POTENCIAS Y RA´
ICES
1.
Elevando...
Supongamos que queremos multiplicar un n´umeronveces por s´ı mismo, para ello se han creado laspotencias. Esto es
a·a·. . .·a
| {z }
nveces
=an ,
donde a es la base y n se conoce como exponente. Lo leemos como ”a elevado an”.
Ejemplo 1 Veamos algunos casos
1. 53
= 5·5·5 = 5·25 = 125.
2. (−3)4 = (
−3)·(−3)·(−3)·(−3) = 9·9 = 81.
3. (−3)5
= (−2)·(−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 4·4·(−2) = 16·(−2) =−32.
4. (−1)123
+ (−1)456
= (−1) + 1 = 0.
5. −32 =−9.
Ojo 1 No es lo mismo (−3)2
que −32
, en el primero se esta elevando todo
−3 a 2, en cambio en el segundo caso se esta elevando s´olo3 a 2 y luego se est´a multiplicando por −1.
Ojo 2 Cuando elevamos a:
2 se dice que elevamos al cuadrado.
3 se dice que elevamos al cubo.
nse dice que elevamos a la na
. Por ej.x4
Veamos las propiedades de las potencias 1. am
·an
=am+n . 2. am
:an =am
−n . 3. am
·bm
= (a·b)m . 4. am
:bm
= (a:b)m . 5. (am
)n =am
·n .
6. a0
= 1, si a6= 0. 7. a−n
= 1
an, si a6= 0.
Ojo 3 Cuando elevamos a un n´umero par, el resultado es siempre un no negativo ya que si utilizamos la propiedad 5: a2n
= (a2 )n
y a2
es siempre mayor o igual a0. Se sugiere repasar signos en la multiplicaci´on.
Ojo 4 00 no est´a definido.
Ejemplo 2 Veamos algunos casos donde se utilizen estas propiedades
1. 43 ·53
·27
·107 = (4 ·5)3
·(2·10)7 = 203
·207= 203+7 = 2010.
2. (64 )3
·(42 )6
·(84 )5
·(32 )10
= 612 ·412
·820 ·320
= 2412 ·2420
= 2432
.
3. 3
5 ·63
·23 ·36
·24 ·38 38
·28
·64 = 35
· 663 ·23
·36 ·24
· 638 638
·28
· 664 = 35
·36 ·23
·24 28
·6 = 3
11 ·27 28
·2·3 = 6311
· 627 628
·2· 63 = 310
22 .
2.
Radicalizando...
Supongamos que queremos encontrar un n´umero tal que al multiplicarlo por s´ı mismo n veces nos entre otro n´umero. Para ello se han creado las
ra´ıces. Esto es,
a·a·. . .·a
| {z }
nveces
=b⇒an
=b⇒a= √n
b,
dondebes la base y nes el ´ındice de la ra´ız.
Ejemplo 3 Veamos algunos casos
1. √4 = 2, ya que 22 = 4. 2. √9 = 3, ya que 32 = 9.
3. √3
−8 =−2 ya que(−2)3 = −8. Ojo 5 A pesar de que (−2)2
= 22
= 4, por convenci´on √4 = 2, es decir,
√
4 =−2est´a mal. Sin embargo, cuando resolvamos ecuaciones de segundro grado deberemos considerar ambos casos.
Veamos algunas propiedades de las ra´ıces 1. √n
a· √n
b= √n
a·b.
2. √n
a: √n
b= √n
a:b. 3. a· √n
b= √n
an ·b.
4. √n
a=a1n.
Ojo 6 De forma an´aloga, √2aes la ra´ız cuadrada dea, √3aes la ra´ız c´ubica
dea, etc.
Ojo 7 Por lo general, √2a=√a, es decir, no se escribe el exponente de la
ra´ız cuadrada.
Ojo 8 Al escribir las ra´ıces como potencias (Propiedad 4) se puede utilizar las mismas propiedades vistas antes el ´ındice de la ra´ız ahora puede ser un real cualquiera distinto de 0.
Ojo 9 Un error bastante com´un es decir que √n
a· m√
a= n+m√
a. Lo correcto ser´ıa √n
a· m√
a=an1 ·a
1
m =a
1
n+
1
m =a m+n
nm = nm√a
m+n
Ojo 10 Cuando queremos obtener la ra´ız de un n´umero, cuyo ´ındice es par, este n´umero DEBE ser mayor o igual que 0, de lo contrario, este nuevo n´umero no pertenece a los n´umeros reales. Por ejemplo, √−1, tambi´en co-nocido como ”i” ounidad imaginaria, es un n´umero que no est´a definido enRy pertenece a los n´umeros complejos C(no estan inclu´ıdos en el
tema-rio de la PSU).
Ojo 11 La ra´ız de ´ındice imparpuede ser negativa o positiva, dependiendo de la base.
Ejemplo 4 Supongamos que queremos ordenar en forma creciente los n´ ume-ros a = 2√3, b = 3√2 y c =√15. Entonces, debemos utilizar la propiedad
3 porque a =√22
·3 = √12, b = √32
·2 = √18, c = √15 y como veremos despu´es cuando analicemos la funci´on ra´ız, si 0< b < a entonces √b <√a
y por lo tanto, a < c < b.
Ejemplo 5 Ahora, supongamos que queremos ordenar de forma decreciente los n´umeros a= 2
√
3, b= 1
√
2 yc= 2√2
5 . Para ello, utilizaremos la
racionali-zaci´onque es una forma de amplificar para borrar la ra´ız del denominador. Por ejemplo, para el caso de
a= √2 3 = 2 √ 3 √ 3 √ 3 = 2√3
3 ,
b= √1 2 = 1 √ 2 √ 2 √ 2 = √ 2 2 , c= 2
√ 2 √
5 = 2√2
√ 5 √ 5 √ 5 = 2√10
5 .
Ahora, ya tenemos expresiones conocidas y sabemos c´omo trabajar con ellas. Igualamos denominadores, ya queM CM(2,3,5) = 30, entonces
a= 2 √
3
3 =
2√3 3 ·
10 10 =
20√3 30 = √ 1200 30 , b= √ 2 2 = √ 2 2 · 15 15 =
15√2 30 =
√ 450 30 , c= 2
√ 10
5 =
2√10 5 ·
6 6 =
12√10 30 =
√ 1440
30 .
Ojo 12 Tambi´en, podemos decir entre qu´e numeros est´a una ra´ız. Por ejem-plo, como 1<3<4, entonces √1<√3<√4⇒ 1<√3<2, es decir, √3
es un n´umero entre 1 y 2. De hecho, √3 = 1,7320. . ..
3.
Notaci´
on Cient´ıfica
Cuando estudiamos F´ısica o Qu´ımica, aparecen algunos n´umeros im-portantes que son extremadamente peque˜nos o inmensamente grandes, por ejemplo la carga de un electr´on. Para no tener que escribir una chorrera de ceros, se utiliza la notaci´on cient´ıfica, en este caso es aproximadamente 1,6·10−19[c].
Ejemplo 6 Veamos algunos ejemplos
1. 0,015 = 1,5·10−2.
2. 0,0027 = 2,7·10−3.
3. 6.700.000 = 6,7·106.
Cuando un n´umero esta escrito de la formak·10n
, en que k es un n´umero mayor o igual que 1 y menor que 10 (se escribe 1≤k <10) yn∈Z, diremos que est´a escrito en notaci´on cient´ıfica. Si k no cumple con estos requisitos, entonces simplemente es unanotaci´on abreviada.
Ojo 13 La potencia de 10 nos indica cu´antos n´umeros a la izquierda (si es negativa) o a la derecha (si es positiva) debemos correr la coma. Por ejemplo
1·10−2 = 0,01 ya que corrimos la coma 2 lugares hacia la izquierda.
Ojo 14 Lo siguiente excede los contenidos de la PSU, pero podr´ıa ser ´util (Se recomienda volver a mirar una vez que hayamos visto desigualdades). Supongamos que queremos una mayor precisi´on en la aproximaci´on de √3
realizada anteriormente. Recordemos que 172 = 289 y 182 = 324, por lo
tanto podemos decir que 172
< 300 <182
. Pero 172
·10−2 = 289·10−2 =
2,89 y 182
·10−2 = 324·10−2 = 3,24. Adem´as 172 ·10−2 = 172 ·10−12 =
17·10−12 = 1,72 y de la misma forma, 182·10−2= 1,82.
Por lo tanto,1,72
<3<1,82
4.
Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa. 1. −38
·32 =
a) −316
b) −310
c) −36
d) 316
e) 310 2. 58
: (−5)2 =
a) −510
b) −56
c) 54
d) 56
e) 510 3. −42: (
−2)2 =
a) 16
b) 4
c) 2
d) −2
e) −4 4. (35
·85 )2
=
a) 245
b) 247
c) 2410
d) 2420
5. 150.000.000 expresado en notaci´on cient´ıfica es
a) 1,5·10−8
b) 15·107
c) 1,5·107
d) 0,15·109
e) 1,5·108
6. ¿En qu´e lugar de la recta num´erica se ubica aproximadamente √5?
0 1 2 3 4 5
a) b) c) d) e)
7. Sia= 2 y b= 8, entonces ¿cu´al(es) de las siguientes proposiciones es (son) n´umero(s) irracional(es)?
I) √ab II) √ab2 III) a√b
a) S´olo I
b) S´olo III
c) S´olo I y III
d) S´olo II y III
e) Ninguna de las anteriores.
8. La expresi´on√5−xes un n´umero real para I) Cualquier valor de x.
II) x >5.
III) x≤5.
l c
a) S´olo I
b) S´olo II
c) S´olo III
d) S´olo II y III
9. Siq=√2 entonces 1/q−2=
a) 1
√
2
b) −√2
c) 1
−2
d) 2
e) −2
10. Al ordenar en forma creciente los n´umeros a = 4√2, b = 3√3 y c= 2√7, se obtiene
a) c, b, a
b) a, b, c
c) a, c, b
d) b, a, c
e) b, c, a 11. 55
+ 55 + 55
+ 55 + 55
=
a) 56
b) 103
c) 525
d) 552
e) 255 12. 2
4 −22 22 =
a) 15
b) 4
c) 3
d) 2
13. La luz recorre aproximadamente 300.000 kil´ometros en un segundo. ¿C´omo se expresa esta distancia en notaci´on cient´ıfica?
a) 300·103 km
b) 30·104 km
c) 0,3·105 km
d) 3·105 km
e) 3·106 km 14. 4−2+ 2−3−2−4 =
a) 18
b) 1 16
c) 1 4
d) −6
e) −8
15. ¿Cu´al(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) 114
·115
= 119 II) 411+ 45 = 416 III) 411
·511
= 2011
a) S´olo I
b) S´olo II
c) S´olo I y III
d) S´olo II y III
e) I, II y III
16. La masa de un electr´on, que es aproximadamente 0,000091083·10−23
gramos, expresada en notaci´on cient´ıfica corresponde a
a) 9,1083·10−29 gramos
b) 0,91083·10−27 gramos
c) 9,1083·10−27 gramos
d) 91083·10−32gramos
17. La expresi´on 0,08·16.000.000
0,0004·0,064 escrita en notaci´on cient´ıfica es
a) 5·1010
b) 5·1012
c) 5·1011
d) 0,5·1011
e) 2·1011 18. La expresi´on √n
acorresponde a un n´umero real si: (1) a≥0
(2) n= 2k para alg´un k ∈Z.
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional. 19. Se puede afirmar que 2,37< M <5,11 si:
(1) 2,4< M (2) M <48·10−1
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
20. Seanr=x√2 y s=x+√2 . Los n´umerosr ysson racionales si: (1) x es un n´umero irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de √2.
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
1 B 2 D 3 E 4 C 5 E
6 B 7 D 8 C 9 D 10 E
