Resumen y ejemplos
Tema 5: Valores y vectores propios
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07
Octubre 2006, Versión 1.3Contenido
1. Definiciones y propiedades 2. Método de la potencia
3. Método de la potencia inversa
4. Método de la potencia inversa desplazada
1
Definiciones y propiedades
• Amatriz cuadrada n×n • vvector de dimensión n • λescalar
Objetivo Buscar escalaresλy vectoresno nulos v tales que A v=λv =⇒
½
λvalor propio deA
v vector propio asociado aλ Polinomio característico
p(λ) = det (A−λI)
los valores propios deA son las raíces del polinomio característico λvalor propio ⇐⇒ p(λ) = 0
Cálculo de vectores propios 1
Para cada valor propioλresolvemos
(A−λI)v= 0 que debe ser un sistema compatible indeterminado. Espectro. Radio espectral
Elespectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios, lo represen-tamos por
σ(A) ={λ:λes valor propio deA}
elradio espectral de la matriz es el módulo máximo de sus valores propios, lo representamos por
ρ(A) = max{|λ|:λes valor propio deA}
Diagonalización SeaAuna matriz n×n.
Si A tiene n valores propios distintos λ1,· · ·,λn y v1,· · ·,vn son vectores propios asociados, entonces
D=V−1AV • Des matriz diagonal ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · λn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
• V= (v1|v2| · · · |vn) tiene en columnas los vectores propios Ejemplo 1.1 Dada la matriz
A= ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠ calcula
(a) Valores propios. Radio espectral. (b) Vectores propios asociados. (d) Diagonaliza la matriz A.
(a) Valores propios •Polinomio característico p(λ) =|A−λI|= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3−λ −1 0 −1 2−λ −1 0 −1 3−λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p(λ) = (3−λ)2(2−λ)−(3−λ)−(3−λ) = (3−λ) [(3−λ)(2−λ)−2] = (3−λ) (λ2−5λ+ 4) | {z } factorizamos λ2−5λ+ 4 = 0 ⇒ λ= 5± √ 25−16 2 = ( 5+3 2 = 4 5−3 2 = 1 p(λ) = (λ−1)(3−λ)(λ−4) •Valores propios. Soluciones dep(λ) = 0
λ1= 1, λ2 = 3, λ3 = 4
•El espectro de Aes
σ(A) ={1,3,4} •El radio espectral de A es
ρ(A) = 4 (b) Cálculo de vectores propios.
•Vectores propios asociados aλ= 1
(A−I) v=0 ⎛ ⎝ −21 −11 −01 0 −1 2 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ xy z ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 00 0 ⎞ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ 2x−y= 0 −x+y−z= 0 −y+ 2z= 0 (1a+ 2·2a)→1a ⎧ ⎨ ⎩ y−2z= 0 −x+y−z= 0 −y+ 2z= 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x=t y= 2t t∈R z=t
vectores propios asociados aλ= 1
v=tv1 , conv1 = ⎛ ⎝ 1 2 1 ⎞ ⎠
•Vectores propios asociados aλ= 3 (A−3I) v=0 ⎛ ⎝ 0 −1 0 −1 −1 −1 0 −1 0 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ x y z ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎠ ½ −x−y−z= 0 −y= 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x=t y= 0 z=−t t∈R vectores propios v=tv2 conv2= ⎛ ⎝ 1 0 −1 ⎞ ⎠
•Vectores propios asociados aλ= 4
(A−4I) v= 0 ⎛ ⎝ − 1 −1 0 −1 −2 −1 0 −1 −1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ x y z ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ −x−y= 0 −x−2y−z= 0 −y−z= 0 ⇒ (2a−3a)→(2a) ⎧ ⎨ ⎩ −x−y= 0 −x−y= 0 −y−z= 0 ½ x+y= 0 y+z= 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x=t y=−t z=t t∈R vectores propios v=tv3conv3 = ⎛ ⎝ 1 −1 1 ⎞ ⎠ (c) Diagonalización
•Base de vectores propios
B= (v1,v2,v3) •Matriz de cambio V= ⎛ ⎝ 1 1 1 2 0 −1 1 −1 1 ⎞ ⎠
•Diagonalización D=V−1AV V−1 = ⎛ ⎝ 1/6 1/3 1/6 1/2 0 −1/2 1/3 −1/3 1/3 ⎞ ⎠= 1 6 ⎛ ⎝ 1 2 1 3 0 −3 2 −2 2 ⎞ ⎠
Verificamos la diagonalización
V−1AV= 1 6 ⎛ ⎝ 1 2 1 3 0 −3 2 −2 2 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 1 1 2 0 −1 1 −1 1 ⎞ ⎠ = 1 6 ⎛ ⎝ 1 2 1 3 0 −3 2 −2 2 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 3 4 2 0 −4 1 −3 4 ⎞ ⎠= 1 6 ⎛ ⎝ 6 0 0 0 18 0 0 0 24 ⎞ ⎠ V−1AV= ⎛ ⎝ 1 0 0 0 3 0 0 0 4 ⎞ ⎠ ¤
Ejemplo 1.2 Cálculo deV−1 por Gauss-Jordan.
Partimos de(V|I3) ⎛ ⎝ 1 1 1 2 0 −1 1 −1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎠ (2a−2×1a)→(2a) (3a−1a)→(3a) ⎛ ⎝ 1 1 1 0 −2 −3 0 −2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 ⎞ ⎠ (−3a)→(2a) (2a)→(3a) ⎛ ⎝ 1 1 1 0 2 0 0 −2 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1 0 −1 −2 1 0 ⎞ ⎠ (3a+ 2a)→(3a) ⎛ ⎝ 1 10 2 10 0 0 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1 0 −1 −1 1 −1 ⎞ ⎠ ¡1 2 ×2a ¢ →(2a) ¡ −13 ×3a ¢ →(3a) ⎛ ⎝ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1/2 0 −1/2 1/3 −1/3 1/3 ⎞ ⎠ (1a−2a−3a)→(1a) ⎛ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1/6 1/3 1/6 1/2 0 −1/2 1/3 −1/3 1/3 ⎞ ⎠
V−1 = ⎛ ⎝ 1/6 1/3 1/6 1/2 0 −1/2 1/3 −1/3 1/3 ⎞ ⎠ ¤
2
Método de la potencia
2.1
De
fi
niciones
Valor propio dominante Es el de mayor módulo. Si
|λ1|>|λ2|>· · ·>|λn| entoncesλ1 es elvalor propio dominante.
Vector normalizado v= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ v1 v2 .. . vn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
•vj es unacomponente dominante. Si |vj|=kvk∞
• Un vector está normalizado si sus componentes dominantes valen 1. Si vdom es una componente dominante dev,entonces el vector normalizado ˆv es
ˆ v= 1
vdom · v Ejemplo 2.1 Dado el vector
v= ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 −2 −4 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
determina la componente dominante y calcula el vector normalizado.
•Componente dominante
vdom=v3 =−4
vemos que
•Vector normalizado ˆ v= 1 vdom v= 1 −4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 −2 −4 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠= ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ −1/4 1/2 1 −1/4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Observamos que la componente dominante el vector normalizado vale 1. ¤
2.2
Método de la potencia
•A matriz de dimensiónn×ncon valores propios |λ1|>|λ2|>· · ·>|λn| •Vectores propios asociados v1,v2,· · ·,vn •x(0) un vector que se puede escribir
x(0)=α1v1+· · ·+αnvn conα16= 0 •Método ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y(j+1)=Ax(j) cj+1= componente dominante dey(j+1) x(j+1) = c1 j+1y (j+1) ¡Normalizado dey(j+1)¢ Se cumple.
•La sucesión de escalares (cj) tiende al valor propio dominante λ1
c1, c2,· · ·, cj,· · · j→∞
→ λ1
•La sucesión de vectores ¡x(j)¢tiende a un vector propio normalizado aso-ciado a λ1 .
x(1),x(2),· · ·,x(j) · · ·j→∞→ vˆ1
Ejemplo 2.2 Aproxima el valor propio dominante y un vector propio aso-ciado de la matriz A= ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠
Inicia las iteraciones con
x(0)= ⎛ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎠.
•Fase 1 y(1)=Ax(0)= ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 2 0 2 ⎞ ⎠ c1 = 2 (componente dominante dey(0)) x(1) = 1 2y (1)= 1 2 ⎛ ⎝ 20 2 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 10 1 ⎞ ⎠ •Fase 2 y(2) =Ax(1) = ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 0 1 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 3 −2 3 ⎞ ⎠ c2= 3 x(2) = 1 3 ⎛ ⎝ 3 −2 3 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 1 −2/3 1 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 1.0 −0.6667 1.0 ⎞ ⎠ •Fase 3 y(3) =Ax(2) = ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1.0 −0.6667 1.0 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 3.6667 −3.3333 3.6667 ⎞ ⎠ c3 = 3.6667 x(3) = ⎛ ⎝ 1 −0.9091 1 ⎞ ⎠ •Fase 4 y(4) =Ax(3) = ⎛ ⎝ 3.9091 −3.8181 3.9091 ⎞ ⎠ c4 = 3.9091 x(4) = 1 c4 y(4)= ⎛ ⎝ 1 −0.9767 1 ⎞ ⎠ •Fase 5 y(5) =Ax(4) = ⎛ ⎝ 3.9767 −3.9534 3.9767 ⎞ ⎠ c5 = 3.9767
x(5) = 1 c5 y(5)= ⎛ ⎝ 1 −0.9942 1 ⎞ ⎠ •Fase 6 y(6) =Ax(5) = ⎛ ⎝ 3.9942 −3.9883 3.9942 ⎞ ⎠ c6 = 3.9942 x(6) = 1 c6 y(6)= ⎛ ⎝ 1 −0.9985 1 ⎞ ⎠ •Fase 7 y(7) =Ax(6) = ⎛ ⎝ 3.9985 −3.9970 3.9985 ⎞ ⎠ c7 = 3.9985 x(7) = 1 c7 y(7)= ⎛ ⎝ 1 −0.9996 1 ⎞ ⎠ •Fase 8 y(8) =Ax(7) = ⎛ ⎝ −3.99963.9993 3.9996 ⎞ ⎠ c8 = 3.9996 x(8) = 1 c8 y(8)= ⎛ ⎝ 1 −0.9999 1 ⎞ ⎠ •Fase 9 y(9) =Ax(8) = ⎛ ⎝ 3.9999 −3.9998 3.9999 ⎞ ⎠ c9 = 3.9999 x(9)= 1 c9 y(9) = ⎛ ⎝ 1 −1 1 ⎞ ⎠ •Fase 10 y(10)= ⎛ ⎝ 4 −4 4 ⎞ ⎠ C10= 4
x(10)=x(9)
En Ejemplo 1.1, hemos visto queAtiene valores propios λ1= 4, λ2 = 3, λ3 = 1
los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
v=t ⎛ ⎝ 1 −1 1 ⎞ ⎠=tv1 v1 está normalizado. ¤
3
Método de la potencia inversa
Objetivo. Calcular elvalor propio de módulo mínimo. Es decir si λ1,λ2, . . . ,λn son los valores propios deA, que cumplen
|λ1|>|λ2|>· · ·>|λn|>0 queremos calcularλn.
Valores propios de la matriz inversa Sean
• (λ,v) par valor-vector propio de A • A invertible
Entonces • ¡1λ,v
¢
es un par valor-vector propio de A−1 Demostración Sabemos Av=λv A−1(Av) =A−1(λv) Iv=λ¡A−1¢v v=λ¡A−1¢v =⇒ ¡A−1¢v= 1 λv ¤ Método
•A matriz n×ninvertible con valores propios |λ1|>|λ2|>· · ·>|λn|>0
y vectores propios asociadosv1, . . . ,vn . •La matriz A−1 tiene valores propios
µj = 1 λj y ¯ ¯ ¯ ¯λ11 ¯ ¯ ¯ ¯< ¯ ¯ ¯ ¯λ12 ¯ ¯ ¯ ¯<· · ·< ¯ ¯ ¯ ¯λ1n ¯ ¯ ¯ ¯ es decir |µ1|<|µ2|<· · ·<|µn| con vectores propios asociadosv1, . . . ,vn
1. CalculamosA−1
2. Aplicamos el método de la potencia aA−1 y obtenemos el par
¡
µmax,v ¢→
½
µmaxvalor propio dominante de A−1 vvector propio asociado a µmax. 3. Entonces ⎧ ⎨ ⎩ λmin= 1
µmax es el valor propio de módulo mínimo de A vvector propio asociado a λmax.
Ejemplo 3.1 Dada la matriz A=
µ
−18 40
−12 26
¶
(a) Calcula el valor propio de módulo mínimo y un vector propio asociado. Toma como valor inicial
x(0)= µ 1 1 ¶ (b) Verifica el resultado.
(a) Valor y vector propio Inversa |A|= ¯ ¯ ¯ ¯ −−18 4012 26 ¯ ¯ ¯ ¯=−468 + 480 = 12 A−1 = 1 12 µ 26 −40 12 −18 ¶ = µ 13/6 −10/3 1 −3/2 ¶
A−1= µ 2.1667 −3.3333 1 −1.5 ¶ •Fase 0 x(0)= µ 1 1 ¶ •Fase 1 y(1)=A−1x(0)= µ 2.1667 −3.3333 1 −1.5 ¶ µ 1 1 ¶ = µ −1.1666 −0.5 ¶ c1=−1.666 x(1)= 1 c1 y(1) = µ 1 0.4286 ¶ •Fase 2 y(2)=A−1x(1) = µ 2.1667 −3.3333 1 −1.5 ¶ µ 1 0.4286 ¶ = µ 0.7381 0.3571 ¶ c2 = 0.7381 x(2) = µ 1 0.4839 ¶ •Fase 3 y(3)=A−1x(2)= µ 0.5538 0.2742 ¶ c3 = 0.5538 x(3)= 1 c3 y(3) = µ 1.00 0.4951 ¶ •Fase 4 y(4)=A−1x(3)= µ 0.5162 0.2574 ¶ c4 = 0.5162 x(4)= 1 c4 y(4) = µ 1 0.4984 ¶ •Fase 5 y(5) =¡A−1¢x(4)= µ 0.5052 0.2524 ¶ c4 = 0.5054 x(5)= 1 c5 y(5) = µ 1 0.4995 ¶ •Fase 6 y(6)=A−1x(5)= µ 0.5018 0.2508 ¶
c6 = 0.5018 x(6)= 1 c6 y(6) = µ 1 0.4998 ¶ •Fase 7 y(7)=A−1x(6)= µ 0.5006 0.2503 ¶ c7 = 0.5006 x(7)= 1 c7 y(7) = µ 1. 0.4999 ¶ •Fase 8 y(8)=A−1x(7)= µ 0.5002 0.2501 ¶ c8 = 0.5002 x(8)= 1 c8 y(8)= µ 1. 0.5 ¶ •Fase 9 y(9)=A−1x(8)= µ 0.5001 0.2501 ¶ c9 = 0.5001 x(9)= 1 c9 y(9)= µ 1. 0.5 ¶ Podemos tomar
•Valor propio de módulo máximo de A−1 µmax = 0.500
Vector propio asociado deµmax v=
µ
1 0.5
¶
•Valor propio de módulo mínimo de A λmin=
1 µmax =
1 0.5 = 2 vector propio asociadov=
µ
1 0.5
¶
. (b)Verificamos el resultado
A=
µ
−18 40
−12 26
•Polinomio característico p(λ) = |A−λI|= ¯ ¯ ¯ ¯ −18−12−λ 2640−λ ¯ ¯ ¯ ¯ = (−18−λ)(26−λ) + 480 = λ2−8λ+ 12 •Valores propios p(λ) = 0⇒λ2−8x+ 12 = 0 λ = 8± √ 64−48 2 = 8±√16 2 = ( 8+4 2 = 6 8−4 2 = 2 λ1= 6, λ2 = 2
•Vector propio asociado al valor propio de módulo mínimo (A−2I)v = 0 µ −20 40 −12 24 ¶ µ x y ¶ = µ 0 0 ¶ ½ −20x+ 40y= 0 −12x+ 24y= 0 ⇐⇒ ½ −x+ 2y= 0 −x+ 2y= 0 ½ x= 2t y=t Vectores propiosv=tv1 conv1 =
µ 2 1 ¶ Si normalizamos ˆv1= µ 1 1/2 ¶ ¤
4
Método de la potencia inversa desplazada
Objetivo Aproximar un valor propio λa partir de una estimaciónλ¯ wλ Valores propios de (A−αI)
Sea
• (λ,v) par de valor-vector propio de A Entonces
Demostración
Av = λv Av−αv = λv−αv (A−αI)v = (λ−α)v ¤ Fundamento del método
Si λ¯ está próximo al valor propio λ de A entonces B = A−¯λI tiene un valor propioδ =λ−λ¯ con |δ|pequeño y podemos aplicar el método de la potencia inversa aB para determinarδ =λ−λ.¯
•A matriz n×ncon valores propios
|λ1|>|λ2|>· · ·>|λj|>· · ·>|λn| y vectores propios
v1,v2, . . . ,vn •Disponemos de una estimación inicialλ¯ wλj
1. CalculamosB=A−λI¯ que tiene un valor propio de módulo mínimo δmin =λj−λ¯
2. CalculamosB−1 que tiene un valor propio dominante µmax= 1
δmin
= 1 λj−λ¯
y aplicamos el método de la potencia a B−1 para obtener µmax y un vector propio asociadov.
3. Entonces µmax= 1 λj−λ¯ ⇒ λj = 1 µmax + ¯λ Ejemplo 4.1 Dada la matriz
A= ⎛ ⎝ 3 −1 0 −1 2 −1 0 −1 3 ⎞ ⎠
obtener un valor propio próximo a λ¯ = 2.8 y un vector propio asociado. Empieza las iteraciones con
x(0) = ⎛ ⎝ 5 1 1 ⎞ ⎠
•Calculamos B=A−λI¯ B=A−¯λI= ⎛ ⎝ 0.2 −1 0 −1 −0.8 −1 0 −1 0.2 ⎞ ⎠ •Calculamos B−1 B−1 = ⎛ ⎝ 2.6852 −.46296 −2.3148 −.46296 −9.2593×10−2 −.46296 −2.3148 −.46296 2.6852 ⎞ ⎠
•Aplicamos el método de la potencia aB−1 y determinamos µmax •Fase 0 x(0) = ⎛ ⎝ 51 1 ⎞ ⎠ •Fase 1 y(1) = ¡B−1¢x(0)= ⎛ ⎝ 2.6852 −.46296 −2.3148 −.46296 −9.2593×10−2 −.46296 −2.3148 −.46296 2.6852 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 5 1 1 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 10.648 −2.8704 −9.3518 ⎞ ⎠ c1= 10.648 x(1) = 1 c1 y(1) = 1 10.648 ⎛ ⎝ −10.2.8704648 −9.3518 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ −.1.026957 −.87827 ⎞ ⎠ •Fase 2 y(2) = ¡B−1¢x(1)= ⎛ ⎝ 2.6852 −.46296 −2.3148 −.46296 −9.2593×10−2 −.46296 −2.3148 −.46296 2.6852 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1.0 −.26957 −.87827 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ 4.843 −3.1396×10−2 −4.5483 ⎞ ⎠ c2= 4.843 x(2) = 1 4.843 ⎛ ⎝ 4.843 −3.1396×10−2 −4.5483 ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 1.0 −6.4828×10−3 −.93915 ⎞ ⎠
•Fase 3 y(3) =¡B−1¢x(2)= ⎛ ⎝ 4.8621 −2.7571×10−2 −4.8336 ⎞ ⎠ c3= 4.8621 x(3) = 1 c3 y(3)= ⎛ ⎝ 1.0 −5.6706×10−3 −.99414 ⎞ ⎠ •Fase 4 y(4) =¡B−1¢x(3)= ⎛ ⎝ −2.18794.9891×10−3 −4.9816 ⎞ ⎠ c4= 4.9891 x(4) = 1 c4 y(4)= ⎛ ⎝ 1.0 −4.3854×10−4 −.9985 ⎞ ⎠ •Fase 5 y(5) =¡B−1¢x(4)= ⎛ ⎝ 4.9967 −6.5383×10−4 −4.9958 ⎞ ⎠ c4= 4.9967 x(5) = 1 c5 y(5)= ⎛ ⎝ 1.0 −1.3085×10−4 −.99982 ⎞ ⎠ •Fase 6 y(6) =¡B−1¢x(5)= ⎛ ⎝ 4.9996 −7.1217×10−5 −4.9995 ⎞ ⎠ c6= 4.9996 x(6) = 1 c6 y(6)= ⎛ ⎝ 1.0 −1.4245×10−5 −.99998 ⎞ ⎠ •Fase 7 y(7) =¡B−1¢x(6)= ⎛ ⎝ 5.0 −7.9402×10−6 −4.9999 ⎞ ⎠ c7= 5 x(7) = 1 c7 y(7)= ⎛ ⎝ 1.0 −1.588×10−6 −.99998 ⎞ ⎠
•Fase 8 y(8) =¡B−1¢x(7)= ⎛ ⎝ 5.0 −9.1122×10−6 −4.9999 ⎞ ⎠ c8= 5 x(8) = 1 c8 y(8)= ⎛ ⎝ 1.0 −1.8224×10−6 −.99998 ⎞ ⎠ Podemos tomar
•Valor propio de módulo máximo de B−1 µmax = 5
Vector propio asociado deµmax,con 4 decimales es
v= ⎛ ⎝ 1 0 −1 ⎞ ⎠
•Valor propio de A próximo a λ¯= 2.8,
λ= 1
µmax + 2.8 = 1
5+ 2.8 = 3.0
vector propio asociadov=
⎛ ⎝ 1 0 −1 ⎞ ⎠ ¤