226 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
1. Explique por qué la función logaritmo natural se usa con mucha mayor frecuencia en cálculo que las otras funciones logarítmicas . 2–20 Derive la función. 2. 3. f(x) sen(ln x) 4. f(x) ln(sen2x) 5. 6. 7. 8. 9. f(x) sen xln(5x) 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21–22 Encuentre yy y. 21. 22.
23–24 Derive fy encuentre el dominio de f.
23. 24.
25–27 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 25. , 26. yln(x37), (2, 0) 27. yln
(
xex2, 1, 1)
3, 0 ylnx23x1 fxln ln ln x fx x 1lnx1 y ln x x2 yx2 ln2x ylog2excos x y2x log10sx y ln1ex2 ylnexxex Hzlna 2z2 a2z2 yln 2x5x2 Fyy ln1ey txln(
xsx21)
hxln(
xsx21)
Ftln 2t1 3 3t14 ft 1ln t 1ln t fxln s5 x fxs5 ln x fxlog5xex fxlog213x fxx ln xx ylogaxyln x
;
28. Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y(ln x)xen los puntos (1, 0) y . Ilustre graficando la curva y sus rectas tangentes.29. (a) ¿En qué intervalo es decreciente ? (b) ¿En qué intervalo es fcóncava hacia arriba?
;
30. Si f(x) sen xln x, encuentre f(x). Compruebe que su respuesta es razonable al comparar las gráficas de fy f. 31. Sea f(x) cxln(cos x). ¿Para qué valor de ces?
32. Sea f(x) loga(3x22). ¿Para qué valor de aes f(1) 3? 33– 42 Use derivación logarítmica para hallar la derivada de la función. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. y(senx)1n x 43. Encuentre ysi yln(x2y2). 44. Encuentre ysi xyyx.
45. Encuentre una fórmula para f(n)(x) si f(x) ln(x1).
46. Encuentre .
47. Use la definición de derivada para demostrar que
48. Demuestre quelim para cualquierx0. nl
1 x n n ex lim xl0 ln1x x 1 d9 dx9x 8 ln x ytan x1x ysxx ycos xx yxcos x yxx y4 x 21 x21 y sen 2xtan4x x2 12 ysx ex2 x2110 y2x15x436 f46 fxx ln x e, 1e3.7
Ejercicios
Si ponemos
en la Fórmula 5, entonces
cuando
y entonces una
expresión alternativa para
es
e
lim
nl1
1
n
n 6e
x
l
0
n
l
n
1
x
;
Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficasSECCIÓN 3.9 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES 245
3.9
Ejercicios
1. El pavo del Ejemplo 1 es sacado del horno cuando su tempe-ratura alcanza 185°F y es colocado en una mesa en un cuarto donde la temperatura es de 75°F. Después de 10 minutos la temperatura del pavo es 172°F y después de 20 minutos es de 160°F. Use una aproximación lineal para predecir la temperatura del pavo después de media hora. ¿Piensa usted que su predicción es evaluación excesiva o subestimación? ¿Por qué?
2. La presión atmosférica Pdisminuye cuando la altitud h
aumenta. A una temperatura de 15°C, la presión es 101.3 kilopascales (kPa) al nivel del mar, 87.1 kPa a
h1 km y 74.9 kPa en h2 km. Use una aproximación lineal para estimar la presión atmosférica a una altitud de 3 kilómetros.
3. La gráfica indica la forma en que la población de Australia envejece al mostrar el porcentaje pasado y proyectado de la población de 65 años de edad o más. Use una aproximación lineal para predecir el porcentaje de la población que tendrá 65 años de edad o más en los años 2040 y 2050. ¿Piensa usted que sus predicciones son demasiado altas o demasiado bajas? ¿Por qué?
4. La siguiente tabla muestra la población de Nepal (en millones) al 30 de junio del año dado. Use una aproximación lineal para estimar la población a mitad del año 1989. Use otra aproxima-ción lineal para predecir la poblaaproxima-ción en 2010.
1900 2000 10 20 Porcentaje de 65 años y más t P 0
5–8 Encuentre la linealización L(x) de la función en a.
5. , 6. ,
7. , 8. ,
;
9. Encuentre la aproximación lineal de la funciónen a0 y úsela para aproximar los números y . Ilustre al graficar fy la recta tangente.
;
10. Encuentre la aproximación lineal de la funciónen y úsela para aproximar los números y . Ilustre al graficar ty la recta tangente.
;
11–14 Verifique la aproximación lineal dada en . Acontinuación determine los valores de xpara los cuales la aproxi-mación lineal es precisa a no más de 0.1.
11. 12.
13. 14.
15–18 Use una aproximación lineal (o diferenciales) para calcular el número dado.
15. 16.
17. 18.
19–21 Explique, en términos de aproximaciones lineales o diferen-ciales, por qué la aproximación es razonable.
19. 20.
21.
22. Sea y
(a) Encuentre las linealizaciones de f, ty hen a0. ¿Qué se observa? ¿Cómo se explica lo que ocurrió?
hx1ln12x txe2x fxx12 ln 1.050.05 1.0161.06 sec 0.081 11002 8.0623 e0.015 2.0015 ex1x 112x418x tan xx s3 1x 113x a0 s3 1.1 s3 0.95 a0 txs31x s0.99 s0.9 fxs1x a16 fxx34 a2 fxcos x a1 fxln x a1 fxx43x2
entre el volumen total:
Entonces el error relativo del volumen es unas tres veces el error relativo del radio. En
el Ejemplo 4 el error relativo del radio es aproximadamente
y
produce un error relativo de alrededor de 0.007 en el volumen. Los errores podrían también
expresarse como
errores porcentuales
de 0.24% en el radio y 0.7% en el volumen.
dr
r
0.05
21
0.0024
V
V
dV
V
4
r
2dr
4 3r
33
dr
r
t 1985 1990 1995 2000 2005 17.04 19.33 21.91 24.70 27.68 Nt;
Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas246 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
;
(b) Grafique f, ty hy sus aproximaciones lineales. ¿Para qué función es mejor la aproximación lineal? ¿Para cuál es peor? Explique.23–24 Encuentre el diferencial de cada función.
23. (a) (b)
24.(a) (b)
25. Sea .
(a) Encuentre el diferencial dy.
(b) Evalúe dyy si y .
26. Sea .
(a) Encuentre el diferencial dy.
(b) Evalúe y si y .
(c) Trace un diagrama como el de la Figura 6 mostrando los segmentos de recta con longitudes dx, dyy y.
27. Se encuentra que una arista de un cubo mide 30 cm con un posible error de medición de 0.1 cm. Use diferenciales para estimar el máximo error posible, el error relativo y el porcen-taje de error al calcular (a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo.
28. El radio de un disco circular está dado como de 24 cm con un máximo error en medición de 0.2 cm.
(a) Use diferenciales para estimar el máximo error en el área calculada del disco.
(b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el porcentaje de error?
29. La circunferencia de una esfera se midió y fue de 84 cm con un posible error de 0.5 cm.
(a) Use diferenciales para estimar el máximo error en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo?
(b) Use diferenciales para estimar el máximo error del volu-men calculado. ¿Cuál es el error relativo?
30. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesa-ria para aplicar una capa de pintura de 0.05 cm de grueso a una cúpula esférica con diámetro de 50 m.
31. (a) Use diferenciales para hallar una fórmula para el volumen aproximado de una capa cilíndrica delgada con altura h, radio interior ry grosor r.
(b) ¿Cuál es el error que aparece al usar la fórmula del inciso (a)?
32. Se sabe que un lado de un triángulo recto mide 20 cm de largo y el ángulo opuesto se mide como de 30°, con un posible error de 1°.
(a) Use diferenciales para estimar el error al calcular la lon-gitud de la hipotenusa.
(b) ¿Cuál es el porcentaje de error?
dxx1 x1 y dy ysx dx0.1 x0 y yex10 ys1ln z yetan t y1r32 y u1 u1
33. Cuando circula sangre en un vaso sanguíneo, el flujo F(el volumen de sangre por unidad de tiempo que circula por un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio R
del vaso sanguíneo:
(Esto se conoce como Ley de Poiseuille; demostraremos por qué es cierto en la Sección 6.7.) Una arteria parcialmente ocluida se puede dilatar mediante una operación llamada angioplastia, en la que un catéter con punta en forma de globo se infla dentro de la arteria para ensancharla y resta-blecer la circulación sanguínea normal.
Demuestre que el cambio relativo en Fes alrededor de cua-tro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento de 5% en el radio a la circulación sanguínea?
34. En la página 431 de Physics: Calculus,2a. ed., de Eugene Hecht (Pacific Grove, CA, 2000), en el proceso de derivar la
fórmula para el periodo de un péndulo de
longitud L, el autor obtiene la ecuación aTtsen
u
para la aceleración tangencial de la plomada del péndulo. Dice él entonces que “para ángulos pequeños, el valor deu
en radia-nes es casi el valor de senu
; difieren en menos de 2% de cada 20° aproximadamente.”(a) Verifique por aproximación lineal en 0 para la función seno:
sen xx
;
(b) Use una calculadora graficadora para determinar los valores de xpara los cuales sen xy xdifieren en menos de 2%. A continuación verifique el enunciado de Hecht al convertir de radianes a grados.35. Suponga que la única información que tenemos acerca de una función fes que f(1) 5 y la gráfica de su derivadaes como se muestra.
(a) Use una aproximación lineal para calcular f(0.9) y f(1.1). (b) ¿Sus estimaciones en el inciso (a) son demasiado grandes
o demasiado pequeñas? Explique.
36. Suponga que no tenemos una fórmula para t(x) pero sabemos
que t(2) 4 y para toda x.
(a) Use una aproximación lineal para estimar t(1.95) y t(2.05). (b) ¿Sus estimaciones en el inciso (a) son demasiado grandes
o demasiado pequeñas? Explique.
txsx25 y x 0 1 y=fª(x) 1 T2sLt FkR4 57425_03_ch03_p242-251.qk 10/26/09 9:33 PM Page 246
218
Capítulo 3: DerivadasEJERCICIOS 3.7
1. Área Suponga que el radio r y el área A =pr2de un círculo son
funciones diferenciables de t. Escriba una ecuación que relacione con .
2. Área de la superficie Suponga que el radio r y el área de la su-perficie S =4pr2de una esfera son funciones diferenciables de t.
Escriba una ecuación que relacione con .
3. Volumen El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se relacionan con el volumen V del cilindro mediante la fórmula a. ¿Cómo se relaciona con si r es constante? b. ¿Cómo se relaciona con si h es constante?
c. ¿Cómo se relaciona con y si r y h no son constantes?
4. Volumen El radio r y la altura h de un cono circular recto se re-lacionan con el volumen V del cono mediante la fórmula a. ¿Cómo se relaciona con si r es constante? b. ¿Cómo se relaciona con si h es constante?
c. ¿Cómo se relaciona con y si r y h no son constantes?
5. Cambio de voltaje El voltaje V (en volts), la corriente I (en am-peres) y la resistencia R (en ohms) de un circuito eléctrico como el que se muestra aquí se relacionan mediante la ecuación V =IR.
Suponga que V está creciendo a una tasa de 1 volt seg, mientras que I está decreciendo a una tasa de 1 3 amperes seg. Sea t el tiempo en segundos.
a. ¿Cuál es el valor de ? b. ¿Cuál es el valor de ?
c. ¿Qué ecuación relaciona con y ?
d. Encuentre la razón a la que cambia R cuando V=12 volts e I =2 amperes. ¿R está creciendo o decreciendo?
6. Corriente eléctrica La corriente P (en watts) de un circuito eléctrico se relaciona con la resistencia R (en ohms) y la corriente I (en amperes) del circuito mediante la ecuación
a. ¿Cómo se relacionan , y si P, R e I no son constantes.
b. ¿Cómo se relaciona con si P es constante? 7. Distancia Sean x y y funciones diferenciables de t y sea
la distancia entre los puntos (x, 0) y (0, y) en el plano xy.
a. ¿Cómo se relacionads>dtcon dx>dtsi y es constante? s = 2x2 + y2 dI>dt dR>dt dI>dt dR>dt dP>dt P = RI2. dI>dt dV>dt dR>dt dI>dt dV>dt V R I > > > dh>dt dr>dt dV>dt dr>dt dV>dt dh>dt dV>dt V = s1>3dpr2h . dh>dt dr>dt dV>dt dr>dt dV>dt dh>dt dV>dt V = pr2h . dr>dt dS>dt dr>dt dA>dt
b. ¿Cómo se relaciona con y si x y y no son constantes?
c. ¿Cómo se relaciona con si s es constante? 8. Diagonales Si x, y y z son las longitudes de las aristas de una
caja rectangular, la longitud común de las diagonales de la caja es
a. Suponiendo que x, y y z son funciones diferenciables de t, ¿cómo se relaciona con , y ? b. ¿Cómo se relaciona con y si x es constante?
c. ¿Cómo se relaciona , y si s es constante? 9. Área El área A de un triángulo con lados de longitudes a y b
que encierran un ángulo de medida es
a. ¿Cómo se relaciona con si a y b son constantes? b. ¿Cómo se relaciona con y si solamente b
es constante?
c. ¿Cómo se relaciona con y si a, b y
no son constantes?
10. Calentamiento de un plato Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0.01 cm min. ¿A qué razón aumenta el área del plato cuando su radio mide 50 cm?
11. Cambio de las dimensiones de un rectángulo La longitud l de un rectángulo está decreciendo a razón de 2 cm seg mientras que su ancho, w, está creciendo a razón de 2 cm seg. Si l=12 cm y w=
5 cm, encuentre las razones de cambio de (a) el área, (b) el períme-tro y (c) las longitudes de las diagonales del rectángulo. ¿Cuáles de estas magnitudes están creciendo y cuáles están decreciendo? 12. Cambio de las dimensiones en una caja rectangular Suponga
que las aristas x, y y z de una caja rectangular cerrada están cam-biando a las tasas siguientes:
Encuentre las tasas a las que (a) el volumen, (b) el área de la su-perficie y (c) la longitud de la diagonal de la caja están cambiando en el instante en que y 13. Escalera que cae Una escalera de 13 pies está apoyada contra una casa cuando su base empieza a resbalarse. En el momento en que la base está a 12 pies de la casa, la base se está moviendo a una razón de 5 pies seg.
a. ¿Qué tan rápido se está resbalando por la pared la parte supe-rior de la escalera en ese momento?
b. ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento?
c. ¿A qué tasa está cambiando el ángulo entre la escalera y el suelo en ese momento?
u > z = 2 . x = 4, y = 3 s = 2x2 + y2 + z2 dx dt = 1 m>seg, dy dt = -2 m>seg, dz dt = 1 m>seg. > > > u db>dt du>dt, da>dt dA>dt da>dt du>dt dA>dt du>dt dA>dt A = 1 2absen u. u dz>dt dy>dt dx>dt dz>dt dy>dt ds>dt dz>dt dy>dt dx>dt ds>dt 2x2 + y2 + z2. s = dy>dt dx>dt dy>dt dx>dt ds>dt
14. Tránsito aéreo comercial Dos aviones comerciales están vo-lando a 40,000 pies a lo largo de recorridos en línea recta que se cortan en ángulos rectos. El avión A se aproxima al punto de in-tersección a una velocidad de 442 nudos (millas náuticas por hora; una milla náutica equivale a 2000 yardas). El avión B se aproxima a la intersección a 481 nudos. ¿A qué tasa está cambiando la dis-tancia entre los aviones cuando A está a 5 millas náuticas del pun-to de intersección y B está a 12 millas náuticas del mismo? 15. Vuelo de un papalote Una niña vuela un papalote que está a
300 pies de altura; el viento aleja el papalote horizontalmente a ra-zón de 25 pies seg. ¿Qué tan rápido debe soltar la cuerda la niña cuando el papalote está a 500 pies de ella?
16. Perforación de un cilindro El mecánico de la Automotriz Lincoln está volviendo a perforar un cilindro de 6 pulgadas de profundidad para poner un pistón nuevo. La máquina que están usando incre-menta el radio del cilindro una milésima de pulgada cada 3 minu-tos. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cilindro cuando la perforación (diámetro) mide 3.800 pulgadas?
17. Pila de arena La arena cae a la parte superior de una pila cóni-ca desde una banda transportadora, a una razón de La altura de la pila siempre es tres octavos del diámetro de la base. ¿Qué tan rápido cambian (a) la altura, y (b) el radio cuando la pi-la tiene 4 m de altura? Dé su respuesta en centímetros por minuto. 18. Vaciado de un depósito cónico Se está extrayendo agua de un depósito cónico de concreto (el vértice está hacia abajo) de radio 45 m y altura 6 m; el agua sale a razón de
a. ¿Qué tan rápido (en centímetros por minuto) baja el nivel del líquido cuando el agua tiene 5 m de profundidad?
b. ¿Qué tan rápido cambia el radio de la superficie del agua en ese momento? Dé su respuesta en centímetros por minuto. 19. Vaciado de un depósito hemisférico De un depósito de forma
hemisférica con radio 13 m, ilustrado aquí de perfil, el agua fluye a razón de Responda las siguientes preguntas, dado que el volumen del agua en el depósito hemisférico de radio R es cuando el agua tiene y metros de profun-didad.
r y
13 Centro de la esfera
Nivel del agua
V = sp>3dy2s3R - yd 6 m3>min. 50 m3>min 10 m3>min > x 0 y escalera de 13 pies y(t) x(t)
a. ¿A qué razón cambia el nivel del líquido cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
b. ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y m de profundidad?
c. ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 m de profundidad?
20. Gotas de lluvia Suponga que una gota de lluvia es una esfera perfecta y que, al condensarse, recoge humedad a una razón pro-porcional a su área superficial. Demuestre que en estas circuns-tancias el radio de la gota crece a una razón constante.
21. El radio de un globo inflado Se utiliza helio para inflar un glo-bo esférico a razón de ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo en el instante en que el radio mide 5 pies? ¿Qué tan rápido aumenta el área superficial?
22. Arrastre de un bote Se utiliza una cuerda para arrastrar un bote hacia el muelle. Un extremo de la cuerda está atada a la proa de la embarcación, y el otro a un aro ubicado en el muelle, en un punto 6 pies arriba de la proa. La cuerda se jala a una razón de 2 pies seg. a. ¿Qué tan rápido se acerca el bote al muelle cuando la cuerda
mide 10 pies?
b. ¿A qué razón cambia el ángulo en ese momento? (Vea la figura).
23. Un globo y una bicicleta Un globo se eleva verticalmente desde una superficie plana, a una razón constante de 1 pie seg. Justo cuando el globo está a 65 pies sobre dicha superficie, una bicicle-ta que se mueve a una velocidad consbicicle-tante de 17 pies seg pasa debajo de él. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia s(t) entre la bi-cicleta y el globo 3 segundos después?
y x 0 y(t) s(t) x(t) > > Aro en el borde del dique 6' u > 100p pie3>min .
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas
219
24. Preparación de café El café está pasando a través de un filtro cónico hasta una cafetera cilíndrica, a una razón de 10 pulg3Nmin.
a. ¿Qué tan rápido sube el nivel de líquido en la cafetera cuando el café del cono tiene 5 pulgadas de profundidad?
b. ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento?
25. Gasto cardiaco A finales de la década de 1860, Adolf Fick, profesor de fisiología de la Facultad de Medicina de Würzberg, Alemania, desarrolló uno de los métodos que usamos hoy en día para medir cuánta sangre bombea el corazón por minuto. El gasto cardiaco que realiza su organismo al momento de leer esta frase es probablemente de más o menos 7 L min. En reposo, el gasto puede ser un poco menor, aproximadamente de 6 L min. Si usted fuera un corredor de maratón, su gasto cardiaco durante la com-petencia podría llegar a 30 L min.
El gasto cardiaco puede calcularse con la fórmula
donde Q es la cantidad de mililitros de CO2que se exhala en un
minuto y D es la diferencia entre la concentración de CO2(mLNL) en la sangre bombeada a los pulmones y la concentración de CO2
en la sangre que regresa de los pulmones. Con y
bastante cercano a los 6 L min que casi todas las personas tienen en condición basal (es decir, en reposo). (Datos cortesía del Dr. J. Kenneth Herd, del Quillan College of Medicine, East Tennessee State University.)
Suponga que cuando Q=233 y D =41, también sabemos
que D está decreciendo a una razón de 2 unidades por minuto, pero Q permanece sin cambios. ¿Qué está pasando con el gasto cardiaco? > y = 233 mL>min 41 mL>L L 5.68 L>min , D = 97 - 56 = 41 mL>L , Q = 233 mL>min y = Q D, > > > 6" 6" 6"
¿Qué tan rápido se eleva este nivel? ¿Qué tan rápido disminuye este nivel?
26. Costo, ingresos y utilidades Una compañía puede fabricar x ar-tículos a un costo de c(x) miles de dólares, un ingreso por ventas de r(x) miles de dólares y utilidades de mi-les de dólares. Encuentre , y para los siguientes valores de x y de .
a.
b.
27. Movimiento a lo largo de una parábola Una partícula se mueve a lo largo de la parábola y =x2en el primer cuadrante, de manera
que sus coordenadas x (medidas en metros) crecen a una razón esta-ble de 10 m seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación
ude la recta que une la partícula con el origen cuando x=3 m? 28. Movimiento a lo largo de otra parábola Una partícula se
mue-ve de derecha a izquierda a lo largo de la parábola , de manera que sus coordenadas x (medidas en metros) decrecen a ra-zón de 8 m seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación
ude la recta que une la partícula con el origen cuando x=–4? 29. Movimiento en el plano Las coordenadas de una partícula en
el plano métrico xy son funciones diferenciables del tiempo t con ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre la partícula y el origen cuando pasa por el punto (5, 12)?
30. Movimiento de una sombra Un hombre de 6 pies de alto ca-mina a una razón de 5 pies seg hacia un farol cuya luz está a 16 pies del piso. ¿A qué razón se mueve la punta de su sombra? ¿A qué razón cambia la longitud de su sombra cuando está a 10 pies de la base del farol?
31. Otro movimiento de una sombra Una luz brilla desde el extre-mo de un poste de 50 pies de altura. Se lanza una pelota a la misma altura desde un punto ubicado a 30 pies de distancia de la luz. (Vea la figura). ¿Qué tan rápido se mueve la sombra de la pelota a lo largo del suelo segundo después? (Suponga que la pelota cae una distancia s =16t2pies en t segundos).
32. Filmación del movimiento de un automóvil Imagine que está filmando una carrera de automóviles desde una tribuna ubicada a 132 pies de la pista; su lente está siguiendo un automóvil que se mueve a 180 millas h (264 pies seg). ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo ude su cámara cuando el automóvil esté justo enfrente de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después?
> > x Luz 30 sombra 0 Poste de 50 pies Pelota en el tiempo t 0 1/2 segundo después x(t) NO ESTÁ A ESCALA 1>2 > -1 m>seg y dy>dt= -5 m>seg . dx>dt = > y = 1-x > cuando x = 1.5 rsxd= 70x, csxd =x3-6x2+45>x y dx>dt=0.05 cuando x = 2 rsxd = 9x, csxd = x3 - 6x2+ 15x y dx>dt = 0.1 dx>dt dp>dt dr>dt dc>dt psxd = rsxd - csxd
