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Resolución de ecuaciones y sistemas.

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Academic year: 2021

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Curso 2017/2018

Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I

Pr´actica 4: Resoluci´on de ecuaciones

C´alculo de derivadas y Problemas de extremos

Resoluci´

on de ecuaciones y sistemas.

Para resolver una ecuaci´on utilizamos el comando solve de la siguiente manera:

solve(ecuaci´on, variable)

Si la ecuaci´on a resolver es de la forma f(x) = 0, basta con escribir f(x). Adem´as, si la ecuaci´on s´olo tiene una variable, no hace falta indicarla. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuaci´onx23x+ 2 = 0,escribiremos

Tambi´en se usa para resolver inecuaciones de la misma forma.

Si queremos resolver un sistema de ecuaciones utilizaremos la orden:

solve({ecuaci´on1, ecuaci´on2})

Supongamos ahora que queremos resolver la ecuaci´on sen (2x)−x= 0. 1

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Mapleno puede resolver esta ecuaci´on a pesar de que en el gr´afico se aprecia que existen, al menos, tres soluciones. En estos casos usaremos el comando fsolve

fsolve(ecuaci´on, variable, opciones)

Por ejemplo, para la funci´on anterior:

Maple s´olo devuelve una de las tres soluciones. Para obtenerlas todas es necesario especi-ficar el intervalo d´onde queremos que busque la soluci´on. Por ejemplo,

devuelve la soluci´on en el intervalo (0.5,1.5). Para la tercera soluci´on s´olo habr´ıa que especificar, por ejemplo, el intervalo (1.5,0.5).

alculo de derivadas

Para calcular la derivada de una funci´on de una variable o las derivadas parciales de una funci´on de varias variables se utiliza el comando diff. Los argumentos de este comando son la expresi´on de la funci´on que se deriva y la variable respecto de la que se deriva. As´ı la derivada de la funci´onf(x) se calcula con la orden:

(3)

diff(f(x), x)

Si se trata de una funci´on de dos variablesf(x, y), sus dos derivadas parciales se obtienen a partir de:

diff(f(x,y), x) diff(f(x,y), y)

y an´alogamente para cualquier n´umero de variables.

Para calcular derivadas de orden superior usamos el mismo operador. Por ejemplo,f′′(x) se calcula por:

diff(f(x), x, x)

Esta orden se puede simplificar mediante el operador $, escribi´endola de forma equivalente como:

diff(f(x), x$2)

y en general, para la derivada de orden n:

diff(f(x), x$n)

Por ejemplo, si queremos calcular la derivada primera y segunda de la funci´on f(x) = log( arctg (x2+ 1)),procedemos de la siguiente forma:

Las funciones de varias variables tienen el mismo tratamiento. Por ejemplo, para calcular 2f

∂x ∂y escribimos:

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Extremos relativos y absolutos

Funciones de una variable

Para determinar los extremos relativos de una funci´on f(x) comenzamos calculando los puntos cr´ıticos. Para ello resolvemos la ecuaci´on f′(x) = 0. Para averiguar si un punto cr´ıticox=x0 es m´aximo o m´ınimo relativo o punto de inflexi´on recurrimos a las derivadas

sucesivas. Para ello, debemos determinar el primer valor n de manera que f′(x0) =

f′′(x0) = · · ·=f(n−1)(x0) = 0 y f(n)(x0)̸= 0. En estas condiciones: Si n es par    f(n)(x0)>0 −→f(xi, yi) es un m´ınimo relativo f(n)(x0)<0 −→f(xi, yi) es un m´aximo relativo

Si n es impar −→x0 es un punto de inflexi´on

Ejemplo: Calcular los extremos relativos y absolutos de la funci´on f(x) = x

2

x2 + 3 en el intervalo [1,1].

1. Hallamos los puntos cr´ıticos:

2. Evaluamos las derivadas sucesivas en el punto cr´ıtico x= 0 hasta que encontremos

un valor distinto de cero.

Puesto que la derivada segunda ha resultado ser positiva,deducimos que la funci´on

tiene un m´ınimo relativo enx= 0.

3. Para determinar los extremos absolutos basta con evaluar la funci´on en cada punto

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Por tanto, la funci´on tiene m´ınimo absoluto en x = 0 y m´aximos absolutos en x=1 y x= 1.

Funciones de dos variables

Para calcular los extremos relativos de una funci´onf(x, y) procedemos en dos etapas: 1. Hallar los puntos cr´ıticos (xi, yi), es decir, las soluciones del sistema:

         ∂f ∂x(x, y) = 0 ∂f ∂y(x, y) = 0

2. Calcular el hessiano en cada punto cr´ıtico H(xi, yi) y estudiar su signo:

•H(xi, yi)>0          2f

∂x2(xi, yi)>0 −→f(xi, yi) es un m´ınimo relativo

2f

∂x2(xi, yi)<0 −→f(xi, yi) es un m´aximo relativo

•H(xi, yi)<0 −→(xi, yi) es un punto de silla

En cualquier otro caso, no hay un resultado te´orico que nos asegure lo que ocurre es este punto cr´ıtico y, en general, recurriremos a observar la gr´afica de la funci´on.

Ejemplo: Calcular los extremos relativos de la funci´onf(x, y) =x36xy+y3+ 40.

1. Hallamos los puntos cr´ıticos:

De esta manera, obtenemos que la funci´on tiene dos puntos cr´ıticos: (0,0) y (2,2).

2. Calculamos el hessiano y, si fuese necesario, la

2f

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Como el hessiano es negativo en (0,0), se trata de un punto de silla. Por otra parte,

en el punto (2,2) hay un m´ınimo relativo, ya que tanto el hessiano como

2f

∂x2(2,2) son

positivos. Observemos la representaci´on de la superficie:

(0,0) (2,2) –2 –1 0 x1 2 3 4 0 2 4 y 0 20 40 60 80 100 120 140

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Ejercicios

Ejercicio 1. Resolver las ecuaciones e inecuaciones siguientes mediante el comandosolve: (a)logx−1 = 0 (b) a x2+b x+c= 0 (c) 2x4 3 + 3x+ 1 3 < 2x5 12

Ejercicio 2. Hallar el dominio de las siguientes funciones: (a)f(x) =

(x1)(x2)(x3) (b) g(x) = log(x25x+ 6)

Ejercicio 3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

(a) { x2y2 = 0 x−y−1 = 0 (b)      x−2y3z = 3 2x−y−4z = 7 3x3y5z = 8

Ejercicio 4. Resolver las siguientes ecuaciones usando el comando fsolve. Elige la respuesta apropiada en cada caso:

(a) x2 sen (4x) + cos(3x) = 0.

i Tiene 4 soluciones y sonx=1.287390787, x=0.7658909062, x= 0.2374267465 y x= 0.8108160777

ii Tiene una ´unica soluci´on enx= 0.2374267465

iii Tiene 4 soluciones y sonx=1.29345678, x=0.7890906245, x= 0.2374267465 y x= 0.86432245

(b) log(x2+ 4) +x23 = 0. i No tiene soluci´on

ii x=1.152032248 y x= 1.152032248 iii x= 1.152032248

Ejercicio 5. Marca la respuesta apropiada en cada caso:

(a) La derivada segunda de la funci´on sen2x es

i 0

ii 2 cos2(x)2 sen2(x) iii 4 sen (x2)x2+ 2 cos(x2)

(b) La derivada de la funci´on arctg ( 1

x+ 2) en x= 0 es

i 0.1178511302

ii 1

(8)

iii 0.1767766953D(arctg)(122)

(c) La derivada de la funci´on sen3 x+3 senx enx=π/2 es i 0.09795489352

ii 0.2886751344 iii 0.4307539343

Ejercicio 6. Hallar los extremos absolutos de la funci´on f(x) = arctgx− 12log(1 +x2)

en el intervalo [0,2].

Ejercicio 7. Hallar los m´aximos, m´ınimos relativos y puntos de silla de las siguientes funciones:

Referencias

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