Índice:
Tema Página.
Unidad I.
Operaciones fundamentales del algebra
--- 151. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico --- 15
2. Notación algebraica. --- 18
3. Valor numérico de una expresión algebraica --- 23
4. Leyes de los exponentes enteros positivos. --- 24
5. Suma y restas de polinomios --- 26
6. Multiplicaciones de monomios ---30
7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --- 33
8. División de monomios. --- --- 36
9. División de polinomios por monomios. --- 38
10.Productos notables. --- 43
11.Factorización de polinomios. --- 47
12.Ejercicios. --- 51
Unidad II.
Fracciones
algebraicas
. ---531. Simplificación de fracciones algebraicas. ---53
2. Adicción de fracciones algebraicas. ---58
3. Mínimo común múltiplo de polinomios. --- --- 61
4. Fracciones con denominadores distintos. ---64
5. Multiplicación de fracciones
. ---68
6. División de fracciones. ---71
7. Operaciones combinadas y fracciones complejas. ---73
Unidad III.
Exponentes y radicales.
---771. Leyes de los exponentes. ---77
2. Exponentes enteros negativos y cero. ---78
3. Exponentes fraccionarios. ---81
4. Leyes de los radicales. ---85
5. Adición y sustracción de radicales. ---89
6. Multiplicación y división de radicales. ---91
Unidad IV.
Ecuaciones lineales.
---951. Ecuaciones de primer grado. ---95
2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. ---97
3. Ecuaciones que contienen quebrados. --- ---103
4. Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado---104
5. Ejercicios. ---108
Unidad V.
Sistemas de ecuaciones
. ---1101. Resolución de sistemas lineales. ---110
2. Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117
3. Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ---118
4. Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos o más incógnitas.---121
5. Ejercicios. ---124
Unidad VI.
Ecuaciones
cuadráticas
. ---1271. Forma general de la ecuación de segundo grado. ---127
2. Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ---128
3. Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. ---128
4. Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ---129
5. Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ---135
6. Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.--- 137
7. Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.---138
8. Ejercicios.--- 139
Unidad VII.
Inecuaciones.
--- 1421. Generalidades sobre desigualdades. ---142
2. Propiedades de las desigualdades. --- 143
3. Resolución de las inecuaciones. --- 144
4. Inecuaciones simultáneas. --- 146
5. Ejercicios. --- 147
UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL
ALGEBRA
.
1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.
Notación y terminología algebraica.
Introducción al álgebra.
El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas.
Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética.
En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI. Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un símbolo como la "x" para la incógnita.
LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en:
LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.
INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.
VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ". Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".
De lo anterior hacemos la siguiente observación:
VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:
Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3 Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3) Y=2 y=4 y=6
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.
TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Y VICEVERSA.
Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta.
Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.
En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS:
LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-
Tres objetos cualesquiera. x .y, z. 2.- La semisuma de dos números
2 a b+
3.- La suma de dos veces un numero mas 2n + 3n = 5n tres veces el mismo numero es igual a
cinco veces dicho número.
4.- El cubo de un numero menos el w³ - 2w del mismo numero.
5.- El cociente de dos Fracciones comunes m p n ÷ p
LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:
5n –2n = 3n Cinco veces un numero restado dos veces el mismo numero es igual a tres veces dicho numero.
a² + b² Suma de los cuadrados de dos números. 2πr EI doble producto de π por r(radio).
2 (u -v) El doble de la diferencia de dos números.
A = (l)(a) El área de un rectángulo es igual al producto de su largo par su ancho.
2. NOTACIÓN ALGEBRAICA.
Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas.
EJEMPLOS:
X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x; x2 a2 x a
+
+ ; etc.
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos.
TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-).
EJEMPLOS:
3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc.
ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos". EJEMPLOS :
8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS -6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS.
Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo (+ ) suele no escribirse en términos positivos:
COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:
COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino. EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5"
COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino. EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”.
Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término. EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 ..
Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su coeficiente es la unidad.
EJEMPLO: "axy = 1 axy "
Monomios
Clases de monomios (términos)
Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a,
a
4b
3, a 5 2Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como:
-b a 3
Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que
tiene radical, como: ab , 3 2 3
a b
.
Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así,
4
x
4y
,yy
x
2 3Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a², que es de segundo grado.
Polinomios
Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios.
Son polinomios en varias variables:
y
x
7
6
2 3 + 3 7 8xy− x+y−No son polinomios porque la variable: 8
6x+
7
x
−2+ tiene exponente negativo. 9x + y tiene un radical.8x +
y
2/3 tiene exponente fraccionario.10
xy
z
la variable esta en el denominador.EI polinomio esta constituido por términos
El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o menos.
Ejemplo
4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y²
E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.
Coeficiente Exponente
y
x
2
7
LiteralesGeneralmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5 -5x²y³
A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por ejemplo: 2x³ + 7x – 8 , 8 3 5 3 5 2 + + x
x
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo:
2 + −7 d c b
a
Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo: 2x² + 2xy + y²
Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por Ejemplo:
Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en relación a una literal, por ejemplo:
x
5+3x−8
x
3Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último.
Ordenar el siguiente polinomio:
18 5 5 18
3
7
2
7
2
3
2 2 3 2 3 2 + − = − + − +−
−
−
y
x
x
x
x
y
xy y xy yGrado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las variables.
Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable: 6x³ 3er grado.
2x 1er grado. 3³x 1er grado.
-3 grado cero porque -3x°
Grado de un término en varias variables:
72 x³ y³ 6to grado 4 x² y³ 5to grado √3 x y² 3er grado
3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico.
La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución.
Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple. Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.
Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.
Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico o comprobamos la igualdad.
Encontrar el valor numérico
¿Cuánto vale la siguiente expresión?
Cuando x = 2 Y y = 4 2(2) ² - 3 (4) =
2(4) – 12 = 8 – 12 =
Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si 2x²- 3y
x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber, sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el valor numérico de la expresión algebraica.
4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo:
a5 = (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:
N Exponente (Entero positivo) n – ésima potencia a Base
de a.
Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos, dichas leyes son:
Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:
Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir: n m n m
a
a
a
−=
(Si m > n) mn n ma
a
a
−=
1
(Si n>m) n n(
a) (
a)
= a
1
0=
=
=
a
−a
a
a
m n n m (Si m = n)Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:
mn
n
m
a
a
)
=
(
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:
m
m
m
a
b
ab
)
=
(
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir: m m m
b
a
b
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
a) (u2)(u3)=u2+3 =u5 b) 2 4 2 2 4 m m m m = = − c) (c2)3 =c(2)(3) =c6 d) 6 3 ) 3 )( 2 ( 3 3 3 2 8 . 2 2 b a b a b a = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS:
SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones algebraicas de una sola.
Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.
EJEMPLOS: SUMANDO <---3a2+5a2+7a2 = 15a2---Æ SUMA 2 2 3 2 3 3 3 3 6 3 2 7 2 4 5 3 2 ax ax ax ax x x x mx mn mn mn = + + = + + = +
En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede ser con cantidades positivas y negativas, proceso que se denomina “suma o adición algebraica”.
Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda, sumar los términos positivos y los negativos primeramente y finalmente se calcula su diferencia. si existen términos no semejantes, la operación que da indicando.
EJEMPLOS: = − − + + + = + + − + − Y X Y Y X X X X Y Y Y X 7 3 4 8 6 3 8 7 4 6 10X −11Y c b a c c b b a a c c c b b b a a a c b a c b a c b a 5 2 6 2 7 35 3 3 9 2 6 5 2 3 4 5 5 4 2 3 6 2 5 + − = − + − + − = − + + − + + − + = + − + − + − + + 3 2 3 2 5 3 5 3 + = + + = + m m bx ax bx ax
En la suma de polinomios en forma práctica se colocan verticalmente los términos semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la operación.
1.- suma las expresiones: 3a2+5b+2a2−3ab+4b+7ab−b. acomodando los términos semejantes, tenemos: b b ab a b ab a − + + + − __________ 4 7 2 5 3 3 2 2 b ab a 4 8 5 2 + +
Resta o Sustracción.- Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significado determinar la cantidad a “m”, de cómo resultado “l”.
r m
l− = ya que r+m=l
La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes.
En aritmética la resta indica “disminución”, en el álgebra puede indicar “aumento “ o “disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del “minuendo“ cada uno de los términos del “sustraendo “, combinándole el signo a todos sus términos.
EJEMPLOS: 1.- Restar 7x−4y+2z de 11x+9y−5z. MINUENDO ---Æ11X +9Y −5Z } Z Y X Z Y X 2 4 7 5 9 11 − + − − + SUSTRAONA ---Æ−(7X −4Y +2Z) --- 4X +13Y −7Z Å--- RESULTADO
2.- Resta 15a+7ac−8bc+4 de 11a−6bs+3ac−1 ) 4 8 7 15 ( 1 6 3 11 + − + − − − + bc ac a bc ac a 4 8 7 15 1 6 3 11 + − + − − − + bc ac a bc ac a --- −4a−ac+2bc−5 Signos de agrupación
Cuando una expresión algebraica contiene uno o mas partes del símbolo de la agrupación en cerrados en otro par, siempre se elimina el de mas dentro.
Para suprimir los signos de agrupación se procede como se indica a continuación:
Los lo que están precedidos del signo + se quita el signó de agrupación y se pone su termino sin cambiar sus signos interiores + o de – .
Los signos de agrupación presididos del signo del signo – se quitan de agrupación y se pone el simétrico (signo contrario) de cada término.
EJEMPLOS:
(
)
[
]
}
{
3 2 5 2 4− x+ x− x+{
[
(
)
]
}
[
]
{
a b b}
a a a b b a a + − − − − − = + − + − − − 12 29 5 2 3 8 35 12 29 5 2 3 8 35}
]
[
{
3 2 5 2 4− x+ x− x− =32a−8{
3a−2b+5b−29}
−12a}
{
3 2 5 2 4− x+ x− x− =32a−24a+16b−40b+232−12+a 2 2 5 2 3 4− x− x+ x− = =12a−24b+220Ejercicios
1. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7a−3b+11 ; 14c − a+10b+10 ;8c a+8b+13c Resp: a+15b+34 ; 15c − a b− +8c b) 3xy+4yz x x− ; 2 −4xy+7 ;3yz yz x− +5xy Resp: 4xy+6 ; 6yz − xy+2x c) 2r−3rs+7 ; 4s − −s 3r+5 ; 2rs rs+3s−8r Resp: 9− +r 4rs+6 ;7s r
2. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes
a) 4x+(y− −3) (3x+1) Resp: x y+ −4 b) (x y− ) (2− x−3 ) (y − − +x y) Resp: y c) 1− −
[
a 2b− − +(3 a) 3]
Resp: 1 2− a+2b d) − + − − +[
x (3 x) (4 3 )x]
Resp: 3x+1 e) − −{
a 2ab b+ −⎣⎡3a+5ab+6b− − +(a b) 5]
}
Resp: 6xy+5x−3y f) 10+{
x−⎣⎡y+ − −(x 3) (y−6)]
}
Resp: 73. Evalúe las expresiones siguientes, dado que a=2,b= −3,c=1 y d = −2
a) a−2b c+ b) a b− −2d c) 6a−5b d− d) a b− +2c+3d e) b− −(c 2 )d f) 2c−2(3a−2 )b g) a d a d + − h) 3 ab cd c − i) 3 2 4 b ad a − Respuestas: a) 9; b) 9; c) 29; d) 1; e) -8 ; f) -22; g) 0; h) 0; i) 1 8 −
6. MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla
Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplos: (1) Multiplicar 2a2por3a3.
2a2X3a3 =2X3a2+3 =6a5 R. El signo del producto es +porque + por + es +.
(2) Multiplicar −xy2por−5mx4y3
(−xy2)X(−5mx4y3)=5mx1+4y2+3 =5mx5y5 R. El signo de producto es +porque- por – da +
(3) Multiplicar 3a2bpor−4b2x
3a2bX(−ab2x)=−3x4a2b1+2x=−12a3b3x
R. El signo del producto es - porque + por - da –
(4) Multiplicar −ab2por4ambnc3
(−ab2)X4ambnc3 =−1X4a1+mbn+2c3 =4am+1bn+2c3
R. El signo es producto es – porque + da – I . Ejercicios:
1.- abpor −ab Resp: −a b2 2
2.- 2x2por −3x Resp: −6x3
3.- −4a2b por −ab2 Resp: 4a b3 3
II . Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 1) (a b b3 )( )2 2) (a b2 2)( )a3 3) (2 )(3x2 xy2) 4) −3x y2 3(2x y4 ) 5) 3 (4x x y2 )(−x y4 2) 6) −x y x y3 (3 2 3)(−x2) 7) −3a b2 2(4ab3)( 9− a b3 ) 8) a b ab2 ( 3 2) 9) 6a b ab2 (2 2 2) 10) (a b2 ) (22 ab2 3) 11) (4 ) (ab 2 ab2 3) 12) (−x y2 ) ( 83 − x y3 )2 13) (−xy2 3) (2x yz2 2 2) ( 5− xz3) 14) (−a b2 2 3) (8abc2 2) ( 3− b c4 5 4) 15) −2 ( )a b2 2 −a2( )−b 3 16) ( 2 )− ax 2− −( a) ( )2 x2 17) 2 (a2 −b2) (4 )( )+ a2 −b 2 Respuestas: 1) a b3 3 ; 2) a b5 2; 3) 6x y3 2; 4) −6x y6 4; 5) −12x y7 3; 6) 3x y7 4; 7) 108a b6 6; 8) a b4 7; 9) 24a b4 5; 10) 8a b7 8; 11) 16a b5 8; 12)−64x y12 5; 13) 20x y z8 8 7 14) −5184a b c8 24 24; 15) −2a b2 2 +a b2 3; 16) 5a x2 2; 17) 2a b2 2
Multiplicación de Polinomios por Monomios
Sea el producto (a+b)c
Multiplicar (a+b)porc equivale a tomar la suma (a+b) como sumando c veces; luego:
. ) , ... ( ) , . ... ( )... ( ) ( ) ( bc ac veces c b b b veces c a a a cveces b a b a c b a + = + + + + + = + + + = +
Tendremos: ( ) ( ) ( ) ( )... , ( ... , ) ( .. , ) a b c a b a b a b c veces a a a c veces b b b c veces ac bc − = − + − + − = + + + + + = − Podemos, pues , anunciar lo siguiente:
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio
Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
En esta Ley Distributiva de la multiplicación Ejemplos: Multiplicar 3x2−6x+7por4ax2 Tendremos )(3x2 −6x+7)X4ax2 =3x2(4ax" )+7(4ax2 =12ax4−24ax3+28ax2ç 2 2 4 7 6 3 ax x x − + --- La operación suele disponerse a si 12ax4−24ax3+28ax2
I. Ejercicios:
(1) 3x3−x2por−2x Resp: −6x4+2x3
(2) 8x2y−3y2por−2ax3 Resp: −16ax y5 +6ax y3 2
(3) x2−4x+3por−2x Resp: −2x3+8x2−6x
II. Efectúe las multiplicaciones indicadas: 1) 6(x+7) 2) 7(x−4) 3) (x y+3) 4) 5 (2x y−3) 5) 4 (− x y−3) 6) 2 (3x x2−2 )x 7) −6 (x x2−4 )x 8) −3 (3 5x − x x− 2) 9) 2 (3x3 x2+ −x 5) 10) 2 (ab a− +2 3ab b− 2) 11) −2a b a2 ( 3+5a b2 2−3 )b4 12) 5a b ab3 2( 2− +b 4 )a 13) −2ab3(2a2−3b2−2) 14) 2 (5x x− −6) 3 (x x−4) 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x− − x x− 16) 2 (3x x2−4x+ −6) x x2( −8) 17) x2(2x2−3x− −4) x x( 3−3x2−4 )x Respuestas: 1) 6x+42; 2) 7x−28; 3) xy+3x; 4) 10xy−15x; 5) 4− xy+12x 6) 6x3−4x2; 7) −6x3+24x2; 8) − +9x 15x2+3x3; 9) 6x5+2x4−10x3; 10) −2a b3 +6a b2 2−2ab3; 11) −2a b5 −10a b4 3+6a b2 5; 12) 5a b4 4−5a b3 3+20a b4 2; 13) −4a b3 3+6ab5+4ab3; 14) 7x2 ; 15) −10x; 16) 5x3+12x; 17) x4
7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Sea el producto (a+b-c)(m+n). Haciendo m+n=y tendremos:
c by ay y c b a n m c b a+ − )( + )=( + − ) = + − (
cn bn an cm bm am cn cm bm bn na am n m c n m b n m a − + + − + = − − + + + = + − + + + = ( ) ( ) ( )
(sustituyendo y por su valor m+n) Podemos enunciar lo siguiente:
Regla para Multiplicar dos Polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplos: (1) múltiplos a-4 por 3 + a Tendremos: 3 4 + − a a 3 4 + − a a a
( ) ( )
a −4 a o sea a2−4a +3( ) ( )
a −34 3a−12 a2 −a−12Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos término del multiplicador y el segundo término del multiplicador 3 por los dos termino del multiplicador escribiendo los productos parciales de modo que los términos semejantes quedan en columnas y hemos reducido los términos semejantes.
(2) Multiplicador 4x−3y.por.−2y+5x
y x y x 2 5 3 4 − − y x y x 2 5 3 4 − − 20x2−15y ) 5 ( 3 ) 5 ( 4x x − y y −8xy+6y2 −4x(2y)+3y(2y) 20x2 −23xy+6y2 I. Ejercicios: 1. 1a+3.por.a− Resp: a2 +2a−3 2. 8x−2y.por.y+2x Resp: 16x2−2y2+4xy 3. −4y+5x.por.−3x+2y Resp: −15x2 +22xy−8y2 4. −a+b.por.−4b+8a Resp: −8a2+12ab−4b2
II. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) (x−7)(x+4) 9) (x+1)((2x2−2x+3) 2) (x−6)(x+6) 10) (x−2)(x2+2x−4) 3) (x−1)(x−6) 11) (2x−1)(4x2 +2x+1) 4) (3x−1)(4x−3) 12) (x−2 )(y x2+2xy+4 )y2 5) (3 2 )(3 4 )− x + x 13) (x2+2x−1)(x2−2x+1) 6) (7 3 )(8 5 )+ x − x 14) (x+1)(x+ +3) x x( −4) 7) (x−4 )(3y x−4 )y 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3) 8) (xy+3)(xy−4) 16) (x+2)(x− −4) x x( −2) Respuestas: 1) x2−3x−28; 2) x2−36; 3) x2−7x+6; 4) 12x2−13x+3; 5) 5) 9 6+ x−8x2; 6) 56 11− x−15x2; 7) 3x2−16xy+16y2; 8) x y2 2−xy−12; 9) 2x3+ +x 3; 10) x3−8x+8; 11) 8x3−1; 12) x3−8y3; 13) x4−4x2+4x−1 14) 2x2+3 ; 15) 3x2−2; 16) −8
8. DIVISIÓN DE MONOMIOS. Regla para dividir dos Monomios
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo de la Ley de los signos.
Ejemplos: (1) Dividir 4a3b2entre−2ab
a b ab b a ab b a3 2 3 2 2 2 2 4 2 / 4 = − = − R. Porque
(
−2ab)
x(
−a2b)
=4a3b=4a3b2 (2) Dividir − 5a 4b 3c.entre . − a 2b a b c b a c b a b a c b a / 5 5 2 2 5 2 3 4 2 3 4 = − − = − − R. Porque −5a4b3c*(−a2b)=−5a4b3cObsérvese que cuando el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este caso c, dicha letra letras a párese en el cociente. Sucede lo mismo que si la c estuviera en el divisor con exponente cero por que tendríamos.
c c =c1−0=c 0 / (3) Dividir −20mx2y3/4xy3 mx xy y mx xy y mx 5 4 20 4 / 20 3 3 2 3 3 2 = − =− − R Porque 4xy3*(−5mx)= −20mx2y3
Obsérvese que letras iguales en el dividendo y el divisor se cancela por que su cociente es 1.Así, en es te caso y3 del dividendo se cancela con y3 del divisor,
igual que en. Aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y denominador de un quebrado.
También de acuerdo con la ley de los exponentes y3/ y3= y3−3 = y0 y veremos
mas adelante que y0=1y1 como factor puede suprimirse en el cociente.
Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
3 4 2 2 6 x yz xy ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el exponente exterior. 3 3 4 3 9 3 9 3 2 3 3 3 2 6 3 3 27 x yz x z x z x z xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ I. Ejercicios: (1) 14a3b4entre−2ab2 Resp: −7a b2 2 (2) −a3b4c entre a3b4 Resp: −c (3) −5m2n entre m2n Resp: −5 (4) −8a2x3entre −8a2x3 Resp: 1
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
1) 5 2 a a 2) 3 x x 3) 6 12 a a 4) 2 8 x x 5) 10 10 x x 6) 10 6 b b − 7) 8 10 ( a) a − − 8) 7 7 ( a ) a − − 9) 8 4 ( 1) ( 1) x x + + 10) 6 9 ( ) ( ) x y x y − − 11) 3 3 bx b 12) 6 4 3 2 x y x y 13) 2 5 6 10 9 36 a b a b 14) 8 7 4 9 6 18 a b a b − 15) 6 2 5 2a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 16) 3 2 5 6 2 4 x y xy ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 17) 3 4 2 7 3 4 7 2 x y z x y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 18) 4 3 2 4 2 3 12 18 x y z xy z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Respuestas: 1) a3; 2) x2; 3) 16 a ; 4) 6 1 x ; 5) 1 ; 6) 4 b − ; 7) 12 a − ; 8) 1 ; 9) (x+1)4; 10) 3 1 (x y− ) ; 11) x; 12) 3 2 x y ; 13) 14 5 4a b ; 14) 4 2 3 a b − ; 15) 6418 a
16) 3 3 8 x y ; 17) 3 6 8 x y ; 18) 8 4 16 81 x z
9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS. Regla para dividir un polinomio por un monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Esta es la ley distributiva de la división.
Ejemplos
Ejemplo 1) Dividir 3a3−6a b2 +9ab2 entre 3a.
(3 3 6 2 9 2) 3 3 3 6 2 9 2 3 3 6 2 9 2 3 3 3 3 a a b ab a a b ab a a b ab a a a a a − + − + ÷ = = − + Resultado: a2−2ab+3b2 Ejemplo 2) Dividir 3 2 2 3a 2a b ab ab − − − Solución: 3a3 2a b ab2 2 3a3 2ab2 ab2 3a2 2a b ab ab ab ab b − − = +− +− = − + + − − − − Ejemplo 3) Dividir 2 (3 ) (3 ) (3 ) x a a x a x a + − + + y simplificar 2 (3 ) (3 ) (3 ) x a a x a x a + − + + = 2 (3 ) (3 ) (3 ) 3 3 (3 ) (3 ) x a a x a x a a x a a x x a x a + − + = + − = + − = + +
Ejercicios: Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) 2 2 2 x+ 2) 10 5 5 x− 3) 6 2 3 3 x x x + 4) x3 3x2 x x − + 5) 6 3 3 ax a a +
6) 3 2 2 7 14 7 x x x − 7) 2 3 2 10 15 5 x y x x + − 8) 5 4 3 3 12 18 6 6 x x x x + − − 9) 3 2 2 3 2 2 36 24 12 x y x y x y − − − 10) 3 2 2 4 6 8 2 x x x x + − 11) 6 4 2 2 4 3 3 2 3 3 x x y x y x y − − − 12) 2 6( ) 3( ) 3( ) x a x a x a − + − − 13) 2 (2 ) (2 ) (2 ) x a x x a x a + − + + 14) 3 2 (2 ) (2 ) (2 ) x a x a x a − − − − Respuestas: 1) x+1; 2) 2x−1; 3) 2x+1; 4) x2−3x+1; 5) 2x+1; 6) x−2; 7) 2− y−3x; 8) −2x2−3x+1; 9) 3x+2y; 10) 2x 3 4 x + − ; 11) 3 3 2 3 3 x x y y y x − + + 12) 2(x a− +) 1; 13) x a+ ; 14) 2 (2x a− ) −(2x a− ) . DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división se define como la operación inversa de la multiplicación; así que empezamos con un problema de multiplicación y luego deducimos la operación de división.
2 2 (x +3x−5)(2x−7)=x (2x− +7) 3 (2x x− + −7) ( 5)(2x−7) 3 2 2 (2x 7 ) (6x x 21 ) ( 10x x 35) = − + − + − + 3 2 2x x 31x 35 = − − +
Por consiguiente si (2x3−x2−31x+35) se divide por (2x−7), el resultado es 2
(x +3x−5), es decir, el primer polinomio del problema de multiplicación. El polinomio
3 2
(2x −x −31x+35) se llama dividendo, (2x−7) es el divisor, y (x2+3x−5), el cociente. El primer término del dividendo, 2x3, proviene de multiplicar el primer término
del cociente, x2, por el primer término del divisor, 2x. De modo que para obtener el primer término del cociente, x2, dividimos el primer término del dividendo, 2x3, por el
primer término del divisor, 2x. Multiplicando todo el divisor (2x−7)por ese primer término del cociente, x2, obtenemos 2x3−7x2. Al restar 2x3−7x2 del dividendo, resulta
(2x3−x2−31x+35) (2− x3−7 ) 6x2 = x2−31x+35
La cantidad 6x2−31x+35 es el nuevo dividendo. El primer término, 6x2, del nuevo
dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x, por el primero del divisor, 2x. Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x, se divide el primero del nuevo dividendo, 2
6x , por el primer término del divisor, 2x. Multiplicando el divisor (2x−7)por el segundo término del cociente, 3x, se obtiene 6x2−21x. Restando
2
6x −21x del nuevo dividendo, resulta
(6x2−31x+35) (6− x2−21 )x = −10x+35
La cantidad −10x+35 es ahora el nuevo dividendo. Al dividir el primer término, ( 10 ),− x de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x, se obtiene el tercer término, (-5), del cociente. Multiplicando el divisor (2x−7)por el tercer término del cociente, (-5), se obtiene −10x+35. Restando ( 10− x+35) del dividendo ( 10− x+35), resulta cero. Iniciemos nuevamente el problema disponiéndolo de una manera semejante a la división larga en aritmética.
+ 2
x + 3x - 5 cociente El primer término
del cociente es Divisor 2x−7 2x3 - x2 - 31x + 35 dividendo
2 / 2x3 x x= 2 2 (2 7) x x− = 2x3 - 7x2 restar 6x2 −31x + 35 El segundo − + 2 6 / 2x x= +3x 3 (2x x−7)= 6x2 −21x restar El tercero −10x + 35 + − 10 / 2x x 5 − = − 5(2− x−7) = −10x +35 restar 0 residuo Por consiguiente 3 2 2 2 31 35 3 5 2 7 x x x x x x − − + = + − −
Ejemplo 2. Dividir (6x3−17x2+16) por (3x−4)
Solución: Escribimos el dividendo como 6x3−17x2+0x+16
+2x2
−
3
x
4− 3x−4 6x3 −17x2 +0x + 16 − + 3 2 6 / 3x x= +2x 2 (3x2 x−4)= 6x3 −8x2 −9x2 +0x +16 + − 29 /3
x
x
3
x
−
=−
3 (3− x x−4)= −9x2 +12x −12x +16 + − 12 / 3x x 4 − = − 4(3− x− =4) −12x +16 0 residuo Por consiguiente 3 2 2 6 17 16 2 3 4 3 4 x x x x x − + = − − −Ejercicios: Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes: 1) 2 3 2 1 x x x + + + 2) 2 6 2 x x x + − − 3) 2 14 48 8 x x x − + − 4) 2 8 16 6 2 1 x x x + + + 5) 2 9 6 1 3 1 x x x + + + 6) 2 12 25 12 4 3 x x x + + + 7) 2 16 8 1 4 1 x x x − + − 8) 2 22 8 21 4 3 x x x + − − 9) 3 2 2 4 2 8 4 x x x x − − + − 10) 4 3 2 2 3 2 6 3 2 2 x x x x x x + − + − + − 11) 3 2 3 4 6 2 3 x x x x − − + + 12) 3 2 4 7 21 9 4 3 x x x x − − + − 13) 3 2 6 11 14 2 2 5 x x x x − − − − 14) 4 2 2 2 11 39 15 3 5 x x x x x − − − + + 15) 4 3 2 2 3 4 2 2 2 3 3 5 3 2 x x y x y xy y x xy y + + − − − − Respuestas: 1) x+2; 2) x+3; 3) x−6; 4) 4x+6; 5)
3
x
+
1
; 6) 3x+4; 7) 4x−1 8) 2x+7; 9) x−2; 10) 3x2− +x 1; 11) 2 2 1 4 3 2 x x x − + + + ; 12) 2 6 9 4 3 x x x − − − − 13) 3 2 2 2 12 2 5 x x x + − − − ; 14) 2 2x −6x−3; 15) x2+2xy+3y210. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener su resultado.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual: (a b+ )2 =a2+2ab b+ 2
Cuadrado del primer término más
Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término.
La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término del trinomio.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: (a b− )2 =a2−2ab b+ 2
Cuadrado del primer término, menos
Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término.
Debemos entender que para encontrar el resultado de un binomio al cuadrado tenemos que aplicar la siguiente regla:
• Elevar al cuadrado el primer termino (todo: signo, coeficiente y literales).
• Mas el doble producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).
• Mas el cuadrado del segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).
1. (3a−8 )b 2 =(3 )a 2−2(3 )(8 ) (8 )a b + b 2 =9a2−48ab+64b2 2. 2
[
]
2 2 2 (4x+2y+3) = (4x+2 ) 3y + =(4x+2 )y +2(4x+2 )(3) (3)y + 2 2 16x 16xy 4y 24x 12y 9 = + + + + + Binomios conjugadosEl producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
(
a b a b+)(
−)
=a2−b2Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
(
)(
)
2 2a b a b+ − =a −b
Los binomios conjugados son iguales a: El cuadrado del primer termino del binomio Menos
El cuadrado del segundo termino del binomio.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1. (8b−3 )(8c b+3 ) (8 )c = b 2−(3 )c 2 =64b2−9c2 2. (5p−6 )(5q2 p+6 ) (5 )q2 = p 2−(6 )q2 2 =25p2−36q4 3. 2 2 2 2 5 3 5 3 5 3 25 9 9m 4n 9m 4n 9m 4n 81m 16n ⎛ − ⎞⎛ + ⎞ ⎛= ⎞ −⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Binomios al cubo
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:
(
) (
3)(
)(
)
a b+ = a b a b a b+ + +
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:
(
)(
) (
)
2 2 22
a b a b+ + = a b+ =a + ab b+ . Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
(
a2+2ab b+ 2)
(
a b+)
=a3+3a b2 +3ab2+b3Binomio al cubo = Cubo perfecto
(
a b+)
3 = a3+3a b2 +3ab2+b3El cubo de un binomio es igual a: Cubo del primer termino más El triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo mas El triple producto del Primer termino por el cuadrado del segundo mas Cubo del segundo termino.
Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
(
)
3 a b− = a3−3a b2 +3ab2−b3 Ejercicios: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 (2x+5 )y =(2 )x −3(2 ) (5 ) 3(2 )(5 )x y + x y −(5 )y =8x −60x y+150xy −125y 3 3 2 2 3 3 2 2 3 (3a−2 )b =(3 )a −3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 )a b + a b −(2 )b =27a −54a b+36ab −8bResumen de productos notables: 2 2 2 (a b+ ) =a +2ab b+ Binomio al cuadrado 2 2 2 (a b− ) =a −2ab b+ Binomio al cuadrado
(
a b a b+)(
−)
=a2−b2 Binomios conjugados(
a b+)
3=a3+3a b2 +3ab2+b3 Binomios al cubo(
)
3 3 2 2 3 3 3 a b− =a − a b+ ab −b Binomios al cuboEjercicios: Desarrolle los siguientes productos notables:
1. (5x−3 )y 2 Resp 25x2−30xy+9y2 2. (2x + 3y)2 Resp: 4x2+12xy+9y2 3. (m + 4)2 Resp: m2+8m+16 4. (a3 - b3)2 Resp:a6−2a b3 3+b6 5. (2m – 3n)2 Resp: 4m2−12mn+9n2 6. (2x−3y+2 )z 2 Resp: 4x2+9y2+4z2−12xy+8xz−12yz 7. (3x+2 )(3y x−2 )y Resp: 9x2−4y2 8. (6a2−4 )(6b4 a2+4 )b4 Resp: 36a4−16b8 9. (x2 + a2)( x2 - a2) Resp: x4−a4 10. 3 2 3 2 4x 7y 4x 7y ⎛ − ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Resp: 2 2 9 4 16x −49 y 11. (2x−7 )y 3 Resp: 8x3−84x y2 +294xy2−343y3 12.(2 + y2)3 Resp: 8 12+ y2+6y4+y6 13.(1 – 3y)3 Resp: 1 9− y+27y2+27y3
11. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificarlas expresiones algebraicas.
Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad.
I. Factor común.
En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva.
Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.
Ejemplos:
1) 5x+5y=5(x y+ )
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los factores son 5 y (x + y).
2) ax bx cx x a b c− + = ( − + )
X es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son x y (a – b + c).
3) 4x y2 −8xy+2y= 2 (2y x2−4x+1)
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la expresión original 4x y2 −8xy+2y entre 2y, dando como resultado, 2x2−4x+1 que
representa al segundo factor.
4) Factorizar el polinomio 6x y3 2+12x y2 2−24xy2
Solución: El máximo factor común es 6xy2.
3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 12 24 6 12 24 6 6 6 6 x y x y xy x y x y xy xy xy xy xy ⎛ ⎞ + − = ⎜ + − ⎟ ⎝ ⎠= 2 2 6xy x( +2x−4)
El producto de los factores (a b+ ) y (a b− ) es a2−b2, es decir, la diferencia de dos
términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.
Ejemplo 1) Factorizar 9a2−4.
Solución: La raíz cuadrada de 9a2 es 3a y la de 4 es 2.
Por consiguiente, 9a2− =4 (3a+2)(3a−2)
Ejemplo 2) Factorizar completamente x4−81y4.
Solución: x4−81y4 =(x2+9 )(y2 x2−9 )y2
=(x2+9 )(y2 x+3 )(y x−3 )y
Ejemplo 3) Factorizar completamente 6x4−6.
Solución: 6x4− =6 6(x4−1)
=6(x2+1)(x2−1)
=6(x2+1)(x+1)(x−1)
Ejemplo 4) Factorizar completamente x2−4(y−3)2
Solución: x2−4(y−3)2 = +[x 2(y−3)][x−2(y−3)]
(= x+2y−6)(x−2y+6)
III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento:
1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término. 2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:
