Curso 2017/2018
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I
Pr´actica 4: Resoluci´on de ecuaciones
C´alculo de derivadas y Problemas de extremos
Resoluci´
on de ecuaciones y sistemas.
Para resolver una ecuaci´on utilizamos el comando solve de la siguiente manera:
solve(ecuaci´on, variable)
Si la ecuaci´on a resolver es de la forma f(x) = 0, basta con escribir f(x). Adem´as, si la ecuaci´on s´olo tiene una variable, no hace falta indicarla. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuaci´onx2−3x+ 2 = 0,escribiremos
Tambi´en se usa para resolver inecuaciones de la misma forma.
Si queremos resolver un sistema de ecuaciones utilizaremos la orden:
solve({ecuaci´on1, ecuaci´on2})
Supongamos ahora que queremos resolver la ecuaci´on sen (2x)−x= 0. 1
Mapleno puede resolver esta ecuaci´on a pesar de que en el gr´afico se aprecia que existen, al menos, tres soluciones. En estos casos usaremos el comando fsolve
fsolve(ecuaci´on, variable, opciones)
Por ejemplo, para la funci´on anterior:
Maple s´olo devuelve una de las tres soluciones. Para obtenerlas todas es necesario especi-ficar el intervalo d´onde queremos que busque la soluci´on. Por ejemplo,
devuelve la soluci´on en el intervalo (0.5,1.5). Para la tercera soluci´on s´olo habr´ıa que especificar, por ejemplo, el intervalo (−1.5,−0.5).
C´
alculo de derivadas
Para calcular la derivada de una funci´on de una variable o las derivadas parciales de una funci´on de varias variables se utiliza el comando diff. Los argumentos de este comando son la expresi´on de la funci´on que se deriva y la variable respecto de la que se deriva. As´ı la derivada de la funci´onf(x) se calcula con la orden:
diff(f(x), x)
Si se trata de una funci´on de dos variablesf(x, y), sus dos derivadas parciales se obtienen a partir de:
diff(f(x,y), x) diff(f(x,y), y)
y an´alogamente para cualquier n´umero de variables.
Para calcular derivadas de orden superior usamos el mismo operador. Por ejemplo,f′′(x) se calcula por:
diff(f(x), x, x)
Esta orden se puede simplificar mediante el operador $, escribi´endola de forma equivalente como:
diff(f(x), x$2)
y en general, para la derivada de orden n:
diff(f(x), x$n)
Por ejemplo, si queremos calcular la derivada primera y segunda de la funci´on f(x) = log( arctg (x2+ 1)),procedemos de la siguiente forma:
Las funciones de varias variables tienen el mismo tratamiento. Por ejemplo, para calcular ∂2f
∂x ∂y escribimos:
Extremos relativos y absolutos
Funciones de una variablePara determinar los extremos relativos de una funci´on f(x) comenzamos calculando los puntos cr´ıticos. Para ello resolvemos la ecuaci´on f′(x) = 0. Para averiguar si un punto cr´ıticox=x0 es m´aximo o m´ınimo relativo o punto de inflexi´on recurrimos a las derivadas
sucesivas. Para ello, debemos determinar el primer valor n de manera que f′(x0) =
f′′(x0) = · · ·=f(n−1)(x0) = 0 y f(n)(x0)̸= 0. En estas condiciones: •Si n es par f(n)(x0)>0 −→f(xi, yi) es un m´ınimo relativo f(n)(x0)<0 −→f(xi, yi) es un m´aximo relativo
•Si n es impar −→x0 es un punto de inflexi´on
Ejemplo: Calcular los extremos relativos y absolutos de la funci´on f(x) = x
2
x2 + 3 en el intervalo [−1,1].
1. Hallamos los puntos cr´ıticos:
2. Evaluamos las derivadas sucesivas en el punto cr´ıtico x= 0 hasta que encontremos
un valor distinto de cero.
Puesto que la derivada segunda ha resultado ser positiva,deducimos que la funci´on
tiene un m´ınimo relativo enx= 0.
3. Para determinar los extremos absolutos basta con evaluar la funci´on en cada punto
Por tanto, la funci´on tiene m´ınimo absoluto en x = 0 y m´aximos absolutos en x=−1 y x= 1.
Funciones de dos variables
Para calcular los extremos relativos de una funci´onf(x, y) procedemos en dos etapas: 1. Hallar los puntos cr´ıticos (xi, yi), es decir, las soluciones del sistema:
∂f ∂x(x, y) = 0 ∂f ∂y(x, y) = 0
2. Calcular el hessiano en cada punto cr´ıtico H(xi, yi) y estudiar su signo:
•H(xi, yi)>0 ∂2f
∂x2(xi, yi)>0 −→f(xi, yi) es un m´ınimo relativo
∂2f
∂x2(xi, yi)<0 −→f(xi, yi) es un m´aximo relativo
•H(xi, yi)<0 −→(xi, yi) es un punto de silla
En cualquier otro caso, no hay un resultado te´orico que nos asegure lo que ocurre es este punto cr´ıtico y, en general, recurriremos a observar la gr´afica de la funci´on.
Ejemplo: Calcular los extremos relativos de la funci´onf(x, y) =x3−6xy+y3+ 40.
1. Hallamos los puntos cr´ıticos:
De esta manera, obtenemos que la funci´on tiene dos puntos cr´ıticos: (0,0) y (2,2).
2. Calculamos el hessiano y, si fuese necesario, la ∂
2f
Como el hessiano es negativo en (0,0), se trata de un punto de silla. Por otra parte,
en el punto (2,2) hay un m´ınimo relativo, ya que tanto el hessiano como ∂
2f
∂x2(2,2) son
positivos. Observemos la representaci´on de la superficie:
(0,0) (2,2) –2 –1 0 x1 2 3 4 0 2 4 y 0 20 40 60 80 100 120 140
Ejercicios
Ejercicio 1. Resolver las ecuaciones e inecuaciones siguientes mediante el comandosolve: (a)logx−1 = 0 (b) a x2+b x+c= 0 (c) 2x−4 3 + 3x+ 1 3 < 2x−5 12
Ejercicio 2. Hallar el dominio de las siguientes funciones: (a)f(x) =
√
(x−1)(x−2)(x−3) (b) g(x) = log(x2−5x+ 6)
Ejercicio 3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
(a) { x2y2 = 0 x−y−1 = 0 (b) x−2y−3z = 3 2x−y−4z = 7 3x−3y−5z = 8
Ejercicio 4. Resolver las siguientes ecuaciones usando el comando fsolve. Elige la respuesta apropiada en cada caso:
(a) x2− sen (4x) + cos(3x) = 0.
i Tiene 4 soluciones y sonx=−1.287390787, x=−0.7658909062, x= 0.2374267465 y x= 0.8108160777
ii Tiene una ´unica soluci´on enx= 0.2374267465
iii Tiene 4 soluciones y sonx=−1.29345678, x=−0.7890906245, x= 0.2374267465 y x= 0.86432245
(b) log(x2+ 4) +x2−3 = 0. i No tiene soluci´on
ii x=−1.152032248 y x= 1.152032248 iii x= 1.152032248
Ejercicio 5. Marca la respuesta apropiada en cada caso:
(a) La derivada segunda de la funci´on sen2x es
i 0
ii 2 cos2(x)−2 sen2(x) iii −4 sen (x2)x2+ 2 cos(x2)
(b) La derivada de la funci´on arctg (√ 1
x+ 2) en x= 0 es
i −0.1178511302
ii −1
iii −0.1767766953D(arctg)(12√2)
(c) La derivada de la funci´on sen√3 x+√3 senx enx=π/2 es i 0.09795489352
ii 0.2886751344 iii −0.4307539343
Ejercicio 6. Hallar los extremos absolutos de la funci´on f(x) = arctgx− 12log(1 +x2)
en el intervalo [0,2].
Ejercicio 7. Hallar los m´aximos, m´ınimos relativos y puntos de silla de las siguientes funciones: