Álgebra Básica Desarrollo ejercicios Guia 7.

Ecuaciones Racionales

1. Resuelva las siguientes ecuaciones racionales, analizando el dominio y dando el conjunto solución.

a) m n n 1

x m x

Convencionalmente despejamos “x”, a menos que me indiquen otra variable. Además debemos considerar las restricciones de la ecuación, es decir, los valores que “x” no puede tomar. En este caso

0

x

, o de lo contrario la fracción se me indeterminaria, por lo tanto el

Dom



{0}

.

2

2

1

1 / Encontramos el m.c.m y multiplicamos a ambos lados de la ecuación.

/ Distributividad.

/ Simplificando.

/ Agrupando "x" a u

m

n

n

x

m

x

m

n

n

mx

mx

x

m

x

m

n

n

mx

mx

mx

mx

x

m

x

m

nx

mn

mx

nx mx

mn m

n lado de la igualdad.

(

)

(

) / Factorizando.

(

)

/ Despejando x.

(

)

/ Simplificando.

x n m

m n m

m n m

x

n m

x

m

x

m

x

m

Aquí NO hemos encontrado la solución a la ecuación, a menos que reemplacemos “x” en la primera ecuación y haga verdadera la igualdad.

Al reemplazar x mobtenemos una igualdad, por lo tanto

S

{ }

m

.

b) 4 2 1

5 3 24

x x

x x

En este caso “x” no puede tomar los valores -5 y -3, ya que indeterminan la fracción, por lo tanto el

{ 3, 5}

Dom



Álgebra Básica

2 2 2

4 2 1

5 3 24

( 4)( 3) ( 2)( 5) 1

/Operatoria de fracciones algebraicas.

( 5)( 3) 24 24 ( 4)( 3) ( 2)( 5) ( 5)( 3) / Operatoria fracciones. 24 ( 7 12) ( 7 15) 8 15 /Desarrol x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2

lo binomios de termino común. 24( 2) 8 15 / Reducción terminos semejantes.

48 8 15 8 33 0 / Propiedades de cuerpo. 11 3 33 0 /Descomposición. ( 11) 3( 11) 0 /Factorización. ( 11)( x x x x x x x x x x x x x x 3) 0 /Factorización. 11 3 /Propiedades de cuerpo. x x

En este caso tenemos 2 posibles soluciones

x

11 o

x

3

. Verificando en la ecuación (debemos reemplazar “x” en la primera ecuación) obtenemos que el conjunto solución es

S

{ 11,3}

En estos 2 ejemplos hemos apreciado 2 posibles caminos (existen … xx caminos) para resolver este tipo de ecuaciones. Es de suma importancia considerar el dominio y el conjunto solución, para esto debemos verificar las posibles soluciones adecuadamente.

2. Plantee los siguientes problemas como ecuaciones con una incógnita y resuélvalos.

a) El numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si al numerador se le resta 15, la diferencia entre la fracción original y la nueva fracción es 3. Hallar la fracción.

Analizaremos el planteamiento en cada frase para poder entenderlos a cabalidad.

El numerador de una fracción excede al denominador en 22. ¿Por ejemplo?

1 22 4 22

,

1

4

. Ósea el numerador es más grande que el denominador y ¿El numerador depende del denominador o al revés?

Habiendo analizado la situación tenemos que generalizarlo, para esto consideramos: Se x=denominador, entonces la fracción se puede escribir de la siguiente forma

x

22

x

.

Si al numerador se le resta 15, la diferencia entre la fracción original y la nueva fracción es 3. Analizando la primera parte de la frase tenemos que al numerador hay que restarle 15, es decir, la nueva fracción será

x

7

x

.Ahora me dice que la diferencia entre la fracción original y la nueva es 3 (hay que tener presente que no es lo mismo restar la nueva fracción que restar la fracción original, hay que mantener el orden que me propone el enunciado). Traduciendo el enunciado a una ecuación

x

22

x

7

3

22 7 3 15

3 / Operatoria con fracciones. 5 x x x x x x Hallar la fracción.

Si x=5, entonces la fracción original es

5 22

5

b) Compré cierto número de paquetes de galletas por $2400. En otro supermercado, los paquetes de galletas valían 40$ menos y hubiera podido comprar 3 paquetes más por el mismo precio. ¿Cuántos paquetes compré y a qué precio?

CAMINO1: Luego de leer el enunciado debemos extraer las variables que interfieren en el problema. Estos son: numero de paquetes de galletas, valor total de los paquetes que compré y valor unitario de los paquetes de galleta. Además hay que considerar que se están comparando los precios en 2 supermercados. Ordenando esto en una tabla tenemos que:

Sea x= numero de galletas.

Numero de galletas Precio unitario ($) Precio total($)

Supermercado 1 x

₂₄₀₀

x

2400 Supermercado 2

Ahora debemos completar los datos del segundo supermercado, para esto debemos usar la información ya representada en la tabla. En el supermercado 2 las galletas cuestan $40 menos, es decir, si en el

supermercado 1 costaban $50 en el supermercado 2 $50-$40. En general podemos decir que el precio de cada galleta en el supermercado 2 es

2400

40

x

. Además me dicen que podría haber comprado 3 galletas mas, es decir, si en el supermercado 1 compre 5 galletas, en el supermercado 2 compre 5 galletas +3 galletas. En general podemos decir que en el supermercado 2 podría haber comprado x+3 galletas. Completando la tabla se tiene:

Numero de galletas Precio unitario ($) Precio total($)

Supermercado 1 x

2400

x

2400 Supermercado 2 x+3

2400

40

x

2400

Ahora debo encontrar la ecuación, para esto debo preguntarme por ejemplo ¿Cómo obtengo el precio total en el supermercado 1? Multiplicando el número de galletas por el precio de cada una obtengo el precio total. Ósea en el segundo supermercado tenemos:

2400

3 40 2400

x

x Al resolver esta ecuación obtendremos cuantas galletas compré, y luego podré saber cuanto me costo cada una.

CAMINO2: Analizamos el enunciado de la misma forma anterior, y deducimos la tabla, pero la completaremos de otra manera.

Sea x= numero de galletas.

Numero de galletas Precio unitario ($) Precio total($)

Supermercado 1 x

2400

x

2400 Supermercado 2

Me dice el enunciado que podría haber comprado x+3 galletas por el mismo precio. Es decir siguiendo la lógica del primer supermercado, el precio unitario de galletas sería

2400

3

x

Numero de galletas Precio unitario ($) Precio total($)

Supermercado 1 x

₂₄₀₀

x

2400 Supermercado 2 x+3

2400

3

x

2400

Pero si el paquete de galleta en el supermercado 1hubiese costado $40 menos el precio seria igual al del segundo supermercado. Por lo tanto aquí generamos otra ecuación:

2400

2400

40

3

x

x

Al resolver esta ecuación obtendremos el número de galletas que compré. (Recuerden que no puedo comprar -5 galletas)

Ecuaciones Irracionales.

3. Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales, analizando el dominio y dando el conjunto solución. a) x 4x 1 5

Sabemos que la raíz de un número negativo hasta ahora no existe, por lo tanto 4x 1 0, es decir, x pertenece al siguiente conjunto, el cual es el dominio 1,

4

2 2

2 2

4 1 5

4 1 5 / con el fin de evitar el binomio con raíz, aislamos la raíz. ( 4 1) (5 ) / Elevando amabos lados al cuadrado .

4 1 25 10 / Desarrollando el binomio al cuadrado . 14 24 0/ P x x x x x x x x x x x 2 ropiedades de cuerpo. 12 2 24 0 ( 12) 2( 12) 0/ Factorizando. ( 12)( 2) 0/ Factorizando. 12 2/ Propiedades de cuerpo. x x x x x x x x x x

Reemplazando en la PRIMERA ecuación ambas “x”, obtenemos que x 12hace falsa la proposición y 2

x la hace verdadera. Por lo tanto S {2}. b) 2x 4x 3 3

Analizando el dominio de la ecuación, obtenernos que 3, 4

Dom .Como la ecuación tiene 2 raíces, obligatoriamente deberemos elevar 2 veces al cuadrado.

2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 4 3 (3) / Elevando al cuadrado. 2 4 3 9

4 3 9 2 / Aislando la raíz, para evitar el binomio con raíz. 4 3 (9 2 ) / Elevando al cuadrado. 4 3 81 18 4 4 40 84 0 4( 10 21) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 10 21 0 7 3 21 0 ( 7) 3( 7) 0 ( 7)( 3) 0 7 3 x x x x x x x x x x x x

Reemplazando en la primera ecuación ambas “x”, obtenemos que x 7hace falsa la proposición y x 3la hace verdadera. Por lo tanto S {3}.