Área bajo la curva y la integral definida.
Teorema fundamental del cálculo.
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces en [a, b], entonces:
En donde F es cualquier función tal
Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si entonces existe una integral definida
al área bajo la curva descrita por
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1. Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
intervalo [2, 5].
4dx = aplicamos la fórmula 2.
4 dx = aplicamos la fórmula 3.
4 = evaluamos los límites. 4(5)+ C– [4(2) +C]= cancelamos las constantes.
20+ C – 8–C= 20 – 8= 12u2
Nota: En una integral definida la constante de integración desaparece al efectuar la diferencia de los límites de integración.
Área bajo la curva y la integral definida.
Teorema fundamental del cálculo.
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces “f”
= F(b) – F(a)
ualquier función tal que F(x)=
para toda
Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si f es una función continua en [a, b], entonces existe una integral definida
.
El resultado de dicha integral será igualdescrita por f(x) representada en un plano.
Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
fórmula 2. fórmula 3.
= evaluamos los límites. [4(2) +C]= cancelamos las
Nota: En una integral definida la constante de integración desaparece al efectuar la diferencia
de los límites de integración. En la gráfica anterior se puede verificar que el área
bajo la función y=4, en el intervalo [2, 5] es igual a
12u2
Por lo que se cumple el teorema fundamental del cálculo.
es siempre integrable
para toda x en [a, b].
es una función continua en [a, b], El resultado de dicha integral será igual
Dada la función y= 4, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
En la gráfica anterior se puede verificar que el área bajo la función y=4, en el intervalo [2, 5] es igual a
Por lo que se cumple el teorema fundamental del x
Ejemplo 2. Dada la función y= 2x, encontrar el área que se encuentra bajo la
intervalo [0, 4].
2xdx = aplicamos la fórmula 2.
2 xdx = aplicamos la fórmula 4.
2 = simplificamos.
2 = evaluamos los límites. (4)2 – (0)2 =16 u2
Ejemplo 3. Dada la función y=
intervalo [-1, 3].
x 2 dx = aplicamos la fórmula 1.
xdx 2dx= aplicamos la
1 xdx +2 dx= aplicamos la
3 respectivamente.
2 = ! 2 " evaluamos los límites.
2 3 2 1 Simplificamos.
$ 6 2 & '
u2
Dada la función y= 2x, encontrar el área que se encuentra bajo la
fórmula 2. fórmula 4.
evaluamos los límites.
En la gráfica anterior se puede verificar que el área bajo la función y=2x, en el intervalo [0, 4] es igual a
16u2
Por lo que se cumple el teorema fundamental del cálculo.
Dada la función y= -x+2, encontrar el área que se encuentra bajo
fórmula 1.
= aplicamos la fórmulas 2.
= aplicamos la fórmulas 4 y
evaluamos los límites.
Simplificamos.
El área buscada se encuentra entre dos secciones, el área que está por debajo de la recta y el área que está por encima de la recta, por lo que el área total se obtiene de la diferencia entre dichas áreas.
A1= 4.5 u2
y
Dada la función y= 2x, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
En la gráfica anterior se puede verificar que el área bajo la función y=2x, en el intervalo [0, 4] es igual a
Por lo que se cumple el teorema fundamental del
x+2, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
El área buscada se encuentra entre dos secciones, el área que está por debajo de la recta y el área que está por encima de la recta, por lo que el área total se obtiene de la diferencia entre dichas
A2= -0.5 u2
x
HACIENDO USO DE LAS TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS.
Como calcular el área bajo una curva utilizando el simulador Grapmatica.
A continuación haremos uso de un software informático llamado Graphmatica, para poder tener acceso a este software deberás de ingresar a la página
www.competenciasmatematicas.com, en el menú principal buscar descargas y elegir el
software Graphmatica. Para aprender cómo usar este software y puedas elaborar tus gráficas sigue los pasos que a continuación se indican.
Al finalizar esta actividad te corresponde llevar a cabo lo aprendido aplicándolo a todos
los ejercicios de la tarea de evaluación de esta sección, imprímelo y entrégaselo a tu
Antes de que aprendas sobre el uso de este programa será necesario hacer algunos ajustes para que no gastes mucha tinta a la hora de imprimirlos y tus gráficos resalten más. Sin embargo si no te gusta de esa mane
El primer cambio será modificar el color del papel gráfico.
Para ello deberás ir al menú principal, dar click en seleccionar Monocromático y aceptar.
Con la finalidad de resaltar la línea de tu gráfico haremos los siguientes cambios.
Para ello deberás ir al menú principal, dar click en el menú general aparece dibujar grá
escribir el número 3 pixeles.
Antes de que aprendas sobre el uso de este programa será necesario hacer algunos ajustes para que no gastes mucha tinta a la hora de imprimirlos y tus gráficos resalten más. Sin embargo si no te gusta de esa manera podrás dejarlo como aparece predeterminado.
El primer cambio será modificar el color del papel gráfico.
Para ello deberás ir al menú principal, dar click en Opciones, Papel gráfico y aceptar.
finalidad de resaltar la línea de tu gráfico haremos los siguientes cambios.
Para ello deberás ir al menú principal, dar click en Opciones, seleccionar
dibujar gráficas con líneas gruesas, dar click
Antes de que aprendas sobre el uso de este programa será necesario hacer algunos ajustes para que no gastes mucha tinta a la hora de imprimirlos y tus gráficos resalten más. Sin
ra podrás dejarlo como aparece predeterminado.
Papel gráfico, Colores,
finalidad de resaltar la línea de tu gráfico haremos los siguientes cambios.
, seleccionar Preferencias y en , dar click en el cuadro y
Incluir las barras de desplazamiento
Para incluir las barras de desplazamiento, deberás ir al menú
desplazamiento.
Para la selección del rango de impresión, deberás ir al menú
√cuadrado automático hacer click en la palomita (debe quedar sin palomita).
Ahora si ya estamos listos para iniciar nuestros gráficos.
Ejemplo 1. Dada la función y= 3, encon
intervalo [-3, 2].
Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
parpadeando) y pulsar enter
Segundo selecciona el ícono de
arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [
Incluir las barras de desplazamiento y cuadrado automático para la impresión
Para incluir las barras de desplazamiento, deberás ir al menú Ver y seleccionar
Para la selección del rango de impresión, deberás ir al menú Opciones hacer click en la palomita (debe quedar sin palomita).
Ahora si ya estamos listos para iniciar nuestros gráficos.
Dada la función y= 3, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
enter para que el software la grafique.
selecciona el ícono de integral, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [-3,2].
El área bajo la función en el intervalo [ 15 u2 representado por la zona sombreada. Nota. Estos puedes modificar sólo basta hacer clic sobre ellos y escribir el valor deseado.
y cuadrado automático para la impresión
y seleccionar Barras de
pciones y donde dice
hacer click en la palomita (debe quedar sin palomita).
Ahora si ya estamos listos para iniciar nuestros gráficos.
trar el área que se encuentra bajo la recta en el
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
hacer clic sobre el límite inferior de la función y
El área bajo la función y=3 en el intervalo [-3,2] es de representado por la zona sombreada.
Nota.
Estos valores los puedes modificar lo basta hacer clic sobre ellos y escribir el valor deseado.
Ejemplo 2. Dada la función y=
intervalo [0, 2].
Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuent
parpadeando) y pulsar enter
Segundo selecciona el ícono de
arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,2].
Ejemplo 3. Dada la función y= x
el intervalo [-1, 2] y graficar.
Primero escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
parpadeando) y pulsar enter
Nota para ponerle la potencia a x
y la tecla donde esté el símbolo
Segundo selecciona el ícono de
arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,3].
Dada la función y= -2x+3, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuent
enter para que el software la grafique.
selecciona el ícono de integral, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,2].
función y= x2- 3x-1, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor para que el software la grafique.
para ponerle la potencia a x2, se debe presionar simultáneamente las teclas y la tecla donde esté el símbolo ^, finalmente el número de la potencia
selecciona el ícono de integral, hacer clic sobre el límite inferior de la fun arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0,3].
2x+3, encontrar el área que se encuentra bajo la recta en el
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
, hacer clic sobre el límite inferior de la función y
1, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
, se debe presionar simultáneamente las teclas alt gr, ctrl número de la potencia (2).
Ejemplo 4. Dada la función y= cosx
intervalo [0, (] y graficar.
Primero ir al menú principal, elegir
diálogo que aparece hacer clic en
Segundo escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
parpadeando) y pulsar enter
Nota para las funciones trigonométricas se debe escribir el valor de
nuestro caso debe escribirse y=cos(x).
Tercero selecciona el ícono de
arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función Esta área es positiva
estar debajo de la función y encima del
un valor de 0.989
Esta área es negativa por estar encima de la función y debajo del eje x. Teniendo un valor de -7.65 u2.
Dada la función y= cosx, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en el
ir al menú principal, elegir Opciones y hacer clic en Papel gr diálogo que aparece hacer clic en trig y aceptar.
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor para que el software la grafique.
para las funciones trigonométricas se debe escribir el valor de y=cos(x).
selecciona el ícono de integral, hacer clic sobre el límite inferior de la función y arrastrar el mouse hasta el límite superior de la función [0, (].
Esta área es positiva por estar debajo de la función y encima del eje x. Teniendo un valor de 0.989 u2
negativa por estar encima de la función y Teniendo
Recordemos que el concepto de integral representa el área bajo la función, por lo que el valor de esta integral se obtiene: 7.65 + 0.989=
-, encontrar el área que se encuentra bajo la curva en el
Papel gráfico, en el cuadro de
escribe la ecuación en el campo de edición (donde se encuentra el cursor
para las funciones trigonométricas se debe escribir el valor de x entre paréntesis. En
, hacer clic sobre el límite inferior de la función y Recordemos que el
concepto de integral representa el área bajo la función, por lo que el valor de esta integral se obtiene:
Nota. El valor de 4.7
representa al valor de esto es:
1.5 (3.1416)= 4.71
Por lo que el área bajo la función y=cos
de [0, (
Nota este valor se acerca a
no es igual porque falta considerar los demás decimales.
. El valor de 4.71 representa al valor de (,
(3.1416)= 4.712388…
Por lo que el área bajo la función y=cos(x) en el intervalo
(] es igual a -1.
este valor se acerca a -1, no es igual porque falta considerar los demás decimales.
