UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLAA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

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FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA

PROBLEMAS RESUELTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA

INVESTIGACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS

POR:

EDUARDO FLORES CONDORI

EDUARDO LUIS FLORES QUISPE

PUNO – PERÚ

2011

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

SUMATORIA

Al presentarse la suma de una secuencia numérica, en donde destaquemos cierta

secuencia u orden en los sumandos que se van a sumar, podemos esa suma

abreviarla bajo un signo, el que denominaremos sumatoria.

Tenemos por lo tanto que

la

sumatoria,

∑

= n m k

k

a

es una forma de expresar la

suma de los términos de una sucesión, términos que se obtienen dando a la

variable k valores enteros comprendidos entre dos límites escritos en la

parte superior del símbolo

∑

de sumatoria

Identificación,

∑

=

n

i

i

x

1

Ejemplos:

n n i i i i

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

∑

∑

= =

...

4 3 2 1 1 5 4 3 2 1 5 1

Exprese las siguientes sumas mediante el símbolo

sumatoria.

a)

S=1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ 4

2

+ .... + n

2

b)

S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1)

c)

n

n

S

2

...

2

3

2

2

2

1

3 2

+

+

+

+

=

d)

S

n

_n

2

...

2

3

2

2

2

1

3 2

+

+

+

+

=

d)

_S

=

2

1

+

3

2

+

4

3

+

....

+

n+1

_n

Signo

sumatoria

Valor donde termina la sumatoria

Término a sumar

SUMATORIA-PROPIEDADES

1.

La sumatoria de la suma de dos o más términos, es igual a la suma de las

sumatorias separadas de los términos.

∑

(

)

∑

∑

= =

+

=

=

+

n i i n i n i i i i

y

x

y

x

1 1 1

2.

La sumatoria de la diferencia de dos o más términos es igual a la diferencia de las

sumatorias separadas de los términos.

∑

(

)

∑

∑

= = =

−

=

−

n i i n i i n i i i

y

x

y

x

1 1 1

3.

La sumatoria de una constante multiplicada por una variable es igual a la constante

multiplicada por la sumatoria de la variable.

∑

∑

= =

=

n i i n i i

a

x

x

a

1 1

.

.

4.

La sumatoria de una constante es igual a la constante multiplicada por el número

que indique los límites de la sumatoria.

a

n

a

n x

.

1

=

∑

=

En la práctica frecuentemente se comenten algunos errores, los cuales los

cuales mencionaremos para que no se incurra en ellos.

Es falso el tomar a

2 1 1 2

_











=

∑

∑

= = n i n i

x

x

ya que son valores completamente diferentes

Otro error se comete es decir que

∑

∑

∑

=

=

= = n i n i i n i i i i

y

x

y

x

1 1 1

EJERCICIOS.

1.—Escribe los términos de cada una de las siguientes sumatorias.

(

)

(

)

4 5 2 1 1 1 4 2 1 1

)

(

2) )

)

6

)

4 )

4

n i i i i i i i i N K i i K i

a

X

b

f X

c

U U

d

Y

e

X Y

= = = = =

+

+

−

∑

∑

∑

∑

∑

2.-- Dadas dos variables X e Y toman los valores X

1

= 2, X

2

= -5, X

3

= 4, X

4

= -8 y Y

1

= -3, Y

2

=-8,

Y

3

=10, Y

4

= 6. Calcula :

(

)

4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 4 4 4 2 1 1 1 1

)

b)

c)

d)

e)

)

.

g)

.

h)

(

)

i i i i i i i i i i i n i i i i i i i i i i i i

a

X

Y

X Y

X

Y

f

X

Y

X Y

X

Y

X

Y

= = = = = = = = =



 



+

−



 





 



∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

3.—Si

6 6 2 1 1

4 y

10

i i i i

X

X

= =

= −

=

∑

∑

,

Halle:

6 6 6 2 1 1 1

)

(2

_i

3) b)

_i

(

_i

1) c)

(

_i

5)

i i i

a

X

X X

X

= = =

+

−

−

∑

∑

∑

4.—Dos variables U y V toman los valores U

1

= 3, U

2

= -2, U

3

= 5 y V

1

= -4, V

2

= -1, V

3

= 6,

respectivamente. Calcule:

(

)(

)

2 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 3 n 2 2 2 _i i 1 1 i=1

)

b)

U +3

4 c)

d)

U

)

f)

(

2

2) g)

V

n i i i i i i i i i i i i n i i i i i i

a

U V

V

V

U

V

e

U V

U

V

= = = = = = =



 



−



 





 







−

+









∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

5.—Dado

4 4 4 1 1 1

7

3 y

5

i i i i i i i

X

Y

X Y

= = =

=

= −

=

∑

∑

∑

Halle:

(

)(

)

4 4 1 1

)

(2

_i

5 ) b)

_{i i}

3 2

_i

1

i i

a

X

Y

X

Y

= =

+

−

+

∑

∑

6.-- Desarrolle las siguientes sumatorias.

(

)

(

)

(

−

)

=

(

+

)

=

=

(

+

−

)

=

(

+

)

=

=

+

=

−

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = = 2 1 2 1 4 0 7 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 5 1 2 3 1 4 1

)

6

2

)

5

)

4

2

)

20

)

)

)

3

)

)

.

)

)

j j i i i i i i i i i i i j j j j m i i x i i i i i

j

Ay

k

z

y

x

j

x

i

x

h

x

f

g

y

x

f

y

x

m

e

d

x

c

x

f

b

x

a

SUMATORIA----EJERCICIOS

Desarrolle las siguientes sumatorias

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− = = = − = = = − =

+

+

−

+

−













4 3 2 6 0 5 2 3 3 7 3 4 1 1 5 0

3

)

2

1

3

)

5

)

1

2

)

4

2

)

12

)

)

k k k k k k K k k

k

g

k

f

k

e

k

d

k

c

k

b

k

a

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− = − = − = − = − = − = =

−

+

−

−

+

+

−

+

−

−

+

−

+

+

−

3 2 2 2 3 2 3 4 1 2 5 3 3 6 2 5 1 8 3

1

2

9

5

3

)

3

5

3

)

7

3

)

)

4

3

)

1

4

)

2

1

)

k k k k k k k

k

k

k

m

k

k

k

ll

k

k

l

k

k

k

k

k

j

k

k

i

k

k

h

( )

(

)( )

(

)( )

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− − = + = = = − = = =

+

−

+

+

−

+

−

−

−

1 2 2 3 4 2 1 3 4 0 4 2 9 0 5 0

3

2

)

7

)

1

)

5

)

1

3

)

1

2

20

)

1

)

n k n k n k k k k k k k k

k

s

k

r

k

q

k

p

k

o

k

ñ

k

n

Desarrolle las siguientes sumatorias

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

₍

₎

( ) (

₍

₎

)

(

)(

)

(

+

)(

−

)

=

+

+

+

=

=













=

+

=

+

+

−

=

+

−

=

+

=

+

−

+

=

−

=

+

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= + − = = = = = = − = = − = − = = − = m k n k k n k m k k n k k k n k k k n k kx k k k k n k kx N K

k

k

ll

k

k

k

l

k

k

k

Sen

j

k

Sen

k

i

k

k

k

h

k

k

g

k

Lg

f

k

e

e

k

d

k

c

Senkx

e

b

K

a

3 1 2 2 3 0 1 3 2 1 4 1 1 2 2 2 0 4 1 6 1 4 5 0 2 2 0 2

1

2

1

2

1

)

1

4

3

)

)

4

)

2

)

2

1

2

1

)

1

1

)

1

)

1

)

1

(

)

3

2

)

3

2

)

)

1

)

π

π

HOJA DE EJERCICIOS Nº 1

1.

El valor de dos (2) variables X e Y, de una población es de 50 y 70 respectivamente.

i.

¿Cuál es la razón entre X e Y?

ii.

¿Cuál es la proporción de cada variable?

iii.

¿Cuál es el porcentaje de cada variable?

2.

En una población de 240 datos y de dos variables X e Y el porcentaje de X [P(X) ] es de

35%.

i.

¿Cuál es valor de cada variable?

ii.

¿Cuál es la proporción de cada variable?

iii.

¿Cuál es la razón entre X e Y?

3.

En una población de tres (3) variables X, Y y Z el valor de cada una de ellas es: 60,

40 y 80 respectivamente.

i.

Halle la razón entre X e Y; entre Z y X y entre Y y Z.

ii.

Halle la proporción de cada variable.

iii.

Halle el porcentaje de cada variable.

4.

En una población de cinco (5) variables el valor de cada una de ellas es: X1 = 150; X2 =

200; X3 = 180; X4 = 160 y X5 = 300.

i.

Calcule la razón entre: X3 y X1; X4 y X2 y X5 y X1

ii.

Verificar que la suma de las proporciones es igual a uno (1)

iii.

Calcule el porcentaje de cada variable.

5.

En una población de dos (2) variables X e Y la razón entre X e Y es de 5 a 3 y el total

de ellas es 240.

i.

Halle el valor de cada variable.

ii.

Calcule la proporción de cada variable.

iii.

Calcule el porcentaje de cada variable.

6.

En una población de tres (3) variables X, Y y Z, la razón entre X y Z es de 5 a 9 y la

proporción de Y es 0,3, sí el total de la población es de 720.

i.

¿Cuál es el valor de cada variable?

ii.

Halle la razón entre X e Y, entre Z e Y.

iii.

¿Cuál es la proporción de cada variable?

iv.

¿Cuál es el porcentaje de cada variable?

7.

Dada la siguiente tabla

i

1

2

3

4

5

6

7

8

Xi

3

5

7

8

0

9

1

4

Yi

5

7

2

9

3

0

6

3

8.

Hallar el valor de las siguientes sumatorias:

∑

∑

∑

∑

= = = =

+













+

+

−

6 2 i i 2 8 2 i 2 i i 6 2 i i 4 1 i i i

)

4

X

.

2

(

)

Y

X

(

)

i

)

4

X

.

2

(

)

e

)

Y

X

3

(

)

a

∑

∑

∑

= + − = =

−

+

−

7 3 i 1 i 1 i 6 2 i 2 3 2 i 8 1 i i i

)

Y

X

(

)

j

)

Y

X

(

)

f

)

Y

X

(

)

b

∑

∑

∑

= − + = =

−

+

















7 4 i 2 1 i 1 i 7 2 i i 2 5 2 i i i

)

Y

X

(

)

k

1

X

)

g

Y

.

X

)

c

∑

∑

= =

+

−

4 1 i 2 i 7 3 i 2 i 2 i

3

X

)

h

)

Y

X

(

)

d

(

) (

) (

)

(

4

x

7

) (

4

x

7

) (

4

x

7

) (

4

x

7

)

)

e

y

cx

y

cx

y

cx

)

c

x

x

x

x

)

a

3 3 3 3 0 5 0 4 0 3 3 3 2 1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(

x

x

x

x

x

)

6

)

f

5

x

x

x

x

x

)

d

x

x

x

x

x

)

b

2 2 2 2 2 2 6 5 4 3 2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

10.

Sabiendo que:

n

X

X

n i i i

∑

=

=

y

n

Y

Y

n i i

∑

=

=

1

. Demostrar que:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

































−

−

=

−

−

=

−

−

−

=

−

















−

=

−

















−

=

−

−

=

−

−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

= = = = = = = = = = = = = n 1 i 2 i 2 i n 1 i i 0 0 i n 1 i i n 1 i 2 n 1 i i i n 1 i 2 i n 1 i 2 n 1 i i i n 1 i 2 i n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i i i i i i i

Y

n

1

Y

1

n

1

1

n

Y

Y

)

F

0

X

X

.

n

X

X

)

E

0

X

X

)

D

n

X

X

X

X

)

C

n

Y

Y

Y

Y

)

B

n

Y

.

X

Y

.

X

)

Y

Y

(

),

X

X

(

A)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

(APLICACIONES: EXCEL SAS Y MINITAB)

1.

Dada la serie histórica de descargas medias (m

3

/s) del rio Huancané, para el periodo

1959-2008. Calcule las frecuencias absolutas, relativa, acumulada, función de densidad y función

acumulada.

año

Q=m

3

/s

año

Q=m

3

/s

año

Q=m

3

/s

año

Q=m

3

/s

año

Q=m

3

/s

1959

25.00

1969

17,00

1979

24,00

1989

19,00

1999

23,00

1960

20,00

1970

11,00

1980

21,00

1990

29,00

2000

10,00

1961

13,00

1971

14,00

1981

18,00

1991

24,00

2001

14,00

1962

26,00

1972

28,00

1982

20,00

1992

23,00

2002

23,00

1963

29,00

1973

28,00

1983

19,00

1993

24,00

2003

21,00

1964

22,00

1974

21,00

1984

17,00

1994

15,00

2004

27,00

1965

29,00

1975

16,00

1985

21,00

1995

27,00

2005

27,00

1966

20,00

1976

7,00

1986

17,00

1996

19,00

2006

28,00

1967

19,00

1977

28,00

1987

21,00

1997

26,00

2007

26,00

1968

26,00

1978

9,00

1988

8,00

1998

23,00

2008

19,00

Solución problema 1

Número de intervalos de clase

m =

7

min =

7

max =

29

Ancho =

3

m

xi

<=xi+1

o frec. Relat. frec. Re. Acu.

1

7

10

4 0.08

0.08

2

10

13

2 0.04

0.12

3

13

16

4 0.08

0.2

4

16

20

12 0.24

0.44

5

20

23

10 0.2

0.64

6

23

26

8 0.16

0.8

7

26

29

10 0.2

1

Total =

50 1

4 2 4 12 10 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 F re cu e n ci a a b so lu ta Intervalo de clase

Histograma de frecuencia absoluta

0.08 0.04 0.08 0.24 0.2 0.16 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 2 3 4 5 6 7 F re cu e n ci a r e la ti v a Intervalo de clase

Histograma de frecuencia relativa

0.08 0.12 0.2 0.44 0.64 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1 2 3 4 5 6 7 F re cu e n ci a r e la ti v a a cu m u la d a Intervalo de clase

2.

Dado los datos de precipitación anual, en mm. De la Estación Ayaviri, para el periodo

1959-2008. Calcular su media, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente

de sesgo y coeficiente de curtosis.

año

pp

(mm) año

pp

(mm) año

pp

(mm) año

pp

(mm) año

pp

(mm)

1959 650.00 1969 158,00 1979 139,00 1989 155,00 1999 239,00

1960 752,00 1970 81,00 1980 686,00 1990 601,00 2000 512,00

1961 536,00 1971 793,00 1981 531,00 1991 149,00 2001 97,00

1962 777,00 1972 635,00 1982 105,00 1992 485,00 2002 370,00

1963 127,00 1973 279,00 1983 369,00 1993 193,00 2003 545,00

1964 505,00 1974 251,00 1984 519,00 1994 724,00 2004 751,00

1965 499,00 1975 354,00 1985 515,00 1995 404,00 2005 460,00

1966 552,00 1976 494,00 1986 316,00 1996 514,00 2006 798,00

1967 701,00 1977 770,00 1987 79,00 1997 608,00 2007 124,00

1968 156,00 1978 726,00 1988 211,00 1998 75,00 2008 416,00

Solución problema 2

Media

429.72

Varianza

54181.88

Desvest

232.77

CV

54.17

Coef Sesgo -0.06

Curtosis

-1.29

3.

Los gastos máximos anuales registrados en la estación hidrométrica Las Perlas en el

Coatzacoalas se muestran en la tabla siguiente:

a)

¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500

m

3

/s?

b)

Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones.

¿Cual debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?

Supóngase que los datos de la tabla siguen una distribución normal.

Resolver usando las funciones de distribución:

Distribución Lognormal

Distribución Pearson III o Gamma de tres parámetros, y

Distribución Gumbel

año

m

3

/s

año

m

3

/s

año

m

3

/s

año

m

3

/s

año

m

3

/s

1954 2500 1959 2070 1964 2489 1969 5971 1974 5565

1955 3220 1960 3682 1965 2350 1970 4744 1975 3130

1956 2246 1961 4240 1966 3706 1971 6000 1976 2414

1957 1804 1962 2367 1967 2675 1972 4060 1977 1796

1958 2737 1963 7061 1968 6267 1973 6900 1978 7430

Solución a) Distribución Normal

Media

3886.16

Desvest

1825.91

x

7500

Z

1.9792

F(x)=P(X<7500)=

0.9761

P(X>7500)

0.0239

P(X>x)

_0.0167

P(X<x)

_0.9833

F(z)

_0.9833

z =

_2.1280

x (gasto de diseño m

3

/s) =

_7771.7717

b) Distribución Lognormal

P(X>x)

_0.0167

P(X<x)

_0.9833

F(z)

_0.9833

z =

_2.1280

ln(x) =

_9.1221

x =

_9155.0451

Distribución Pearson III

Gamma

0.6778

bheta1

8.7057

alpha1

618.8364

delta1

-1501.2647

P(X>x)

0.0167

gl

17

2y

31.6415

y

15.8208

x

8289.2060

Distribución Gumbel

alpha

0.00059773

beta

2997.96706

T

60

x

9833.7448

4.

Dada la serie histórica de descargas medias (m

3

/s) del rio Huancané, para el periodo

1959-2008. Realizar las pruebas de bondad de ajustes de Chi-cuadrado (X

2

) y

Smirnov-Kolmogorov, para ver si se ajustan a una distribución normal.

AÑO Q=m

3

/s AÑO Q=m

3

/s AÑO Q=m

3

/s AÑO Q=m

3

/s AÑO Q=m

3

/s

1959 28.00

1969 17,00

1979 24,00

1989 14,00

1999 23,00

1960 21,00

1970 11,00

1980 21,00

1990 29,00

2000 10,00

1961 13,00

1971 14,00

1981 18,00

1991 24,00

2001 14,00

1962 28,00

1972 28,00

1982 20,00

1992 23,00

2002 23,00

1963 29,00

1973 28,00

1983 19,00

1993 24,00

2003 25,00

1964 23,00

1974 21,00

1984 16,00

1994 15,00

2004 27,00

1965 29,00

1975 16,00

1985 21,00

1995 27,00

2005 17,00

1966 20,00

1976 7,00

1986 7,00

1996 19,00

2006 28,00

1967 19,00

1977 28,00

1987 21,00

1997 26,00

2007 26,00

1968 26,00

1978 9,00

1988 8,00

1998 23,00

2008 16,00

5.

Se desea saber si en una cierta región el gasto máximo medio anual, el área de la cuenca y la

altura media de precipitación máxima en 24 horas se pueden correlacionar linealmente, y que

tan bueno es el ajuste. Los datos se presentan en la tabla siguiente:

Estación

Meteorológic

a

Y=gasto máx. medio

anual

10

2

m

3

/s

X1=área de la

cuenca,

10

3

km

2

X2=altura media de pp.

máx.

En 24 h. cm

1

_45.2

_1.23

_2.9

2

_9.1

_5.25

_1.8

3

_48.3

_8.55

_2.2

4

_35.8

_7.99

_1.1

5

_74.9

_7.36

_3.9

6

_26.7

_5.78

_2.7

7

_12.1

_5.98

_2.5

8

_6.8

_8.11

_2.3

9

_69.7

_2.23

_2.8

10

_57.0

_6.77

_1.1

11

_33.7

_7.02

_2.1

12

_71.4

_3.04

_3.9

13

_88.2

_6.78

_3.2

14

_26.6

_1.23

_3.3

15

_16.0

_2.22

_2.7

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple

0.4618

Coeficiente de determinación R^2

0.2132

R^2 ajustado

0.0821

Error típico

25.0735

Observaciones

15.0000

F. de V.

GL

SC

CM

Fc

Valor crít de F

Regresión

2

2044.4866

1022.243

1.6260

0.2372

Residuos

12

7544.1667

628.6806

Total

14

9588.6533

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Probabilidad

Intercepción

-11.5288

32.9915

-0.3494

0.7328

Variable X 1

2.2847

2.8637

0.7978

0.4405

Variable X 2

15.9144

8.8250

1.8033

0.0965

Y = - 11.5288 + 2.2847 X1 + 15.9144 X2

PROGRAMA DE SAS 9.2

data regresion;

input X1 X2 Y;

CARDS;

1.23 2.9 45.2

5.25 1.8 9.1

8.55 2.2 48.3

7.99 1.1 35.8

7.36 3.9 74.9

5.78 2.7 26.7

5.98 2.5 12.1

8.11 2.3 6.8

2.23 2.8 69.7

6.77 1.1 57

7.02 2.1 33.7

3.04 3.9 71.4

6.78 3.2 88.2

1.23 3.3 26.6

2.22 2.7 16

PROC PRINT;

PROC REG;

MODEL Y=X1 X2;

PROC GLM;

PROC PLOT;

RUN;

Obs X1 X2 Y 1 1.23 2.9 45.2 2 5.25 1.8 9.1 3 8.55 2.2 48.3 4 7.99 1.1 35.8 5 7.36 3.9 74.9 6 5.78 2.7 26.7 7 5.98 2.5 12.1

8 8.11 2.3 6.8 9 2.23 2.8 69.7 10 6.77 1.1 57.0 11 7.02 2.1 33.7 12 3.04 3.9 71.4 13 6.78 3.2 88.2 14 1.23 3.3 26.6 15 2.22 2.7 16.0 The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 2044.48663 1022.24332 1.63 0.2372 Error 12 7544.16670 628.68056

Corrected Total 14 9588.65333

Root MSE 25.07350 R-Square 0.2132 Dependent Mean 41.43333 Adj R-Sq 0.0821 Coeff Var 60.51529

Parameter Estimates Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 1 -11.52882 32.99154 -0.35 0.7328 X1 1 2.28473 2.86373 0.80 0.4405 X2 1 15.91441 8.82500 1.80 0.0965

Y = - 11.5288 + 2.2847 X1 + 15.9144 X2

6.

Se realizaron siete (07) pruebas de la resistencia a la compresión en cuatro muestras de

concreto. La fuerza que fractura cada muestra de forma cilíndrica, medida en kilogramos,

está dada en la siguiente tabla:

Muestras

Pruebas

m1

m2

m3

m4

Prueba 1

45

42

43

48

Prueba 2

90

100

102

104

Prueba 3

40

45

56

58

Prueba 4

89

25

98

25

Prueba 5

105

125

87

103

Prueba 6

111

121

120

109

Prueba 7

80

85

86

88

Pruebe con un nivel de significancia de 0.01 si estas muestras son diferentes en su resistencia a

la compresión, y efectuar la prueba de rango múltiple de Duncan a la probabilidad de 0.01.

SOLUCIONARIO MANUAL

1)

Hipótesis

Ha:µi

≠

0

2)

Nivel de significación

α

= 0.05 y 0.01

3)

Estadística de Prueba

Fc=(CMtratam/CMerror)

4)

Regla de decisión

Si Fc

≤

F0.05, no se rechaza la Ho. Se representa (NS)

Si F0.05< Fc < F0.01, se rechaza la H0, representando con un asterisco (*)

Si Fc > F0.01; se rechaza la H0, representándose por dos asteriscos (**)

5)

Cálculos

a)

=

.. ×

=

×

= 177603.571

b)

= ∑

∑

−

"..# ×

= $45'

_{+ ⋯ + $88'}

₋

_177603.571

= 202998.000 − 177603.571 = 25394.42857

c)

.

=

∑_23.

−

.. ×

=

$34'5⋯5$6'

−

= 36. 47

d)

= ∑

₃

∑

₈₃

₈

−

.

= 76. 47 −

19424.42857

=

5970.0000

6)

Análisis de varianza

Cuadro 44. Análisis de varianza de los resultados

F.de V.

GL

SC

CM

Fc

Ft

Pr>F

Niv. Sig.

Pruebas

6

19424.42857 3237.40476 11.3878559

2.57

1.109E-05

**

Error

21

5970.00000 284.285714

Total

27

25394.42857

C.V. = 21.1705 %

SOLUCIONARIO CON EL PAQUETE DEL SISTEMA PARA EL ANALISIS

ESTADISTICO

data trabajo;

input x$ y@@;

datalines;

p1 45 p2 90 p3 40 p4 89 p5 105 p6 111 p7 80 p1 42 p2 100 p3 45 p4 25 p5 125 p6 121 p7 85 p1 43 p2 102 p3 56 p4 98 p5 87 p6 120 p7 86 p148 p2 104 p3 58 p4 25 p5 103 p6 109 p7 88

proc print;

proc anova;

class x;

model y=x;

means x/duncan alpha=0.01;

run;

RESULTADOS UTILIZANDO EL SAS

Obs x y 1 p1 45 2 p2 90 3 p3 40 4 p4 89

5 p5 105 6 p6 111 7 p7 80 8 p1 42 9 p2 100 10 p3 45 11 p4 25 12 p5 125 13 p6 121 14 p7 85 15 p1 43 16 p2 102 17 p3 56 18 p4 98 19 p5 87 20 p6 120 21 p7 86 22 p1 48 23 p2 104 24 p3 58 25 p4 25 26 p5 103 27 p6 109 28 p7 88 The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values

x 7 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 Number of observations 28 The ANOVA Procedure Dependent Variable: y

Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 6 19424.42857 3237.40476 11.39 <.0001 Error 21 5970.00000 284.28571

Corrected Total 27 25394.42857

R-Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.764909 21.17048 16.86077 79.64286

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F x 6 19424.42857 3237.40476 11.39 <.0001 The ANOVA Procedure

Duncan's Multiple Range Test for y

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.

Alpha 0.01 Error Degrees of Freedom 21 Error Mean Square 284.2857

Number of Means 2 3 4 5 6 7 Critical Range 33.76 35.21 36.17 36.87 37.41 37.85 Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N x A 115.25 4 p6 A 105.00 4 p5 A 99.00 4 p2 B A 84.75 4 p7 B C 59.25 4 p4 B C 49.75 4 p3 C 44.50 4 p1

7. Se diseñó un experimento para estudiar el rendimiento de seis (06) detergentes

diferentes. Las siguientes lecturas de “blancura” se obtuvieron con un equipo

especialmente diseñado para 24 cargas de lavado distribuidas en cuatro (04)

modelos de lavadoras:

Detergente Lavad 1 Lavad 2 Lavad 3 Lavad 4 Detergente A 100 102 101 104 Detergente B 25 46 52 55 Detergente C 45 58 62 66 Detergente D 47 50 63 65 Detergente E 49 54 68 67 Detergente F 99 95 98 99

Considerando los detergentes como tratamientos y las lavadoras como bloques,

efectuar el análisis de variancia y su prueba con un nivel de significación de 0.05 si

existen diferencias entre los detergentes y entre las lavadoras. Además, efectuar la

prueba de Rango Múltiple de Tukey a la probabilidad de 0.05.

Cuadro 45. Análisis de varianza

F. de V.

GL

SC

CM

Fc

Ft

_Sig

bloque

3

849.5000 283.166667 8.78490176

tratamiento

5

11506.8333 2301.36667 71.3971044

error

15

483.5000 32.2333333

total

23

12839.8333

SOLUCIONARIO UTILIZANDO EL SISTEMA PARA ANALISIS ESTADISTICO (SAS)

RESULTADO UTILIZANDO EL SAS

data detergente;

input lavadoras detergente rdto;

cards;

1

1

100

1

2

25

1

3

45

1

4

47

1

5

49

1

6

99

2

1

102

2

2

46

2

3

58

2

4

50

2

5

54

2

6

95

3

1

101

3

2

52

3

3

62

3

4

63

3

5

68

3

6

98

4

1

104

4

2

55

4

3

66

4

4

65

4

5

67

4

6

99

proc print;

proc anova;

class lavadoras detergente;

model rdto= lavadoras detergente;

means detergente/tukey alpha =0.05;

run;

Obs lavadoras detergente rdto

1 1 1 100 2 1 2 25 3 1 3 45 4 1 4 47 5 1 5 49 6 1 6 99 7 2 1 102 8 2 2 46 9 2 3 58 10 2 4 50 11 2 5 54 12 2 6 95 13 3 1 101 14 3 2 52 15 3 3 62 16 3 4 63 17 3 5 68 18 3 6 98 19 4 1 104 20 4 2 55 21 4 3 66 22 4 4 65 23 4 5 67 24 4 6 99

The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values lavadoras 4 1 2 3 4 detergente 6 1 2 3 4 5 6 Number of observations 24 The ANOVA Procedure Dependent Variable: rdto

Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 8 12356.33333 1544.54167 47.92 <.0001 Error 15 483.50000 32.23333

Corrected Total 23 12839.83333

R-Square Coeff Var Root MSE rdto Mean 0.962344 8.159196 5.677441 69.58333

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F lavadoras 3 849.50000 283.16667 8.78 0.0013 detergente 5 11506.83333 2301.36667 71.40 <.0001

Tukey's Studentized Range (HSD) Test for rdto

NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II

error rate than REGWQ.

Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 15 Error Mean Square 32.23333 Critical Value of Studentized Range 4.59474 Minimum Significant Difference 13.043

Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N detergente

A 101.750 4 1 A 97.750 4 6 B 59.500 4 5 B 57.750 4 3 C B 56.250 4 4 C 44.500 4 2

8.

Evaluar el sistema de riego por exudación utilizando cuatro variedades de melón, bajo

modalidad de siembra, SIMPLE HILERA. Se desea probar el comportamiento de tres

variedades híbridas de melón y uno estándar:

V1 : Híbrido Mission V3 : Híbrido Topfligth.

V2 : Híbrido Mark. V4 : Híbrido Hales Best Jumbo.

Hipótesis : Ho : Efecto de variedades de melón en estudio es nulo.

H1 : Al menos dos variedades tienen efectos distintos.

Datos: Rendimiento en Kg. por parcela.

C1

C2

C3

C4

F1

36V1

50 V2

43 V3

35 V4

F2

29 V4

53 V3

41 V2

63 V1

F3

37 V2

41 V4

41 V1

63 V3

F4

38 V3

40 V1

35 V4

41 V2

F. de V.

GL

SC

CM

Fc

Ft

sig.

Hilera

3

170.75

56.92

1.3445

Columna

3

552.75

184.25

4.3524

Tratamiento

3

430.25

143.417

3.3878

Error

6

254.0000

42.3333

Total

15

1407.7500

SOLUCIONARIO APLICANDO EL SAS DISEÑO DE CUADRADO LATINO

DATA OCHO;

INPUT FILA COLUMNA TRAT $ RDTO;

CARDS;

1

1

V1

36

1

2

V2

50

1

3

V3

43

1

4

V4

35

2

1

V4

29

2

2

V3

53

2

3

V2

41

2

4

V1

63

3

1

V2

37

3

2

V4

41

3

3

V1

41

3

4

V3

63

4

1

V3

38

4

2

V1

40

4

3

V4

35

4

4

V2

41

PROC PRINT;

PROC ANOVA;

CLASS FILA COLUMNA TRAT;

MODEL RDTO= FILA COLUMNA TRAT;

MEANS FILA COLUMNA TRAT/DUNCAN;

RUN;

RESULTADOS UTILIZANDO EL SAS

Obs FILA COLUMNA TRAT RDTO 1 1 1 V1 36 2 1 2 V2 50 3 1 3 V3 43 4 1 4 V4 35 5 2 1 V4 29 6 2 2 V3 53 7 2 3 V2 41 8 2 4 V1 63 9 3 1 V2 37 10 3 2 V4 41 11 3 3 V1 41 12 3 4 V3 63 13 4 1 V3 38 14 4 2 V1 40 15 4 3 V4 35 16 4 4 V2 41 The ANOVA Procedure

Class Level Information Class Levels Values FILA 4 1 2 3 4 COLUMNA 4 1 2 3 4 TRAT 4 V1 V2 V3 V4 Number of observations 16 The ANOVA Procedure

Dependent Variable: RDTO Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 9 1153.750000 128.194444 3.03 0.0954 Error 6 254.000000 42.333333

Corrected Total 15 1407.750000

R-Square Coeff Var Root MSE RDTO Mean 0.819570 15.17529 6.506407 42.87500

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F FILA 3 170.7500000 56.9166667 1.34 0.3456 COLUMNA 3 552.7500000 184.2500000 4.35 0.0596 TRAT 3 430.2500000 143.4166667 3.39 0.0949 Duncan's Multiple Range Test for RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.

Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 6 Error Mean Square 42.33333

Number of Means 2 3 4 Critical Range 11.26 11.67 11.87 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping Mean N FILA

A 46.500 4 2 A 45.500 4 3 A 41.000 4 1 A 38.500 4 4 The ANOVA Procedure

Duncan's Multiple Range Test for RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.

Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 6 Error Mean Square 42.33333 Number of Means 2 3 4 Critical Range 11.26 11.67 11.87 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping Mean N COLUMNA

A 50.500 4 4 B A 46.000 4 2 B A 40.000 4 3 B 35.000 4 1 The ANOVA Procedure

Duncan's Multiple Range Test for RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate.

Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 6 Error Mean Square 42.33333 Number of Means 2 3 4 Critical Range 11.26 11.67 11.87 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping Mean N TRAT

A 49.250 4 V3 B A 45.000 4 V1 B A 42.250 4 V2 B 35.000 4 V4

9.

Supóngase que se efectúan dos repeticiones del experimento de soldadura, empleando el

cuadrado latino, los resultados que señalan el número de libras fuerza de tensión requerida

para separar los puntos soldados, fueron como se indica a continuación:

REPETICIÓN I Fundentes F1 F2 F3 F4 A 20.0 B 17.5 C 14.0 D 14.0 D 24.0 A 21.0 B 18.0 C 14.1 C 12.0 D 18.0 A 23.0 B 19.0 B 20.0 C 15.0 D 13.0 A 22.0

REPETICIÓN II

Fundentes

F1

F2

F3

F4

C 12.0

D 10.0

A 24.2

B 22.1

B 19.5

C 13.0

D 10.5

A 22.3

A 23.5

B 17.2

C 20.4

D 14.0

D 11.0

A 22.2

B 20.5

C 14.5

Analice el experimento como un cuadrado latino y pruébese con un nivel de significancia de

0.05 si existen diferencias en los métodos (A, B, C y D), en los operadores (filas), los fundentes

(columnas) y, entre las producciones. Utilizar la prueba de rango múltiple de Tukey

α

= 0.01, si

es que es significativo.

F. de V.

_GL

_SC

_CM

_Fc

_Sig

Pr > F

repetición

₁

_1.8528125

_1.8528

_0.181683

_NS

_0.6742

hilera

₃

_12.1609375

_4.0536

_0.3974922

_NS

_0.7562

columna

₃

_7.2009375

_2.4003

_0.2353697

_NS

_0.8707

tratamiento

3

365.545937

121.85

11.948229

**

0.0001

error

₂₁

_214.159062

_10.198

Total

₃₁

_600.919688

SOLUCIONARIO MEDIANTE EL SAS

data fundente;

input repet hilera columna trat$ rdto;

cards;

1

1

1

A

20

1

1

2

B

17.5

1

1

3

C

14

1

1

4

D

14

1

2

1

D

24

1

2

2

A

21

1

2

3

B

18

1

2

4

C

14.1

1

3

1

C

12

1

3

2

D

18

1

3

3

A

23

1

3

4

B

19

1

4

1

B

20

1

4

2

C

15

1

4

3

D

13

1

4

4

A

22

2

1

1

C

12

2

1

2

D

10

2

1

3

A

24.2

2

1

4

B

22.1

2

2

1

B

19.5

2

2

2

C

13

2

2

3

D

10.5

2

2

4

A

22.3

2

3

1

A

23.5

2

3

2

B

17.2

2

3

3

C

20.4

2

3

4

D

14

2

4

1

D

11

2

4

2

A

22.2

2

4

3

B

20.5

2

4

4

C

14.5

PROC PRINT;

PROC ANOVA;

CLASS REPET HILERA COLUMNA TRAT;

MODEL RDTO= REPET HILERA COLUMNA TRAT;

MEANS HILERA COLUMNA TRAT/TUKEY ALPHA=0.01;

RUN;

RESULTADOS DEL PROGRAMA DE SAS

Obs repet hilera columna trat rdto 1 1 1 1 A 20.0 2 1 1 2 B 17.5 3 1 1 3 C 14.0 4 1 1 4 D 14.0 5 1 2 1 D 24.0 6 1 2 2 A 21.0 7 1 2 3 B 18.0 8 1 2 4 C 14.1 9 1 3 1 C 12.0 10 1 3 2 D 18.0 11 1 3 3 A 23.0 12 1 3 4 B 19.0 13 1 4 1 B 20.0 14 1 4 2 C 15.0 15 1 4 3 D 13.0 16 1 4 4 A 22.0 17 2 1 1 C 12.0 18 2 1 2 D 10.0 19 2 1 3 A 24.2

20 2 1 4 B 22.1 21 2 2 1 B 19.5 22 2 2 2 C 13.0 23 2 2 3 D 10.5 24 2 2 4 A 22.3 25 2 3 1 A 23.5 26 2 3 2 B 17.2 27 2 3 3 C 20.4 28 2 3 4 D 14.0 29 2 4 1 D 11.0 30 2 4 2 A 22.2 31 2 4 3 B 20.5 32 2 4 4 C 14.5 The ANOVA Procedure

Class Level Information Class Levels Values repet 2 1 2 hilera 4 1 2 3 4 columna 4 1 2 3 4 trat 4 A B C D Number of observations 32

Dependent Variable: rdto Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 10 386.7606250 38.6760625 3.79 0.0048 Error 21 214.1590625 10.1980506

Corrected Total 31 600.9196875

R-Square Coeff Var Root MSE rdto Mean 0.643615 18.19947 3.193439 17.54688

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F repet 1 1.8528125 1.8528125 0.18 0.6743 hilera 3 12.1609375 4.0536458 0.40 0.7562 columna 3 7.2009375 2.4003125 0.24 0.8707 trat 3 365.5459375 121.8486458 11.95 <.0001 Tukey's Studentized Range (HSD) Test for rdto

NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II

error rate than REGWQ.

Alpha 0.01 Error Degrees of Freedom 21 Error Mean Square 10.19805 Critical Value of Studentized Range 4.98557 Minimum Significant Difference 5.629

Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N hilera

A 18.388 8 3 A 17.800 8 2 A 17.275 8 4 A 16.725 8 1

Tukey's Studentized Range (HSD) Test for rdto

NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II

error rate than REGWQ.

Alpha 0.01 Error Degrees of Freedom 21 Error Mean Square 10.19805 Critical Value of Studentized Range 4.98557 Minimum Significant Difference 5.629

Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N columna

A 17.950 8 3 A 17.750 8 4

A 17.750 8 1 A 16.738 8 2

Tukey's Studentized Range (HSD) Test for rdto

NOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but it generally has a higher Type II

error rate than REGWQ.

Alpha 0.01 Error Degrees of Freedom 21 Error Mean Square 10.19805 Critical Value of Studentized Range 4.98557 Minimum Significant Difference 5.629

Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N trat

A 22.275 8 A B A 19.225 8 B B 14.375 8 C B 14.313 8 D

10.

Se desea determinar los efectos de la temperatura de la caldera (1600 y 1900 °F) y del

ancho del horno (4, 8 y 12 pulgadas) para el experimento; supóngase que cinco

repeticiones de ese experimento dan los siguientes tiempos requeridos para la producción

del coque (en horas):

A A(4) Pulgadas A(8) Pulgadas A(12) Pulgadas T T1=1600 T2=1900 T1=1600 T2=1900 T1=1600 T2=1900 I 12.5 8.2 17.1 5.2 17.8 7.6 II 14.0 9.3 16.9 4.6 15.6 9.1 III 12.7 6.4 17.5 8.8 17.8 7.9 IV 13.5 7.8 17.3 5.9 16.8 8.1 V 14.4 10.7 20.2 8.3 22.4 10.2

Explíquese un análisis de variancia basado en este experimento con dos factores y pruébese la

significancia de los efectos factoriales, empleando un nivel de significancia de 0.05. Aplicar la

prueba de Duncan

α

= 0.05, si es que es significativo al nivel de ANOVA.

RESULTADO UTILIZANDO EL PAQUETE DE SISTEMA DE ANALISIS ESTADISTICO

data flores;

input ancho temp hr;

cards;

1

1

12.5

1

1

14

1

1

12.7

1

1

13.5

1

1

14.4

1

2

8.2

1

2

9.3

1

2

6.4

1

2

7.8

1

2

10.7

2

1

17.1

2

1

16.9

2

1

17.5

2

1

17.3

2

1

20.2

2

2

5.2

2

2

4.6

2

2

8.8

2

2

5.9

2

2

8.3

3

1

17.8

3

1

15.6

3

1

17.8

3

1

16.8

3

1

22.4

3

2

7.6

3

2

9.1

3

2

7.9

3

2

8.1

3

2

10.2

proc print;

proc anova;

class ancho temp;

model hr=ancho temp ancho*temp;

means ancho temp ancho*temp/duncan;

run;

RESULTADO RESULTADO RESULTADO RESULTADO

Obs ancho temp hr 1 1 1 12.5 2 1 1 14.0 3 1 1 12.7 4 1 1 13.5 5 1 1 14.4 6 1 2 8.2 7 1 2 9.3 8 1 2 6.4 9 1 2 7.8 10 1 2 10.7 11 2 1 17.1 12 2 1 16.9 13 2 1 17.5 14 2 1 17.3 15 2 1 20.2 16 2 2 5.2 17 2 2 4.6 18 2 2 8.8 19 2 2 5.9 20 2 2 8.3 21 3 1 17.8 22 3 1 15.6 23 3 1 17.8 24 3 1 16.8 25 3 1 22.4 26 3 2 7.6 27 3 2 9.1 28 3 2 7.9 29 3 2 8.1 30 3 2 10.2 The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values ancho 3 1 2 3 temp 2 1 2