Límite de una Función: Límite en el infinito.

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Límite de una Función: Límite

en el infinito.

Asíntota Horizontal

En este último tema sobre el límite de una función nos ocuparemos de los problemas relacionados con el comportamiento de una función que se aproxima a un número cunado la variable “x” crece o en su defecto decrece sin tope alguno, es decir que cuando la variable tiende al infinito como ya hemos estudiado en los apartados anteriores simbólicamente esto se expresa x o bien cuando x.

Para entender el significado de este nuevo concepto analicemos un caso particular, consideremos la función ( ) 11

x x

f y

Su gráfico sería de la forma 

x 0 

A partir del análisis de su gráfico podemos estimar

Que los valores de f(x) se aproximan tanto como se desee a 1 cuando los valores de x crecen sin tope, es decir cuando asume valores infinitamente grandes y positivos, el cociente del primer término se aproxima infinitamente a cero que al sumar uno se aproxima “por exceso, por arriba” pero nunca asume dicho valor. De donde analizándolo desde el concepto de límite lo podemos expresar de la siguiente forma:

1

1

1

 

 

x

lím

x

“Se lee x tiende a mas infinito”

Y cuando los valores de la f(x) se aproximan tanto como se quiera a 1 los valores de x decrecen sin tope, es decir cunado asume valores infinitamente grandes pero negativos, el cociente del primer término se aproxima a cero pero por valores negativos, pues sería el cociente entre el número 1 y un número muy grande negativo.

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Que se restarían de 1, por lo tanto se aproxima infinitamente “por defecto, por abajo” pero nunca asume dicho valor. De donde analizándolo desde el concepto de límite lo podemos expresar de la siguiente forma:

1

1

1

 

 

x

lím

x

“Se lee x tiende a menos infinito”

Es importante observar que la afirmación f(x) tiende a 1 cuando x crece o decrece sin tope, es decir infinitamente, geométricamente significa que los puntos del gráfico de f(x) se acercan tanto como se quiere (porque uno puede tomar valores de x extremadamente grandes, tanto positivos como negativos) a la recta y=1. Esta recta se llama asíntota horizontal.

Importante Recordar



x

se lee x tiende a

mas infinito, significa que x crece sin tope alguno.



x

se lee x tiende a menos infinito, significa que x decrece sin tope alguno.

Con los símbolos

lím

x

f

(

x

)

L

se indica que los valores de f(x) se

aproximan a L tanto como se desee cuando los valores de x crecen tanto como se desee, es decir sin tope.

lím

x

f

(

x

)

L

se indica que los valores de f(x) se

aproximan a L tanto como se desee cuando los valores de x decrecen como se desee, es decir sin tope.

Con lo cual la recta y = L es una asíntota horizontal del gráfico de f (x) si

lím

x

f

(

x

)

L

y

lím

x

f

(

x

)

L

Asíntota Vertical

Existen además de las asíntotas horizontales las asíntotas verticales, y se refieren a aquellos problemas en los que se presentan funciones para los cuales los valores de

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las imágenes crecen o decrecen sin tope, es decir indefinidamente cuando la variable se aproxima a un número.

Para entender el significado de este nuevo concepto analicemos un caso particular, consideremos la función 2 1 ) ( x x f  y   X 0

A partir del gráfico podemos estimar que los valores de f(x) crecen sin tope, es decir indefinidamente cuando x se aproxima a cero, en símbolos lo podemos expresar como



0 2

1

x

lím

x y si en lugar de analizar la función anterior tomaríamos

como ejemplo su opuesta es decir la función 2

1 ) ( x x f   observaríamos que los valores de f(x) crecen sin tope pero negativamente.

En los casos que f(x) tiende a mas infinito cuando x tiende a cero, o como en el segundo ejemplo f(x) tiende a menos infinito, esto geométricamente significa que los puntos de los gráficos de ambas funciones se acercan a la recta x =0 tanto como se quiere, cuando x se aproxima a cero. Por tal motivo la recta x= 0 es una asíntota vertical.

Obsérvese que las rectas que son asíntotas horizontales serán de la forma y= c y las rectas que son asíntotas verticales serán de la forma x = c, siendo en ambos casos c un número real cualesquiera. Las rectas que son asíntotas horizontales son rectas paralelas al eje de abscisas, y las rectas que son asíntotas verticales son rectas paralelas al eje de ordenadas, pudiendo en algunos casos ser los mismos ejes rectas asíntotas.

Importante Recordar

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

f

(

x

)

lím

x c se indica que los valores de f(x) crecen sin tope

cuando x se aproxima a c. Y con el símbolo



f

(

x

)

lím

x c se indica que los valores de f(x) decrecen sin topoe

cuando x se aproxima a c.

Cuando algunos de los límites laterales (que ya estudiamos anteriormente) de f(x) en c es más infinito o en su defecto menos infinito, se dice que la recta x = c es una

asíntota vertical del gráfico de f(x)

Límite infinito en el infnito

Por último para terminar con el tema de límites ,vamos a analizar una última variante que se presenta en las nociones de cálculo infinitesimal para los estudiantes de nivel medio, cabe destacar que las nociones del cálculo no se agotan aquí, es un área de la Matemática sumamente extensa y mucho más compleja que lo hasta el momento hemos desarrollado.

Consideremos un ejemplo de dos funciones que ya han sido estudiadas previamente a lo largo de la escuela secundaria, las funciones

f

(

x

)

x

2 y

f

(

x

)

x

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La idea de límites infinitos en el infinito nos permite poder observar desde una óptica más amplia como se comportan estas dos funciones cuando las variables independientes no tienen tope, implica estimar su comportamiento para valores extremadamente grandes, considerando que infinito no es un número sino un concepto mediante el cual se produce un importante quiebre o salto de lo cuantitativo a lo cualitativo.

En el caso de la función cuadrática f(x) crece sin tope cuando x crece o decrece, crece f(x) pues si x asume valores muy grandes positivos que elevados al cuadrado seguirán siendo positivos y más grandes aún y, si x asume valores muy grandes pero negativos que elevados al cuadrado serán positivos y más grandes aun. Significa que f(x) crece tanto para valores infinitamente grandes como infinitamente pequeños, es aquí donde comienza a surgir la idea del infinito en el infinito, es un verdadero

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desafío para quienes hacen Matemática conceptualizar estas nociones tan abstractas porque implica un salto de lo concreto, del ejemplo numérico, al concepto en sí.

Porque el

No es un número, es un concepto matemático.

Volvamos a la función cuadrática, su gráfica aproximada sería Y 2 ) (x x f    X  

F(x) crece sin tope cuando x crece o decrece sin tope, esto se simboliza de la siguiente forma:

2

2

x

lím

x

lím

x





x



Para el caso de la función cúbica, su gráfica aproximada sería

Y 3 ) (x x f     

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Es decir que f(x) crece infinitamente por valores positivos cuando x crece sin tope por valores positivos, pero a diferencia de la función cuadrática si x crece por valores negativos es decir decrece, f(x) también decrece porque un número negativo elevado a potencia impar sigue siendo negativo.

F(x) crece sin tope cuando x crece o sin tope y f(x) decrece sin tope cuando x decrece sin tope, esto se simboliza de la siguiente forma:









3

3

x

lím

x

lím

x

x

Con el símbolo Expresamos que





F

(

x

)

lím

x

Cuando x crece sin tope f(x) también





F

(

x

)

lím

x

Cuando x crece sin tope f(x) decrece sin tope





F

(

x

)

lím

x

Cuando x decrece sin tope f(x) crece sin tope





F

(

x

)

Figure

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