1,1,−1); (0,−2,2),(−2,0,2)} es una referencia cartesiana del plano af◦´ınπ. Encuentra las ecuaciones de la restricci´on def a πrespecto deR.
c) Llamaremos g a la restricci´on def a π. Calcula los puntos fijos de g expres´andolos en el sistema de referencia can´onico de R3. Calcula las rectas invariantes de g expres´andolas en
ecuaciones param´etricas respecto del sistema de referencia can´onico deR3. ¿De qu´e tipo, de
simetr´ıa, traslaci´on, homotecia,
ninguno de los anteriores. Justifica tu respuesta.
17. Una dilataci´onf deR3 tiene como base el plano 2y+ 3z+ 4 = 0 y su aplicaci´on lineal asociada
− →
f transforma el vectoru= (1,1,−1) en 2u. Encontrar las ecuaciones def. 18. Seaf :R3→
R3la aplicaci´on af´ın definida por:
y1= 1 2 + 1 2x1+x2− 3 2x3, y2=− 1 2x2+ 3 2x3, y3=−x2+ 2x3.
a) Demostrar quef es una dilataci´on. Determinar su base, su direcci´on y su raz´on.
b) Sea g :R3 → R3 la homotecia de centro (−1,2,2) y raz´on 2. Demostrar que g◦f es una
dilataci´on. Determinar su base, su direcci´on y su raz´on.
19. Una aplicaci´on af´ın f : R3 → R3 transforma el origen en el punto (3,9,−6) y tiene como
subespacio de puntos fijos el plano x+y+ 2z+ 3 = 0. Obtener su expresi´on anal´ıtica. Estudiar sif es una dilataci´on.
20. Seaf :R3→R3la aplicaci´on af´ın definida por:
y1=−2 + 3x1+ 2x2+ 2x3, y2= 1−x1−x3, y3= 1−x1−x2.
Estudiar si f es una trasvecci´on. En caso afirmativo, encontrar la base de la trasvecci´on (el subespacio de puntos fijos) y su direcci´on.
21. ¿Existe alguna aplicaci´on af´ın de A = R3 que transforme el conjunto C = {(x, y, z) ∈ A | x2+y2 = 1} enL={(x, y, z)∈A|x=y=z}? En caso afirmativo ¿puede ser alguna de ellas
inyectiva? 22. Seaf :R3→
R3 la aplicaci´on af◦´ın que deja fijos los puntos de la recta r:
(
x+y+z= 1
x−y+z= 1 , y tal que f(2,1,1) = (1,0,0),f(1,1,1) = (1,0,0). Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones def respecto del sistema de referencia can´onico deR3.
b) Probar quef es una proyecci´on.
c) Encontrar la base y la direcci´on def.
23. Searuna recta del espacio af◦´ınR3y seaHun plano que corta aren un ´unico punto. Sea{Hλ}, λ∈R, el haz de planos paralelos aH. Seaϕuna aplicaci´on af◦´ın deR3enR3 tal que
res su subespacio de puntos fijos,
todos los planos Hλ son invariantes porϕ,
ϕ|Hλ =fλ es una homotecia, para cadaλ∈R.
Se pide decidir cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales falsas, razonando la respuesta:
a) 1 es un valor propio de la aplicaci´on lineal asociada aϕ.
b) Existe una aplicaci´on af◦´ın ϕcomo la descrita arriba y tal quefλ tiene raz´on 2 para todo
λ∈R.
c) Existe una aplicaci´on af◦´ın ϕcomo la descrita arriba y tal que fλ tiene raz´on 2 +eλ para
24. En el espacio af´ınR4se consideran la recta
r= (1,−1,0,1) +L[(2,−1,0,1)]
y el plano
π= (0,1,0,1) +L[(2,1,0,0),(1,−1,1,1)].
Se pide:
a) Determinar, en el sistema de referencia cartesiano est´andar Rc, la ecuaci´on impl´ıcita del
hiperplano H deR4 que pasa por el punto (1,1,1,−1) y es paralelo a la recta ry al plano
π.
b) Encontrar cuatro puntos deH af◦´ınmente independientes.
c) Seasla recta que pasa por los puntos (1,−1,−1,0) y (1,−1,0,0). Determinar las ecuaciones, respecto deRc, de la aplicaci´on af◦´ınf :R4→R4que deja fijos los puntos del hiperplano H, deja invariante la rectasy la restricci´on def a ses una homotecia de raz´on 2.
25. En el espacio af◦´ın usualR4se consideran los subespacios afinesF yGcuyas ecuaciones respecto
del sistema de referencia can´onicoRc deR4 son:
F : x=λ y= 1−λ+ 2µ z=−1 +λ t=−λ+µ , G: x−2y−2z+t= 4 −y+t= 3 x−2z−t=−2
a) Estudiar la posici´on relativa deFyGy encontrar una recta contenida enGque sea paralela a F.
b) Escribir las ecuaciones respecto de Rc de una aplicaci´on af◦´ın f : R4 → R4 tal que el
Lista n´
umero trece
1. Demuestra que la expresi´onu·v= 10x1y1+ 3(x1y2+x2y1) + 2x2y2+x2y3+x3y2+x3y3define
un producto escalar en R3. Halla una base ortonormal respecto a dicho producto escalar.
2. En cada uno de los casos siguientes halla una base ortonormal de los subespacios vectoriales del espacio vectorial eucl´ıdeo usual (R4,·) generados por los vectores dados:
a)(2,0,0,1),(1,2,2,3),(10,−1,−1/2,0),(5,2,2,5), b)(−1,0,1,1),(2,1,1,1),(0,1,3,6),
c)(1,1,−1,1),(−2,−2,2,−2),(2,1,1,2),(3,1,1,1), d)(0,1,0,1),(2,1,0,1),(−1,0,0,1),(0,0,1,0), e)(1,1,0,−1),(−2,1,√3,5),(4,4,√3,2),(−6,−3,0,3).
3. Demuestra que la forma bilinealF definida en el problema 2 de la lista 10
F : R2[X]×R2[X] → R
(p, q) 7→ R1
0 p(t)q(t)dt
es un producto escalar. Encuentra una base ortonormal, as´ı como una base del subespacio orto-gonal al polinomio 1−X.
4. SeaW el subespacio vectorial del espacio vectorial eucl´ıdeo usual (R3,·) definido por la ecuaci´on x+y+z = 0 en una base ortonormal. Calcula la proyecci´on ortogonal sobre W del vector u
cuyas coordenadas en dicha base son (1,1,0). Calcula as´ımismo su proyecci´on sobreW⊥. 5. Hallar la proyecci´on ortogonal y la componente perpendicular del vector v sobre el subespacio
vectorialW del espacio vectorial eucl´ıdeo usual (R4,·), en los casos siguientes:
a) v= (14,−3,−6,−7) yW=L[(−3,0,7,6),(1,4,3,2),(2,2,−2,−2)].
b) v= (−3,0,−5,9) y W tiene como ecuaciones impl´ıcitas 3x+ 2y+z−2t= 0 5x+ 4y+ 3z+ 2t= 0 x+ 2y+ 3z+ 10t= 0 .
6. En R2 con el producto escalar usual se considera el subespacio vectorial W = L[(3,4)] y la
proyecci´on ortogonalpdeR2sobreW. Se pide hallar
a) las ecuaciones deprespecto de la base can´onica deR2,
b) el complemento ortogonal deW, y
c) una base ortonormalBdeR2 tal que la matriz deprespecto deBsea
1 0 0 0
. Las mismas preguntas con el producto escalar de R2cuya norma cumple:
k(x, y)k2= (x−y)2+ 3y2.
7. SeaV un espacio vectorial real de dimensi´on 3,B={e1, e2, e3} una base deV, φ:V ×V →R
la forma bilineal sobreV cuya matriz respecto de la baseBes 1 −1 0 −1 2 1 0 1 2 ,
yf :V →V la aplicaci´on lineal dada por:
a) Demuestra queφes un producto escalar deV.
b) Encuentra una baseB0 deV ortonormal respecto deφ.
c) Expresaf en la baseB0.
8. Seanφel producto escalar enR3cuya matriz en la base can´onicaBesMφ(B) =
3/4 −1/4 −1/4 −1/4 3/4 −1/4 −1/4 −1/4 3/4 ,
y f el endomorfismo de R3 cuya matriz en la misma base esMf(B) =
1 0 0 0 1 0 1 1 −2 . Demues-tra que f es autoadjunta respecto del producto escalar φy determina una base ortonormal de vectores propios.
9. Dada la matriz real A= 1 0 1 0 0 1 −2 0 1 −2 5 0 0 0 0 6
, encontrar una matriz ortogonal C tal que CtAC
sea diagonal.
10. ¿Existe enR3, con el producto escalar usual, alg´un endomorfismo autoadjunto cuyos subespacios
propios sean los subespaciosW yU de ecuaciones impl´ıcitas:
W : (
x+y+z= 0
x+z= 0 , U :x−2y= 0?
Encontrar un producto escalar φ enR3 y un endomorfismof de
R3 que tenga a W y U como
subespacios propios y sea autoadjunto en el espacio vectorial eucl´ıdeo (R3, φ).
11. En el espacio vectorial eucl´ıdeo usual (R3,·) se considera la forma bilineal sim´etricaF :
R3×R3→ Rdada por MF(Bc) = −1 −2 0 −2 3 2 0 2 2 .
Encontrar una base ortonormal B de R3 tal que MB(F) sea diagonal, es decir, tal que B sea ortogonal respecto de F.
12. En el espacio vectorialR3consideramos la forma bilineal sim´etricaφcuya matriz respecto de la
base can´onica es:
3 1 −2 1 3 −2 −2 −2 4
a) Demostrar queφes un producto escalar.
b) En el espacio vectorial eucl´ıdeo (R3, φ), encuentra el complemento ortogonal de la recta: x−y= 0, y−z= 0. c) Consideramos el endomorfismo deR3 f(x, y, z) = (1 2(3x+y), 1 2(x+ 3y), 1 2(x+y+ 2z)).
Comprueba que todos los vectores del plano:x+y= 0 son vectores fijos def.
d) Encuentra, si es posible, una base ortonormal de (R4, φ) formada por vectores propios def.
13. Se considera enR4 la forma bilineal sim´etricaφcuya matriz respecto de la base can´onica es: 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 −1 0 0 −1 2
a) Demostrar queφes un producto escalar.
b) En el espacio vectorial eucl´ıdeo (R4, φ), determinar la proyecci´on ortogonal π de la recta L[(1,0,0,0)] sobre el subespacio vectorialW de ecuacionesx=y = 0. (las coordenadas y las ecuaciones est´an calculadas respecto de la base can´onica).
c) Demostrar queπes un endomorfismo autoadjunto.
d) Determinar una base deR4 en la que las matrices deφy deπsean diagonales.
14. Sean{xn},{yn}dos sucesiones de n´umeros reales definidas de la forma siguiente:
xn+1= √ 2 2 (xn−yn), yn+1= √ 2 2 (xn+yn), con x1=−1,y1= 3. Calcular x34,y34;x84,y84; x1747,y1747;x40000,y40000.
15. En una base{u, v}de (R2,·), que define la misma orientaci´on que la base can´onica, una rotaci´on
vectorialf tiene por matriz
1 −3/2 2/3 0
.
Determina el ´angulo de rotaci´on, el ´angulouvc y la raz´on kvk kuk.
16. Seaf una simetr´ıa axial deR2 de ejeL[u]. Prueba quevf\(v) = 2cvupara todov∈R
2,v6= 0.
17. En el plano vectorial eucl◦´ıdeo usual, seanP la proyecci´on ortogonal sobre una recta vectorialr
yT la simetr◦´ıa ortogonal de baser⊥. Demuestra queT =I−2P.
18. Dada la base B = {u1 = (1,1,0), u2 = (1,0,1), u3 = (1,2,0)} del espacio eucl´ıdeo usual R3,
estudia si cada una de las siguientes matrices es o no la expresi´on anal´ıtica en la baseBde una isometr´ıa: a) 4 3 6 −1 −1 −1 −2 −2 −3 , b) 0 −5 1 0 1 0 1 3 1 , c) 1 0 −1 1 2 3 0 1 1 .
19. Determina las rotaciones del espacio vectorial eucl◦´ıdeo usual que transforman el vector (1,0,0) en el vector (0,0,1).
20. Describir geom´etricamente el endomorfismo f del espacio eucl◦´ıdeo usual de dimensi´on 3 cuya matriz respecto de la base can´onica es
3/4 1/4 √6/4 1/4 3/4 −√6/4 −√6/4 √6/4 1/2 .
21. Halla el eje y el ´angulo de giro de una rotaci´on vectorial cuya expresi´on anal◦´ıtica en una base ortonormal viene dada por
1 9 8 1 −4 −4 4 −7 1 8 4 .