Dualidad y Análisis de
Sensibilidad
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
Dualidad
Asociado con cualquier problema de
programación lineal (PPL) existe otro
llamado
DUAL
. Conocer la relación de
Dualidad
Cuando se habla del dual de un PPL
entonces este último se denomina
PRIMAL
. Si el PPL primal es un
problema de
maximización
, entonces
su
dual
será
un
problema
de
Dualidad
Por conveniencia la variable de la
función
objetivo
del
primal
se
denomina
Z
, y sus variables primales
de decisión se denominan
Xi
. En el
caso del dual la variable de la función
objetivo se denomina
W
, y sus
Dualidad
Primero aprenderemos como hallar el
programa dual de un problema primal
de maximización, con todas sus
variables no negativas y cuyas
restricciones son todas del tipo
menor
Dualidad
Un problema estándar de maximización se puede
escribir como:
Maximizar Z =
C1 X1 + C2 X2 + ... + Cn Xn
Sujeto a:
a11 X1 + a12 X2 + ... + a1n b1
a21 X1 + a22 X2 + ... + a2n b2
.... ... ... .... ...
am1 X1 + am2 X2 + ... + amn bm
Dualidad
El dual de un problema de maximización se define
como:
Minimizar W =
b1 Y1 + b2 Y2 + ... + bm Ym
Sujeto a:
a11 Y1 + a21 Y2 + .... + am1 Ym C1
a12 Y1 + a22 Y2 + .... + am2 Ym C2
.... ... ... .... ...
a1n Y1 + a2n Y2 + .... + amn Ym C2
Dualidad
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2
Sujeto a:
X1 + 2 X2 1000
3 X1 + 2 X2 1800
X2 400
X1 0, X2 0
Minimizar W= 1000 Y1 +
1800 Y2 +400 Y3
Sujeto a:
Y1 + 3 Y2 > 3
2 Y1 + 2 Y2 + 1Y3 > 4
Y1 0, Y2 0, Y3 0
Dualidad
Dual de un problema no estándar
No todos los problemas de programación lineal
tienen la forma del problema de maximización
estándar.
Pasos:
• Identifique las variables correspondientes en el dual
de su problema primal.
Dualidad
Modelos max Modelo min
Xi
0 la iésima restricción es
Xi
0 la iésima restricción es
Xi
srs
la iésima restricción es =
la iésima restricción es
Yj
0
la iésima restricción es
Yj
0
Dualidad
Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 -2 X1 + 3 X2 + X3 6 -5 X1 + X2 - 6 X3 4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10
X1 0, X2 0, X3 srs
En este programa primal hay 3 variables primales y 4 restricciones.
Dualidad
Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 -2 X1 + 3 X2 + X3 6 -5 X1 + X2 - 6 X3 4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10
X1 0, X2 0, X3 srs
En este programa primal hay 3 variables primales y 4 restricciones.
El programa dual tendrá 4 variables duales y 3 restricciones.
Y1
Y2
Y3
Dualidad
Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 -2 X1 + 3 X2 + X3 6 -5 X1 + X2 - 6 X3 4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10
X1 0, X2 0, X3 srs
Cada columna representa una restricción del dual. Los coeficientes de la función objetivo serán los valores del lado derecho del primal. Y los valores del lado derecho del dual serán los valores de los coeficientes de la función objetivo del primal
Y1
Y2
Y3
Dualidad
Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
X1 0, X2 0, X3 srs
Función Objetivo del programa dual:
Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4
Primera restricción del programa dual:
Dualidad
Función Objetivo del programa dual:
Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4
Primera restricción del programa dual:
4 Y1- 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4 ??? 3
Modelos max Modelo min
Xi 0 la iésima restricción es Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
Dualidad
Función Objetivo del programa dual:
Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4
Primera restricción del programa dual:
4 Y1- 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4 > 3
Modelos max Modelo min
Xi 0 la iésima restricción es Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
Dualidad
Función Objetivo del programa dual:
Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4
Segunda restricción del programa dual:
-2 Y1+ 3 Y2 + Y3 + 4 Y4 < 4
Modelos max Modelo min
Xi < 0 la iésima restricción es < Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
Dualidad
Función Objetivo del programa dual:
Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4
Tercera restricción del programa dual:
3 Y1+ 1 Y2 - 6 Y3 - 2 Y4 = -2
Modelos max Modelo min
Xi srs la iésima restricción es = Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
Dualidad
Programa Dual
Min W = 12 Y1 + 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y4 Sujeto a:
4Y1 - 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4 3 -2 Y1+ 3 Y2 + Y3 + 4 Y4 4 3 Y1+ 1 Y2 - 6 Y3 - 2 Y4 = -2
Y1 0, Y2 0, Y3 0, Y4 srs Ejemplo:
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X3 Sujeto a:
4 X1 - 2 X2 + 3 X3 12 Y1
-2 X1 + 3 X2 + X3 6 Y2
-5 X1 + X2 - 6 X3 4 Y3
3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y4
X1 0, X2 0, X3 srs
la iésima restricción es Yj 0 la iésima restricción es Yj 0 la iésima restricción es = Yj srs
Dualidad
OBSERVACIÓN:
Dualidad
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 Sujeto a:
X1 + 2 X2 1000 Y1
3 X1 + 2 X2 1800 Y2
X2 400 Y3
X1 0, X2 0
Minimizar W= 1000 Y1 + 1800 Y2 + 400 Y3
Sujeto a:
Y1 + 3 Y2 + 0 Y3 > 3 2 Y1 + 2 Y2 + 1Y3 > 4
Y1 0, Y2 0, Y3 0
DUAL
Minimizar Z = 1000 X1 + 1800 X2 + 400 X3
Sujeto a:
X1 + 3 X2 > 3 Y1
2 X1 + 2 X2 + 1X3 > 4 Y2
X1 0, X2 0, X3 0
Maximizar W = 3 Y1 + 4 Y2 Sujeto a:
Y1 + 2 Y2 1000 3 Y1 + 2 Y2 1800 Y2 400
Y1 0, Y2 0
Dualidad
TEOREMA DEL DUAL:
EL VALOR OPTIMO Z DEL PROBLEMA
PRIMAL ES IGUAL AL VALOR OPTIMO W
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El objetivo de este análisis es determinar los
cambios
en el
valor
de la función objetivo
Z
al
variar:
a) los coeficientes de las variables de decisión en
la función objetivo, y
b) los valores en el lado derecho de las
restricciones.
Ejemplo
Una compañía elabora los productos A, B y C. Cada producto se procesa en tres departamentos: I, II y III. El total disponible de horas de trabajo por semana por cada departamento es de 900, 1080 y 840 horas, respectivamente. Los requisitos de tiempo (en horas por unidad) y la ganancia por cada unidad del producto son:
¿Cuántas unidades de cada producto debe fabricar la compañía para maximizar las ganancias?
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Producto Producto Producto
A B C
Departamento I 2 1 2
Departamento II 3 1 2
Departamento III 2 2 1
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El programa lineal respectivo será la
siguiente:
Maximizar Z = 16 x1 + 12 x2 + 15 x3
Sujeto a:
Maximizar Z = 16 X1 + 12 X2 + 15 X3
Sujeto a:
2 X1 + X2 + 2 X3 900 (s1) 3 X1 + X2 + 2 X3 1080 (s2) 2 X1 + 2 X2 + X3 840 (s3)
X1, X2, X3 0 FORMA ESTANDAR
Maximizar Z = 16 X1 + 12 X2 + 15 X3 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3
Sujeto a:
2 X1 + 1 X2 + 2 X3 + 1 s1 + 0 s2 + 0 s3 = 900 3 X1 + 1 X2 + 2 X3 + 0 s1 + 1 s2 + 0 s3 = 1080 2 X1 + 2 X2 + 1 X3 + 0 s1 + 0 s2 + 1 s3 = 840 X1, X2, X3, s1, s2, s3 0
ITERACION 4
Cj 16 12 15 0 0 0
CB VB X1 X2 X3 s1 s2 s3 B
15 X3 2/3 0 1 2/3 0 -1/3 320
0 s2 1 0 0 -1 1 0 180
12 X2 2/3 1 0 -1/3 0 2/3 260
Zj 18 12 15 6 0 3 7920
Cj - Zj -2 0 0 -6 0 -3 Cj-Zj < 0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Maximizar Z = 16 X1 + 12 X2 + 15 X3 Sujeto a:
2 X1 + X2 + 2 X3 900 (s1) 3 X1 + X2 + 2 X3 1080 (s2) 2 X1 + 2 X2 + X3 840 (s3)
ITERACION 4
Cj 16 12 15 0 0 0
CB VB X1 X2 X3 s1 s2 s3 B
15 X3 2/3 0 1 2/3 0 -1/3 320
0 s2 1 0 0 -1 1 0 180
12 X2 2/3 1 0 -1/3 0 2/3 260
Zj 18 12 15 6 0 3 7920
Cj - Zj -2 0 0 -6 0 -3 Cj-Zj < 0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Maximizar Z = 16 X1 + 12 X2 + 15 X3 Sujeto a:
2 X1 + X2 + 2 X3 900 (s1) Y1 = 6 3 X1 + X2 + 2 X3 1080 (s2) Y2 = 0 2 X1 + 2 X2 + X3 840 (s3) Y3 = 3