Integrales racionales

Integrales racionales

Son del tipo

Z _{P (x)}

Q(x)dx donde P(x) y Q(x) son dos polinomios en x Casos:

A) Si grado P (x) ≥ Q(x) . Efectuamos la división entre ambos poli-nomios y: Z _{P (x)} Q(x)dx = Z C(x)dx + Z _R(x) Q(x)dx

siendo C(x) y R(x) el cociente y resto de la división efectuada B) Si grado R(x) < Q(x)

Para resolver este tipo de integrales, tendremos que utilizar el siguiente teorema de Álgebra:

Si Q(x) = (x − α)t(x − β)(ax2+ bx + c)(dx2+ ex + f )p

(con b2_{− 4ac < 0 y e}2_{− 4df < 0) y gradoR(x) <grado Q(x) entonces:} R(x) Q(x) = A1 (x − α)t+ A2 (x − α)t−1+ ... + A_t−1 (x − α)2+ At (x − α)+ B (x − β)+ M x + N ax2_{+ bx + c}+ B1x + C1 dx2_{+ ex + f}+ B2x + C2 (dx2_{+ ex + f )}2+...+ BPx + CP (dx2_{+ ex + f )}P 1

Nota: todas las integrales racionales, después de determinar los coefi-cientes adecuados, quedarán reducidas a la resolución de las siguientes inte-grales 1. Z _B (x − β)dx = B ln |x − β| + C 2. Z _B (x − α)tdx = B Z (x−α)−tdx = B(x − α) −t+1 −t + 1 +C = −B (t − 1)(x − α)t−1+ C 3. Z _{M x + N} ax2_{+ bx + c}dx = M 2aln ¯ ¯ax2+ bx + c¯¯+ µ N − bM_2a ¶₂√_H H arctan µ_2axb √ H ¶ + C 4. Z _{M x + N}

(ax2_{+ bx + c)}pdx →Se resuelve por Partes (Facultad)

Ejemplos Example 1 Z _x3_{+ 2} x2_{+ 4}dx = Z x dx + Z _{−4x + 2} x2_{+ 4} dx = x2 2 + I I = Z −4x + 2 x2_{+ 4} dx = −4 Z _x x2_{+ 4}dx + 2 Z ₁ x2_{+ 4}dx I = −2 Z _2x x2_{+ 4}dx + 2 Z ₁ 4(x 2 4 + 1) dx I = −2 ln¯¯x2_{+ 4}¯_¯+1 2 Z 1 µ_x 2 ¶2 +1 dx = −2 ln¯¯x2_{+ 4}¯_{¯+ arctan}x 2 + C Por lo tanto Z _x3_{+ 2} x2_{+ 4}dx = x2 2 − 2 ln ¯ ¯ ¯x2+ 4¯¯_¯+ arctanx 2 + C Example 2 Z _2x2 x2_{+ 4}dx = Z 2dx − Z ₈ x2_{+ 4}dx = 2x − 8 4 Z ₁ ¡x2 2 ¢ + 1dx = 2x − 2J J = Z ₁ ¡x2 2 ¢ + 1dx = 2 Z 1 2 ¡x2 2 ¢ + 1dx = 2 arctan x + C Con lo que: Z _2x2 x2_{+ 4}dx = 2x − 4 arctan x + C

1.1.

Q(X)DX SIENDO GRADO P (X) <GRADO Q(X) = 2 3

1.1

P (x)

Q(x)

dx siendo grado P (x) <grado Q(x) = 2

1

Situación

Si Q(x) = a(x − x1)(x − x2) y grado P (x) ≤ 1. Como

P (x) a(x − x1)(x − x2) = 1 a · _A (x − x1) + B (x − x2) ¸

Determinamos los coeficientes A y B, con lo que:

Z _{P (x)} a(x − x1)(x − x2) dx = 1 a ·Z _A (x − x1) dx + Z _B (x − x2) dx ¸ Z _{P (x)} a(x − x1)(x − x2) dx = 1 a[A ln (x − x1) + B ln (x − x2)] +C Exercise 1.1.1 Z _{3x + 5} 3x2_{− 5x + 2}dx

Como las raíces o ceros de 3x2_{− 5x + 2 son 1,}2₃

Entonces;: la descomposición factorial de 3x2_{− 5x + 2 es:} 3x2_{− 5x + 2 = 3}³_{x −}2₃´_{(x − 1)}

Por lo que la fracción se puede descomponer así:

3x + 5 3x2_{− 5x + 2} = 1 3 " A (x −23) + B (x − 1) #

Determinemos los coeficientes A y B Como 3x + 5 3x2_{− 5x + 2} = A(x − 1) + B(x − 23) 3³_{x −}2₃´_{(x − 1)} → 3x + 5 = A(x − 1) + B(x − 2 3)

Si asignamos a x los valores 1,2_{3 tendremos→}

     8 = B 3 → B = 24 7 = −A₃ → A = −21 De lo cual se deduce que:

Z _{3x + 5} 3x2_{− 5x + 2}dx = 1 3 "Z −21 (x − 23) dx + Z ₂₄ (x − 1)dx # = −7 ln¯¯¯x −23 ¯ ¯ ¯+8 ln |x − 1|+C

2

Situación

Si Q(x) = a(x − x1)2 y grado P (x) < 2. Como

P (x) a(x − x1)2 = 1 a · _A (x − x1)2 + B (x − x1) ¸

Determinamos los coeficientes A y B, con lo que:

Z _{P (x)} a(x − x1)2 dx = 1 a ·Z _A (x − x1)2 dx + Z _B (x − x1) dx ¸ = 1 a · − A (x − x1) + B ln (x − x 1) ¸ +C Exercise 1.1.2 Z _{4x + 3} 4x2_{− 4x + 1}dx Como 4x2_{− 4x + 1 = 4(x −}1 2)2, entonces: 4x + 3 4x2_{− 4x + 1} = 1 4 " A (x − 12)2 + B (x − 12) # 4x + 3 4x2_{− 4x + 1} = 1 4 " A (x −12)2 + B (x − 12) # → 4x + 3 = A + B(x −12)

Si asignamos a x los valores 1_{2, 0 tendremos→}

( 5 = A 3 = 5 −B2 → B = 4 Con lo que: Z _{4x + 3} 4(x − 12)2 dx = 1 4 "Z ₅ (x − 12)2 dx + Z ₄ (x −12) dx # = 1 4 " − 5 x −12 + 4 ln ¯ ¯ ¯ ¯x − 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ # +C Z _{4x + 3} 4(x − 12)2 dx = −_4x−25 + ln¯¯_{¯x −}1₂¯¯_¯+ C

3

a

Situación

Si Q(x) no tiene raíces reales

Exercise 1.1.3

Z _{4x + 5}

x2_{+ 2x + 4}dx

El polinomio x2+ 2x + 4 no tiene raíces reales; ya que su discriminante ∆ = −12

1.1.

Q(X)DX SIENDO GRADO P (X) <GRADO Q(X) = 2 5

I = Z _{4x + 5} x2_{+ 2x + 4}dx = 4 2 Z _{2x + 2 − 2} x2_{+ 2x + 4}dx + 5 Z ₁ x2_{+ 2x + 4}dx I = 4 2 Z _{2x + 2} x2_{+ 2x + 4}dx + (5 − 2 · 4 2) Z ₁ x2_{+ 2x + 4}dx I = 2 ln¯¯x2+ 2x + 4¯¯+ Z ₁ x2_{+ 2x + 4}dx = 2 ln ¯ ¯x2+ 2x + 4¯¯+ J Calcúlemos ahora J J = Z ₁ x2_{+ 2x + 4}dx = Z ₁ (x + 1)2_{+ 3}dx = 1 3 Z ₁ 1 + (x + 1√ 3 ) 2 dx = 1 3 √ 3 Z _√1 3 1 + (x + 1_√ 3 ) 2 dx J = 1 3 √ 3 Z _√1 3 1 + (x + 1√ 3 ) 2 dx = √ 3 3 arctan x + 1 √ 3 + C Con lo que : I = 2 ln¯¯_¯x2+ 2x + 4¯¯_¯+ √ 3 3 arctan x + 1 √ 3 + C Exercise 1.1.4 Z _3x2_{+ 4x + 1} x2_{− 4x + 4} dx = Z 3dx+ Z 16x − 11 x2_{− 4x + 4}dx = 3x + J

Para resolver J tendremos que descomponer la fracción 16x − 11 x2_{− 4x + 4} =

16x − 11 (x − 2)2

Por el teorema anterior 16x − 11 (x − 2)2 = A (x − 2)2 + B x − 2 =⇒ 16x − 11 = A + B(x − 2) Si le damos a x el valor 2 tendremos 21 = A

Si le damos a x el valor 0 tendremos −11 = 21 − 2B → B = 16

Z 16x−11 x2_−4x+4dx = 21 Z 1 (x−2)2dx + 16 Z 1 x−2dx = −21x−2+ 16 ln |x − 2| + C Z _3x2_{+ 4x + 1} x2_{− 4x + 4} dx = 3x − 21 x − 2+ 16 ln |x − 2| + C Exercise 1.1.5 Z 3x − 1 x2_{+ x − 2}dx. Como x 2 +x−2 = (x+2)(x−1) entonces por el teorema anterior

3x − 1 (x + 2)(x − 1) = A (x + 2)+ B (x − 1) =⇒ 3x − 1 = A(x − 1) + B(x + 2) Si le damos a x el valor −2 tendremos −7 = −3A → A = 7₃

Si le damos a x el valor 1 tendremos 2 = 3B → B = 2₃

Z 3x−1 x2_+x−2dx = 7 3 Z 1 x+2dx + 2 3 Z 1 x−1dx = 7 3ln |x + 2| + 2 3ln |x − 1| + C

1.2

_{P (x)}

Q(x)

dx siendo grado P (x) <grado Q(x) = 3

1

a

Situación

Determinamos los coeficientes A, B, C y:

Z _{P (x)} a(x − x1)3 dx = 1 a ·Z _A (x − x1)3 dx + Z _B (x − x1)2 dx + Z _C (x − x1) dx ¸ Z _{P (x)} a(x − x1)3 dx = 1 a · − A 2(x − x1)2 − B (x − x1) + C ln |x − x1| ¸ + C Exercise 1.2.1 Z _3x2_{− 3x − 1} x3_{− 3x}2_{+ 3x − 1}dx . Como x3_{− 3x}2_{+ 3x − 1 = (x − 1)}3 _entonces 3x2_{− 3x − 1} (x − 1)3 = A (x − 1)3 + B (x − 1)2 + C x − 1 3x2_{− 3x − 1 = A + B(x − 1) + C(x − 1)}2 Si x = 1 → −1 = A Si x = 0 → −1 = −1 − B + C → B = C Si x = 2 → 5 = −1 + 2C → C = 3 ; B = 3 Z _3x2 − 3x − 1 (x − 1)3 dx = − Z ₁ (x − 1)3dx + 3 Z ₁ (x − 1)2dx + 3 Z ₁ x − 1dx = = 1 2(x − 1)2 − 3 x − 1+ 3 ln |x − 1| + C

1.2.

Q(X)DX SIENDO GRADO P (X) <GRADO Q(X) = 3 7

2

a

Situación

Determinamos los coeficientes A, B, C y:

Z _{P (x)} a(x − x1)2(x − x2) dx = 1 a ·Z _A (x − x1)2 dx + Z _B (x − x1) dx + Z _C (x − x2) dx ¸ Z _{P (x)} a(x − x1)3 dx = 1 a · − A (x − x1) + B ln |x − x2| + C ln |x − x2| ¸ + C0 Exercise 1.2.2 Z _3x2 − 4 x3_{− 5x}2_{+ 8x − 4}dx . Como x3_{− 5x}2_{+ 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)}2 3x2_{− 4} (x − 1)(x − 2)2 = A (x − 2)2 + B x − 2+ C x − 1 3x2_{− 4 = A(x − 1) + B(x − 2)(x − 1) + C(x − 2)}2 Si x = 1 → −1 = C Si x = 2 → 8 = A Si x = 0 → −4 = −8 + 2B − 4 → B = 4 Z _3x2_{− 4} (x − 1)(x − 2)2dx = 8 Z ₁ (x − 2)2dx + 4 Z ₁ x − 2dx − Z ₁ x − 1dx Z _3x2 − 4 (x − 1)(x − 2)2dx ==− 8 x − 2+ 4 ln |x − 2| − ln |x − 1| + C

3

a

Situación

Si Q(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) y grado P (x) ≤ 2. Como

P (x) a(x − x1)(x − x2)(x − x3) = 1 a · _A (x − x1) + B (x − x2) + C (x − x3) ¸

Determinamos los coeficientes A y B, con lo que:

Z _{P (x)} a(x − x1)(x − x2)(x − x3) dx == 1 a[A ln |x − x1| + B ln |x − x2| + C ln |x − x2|] +C 0

Exercise 1.2.3 x − x + 1 x3_{+ 2x}2_{− x − 2}dx Como x3+ 2x2_{− x − 2 = (x − 1)(x + 1)(x + 2)} x2_{− x + 1} (x − 1)(x + 1)(x + 2) = A x − 1+ B x + 1+ C x + 2 x2_{− x + 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)(x + 1)} Si x = 1 → 1 = 6A → A = 1₆ Si x = −1 → 3 = −2B → B = −3₂ Si x = −2 → 7 = 3C → C = 7₃ Z _x2 − x + 1 (x − 1)(x + 1)(x + 2)dx = 1 6 Z ₁ x − 1dx− 3 2 Z ₁ x + 1dx+ 7 3 Z ₁ x + 2dx = Z x2_−x+1 (x−1)(x+1)(x+2)dx= 1 6ln |x − 1| − 3 2ln |x + 1| + 7 3ln |x + 2| + C

4

a

Situación

Determinamos los coeficientes A, B, C y:

Z _{P (x)} (x − x1) (ax2+ bx + c) dx = Z _A (x − x1) dx + Z _{M x + N} ax2_{+ bx + c}dx = A ln |x − x1| + J Donde J = M 2aln ¯ ¯ax2+ bx + c¯¯_{+ (N −} bM 2a) 2√_−∆ −∆ arctan µ_{2ax + b} √ −∆ ¶ + C Exercise 1.2.4 Z _{x + 3} x3_{+ x}2_{+ 2x − 4}dx Como x3_{+ x}2_{+ 2x − 4 = (x − 1)(x}2_{+ 2x + 4)} x + 3 (x − 1)(x2_{+ 2x + 4)} = A x − 1+ M x + N x2_{+ 2x + 4} x + 3 = A(x2_{+ 2x + 4) + (M x + N )(x − 1)}

1.2.

Q(X)DX SIENDO GRADO P (X) <GRADO Q(X) = 3 9

Si x = 1 → 4 = 7A → A = 4 7 Si x = 0 → 3 = 16₇ − N → N = −5₇ Si x = −1 → 2 = 12₇ + (−M − 5₇)(−2) → M = −4₇ Z x+3 (x−1)(x2_+2x+4)dx = 4 7 Z ₁ x − 1dx + Z ₋4 7x− 5 7 x2_+2x+4dx = 4 7ln |x − 1| − 1 7J siendo J = Z _{4x + 5} x2_{+ 2x + 4}dx

Resuélvela tú (integral de tipo ln + arctag ).Comprueba que:

J = 2 ln¯¯x2+ 2x + 4¯¯+ √ 3 3 arctan x + 1 √ 3 + C Por lo que Z x+3 (x−1)(x2_+2x+4)dx = 4 7ln |x − 1|− 1 7 à 2 ln¯¯x2+ 2x + 4¯¯+ √ 3 3 arctan x+1_√ 3 ! + C Exercise 1.2.5 Z _x2 − x + 1 x3_{− 1} dx Como x 3 − 1 = (x − 1)(x2+ x + 1)entonces x2_{− x + 1} (x − 1)(x2_{+ x + 1)} = A x − 1+ M x + N x2_{+ x + 1} x2_{− x + 1 = A(x}2_{+ x + 1) + (M x + N )(x − 1)} Si x = 1 → 1 = 3A → A = 1₃ Si x = 0 → 1 = 1₃ − N → N = −2₃ Si x = 2 → 3 = 7₃ + 2M −2₃ → M = 2₃ Z x2_−x+1 x3₋₁ dx = 1 3 Z ₁ x − 1dx + Z 2 3x− 2 3 x2_+x+1dx = 1 3ln |x − 1| + 2 3J siendo J = Z x−1 x2_+x+1dx = 1 2ln ¯ ¯x2_{+ x + 1}¯_¯−√_{3 arctan}2x+1_√ 3 +C(Compruébalo) Z x2_−x+1 x3₋₁ dx = 1 3ln |x − 1| + 2 3 µ₁ 2ln ¯ ¯x2_{+ x + 1}¯_¯−√_{3 arctan}2x+1_√ 3 ¶ + C