Introducción de números irracionales representados en radicales de orden dos de números naturales en el aula escolar

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(1)Facultad de Educación. Introducción de Números Irracionales representados en Radicales de orden dos de números naturales en el aula escolar. Tesis para optar al grado de Magíster en Didáctica de la Matemática Por Manuel Levín Silva. Profesora Guía: Dra. María Soledad Montoya González Profesor Informante: Dr. Roberto Vidal Cortés. Santiago, Chile Año 2017.

(2) II.

(3) Agradecimientos A mis colegas y estudiantes Agradezco a todas las personas que conocí a lo largo de mi trabajo como profesor de Matemática, especialmente a aquellos colegas y estudiantes que me entregaron en cada momento un nuevo aprendizaje sobre mi labor como docente.. A mis compañeros y profesores del programa Muchas gracias por compartir sus conocimientos y experiencias, especialmente aquellas relacionadas con Didáctica de la Matemática la cual, en el pasado, desconocía. Ahora sé que tengo mucho por aprender. Jennifer Tu constante amor y apoyo han sido un pilar fundamental en este proceso. Te amo. A mis padres Gracias por darme su amor, apoyo y el regalo más importante de todos: la vida. III.

(4) Contenido Resumen ....................................................................................................... VI Introducción.................................................................................................... 1 Capítulo I: Problemática y Objetivos .............................................................. 5 1.1 Problemática y pregunta de investigación ............................................ 5 1.2 Objetivo General y Específicos ............................................................. 6 Capítulo II: Antecedentes ............................................................................... 7 2.1 Uso de referentes históricos para abordar el número irracional en la escuela ....................................................................................................... 7 2.2 Errores conceptuales asociados al número irracional........................... 8 2.3 Propuestas de enseñanza y aprendizaje que consideren al número irracional ..................................................................................................... 9 2.4 Análisis del programa de estudio ........................................................ 10 2.5 Análisis de dos textos escolares ......................................................... 13 2.5.1 Texto Distribuido por el MINEDUC ............................................... 14 2.5.2 Matemática Bicentenario Segundo Medio .................................... 17 Capítulo III: Número Irracional ..................................................................... 22 3.1. Descripción histórica ....................................................................... 22. 3.2 Aspectos Epistemológicos .................................................................. 28 3.3 Estatus actual de los números irracionales ......................................... 29 Capítulo IV: Marco Referencial .................................................................... 36 4.1 Teoría de las Situaciones Didácticas .................................................. 37 4.2 Noción matemática, protomatemática y paramatemática ................... 41 Capítulo V: Metodología ............................................................................... 42 5.1 Enfoque metodológico y tipo de estudio ............................................. 42 5.2 Descripción de la Ingeniería Didáctica y los elementos que se utilizaron. .................................................................................................. 43 5.3 Selección de participantes y recolección de la información ................ 45 5.4 Etapas de trabajo ................................................................................ 46 Capítulo VI: Propuesta Didáctica ................................................................. 49 6.1 Descripción ......................................................................................... 49 6.2 Análisis a priori de las situaciones involucradas en la propuesta ....... 52 6.2.1 Sesión 1: Algoritmo de Euclides ................................................... 52 IV.

(5) 6.2.2 Sesión 2: Número irracional como noción protomatemática ......... 59 6.2.3 Sesión 3: Ubicación en la recta numérica ..................................... 72 Capítulo VII: Análisis de Resultados ............................................................ 80 7.1 Análisis aposteriori .............................................................................. 80 7.1.1.1 Situación 1 ................................................................................. 81 7.1.1.2 Situación 2 ................................................................................. 92 7.1.2.1 Situación 3 ................................................................................. 97 7.1.2.2 Situación 4 ............................................................................... 106 7.1.2.3 Situación 5 ............................................................................... 113 7.1.3.1 Situación 6 ............................................................................... 122 7.1.3.2 Situación 7 ............................................................................... 131 7.2 Confrontación de los análisis apriori y aposteriori ............................. 136 Capítulo VIII: Conclusiones ........................................................................ 153 Bibliografía ................................................................................................. 159 Anexos ....................................................................................................... 162 Anexo 1: Situación previa para la primera sesión ......................................... 163. Anexo 2: Situación 1 ............................................................................... 168 Anexo 3: Situación 3 ............................................................................... 170 Anexo 4: Situación 4 ............................................................................... 173 Anexo 5: Situación 5 ............................................................................... 174 Anexo 6: Situación previa para la tercera sesión .................................... 177 Anexo 7: Situación 6 ............................................................................... 178 Anexo 8: Situación 7 ............................................................................... 182. V.

(6) Resumen Este trabajo presenta elementos de aquellos números irracionales que pueden ser representados en la forma √𝑎, 𝑎 ∈ ℕ, para ser implementados en el aula escolar dentro de un estudio inicial de estos números. Se realiza un análisis de este concepto desde: la postura del Ministerio de Educación de Chile, análisis histórico-epistemológicos realizados por diversos autores, investigaciones que evidencian fenómenos relacionados con el estudio de este objeto en la escuela, y el estudio de propuestas de enseñanza y aprendizaje, y con ello obtener elementos fundamentales para la introducción de estos números. Posteriormente se diseña una propuesta didáctica usando como marco referencial la Teoría de las Situaciones Didácticas. Esta propuesta es construida y evaluada usando como metodología la Ingeniería Didáctica, aplicándose en un grupo de estudiantes del sistema escolar. Se concluye que el algoritmo de Euclides y el teorema de Pitágoras son aspectos relevantes para introducir estos números desde la construcción de una noción de inconmensurabilidad, además de tener presente los errores de medida que pueden ocasionar las construcciones geométricas, especialmente en la ubicación de estos números en la recta numérica.. VI.

(7) VII.

(8) Introducción Los números irracionales han marcado un cambio importante en el estudio de la Matemática y en la consideración de lo que es un número, ya que desde su emergencia en la época de los Pitagóricos (Siglo IV a.C.) hasta su definición formal por parte de importantes Matemáticos de los siglos XVII, XVIII y XIX han pasado por momentos de aceptación y rechazo. Se cuestionó si es un número o si su existencia solo se da en magnitudes las cuales son de distinta naturaleza que los números, además de la forma de definirlos y representarlos mediante símbolos, o si todos estos emergen de la misma clasificación de problemas o existen diferentes categorías de números irracionales, lo cual muestra su extenso proceso de aceptación La matemática escolar no es ajena al problema del estudio de los números irracionales, ya que estos están contemplados dentro del curriculum nacional Chileno en el programa de estudio de segundo año medio (MINEDUC, 2011), donde existen inquietudes sobre la forma en que estos pueden ser introducidos y abordados en las clases de Matemática. El presente trabajo se centra en el estudio, por parte de estudiantes, de los números irracionales desde su presencia en medidas de triángulos rectángulos las cuales culminan en una expresión de la forma √𝑎, 𝑎 ∈ ℕ, esto con el propósito de iniciar su construcción como una noción que permita a futuro definirlo formalmente culminando en un objeto matemático adquirido por el estudiante. El número irracional supone un desafío dado que hasta años anteriores las estudiantes no han cuestionado sobre la posibilidad de que existan números cuya expresión decimal tenga un desarrollo decimal infinito no periódico, además de que estos son necesarios para pasar del sistema de los números racionales al de los reales con ello avanzar en el estudio de temas relevantes para la Matemática como lo son el análisis, por ejemplo. Es por ello que este tipo de número ha captado la atención de diversos investigadores del área de Didáctica de la Matemática, esto con el propósito 1.

(9) de obtener información relevante para acercar cada vez más la adquisición de este objeto en el estudiante del sistema escolar. Hay investigaciones que evidencian errores conceptuales que presenta el alumnado respecto a estos números, además de algunas propuestas didácticas que contemplan su estudio para los estudiantes. El foco de este trabajo es en obtener datos que puedan ser de utilidad para la incorporación del estudio de los irracionales en el aula desde un enfoque introductorio, considerando elementos que permitan su emergencia en el aula desde un trabajo realizado por los estudiantes, situándose en los contextos geométricos donde estos están presentes. Para lograr este propósito se usa como referente la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau para el diseño de una propuesta didáctica, contemplando en su construcción y posterior evaluación la metodología propuesta por la Ingeniería Didáctica, esto con el objeto de reunir aspectos importantes de estos números para ser llevados al aula y con ello permitir la construcción de conocimientos por parte del educando, y observar la interacción de ellos con las actividades para evaluar esta presentación de los factores considerados en la propuesta. Para efectos de presentación de este trabajo, se han organizado los siguientes capítulos que muestran el estudio y sus resultados desde el origen de la problemática hasta las conclusiones obtenidas del proceso realizado: -. Capítulo I: Problemática y Objetivos Este contempla los antecedentes que hacen surgir la problemática a estudiar, además de la pregunta de investigación y los objetivos que permitirán responder dicha inquietud. -. Capítulo II: Antecedentes Esta incluye aquellos estudios e informaciones que justifican este estudio. Esta bibliografía contempla investigaciones realizadas en el 2.

(10) área de la Didáctica de la Matemática, propuestas de enseñanza y aprendizaje relacionadas con los irracionales y las directrices entregadas por los programas de estudio ministeriales Chilenos (MINEDUC, 2011) y los textos escolares de segundo año medio del mismo periodo.. -. Capítulo III: Número Irracional Trata el estudio de los números irracionlaes desde un enfoque histórico. y. epistemológico,. tomando. como. referencia. las. investigaciones realizadas por diversos autores. Además este incluye el concepto de número irracional desde el enfoque de las sucesiones de Cauchy. -. Capítulo IV: Marco Referencial Este muestra los elementos de la Teoría de las Situaciones Didácticas que serán usados en este trabajo, con el propósito de tener un referente para la construcción de la propuesta a aplicar.. -. Capítulo V: Metodología Trata sobre los elementos de la ingeniería Didáctica que serán usados a lo largo de este trabajo, el cual enmarca las fases de la investigación realizada con el propósito de diseñar y evaluar la propuesta.. -. Capítulo VI: Propuesta Didáctica Esta contempla las características que tendrá la propuesta didáctica diseñada a partir de los datos recopilados en capítulos anteriores, esto en conjunto con los elementos del marco referencial y las fases de la metodología que tienen relación con esta concepción inicial.. -. Capítulo VII: Análisis de los resultados 3.

(11) Este capítulo se centra en el estudio de las producciones de las estudiantes ante la aplicación de la propuesta, esto con la intención de recopilar aquellos elementos relevantes a ser considerado en futuras propuestas y también para verificar los objetivos de la propuesta que fueron logrados, y obtener las razones del por qué algunos no surtieron los efectos deseados. -. Capítulo VIII: Conclusiones Contempla las conclusiones obtenidas a partir del trabajo realizado, esto con el propósito de responder la pregunta de investigación planteada en el capítulo I.. 4.

(12) Capítulo I Problemática y Objetivos 1.1 Problemática y pregunta de investigación En la matemática escolar existen problemas presentes en el estudio de los números irracionales, tales como las concluidas por Zazkis y Sirotic (2004) que tienen relación con la construcción incompleta o errónea de su concepto, la no aceptación de algunas de sus representaciones como números (por ejemplo la escrita en forma de radical), la creencia de que sus aproximaciones racionales son el número irracional en sí, la escases en la consideración de referentes históricos para abordar su estudio y la no aceptación de que estos pueden ser ubicados en la recta. Por otra parte existen propuestas de enseñanza y aprendizaje para estos números pero son escasas las que están centradas exclusivamente en el número irracional, especialmente las que consideran su estudio desde la inconmensurabilidad. Al mismo tiempo se hace necesario el diseño de propuestas que permitan la construcción de una noción de número irracional que esté en vías de formar una noción matemática (Vidal s.f), y para ello se requiere de la búsqueda de elementos que permitan la formación de esta propuesta de acuerdo a las características antes expuestas. Dado lo anterior, planteamos un problema en relación a la enseñanza sobre el número irracional que provoca la necesidad de identificar aspectos de estos números que permitan la construcción de una propuesta didáctica para ellos que considere elementos históricos para su emergencia y que a su vez permita generar una noción de ella que esté en vías de ser un objeto matemático. Bajo este contexto, planteamos la siguiente pregunta: ¿Qué elementos debe considerar una propuesta didáctica para la noción de número irracional como objeto protomatemático, tomando como referencia. 5.

(13) elementos de la inconmensurabilidad y la ubicación de estos en la recta numérica?. 1.2 Objetivo General y Específicos Para dar respuesta a la pregunta de investigación, este trabajo considera el siguiente objetivo general y, en consecuencia, los siguientes objetivos específicos:. Objetivo General: Evaluar una propuesta didáctica para la noción de número irracional como objeto protomatemático, el cual considera elementos de la inconmensurabilidad y la ubicación de expresiones de la forma √𝑎, 𝑎 ∈ ℕ, que no son enteros en la recta numérica. Objetivos Específicos: -. Diseñar una propuesta didáctica que lleve a construir una noción de número irracional como objeto protomatemático, tomando como primera. instancia. un. análisis. preliminar. de. este. objeto. y. construyéndola usando la Teoría de las Situaciones Didácticas -. Caracterizar las respuestas de los estudiantes a las diferentes actividades del diseño didáctico.. -. Evaluar la propuesta, a la luz de las características de las respuestas de los alumnos.. -. Recopilar elementos relevantes a considerar para futuras propuestas didácticas. centradas. en. el. número. irracional. desde. la. inconmensurabilidad y su ubicación en la recta numérica.. 6.

(14) Capítulo II Antecedentes A continuación se dan a conocer los antecedentes que justifican la investigación. 2.1 Uso de referentes históricos para abordar el número irracional en la escuela En el contexto del estudio de los números irracionales en la escuela, Priore, Gervasoni y Mariani (2013) realizan un estudio sobre la evolución de estos números en la educación escolar Uruguaya, donde uno de sus focos de investigación fue encuestar a un grupo de 20 profesores los cuales, entre otras conclusiones, determinaron que ellos no consideran referentes históricos a la hora de estudiar los irracionales en el aula y el tiempo dedicado a su estudio es muy escaso. Sánchez y Valdivé (2014) estudian dos textos escolares Venezolanos y un texto que contempla el estudio de los sistemas numéricos, y de ello obtiene que solo uno muestra algunos de los problemas históricos de estos números, pero estos son usados como anécdota en lugar de tomar los elementos que pueden ser llevados al aula para que los alumnos construyan aprendizaje. Reina, Wilhelmi, y Lasa (2012) estudian los diferentes significados de los irracionales a lo largo de su desarrollo histórico para posteriormente realizar un análisis de textos de estudio, de lo cual concluyen que a pesar de que los textos muestran la diferencia entre número racional e irracional, no hay una introducción que lo haga emerger desde una necesidad para justificar su estudio o su inclusión en el repertorio de conocimientos matemáticos, por lo que podría generarse una pérdida de sentido por parte del estudiante de esta noción, esto provocado por la escasa consideración de las propiedades entregadas a lo largo de su historia.. 7.

(15) Los aspectos históricos aportan elementos como las condiciones que provocaron la emergencia del objeto, los aspectos que facilitaron o impidieron su aceptación y evolución, el cómo fue interpretada y aceptada en los distintos momentos históricos, los cuales pueden ser usados para su estudio en la escuela (González, 2004). Además estos permiten vislumbrar a posibles escenarios dentro del desarrollo de la clase, como la presencia de factores que pueden impedir la apropiación del conocimiento las cuales pueden ser similares a las presenciadas en los distintos momentos históricos (González, 2004). 2.2 Errores conceptuales asociados al número irracional En cuanto a los errores conceptuales asociados a estos números, Crespo (2009) estudia tres conversaciones generadas en clase de matemática, donde observa que los estudiantes no aceptan la escritura en forma de radical como una representación de un número, sino que lo asocian al ámbito aritmético y lo consideran un “cálculo sin terminar” el cual finalizan con el uso de la calculadora. Además, consideran a las aproximaciones racionales asociadas como el número a los cuales estos aproximan, tomando tantas cifras decimales como deseen sin siquiera diferenciar entre estas, y estos pensamientos son reforzados por los resultados entregados por la calculadora, los cuales son incuestionables. Sirotic y Zazkis (2004) realizan una encuesta a un grupo de estudiantes de pedagogía secundaria para observar los conceptos que tienen de número racional e irracional, de las cuales detectan la existencia de falencias en su construcción las cuales provienen de una definición incompleta. Por ejemplo, pensar que el número 0,1234567… es racional porque tiene “una secuencia” sin considerar que no es una secuencia cualquiera, o errónea de estas, esto es pensar que un número representado como cociente entre dos enteros es irracional por el hecho de que la aproximación decimal entregada por la calculadora no muestra periodo.. 8.

(16) Por otro lado García, Serrano y Díaz (1999) analizan los motivos de las dificultades que presenta la comprensión del concepto de número real en Colombia desde tres dimensiones: Epistemológica, curricular y del estudiante, donde el análisis del último aspecto mencionado permitió concluir que, entre otras dificultades, se destacan las relacionadas con la correspondencia entre un número representado en expresión decimal y un punto de la recta numérica ya que no aceptan que un número de infinitas cifras decimales pueda ser ubicado en esta, y también están las relacionadas con las representaciones de los números reales, donde ellos no aceptan que un radical cuadrado pueda representar un número.. 2.3 Propuestas de enseñanza y aprendizaje que consideren al número irracional Correa y González (2015) diseñan una propuesta para estudiantes que ya les enseñaron los números irracionales, esto se debe a que detectaron errores conceptuales posteriores a la enseñanza por lo que deciden volver a generar instancias de aprendizaje. Además Sánchez (2012) construye una propuesta didáctica para el número de oro (φ) desde un enfoque interdisciplinario, incorporando elementos presentes en otras ciencias y áreas como las artes. Puerto (2011) diseña unidades didácticas para el número real donde contempla el estudio de los irracionales, donde el primer trabajo con ellos se realiza con apoyo de la calculadora, además de que su ubicación en la recta numérica es por medio de aproximaciones sucesivas y finalmente entrega en algunas instancias los procesos ya realizados, con la intención de que los estudiantes observen de dónde provienen ciertas propiedades. Finalmente Martínez (2014) fabrica una propuesta para el número real con un enfoque a las fracciones continuas, donde muestra al estudiante procesos ya finalizados en su construcción con el propósito de ser estudiados y con ello responder preguntas sobre la naturaleza de los resultados obtenidos y la ejecución de los algoritmos ya mostrados en 9.

(17) nuevos casos. En las propuestas antes mencionadas, las únicas que tratan el tema de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad son Martínez (2014) pero con la unidad de medida ya entregada en lugar de ser diseñada por los estudiantes,. y. Puerto. (2011). quien. trabaja. únicamente. con. la. conmensurabilidad.. 2.4 Análisis del programa de estudio El estudio de los números irracionales está presente desde el segundo año de enseñanza media de los planes y programas de estudio del año 2011 en la unidad de números (MINEDUC, 2011), el cual está vigente en el año 2017. Uno de sus propósitos es introducir el estudio de estos números comprendiendo sus características y propiedades, además de poder establecer relaciones de orden entre ellos, ubicarlos en la recta numérica,. aproximarlos. y. realizar. operaciones. que. los. involucren. (MINEDUC, 2011). Los contenidos asociados al número irracional son “Números irracionales y sus propiedades” (MINEDUC, 2011) las cuales ponen de manifiesto su estudio y el de sus propiedades, pero no menciona aquellas características a abordar en el aula. Por otro lado las habilidades a adquirir están relacionadas con reconocer situaciones problemáticas que puedan ser resueltas con estos números, identificarlos como aquellos que tienen un desarrollo decimal infinito no periódico y que no pueden ser expresados como fracción (MINEDUC, 2011), aproximarlos con algún método, conjeturar sobre el valor resultante de una suma, resta, multiplicación o división entre ellos, y ubicar radicales en la recta numérica mediante alguna estrategia. Es importante destacar que todas las habilidades presentadas ponen de. manifiesto. las. características. y. propiedades que interesan estudiar sobre el número irracional. Además de lo anterior, los aprendizajes esperados (AE) que involucran directamente estos números son:. 10.

(18) AE1: Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales. Las actividades sugeridas son en un contexto geométrico donde deben conjeturar sobre la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, y de cálculo del radical de un número primo, usando diferentes calculadoras en ambos casos para poder conjeturar sobre la naturaleza de estos números. AE2: Aproximar números irracionales por defecto, exceso y por redondeo. Las actividades sugeridas tienen relación con aproximar radicales de números primos por alguna de las formas antes mencionadas y con una cantidad determinada de cifras decimales. AE3: Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica. Las actividades propuestas tienen relación con ubicar estos números mediante procesos geométricos (construcción de triángulos rectángulos y uso de compás). AE4: Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales. Se propone que los estudiantes trabajen con diferentes operaciones entre irracionales para conjeturar sobre la naturaleza de los resultados de estos (en el sentido de mencionar si estos son irracionales o de otro conjunto). AE5: Comprender que los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. No se presentan actividades sugeridas, sin embargo existen actividades sugeridas para otros aprendizajes esperados que tratan el estudio de los reales.. Estos aprendizajes complementan la información entregada por los contenidos y las habilidades dado que cubre los vacíos no explicados en las partes anteriores, además de que las habilidades a adquirir por los estudiantes están en directa relación con los aprendizajes esperados. 11.

(19) Por otro lado las orientaciones didácticas manifiestan la importancia del conjunto de los irracionales en la posibilidad de resolver problemas que no tienen solución en el sistema de los números racionales y que la unión de ambos conjuntos forma el sistema de los números reales. Además se enfatiza el hecho de que los irracionales no pueden ser expresados de la forma. 𝑎 𝑏. , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ − {0} y que esto debe ser aceptado hasta que se. demuestre la irracionalidad de algunos números (por ejemplo √2 ), sugiriendo que los estudiantes aprobarán este hecho con mayor facilidad mediante su expresión decimal dado que este tiene un desarrollo decimal infinito no periódico y con ello se aprovecha observar las limitaciones que presentan las calculadoras al no poder entregar todas las cifras decimales. Finalmente estas orientaciones sugieren posicionar a los alumnos en el contexto histórico en que se hace presencia de las problemáticas que les entregaron. relevancia. a. estos. números,. especialmente. por. su. comportamiento que era distinto a los estudiados hasta ese momento, posterior a eso se entra al estudio del sistema de los números reales, al estudio de los radicales y los logaritmos. Finalmente la única actitud esperada en la unidad es del trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos (MINEDUC, 2011) Los programas aclaran en cada una de sus secciones lo que se estudiará de los números irracionales, además de los aprendizajes y habilidades a desarrollar que tienen relación con estos números y las orientaciones para lograrlas, sin embargo estos no especifican aspectos que son relevantes en la historia de estos números como por ejemplo la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado respecto de su lado, el cómo se determinó esta característica (conflicto entre la búsqueda de una unidad de medida que permita medir ambos segmentos en una cantidad entera, y el cumplimiento del teorema de Pitágoras).. Además, en su. introducción se pone un especial énfasis en el uso de las calculadoras que 12.

(20) muestran una aproximación decimal en la que tal vez no muestre un periodo visible pero eso no garantiza esta condición y que los estudiantes deben aceptar esta verdad hasta que se encuentren con la demostración de la irracionalidad de algunos números como por ejemplo √2 cuya forma de abordar tampoco está especificada. En cuanto a las nuevas bases curriculares implementadas en el año 2016 para octavo básico (MINEDUC, 2015) propone el estudio de las raíces cuadradas de números naturales estimándolas de forma intuitiva y aplicándolas a situaciones geométricas (MINEDUC, 2015), lo que muestra la intención de iniciar a los estudiantes de edades más tempranas al estudio de estos nuevos números, lo cual en este caso es mediante sus estimaciones y no con el número irracional. En cuanto a segundo medio, las bases curriculares a implementar en el año 2018 (MINEDUC, 2015) propone el estudio de los números reales por medio desde la realización de cálculos y estimaciones por medio de la descomposición de raíces y el uso de sus propiedades (MINEDUC, 2015), combinando raíces con números racionales (MINEDUC, 2015) y resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos (MINEDUC, 2015). Al estar los números reales en un contexto de números reales, se deduce que el trabajo involucra a los números irracionales los cuales deberán ser definidos y diferenciados de los números racionales para poder dar paso al estudio de los números reales (Crespo, 2009), por lo tanto la introducción de estas mismas continuará jugando un papel importante dentro de la matemática escolar.. 2.5 Análisis de dos textos escolares Los textos escolares analizados responden a los programas de estudio revisados en el punto 2.4 por lo que estos contienen los contenidos entregados por dicho escrito, además de lograr la construcción de las habilidades y la adquisición de los aprendizajes esperados de estos programas. 13.

(21) 2.5.1 Texto Distribuido por el MINEDUC El primer texto a analizar es de la editorial SM (Muñoz, Rupin y Jimenez, 2013, p.10), el cual distribuyó el ministerio de Educación en forma gratuita a los establecimientos desde la implementación de los programas de estudio (MINEDUC, 2011) al año 2017 (incluyendo a este último) El estudio de los números irracionales inicia en la página 10 (Lección 1) con una breve introducción sobre la medida de segmentos, la unidad de medida que representa su longitud y finalmente sobre la condición de sí una unidad de medida no está contenida una cantidad entera de veces en un segmento, entonces esta se subdivide hasta obtener una que cumpla con la condición antes establecida, finalmente plantea la pregunta “¿será posible siempre encontrar una división exacta de la unidad de medida?” (Muñoz, Rupin y Jimenez, 2013, p.10) A continuación entregan una actividad relacionada con determinar la medida de los lados y la diagonal de un cuadrado con regla y realizan una pregunta sobre la posibilidad de medir de forma exacta la diagonal con este instrumento. Posteriormente entregan el teorema de Pitágoras para determinar la medida de la diagonal y solicitan al estudiante que registre estos datos en la calculadora para obtener dicho valor, preguntando sobre la cantidad de dígitos decimales y comparando resultados de distintas calculadoras, haciendo una mención final sobre el conflicto que causó √2 en la escuela pitagórica. Consecutivo a lo anterior, se demuestra. la irracionalidad de √2. mediante la reducción al absurdo (Muñoz et al. 2013, p.10-11) y mencionan que en la escuela pitagórica lo llamaron número inconmensurable dado que no existía una unidad de medida que al ser particionada en partes que estén contenidas exactamente en ella y con ello argumentan que al no poder ser 𝑎. representada en la forma , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ − {0} entonces esta no es racional y 𝑏. 14.

(22) por lo tanto recibe el nombre de irracional. Para concluir el tema mencionan que en algún momento de la historia se demostró que el radical cuadrado de un número natural es un número natural o irracional y que estos, al no ser racionales, tienen como expresión decimal un número de desarrollo decimal infinito sin periodo. En el final del capítulo entregan los pasos a seguir para trabajar con estos números en contextos geométricos donde se solicita el cálculo de un perímetro y entregan ejercicios relacionados con representar expresiones decimales racionales en la forma. 𝑎 𝑏. , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ − {0} y viceversa, además. de determinar si determinadas situaciones problemáticas requieren de los números irracionales para expresar su resultado y finalizan con el cálculo del perímetro de distintas figuras. La lección 1 introduce estos números al estudiante mediante una situación problemática, para posteriormente argumentar el por qué no son racionales y finalizan con una serie de tareas relacionadas con identificar su presencia en distintas situaciones y el cálculo de perímetro de figuras en donde están presentes estos números. Cabe destacar que si bien es mencionado, no se hace uso de la inconmensurabilidad en un sentido geométrico mediante la búsqueda de una unidad de medida y su posterior rechazo con el no cumplimiento del teorema de Pitágoras, además la demostración entregada no nace de la construcción del estudiante sino que es entregada por el texto. La lección 2 trabaja distintas formas de aproximar los números irracionales, ya sea por bisección, iniciando con dos números enteros consecutivos tales que ese número sea mayor a uno y menor al otro, o utilizando la calculadora y seleccionando una cantidad de cifras decimales y un tipo de aproximación (defecto, exceso o redondeo). Posteriormente hace una mención sobre el número π como un número irracional que no puede ser representado como el radical cuadrado de un número natural, y una aproximación usando un hexágono regular. Para cerrar la lección se. 15.

(23) entregan una serie de tareas relacionadas con aproximar expresiones decimales, radicales cuadrados, cálculo de errores usando calculadora.. En esta sección se destaca la construcción de aproximaciones racionales de un número irracional, mencionando que radicales como √54 están entre 7 y 8 ya que 72 = 49 y 82 = 64 sin haber puesto en evidencia o justificado la veracidad de la propiedad “Sean a>0 y b>0, si 𝑎2 > 𝑏 2 , entonces 𝑎 > 𝑏” e incluso verificar si esta es verdadera para números irracionales. La lección 3 se estudia la ubicación de estos números en la recta numérica y la relación de orden entre estas. El tema es introducido mediante la espiral de Teodoro de Cirene, explicando la forma de construirlo y su utilidad para ubicar números de la forma √𝑎, 𝑎 ∈ ℕ, mostrando en un apartado que las hipotenusas resultantes tienen esta medida por el teorema de Pitágoras, y finaliza concluyendo que a mayor cantidad subradical, mayor es el radical. Luego formaliza la relación de orden entre radicales usando la conclusión anterior y verificando esta propiedad usando las expresiones decimales asociadas a estos radicales. La lección finaliza con una serie de ejercicios relacionados con escribir números que estén entre dos números dados, ubicar expresiones decimales en la recta numérica, ubicar radicales cuadrados en la recta numérica y finalmente establecer relaciones de orden entre números irracionales Esta sección justifica la relación de orden desde la ubicación en la recta numérica y la comparación entre expresiones decimales entregadas por la calculadora. El problema yace en que el estudiante no realiza las construcciones en el proceso de ubicación en la recta numérica, es el texto quien las entrega con las justificaciones correspondientes, a su vez este proceso de ubicación pudo ser estudiado antes de las aproximaciones racionales de un número irracional, para así justificar el por qué 7 < √54 < 8. Las lecciones posteriores son para el estudio de los números reales, álgebra de radicales y los logaritmos definidos en los reales. 16.

(24) El texto escolar responde a los aprendizajes esperados y habilidades establecidas en los programas de estudio, sin embargo las referencias históricas entregadas en el texto y mencionadas en las orientaciones didácticas son usadas más como anécdotas que como búsqueda de las condiciones para generar una construcción del conocimiento en los estudiantes, al mismo tiempo se entregan gran parte de los procesos y conclusiones ya hechos, lo que no da oportunidad al estudiante de construirlos por sí mismos.. 2.5.2 Matemática Bicentenario Segundo Medio El segundo texto es de la serie Bicentenario vendido por la editorial Santillana (Blanco et al., 2009) para segundo medio. Se optó por el análisis de este texto debido a la popularidad en su uso por parte de docentes del área de matemática en educación media, debido a la editorial de donde proviene este texto. En cuanto al número irracional, su estudio en este texto escolar inicia en la página número 12 con una introducción sobre la importancia de los números por su uso en la resolución de los diversos problemas que ha tenido que resolver el ser humano a lo largo de la historia. Posteriormente introduce la filosofía de la escuela Pitagórica “Todo es número” en el sentido de que todo podía ser explicado desde la matemática (Blanco et al. 2009) para luego exponer los casos curiosos encontrados en el estudio de la geometría: por un lado estaba el número π y por el otro el que representa la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide la unidad y la crisis que provocó este último en la escuela Pitagórica debido a que, por un lado, decían que todos los números podían ser expresados como cociente entre dos números naturales y por otro el problema de no encontrar este. cociente para expresar la diagonal de este cuadrado. Finalmente demuestran los teoremas “Sea x entero. Si x2 es par, entonces x es par” y “Sea x entero. Si x2 es impar, entonces x es impar” para demostrar la irracionalidad de √2 por medio de reducción al absurdo. En esta sección se 17.

(25) hace una mención implícita de la inconmensurabilidad, pero esta no muestra un proceso para buscar el segmento que esté contenido una cantidad entera de veces en los otros dos, además no hacen mención del cómo descartaron la posibilidad de encontrar dicho segmento.. La segunda sección tratan el concepto del conjunto IR desde la unión de los racionales y los irracionales mencionando además que estas cumplen con las siguientes propiedades para la suma y la multiplicación: Ley de clausura, asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia del elemento neutro, opuesto e inverso. Cabe destacar que no mencionan las restricciones para el cero en el inverso multiplicativo, luego entregan una serie de propiedades sobre la operación entre un irracional y otro número (tanto racional como irracional) argumentando sobre su veracidad (en caso del conjunto al que pertenece la operación entre un irracional y un racional) o la imposibilidad de generalizar con certeza el conjunto al que este pertenece (es el caso de la operación entre dos irracionales). Posteriormente piden al estudiante que demuestre que el cociente entre un número racional y un número irracional es irracional, y que también lo haga para el cociente entre un número irracional y un racional, y que además determine si una expresión corresponde a un número racional o irracional sugiriendo que usen las propiedades estudiadas anteriormente. Finalmente entregan una serie de ejercicios y problemas resueltos y una autoevaluación sobre sí el estudiante logra reconocer que un irracional no puede ser escrito como cociente, que su expresión decimal es infinita no periódica y que logra distinguir características de los números reales. El apartado de los números reales contiene una gran cantidad de información sobre sus propiedades y, en particular, la del conjunto al que pertenece una operación donde al menos uno de sus miembros es irracional con procesos ya construidos sin permitir que el estudiante conjeture sobre ellos.. 18.

(26) La tercera sección inicia en la página 18 y trata la relación entre los radicales cuadrados y los números irracionales, iniciando con la propiedad “Para 𝑏 ≠ 0, 𝑏 ≠ 1, Si. 𝑎. no es entero, entonces 𝑏. 𝑎2 𝑏2. no es entero” y a. continuación extrapolan esta propiedad a “si el radical cuadrado de un número natural no es un número entero, entonces corresponde a un número irracional” sin entregar argumento alguno sobre su veracidad o haber realizado un trabajo previo que lleve al estudiante a concluir esta propiedad. Posteriormente menciona que, debido a que su expresión decimal es infinita no periódica, la única forma de escribir este tipo de número es por medio del radical cuadrado y que, al expresarlos como expresión decimal, estos deben llevar el símbolo de aproximación (por ejemplo √2 ≈ 1,4142) o los puntos suspensivos para indicar la que su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales (por ejemplo √2 = 1,4142 …) sin hacer mención de la forma en que se obtuvieron esas cifras decimales. Enseguida, pasan a la reducción de expresiones que involucran radicales cuadrados de igual cantidad subradical, mediante la reducción de términos semejantes. La sección finaliza con una síntesis de lo estudiado y una serie de ejercicios para usar los contenidos estudiados. La sección cuatro consiste en estudiar métodos para aproximar números irracionales. El primer método enseñado es la aproximación pitagórica, la cual consiste en el uso de la propiedad “si aproximación por exceso de √𝑛, entonces defecto de √𝑛, y si. 𝑎 𝑏. 𝑎+𝑛𝑏 𝑎+𝑏. 𝑎 𝑏. es una. es una aproximación por. es una aproximación por defecto de √𝑛, entonces. 𝑎+𝑛𝑏 𝑎+𝑏. es una aproximación por exceso de √𝑛”, mencionan además que para ambos casos. 𝑎+𝑛𝑏 𝑎+𝑏. es una aproximación más precisa que. 𝑎 𝑏. . Lo anterior. genera un algoritmo para aproximar números irracionales representados en la forma √𝑛. Luego muestran un ejemplo de su uso indicando los pasos a seguir para su correcto uso, mostrando además los números resultantes en la recta numérica para tener una perspectiva visual de cómo cada 19.

(27) aproximación es más cercana al número. El segundo método enseñado es la aproximación por acotación sucesiva, la cual consiste en buscar en primera instancia dos números naturales consecutivos a, b tales que si se desea aproximar √𝑛 y 𝑎2 > 𝑛 > 𝑏 2 , entonces 𝑎 > √𝑛 > 𝑏 sin argumentar el por qué esta propiedad es verdadera, luego calculan entre a y. 𝑎+𝑏 2. , o entre. 𝑎+𝑏 2. 𝑎+𝑏 2. y determinan si √𝑛 está. y b, posteriormente continúan con el cálculo del. punto medio entre los números tales que √𝑛 está entre estos y así sucesivamente,. generándose. un. algoritmo. para. determinar. una. aproximación cada vez más cercana de √𝑛. Luego de la muestra de algunos pasos de este proceso con un caso particular, concluyen que el número obtenido es una buena aproximación dado que algunas de las cifras decimales obtenidas coinciden con las entregadas por la calculadora, entregando la autoridad a la calculadora como validadora de un resultado obtenido. Lo anterior coincide con lo concluido por Crespo (2009) en su análisis del estudio de algunas conversaciones dadas en clase sobre irracionales. La sección finaliza con un set de ejercicios para practicar el uso de alguno de los dos métodos antes explicados y una serie de problemas con su solución y proceso de resolución ya entregados, por lo que no se da al estudiante la oportunidad de indagar por sí mismo la forma de dar solución a las problemáticas propuestas por el texto. La sección final de la unidad de números reales trata la forma de establecer relaciones de orden entre ellas y su ubicación en la recta numérica. Para el primer tema se explican dos procesos: el primero trata de representar todo en expresión decimal, haciendo hincapié en que los números irracionales van a ser representados mediante una aproximación racional y que hagan uso de la calculadora para representar todos los números a ordenar en expresión decimal. Posteriormente explican que para el caso particular de los radicales cuadrados pueden hacer uso de la propiedad “a mayor número, mayor es su cuadrado” mencionando que 20.

(28) pueden elevar al cuadrado estas expresiones, ordenar los números resultantes y que dicha relación de orden se mantiene para los números originales. Cabe mencionar que, en la primera explicación, no se hace mención sobre el proceso estudiado en la sección anterior para obtener una aproximación de los números irracionales representados en forma de radical cuadrado, sino que una vez más se recurre a la calculadora para obtener esta aproximación, y para el caso de la segunda explicación no argumentan la veracidad de la propiedad empleada en el proceso. Posterior a la relación de orden, el texto explica el proceso para ubicar números racionales en la recta numérica mediante la representación. 𝑎 𝑏. , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℕ y que los. irracionales, al carecer de poder expresados en dicha forma, deben ser ubicados mediante otro proceso. El texto sugiere el uso de la espiral de Teodoro de Cirene para realizar dicho proceso, construyendo cada triángulo rectángulo en la recta numérica de forma sucesiva, explicando el proceso paso a paso. Finalmente entregan un set de ejercicios para aplicar lo aprendido. Seguidamente muestra un proceso para ubicar π en la recta numérica y la enseñanza de contenidos termina con un apartado sobre la densidad de los números racionales y el cómo estos no cubren todas las combinaciones posibles de expresiones decimales, lo que si se logra con la incorporación de los números irracionales (referencia a la diferencia entre densidad y continuidad) y que además el conjunto de los números reales tiene más elementos que los números racionales, a pesar de que ambos tienen infinitos elementos (esto haca alusión a la cardinalidad de un conjunto numérico). El apartado final trata sobre una serie de ejercicios y problemas ya resueltos con su procedimiento de resolución El capítulo de números reales finaliza con una síntesis de lo estudiado en toda la unidad y con una evaluación final que contempla todo lo estudiado en los capítulos anteriores.. 21.

(29) Este texto aborda el estudio de los números irracionales mediante la muestra de procesos ya construidos, donde además los problemas propuestos están resueltos en la misma página donde son planteados y los ejercicios son de la misma temática que los ejemplos resueltos con anterioridad.. Capítulo III Número irracional 3.1 Descripción histórica Para esta sección se consideran tanto los trabajos realizados por Mora y Torres (2004) como los hechos por Sánchez y Valdivé (2011), distinguiendo dos focos históricos: los irracionales como punto de quiebre para considerar la extensión del sistema de los números racionales al de los números reales (Mora y Torres, 2004), y su desarrollo histórico desde sus aproximaciones hasta considerarlo un número (Sánchez y Valdivé, 2011) En primera instancia, Mora y Torres (2004) distinguen cuatro etapas en el desarrollo histórico del número real donde el número irracional estuvo presente como elemento clave para generar la necesidad de extender el estudio de los sistemas numéricos hacia los números reales. Estas etapas son:. Primera Etapa: Descubrimiento de la inconmensurabilidad Las culturas egipcia, mesopotámica y china estudiaron formas de medir segmentos, calcular perímetros y áreas tanto de polígonos como de círculos. y. circunferencias.. Dentro. de. este. estudio. se. incluyen. 22.

(30) aproximaciones de lo que hoy se conoce como π y algunos radicales como √2, sin embargo no existió problema alguno con el uso de estas aproximaciones en el sentido de cuestionarse sobre la naturaleza de estos valores, si realmente representaban al número en cuestión (Mora y Torres, 2004). El primer momento del cuestionamiento sobre estos números fue dentro del contexto de la escuela Pitagórica, donde sus integrantes consideraban que el universo estaba construido armónicamente y que esta armonía podía ser representada por un cociente entre dos números enteros (Crespo, 2009), el trabajo de Hipaso de Metaponto (450a.C) remeció esta teoría fuertemente aceptada cuando aplicó el teorema de Pitágoras en un cuadrado de unidad 1, donde descubrió que la medida de esa diagonal, tal que su cuadrado es 2, es inconmensurable con el lado de este polígono (Crespo, 2009), es decir no existe una unidad de medida que pueda representar las medidas de estos dos segmentos en números enteros. Por otro. lado. Eudoxo. con. su. teoría. de. proporciones. estudia. los. inconmensurables sin considerarlos números, sino como magnitudes, lo cual también se refleja en los elementos de Euclides, donde a pesar de que el libro V incluye el estudio de los conmensurables e inconmensurables por medio de razones y proporciones, los libros VII y VIII demuestran propiedades ya demostradas en el libro V pero desde la aritmética, mostrando una vez más la distinción entre magnitud y número. Por otro lado Teodoro de Cirene (465a.C – 398a.C) demostró la irracionalidad de √3, √5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15, √17. y. representó. estas. medidas mediante la llamada espiral de Teodoro (también conocida como caracol Pitagórico). Segunda Etapa: Fracciones decimales y Fracciones continuas Las fracciones continuas emergieron como una forma de representar números irracionales mediante el algoritmo de la división de Euclides, como. 23.

(31) Bombelli (1526 – 1573) quien muestra la representación de lo que hoy se conoce como √2 en la forma:. También existieron otras personas que representaron otros números mediante este tipo de fracciones, como Cataldi (1548 – 1626) quien trabajó con otros radicales en forma de fracciones continuas, y Brouncker quien escribió π mediante este tipo de fracciones (Mora y Torres, 2004). Este tipo de representación marcó un momento importante al mostrar que algunos irracionales podían ser simbolizados de esta forma.. Tercera etapa: Distinción de los números transcendentes En el siglo XVII seguían las dudas de si los irracionales eran números. Matemáticos como Pascal (1623 – 1662) y Barrow (1630 – 1667) no aceptaban a los irracionales como números sino como magnitudes y su estudio es por medio de la teoría de proporciones de Eudoxo (Mora y Torres, 2004). Por otro lado Newton (1642 – 1727) consideraba a los números como relación entre magnitudes, lo que permitió clasificar los números en tres categorías: enteros (los que se miden con la unidad), fraccionarios (se miden con particiones de la unidad) y los irracionales (no son conmensurables con la unidad), lo que finalmente le permitía considerar a los irracionales como números. Además de Newton, Descartes (1596 – 1650) aceptaba a los irracionales como números y los usaba para representar magnitudes continuas (Mora y Torres, 2004). Un aporte importante fue la conjetura de Legendre (1752 – 1883) la cual consistía en que. π no podía ser solución de ninguna ecuación. polinomial de grado n (con n natural) con coeficientes racionales, 24.

(32) emergiendo el concepto de número trascendente, lo que en conjunto con las conclusiones de Cantor en 1874 (las cuales eran: 1) el conjunto de los números reales es no numerable y 2) el conjunto de los números algebraicos es numerable) fortalecieron la idea de que existían estos números trascendentes, y que además el conjunto de estos números es infinito no numerable. Los números trascendentes provocaron la necesidad de unificar estos números y los números algebraicos en un solo tipo de número (Mora y Torres, 2004).. Cuarta etapa: Formalización del número real El estudio de los límites, continuidad de funciones y otros elementos del análisis en el siglo XIX evidenciaban la necesidad de generar una teoría que permitiera tener un concepto formal de número real, y que además esta fuera construida con bases aritméticas entregadas por el análisis y el álgebra. Es por lo anterior que matemáticos como Cauchy (1789 – 1857), Dedekind (1831 – 1916), Cantor (1845 – 1918), Weierstrass (1815 – 1897) entre otros construyeron teorías que incluyeran la definición de número real desde dicho constructo (Mora y Torres, 2004).. Por otro lado Sánchez y Valdivé (2011) separan el desarrollo histórico de estos números de acuerdo al periodo histórico donde estas estuvieron presentes, distinguiendo su inicio como aproximaciones y marcando el recorrido hacia su reconocimiento como números. Edad Antigua “Origen de los segmentos inconmensurables” Estos números están presentes en un contexto geométrico donde las culturas antiguas trabajaron en la búsqueda del área de un círculo, el perímetro de la circunferencia y algunas relaciones entre segmentos en polígonos como la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado, de las cuales surgieron las primeras aproximaciones de π y √2 (Sánchez y Valdivé, 2011). 25.

(33) Los egipcios consideraban que π = 3,16, las tablillas de los mesopotámicos mostraban cuadrados con su diagonal cuyos valores reflejaban una aproximación de √2 (Boyer, 2003). Por otro lado los trabajos del Chino Tsu Chung-Chih (403 – 501) mostraban una aproximación de π de 3,1415927 por exceso y de 3,1415726 por defecto, y finalmente los Griegos descubrieron la inconmensurabilidad de segmentos lo que generó el interés de ampliar el campo de estudio de estos números (Sánchez y Valdivé, 2011). Edad Media “Hacia el reconocimiento del irracional como número” Esta etapa está marcada por la presencia de los irracionales en contextos aritméticos, ya sea por la construcción de reglas y planteamientos matemáticos que tenían presente las aproximaciones de estos números, como también procesos aritméticos que entregaban aproximaciones de estos números. En este periodo los Hindúes plantearon reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, racionales e irracionales mediante aproximaciones sin cuestionar sobre si estos resultados eran exactos o inexactos. Por otra parte Omar Kayyam construyó un planteamiento aritmético que permitió aproximar la construcción de un concepto de número irracional. Finalmente matemáticos como Fibonacci construyeron aproximaciones de números irracionales que surgían como soluciones de ecuaciones cúbicas mediante fracciones sexagesimales (Sánchez y Valdivé, 2011). Renacimiento “Reconocimiento del irracional como número mediante aproximaciones a números racionales” Los estudios realizados en periodos anteriores dieron paso a continuar el estudio de los irracionales. Nicolás de Cusa toma la afirmación realizada por Oresme, la cual decía que todos lo que se pueda medir puede ser representado mediante un segmento (Sánchez y Valdivé, 2011), lo que. 26.

(34) llevó a Nicolás de Cusa a concluir que el estudio debería basarse en la medida, la cual puede ser un número racional o una aproximación de esta. Por otro lado, el estudio de las soluciones de ecuaciones cúbicas y cuadráticas, además del cálculo de radicales llevó a considerar la existencia de los irracionales asociándolos a una aproximación racional (Sánchez y Valdivé, 2011). Edad Moderna y Contemporánea “El irracional como un número” En esta etapa se acepta y define el irracional como número mediante las contribuciones de diversos matemáticos, donde cada uno de ellos lo definió de acuerdo a su propia teoría. Méray los define mediante sucesiones convergentes, Weierstrass los concibe como conjuntos de racionales, Dedekind define el número desde el concepto de cortadura y desde allí define el número irracional, por otro lado Cantor define número real (y por lo tanto número irracional) desde las sucesiones regulares (Sánchez y Valdivé, 2011).. Algunas conclusiones de los aspectos históricos Fue extenso el proceso histórico por el cual pasó el número irracional para emerger, ser aceptado y definido por la comunidad de matemáticos, ya que se creyó por mucho tiempo que estos no debían ser considerados como números y que por lo tanto su estudio debía darse desde la teoría de proporciones de Eudoxo, la cual los consideraba como magnitudes en lugar de números, o también su concepción y uso por medio de una aproximación racional. Dentro de este proceso existieron momentos donde la comunidad estaba dividida entre los que lo consideraban un número y aquellos que no, pero los momentos claves como el estudio de las soluciones de ecuaciones polinomiales y descubrimiento de los números trascendentes mostró la necesidad de considerarlos números, en un principio como aproximaciones 27.

(35) racionales, y posteriormente como número irracional para pasar del conjunto de los números racionales al de los números reales, mediante una teoría que permita una definición de número real que sea comprensible y convincente para la comunidad matemática.. 3.2 Aspectos Epistemológicos En relación a los aspectos epistemológicos, Sánchez y Valdivé (2011) distinguen cuatro esquemas conceptuales epistemológicos asociados al número irracional, los cuales son separados según el periodo histórico donde estos estuvieron presentes.. El irracional Asociado a una aproximación entre razones Inicia con su estudio en contextos geométricos, donde la búsqueda de relaciones entre el lado y la diagonal de cuadrados y el cálculo del área de un círculo llevó a la construcción es las primeras aproximaciones de estos números.. El. estudio. de. las. proporciones,. especialmente. la. conmensurabilidad, causó la emergencia de la inconmensurabilidad de segmentos por medio de la división indefinida de segmentos y lados de polígonos (Sánchez y Valdivé, 2011) producto de la búsqueda de una unidad de medida que permita medir ambos segmentos en una cantidad entera.. El irracional asociado a lo aritmético Los procesos aritméticos para construir aproximaciones de raíces no racionales de ecuaciones cúbicas y los planteamientos aritméticos que consideraban aproximaciones de estos números llevan a asociar estos números con un contexto aritmético y algebraico, lo que permite acercarlo cada vez más hacia su aceptación como número (Sánchez y Valdivé, 2011).. El irracional asociado a una aproximación racional. 28.

(36) El estudio de las medidas y de las soluciones de ecuaciones cúbicas lleva a considerar la existencia de un nuevo número el cual puede ser aproximado a un número racional, por lo que el número irracional adquiere sentido en el número racional mediante sus aproximaciones (Sánchez y Valdivé, 2011).. El irracional asociado a un número La demostración de la irracionalidad de algunos radicales y de números como π, además de las exigencias que requería el estudio del análisis llevó a considerar a los irracionales como números y además ser definidos. Varios matemáticos definieron estos números mediante su propia teoría para construir los números reales (Sánchez y Valdivé, 2011).. 3.3 Estatus actual de los números irracionales El número irracional es considerado en la actualidad como un número cuya relevancia está en dar el paso del sistema de los números racionales al de los números reales (Sirotic & Zaskis, 2007) y tanto su aceptación como definición fueron dados por el estudio del análisis (Mora y Torres, 2004). Como se mencionó en el punto 4.1, la definición de estos números depende del enfoque teórico que los esté tratando.. En este trabajo se definirá mediante sucesiones de Cauchy, exponiendo en primer lugar los conceptos previos necesarios para pasar a definir el concepto de número real, tomando como referencia los escritos de Trejo (1968), Sánchez (2015), Weisstein (s.f).. Definición 3.3.1 Sean A y B conjuntos no vacíos. Se denomina producto cartesiano del conjunto A por el conjunto B, denotado 𝐴 × 𝐵, al conjunto 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏), 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵} (Trejo, 1968, p.3). 29.

(37) Definición 3.3.2 Sean A y B conjuntos. Se denomina relación de A en B a todo subconjunto de 𝐴 × 𝐵 (Trejo, 1968). Un par ordenado (𝑎, 𝑏) perteneciente a una relación R se denota a R b. Definición 3.3.3 Sea A un conjunto y R una relación de A en A. R es una relación de equivalencia si cumple con las siguientes propiedades - Refleja: a R a, para todo a ∈ A - Simétrica: Si a R b, entonces b R a¸ para todo a ∈ A, y para todo b ∈ A - Transitiva: Si a R b y b R c, entonces a R c, para todo a ∈ A, para todo b ∈ A, y para todo c ∈ A (Weisstein, s.f). Definición 3.3.4 Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Una clase de equivalencia de R sobre el conjunto A es el conjunto {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑎}, con 𝑎 ∈ 𝐴 (Weisstein, s.f). Notación: Si A es un conjunto y R una relación de equivalencia en A, entonces una clase de equivalencia es el conjunto [𝑎] = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑎}, donde a es el representante de la clase de equivalencia Las clases de equivalencia son subconjuntos de la relación de equivalencia de la cual provienen. Este concepto permite separar el conjunto A en subconjuntos de elementos que están en la relación R.. Definición 3.3.5 Sea A un conjunto, B un conjunto y f una relación de A en B. f es una función de A en B si cada elemento a ∈ A está relacionado con un único elemento b ∈ B.. Definición 3.3.6 30.

(38) Una sucesión en el sistema de los números racionales es una función f tal que: 𝑓: ℕ → ℚ 𝑛 → 𝑥𝑛 Notación: {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ Adicionalmente, el conjunto que contiene a todas las sucesiones en el sistema de los números racionales se denotará como ℓ (Sánchez, 2015). Definición 3.3.7 Dos sucesiones {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ y {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ son iguales si y solo si para todo 𝑝 ∈ ℕ, se cumple que 𝑥𝑝 = 𝑦𝑝. Definición 3.3.8 Una sucesión {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ converge a un número a si y solo si: ∀ℰ > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ: 𝑛 > 𝑁 => |𝑥𝑛 − 𝑎| < ℰ (Sánchez, 2015) Notación: La convergencia de {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ hacia a será denotada como {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ → 𝑎 La convergencia de una sucesión es un concepto que relaciona a la sucesión con un número al cual este se aproxima conforme se va avanzando en cada uno de sus términos. Esta aproximación se formaliza por medio de una distancia (la cual se representa por medio de un valor absoluto) la cual va a tender a cero. Esta definición permite relacionar una sucesión con un número el cual es en este caso al que tiende la sucesión.. Definición 3.3.9. 31.

(39) Una sucesión {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ es de Cauchy (o también llamada fundamental) si para todo ℰ > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que para todo 𝑝, 𝑞 > 𝑁, se tiene que |𝑥𝑝 − 𝑥𝑞 | < ℰ (Sánchez, 2015) Para que una sucesión sea de Cauchy tiene que cumplirse que desde alguna posición N las distancias entre dos términos de la sucesión, cuyas posiciones son superiores a N, tenderán a cero Las sucesiones de Cauchy son convergentes, sin embargo dos sucesiones de distintos términos pueden converger al mismo número. Por ejemplo, sean las sucesiones de números racionales 𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛+1 𝑛+2 𝑏𝑛 = 𝑛+1 Ambas sucesiones tienen diferencias en sus términos, los cuales serán mostrados en la siguiente tabla: 𝑛=1 𝑛=2 𝑛=3 𝑛=4 𝑎𝑛 𝑏𝑛. 1 2 3 2. 2 3 4 3. 3 4 5 4. 4 5 6 7. Por lo que {𝑎𝑛 }𝑛∈ℕ → 1 y {𝑏𝑛 }𝑛∈ℕ → 1 y ambas sucesiones no son iguales, por lo tanto no es suficiente con definir el número real mediante una sucesión, lo que lleva la necesidad de que los reales no sean definidos desde una sucesión en sí, pero que estas sí sean usadas para su formación. Definición 3.3.10 Dos sucesiones fundamentales {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ , {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ son equivalentes si para todo ℰ > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que si 𝑝 > 𝑁 entonces |𝑥𝑝 − 𝑦𝑝 | < ℰ (Trejo, 1968). 32.

(40) El concepto de equivalencia de sucesiones fundamentales establece, en otras palabras, que la diferencia entre los términos de dos sucesiones que estén en p-ésima posición (igual posición para ambas) van a tender a cero conforme p vaya siendo un número cada vez más grande, es decir que convergen al mismo número. Para poder formalizar el número real falta un elemento más el cual permita decir que todas estas sucesiones equivalentes pueden ser englobadas en una sola categoría (que en este caso es el número real al cual convergen) y que todas ellas puedan ser representadas en un representante. La clase de equivalencia permite realizar dicha clasificación, sin embargo es necesario advertir que la equivalencia de sucesiones fundamentales debe ser una relación de equivalencia. Para ello sea el siguiente teorema:. Teorema 3.3.1 La relación R: “Las sucesiones de Cauchy {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ y {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ son equivalentes” es una relación de equivalencia en el conjunto ℓ de todas las sucesiones en el sistema de los números racionales (Sánchez, 2015) Demostración Para que R sea una relación de equivalencia en ℓ, hay que demostrar que R cumple con ser refleja, simétrica y transitiva en ℓ i) Refleja: Se demostrará que para toda sucesión de Cauchy {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ perteneciente a ℓ,. {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ , para ello hay que probar que para. todo ℰ > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que si 𝑝 > 𝑁 entonces |𝑥𝑝 − 𝑥𝑝 | < ℰ, y eso efectivamente se cumple dado que: |𝑥𝑝 − 𝑥𝑝 | = 0 < ℰ Por lo tanto R es refleja en ℓ ii) Simétrica: Se demostrará que si {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ, entonces {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ. 33.

(41) Como {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ , entonces se cumple que para todo ℰ > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que si 𝑝 > 𝑁 entonces |𝑥𝑝 − 𝑦𝑝 | < ℰ, pero |𝑥𝑝 − 𝑦𝑝 | = |𝑦𝑝 − 𝑥𝑝 | por propiedad del valor absoluto, por lo tanto existe N tal que si 𝑝 > 𝑁 entonces |𝑦𝑝 − 𝑥𝑝 | < ℰ, para todo ℰ > 0, lo que lleva a que {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ . Por lo tanto R es simétrica en ℓ iii) Transitiva: Se demostrará que si {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ y {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑧𝑛 }𝑛∈ℕ , entonces. {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ. R. {𝑧𝑛 }𝑛∈ℕ ,. para. todo. {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ ,. {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ ,. {𝑧𝑛 }𝑛∈ℕ. pertenecientes a ℓ. De lo anterior se debe demostrar que para todo ℰ > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que si 𝑝 > 𝑁 entonces |𝑥𝑝 − 𝑧𝑝 | < ℰ, por otro lado como {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ y {𝑦𝑛 }𝑛∈ℕ R {𝑧𝑛 }𝑛∈ℕ , se tiene que: Para todo ℰ1 > 0, existe 𝑁1 ∈ ℕ tal que si 𝑝 > 𝑁1 entonces |𝑥𝑝 − 𝑦𝑝 | < ℰ1 Para todo ℰ2 > 0, existe 𝑁2 ∈ ℕ tal que si 𝑞 > 𝑁2 entonces |𝑦𝑞 − 𝑧𝑞 | < ℰ2 Ahora sea r el número mayor entre p y q, el cual satisface r > N1 y r > N2. Luego: |𝑥𝑟 − 𝑧𝑟 | = |𝑥𝑟 − 𝑧𝑟 + 𝑦𝑟 − 𝑦𝑟 | ≤ |𝑥𝑟 − 𝑦𝑟 | + |𝑦𝑟 − 𝑧𝑟 | < ℰ1 + ℰ2 Finalmente sea ℰ = ℰ1 + ℰ2 tal que ℰ > 0, por lo tanto basta con tomar un N que sea el máximo entre N1 y N2, y por lo tanto cumple con N < r, para que |𝑥𝑟 − 𝑧𝑟 | < ℰ, para todo ℰ > 0, por lo que |𝑥𝑝 − 𝑧𝑝 | < ℰ Por lo tanto R es transitiva en ℓ Finalmente, como R es refleja, simétrica y transitiva en ℓ, se comprueba que R es una relación de equivalencia en ℓ.. 34.