La parábola. La parábola como lugar geométrico.

La parábola.

La parábola como lugar geométrico.

La parábola es el lugar geométrico que se forma con todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz, como se muestra en la siguiente figura.

Elementos de la parábola:

V= Vértice. F= Foco.

BC= Longitud del lado recto (LLR). D = Recta fija llamada directriz.

Ecuación ordinaria de la parábola con su vértice en el origen.

Para que un punto forme parte de una parábola, se debe cumplir que se encuentre a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

dRP=dPF Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos: 1 1 F(p,0) P(x, y) -p (0,0) R(-p,0) 1 1 V B C F D

( _(x−₍−_p))2 +_(y−₀₎2

)2 =( (x

(x+p)2+y2=(x- p)2+y2

x2+2px+p2=x2-2px+p2+y2 Ordenando términos

x2+2px+p2 -x2+2px-p2= +y2 agrupando términos semejantes 4px = y2

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la parábola

y2=4px V(0,0) F(p, 0) LLR=| 4p| Directriz x= y2= V(0, 0) F(-p, 0) LLR=| 4p| Directriz x= p 2 0) (y p) (x− 2 + − )2

Ordenando términos tenemos: agrupando términos semejantes.

y2= 4px

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la parábola

=4px V(0,0) F(p, 0) LLR=| 4p| Directriz x= -p = -4px V(0, 0) p, 0) LLR=| 4p| Directriz x= p

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la parábola así como su ecuación.

x2=4py V(0, 0) F(0, p) LLR=| 4p| Directriz y= -p x2=-4py V(0, 0) F(0, -p) LLR=| 4p| Directriz y= p

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1.

Dada la ecuación de la parábola y

longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. De la ecuación: y2= -20x la comparamos con y2= -4px obtenemos que: -20=-4p p= 4 20 − − p=5 V(0, 0) F(-p,0) = (-5, 0) LLR= | 4p| = | 4(5)| = | 20|=20 Directriz x= p x=5 Ejemplo 2.

Dada la ecuación de la parábola x

longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. De la ecuación x2= 8y la comparamos con

x2= 4py obtenemos que: 8=4p p= 4 8 p=2 V(0,0) F(0, p)= (0, 2) LLR=| 4(2)| = 8 Directriz y= -p y=-2

Dada la ecuación de la parábola y2= -20x, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.

la comparamos con:

LLR= | 4p| = | 4(5)| = | 20|=20

Dada la ecuación de la parábola x2= 8y, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la ecuación de la directriz y graficar.

= 8y la comparamos con:

20x, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la

Si la parábola no tiene su vértice en el origen del sistema coordenado y lo tiene en el punto V(h, k) como se muestra en la

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes y parábola con vértice fuera del origen.

(y-V(h, k) F(h+p, k) LLR=| 4p| Directriz x= h (y-V(h, k) F(h LLR=| 4p| Directriz x=h+

Si la parábola no tiene su vértice en el origen del sistema coordenado y lo tiene en el punto como se muestra en la siguiente figura:

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes y de la ecuación ordinaria de la bola con vértice fuera del origen.

-k)2= 4p(x-h) V(h, k) F(h+p, k) LLR=| 4p| Directriz x= h-p -k)2= -4p(x-h) V(h, k) F(h-p, k) LLR=| 4p| Directriz x=h+p h k V(h,k)

Si la parábola no tiene su vértice en el origen del sistema coordenado y lo tiene en el punto

ecuación ordinaria de la (x-h)2= 4p(y-k) V(h, k) F(h, k+p) LLR=| 4p| Directriz y= k-p (x-h)2= -4p(y-k) V(h, k) F(h, k-p) LLR=| 4p| Directriz y= k+p

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1.

Dada la ecuación de la parábola (y +3)

foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. Si comparamos las siguientes ecuaciones tenemos que:

Ejemplo 2.

Dada la ecuación de la parábola (x +3)

la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. Si comparamos las siguientes ecuaciones tendremos que: (x +3)2= 8(y-5) (x-h)2= 4p(y-k) -h =+3 → h =-3 -k =-5 → k =5 4p=8 p= 4 8 =2 V(h, k) = V(-3, 5) F(h, k +p)= F(-3, 5+2) = F(-3, 7) LLR =| 4(2)| =8 Directriz y = k-p y = 5-2= y =3 (y +3)2= -10(x-1), (y-k)2= -4p(x-h) -k =3 → k =-3 -h = -1 → h =1 -4p = -10 p = 4 10 − − p = 2.5 Por lo que: V(h, k) = V(1,-3) F(h-p, k) F( 1-2.5, -3) F(-1.5, LLR =| 4p| LLR =|4(2.5)| LLR =10 Directriz x =h + p x =1+2.5=

Dada la ecuación de la parábola (y +3)2= -10(x-1), encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.

Si comparamos las siguientes ecuaciones tenemos que:

Dada la ecuación de la parábola (x +3)2= 8(y-5), encontrar las coordenadas del vértice, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.

Si comparamos las siguientes ecuaciones tendremos que:

3, 7)

2= y =3 1.5, -3)

LLR =10 Directriz x =h + p x =1+2.5= x =3.5

1), encontrar las coordenadas del vértice,

x

La ecuación general de la parábola es la que se obtiene al desarrollar el binomio al cuadrado, agrupar términos e igualar a cero. Quedando una ecuación de la forma: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0

Ejemplo 1.

Convertir a su forma general la siguiente ecuación. (y+2)2=10(x-3). (y+2)2=10(x-3).

Desarrollamos el binomio cuadrado.

y2+ 4y +4=10(x-3) Multiplicamos por 10el segundo binomio. y2+ 4y +4= 10x-30 Igualamos a cero la ecuación.

y2 +4y+4-10x+30=0 Ordenamos términos. y2-10x+ 4y +34=0

Ejemplo 2.

Dada la ecuación general de la parábola x2-18x-6y+69=0, pasarla a su forma ordinaria y graficarla encontrando las coordenadas del vértice, foco, LLR y ecuación de su directriz. Como la ecuación contiene al termino x2

tendrá una forma:

(x-h)2= 4p(y-k) Para lo cual debemos de ordenar los términos de la siguiente manera: x2-18x = +6y-69. Del lado izquierdo de la igualdad completaremos el trinomio cuadrado perfecto. Pero para ello se requiere agregar a ambos miembros de la igualdad el número 81, dicho número se obtiene de dividir 18/2 y al resultado de este cociente se eleva al cuadrado.

x2-18x+81 = +6y-69+81

(x-9)2= 6y+12 Factorizando tenemos:

(x-9)2=6(y+2) y a partir de su ecuación obtendremos los demás elementos.

(x-h)2= 4p(y-k) al comparar las ecuaciones obtenemos que:

-h =-9 _→ h =9 -k =2 _→ k =-2 4p=6 p =6/4 p=1.5

Con los valores de h, k y p. Determinamos lo siguiente: V(h, k)= V( 9,-2) F(h, k+p)= F(9,-2+1.5)= F(9,-0.5) LLR= | 4p| = | 4(1.5)| =6 Directriz y = k-p y =-2-1.5= y =-3.5 y =-3.5