Las representaciones semióticas para la división de fracciones provistas en libros de texto

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(1)UNIVERSIDAD ALBERTO HURTADO Facultad de Educación Departamento de Pedagogías Medias y Didácticas Específicas Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática. “Las representaciones semióticas para la división de fracciones provistas en libros de texto”. Informe de Trabajo Final para optar al Grado de Magíster en Didáctica de la Matemática. Por: Carolina Chamorro Ramírez.. Profesor Guía: Dr. Roberto Vidal Cortés. Profesor Informante: Mg. Miguel Díaz Flores. Santiago – Chile 2017.

(2) RESUMEN. La enseñanza de la división de números racionales bajo su representación fraccionaria suele hacer énfasis en la utilización y dominio de técnicas que deben realizarse para obtener un resultado, en ocasiones dando mayor importancia a la adquisición de procedimientos por sobre la comprensión del proceso y del objeto matemático. Si bien el uso de técnicas es importante para la matemática, es indispensable que los estudiantes logren identificar las distintas representaciones de un objeto matemático y realizar las trasformaciones entre ellas. En el currículo nacional actual, la división de fracciones aparece en nivel séptimo básico y se propone la utilización de distintas representaciones para su dominio. El propósito de este estudio es indagar acerca del uso y la falta de explicación de las técnicas de división de fracciones, las que pueden ser abordadas mediante representaciones semióticas. Se utilizó como referente teórico de esta investigación la Teoría de registros de representación semiótica de Raymond Duval, que se basa en la existencia de representaciones mentales invisibles, que son accesibles a través de las representaciones semióticas constituidas por el empleo de signos. Esta investigación se focaliza en el análisis de los tratamientos, conversiones y congruencia de los registros utilizados para la comprensión de la división de fracciones, en textos de estudio de sexto o séptimo básico, según el currículo vigente. La metodología a utilizada considera el enfoque cualitativo, con un estudio de casos inductivo. La unidades de análisis corresponden a una muestra de 9 textos escolares del periodo 1996 - 2016, elegida de forma intencional y por conveniencia. Para la recolección datos se confeccionaron dos matrices: una para organizar la información general que caracterice los textos de estudio y una matriz de análisis del contenido para identificar las representaciones 2.

(3) semióticas utilizadas para la presentación de la división de fracciones, para describir los tratamientos y conversiones y analizar la congruencia de conversiones presentes en los textos de estudio. Entre las conclusiones relevantes que se obtienen de esta investigación se tiene: . La división de fracciones se presenta mediante la formulación de un problema en contexto.. . Todos los textos escolares analizados, usan al menos dos registros de representación semiótica para presentar la división de fracciones.. . Se identifican tratamientos en los registros usados, sin embargo se tiene menor cantidad de conversiones congruentes entre registros.. 3.

(4) ÍNDICE ÍNDICE .................................................................................................................................... 4 CAPÍTULO 1: ANTECEDENTES Y PROBLEMÁTICA .................................................... 6 1.1 Revisión de antecedentes ......................................................................................... 6 1.2 Formulación del problema y/o pregunta de investigación .................................. 10 1.3 Objetivos de investigación....................................................................................... 13 1.3.1 Objetivo General ................................................................................................ 13 1.3.2 Objetivos Específicos........................................................................................ 13 CAPÍTULO 2: REFERENTE TEÓRICO ........................................................................... 14 2.1 El Objeto matemático División de fracciones ....................................................... 14 2.2 Teoría de Registros de Representación Semiótica ............................................. 16 CAPÍTULO 3: MARCO METODOLÓGICO ..................................................................... 21 3.1 Enfoque y tipo de estudio ........................................................................................ 21 3.2 Selección de participantes y escenarios ............................................................... 21 3.3 Instrumentos de recolección de datos................................................................... 23 CAPÍTULO 4: RECOPILACIÓN Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ....................... 27 4.1 Reformas educacionales y actualizaciones curriculares. ................................... 27 4.2 Revisión programas de estudio 1996 a 2016...................................................... 29 4.3 Representar en los programas de estudio............................................................ 32 4.4 Análisis de los libros de texto: aplicación de las matrices.................................. 33 4.4.1 Periodo 1996 -2008........................................................................................... 33 4.4.2 Periodo 2009 – 2011......................................................................................... 47 4.4.4 Matriz de resumen y cotejo aplicada a los libros del periodo. ................... 72 CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES Y PROYECCIONES ................................................. 75 5.1 Respecto del análisis de los programas de estudio ............................................ 75 5.2 Respecto del análisis de los textos de estudio .................................................... 76 5.3 Respecto de la presentación de la división de fracciones ................................. 77 5.4 Respecto de las representaciones semióticas empleadas en los libros de texto ................................................................................................................................... 78 5.5 Respecto de los tratamientos en los registros de representación .................... 79 5.6 Respecto de las conversiones entre registros de representación en los libros de texto ............................................................................................................................. 79 4.

(5) 5.6 Respecto al análisis de congruencia de las conversiones en los libros de texto 80 5.7 Conclusiones respecto de los objetivos ................................................................ 80 5.8 Proyecciones ............................................................................................................. 81. 5.

(6) CAPÍTULO 1: ANTECEDENTES Y PROBLEMÁTICA. 1.1 Revisión de antecedentes En la actualidad podemos acceder a investigaciones cuyo objeto de estudio han sido las fracciones, división de fracciones y/o el uso de algoritmos en la operatoria con fracciones, a continuación se describen algunas de ellas: Contreras & Gómez (2006) constatan que el modelo usual de enseñanza no favorece la práctica escolar contextualizada y no considera todas las variables asociadas a los problemas de división; constructos de fracción, modelos, contextos y algoritmos. En el análisis de la estructura teórica de los componentes de los modelos de enseñanza sobre los algoritmos de la división de fracciones, Gómez, Figueras & Contreras (2016) identifican los algoritmos de uso más frecuente en los libros de texto de matemática, clasificándolos en algoritmos generales; transformar las fracciones a común denominador y dividir sus numeradores, multiplicar por la fracción inversa o recíproca de la fracción divisor, productos cruzados y deshacer la fracción por reducción a la unidad fraccionaria. Y algoritmos particulares; producto de cancelaciones y conversión de fracciones a decimales. Dando cuenta de las formas y representaciones usadas para sustentar las explicaciones de los autores de textos de matemática, que fundamentan los algoritmos por extensión de los modelos de división de números naturales; “cuotición” e inversión de la multiplicación. Concluyendo que el análisis de los libros de textos de matemática, antiguos y actuales, debiera ser una fuente de inspiración para el diseño de modelos de enseñanza, para la formación de profesores, para los creadores de currículum y escritores de libros de texto. Ma (2010) da cuenta que la diferencia entre el conocimiento que tienen los profesores norteamericanos y el de los profesores chinos, se hizo más evidente con la división entre fracciones. Los profesores chinos utilizan la frase “dividir por un número es equivalente a multiplicar por su recíproco” frase que también se utiliza en los textos chinos para justificar el algoritmo de la división entre fracciones, consecuente con el currículo de matemáticas básicas chino respecto a las relaciones de las operaciones y sus inversas. 6.

(7) Los profesores chinos también presentan, al menos tres enfoques alternativos de cálculo, de cómo dividir entre fracciones: usando decimales, aplicando la propiedad distributiva y dividiendo una fracción sin multiplicarla por el inverso multiplicativo del divisor. En cuanto a representar el concepto de la división entre fracciones, utilizan tres modelos distintos; de medición, partitiva y, factores y productos. Además, mencionan que hay un paquete de conocimientos previos, necesarios para entender el significado de la división entre fracciones, significados de la multiplicación de números enteros, concepto de división como inverso de la multiplicación, modelos de división entre números enteros, significado de la multiplicación por fracciones(parte clave), concepto de fracción, concepto de unidad, etc, estos conocimientos refuerzan y profundizan el conocimiento nuevo, perspectiva desde la cual el aprendizaje es un proceso continuo. Para los profesores chinos el introducir un algoritmo no solo requiere saber cómo sino que también por qué tiene sentido, no solo utilizaron la explicación verbal de una razón matemática, sino también representaciones simbólicas. Es así, que la Autora considera que las propiedades de la comprensión de un objeto matemático son: las ideas básicas, la conectividad, el uso de representaciones múltiples y la coherencia longitudinal. Según Llinares & Sánchez (2000) la división de fracciones es una operación en sentido algebraico, su relación con procedimientos intuitivos es tan remota que se puede aceptar que no existe. Se pueden establecer varias estrategias para presentar esta operación pero la más conocida se fundamenta en la idea de fracciones inversas, la cual puede ser desarrollada cuando hablamos de multiplicación de fracciones. Las fracciones cuyo producto es la unidad, se denominan fracciones inversas, así para apoyar la introducción de la división de fracciones en la idea de fracciones inversas, se plantea la idea de operación inversa de la multiplicación. De forma general, se plantea el resultado de la división como un factor desconocido de la multiplicación, vinculando así la multiplicación con la división, como se muestra a continuación:. 7.

(8) Es decir calcular. es lo mismo que calcular. Otra estrategia para llegar a la regla de la división consiste en expresar la división como una fracción y amplificarla por la fracción inversa del denominador, de tal manera que resulta una fracción con denominador 1.. En conclusión, para los autores, la división de fracciones se fundamenta en relaciones algebraicas: la división como operación inversa de la multiplicación o en que la multiplicación de un número por su inverso es la unidad. Y es probable que debido a este carácter algebraico y poco intuitivo de la división de fracciones se cuestione el algoritmo en la enseñanza primaria.. 8.

(9) Contreras & Gómez (2009) reportan que los algoritmos más utilizados en resolución de problemas que involucran división de fracciones son los que se realizan mediante:  “producto de los extremos partido por producto de los medios” Ejemplo:. . “invertir y multiplicar” Ejemplo:. . “conversión en decimales” Ejemplo:. . “productos cruzados” Ejemplo:. Los autores, en su investigación establecen que los contextos no influyen necesariamente en los algoritmos usados por los estudiantes. Quispe & Gallardo (2009) en su estudio de textos, analizan los elementos caracterizadores de la enseñanza de fracciones, reportando que el tratamiento dado a una fracción en los textos escolares analizados evidencia aspectos positivos para la comprensión de la fracción: como el mayor número de significados, uso variado de ilustraciones e introducción de situaciones contextualizadas. Sin embargo, hay carencias a nivel epistemológico y fenomenológico. Así también, una fuente histórica de información matemática es el papiro de Ahmes. En este manuscrito copiado hacia el año 1650 a. C se puede encontrar el registro de que los Egipcios calculaban la división de enteros entre fracciones unitarias por duplicaciones sucesivas. Por su parte, los griegos usaban herramientas de cálculo similares a las actuales. Calculaban cocientes multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor, utilizando tablas de inversos. También, en la cultura china las operaciones entre 9.

(10) fracciones eran absolutamente necesarias para cálculo de su calendario y el desarrollo de la astronomía. En efecto en el Chou pei suan ching, aparece un método para dividir fracciones; igualando los denominadores, para luego dividir sus numeradores (Ruiz, 2013). En la edad media, en tanto, se sustituye la división de una fracción entre un entero, por la multiplicación de la fracción por el recíproco del entero. Con la aparición de la imprenta se tiene el registro de dos algoritmos para dividir fracciones; uno que consiste en expresar ambas fracciones propias como fracciones de igual denominador, para luego calcular el cociente entre sus numeradores y el algoritmo de productos cruzados (Contreras, 2004).. 1.2 Formulación del problema y/o pregunta de investigación De los antecedentes histórico - epistemológicos antes descritos, se puede concluir que la división de fracciones tiene consigo un algoritmo que ha evolucionado. La enseñanza de algoritmos se centra en la correcta secuencia de pasos que permiten llegar a un resultado (Gairín & Rocher, 2002), si bien el aprendizaje de procedimientos es necesario en matemáticas, este es insuficiente para la comprensión de objetos matemáticos (Pantziara & Philippou, 2012). Duval (1995) declara que no puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue el objeto de su representación, porque un mismo objeto matemático puede darse a través de representaciones muy distintas, por ello es fundamental que los estudiantes manejen distintos sistemas de representación externa como los símbolos, el lenguaje natural y los gráficos. Es solamente a través de la coordinación de varios registros de representación, para el individuo que aprende que será posible una aprehensión conceptual de los objetos matemáticos. Damm, 2002 (citado en Dallemole, Groenwald & Ruiz, 2014) En el currículo nacional, las orientaciones didácticas de los programas de estudio, vigentes, explicitan que; se espera que el profesor desarrolle un modelo pedagógico que favorezca la comprensión de conceptos matemáticos y no la mera repetición y mecanización de algoritmos, definiciones y fórmulas, Ministerio de educación (MINEDUC, 2016). Para el nivel séptimo básico se declara en los objetivos de aprendizaje que se espera que los estudiantes sean capaces de explicar la multiplicación y 10.

(11) división de fracciones positivas, utilizando representaciones concretas, pictóricas y simbólicas (MINEDUC, 2016). Entre los ejemplos propuestos, se tiene que el estudiante reparta cantidades enteras en fracciones unitarias, o reparta cantidades expresadas en fracciones unitarias entre fracciones unitarias donde el cociente son cantidades enteras.. Figura 1: Extracto del libro MATEMÁTICA Programa de Estudio Séptimo básico, Unidad de currículum y evaluación, Ministerio de Educación de Chile, 2016. Existe concordancia entre el objetivo de aprendizaje declarado en los programas de estudio y las actividades propuestas para su conclusión. Para ello se aborda la división de fracciones cuyo cociente es un número entero. Sin embargo se evidencia una discontinuidad en niveles posteriores, ya que se considera la división de fracciones positivas como conocimiento previo, dando por hecho que los estudiantes deben ser capaces de calcular, por ejemplo, divisiones como. para resolver problemas.. Las bases curriculares vigentes del nivel 7° básico, para desarrollar la habilidad de representar, proponen que los alumnos transiten progresivamente desde la representación concreta, pasando por la representación pictórica hasta el lenguaje simbólico. Argumentando que representar tiene múltiples ventajas para el aprendizaje de la matemática; como potenciar la comprensión, memorización y explicación de las 11.

(12) operaciones, las relaciones y conceptos matemáticos (Bases curriculares, 2015). Por otro lado, se tiene que el libro de texto constituye un referente para la organización de un proceso de enseñanza que debe ser objeto de revisión permanente para evaluar su pertinencia disciplinar y didáctica. (Konic, Godino & Olivo, 2010). En el libro de texto, de séptimo básico 2014, que entregó el MINEDUC a establecimientos educacionales, la división de fracciones como noción protomatemática de la división de números racionales se ejemplifica numéricamente; destacando que para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, sin que se indique el por qué se utiliza este procedimiento, algoritmo, para calcular el cociente. La enseñanza de la división de fracciones pareciera seguir focalizada en la técnica y no en la comprensión del objeto.. Figura 2: Extracto del texto de estudio 7° básico MATEMÁTICA, editorial Galileo, 2014. El uso de algoritmos carentes de justificación y la discontinuidad que se evidencia en los programas de estudio para la enseñanza y comprensión de la división de fracciones, nos lleva a plantearnos la siguiente pregunta de investigación; ¿Cómo se presenta el objeto división de fracciones en los textos escolares y qué tipo de representaciones se proponen para su comprensión?. 12.

(13) 1.3 Objetivos de investigación. 1.3.1 Objetivo General Identificar y caracterizar las representaciones semióticas provistas en los libros de texto para la enseñanza de la división de fracciones.. 1.3.2 Objetivos Específicos 1.3.2.1. Describir cómo se presenta la división de fracciones en los textos escolares. 1.3.2.2. Identificar cuáles son las representaciones semióticas más utilizadas en la enseñanza de la división de fracciones en los textos escolares chilenos. 1.3.2.3. Describir cómo se desarrollan las operaciones de tratamiento conversión entre las representaciones semióticas en la enseñanza de la división de fracciones. 3.2.4. Analizar la congruencia entre representaciones semióticas en la enseñanza de la división de fracciones.. 13.

(14) CAPÍTULO 2: REFERENTE TEÓRICO. En este estudio se han considerado dos dimensiones, la dimensión matemática que contiene el objeto de estudio, su origen y evolución y la dimensión didáctica la teoría de registros de representación semiótica. 2.1 El Objeto matemático División de fracciones Para abordar el objeto matemático división de fracciones es necesario analizar el origen de los números racionales, puesto que el concepto de fracción puede considerarse como en su génesis protomatemática, con sus propiedades, específicamente las de la multiplicación. El paso del número entero al número racional satisface por una parte la necesidad práctica de medir cantidades y por otro lado elimina las restricciones para las operaciones inversas; la sustracción y división. Los números racionales fueron aceptados por la comunidad matemática con los mismos derechos que los enteros positivos en el siglo XVII. En el siglo XIX, ocurre en la matemática, un proceso de revisión de conceptos básicos y formalización en estructuras algebraicas y geométricas. Resultan así dos posibles presentaciones del conjunto de los números racionales; la primera solo requiere del conocimiento previo del conjunto de los números enteros. ,. estableciendo una relación de. equivalencia definida en el conjunto Así el conjunto de los números racionales. es el conjunto cociente de. inducido por la relación 𝑟 antes descrita, es decir está formado por todas las clases de equivalencia 𝑟. Las propiedades de las operaciones en se prueban usado propiedades de las operaciones de , incorporando que la multiplicación en recíproco, que dice:. tiene la propiedad del inverso multiplicativo o. Para todo racional 𝑥 = [(𝑎, 𝑏)] ≠ [(0,0)], existe un único racional 𝑦 = [(𝑏, 𝑎)] tal que 𝑥 ∙ 𝑦 = 1. 14.

(15) Veamos que dado 𝑥 = [(𝑎, 𝑏)] ≠ [(0,0)], entonces 𝑦 = [(𝑏, 𝑎)] es un racional. Luego 𝑥 ∙ 𝑦 = [(𝑎, 𝑏)] ∙ [(𝑏, 𝑎)] = [(𝑎𝑏, 𝑏𝑎)] = [(1,1)] = 1 Esta propiedad permite demostrar que en ℚ siempre es posible dividir entre un número distinto de cero. Sean 𝑥 = [(𝑎, 𝑏)], 𝑦 = [(𝑝, 𝑞)] y 𝑧 = [(𝑚, 𝑛)] tres racionales, 𝑦 ≠ 0, donde: [(𝑎, 𝑏)]: [(𝑝, 𝑞)] = [(𝑚, 𝑛)] Entonces [(𝑎, 𝑏)] = [(𝑚, 𝑛)] ∙ [(𝑝, 𝑞)]. Por lo tanto dividir dos números racionales es equivalente a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor. La segunda presentación, consiste en que, si el conjunto de los números reales (ℝ) tiene las operaciones de adición y multiplicación, que le dan una estructura de cuerpo ordenado y completo, entonces se pueden obtener los números naturales, los enteros y los racionales. Los números racionales se presentan como un subcuerpo de ℝ, que los caracteriza algebraicamente como un cuerpo ordenado y completo, lo que significa que cumple propiedades para la adición y multiplicación permitiendo que siempre sea posible la sustracción y la división. En efecto: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞, 𝑚 𝑦 𝑛 ∈ ℤ, 𝑚 ≠ 0, 𝑛 ≠ 0 𝑎 𝑝 𝑚 : = 𝑏 𝑞 𝑛 Para calcular este cuociente, consideremos una extensión de la definición de división de números enteros donde:. 15.

(16) Por lo tanto la división de fracciones es equivalente a multiplicar la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor.. 2.2 Teoría de Registros de Representación Semiótica La teoría de registros de representación semiótica, desarrollada por Raymond Duval a partir del año 1970 considera que los objetos de estudio en matemática no son accesibles a través de los sentidos, por ello es fundamental el uso de representaciones para acceder a ellos. Según, Duval(2006) la actividad matemática necesariamente se realiza en un contexto de representación semiótica y los estudiantes deberían lograr reconocer y usar el mismo objeto matemático en otros contextos de representación semiótica. Agrega además, que no puede haber comprensión en matemáticas, si no se distingue un objeto de su representación. Representación Semiótica Las representaciones semióticas son producciones caracterizadas por el empleo de signos. Duval (2006) indica que las representaciones semióticas constituyen la forma de acceso a los objetos matemáticos y éstas son el medio del que dispone el sujeto para exteriorizar sus representaciones mentales.. 16.

(17) Las representaciones semióticas cumplen la función de comunicación, de tratamiento de la información y de objetivación, por ello son indispensables para actividad matemática. Se llama Semiosis a la aprehensión o producción de una representación semiótica. Las tres actividades cognitivas de representación ligadas a la Semiosis son; la formación de representaciones en un registro semiótico particular, el tratamiento y la conversión de representaciones. Se llama Noesis a la aprehensión conceptual de un objeto, es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noesis. “No hay Noesis sin Semiósis” Duval(2006) Registros de representación semiótica No todos los sistemas semióticos son registros solo los que permiten una transformación de representaciones. Duval(2003) considera que existen cuatro tipos de registros de representación semiótica, los que pueden ser multifuncionales, en ellos los tratamientos no son algoritmizables o bien los registros monofuncionales, cuyos tratamientos son algoritmizables, estos últimos son los más usados y privilegiados por la enseñanza para la adquisición de conocimientos. Las representaciones en cada uno de ellos, son discursivas y no discursivas.. Registros Multifuncionales Registros Monofuncionales. Representaciones Discursivas Lenguaje Natural. Representaciones No discursivas Figuras geométricas planas o en perspectiva. Sistema de escritura; Gráficos Cartesianos. numérica y algebraica.. Esta clasificación proporciona las herramientas necesarias para analizar la actividad matemática y los problemas de comprensión matemática. Según Duval, R & Sáenz- Ludlow, A. (2016) la actividad matemática consiste intrínsecamente en una transformación de representaciones.. 17.

(18) Tratamiento El tratamiento que es una transformación interna, de una representación inicial en otra representación final, en el mismo registro. Por ejemplo: resolver una ecuación en el registro algebraico. Los tratamientos que se pueden realizar dependen principalmente de las reglas de transformación semiótica específicas de cada registro. Conversión La transformación de la representación de un objeto, dada en un registro, en una representación de este mismo objeto, en otro registro, se denomina conversión. Esta es de carácter externo en relación al registro de la representación de partida. Por ejemplo; plantear los datos del enunciado de un problema en una ecuación, es la conversión del registro lengua natural al registro algebraico.. Figura 3: Extracto del artículo Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación de la revista La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 9(1), 143-168 de Raymond Duval, 2006.. La conversión es una transformación, más compleja que el tratamiento, pues requiere que en dos representaciones (que en oportunidades no tienen nada en común), se reconozca el mismo objeto representado. La comprensión matemática requiere de la coordinación de al menos dos registros de representación semiótica (Duval, R & Sáenz- Ludlow, A. , 2016). 18.

(19) Se pueden identificar dos fenómenos en la conversión de representaciones semióticas; la congruencia y no congruencia entre representaciones, y la heterogeneidad de los dos sentidos de conversión (Duval, 2003). Si la conversión de una representación semiótica inicial a una terminal es simultánea, entonces estas dos representaciones son congruentes, por el contrario si la conversión es más lenta y/o no se consigue, entonces habrá una no congruencia entre representaciones. Análisis de Congruencia Para determinar si dos representaciones semióticas son congruentes, es necesario que se cumplan los siguientes criterios:  Correspondencia semántica de las unidades significantes, para lo cual se debe segmentar cada una de las representaciones en sus unidades significantes y ponerlas en correspondencia semántica, a cada unidad significante elemental de una de las representaciones, se puede asociar alguna unidad significante elemental de la otra representación (unidad que depende del léxico de un registro). . La univocidad semántica terminal, asocia cada unidad significante elemental de la representación de partida, con una única unidad significante elemental en el registro de llegada.. . Y el mismo orden posible de aprehensión de las unidades significantes en ambas representaciones.. Si no se cumple uno o más de estos tres criterios, las dos representaciones no son congruentes, entonces el paso de una a la otra no es inmediato y puede llegar a ser imposible. La dificultad de una conversión depende del grado de no-congruencia entre la representación de partida y la representación de llegada y es independiente de la complejidad conceptual del contenido de las representaciones que se deben convertir.. 19.

(20) En la siguiente tabla se tienen ejemplos de los fenómenos de congruencia y no congruencia entre registros de representación lengua natural y lenguaje algebraico. Registro de salida. El conjunto de los puntos cuya ordenada es superior a la abscisa.. 𝑦>𝑥. Correspondenci a semántica de las unidades significantes Sí. El conjunto de los puntos que tienen una abscisa positiva.. 𝑥>0. No. Sí. Sí. Es una perífrasis(un único significado para varias palabras) 𝑥∙𝑦 >0. No. No. No. El conjunto de los puntos cuya abscisa y ordenada es mayor que cero.. Registro llegada. de. Univocida d semántica terminal Sí. El mismo orden posible de aprehensión Sí. (Duval, 1988) La heterogeneidad se produce cuando un alumno realiza la conversión entre dos registros, pero en sentido inverso, puede o no realizar la conversión para llegar al registro inicial. El reconocimiento de los mismos objetos a través de dos representaciones provenientes de dos registros diferentes es el resultado de lo que Duval (2016) llama una coordinación global de registros de representación, la que proporciona una extensión de la capacidad mental y una comprensión de los objetos.. 20.

(21) CAPÍTULO 3: MARCO METODOLÓGICO. 3.1 Enfoque y tipo de estudio Para realizar esta investigación se ha optado por un enfoque cualitativo, con un diseño exploratorio, descriptivo - interpretativo que tiene por objetivos; describir, comprender e interpretar los fenómenos y significados producidos por la experiencia de los protagonistas. Una investigación cualitativa se basa en métodos de recolección de datos no estandarizados (entrevistas abiertas, revisión de documentos, discusión en grupo, observación no estructurada, registros de historias de vida, etc) que ocurre en ambientes naturales. (Hernández, Fernández- Collado, y Baptista,1991) Como diseño de esta investigación se utilizó un método estudio de casos, cuya mayor fortaleza radica en que permite medir y registrar la conducta de las personas involucradas en el fenómeno estudiado (Yin, 1989). Además, en un estudio de casos la información puede ser obtenida desde diferentes fuentes; documentos, registros de archivos, entrevistas u observación directa de los participantes. Por ello es que este estudio hace un análisis documental; técnica indirecta o no interactiva de recolección de información necesaria para lograr los objetivos definidos. Los documentos oficiales tienen un status especial porque son registros públicos y suelen reflejar la perspectiva oficial o institucional (Bisquerra et al., 2014).. 3.2 Selección de participantes y escenarios Las unidades de análisis para esta investigación corresponden a textos de estudio del periodo 1996 – 2016 cuya selección es de carácter intencionada. Por ello se analizaron los programas de estudio de este lapso de tiempo, en aquellos niveles donde se trata el objeto de estudio, considerando así, tres hitos: el primero, la reforma educacional del año 1996, la cual establece un nuevo paradigma curricular; aparecen, los objetivos fundamentales, los contenidos mínimos obligatorios y los objetivos transversales.. 21.

(22) Se diferencia entre un marco que define en forma abierta los aprendizajes mínimos de cada nivel y los programas de estudio, que forman un ordenamiento temporal de estos aprendizajes durante el año escolar. El segundo hito considerado es el ajuste curricular del año 2009, en el cual se tiene una actualización mayor del marco curricular vigente, que tuvo por objeto destacar la presencia e importancia de las habilidades que deben desarrollarse en cada asignatura, además de un ajuste articulado de los instrumentos curriculares; marco curricular, programas de estudio, mapas de progreso y textos escolares. Finalmente el tercer hito considerado obedece a la incorporación de las nuevas bases curriculares desde el año 2012, que reemplazan los objetivos fundamentales, contenidos mínimos obligatorios y objetivos transversales por los objetivos de aprendizaje y objetivos de aprendizaje transversales. La implementación de estas bases curriculares es de manera secuencial llegando este año 2016 a los niveles de 7° y 8° básico. En consideración a la reforma de 1996, el ajuste curricular de 2009 y la incorporación de bases curriculares 2012 es que se han definido tres sub periodos de estudio:  Primer periodo: 1996 – 2008  Segundo periodo: 2009 – 2011  Tercer periodo: 2012 – 2016 Para la recolección de las unidades de análisis; textos escolares, se visitaron bibliotecas de colegios, librerías de libros usados, páginas web y ferias libres, recolectando un total de 20 libros de texto. De estos, se hizo una selección intencional y por conveniencia de aquellos textos más representativos de cada periodo según los siguientes criterios:  . Presentación del objeto de estudio división de fracciones. Textos de repartición pública distribuidos por el ministerio de educación y privados de editoriales con mayor posicionamiento, prestigio y antigüedad en el mercado.. 22.

(23) Se establece de este modo, una selección final de 9 libros de texto, agrupados según los tres periodos de estudio como se muestra en la siguiente tabla: Periodo A. B. C. Nivel. Año. Título. Editorial. Distribución. 6° 6°. 1998 2003. Santillana Santillana. Privada Privada. 6°. 2006. Sm. Privada. 6°. 2009. Santillana. Ministerial. 6°. 2012. Pearson. Privada. 6°. 2012. Sm. Privada. 7° 7° 7°. 2014 2015 2016. Matemática Educación Básica 6 Matemática 6° Educación Básica Proyecto Futuro Educación Matemática 6° Educación Básica 6° Educación Básica Matemática Matemática 6° Básico Exploradores Matemáticas. Aprendizajes para la vida. Proyecto Sé 7° Básico Matemática 7° Básico Matemática 7° Básico. Galileo Sm Santillana. Ministerial Ministerial Privada. 3.3 Instrumentos de recolección de datos Se diseñaron dos matrices como instrumentos de recolección de datos; una matriz de Información General (MIG) para caracterizar los textos de estudio (año de edición, información acerca de los autores, editorial y número de páginas dedicadas al tema y una matriz para el Análisis de la Presentación del Contenido (MAPC) con el propósito de obtener información acerca de los registros de representación semiótica de la teoría de Raymond Duval, tratamientos, conversiones entre registros y congruencia entre conversiones. Para su validación, ambos instrumentos fueron sometidos a juicio de expertos, didactas de la matemática, los que aportaron mejoras relativas a los objetivos del estudio. Además, se aplicó un pilotaje de ambas matrices, de acuerdo a los cuales fueron ajustadas y modificadas, antes de su aplicación a la selección de textos de estudio.. 23.

(24) Matriz Información General (MIG) Esta matriz contiene las componentes; código, año de edición, título, editorial, autores, formación de los autores, bibliografía, número de páginas dedicadas al tema (contenido y ejercitación) y distribución (ministerial o privada). El código está formado por tres elementos; nivel, periodo y orden cronológico dentro del periodo. Nivel 6: Sexto básico 7: Séptimo básico Periodo A: Si corresponde al periodo 1996 – 2008 B: Si corresponde al periodo 2009 – 2011 C: Si corresponde al periodo 2012 – 2016 Orden dentro del sub periodo 1: primer libro 2: segundo libro 3: tercer libro Ejemplo de código: 7B1 Libro de texto de séptimo básico, del sub periodo 2009 – 2011, primer libro dentro del periodo. Código Año de edición Título Editorial Autores Información de los autores Bibliografía N° de Contenido páginas dedicadas a Ejercitación. Distribución. 24.

(25) Matriz de análisis de la presentación del contenido (MAPC) Esta matriz considera los siguientes componentes: Periodo: Correspondiente a uno de los tres periodos, A(1996 – 2008), B(2009 – 2011) y C(2012 – 2016) Código: descritos para la matriz MIG Representaciones: Identifica los distintos registros de representación semiótica, registro figural, registro gráfico, registro numérico, registro algebraico y registro lengua natural, que se presentan. Tratamientos: Identifican las transformaciones internas a un registro inicial a uno terminal. Conversiones: Identifica la transformación de la representación de un objeto en un registro en una representación del mismo objeto en otro registro. Congruencia: Analiza las tres condiciones necesarias para establecer la congruencia de dos registros; correspondencia semántica entre sus unidades significantes, univocidad semántica terminal y mismo orden posible de aprehensión de las unidades en ambos registros.. 25.

(26) 1. Periodo 2. Código del texto 3. 3.1 Registro Figural Representacio 3.2 Registro Gráfico nes 3.3 Registro Numérico. 4. Tratamientos. 5. Conversiones. 6. Congruencia. 3.4 Registro Algebraico 3.5 Lengua Natural 4.1 Registro Figural 4.2 Registro Gráfico 4.3 Registro Numérico 4.4 Registro Algebraico 4.5 Lengua Natural 5.1 Se presentan 5.1.1 R. Figural - R. Gráfico conversiones. 5.1.2 R. Figural - R. Numérico 5.1.3 R. Figural - R. Algebraico 5.1.4 R. Figural - R. Lengua natural 5.1.5 R. Gráfico – R. Numérico 5.1.6 R. Gráfico – R. Algebraico 5.1.7 R. Gráfico – R. Lengua natural 5.1.8 R. Numérico – R. Algebraico 5.1.9 R. Numérico – R. Lengua natural 5.1.10 R. Algebraico – R. lengua natural 5.2 No se presentan conversiones. Conversió Análisis de congruencia n Correspondencia Univocidad Mismo orden posible de semántica entre semántica aprehensión de las sus unidades terminal. unidades en ambas significantes. representaciones. 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10. 26.

(27) CAPÍTULO 4: RECOPILACIÓN Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. 4.1 Reformas educacionales y actualizaciones curriculares. En 1996, bajo la ley orgánica constitucional de enseñanza (LOCE) de 1990, se promulga el decreto Supremo n°40 que constituye el nuevo marco curricular de la educación básica, apareciendo así los objetivos fundamentales que especificaban los logros del estudiante y los contenidos mínimos obligatorios; lista de temas que debe abordar el docente para que el alumno logre los objetivos fundamentales. Los establecimientos educacionales por primera vez en la historia de la educación chilena, pueden definir sus propios contenidos complementarios a los programas de estudio. En términos curriculares: cada establecimiento y grupo de docentes de él, tiene la posibilidad de elegir si innovar curricularmente o seguir los programas de estudio del ministerio de educación, se redefinen los contenidos de cada disciplina, se proponen sectores de aprendizaje en vez de asignaturas, se reemplazan los niveles escolares por niveles básicos(NB1, NB2, ..) y las teorías de aprendizaje giran en torno del concepto de aprendizaje significativo; donde la experiencia, los conceptos previos de los alumnos y las situaciones en contexto son relevantes. Los cambios en el currículo se evidencian también en los textos de estudios y en los sistemas de evaluación, Cox(1997). Dos años más tarde, en 1998, se aprueba el decreto Supremo n°220 que es el marco curricular para la enseñanza media, el que incluye la formación diferenciada y modalidad técnico profesional. Ambos marcos curriculares fueron actualizados y corregidos posteriormente, siendo lo más relevante, la actualización para la enseñanza básica el año 2002 y la actualización para la enseñanza media el año 2005. El ministerio de educación diseña un ajuste curricular mayor cuyo decreto es promulgado en agosto de 2009, el cual establece un ajuste articulado de los instrumentos curriculares; programas de estudio (¿cómo se puede enseñar?), marco curricular (¿qué deben aprender los estudiantes?), mapas de progreso (¿cómo se puede monitorear el aprendizaje?) y textos escolares (¿cómo apoyar el desarrollo de los aprendizajes del currículum en el aula?). 27.

(28) Un mes más tarde, en septiembre de 2009 es promulgada la nueva ley general de educación (LGE) que deroga la estructura curricular de este ajuste. La nueva ley general de educación (LGE) genera tres cambios fundamentales en el currículum: el primero es que modificó los objetivos generales de la educación básica y media, eliminó los objetivos fundamentales y contenidos mínimos; estableció los objetivos de aprendizaje. En segundo lugar modificó los ciclos escolares, 6 años de educación básica y 6 años de educación media. Y por último, estableció como obligatorio que el currículum nacional cubriera como máximo un 70% del tiempo escolar. Con el fin de adaptar los instrumentos curriculares a las nuevas exigencias de la ley, el año 2012 el ministerio de educación elabora y publica las bases curriculares de enseñanza básica (documento principal del currículum nacional) que establecen los aprendizajes comunes que deben lograr todos los estudiantes y los programas de estudio que tienen por finalidad organizar en el tiempo estos aprendizajes, junto a ello, derivados de los objetivos generales de la ley, se redefinen los objetivos transversales que se refieren al desarrollo personal y a la conducta moral y social de los estudiantes. En el año 2013, el ministerio de educación pone en vigencia las bases curriculares del sector matemática, desde 7° a 2° medio y entran en vigencia los nuevos programas de estudio de séptimo y octavo. Los libros de texto son la evidencia empírica de la forma de concebir la enseñanza de la matemática en una época determinada Vidal (2010). Se consideran un instrumento de apoyo para docentes y estudiantes en los procesos de enseñanza y aprendizaje, es así que la política pública del estado chileno en materia de textos escolares, establece la entrega gratuita de textos escolares para alumnos de establecimientos municipales y subvencionados de todo el país, pero no solo circulan textos de procedencia estatal, sino también privada. Una consideración importante para su uso y valoración es que estos contengan las actualizaciones curriculares que emanan del ministerio de educación. En esta investigación, se analizaron textos de estudio del periodo comprendido entre el año 1996 y el 2016, en los niveles de 6° y 7° básico en referencia a la división de fracciones. Para precisar el análisis y situarnos en 28.

(29) el contexto curricular en el cual se aborda el objeto de estudio hemos subdividido el periodo en tres sub-periodos: Periodo 1: desde 1996 a 2008, considera la reforma de 1996 educación básica con su ajuste curricular el 2002 y la reforma de 1998 educación media, con su ajuste curricular el 2005. Periodo 2: desde 2009 a 2011, considera el gran ajuste curricular de 2009 y la puesta en vigencia de la nueva ley general de educación Septiembre de 2009. Periodo 3: desde 2012 a 2016, considera la incorporación de bases curriculares para enseñanza básica el año 2012 y desde 7° a 2° medio el año 2013. 4.2 Revisión programas de estudio 1996 a 2016 Periodo 1996 – 2008 En este periodo se definen los objetivos fundamentales como las competencias que los alumnos deben lograr en los distintos periodos de su escolarización, para cumplir los objetivos generales y requisitos de egreso de la enseñanza básica, teniendo así objetivos fundamentales transversales y objetivos fundamentales verticales. Los contenidos mínimos se entienden como los conocimientos específicos que los establecimientos deben obligatoriamente enseñar y promover para cumplir los objetivos fundamentales de cada nivel. Los objetivos y contenidos planteados se agrupan en torno a cuatro ejes temáticos; números, operaciones aritméticas, formas y espacio, y resolución de problemas. En la actualización curricular del año 2002, la división de fracción se aborda en el nivel NB4, 6° año básico y plantea: Objetivo fundamental Operar con cantidades no enteras utilizando, de acuerdo a la situación números decimales o fracciones.. 29.

(30) Contenidos mínimos obligatorios Multiplicación y división de fracciones en situaciones habituales. Análisis de las relaciones entre factores y productos y entre los términos de una división y el cuociente en diferentes casos, cuando intervienen cantidades menores que 1. Periodo 2009 – 2012 En este periodo el currículum nacional se define dentro de un marco curricular que define el aprendizaje que todos los estudiantes del país deben lograr a lo largo de su escolaridad. Es obligatorio y en base a este se construyen los planes y programas de estudio, los mapas de progreso, los textos escolares y la prueba SIMCE. Los programas de estudio deben lograr los objetivos fundamentales definidos en el marco curricular. Contienen una organización didáctica del año escolar, definiendo aprendizajes esperados, dando ejemplos de actividades de enseñanza, orientaciones metodológicas y de evaluación. Los mapas de progreso describen en 7 niveles las competencias consideradas fundamentales para la formación de los estudiantes. Y los niveles de logro del SIMCE son descriptores de desempeño que exhiben los estudiantes al final de cada ciclo escolar y que evalúa la prueba SIMCE. Los textos escolares desarrollan los contenidos definidos en el marco curricular para apoyar el aprendizaje de los estudiantes dentro y fuera del aula escolar. En la actualización curricular del año 2009, la división de fracciones se ubica en el nivel de 6° básico y plantea: Objetivo fundamental Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito para efectuar multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas y de números decimales positivos en el contexto de la resolución de problemas y el estudio de regularidades de estas operaciones.. 30.

(31) Contenidos Mínimos Obligatorios Cálculo escrito mental y aproximado de multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas y de números decimales positivos; operaciones combinadas con estos números y aplicación en contextos cotidianos; y, empleo de la calculadora u otras herramientas tecnológicas para el estudio de regularidades en la multiplicación y división de fracciones y números decimales. Periodo 2013 – 2016 En este periodo se incorporan bases curriculares como nuevo instrumento curricular cuya principal innovación con respecto a los instrumentos anteriores es que se reemplazan los objetivos fundamentales, los contenidos mínimos obligatorios y los objetivos transversales por objetivos de aprendizaje (OA) y objetivos de aprendizajes transversales (OAT). La asignatura se focaliza en el desarrollo de cuatro habilidades: resolver problemas, representar, modelar y argumentar y comunicar. Y los conocimientos se organizan en cuatro ejes temáticos: números, álgebra y funciones, geometría y probabilidad y estadística. Junto a ellos se tienen un conjunto de actitudes derivadas de la ley general de educación y de los objetivos de aprendizaje transversales (OAT). Estas actitudes se relacionan con la asignatura y se orientan al desarrollo social y moral de los estudiantes. En este periodo la división de fracciones se ubica en el nivel de 7° básico, en referencia a ello, en el programa de estudio del nivel, año 2016, se tiene: Objetivo de Aprendizaje (OA 2) Explicar la multiplicación y división de fracciones positiva, utilizando representaciones concretas, pictóricas y simbólicas, y relacionándolas con la multiplicación y la división de números decimales. Indicadores de evaluación  Representan la división de una fracción por otra fracción con material concreto o en la recta numérica.  Aplican las reglas de la división de fracciones en ejercicios rutinarios.. 31.

(32) Objetivos de Aprendizaje (OA 3) Resolver problemas que involucren la multiplicación y división de fracciones y decimales positivos, de manera concreta, pictórica y simbólica. (de forma manual y/o con software educacional) Indicadores de evaluación Utilizan diversas metáforas (como partición, cubrimiento) para describir la división de fracciones. Crean problemas de la vida cotidiana que se modelan y se resuelven con operaciones matemáticas en el ámbito de los números enteros y fracciones. Identifican procedimientos de la vida diaria con operaciones matemáticas; por ejemplo: agregar y reducir con sumar y restar, repartir con dividir, etc El programa de estudio, también contiene ejemplos de actividades para cada objetivo con las respectivas habilidades a desarrollar.. 4.3 Representar en los programas de estudio Con la incorporación de nuevas bases, las orientaciones curriculares promueven que el profesor utilice un modelo pedagógico que promueva la comprensión de los conceptos matemáticos y no la mera repetición y mecanización de algoritmos, definiciones y fórmulas. El currículum de matemática hace énfasis en que es indispensable que los estudiantes adquieran una sólida comprensión de los conceptos matemáticos y para ello deben ser capaces de transitar fluidamente entre los distintos niveles desde la representación concreta hacia la pictórica, para avanzar progresivamente hacia un lenguaje simbólico. Representar permite relacionar el conocimiento intuitivo con una explicación formal de las situaciones, potenciar la comprensión, memorización y explicación de las operaciones, relaciones y conceptos matemáticos, dando un significado cercano a las expresiones matemáticas.. 32.

(33) 4.4 Análisis de los libros de texto: aplicación de las matrices. Cada tabla ha sido identificada [TABLAnúmero - código del texto] así también cada imagen a sido identificada de la siguiente forma [IMGnúmero – código del texto] 4.4.1 Periodo 1996 -2008 Aplicación de la matriz MIG al texto 6A1 Código Año de edición Título Editorial Autores Información de los autores Bibliografía N° de Contenido páginas dedicadas a Ejercitación. Distribución. 6A1 1998 Matemática Educación Básica 6 Santillana Alicia Cofré Jorquera Alicia Russell Cofré ----2 3. 3. 1 3. Privada. [TABLA1 - 6A1] Aplicación de la matriz MAPC al texto 6A1 Se introduce la división de fracciones con un problema de reparto de un litro de bebida en vasos de un cuarto de litro.. [IMG1 - 6A1]. 33.

(34) A continuación, se presentan progresivamente divisiones de números enteros entre fracciones unitarias, de fracciones unitarias entre fracciones unitarias de igual denominador y de expresiones mixtas entre fracciones unitarias de igual denominador.. [IMG2 – 6A1 Se indica al lector utilizar diagramas para resolver divisiones entre fracciones de igual denominador.. [IMG3 – 6A1] El contexto utilizado es el de medida. No se explicita, inicialmente, algoritmo para la resolución de divisiones.. un. [IMG4 – 6A1] En el item 6, como se muestra en [IMG4 – 6A1], se indica al lector expresar ambos elementos, dividendo y divisor, en fracciones de igual denominador. Se destaca que la división de fracciones no es conmutativa, sin ejemplos que justifiquen aquello. 34.

(35) Mas adelante se muestra la división de un número entero entre una fracción unitaria, utilizando la recta numérica. Mostrando la relación entre división y multiplicación.. [IMG5 – 6A1] Luego, como se muestra en la imagen [IMG5 – 6A1] se tienen dos formas diferentes de resolver una división; la primera, aplicando la relación entre división y multiplicación. Y la segunda calculando la fracción de un número, concluyendo que ambos procedimientos equivalen a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor, instalando forzosamente el algoritmo usual para la división de fracciones, el cual aparece como la generalización de una coincidencia. . Se detecta un error en el recuadro inferior de la imagen: en concordancia a los ejemplos anteriores, la fracción dividendo 4. debe ser 3.. [IMG6 – 6A1] Se enuncia el algoritmo para la división de fracciones, “multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor” y se expresa en lenguaje algebraico, sin antes haber presentado una construcción de este procedimiento.. 35.

(36) [IMG7 – 6A1]. Representaciones utilizadas, tratamientos y conversiones Los registros utilizados son: lengua natural, registro figural, registro gráfico, registro numérico y registro algebraico. Se identifica la operación de tratamiento en el registro gráfico, registro numérico, registro algebraico y registro lengua natural, y conversiones R. Figural → R.Numérico, R. Gráfico → R. Numérico y R. Lengua natural → R. Grafico.. 36.

(37) R. Lengua Natural → R. Gráfico. R. Gráfico → R. Numérico R- Figural → R. Numérico. Conversión. Análisis de la congruencia en la conversión de registros En la tabla las columnas 1, 2 y 3 corresponden a: 1 - Correspondencia semántica entre sus unidades significantes 2 - Univocidad semántica terminal entre representaciones 3 - Mismo orden posible de aprehensión de las unidades en ambos registros. Transición de un registro representacional a otro 1. 2. 3. 3. Unidades significantes. 1. 2. 3. Si. No. No. Si. Si. Si. Si. Si. Si. . ¿Cuántos hay en ? Registro Figural. Registro Numérico.  . Dos tercios Un tercio. ¿Cuántos tercios hay en dos unidades? Registro Gráfico.  . Dos unidades en la recta. Un tercio en la recta.. Registro Numérico.  . Dos enteros Un tercio. Registro Lengua Natural.  . Dividir fracciones Se multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Registro Algebraico  . [TABLA2 – 6A1] Se tiene una conversión congruente registro gráfico →registro numérico y registro lengua natural →registro algebraico.. 37.

(38) Aplicación de la matriz MIG al texto 6A2 Código Año de edición Título Editorial Autores Información de los autores Bibliografía N° de Contenido páginas dedicadas a Ejercitación. Distribución. 6A2 2003 Matemática 6 Educación Básica Proyecto Futuro Santillana María Paulina Sandoval Labarca Mauricio José Aguilar Baeza ----2 3. 3. 1 3. Privada. [TABLA1 – 6A2] Aplicación de la matriz MAPC al texto 6A2 En el desarrollo de cada unidad del texto, se tienen las secciones APRENDE y PRACTICA. Para tratar la división de fracciones, en la sección APRENDE(como se muestra en la imagen [IMG1 – 6A2]) se presenta un problema de agrupación relacionando las figuras rítmicas con sus respectivos tiempos, en un contexto de medida. Para su resolución se muestra una recta numérica, que contiene los datos entregados en el enunciado. Bajo ella, se presenta la división de tres enteros entre tres cuartos con su respectivo resultado y la respuesta a la pregunta planteda en el problema. En paralelo, a la derecha en la misma página, se muestra un recuadro que contiene las figuras rítmicas con sus respectivos tiempos de duración.. 38.

(39) [IMG1 – 6A2]. En el recuadro con fondo amarillo, se describe en lengua natural, el procedimiento para dividir un número natural entre una fracción y una fracción entre otra fracción, se ejemplifica y a la derecha otro recuadro, contiene el recíproco de una fracción y recíproco de un número natural, expresados en lenguaje algebraico. Se establece así, el algoritmo de multiplicar la fracción dividendo por el recíproco de la fracción divisor, sin construcción ni justificación mediante, esperando posiblemente que el lector relacione la resolución del problema con el uso del algorimo descrito.. 39.

(40) Como observación, se utiliza la recta numérica con sagita hacia ambos extremos, a pesar de que al nivel sexto básico los estudiantes solo han trabajado con números positivos; naturales, fracciones y decimales. En la sección PRACTICA se tienen cinco items con ejercicios en los cuales deben: determinar el recíproco de una fracción, calcular divisiones de fracciones, completar el término desconocido en igualdades que contienen multiplicación o división de fracciones, resolución de problemas que requieren dividir fracciones y completar la secuencia numérica.. En la imagen, se muestra uno de los items de sección PRACTICA, donde se puede observar que el objetivo es la repetición del algorimo y no su comprensión.. [IMG2 - 6A2]. Representaciones utilizadas, tratamientos y conversiones Se observa el uso de los registros de lengua natural, registro gráfico y registro numérico, en los cuales también se identifica la operación de tratamiento. Se identifican conversiones entre R. Gráfico → R. Numérico y entre R. Lengua Natural →. R. Numérico.. 40.

(41) Conversión. Análisis de la congruencia en la conversión de registros: En la tabla las columnas 1, 2 y 3 corresponden a: 1 - Correspondencia semántica entre sus unidades significantes 2 - Univocidad semántica terminal entre representaciones 3 - Mismo orden posible de aprehensión de las unidades en ambos registros. Transición de un registro representacional a otro. R- Gráfico → R. Numérico. Registro Gráfico. Registro Numérico. Unidades significantes.  . Tres tiempos. Tres cuartos tiempo. 1. 2. 3. Si. Si. Si. Si. Si. Si. de.  . Lengua natural → R. Numérico. Registro Numérico . Registro Lengua Natural.  . . Dividir un número natural por una fracción. Multiplica el número natural por el recíproco de la fracción.. [TABLA 2 – 6A2] Por lo tanto se tienen conversiones congruentes R. gráfico → R. numérico y R. lengua natural → R. numérico.. 41.

(42) Aplicación de la matriz MIG al texto 6A3 Código Año de edición Título. Editorial Autores. Información de los autores. Bibliografía N° de páginas dedicadas a. Contenido. 6A3 2006 Educación Matemática 6° Educación Básica Proyecto Ecosfera Sm Mauricio José Aguilar Baeza David Antonio López González Ana María Rodríguez Canessa María Paulina Sandoval Labarca  Mauricio José Aguilar Baeza Profesor de Matemática Ingeniero Civil de Industrias Pontificia Universidad Católica de Chile  David Antonio López González Profesor de Estado en Física y Matemática Universidad de Talca Magíster en Educación mención currículum y comunidad Educativa Universidad de Chile  Ana María Rodríguez Canessa Profesora General Básica Mención en Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Postítulo en Psicopedagogía Universidad de Antofagasta  María Paulina Sandoval Labarca Profesora Enseñanza Media Matemática Magíster en Ciencias de la Educación mención Dificultades del Aprendizaje Pontificia Universidad Católica de Chile. --1 5. Ejercitación. Distribución. 3. 4 5. Privada. [TABLA1 – 6A3]. 42.

(43) Aplicación de la matriz MAPC al texto 6A3 Previo al tratamiento de la división de fracciones el texto contiene un apartado para las fracciones inversas las que se formalizan como aquellas fracciones cuyo producto es el elemento neutro y que toda fracción distinta de cero tiene inverso.. [IMG1 – 6A3] Observación; se habla de “inverso y elemento neutro del producto” pero previo a ello en el texto, al tratar la multiplicación de fracciones no se mencionaron sus propiedades.. 43.

(44) Se introduce la división de fracciones mediante un problema de reparto en un contexto de medida, se pregunta por la operación necesaria para resolver el problema, solicitando además una representación gráfica de la situación. En el texto, se muestra la resolución del problema haciendo uso de un registro figural (diagramas rectangulares) y un registro numérico. [IMG2 – 6A3] A continuación, se plantea una variación de los datos del problema inicial y se indica el uso de la fracción inversa para comprobar el resultado en el enunciado inicial del problema.. 44.

(45) [IMG3 – 6A3] En la página siguiente, se formaliza en lengua natural, el algoritmo usual para dividir fracciones, el cual consiste en multiplicar la fracción dividendo por la fracción inversa de la fracción divisor, no se presenta una construcción ni justificación del procedimiento indicado, solo se ejemplifica. Los dos items siguientes están destinados a la ejercitación del algoritmo, primero para resolver ejercicios planteados en lenguaje numérico y luego para resolver problemas en contextos de medida. No se evidencian ejercicios que permitan justificar el algoritmo o la construcción de otros procedimientos que permitan dividir fracciones. Representaciones utilizadas, tratamientos y conversiones Se identifica la transformación de tratamiento en el registro figural, registro numérico y lengua natural, así también conversiones: R. Figural →R. Numérico, R. Lengua natural → R.Figural y R. Lengua natural→ R. Numérico. Todas ellas congruentes.. 45.

(46) Conversión. Análisis de la congruencia en la conversión de registros En la tabla las columnas 1, 2 y 3 corresponden a: 1 - Correspondencia semántica entre sus unidades significantes 2 - Univocidad semántica terminal entre representaciones 3 - Mismo orden posible de aprehensión de las unidades en ambos registros Transición de un registro representacional a otro. Unidades significantes. 1. 2. 3. Registro Figural. . R- Figural → R. Numérico. . . Si. Si. Si. Si. Si. Si. Si. Si. Si. Registro Numérico .   Registro Figural. . Registro Lengua natural. R. Figural R. Numérico. R. Lengua Natural →R. Figural. . R. Lengua natural→R. Numérico. Registro Lengua natural.    .  . Tres cuartos kg de azúcar Un cuarto kg de azúcar Tres bolsas. Dividir fracciones Multiplicamos el dividendo por la fracción inversa que corresponde al divisor.. Registro Numérico  . [TABLA2- 6A3 ] 46.

(47) 4.4.2 Periodo 2009 – 2011 Aplicación de la matriz MIG al libro 6B1 Código Año de edición Título Editorial Autores Información de autores. los. Bibliografía. 6B1 2009 6° Educación Básica. Matemática Santillana Javiera Setz Mena Licenciada en Matemática. Profesora de Matemática y Educación Media. Licenciada en Educación. Pontificia Universidad católica de Chile. El libro de texto contiene una extensa bibliografía, entre ella:  Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios. Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007. Material CRA  Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.  Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993.  Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991.  Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997.  Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002..  N° de páginas dedicadas a. Distribución. Contenido. 1. Ejercitación. 1. Llinares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988.. Ministerial. [TABLA1 – 6B1] El texto en análisis contiene una extensa bibliografía con referentes de la matemática educativa. Además, contiene sugerencias de páginas web y software educativos.. 47.

(48) Aplicación de la matriz MAPC al texto 6B1 La división de fracciones se presenta a través de un problema en contexto de medida, donde se hace uso de la recta numérica para su resolución, se formulan preguntas con el objeto de dar respuesta a la pregunta planteada y que se den otras posibles formas de resolución al problema. En paralelo se ejemplifica, indicando el recíproco de algunas fracciones, concepto que no es formalizado en el libro de texto, pero que luego es utilizado para mostrar un procedimiento que permite resolver la situación.. [IMG1 – 6B1] Como muestra la imagen [IMG2 – 6B1], el algoritmo de la división no se construye, sino que se define y ejemplifica. [IMG2 – 6B1]. 48.

(49) La siguiente página está destinada a la resolución de ejercicios, cuyo objeto es la correcta repetición del procedimiento antes descrito.. [IMG3 – 6B1]. Representaciones utilizadas, tratamientos y conversiones Los registros utilizados son el R. gráfico, R. numérico y R. lengua natural, en los cuales se puede observar tratamientos en el mismo registro. Se presentan conversiones congruentes R. Lengua natural→R. Gráfico y R. Lengua natural →R. Numérico .. 49.

(50) R. Lengua Natural→ R- gráfico. Conversión. Análisis de la congruencia en la conversión de registros En la tabla las columnas 1, 2 y 3 corresponden a: 1 - Correspondencia semántica entre sus unidades significantes 2 - Univocidad semántica terminal entre representaciones 3 - Mismo orden posible de aprehensión de las unidades en ambos registros. Unidades significantes. Transición de un registro representacional a otro. R. lengua natural.  . 6 metros Tres cuartos metros. R. gráfico. . 6 metros en el gráfico. Tres cuartos metros en el gráfico.. . 1. 2. 3. Si. Si. Si. Si. Si. Si. R. numérico. R. Lengua natural →R. Numérico.   . R. lengua natural. . Dividir número natural por fracción Multiplicar el número natural por el recíproco de la fracción.. [TABLA 2 – 6B1]. 50.

(51) Aplicación de la matriz MIG al texto 6B2 Código Año de edición Título Editorial Autores. Información de los autores Bibliografía N° de páginas dedicadas a. Distribución. 6B2 2012 Matemática 6° básico Pearson Randall I. Charles - Janet H. Caldwell Mary Cavanagh - Dinah Chancellor Juanita V Copley - Warren D. Crown Francis Fennell - Alma B. Ramírez Kay B. Sammons - Jane F. Schielack William Tate - John a. Van de Walle ---. Contenido. --2. Ejercitación. 2. Privada. [TABLA1 – 6B2]. Aplicación de la matriz MAPC al texto 6B2 En la organización general de este libro de texto, dentro de cada unidad, se tienen lecciones llamadas “Aprendizaje visual”, ubicadas en el extremo superior de dos páginas del libro, en estas se presenta graficamente el objetivo de cada unidad. También, en el extremo superior, se tiene el recuadro con la sección llamada “¡Lo entenderás!”, la cual presenta brevemente el aprendizaje esperado de la lección. En cada lección, están contenidas las secciones “otro ejemplo”, que presentan un ejemplo o estrategia adicional relacionada con el aprendizaje visual. Por último, en la sección “Práctica” se presentan diferentes ejercicios para poner en práctica el conocimiento adquirido, esta sección contiene una subsección de resolución de problemas.. 51.

(52) Como se observa en la siguiente imagen, en la lección se presentan las nociones de división de fracciones, por medio de un problema de reparto, en un contexto de medida, explicando dos procedimientos de resolución; uno que utiliza la recta numérica y otro aritmético, que considera la división como una resta repetida.. [IMG 1- 6B2] En la sección “Otros ejemplos”, se muestra un tercer procedimiento para dividir una fracción propia entre un número entero, considera en paralelo el tratamiento en lenguaje natural y la [IMG 2 – 6B2] representación figural. Luego, en la sección “Práctica” se tiene un items que indica replicar la aplicación de los modelos proporcionados(recta numérica y rectángulos), otro items donde deben aplicar la “segunda estrategia”, que asumimos se refiere a la resta repetida.. [IMG 3 – 6B2] 52.