Junior – 10mo y 11mo a˜
no
1. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es el m´as cercano al n´umero 20,15×51,02?
(A) 100 (B) 1000 (C) 10000 (D) 100000 (E) 1000000
Soluci´on: Se aproxima el producto con 20×50 = 1000.
2. Pap´a lav´o la ropa y colg´o las camisetas en un alambre. Pidi´o entonces a sus hijos que colocaran una sola media entre cualesquiera dos camisetas. Ahora hay 29 piezas de ropa en el alambre. ¿Cu´antas camisetas hay?
(A) 10 (B) 11 (C) 13 (D) 14 (E) 15
Soluci´on: Hay dos camisetas en los extremos, por lo que el n´umero de camisetas es uno m´as que el n´umero de medias. As´ı hay 15 camisetas.
3. La parte sombreada del cuadrado de ladoaest´a acotada por un semic´ırculo y dos arcos de un cuarto de semic´ırculo. ¿Cu´al es el ´area de la dicha regi´on sombreada?
+ 1 3 6 4 6 8 7 10 b b Start Finish garden playground house library 10 min 15 min 20 min 15 min 5 min (A) πa 2 8 (B) a2 2 (C) πa2 2 (D) a2 4 (E) πa2 4
Soluci´on: Si se parte en 2 la regi´on sombreada inferior, cada mitad se puede acomodar al lado de cada uno de los lados contrarios de la regi´on sombreada superior, por lo que lo que est´a sombreado es la mitad del cuadrado, cuya ´area ser´ıa dea2/2.
4. Tres hermanas, Ana, Berta y Claudia, compraron un paquete de 30 galletas; cada una recibi´o 10 galletas. Sin embargo Ana pag´o 800 colones, Berta 500 y Claudia 200. Si ellas hubieran dividido las galletas propor-cionalmente al precio que cada una pag´o, ¿cu´antas galletas m´as debi´o haber recibido Ana?
(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 6
Soluci´on: Entre todas pagan 1500 colones y reciben 30 galletas. As´ı, proporcionalmente, 30 : 1500 ::A: 800, de dondeA= 16, por lo que debi´o haber recibido 6 galletas m´as.
5. El Se˜nor Cabezas desea desenterrar un tesoro que escondi´o en su jard´ın a˜nos atr´as. Solamente recuerda que lo enterr´o al menos a 5 m del borde y a lo sumo a 5 m del tronco del viejo palo de limones. ¿Cu´al de las siguientes figuras muestra la regi´on donde el Se˜nor Cabezas debe buscar por el tesoro?
6. ¿Cu´al es el d´ıgito de las unidades del n´umero 20152+ 20150+ 20151+ 20155?
(A) 1 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9
Soluci´on: A excepci´on de 20150 que es 1, el resto de las potencias termina en 5, por lo que el ´ultimo d´ıgito se obtiene al sumar 5 + 1 + 5 + 5 = 16, es decir, 6.
7. Hay 33 ni˜nos en una clase. Sus materias favoritas son C´omputo y Educaci´on F´ısica. A tres ni˜nos les gustan ambas materias. El n´umero de ni˜nos a los cu´ales les gusto solo C´omputo es el doble de aquellos a los cuales les gusta solo Educaci´on F´ısica. ¿A cu´antos ni˜nos les gusta C´omputo?
(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 22 (E) 23
Soluci´on: Seax el n´umero de ni˜nos que les gusta solo Educaci´on F´ısica, por lo que 2xes el n´umero de ni˜nos que les gusta solamente C´omputo. As´ıx+ 2x+ 3 = 33 de donde x = 10. As´ı, son 20 + 3 a los ni˜nos que les gusta c´omputo.
8. Diana dibuj´o un gr´afico de barras para representar la cantidad de las cuatro especies de ´arboles registradas durante una excursi´on de biolog´ıa. Jasper considera que un gr´afico circular hubiera representado mejor las proporciones de las diferentes especies de ´arboles. ¿Cu´al ser´ıa el respectivo gr´afico circular?
(A) (B) (C) (D) (E)
Soluci´on: Es f´acil descartar r´apidamente las opciones B), D) y E). Se descarta luego la C) porque la parte blanca y la parte gris clara pareciera que tienen la misma proporci´on, quedando entonces la opci´on A).
9. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros no es un cuadrado perfecto ni un cubo perfecto?
(A) 613 (B) 512 (C) 411 (D) 310 (E) 29
Soluci´on: 512= (56)2= (54)3, 411= (22)11= (211)2, 310= (35)2, 29= (23)3, por lo que la respuesta es 613.
10. La Sra. Lucero compr´o 100 candelas. Ella quema una candela cada d´ıa y siempre hace una nueva de la cera de siete candelas usadas. ¿Despu´es de cu´antos d´ıas tendr´a que ir a comprar candelas nuevamente?
(A) 112 (B) 114 (C) 115 (D) 116 (E) 117
11. El n´umero de ´angulos rectos en un pent´agono convexo es den. ¿Cu´al es la lista completa de los posibles valores den?
(A) 1, 2, 3 (B) 0, 1, 2, 3, 4 (C) 0, 1, 2, 3 (D) 0, 1, 2 (E) 1, 2
Soluci´on: La suma de los ´angulos internos de un pent´agono es de 180◦(5−2) = 540◦. Por ser convexo, todos los ´angulos deben ser menores a 180◦. Como 540◦÷5 = 108◦, ninguno podr´ıa ser de 90◦. Ya vimos que los 5 no puede ser de 90◦; si tuviera 4 de 90◦, entonces se cumplir´ıa que 540◦ = 4·90◦+y y se tendr´ıay= 180◦, lo que se descarta. Para el caso de 3: 540◦= 3·90◦+ 2y, de dondey= 135◦, que s´ı es posible. As´ı puede tener 0, 1, 2 o 3 ´angulos rectos.
12. La figura muestra mi dado para tomar decisiones en tres posiciones diferentes. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener un ‘S´ı’ en este dado? [Es posible eliminar la primera figura]
No
S´ı S
´ı
S ´ı
S
´ı
Tal vez
No
S ´ı No
(A) 1
3 (B)
1
2 (C)
5
9 (D)
2
3 (E)
5 6
Soluci´on: Por la disposici´on de la direcci´on de las palabras, la ´unica posibilidad es que haya solamente un Tal vez, dos No’s y tres S´ı’s, por lo que la probabilidad de obtener un S´ı es de 1/2.
13. La longitud del lado de un cuadrado es 1. ¿Cu´al es la distancia m´ınima que tomar´ıa caminar del ‘Inicio’ a la ‘Meta’, si solo se permite avanzar por los lados o las diagonales de cuadrados individuales?
Inicio
Meta
(A) 2√5 (B)√10 +√2 (C) 2 + 2√2 (D) 4√2 (E) 6
Soluci´on: Cada diagonal individual mide√2, por lo que se podr´ıa llegar caminando por dos diagonales y dos lados, es decir, 2 + 2√2.
14. Cada habitante del planeta Alado tiene al menos dos orejas. Tres habitantes llamados Imi, Dimi y Trimi se encontraron en un cr´ater. Imi dijo: “Yo puedo ver 8 orejas.” Dimi: “Yo puedo ver siete orejas.” Trimi: “Eso es extra˜no. Yo solo puedo ver cinco orejas.” Ninguno de ellos pod´ıa ver sus propias orejas. ¿Cu´antas orejas tiene Trimi?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
15. Un recipiente con la forma de un prisma rectangular cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado, se llena con agua a una altura de hcm. Un cubo s´olido de 2 cm de arista se coloca adentro de ´el. El m´ınimo valor de h de manera que el cubo quede completamente sumergido dentro del agua es de:
(A) 1,92 cm (B) 1,93 cm (C) 1,90 cm (D) 1,91 cm (E) 1,94 cm
Soluci´on: El volumen del l´ıquido es de 100hcm3. El l´ıquido con el cubo sumergido (cuyo volumen es de 8 cm3) debe tener una altura de 2 cm, por lo que tendr´ıa un volumen de 200 cm3. As´ı, 100h+ 8 = 200, de dondeh= 1,92.
16. El cuadrado ABCD tiene ´area 80. Los puntos E,F, Gy H se encuentran en los lados del cuadrado y AE =BF =CG=DH. Si AE = 3EB, ¿cu´al es el ´area sombreada?
(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40
Soluci´on: El lado del cuadrado mide 4√5, por lo que CF = √5 y CG = 3√5. As´ı, el ´area del cuadrado EF GH ser´ıa de 80−4·√5·3√5/2 = 50. El ´area sombreada es la mitad del ´area de dicho cuadrado, es decir, de 25.
17. Hoy el producto de las edades (como enteros) de padre e hijo es de 2015. ¿Cu´al es la diferencia de sus edades?
(A) 26 (B) 29 (C) 31 (D) 34 (E) 36
Soluci´on: Suponiendo que el padre no tenga m´as de 100 a˜nos, y dado que 2015 = 5·13·31, la ´unica posibilidad es que el padre tenga 5·13 = 65 a˜nos y el hijo 31 a˜nos, por lo que la diferencia de sus edades es de 65−31 = 34.
18. Cuatro pesas a,b,c,dse colocan en las balanzas (ver figura). Luego dos de las cargas se intercambian y la balanza cambia de posici´on como se muestra. ¿Cu´ales pesas se intercambiaron?
(A)ayb (B)b yd (C)by c (D)ayd (E)ayc
19. Si las dos ra´ıces de la ecuaci´onx2−85x+c= 0 son n´umeros primos, ¿cu´al es el valor de la suma de los d´ıgitos dec?
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 21
Soluci´on: Seanx1yx2las ra´ıces de la ecuaci´on. Dado que son n´umeros primos, y que su suma es 85, entonces la ´unica posibilidad es que sean 2 y 83, de dondec= 2·83 = 166, cuya suma de d´ıgitos es 13.
20. ¿Cu´antos enteros positivos de tres d´ıgitos existen en los cuales cualesquiera dos de sus d´ıgitos adyacentes difieren en 3?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 20 (E) 27
Soluci´on: Cuando el n´umero comienza con 3 o 6 hay 3 posibilidades en cada caso; en el resto, solamente 2 posibilidades. Por lo tanto en total son 2·3 + 7·2 = 20 casos en total.
21. ¿Cu´al de los siguientes ejemplos muestra que no es correcto afirmar que: “Si n es un n´umero primo, entonces exactamente uno de los n´umerosn−2 on+ 2 es un n´umero primo”?
(A)n= 11 (B)n= 19 (C)n= 21 (D)n= 29 (E)n= 37
Soluci´on: Observe que todos a excepci´on del 21 son n´umeros primos, y que para n = 37 ni 35 ni 39 son n´umeros primos.
22. La figura muestra siete regiones encerradas por tres c´ırculos. En cada regi´on se escribe un n´umero. Se sabe que el n´umero de cualquier regi´on es igual a la suma de los n´umeros en todas las regiones vecinas (se dice que dos regiones son vecinas si sus l´ımites tienen m´as de un punto en com´un). Dos de los n´umeros son conocidos (ver figura). ¿Cu´al n´umero debe escribirse en la regi´on central?
(A) 0 (B)−3 (C) 3 (D)−6 (E) 6
Soluci´on: Digamos que debajo del 1 la regi´on vale x; dado que 1 y 2 tienen vecinos similares, la regi´on que est´a debajo del 2 (lo que no tiene en com´un con 1) debe serx+ 1. As´ı, la regi´on que est´a debajo de ? ser´ıa 2x+ 1+?. Se tiene entonces la ecuaci´on ? = 2x+ 1+? + 3, de dondex=−2. Luego tomando la regi´on debajo de 1 se tiene la ecuaci´on x= 2x+ 1+? + 1 de donde ? = 0. Luego tomando la regi´on debajo de 1 se tiene la ecuaci´on x= 2x+ 1+? + 1 de donde ? = 0.
23. Pamela tiene tres diccionarios diferentes y dos novelas diferentes en un estante. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar los libros si ella desea mantener los diccionarios y las novelas juntas?
(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 120
24. ¿Cu´antos n´umeros de dos d´ıgitos pueden escribirse como la suma de seis potencias diferentes de 2 in-cluyendo 20?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Soluci´on: Observe que 127 = 20+ 21+ 22+ 23+ 24+ 25+ 26. Se obtiene el resultado deseado quitando 25 o 26, por lo que hay 2 casos.
25. En el tri´angulo ABC, se puede dibujar una l´ınea paralela a su base AC que pase por el punto X o el punto Y. Las ´areas de las regiones sombreadas son iguales. Se conoce la raz´on BX:XA= 4 : 1. ¿Cu´al es la raz´onBY :Y A?
A
B
C
X
A
B
C
Y
(A) 1 : 1 (B) 2 : 1 (C) 3 : 1 (D) 3 : 2 (E) 4 : 3
Soluci´on: El ´area de la regi´on sombreada en la primera figura corresponde a 9bh/50, donde b y h son la base y la altura del tri´angulo completo, ya que el tri´angulo no sombreado tiene base y altura de 4b/5 y 4h/5 respectivamente. Seankb y kh la base y la altura del tri´angulo sombreado de la segunda figura, entonces su ´
area ser´ıa dek2bh/2 = 9bh/50 de donde k= 3/5, por lo que la raz´on ser´ıa 3 : 2.
26. Un n´umero de dos d´ıgitosaybse representa comoab. Seana,b,cd´ıgitos distintos. ¿De cu´antas maneras se pueden escoger los d´ıgitosa, b, c tales que ab < bc < ca?
(A) 84 (B) 96 (C) 125 (D) 201 (E) 502
Soluci´on: Se descarta el d´ıgito 0. Para satisfacer las desigualdades se requiere que a < b < c, por lo que basta escoger 3 d´ıgitos distintos, y colocarlos ascendentemente. Ello se puede lograr mediante combinaciones, C(9,3) = 84.
27. Cuando uno de los n´umeros 1,2,3, . . . , n−1, n fue eliminado, la media de los n´umeros restantes fue de 4,75. ¿Cu´al de los n´umeros fue eliminado?
(A) 5 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(E) imposible de saber
28. La hormiga Olga se encuentra en uno de los v´ertices de un cubo cuyas aristas tiene longitud 1. Ella desea caminar por cada arista del cubo y regresar a su punto de inicio, haciendo su traves´ıa lo m´as corta posible. ¿Cu´al es la distancia de su viaje?
(A) 12 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 20
Soluci´on: Son 8 v´ertices y 12 aristas. Dado que en cada v´ertice coinciden 3 aristas, la hormiga deber´a pasar al menos 2 veces por cada v´ertice, teniendo que pasar al menos dos veces por alguna de las aristas que unen dos v´ertices, es decir, pasar dos veces por al menos 4 de las aristas. As´ı, la distancia m´ınima debe ser de 12 + 4 = 16. Para ver que es posible realizar el recorrido con una distancia de 16, se estira el cubo y se eliminan caras innecesarias. En la figura, los extremos laterales corresponden a la misma arista, y en ella se ha resaltado la mitad del recorrido. Iniciando a partir de A, y realizando el recorrido como se muestra, pasara dos veces por cada una de las aristas que se encuentran en posici´on vertical.
A A
29. Se escriben diez n´umeros reales diferentes. Se subraya cualquier n´umero que sea igual al producto de los otros nueve n´umeros. ¿Cu´al es la m´axima cantidad de n´umeros que se pueden subrayar?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 9 (E) 10
Soluci´on: La respuestas es 2. Si a1 es igual al producto de los otros 9 n´umeros, entonces el producto de todos los n´umeros es de a21. Por lo tanto, los cuadrados de todos los n´umeros subrados es el mismo, por lo que se puede tener a lo sumo 2 n´umeros subrayados. Ahora se debe mostrar que es posible tener 2 n´umeros subrayados: tome 1 y -1, y otros 8 n´umeros distintos cuyo producto sea−1. Entonces los n´umeros subrayados ser´an 1 y−1.
30. En una l´ınea se marcan varios puntos, y se construyen todos los posibles segmentos de l´ınea entre cualesquiera dos de tales puntos. Uno de los puntos se encuentra en 80 de dichos segmentos, mientras que otro se encuentra en 90 de ellos. ¿Cu´antos puntos se marcaron en la l´ınea?
(A) 20 (B) 22 (C) 80 (D) 90
(E) imposible de saber
