Superficies con Cuádricas

1

Super…cies

1.1

Super…cie Cónica

Dada una curva plana o alabeada ,(DIRECTRIZ) y un punto …jo (VËRTICE) , se denomina Super…cie Cónica a la constituída por las rectas que cada uno de los in…nitos puntos de la directriz determina con el vértice.

Dadas la directriz (D) y el vértice (V) D F(x;y;z) = 0 G(x;y;z) = 0 V(l;m;n)

V

D

M

tomamos un punto M(a;b;c) perteneciente a la directriz, el cual deberá satisfacer la expresión de la misma

D F(a;b;c) = 0 G(a;b;c) = 0

ahora determinaremos la recta que dicho punto determina con el vértice V(l;m;n)

x a l a =

y b m b =

z c n c

…nalmente la expresión de la super…ce quedará determinada en función de estas dos expresiones ya que cualquier terna deberá cumplir ambas simultanea-mente ( pertenecer a la directriz y a la recta que determina con el vértice)

Sup Cónica 8 > < > :

F(a;b;c) = 0 G(a;b;c) = 0 x a

l a = y b m b =

Determinar la ecuación de la Sup. Cónica dada la directriz y el vértice.

D x

2_+y2_{= 9}

z= 6 V(0; 0; 0)

ahora bien, tomemos un puntoP0_(x0_;y0_;z0_{)que pertenezca a la directriz}

D x

0₂

+y02_{= 9}

z0_{= 6} (1) y determinará la recta x 0 x0 ₀ =

y 0 y0 ₀ =

z 0 z0 ₀ sabemos que z0= 6 luego x

x0 = y y0 =

z

6 , …nalmente

x0₌ 6x

z y y0=

6y z

la expresión completa quedará 8

> < > :

x02_+y02_{= 9}

z0_{= 6} x x0 =

y y0 =

z 6

y reemplazando en (1) y uni…cado

36x2 z2 +

36y2

z2 = 9 , …nalmente 36x

2_{+ 36y}2 _9z2_{= 0}

D

V

M

1.2

Super…cie Cilíndrica

Dada una curva plana o alabeada ,(DIRECTRIZ) y un vector , se denomina Super…cie Cilíndrica a la constituída por las rectas que cada uno de los in…nitos puntos de la directriz determina con la dirección paralela al vector dado.

Dadas la directriz (D) y el vector (!V) D F(x;y;z) = 0

G(x;y;z) = 0

!_V(l;m;n)

tomamos un punto M(a;b;c) perteneciente a la directriz, el cual deberá satisfacer la expresión de la misma

D F(a;b;c) = 0 G(a;b;c) = 0

ahora determinaremos la recta que pasa por dicho punto y tiene dirección paralela a!V(l;m;n)

x a

l =

y b l =

z c m

Sup Cónica > :

G(a;b;c) = 0 x a l = y b m = z c n 1.2.1 Ejemplo:

Determinar la ecuación de la Sup. Cilíndrica determinada dada la directriz y un vector.

D x

2_+z2_{= 9}

y= 0

!_{V(4; 4; 2)}

ahora bien, tomemos un puntoP0_(x0_;y0_;z0_{)que pertenezca a la directriz}

D x

0₂

+z02= 9

y0_{= 0} (1) y determinará la recta x x0

4 =

y y0

4 =

z z0 2

sabemos que y0 = 3 luego x x

0

4 =

y 0

4 =

z z0

2 , …nalmente

x0_{=x y y z}0 _=z y

2

la expresión completa quedará 8 > > < > > :

(x y)2_{+ (z} y

2)

2_{= 9}

y0= 0 x x0

4 =

y 4 =

z z0 2

y reemplazando en (1) y uni…cando

, …nalmente x2 _2xy+y2_+z2 _yz+1

4y

-4 4

y

x

-4

-2

0 -2

2

z

0 2

-2

2 -4

4 4

1.3

Super…cie de revolución

Dada una curva plana incluída en uno de los planos corordenados, se denomina Super…cie de revolución generada en rotación alredededor de un eje a la consti-tuída por las circunferencias que cada uno de los in…nitos puntos de la directriz determina al girar en torno al eje dado.

Dada la directriz (D) y determinando el giro alrededor del eje Z D F(x;y;z) = 0

G(x;y;z) = 0

tomamos un punto M(a;b;c) perteneciente a la directriz,

D F(a;b;c) = 0 G(a;b;c) = 0

ahora determinaremos la circunferencia a que pasa por dicho punto y tiene su centro en el eje Z

D

X

Y

M

Finalmente la expresión de la super…ce quedará determinada en función de estas dos expresiones ya que cualquier terna deberá cumplir ambas simultanea-mente ( pertenecer a la directriz y a la recta que determina con el vértice)

Sup Cónica 8 > > < > > :

F(a;b;c) = 0 G(a;b;c) = 0 x2_+y2_=a2_+b2

z=c

A

1.3.1 Ejemplo:

Determinar la ecuación de la Sup. de revolución que se engendra a partr de hacer rotar la directriz dada alrededor del eje z

D z y+ 1 = 0 x= 0

modi-z

-10 -20

-20 10

20

0

20

x

-20 10

-10 0

y

-10 0 10 20

2

Cuádricas redondas

Se llaman así a las que se obtienen a partir de la generación de unasuper…cie de revolución

2.1

Paraboloide

Partiendo de una parábola

D y

2_{= 2z}

x= 0 si rotamos alrededor del eje Z

(px2_+y2₎2_=z2

0

y

-2 -4

4 2

2

z

-4

4 2 -2

x

0 0

D y

2_{= 2z}

x= 0 si rotamos alrededor del eje y

y2= 2z

y2= 2(px2_+z2₎

2.1.1 Elipsoide

D 2 y

2_{+ 4 z}2_{= 1}

x= 0 si rotamos alrededor del eje Z

(px2_+y2₎2_=y2

2 (px2_+y2₎2_{+ 4 z}2_{= 1}

2

1

_y

_x

-2

-1 -2

z

1 0

2 1

-2 -1

2

2.2

Hiperboloides

D 2 y

2 _{4 z}2_{= 1}

x= 0 si rotamos alrededor del eje Z tendremos un

2.2.1 Hiperboloide de una hoja

(px2_+y2₎2_=y2

2 (px2_+y2₎2 _{4 z}2_{= 1}

-10

y

x

0 0 0

5 10

-10 -5

5

10 -10

-5

_z

5

Si en cambio rotamos alrededor del eje Y obtendremos un

2.3.1 Hiperboloide de dos hojas

(px2_+z2₎2_=z2

2 y2 _{4 (}p_x2_+z2₎2_{= 1}

x

-5

-5 -10

-10

z

y

-10

-5 0

0

10 5

0

5

10 5

1. Hallar la ecuación de la super…cie cilíndrica dada la directriz y las coor-denadas del vector paralelo

(a) D_! x

2_{= 4y}

z= 0 ;

!_{A (1;1;3)}

rta:9x2 _6zx+z2 _{36y+ 12z= 0}

4

-4

4 2 0

-2

x

2

0 0

-2

-4

z

y

-2 -4

2

4

(b) D_! x

2_+z2_{= 1}

y= 0 ; !

A(2;1; 1)

4 2

4

2

z

y

0 -2

-4 -4

0

-4

x

0

4 2 -2

(c) D_! x

2 _y2_{= 1}

z= 0 ;

!_{A(0;2; 1)}

rta:x2 4z2 4zy y2 1 = 0

0 0 0

x

y

z

-4 -2

-2 -4

2 4

-4 -2

2 4

2

4

(d) D_! x

2 _{y= 1}

z= 0 ;

!_A(2;0;1)

4

2

2 ₄

z

y

x

-4 -2

-2 0 0 -4

0 -2

-4 2

2. Dadas las ecuaciones de la Directriz y el vértice. Hallar la ecuación de la super…cie cónica que ambas determnan .Gra…car

(a) D_! x

2_+y2_{= 4}

z= 2 ; V(0; 0; 0) rta:x2_+y2 _z2_{= 0}

0

z

-2 -4

2 0

0 -2

-4 4

2

(b) D_! z

2_{= 4y}

x= 0 ; V(2; 0; 0) rta:4z2_{+ 8yx 16y= 0}

-2

-4

-4

-2

x

2

4

z

y

-2 -4

2 0 0 0 2 4

4

(c) D_! y

2_+z2_{= 9}

x= 2 ; V( 1; 1; 0)

-2

-4

x

-2 0

0

2

z

y

0

4

2 -2

4

(d) D_! x

2 _4z2_{= 4}

y= 3 ; V( 1; 1; 1)

rta:4x2 _7y2 _16z2 _{4xy 16yz+ 12x+ 26y+ 48z 31 = 0}

2 2

0 0

x

y

z

-2 -2

-4

-4 4

2

rta:x2+y2+z2= 4

-4

-4 -4

4 -2

x

-2

y

4 2

2

z

0 0

0 -2

2 4

(b) D_! y= 3x

z= 0 ;alrededor del eje X rta:y 3 p2

x2_+z2_{= 0}

2 2

0 0

x

y

-2

-4

4 4

z

-2 -2

-4 -4

rta:x2_+z2 _{2y= 0}

-2 -4 -4

-2

-4 4

-2 2

y

z

x

0

4 2

4 2 0

(d) D_! y

2 _z2_{= 4}

-4

-4 -2

-2

y

-4

-2

z

2

4 0

0

x

0

2

4 2

4

(e) D_! 9x

2_{+ 4y}2_{= 36}

z= 0 ;alrededor del eje Y rta:x

2

4 + z2

4 + y2

9 = 1

-4

-4 -4

x

-2

y

4 4

2 2

z

-2 -2

2 4

(f) D_! x

2_{+ 2y= 6}

4 -4

y

x

4 2

-20 0 0

z

-2

3

Cuádricas

3.1

Elipsoide

x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1

podemos observar que a diferencia del obtenido comoSuper…cie de revolución

los tres denominadores pueden o no ser diferentes.

Si de…nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coor-denados encontramos que :

Si hacemos x= 0 (intersección con el plano ZY) y2

b2 +

z2

c2 = 1

Si hacemos y= 0 (intersección con el plano XZ) x2

a2 +

z2

c2 = 1

Si hacemos z= 0 (intersección con el plano XY) y2

b2 +

x2

a2 = 1

En todos los casos obtenemos elipses

3.1.1 ejemplo

x2

42 +

y2

22 +

z2

4

x

-4 -2

y

z

-2 2

4

Haciendo x=0 8

< :

x2

42 +

y2

22 +

z2

32 = 1

x= 0

9 =

;)

y2 22 +

z2 32 = 1

-4

-2 -2

-2 0 0

z

y

0 2

2

-4 4

4

2

-4

8 < :

x2

42 +

y2

22 +

z2

32 = 1

y= 0

9 =

;)

x2

42 +

z2

32 = 1

4

x

z

y

42 +

y2

22 +

z2

32 = 1

z= 0

9 =

;)

x2

42 +

y2

22 = 1

3.2.1 De una Hoja

x2

a2 +

y2

b2

z2

c2 = 1

podemos observar que a diferencia del obtenido comoSuper…cie de revolución

los tres denominadores pueden o no se diferentes.

Si de…nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coor-denados encntramos que :

Si hacemos x= 0 (intersección con el plano ZY) y2

b2

z2 c2 = 1

Si hacemos y= 0 (intersección con el plano XZ) x2

a2

z2

c2 = 1

Si hacemos z= 0 (intersección con el plano XY) y2

b2 +

x2

a2 = 1

En los primeros dos casos obtenemos hiérbolas pero en el tercero una elipse

ejemplo x 2

42 +

y2

22

z2

-4

-2

z

-2 -2

-4

0 4 2 0 0

2

_x

y

2

4

Haciendo x=0 8

< :

x2

42 +

y2

22

z2

32 = 1

x= 0

9 =

;)

y2 22

z2 32 = 1

-4

-4 -2

y

z

-2 0 0

0 2 4

-2 -4

2

x

4

2 4

: 42

+

22 ₃2 = 1

y= 0 ;) 42 32 = 1

-4

-2

z

-4

0 0 0 2 4

-4

y

4

x

2

4

Haciendo z=0 8

< :

x2

42 +

y2

22

z2

32 = 1

z= 0

9 =

;)

x2

42 +

y2

22 = 1

-4

0 0

z

-2 0

-2

2 -4

3.2.2 De dos Hojas

x2

a2

y2

b2

z2

c2 = 1

podemos observar que a diferencia del obtenido comoSuper…cie de revolución

los tres denominadores pueden o no se diferentes.

Si de…nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coor-denados encontramos que :

Si hacemos x= 0 (intersección con el plano ZY) y2

b2

z2

c2 = 1

02

a2

vemos que no hay intersección salvo para valores a < x < a para los cuales resultan elipses

Si hacemos y= 0 (intersección con el plano XZ) x2

a2

z2 c2 = 1

Si hacemos z= 0 (intersección con el plano XY) x2

a2

y2

b2 = 1

En los restantes obtenemos hiérbolas

ejemplo x 2

42

y2 22

-4

-2 -2

-4 -2 -4

2

0 0 0

x

y

z

2

2 ₄

4

Haciendo x=0 8

> < > :

x2

42

y2

22

z2

32 = 1

x= 9 2

9 > = >

;)

y2

22

z2

32 = 1

-4

4 4

2 2

2 -2 -2

0

z

x

0 0 -2

-4 -4

8 < : x2 42 y2 22 z2

32 = 1

y= 0

9 = ;) x2 42 z2

32 = 1

-4

y

z

x

32 = 1

z= 0

9 = ;) x2 42 y2

22 = 1

Elíptico x 2

a2 +

y2 b2 = 2cz

Si hacemos x= 0 (intersección con el plano ZY) Obtenemos parábolas y2

b2 = 2cz

Si hacemos y= 0 (intersección con el plano XZ) Obtenemos parábolas x2

a2 = 2zc

Si hacemos z= 0 (intersección con el plano XY)

No hay intersección salvo para valores z₆= 0en cuyo caso resultan elipses x2

a2 +

y2

b2 = 2cz

ejemplo x 2

42 +

y2

22 = 2z

2 -4

-2

z

Haciendo x=0 8

< :

x2

42 +

y2

22 = 2z

x= 0

9 =

;)

y2 22 = 2z

y

x

-2

4 2 -4

-2

z

0 0

2

4 0

-4 2

4

Haciendo y=0 8

< :

x2 42 +

y2 22 = 2z

y= 0

9 =

;)

x2

-4 2

-2

_z

y

-4

2 0

x

0 -2

-4

2

4 ₄

Haciendo z=0 8

< :

x2

42 +

y2

22 = 2z

z= 1

9 =

;)

x2 42 +

y2 22 = 2

4 4

2 2

0

-2

x

y

-4 -4

-2

z

0

Hiperbólico x 2

a2

y2

b2 = 2cz

Si hacemos x= 0 (intersección con el plano ZY) Obtenemos parábolas y2

b2 = 2cz

Si hacemos y= 0 (intersección con el plano XZ) Obtenemos parábolas x2

a2 = 2zc

Si hacemos z= 0 (intersección con el plano XY)

No hay intersección salvo para valores z₆= 0en cuyo caso resultan hipér-bolas

x2 a2

y2 b2 = 2cz

ejemplo x 2

42

y2

22 = 2z

-10 -20

z

-20

y

-10 0 0

10

-10 -20

0

20 10 20

x

10

: 42 22

= 2z

x= 0 ;) 22 = 2z

-20

-10 20

10

z

-20 -10

y

0 0

-20

10 -10

0

20

x

20 10

Haciendo y=0 8

< :

x2 42

y2 22 = 2z

y= 0

9 =

;)

x2

-20 20

-10 10

z

y

-10 -20 0 0

-20

10 -10

0

20

x

20 10

Haciendo z=1 8

< :

x2

42

y2

22 = 2z

z= 1

9 =

;)

x2 42

y2 22 = 2

-20

-10 20

10

z

-20 -10

y

0 0

-20

10 -10

0

20 20