Desarrollo de un modelo de exposición al riesgo para Ecopetrol - estimación del valor en riesgo como función de los precios del petróleo

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(1)II 04(1) 87. Desarrollo de un modelo de exposición al riesgo para ECOPETROL: Estimación del Valor en Riesgo como función de los precios del Petróleo.. FRANCISCO JOSÉ ORTIZ ALMARIO. Universidad de los Andes FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Industrial Santa Fe de Bogotá Junio, 2004 1.

(2) II 04(1) 87. Desarrollo de un modelo de exposición al riesgo para ECOPETROL: Estimación del Valor en Riesgo como función de los precios del Petróleo.. FRANCISCO JOSÉ ORTIZ ALMARIO. Monografía para optar por el título de Ingeniero Industrial. Asesor OSCAR BRAVO Ingeniero de Petróleos Coasesor ROBERTO ZARAMA Matemático. Universidad de los Andes FACULTAD DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Industrial Santa Fe de Bogotá Junio, 2004 2.

(3) II 04(1) 87. Nota de Aceptación _____________________________ _____________________________ _____________________________. _____________________________ Presidente del Jurado. _____________________________ OSCAR BRAVO. _____________________________ ROBERTO IREGUI. Santa Fe de Bogotá, 11 de Junio de 2004 3.

(4) II 04(1) 87. A mis Padres y a mi Abuela, por su infinito apoyo y devoción.. 4.

(5) II 04(1) 87. ¿Cómo nos atrevemos a hablar de las leyes del azar? ¿No es acaso el azar la antítesis de toda ley? Bertrand Russell. 5.

(6) II 04(1) 87. CONTENIDO. 1 2 3. Introducción .................................................................................................... 9 Definición del modelo de Ingresos............................................................... 11 Análisis Estadístico de las Variables........................................................... 15 3.1 Consideraciones Generales ............................................................................... 15 3.1.1 El horizonte de Tiempo................................................................................ 15 3.1.2 Modelos de Pronósticos y Estimación del Valor en Riesgo ........................ 17 3.1.3 Procesos Estocásticos de Interés.................................................................. 18 3.1.3.1 Proceso de Wiener ................................................................................ 19 3.1.3.2 Proceso de Ito........................................................................................ 20 3.1.3.3 Proceso de Reversión a la Media .......................................................... 21 3.1.3.4 Proceso de Poisson................................................................................ 23 3.2 Comportamiento del Precio Internacional del Barril de Crudo ........................ 24 3.2.1 Consideraciones Preliminares sobre el Precio del Petróleo......................... 24 3.2.2 Definición del Modelo ................................................................................. 25 3.2.3 Estimación de los parámetros ...................................................................... 28 3.2.3.1 Modelo de Largo Plazo......................................................................... 29 3.2.3.2 Modelo de Corto Plazo ......................................................................... 33 3.3 Comportamiento de la Tasa de Cambio COP/USD.......................................... 38 3.3.1 Modelo de Largo Plazo................................................................................ 38 3.3.2 Modelo de Corto Plazo ................................................................................ 43 3.4 Análisis del Mercado de la Gasolina y el ACPM en Colombia........................ 50 3.4.1 Comportamiento de la Demanda y el Precio de la Gasolina en Colombia.. 50 3.4.2 Comportamiento del Precio y la Demanda de ACPM en Colombia ........... 54. 4. Estimando las variaciones del Ingreso........................................................ 58 4.1 4.2 4.3 4.4. 5. Diseño de la política de cubrimiento de riesgo........................................... 69 5.1 5.2. 6 7. Metodología ...................................................................................................... 58 VaR del Precio del Petróleo.............................................................................. 59 Análisis de las correlaciones en el modelo ....................................................... 61 Modelo Total..................................................................................................... 65 Modelo Teórico................................................................................................. 69 Expansión del Modelo ...................................................................................... 71. Conclusiones.................................................................................................. 72 Referencias .................................................................................................... 74. 6.

(7) II 04(1) 87. TABLAS. Tabla 1. Ingresos Mensuales en Dólares........................................................................... 11 Tabla 2. Ingresos Mensuales en Pesos.............................................................................. 12 Tabla 3. Saltos en el precio del petróleo desde 1973........................................................ 30 Tabla 4. Descripción de los Saltos Anuales positivos ...................................................... 32 Tabla 5. Descripción de los Saltos Anuales negativos ..................................................... 33 Tabla 6. Saltos Mensuales positivos desde 1973 .............................................................. 34 Tabla 7. Saltos Mensuales positivos desde 1973 .............................................................. 34 Tabla 8. Descripción de los Saltos Mensuales positivos .................................................. 34 Tabla 9. Descripción de los Saltos Mensuales negativos ................................................. 35 Tabla 10. Volatilidades Implícitas para Opciones Put...................................................... 36 Tabla 11. Volatilidades Implícitas (mensuales) para Opciones Put. ................................ 36 Tabla 12. Volatilidades Históricas Mensuales.................................................................. 37 Tabla 13. Varianza de los Pronósticos (ECM).................................................................. 41 Tabla 14. ECM para el modelo de Corto Plazo ................................................................ 49 Tabla 15. Parámetros del modelo...................................................................................... 53 Tabla 16. Parámetros de la demanda de ACPM. .............................................................. 57 Tabla 17. Máximas variaciones del Precio del Petróleo (95% de confianza)................... 60 Tabla 18. Máximas variaciones Anuales. ......................................................................... 60 Tabla 19. Intervalos de Confianza (90%) para el modelo Anual...................................... 61 Tabla 20. Correlaciones entre TRM y Precios del Petróleo.............................................. 63 Tabla 21. Correlaciones entre 1990 y 2002 ...................................................................... 64 Tabla 22. Índice de Precios de los productos derivados ................................................... 66. 7.

(8) II 04(1) 87. FIGURAS. Figura 1. Proceso de Wiener............................................................................................. 20 Figura 2. Reversión a la Media para valores iniciales superiores al valor de equilibrio.22 Figura 3. Reversión a la Media para valores iniciales inferiores al valor de equilibrio. 22 Figura 4. Precios Mensuales del Petróleo desde 1970. .................................................... 26 Figura 5. Comportamiento anual de los precios del petróleo desde 1946. ...................... 29 Figura 6. Distribución de saltos de los precios del petróleo. ........................................... 30 Figura 7. Modelo de valoración de Opciones de Black-Scholes. ..................................... 36 Figura 8. Distribución de los errores 1 año adelante....................................................... 41 Figura 9. TRM desde 1950. ............................................................................................... 46 Figura 10. TRM desde 1998. ............................................................................................. 46 Figura 11. TRM desde 2002. ............................................................................................. 47 Figura 12. Distribución de los errores un mes adelante................................................... 49 Figura 13. Precio y Consumo de Gasolina en Colombia.................................................. 52 Figura 14. Precio y Demanda del ACPM en Colombia.................................................... 54 Figura 15. Demanda de ACPM y PIB............................................................................... 56 Figura 16. Formulación en Excel del Modelo de Tiempo Discreto.................................. 59 Figura 17. Precios del Petróleo y sus derivados............................................................... 65 Figura 18. Distribución del Ingreso 2004-2005. .............................................................. 67 Figura 19. Distribución del Ingreso 2005-2006. .............................................................. 67. 8.

(9) II 04(1) 87. 1 Introducción. A raíz de los grandes avances teóricos que se han llevado a cabo en el campo de valoración de riesgo en los últimos años, se ha llegado a considerar que el riesgo de una empresa o si se quiere la volatilidad de los flujos de caja de la misma, es una variable fundamental a la hora de estimar el valor de una compañía. De esto se deduce que el cubrimiento del riesgo genera valor para la compañía. Pero aquí viene todo el meollo del asunto: ¿cuál y cuánto riesgo debo cubrir?. En este trabajo nos enfocaremos en la estimación del riesgo financiero. Podemos definir el riesgo financiero como las posibles oscilaciones de las variables del mercado que deterioran los flujos de caja de la compañía. Entre estas variables pueden contarse: precios de Bienes y Activos Financieros, Tasas de Interés, el Producto Interno Bruto, la Inflación, Tasas de Cambio, calificaciones de Riesgo del País, entre otras.. Estimar la totalidad del riesgo financiero de una compañía no es una tarea trivial, de hecho es prácticamente imposible, pues no existen modelos que logren capturar toda la complejidad del mercado. Esto se debe en parte a que todas las variables del mercado interactúan constantemente y producen efectos dinámicos a muchos niveles. Estos efectos dinámicos ocasionan una alta correlación entre las variables, y producen comportamientos no lineales que pueden compararse con las oscilaciones del clima.. Es por esto que un modelo de riesgo debe enfocarse en unas cuantas variables fundamentales para la compañía, aquellas variables que más determinen los flujos. 9.

(10) II 04(1) 87. de caja. Es importante estimar el comportamiento de las variables críticas para poder estimar cuánto riesgo se debe cubrir. Esto se debe principalmente a que el cubrimiento de riesgo, como lo explica Jhon Maynard Keynes [8], tiene un costo y por eso debe encontrarse un nivel óptimo de cubrimiento.. Partiendo de estas consideraciones, el trabajo estará estructurado de la siguiente manera: en una primera parte se definirá un modelo de ingresos para ECOPETROL, y de esa manera se determinará cuáles deben ser las variables de estudio. En seguida se estudiará el comportamiento de cada una de esas variables, al igual que las relaciones que puedan existir entre ellas. Más adelante, con los resultados obtenidos, se correrá un modelo estadístico para estimar las variaciones del ingreso. Finalmente se definirá una política de cobertura basada en las máximas variaciones probables que encontremos en la tercera parte del trabajo.. 10.

(11) II 04(1) 87. 2 Definición del modelo de Ingresos. Para este trabajo decidimos enfocarnos en modelar los Ingresos de ECOPETROL porque es ahí en donde la compañía está más expuesta al riesgo financiero. Si quisiéramos modelar los costos no bastaría un análisis estadístico, ya que algunos de los costos, como los impuestos, obedecen a políticas del Gobierno, y otros como el robo de combustible están determinados por variables sociales.. Veamos los principales rubros en los ingresos de ECOPETROL:. Tabla 1. Ingresos Mensuales en Dólares. Concepto. Valor. %. CRUDOS. 38.66. 41.3%. FUEL OIL. 21.35. 22.8%. DIESEL/OTROS. 14.98. 16.0%. DESEMB. L.P.. 0.00. 0.0%. DESEMB. C.P.. 0.00. 0.0%. COMPRA DIVISAS. 3.97. 4.2%. UPSIDE-TITULARIZACION. 4.32. 4.6%. OCENSA. 0.00. 0.0%. FAEP. 5.40. 5.8%. OTROS INGRESOS. 4.91. 5.2%. INTERES MADURACION. 0.04. 0.0%. 93.64. 100%. TOTAL INGRESOS. * Los valores corresponden a los ingresos generados en Julio de 2003, los datos han sido modificados para proteger la confidencialidad de la información.. 11.

(12) II 04(1) 87. Tabla 2. Ingresos Mensuales en Pesos. Concepto RECAUDO DE CAJA. Valor. %. 173.4. 58.4%. RECAUDO IMP.GLOBAL. 23.3. 7.8%. MADURACION INVERS.. 24.2. 8.1%. 0.0. 0.0%. OTROS INGRESOS. 56.9. 19.1%. VENTA DOLARES. 18.4. 6.2%. 0.9. 0.3%. 297.1. 100%. INTERESES INVERSIONES. FDO DE PENS. Y OTROS TOTAL INGRESOS. * Los valores corresponden a los ingresos generados en Julio de 2003, los datos han sido modificados para proteger la confidencialidad de la información.. En las tablas podemos apreciar de manera muy clara que los principales ingresos de ECOPETROL pueden resumirse en tres aspectos:. -. Exportación de Crudo. -. Venta de Gasolina y ACPM en el mercado nacional (Recaudo de Caja en Pesos). -. Exportación de Productos refinados (Fuel Oil, Diesel, Otros). En el caso de la exportación de crudo, las variables financieras relevantes son la tasa de cambio y el precio internacional del barril de crudo. En el caso de la exportación de otros productos refinados, como el precio de estos productos está. 12.

(13) II 04(1) 87. perfectamente correlacionado con el precio internacional del petróleo, se asume que las únicas variables relevantes son de nuevo la tasa de cambio y el precio internacional del barril de crudo. La venta de Gasolina y ACPM en el mercado nacional está determinada por la demanda y el precio de ambos productos. Para capturar las correlaciones entre precio y demanda se expresará la demanda en función de los precios. Claro que antes debe demostrarse que la correlación sí existe ya que tradicionalmente los economistas han asegurado que la demanda de gasolina es inelástica al precio.. Finalmente deducimos la siguiente ecuación:. Ingreso = ( X × Pr Int × TRM ) + (Y × α1 Pr Int × TRM) + ( DemG× Pr G) + ( DemACPM × PrACPM ) En donde: X: número de barriles de crudo producidos. PrInt: Precio internacional del barril de crudo. TRM: Tasa Representativa del Mercado (COP/USD). Y: Producción de otros derivados del petróleo negociados en el mercado internacional. α1: constante para expresar el índice de precios de los productos tipo Y en función del precio internacional del crudo. DemG: Demanda de Gasolina en Colombia. PrG: Precio de la gasolina en Colombia. DemACPM: Demanda de ACPM en Colombia. PrACPM: Precio del ACPM en Colombia.. Se asumirá que las cantidades producidas en cada uno de los casos son variables conocidas con un comportamiento determinístico y sin ninguna correlación con las. 13.

(14) II 04(1) 87. variables del mercado1. Uno de los supuestos del modelo es que ECOPETROL tiene el monopolio del mercado de la gasolina en Colombia como explican en [13].. El siguiente paso es plantear el modelo de riesgo. En este trabajo utilizaremos la metodología de Value at Risk (VAR) o Valor en Riesgo, en donde se trata de encontrar la máxima pérdida esperada con una probabilidad determinada y para un horizonte de tiempo dado.. Sea f(x) la función de densidad de probabilidad del Ingreso. Queremos encontrar un Imin tal que:. I min. ∫ f ( x)dx = α. −∞. En donde (1-α) es el nivel de confianza, (95%, por ejemplo).. Esta fórmula parece presentar una solución fácil de hallar, sin embargo el hecho de estimar f(x) y además encontrar la función de distribución inversa del Ingreso, para poder despejar Imin, no es un problema trivial. El siguiente paso es estudiar el comportamiento de las variables escogidas: el Precio Internacional del Barril de Crudo, la Tasa de Cambio COP/USD, el Precio Nacional de la Gasolina y la Demanda de Gasolina. 1. Las cantidades producidas sólo dependen de la capacidad de producción y de sucesos imprevistos como ataques a los oleoductos. Aunque en realidad estas variables tienen un comportamiento estocástico, este trabajo está centrado en el riesgo financiero, y la tarea de modelar estos comportamientos debe realizarse en trabajos ulteriores.. 14.

(15) II 04(1) 87. 3 Análisis Estadístico de las Variables. Antes de comenzar con el análisis de cada una de las variables, tendremos en cuenta algunas consideraciones generales sobre los Horizontes de Tiempo, los Pronósticos y el Valor en Riesgo.. 3.1 Consideraciones Generales. 3.1.1 El horizonte de Tiempo La definición del horizonte de tiempo es uno de los factores más importantes en el diseño de cualquier modelo económico. Esto se debe principalmente a que el comportamiento de las variables difiere mucho dependiendo de si se consideran en el corto plazo o en el largo plazo. Hay supuestos que sólo se cumplen en el corto plazo, como la estabilidad de algunos factores que influyen en el modelo (si se asume estabilidad no es necesario modelarlos estadísticamente). Hay otros supuestos que sólo se cumplen en el largo plazo como la correlación que se espera con otra variable para que se alcance un equilibrio. En términos generales en el corto plazo se pueden asumir incrementos independientes en el tiempo, aproximando el comportamiento de las variables con modelos como la caminata aleatoria:. xt = xt −1 + ε t. ε t ≈ N (0, σ 2 ). 15.

(16) II 04(1) 87. Sin embargo, si quieren estudiarse horizontes de tiempo expresados en años, en general los modelos simples de series de tiempo no logran capturar algunas tendencias fundamentales como los valores de equilibrio o los límites naturales de las variables. Quizás el aspecto más crítico en el largo plazo es que se debe encontrar un modelo en donde los intervalos de confianza tengan a lo sumo una tendencia logarítmica en el tiempo, ya que de lo contrario los pronósticos presentarán tanta variabilidad que serán de poca utilidad. Esta tendencia casi nunca se logra con modelos simples de series de tiempo.. Es por estas razones que en general se usan modelos simples en el corto plazo, y modelos estructurales en el largo plazo. Por modelos simples entendemos los modelos Auto Regresivos y de Promedios Móviles (ARIMA), que en resumen son variaciones de la caminata aleatoria, con inclusión de efectos como tendencias y correlación de los residuales. Los modelos estructurales son modelos que se derivan de una relación económica y que tratan de explicar el comportamiento de la variable a estudiar en función de otras variables del mercado.. En este trabajo se estudiarán modelos de corto plazo y de largo plazo. Los modelos de corto plazo serán usados al estimar el VaR para el 2004. En el corto plazo se estudiará el comportamiento mensual de las variables, de tal forma que a lo sumo se considerarán pronósticos 8 períodos adelante. Los modelos de largo plazo serán usados al estimar el VaR para horizontes de tiempo más largos, entre 2 y 10 años. Es claro que en este caso no tiene sentido considerar datos mensuales, pues estaríamos pronosticando más de 70 períodos adelante, y ni siquiera el modelo más milimétrico podría presentar intervalos de confianza que fueran de alguna utilidad. Por eso se usarán datos anuales.. 16.

(17) II 04(1) 87. En nuestro caso la variable que más difiere dependiendo del horizonte de tiempo es la tasa de cambio, esto se debe a que el modelo que mejor se ajusta en el corto plazo es un modelo de caminata aleatoria con tendencia variable, y el que mejor se ajusta en el largo plazo es un modelo estructural que tiene en cuenta la hipótesis de la Paridad del Poder Adquisitivo, pero más adelante estudiaremos estos modelos con mayor detalle.. 3.1.2 Modelos de Pronósticos y Estimación del Valor en Riesgo Este trabajo comienza con una cita de Bertrand Russell que resume la gran dificultad que encontramos al modelar variables aleatorias. Casi siempre es posible encontrar una forma de explicar el pasado, a través de una investigación juiciosa podemos deducir la concatenación de causas y efectos que produjeron un suceso. En el mundo de la estadística, que es mucho más práctico, la explicación del pasado se logra a través de la minimización de los errores. ¿Qué ocurre cuando queremos entender el futuro? La respuesta a esta pregunta es mucho más delicada, ya que, como primera medida, no siempre las tendencias pasadas persisten, y además no siempre debemos esperar que la variabilidad observada se comporte de la misma manera. Esto se debe principalmente a que las condiciones económicas y políticas de un país varían mucho a lo largo de los años. Cuando tenemos en cuenta pronósticos una semana adelante o incluso un año adelante, sabemos que la mayoría de factores externos van a permanecer constantes, pero cuando tenemos un horizonte de tiempo de más de 5 años, este supuesto deja de ser cierto. La situación económica de Colombia en los 80 o en los 70 tiene muy pocas cosas en común con la situación actual del país. El narcotráfico, los grupos terroristas, la Apertura, el control del Fondo Monetario Internacional, las políticas del Banco de la República, las bonanzas del petróleo, el café y en los últimos años las remesas, son factores que afectaron y afectan de una manera definitiva las variables a 17.

(18) II 04(1) 87. estudiar. La pregunta de cómo se comportarán estos factores en los años por venir no es de fácil respuesta. Sin embargo en los modelos propuestos para estudiar el largo plazo, necesariamente hay una respuesta implícita a esta pregunta. La respuesta general es que se espera que en los próximos 5 años el panorama no cambie mucho: tasas de interés bajas, inflaciones poco variables del orden de 6%, devaluación del orden de 3 o 4 %. Es probable que el panorama no sea tan estable, como consecuencia sobre todo de cambios en la situación política en Colombia. Las elecciones presidenciales del 2006 definirán muchos de estos aspectos.. Es muy importante tener esto en mente: para variables que presentan una alta complejidad, no hay ninguna minimización de los errores con mayor capacidad predictiva que la información precisa de la situación actual de los factores que influyen en esa variable. Sin embargo hay algo que sí podemos deducir de los modelos estadísticos: la volatilidad o variabilidad a la que se está expuesto. Esa es la gran ventaja del VaR, para estimarlo no necesitamos tanto un pronóstico acertado como una adecuada estimación de la distribución de probabilidad de una variable. Aunque esto parezca más complicado, estadísticamente es mucho más fácil generar un intervalo de confianza que un pronóstico acertado. De esta manera, cuando queremos calcular el Valor en Riesgo, debemos centrarnos en capturar el comportamiento general de una variable, entender cuáles son sus límites y sus valores de equilibrio, los principales factores que pueden afectarla.. 3.1.3 Procesos Estocásticos de Interés Antes de comenzar a plantear los modelos, haremos una breve revisión de los principales procesos estocásticos que usaremos en este trabajo.. 18.

(19) II 04(1) 87. 3.1.3.1 Proceso de Wiener El proceso de Wiener, también conocido como Movimiento Browniano, es un proceso estocástico de tiempo continuo que puede describirse a partir de tres características fundamentales: -. Es un proceso de Markov, es decir que los valores futuros de la variable sólo. dependerán de su valor actual y en ningún caso de valores anteriores o de otro tipo de información. -. Sus incrementos son independientes, esto significa que la distribución de. probabilidad de los cambios de la variable en un intervalo de tiempo es independiente de la distribución de probabilidad de los cambios en cualquier otro intervalo de tiempo que no se sobreponga con el mismo. -. Los cambios en el proceso de Wiener se distribuyen normal, con una varianza. que se incrementa linealmente con el intervalo de tiempo.. Si z(t) es un proceso de Wiener, entonces: ∆z = ε t ∆t. En donde ε es una variable aleatoria que se distribuye normal con media cero y desviación estándar de 1. De esto se deduce que: E[∆z ] = 0, Var[∆z ] = 1 ,. E[z] = z0. Veamos un ejemplo de proceso de Wiener:. 19.

(20) II 04(1) 87. Proceso de Wiener 8 6 4 2. z1. 0 -2. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. z2. -4 -6 -8. Figura 1. Proceso de Wiener.. 3.1.3.2 Proceso de Ito Un Proceso de Ito se define como sigue:. dx = a(x ,t)dt + b(x, t)dz. En donde dz es un proceso de Wiener y a(x ,t) y b(x, t) son funciones conocidas y determinísticas.. Como E[dz] = 0, E[dx] = a(x ,t)dt.. De esta forma, el término a(x, t), puede interpretarse como la tendencia de la variable x: ⎡ dx ⎤ E ⎢ ⎥ = a ( x, t ) ⎣ dt ⎦. 20.

(21) II 04(1) 87. Por otro lado la varianza de dx contiene términos en dt, (dt)2 y (dt)( dz) que es de orden (dt)3/2. Para un dt infinitesimalmente pequeño los términos en (dt)2 y (dt)3/2 pueden ser despreciados. De esa forma la varianza puede expresarse como: V[dx] = b2(x, t). 3.1.3.3 Proceso de Reversión a la Media El proceso más simple de Reversión a la media puede plantearse como:. dx = η ( x − x)dt + σ dz η se conoce como la velocidad de reversión y x es el valor “normal” de x o en el caso de precios de bienes el valor de equilibrio en el largo plazo.. Para un tiempo t, si el valor actual es x0, el valor esperado de x sería:. E[ xt ] = x + ( x 0 − x ) e −ηt Y la varianza2:. σ2 V [ xt − x ] = ( 1 − e −2ηt ) 2η 2. Para ver la deducción de estas fórmulas puede consultar el apéndice del capítulo 3 de [3]. 21.

(22) II 04(1) 87. Veamos dos ejemplos de reversión a la media:. R e v e rs ión a la m e dia. 40. 38. 36. 34. 32 Ser i e2. 30. Ser i e1 28. 26. 24. 22. 20 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. Figura 2. Reversión a la Media para valores iniciales superiores al valor de equilibrio.. R ever sión a la M ed i a. 28. 26. 24. 22. Ser i e2 20. Ser i e3. 18. 16. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52. Figura 3. Reversión a la Media para valores iniciales inferiores al valor de equilibrio.. 22.

(23) II 04(1) 87. 3.1.3.4 Proceso de Poisson Un Proceso de Poisson es un proceso de conteo en el tiempo, definido a partir de una tasa de ocurrencia λ, cuyas unidades son (# de arribos/Tiempo). El intervalo de tiempo entre la ocurrencia de dos sucesos se distribuye exponencial con media 1/ λ. De esto se deduce que la probabilidad de que en un tiempo t, ocurran n sucesos viene dada por: ( λ t ) n e − λt P( x(t ) = n) = n!. Si se está estudiando un sistema de tiempo discreto, la tasa λ define la probabilidad de que en un período de tiempo ocurra un suceso, de tal forma que al igual que en un sistema de tiempo continuo: E[x(t)] = λt. En donde x es un Proceso de Poisson. En el caso de tiempo discreto la probabilidad de ocurrencia de n sucesos en un tiempo t, viene dada por la distribución binomial, como sigue: ⎛t⎞ P ( x(t ) = n) = ⎜⎜ ⎟⎟λn (1 − λ ) t − n ⎝ n⎠. 23.

(24) II 04(1) 87. 3.2 Comportamiento del Precio Internacional del Barril de Crudo. 3.2.1 Consideraciones Preliminares sobre el Precio del Petróleo Las sociedades modernas están construidas en base al poder de las máquinas, ya sean electrónicas o mecánicas, y muchas de estas máquinas utilizan motores de combustión que funcionan a base de petróleo. Este hecho básico llevo a que el petróleo se constituyera en el bien primario más importante de la economía mundial, tanto así que se considera normalmente que la recesión económica mundial de 1975 se debió al aumento de los precios del petróleo.. Además de esto el petróleo es un recurso natural que se encuentra solamente en algunos territorios o regiones marítimas en donde se llevó a cabo un largo proceso geológico de fosilización de un sinnúmero de compuestos orgánicos. Cuando decimos largo significa que ninguna persona, ningún gobierno o ninguna empresa lograrían existir el tiempo suficiente como para proponerse producir petróleo y recoger los frutos algún día: estamos hablando de siglos o milenios.. La necesidad innegable del petróleo ocasionó que la elasticidad precio de la demanda de petróleo fuera mínima, y por lo tanto que el precio estuviera ante todo determinado por la oferta. Este hecho sumado a que muy pocos países exportaran el grueso de la producción mundial de petróleo llevó en 1960 a la formación de la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) entidad que determinaría de ahí en adelante la oferta mundial. y por lo tanto el precio. internacional del barril de petróleo. Esta importante imperfección del mercado. 24.

(25) II 04(1) 87. hace que el petróleo deba considerarse como un bien aparte, ya que sus precios, por un lado pueden variar por razones políticas, y por otro pueden ser regulados por la OPEP.. 3.2.2 Definición del Modelo El modelo usado está basado en el concepto de las oscilaciones de precios de activos propuesta por Merton en 1976 [1]. Suponemos que la llegada de información normal (no extraordinaria) sólo produce pequeñas variaciones en los precios, al igual que variaciones normales de la oferta. Esto lleva a plantear un modelo continuo conocido como proceso de difusión. Además de esto se supone que en algún momento habrá una noticia extraordinaria que produzca un salto en los precios (ya sea una subida abrupta o una caída de los mismos). Este efecto esporádico, se modela con un proceso estocástico de saltos discretos, que suele definirse como un Proceso de Poisson, en donde los arribos ocurren con una tasa λ. La combinación de ambos procesos se conoce como modelo de SaltoDifusión o modelo Poisson-Gaussiano.. Más específicamente el modelo de difusión empleado es un modelo de reversión a la media. Existen diversos argumentos estadísticos a favor del uso de este proceso para modelar commodities. Sin embargo el argumento más poderoso viene de la teoría microeconómica. Ésta nos dice que en el largo plazo el precio de un bien tiende al valor que iguala el precio y el costo marginal3. Esto ocurre en los mercados en competencia perfecta. El mercado del Petróleo, en cambio, es un mercado con un Cartel, la OPEP, y el precio de equilibrio en el largo plazo debe ser aquel precio que maximiza las utilidades del Cartel. Otra importante evidencia. 3. Esto es lo que se conoce como Equilibrio de Bertrand, consultar [11].. 25.

(26) II 04(1) 87. a favor de la reversión a la media es discutida por Guimaraes & Rocha [2] en donde muestran que los precios de los futuros de petróleo exhiben un comportamiento mucho menos variable que los precios spot y que la estructura temporal de los futuros muestra un comportamiento de “Normal Backwardation”4 cuando los precios se encuentran por debajo de la media y un comportamiento de “Contango”5 en caso contrario. Es decir que las expectativas de los inversionistas apuntan a que los precios, en caso de que estén altos van a bajar, y en caso de que estén bajos, van a subir.. Veamos el comportamiento histórico de los precios del petróleo.. Precios del Petróleo (Mensual) Saltos Positivos. 45 40 35. Saltos Negativos. 30 25 20 15 10 5. Precio Petróleo. Ene-04. Ene-02. Ene-00. Ene-98. Ene-96. Ene-94. Ene-92. Ene-90. Ene-88. Ene-86. Ene-84. Ene-82. Ene-80. Ene-78. Ene-76. Ene-74. Ene-72. Ene-70. 0. Figura 4. Precios Mensuales del Petróleo desde 1970.. 4. Se habla de Mercados Normales cuando el precio del Futuro se incrementa con el tiempo de maduración. Se habla de Mercados Invertidos o Contango cuando el precio del futuro decrece al aumentar el tiempo de maduración [8]. 5. 26.

(27) II 04(1) 87. Para resumir estamos suponiendo que los precios del petróleo tienen pequeñas oscilaciones continuas, grandes oscilaciones discretas y que además tienden hacia un valor de equilibrio.. De esta forma podemos plantear el modelo combinado:. dP = η ( P − P )dt + σdz + dq P con: ⎧0 con probsbilidad 1 − λdt ⎫ dq = ⎨ ⎬ ⎩ Φ con probabilidad λdt ⎭. Cada uno de los tres términos de la ecuación expresan uno de los comportamientos antes mencionados:. η ( P − P)dt Describe la reversión a la media, η es la velocidad de reversión medida en (dólares/Barril * tiempo)-1. P es el precio de equilibrio.. σdz Describe la incertidumbre continua, modelada como la volatilidad de los precios multiplicada por in incremento de Wiener, dz.. 27.

(28) II 04(1) 87. dq Este es el término que representa el salto como un arribo de Poisson con tasa λ. Φ es el tamaño del salto que también tiene una distribución de probabilidad.. 3.2.3 Estimación de los parámetros ¿Qué parámetros debemos estimar? Debemos estimar la velocidad de reversión η, la probabilidad de que ocurra un salto λ, la volatilidad σ, y finalmente la distribución de los saltos Φ. Para el precio de Equilibrio es mejor definir un valor, ya que podemos hacerlo. El precio de Equilibrio debe equivaler al precio que maximiza las utilidades de la OPEP. Sabemos que la meta de la OPEP es que el precio fluctúe entre 22 y 28 dólares por barril, así que el precio de equilibrio se definirá como 25 dólares por barril.. Para estimar la velocidad de reversión se correrá la versión de tiempo discreto de la ecuación usando los métodos econométricos pertinentes. La volatilidad se estimará a partir de la volatilidad implícita del mercado.. Comencemos viendo el comportamiento general de los precios desde 1946:. 28.

(29) II 04(1) 87. Precios Petróleo (Anual) 40 35 30. Precio. 25 20 15 10 5. 19 46 19 49 19 52 19 55 19 58 19 61 19 64 19 67 19 70 19 73 19 76 19 79 19 82 19 85 19 88 19 91 19 94 19 97 20 00 20 03. 0. Figura 5. Comportamiento anual de los precios del petróleo desde 1946.. En la gráfica puede apreciarse de una manera muy clara que el comportamiento del precio del petróleo es sustancialmente diferente en el período anterior a 1973. Esta diferencia se debe a razones históricas, como lo vimos en la introducción. En este punto se presenta la necesidad de truncar los datos para poder capturar adecuadamente el comportamiento del WTI en los últimos 30 años. Es por esto que decidimos tener en cuenta los precios desde 1973.. 3.2.3.1 Modelo de Largo Plazo Comencemos analizando la distribución y frecuencia de los saltos:. 29.

(30) II 04(1) 87. Tabla 3. Saltos en el precio del petróleo desde 1973.. Año. Precio. Salto. 1974. 10.37. 0.985. 1979. 22.40. 0.411. 1980. 37.38. 0.512. 1986. 15.04. -0.621. 1998. 14.39. -0.359. 2000. 30.30. 0.453. Promedio. 0.230. Probabilidad. 0.180. Efecto de Compensación. 0.0430. Los saltos se definieron como valores de la diferencia logarítmica de los precios que fueran menores a -20% o mayores a 30%. En total se encontraron 6 saltos a lo largo de 34 años. La probabilidad de que haya un salto es de 0.18 y la magnitud promedio del mismo sería 0.23. ¿Cómo construir la distribución de los saltos? Veamos como lo hacen en [2]:. Figura 6. Distribución de saltos de los precios del petróleo.. 30.

(31) II 04(1) 87. En este paper el autor propone dos distribuciones normales truncadas, una para saltos negativos, y otra para saltos positivos. En este caso la probabilidad de que haya un salto positivo es dos veces la probabilidad de que haya uno negativo, además, cuando ocurre un salto positivo el precio en promedio tiene un incremento del 100%, en cambio cuando hay uno negativo, el precio en promedio tiene un decremento de 50%. En nuestro caso, cuando ocurre un salto positivo el precio en promedio tiene un incremento de 60%, y cuando ocurre un salto negativo el precio en promedio tiene un decremento de -50%.. Hay una crítica fundamental que se le puede hacer a este enfoque: se supone que la magnitud del salto es independiente del nivel de precios, en otras palabras, es factible que el precio esté en 40 dólares por barril y que se produzca un salto que lo lleve hasta 70 o incluso 80 dólares por barril. Esto claramente no es muy probable, la serie histórica nos permite observar que los saltos positivos ocurren cuando el precio se encuentra por debajo de la media (US 3.8, US 19.2, US 14.85) y a su vez los saltos negativos ocurren cuando el precio se encuentra en niveles altos (US 20.6, US 28).. Para resolver este problema se propuso lo siguiente:. -. Separar los saltos positivos y los negativos, computando aparte las probabilidades.. -. En el caso de saltos positivos, la magnitud del salto sería proporcional a la distancia entre el precio actual y el precio máximo que asumimos es de US 40.. 31.

(32) II 04(1) 87. -. En el caso de saltos negativos la magnitud del salto sería proporcional a la distancia entre el precio actual y el precio mínimo que asumimos es de US 10.. En resumen:. Saltos Positivos. ϕ = (40 − P) * N ( µ p ,σ p2) Saltos Negativos. ϕ = ( P − 10) * N ( µ n ,σ n2) Las medias y las desviaciones estándar se obtuvieron a partir de la información histórica y de una mínima intuición estadística. Al estimar la distribución de los saltos no es necesario encontrar una distribución que se ajuste muy bien a los datos históricos, ya que precisamente se trata de sucesos extraordinarios que con toda seguridad no se replicarán de la misma manera en un futuro. Al estimar la distribución de los saltos lo más importante es definir los límites de los mismos. Partiendo de este principio se obtuvieron los siguientes resultados:. Tabla 4. Descripción de los Saltos Anuales positivos. Tipo de Salto Absolutos Relativos. Media Desviación Probabilidad 0.45 0.0750 0.1290 0.018 0.0030. 32.

(33) II 04(1) 87. Tabla 5. Descripción de los Saltos Anuales negativos. Tipo de Salto Media Desviación Probabilidad Absolutos -0.5 0.1 0.065 Relativos -0.033 0.0067. La velocidad de Reversión Para estimar la velocidad de reversión, η, se excluyeron de los datos históricos aquellos que contenían saltos, con el fin de no incluir el efecto de los mismos en la estimación de η. Se corrió la siguiente regresión: ln( Pt ) = η ( P − Pt ) + α ln( Pt −1 ) s.a. α =1. Para todas las estimaciones estadísticas usamos SAS®.. El detalle de los resultados se encuentra en el anexo 1, el modelo presenta muy buenas propiedades estadísticas, para η obtuvimos un valor de 0.007207.. 3.2.3.2 Modelo de Corto Plazo Veamos los saltos mensuales que se han presentado desde 1973. 33.

(34) II 04(1) 87. Tabla 6. Saltos Mensuales positivos desde 1973 Fecha Feb-74 Sep-79 May-82 May-86 Sep-86 Ene-87 Ene-89 Ago-90 Oct-90 Abr-96 Abr-99 Jun-00 Abr-02 Ene-03. Precio 10.1 28.5 35.9 15.4 14.9 18.7 18.0 27.2 35.9 23.6 17.3 31.8 26.3 32.9. Variación 85.3% 27.0% 23.2% 20.2% 25.3% 20.4% 25.2% 47.7% 27.9% 21.2% 36.7% 21.2% 23.6% 22.6%. Tabla 7. Saltos Mensuales positivos desde 1973 Fecha Ene-86 Mar-86 Jul-86 Dic-90 Feb-91 Dic-93 Dic-98 Nov-01 Abr-03. Precio 22.9 12.6 11.6 27.3 20.5 14.5 11.3 19.7 28.3. Variación -29.5% -59.8% -28.8% -27.3% -28.7% -22.4% -24.4% -27.4% -23.9%. Para describir la distribución de los saltos utilizamos la misma metodología que en el modelo de largo plazo y obtuvimos lo siguiente:. Tabla 8. Descripción de los Saltos Mensuales positivos. Tipo de Salto Absolutos Relativos. Media 0.35 0.016. Desv. Estand. 0.076 0.003. Probabilidad 0.0374. 34.

(35) II 04(1) 87. Tabla 9. Descripción de los Saltos Mensuales negativos Tipo de Salto Absolutos Relativos. Media -0.302 -0.020. Desv. Estand. 0.05 0.003. Probabilidad 0.0241. Para estimar el η en el modelo de Corto Plazo, corrimos la misma regresión y obtuvimos un η de 0.00084. Cabe notar que este valor es alrededor de 5 veces menor que la velocidad anual de reversión, pero esto es apenas normal, ya que precisamente si consideramos cambios anuales todo debe ocurrir más rápido que en el caso de cambios mensuales.. Estimación de las volatilidades. Como ya lo mencionamos anteriormente, para estimar las volatilidades se usarán las volatilidades implícitas del Mercado de Opciones que pueden deducirse a partir de la fórmula de valoración de Opciones de Black-Scholes [8]. Los valores de las volatilidades implícitas no se pueden calcular directamente, lo que se hace es construir el modelo de Black-Scholes y a través de métodos iterativos se encuentran los valores que satisfacen las condiciones iniciales6. Esto puede modelarse en una Hoja de Excel como se muestra a continuación:. 6. La tasa libre de riesgo para cada plazo se asumió igual al cupón de los Bonos del Tesoro Norteamericano, Bloomberg®. 35.

(36) II 04(1) 87. Figura 7. Modelo de valoración de Opciones de Black-Scholes. Se obtuvieron las siguientes volatilidades implícitas7:. Tabla 10. Volatilidades Implícitas para Opciones Put. Fecha Dic-04 Dic-05 Dic-06 Dic-09. Volatilidad 35.92% 36.17% 37.01% 36.67%. El modelo de Black-Scholes es un modelo de tiempo continuo que usa la volatilidad diaria del activo expresada como porcentaje anualizado. En nuestro caso necesitamos trabajar con una volatilidad mensual, por lo tanto debemos “traducir” las volatilidades implícitas a valores mensuales, para esto simplemente se debe dividir cada volatilidad por 12 .. Tabla 11. Volatilidades Implícitas (mensuales) para Opciones Put.. 7. Fecha. Volatilidades. Dic-04. 10.30%. Dic-05. 10.37%. Dic-06. 10.61%. Dic-09. 10.51%. Las volatilidades se calcularon a partir de las opciones transadas en NYMEX.. 36.

(37) II 04(1) 87. Estos valores se encuentran 2 puntos por encima de la volatilidad histórica mensual que es alrededor de 8%. Paralelamente calculamos las volatilidades históricas del precio del petróleo, esto debido a que la volatilidad implícita del mercado captura la variabilidad total del precio, y no sólo las variaciones que se producen por las llegadas normales de información. En otras palabras, la volatilidad implícita refleja las expectativas de los inversionistas, y en esas expectativas están incluidos los saltos extraordinarios y la reversión a la media. En cuanto a los saltos es claro que, por definición, aumentan directamente la variabilidad del precio, en cuanto a la reversión a la media, la explicación es un poco diferente: el movimiento browniano, que es el proceso estocástico subyacente en el modelo de Black-Sholes, asume que el valor esperado de xt+k es xt, el problema es que cuando las expectativas de los inversionistas apuntan a que existe una reversión a la media, esa desviación del valor esperado o ese sesgo sólo puede traducirse en una mayor variabilidad, ya que no es posible incluir el sesgo como un parámetro del movimiento browniano.. Tabla 12. Volatilidades Históricas Mensuales. Descripción. Volatilidad. 1973-2004. 8.39%. 1980-2004. 7.76%. 80-04 (sin saltos). 6.22%. Finalmente tenemos más argumentos teóricos para utilizar las volatilidades históricas en el modelo, las volatilidades implícitas serían de mayor utilidad si quisiéramos modelar los precios del petróleo de una manera más simple, de tal forma que con una sola volatilidad se pudieran capturar simultáneamente todos los efectos de la dinámica de los precios. Obviamente un modelo como ese sería mucho menos preciso.. 37.

(38) II 04(1) 87. 3.3 Comportamiento de la Tasa de Cambio COP/USD. La tasa de cambio en un país viene determinada, en el corto plazo, por la oferta y la demanda de divisas en el mercado. La oferta y la demanda pueden variar por muchas razones, una de ellas son las expectativas de los inversionistas, otra en un país como Colombia son los movimientos de algún agente lo suficientemente grande para afectar el equilibrio Oferta-Demanda. En el largo plazo, en cambio, la tasa de cambio está determinada por los equilibrios generales de ambas economías, en este caso la economía colombiana y la estadounidense. Esta es la principal razón para estudiar separadamente los modelos de corto plazo y largo plazo para la tasa de cambio.. 3.3.1 Modelo de Largo Plazo En el largo plazo la Tasa de Cambio entre dos monedas debe reflejar el valor relativo que tiene una moneda con respecto a la otra. El valor de una moneda está directamente ligado con el nivel de precios del país. De hecho la inflación de un país representa la pérdida de valor de la moneda nacional. De esta forma en el largo plazo la devaluación de una moneda con respecto a otra está determinada por las diferencias entre los índices de precios de ambos países. Esto se conoce en economía como la Paridad del Poder Adquisitivo o PPP8 (Purchasing Power Parity). Hay principalmente dos formas de plantear las ecuaciones del PPP. La primera tiene en cuenta los valores absolutos de los IPC de cada país:. 8. Los economistas incluso manejan un “índice de paridad” que mide el desfase de la tasa de cambio con respecto al equilibrio de la PPP.. 38.

(39) II 04(1) 87. s = p – p*. En donde s es la tasa de cambio (en unidades de moneda local /unidad de moneda extranjera), p el IPC nacional (en este caso el de Colombia) y p* el IPC del país extranjero (Estados Unidos), todas las variables están expresadas en logaritmos. Estrictamente esta es la relación subyacente entre tasa de cambio y nivel de precios, sin embargo es muy difícil encontrar información sobre el nivel de precios de un país expresado en la moneda de ese país. Normalmente se tiene el IPC indexado a algún año, y en general se trabaja con índices, de ahí que haya surgido la necesidad de plantear un PPP relativo: s = k + p – p*. En donde k es una constante y de nuevo todas las variables están expresadas en logaritmos. Si planteamos el modelo de PPP como una serie de tiempo y hacemos algunas modificaciones algebraicas obtenemos lo siguiente: st = k + pt – p*t st - st-1 = (pt - pt-1) – (p*t - p*t-1) st = st-1 + it – i*t En donde i es la inflación nacional e i* la inflación del país extranjero. La dificultad principal de este modelo reside en tener que pronosticar la inflación de ambos países si se quiere estimar la tasa de cambio un año adelante. ¿Cómo podríamos resolver este problema? Si quisiéramos construir un modelo para pronosticar la inflación sería necesario modelar un equilibrio general de la economía, incluyendo factores como la política monetaria del gobierno que precisamente es un problema de política y no de estadística. Además la estimación. 39.

(40) II 04(1) 87. de ambas inflaciones agregaría demasiada variabilidad. Así que usaremos un hecho básico para simplificar el modelo: gran parte de la oferta y demanda de divisas está determinada por las expectativas de los inversionistas acerca de los movimientos futuros de la tasa de cambio. Las expectativas de corto plazo están determinadas por movimientos y noticias puntuales. Las expectativas de largo plazo están determinadas sobre todo por las tasas de interés y la inflación esperada. La inflación esperada, a su vez, tiene una alta correlación con la inflación del período anterior, esto se debe en parte a que en ausencia de hechos extraordinarios como golpes de estado, guerras o profundas recesiones, la inflación en una economía estable no varía mucho en plazos inferiores a 5 años. Así que podemos plantear el siguiente modelo: st = st-1 + it-1 – i*t-1 + et En donde et representa el error del período t. Quizás la crítica fundamental que se le puede hacer a este planteamiento es que la economía colombiana no ha sido estable en los últimos 30 años. Si bien esto es cierto, como ya lo dijimos anteriormente asumiremos que no habrá cambios bruscos en el panorama colombiano. En todo caso al estimar los errores del modelo incluiremos inevitablemente las variaciones imprevistas que ha habido en la historia económica de Colombia.. Para estimar los parámetros corrimos la siguiente regresión: s t = α s t −1 + β (it −1 − it*−1 ) + et s.a. α =1. 40.

(41) II 04(1) 87. En este caso es necesario incluir la restricción α = 1, ya que de lo contrario el valor anterior de la tasa de cambio “absorbe” toda la variabilidad del modelo y el efecto de las inflaciones pierde significancia estadística. Para información histórica desde 1961 obtuvimos un β de 0.9308, muy cercano al valor teórico. La regresión presentó muy buenas propiedades estadísticas, los detalles pueden verse en el Anexo 1. A continuación presentamos los errores cuadráticos medios de los pronósticos y su distribución:. Tabla 13. Varianza de los Pronósticos (ECM). Horizonte 1 Año 2 Años. Varianza 0.0978 0.1562. * Los valores corresponden a la varianza del modelo logarítmico. Figura 8. Distribución de los errores 1 año adelante.. 41.

(42) II 04(1) 87. 3.3.2 Modelo de Corto Plazo. En su paper Forecasting the USD/COP Exchange Rate: A Random Walk with a Variable Drift [3], Peter Rowland comienza el análisis estadístico de la tasa de cambio en Colombia, afirmando que los resultados empíricos de muchos investigadores muestran que en general los modelos estructurales para tasas de cambio no presentan buenas propiedades estadísticas en cuanto a su capacidad de pronóstico. Por el contrario algunas modelos simples presentan mejores propiedades, sobre todo en el corto plazo. Esto se debe principalmente a que en el corto plazo se presentan muchas fluctuaciones en el mercado por cuestiones de oferta y demanda. Esto es ante todo cierto en el caso de Colombia, en donde la tasa de cambio de un día puede definirse no sólo por operaciones del Banco de la República, sino por movimientos de los Fondos de Pensiones, los Bancos e incluso por reintegros petroleros. El mercado colombiano de divisas es tan pequeño que un solo agente lo puede hacer fluctuar a su antojo. Es por esto que no tiene mucho sentido pensar en modelos estructurales para plazos inferiores a un año. Para modelar la tasa de cambio en el corto plazo, utilizaremos un modelo propuesto por Peter Rowland [3] que presenta buenas propiedades estadísticas en los pronósticos inferiores a un año. Se trata de un modelo de caminata aleatoria con tendencia variable. El modelo se corrió paralelamente con otros 4 modelos (3 estructurales y 1 simple) y produjo los menores errores cuadráticos medios para horizontes de 3, 6 y 12 meses9.. El modelo de caminata aleatoria con tendencia variable puede plantearse como sigue:. 9. Los detalles se pueden encontrar en [3].. 43.

(43) II 04(1) 87. st = u t + s t −1 + ε t. en donde:. u t = u t −1 + υ t st es el logaritmo de la tasa de cambio y ut es la tendencia. Se supone que εt y υ t deben ser independientes y deben comportarse como ruido blanco. Para estimar ut, εt y υ t es necesario usar un filtro de Kalman. Nos valdremos del hecho que E[υ t] = 0 y E[εt] = 0 para plantear un modelo más sencillo: E[ut] = E[ut-1] = st-1 – st-2 luego: E[st] = st-1 – st-2 + st-1 = 2.st-1 – st-2 Así:. st= 2.st-1 – st-2 + et Es importante hacer una anotación sobre este modelo: el supuesto básico detrás de la inclusión de una tendencia es que el peso tiene un comportamiento devaluacionista. Esto por supuesto ha sido cierto a lo largo de la Historia, en los últimos 50 años la devaluación promedio ha sido de un 13% anual y sólo en el 2003 el Peso tuvo una revaluación. Considerando que el paper de Rowland [3] fue escrito en el 2002, podemos preguntarnos si realmente sigue siendo cierto el supuesto de que el Peso colombiano tiende a devaluarse frente al Dólar. La respuesta a esta pregunta podemos encontrarla en la sección anterior, en donde discutimos el Modelo de Largo Plazo: siempre que la inflación en Colombia supere a la inflación en Estados Unidos es de esperar que el Peso tienda a 44.

(44) II 04(1) 87. devaluarse frente al Dólar. Al menos esto es cierto en el largo plazo. De hecho si tenemos en cuenta que en el 2002 la inflación en Colombia fue 6.2%, la inflación en EEUU fue 1.6% (4.6% de diferencia) y la devaluación Peso/Dólar fue 25%, la revaluación en el 2003 debe entenderse como una tendencia al equilibrio propuesto por la teoría de la Paridad del Poder Adquisitivo. Lo discutido anteriormente es una clara muestra de que en el corto plazo no es tan sencillo definir una tendencia para la Tasa de Cambio. Es muy probable que la revaluación durante el 2003 cambie las expectativas de los inversionistas volviéndolos más conservadores con respecto a una devaluación permanente. Es por estas consideraciones que en el modelo para estimar el VaR y el nivel de cubrimiento se incluirá la posibilidad de establecer un valor esperado para la Tasa de Cambio. Otra consideración importante es que al modelar una tendencia en los logaritmos de la tasa de cambio, estamos asumiendo un crecimiento exponencial. Teóricamente si la diferencia entre las inflaciones de ambos países se mantiene constante o incluso si siempre es positiva, debe esperarse un crecimiento exponencial. Sin embargo lo que nos interesa es establecer cuál es el comportamiento que mejor se adapta en nuestro horizonte de tiempo, que es menos de un año. Veamos el comportamiento histórico de la tasa de cambio:. 45.

(45) II 04(1) 87. TRM 3500.00. 3000.00. Pesos/Dolar. 2500.00. 2000.00 TRM 1500.00. 1000.00. 500.00. Ene-04. Ene-02. Ene-00. Ene-98. Ene-96. Ene-94. Ene-92. Ene-90. Ene-88. Ene-86. Ene-84. Ene-82. Ene-80. Ene-78. Ene-76. Ene-74. Ene-72. Ene-70. Ene-68. Ene-66. Ene-64. Ene-62. Ene-60. Ene-58. Ene-56. Ene-54. Ene-52. Ene-50. 0.00. Figura 9. TRM desde 1950.. En un horizonte de tiempo de 50 años o incluso de 20 años, el comportamiento exponencial es innegable. Ahora veamos el comportamiento de la TRM en los últimos 5 años y en los últimos 2 años: TRM 3,500.00. 3,000.00. 2,500.00. 2,000.00 TRM 1,500.00. 1,000.00. 500.00. En e98 Ab r98 Ju l-9 8 O ct -9 8 E ne -9 9 A br -9 9 Ju l-9 9 O ct -9 9 En e00 Ab r00 Ju l-0 0 O ct -0 0 E ne -0 1 A br -0 1 Ju l-0 1 O ct -0 1 En e02 Ab r02 Ju l-0 2 O ct -0 2 E ne -0 3 A br -0 3 Ju l-0 3 O ct -0 3 En e04. 0.00. Figura 10. TRM desde 1998. 46.

(46) II 04(1) 87. TRM 3,500.00. 3,000.00. 2,500.00. 2,000.00 TRM 1,500.00. 1,000.00. 500.00. En e. -0 Fe 2 b0 M 2 ar -0 2 Ab r-0 M 2 ay -0 2 Ju n02 Ju l- 0 Ag 2 o0 Se 2 p02 O ct -0 N 2 ov -0 2 D ic -0 En 2 e0 Fe 3 b0 M 3 ar -0 3 Ab r-0 M 3 ay -0 3 Ju n03 Ju l- 0 Ag 3 o0 Se 3 p03 O ct -0 N 3 ov -0 3 D ic -0 En 3 e0 Fe 4 b04. 0.00. Figura 11. TRM desde 2002.. Para horizontes de tiempo menores, como el que nos concierne, el comportamiento exponencial no sólo no es evidente sino que en muchas ocasiones es difícil de probar a través de la evidencia empírica. Como lo mencionamos anteriormente en el corto plazo la tasa de cambio está determinada por un lado por las expectativas y por otro por choques de oferta y de demanda. Estos choques, por supuesto, no obedecen a ningún tipo de tendencia. Las expectativas, en cambio, si pueden presentar tendencias, ya que es muy común que se espere que los comportamientos recientes persistan. Ahora bien, vale la pena preguntarse cuantos períodos atrás se deben tener en cuenta para estimar la tendencia. Esta pregunta es relevante cuando hay motivos para asumir que la TRM tiende a equilibrarse después de cambios bruscos, ya que si sólo tenemos en cuenta el período inmediatamente anterior estaríamos asumiendo que un cambio brusco produce cambios bruscos sucesivos y no una reversión el equilibrio de largo plazo. Se 47.

(47) II 04(1) 87. corrieron modelos con tendencias de 1, 2, 3 y 5 meses atrás y se compararon los errores cuadráticos medios para períodos hasta 12 meses adelante. Se obtuvo que en el 75% de los casos el modelo que tomaba la tendencia de los últimos 5 meses arrojaba los menores errores cuadráticos medios. Antes de seguir cabe hacer una anotación importante: al estimar los errores cuadráticos medios no se puede usar la fórmula habitual:. ECM =. ∑ (F. t+k. − S t+k ). 2. N. Ya que los errores son proporcionales a la tasa de cambio. Concretamente para valores de 50 Pesos/Dólar se tienen errores del orden de 0.5, mientras que para valores de 2700 Pesos/Dólar se tienen errores de hasta 142 Pesos/Dólar. Es claro que los errores de 0.5 traídos a valor presente serían mucho mayores. Así, al usar la fórmula tradicional del ECM estamos subestimando la variabilidad de la tasa de cambio. Para no incurrir en este error debemos modificar un poco la fórmula:. ECM R =. ∑ ⎛⎜⎝ (Ft + k − S t + k ) S t ⎞⎟⎠ N. 2. ECM = ECM R × S f. El ECMR es el error cuadrático medio relativo, que se obtiene al calcular la varianza de los errores relativos o estandarizados de la tasa de cambio. Para obtener el ECM es necesario multiplicar el ECMR por el valor actual de la tasa de cambio Sf. Finalmente el modelo para la tasa de cambio puede escribirse como sigue:. 48.

(48) II 04(1) 87. St = St-1 + (St-1 – St-6)/5 + et et ~ N(0, ECM) Veamos los resultados obtenidos:. Tabla 14. ECM para el modelo de Corto Plazo. Horizonte de Tiempo 1 Mes 2 Meses 3 Meses 4 Meses 5 Meses 6 Meses 7 Meses 8 Meses 9 Meses 10 Meses 11 Meses. ECM 47.80 83.39 99.35 104.51 102.10 93.57 84.14 102.41 131.83 161.49 187.00. Figura 12. Distribución de los errores un mes adelante.. 49.

(49) II 04(1) 87. 3.4 Análisis del Mercado de la Gasolina y el ACPM en Colombia. 3.4.1 Comportamiento de la Demanda y el Precio de la Gasolina en Colombia Comencemos por distinguir los principales aspectos del mercado de gasolina y ACPM en Colombia10:. -. a) En el mercado de la gasolina en Colombia existe regulación en los precios, específicamente en los precios de venta del productor y los precios de venta a los consumidores finales.. -. b) Según los economistas la demanda de Gasolina es inelástica al precio, pero esto debe probarse.. -. c) Los precios en Colombia se cuentan entre los más bajos del mundo, ya que, por un lado los precios están subsidiados por ECOPETROL, y por otro comparativamente no se cobran muchos impuestos a la gasolina.. -. d) En los últimos años los subsidios se han ido desmontando poco a poco, en parte porque producen ineficiencias en el mercado y además porque producen desigualdades en la redistribución del ingreso, ya que los mayores beneficiados por los subsidios son las clases altas.. -. e) Los últimos años se han caracterizado por una caída de la demanda de gasolina y un aumento de la demanda de ACPM.. 10. Esta información se obtuvo de [13].. 50.

(50) II 04(1) 87. Quizás la primera pregunta que debemos hacernos es: ¿Qué podemos modelar estadísticamente? Con respecto a los precios, los comportamientos pasados no nos serán de mucha utilidad. El análisis estadístico del comportamiento histórico no tiene mucho sentido cuando claramente el comportamiento del precio está determinado por políticas del Estado. En ese caso lo más sensato es tener en cuenta todo el proceso de desmonte de los subsidios lo que es muy difícil de modelar a partir de la estadística. El único caso en el que haría sentido modelar estadísticamente los precios de la gasolina sería en el momento en que se liberen los precios y se muevan paralelamente con el precio internacional del barril de petróleo.. Con respecto a la Demanda de Gasolina en Colombia, la respuesta no es tan sencilla. Por un lado la demanda de gasolina está determinada por el crecimiento de la Población, el Ingreso del país, el contrabando de gasolina venezolana, el hurto de combustible, las nuevas tecnologías de inyección electrónica y, de una u otra forma, por el precio. Para ver un ejemplo veamos como explican en [13] la caída de la demanda en los últimos años:. “Entre las razones que se enumeran para explicar esa disminución, especialmente de la gasolina, están la caída del PIB, el aumento del contrabando y el hurto, la entrada en funcionamiento de Transmilenio, el pico y placa y el incremento de los precios.”. Comencemos por estimar la relación entre precio y demanda. Veamos el comportamiento histórico de ambas variables:. 51.

(51) II 04(1) 87. 3500. 60000. 3000. 50000. 2500 40000. 2000 30000 1500. 20000 1000 Consumo de Gasolina Pesos de 2000 10000. 500. 0. 0 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002. Figura 13. Precio y Consumo de Gasolina en Colombia.. Lo primero que se puede apreciar en esta gráfica es que el comportamiento de la Demanda de gasolina es mucho más homogéneo que el comportamiento del precio. El precio presenta constantemente saltos a lo largo de los últimos 25 años. Ya sabemos que esto se debe principalmente a los cambios en las políticas de precios del Gobierno. En el período anterior a 1997 no se puede apreciar de una manera clara la relación entre Precio y Demanda. El aumento constante de la Demanda de gasolina entre 1978 y 1997 no parece responder a ninguna variación en el nivel de precios. Si calculamos el coeficiente de correlación de toda la serie histórica obtenemos una correlación de 0.114, lo que por un lado muestra una relación muy débil entre las variaciones de precio y demanda y por otro lado contradice el supuesto económico de que precio y demanda en un bien normal deben estar correlacionados negativamente. Sin embargo, al estudiar el comportamiento del precio y la demanda de gasolina después de 1997 podemos apreciar una clara tendencia de aumento de precios y 52.

(52) II 04(1) 87. disminución del consumo. De hecho al calcular la correlación para este período obtenemos un valor de -0.961, lo que muestra, por un lado, una relación muy fuerte entre ambas variables, y por otro, confirma el supuesto de correlación negativa ente precio y demanda. De esto podemos concluir que la elasticidad precio de la demanda de la gasolina en Colombia no es homogénea: para niveles bajos de precios la demanda de gasolina es inelástica, en cambio para niveles altos la demanda de gasolina tiene una elasticidad cercana a -1. El precio crítico debe ser algún valor entre 1500 y 2000 Pesos por galón, en Pesos constantes del año 2000, es decir, aproximadamente un dólar por galón. Dado que los precios actuales claramente se encuentran por encima del valor crítico y se espera que sigan aumentando como consecuencia del desmonte de los subsidios, supondremos que la demanda de gasolina en Colombia es elástica al precio. Debido a la escasez de información, corrimos una regresión lineal simple que arrojó buenos resultados estadísticos11: Demanda = α + β.Precio + et Donde: et ~ N(0, σ2) Obtuvimos los siguientes resultados:. Tabla 15. Parámetros del modelo Parámetro α β σ. 11. Valor 66101.7 -10.4 718.4. Unidad Miles de Barriles M B/Peso Miles de Barriles. Los detalles se incluyen como anexo.. 53.

(53) II 04(1) 87. 3.4.2 Comportamiento del Precio y la Demanda de ACPM en Colombia. Comencemos viendo el comportamiento del precio y la demanda de ACPM en Colombia: Precio y Demanda de ACPM Pesos/Galón 70000. 3000. 60000. 2500. 50000 2000 40000 1500 30000 Demanda de ACPM Precio en Pesos del 2000. 20000. 1000. 500. 10000. 0. 0 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. Barriles Diarios. Figura 14. Precio y Demanda del ACPM en Colombia.. En esta gráfica pueden apreciarse claramente algunas diferencias fundamentales entre el mercado de la gasolina y el mercado del ACPM. Los precios del ACPM no han tenido un aumento continuo desde 1990, como en el caso de la gasolina. En total el precio del ACPM ha aumentado un 29.1% desde 1990, mientras que el precio de la gasolina ha aumentado un 84.5%, es decir casi tres veces más. La principal razón de esta diferencia se debe a que las políticas del gobierno se han enfocado en desmontar los subsidios a la gasolina mucho más rápidamente que los del ACPM. Por otro lado, la demanda de ACPM ha seguido aumentando desde 1997, lo que puede significar dos cosas: o bien la estructura del mercado del. 54.

(54) II 04(1) 87. ACPM y la gasolina son equivalente y debemos concluir que nos encontramos en la parte inelástica de la curva de demanda, o bien la estructura de los dos mercados es diferente.. ¿Cuál debe ser la elasticidad esperada de la curva de demanda del ACPM? El consumo de ACPM en Colombia se centra más que todo en el transporte público y el transporte de carga. Dado que el transporte es una necesidad, la elasticidad de la demanda estará determinada por la existencia de productos sustitutos. En el caso de la gasolina, para un consumidor habitual, propietario de un automóvil, existe la posibilidad de utilizar el transporte público. Para propietarios de vehículos pesados a base de gasolina, un vehículo a base de ACPM es un sustituto más económico. En el caso del ACPM, el sustituto más cercano es el Gas Vehicular, pero el uso del Gas Vehicular requiere de una inversión inicial y aún se está desarrollando la “cultura del Gas”, lo que implica que en general sea un sustituto de largo plazo. Además del Gas, el ACPM no tiene otros sustitutos, debido a la falta de otras formas de transporte en Colombia como el ferrocarril o el trasporte fluvial. De todo esto concluimos que la demanda de ACPM en Colombia es inelástica al precio. ¿Cómo podríamos modelar la demanda de ACPM? Aunque la demanda no dependa del precio, es de esperar que sí dependa del nivel de producción del país, ya que parte de lo que se transporta es esa producción. Veamos una gráfica del PIB y el consumo de ACPM en Colombia:. 55.

(55) II 04(1) 87. Demanda de ACPM vs. PIB 70000. 200000. 180000 60000 160000. MMM Pesos del 2000. 120000 40000 100000 30000. PIB Demanda de ACPM. 80000. 60000. Miles de Barriles Diarios. 50000. 140000. 20000. 40000 10000 20000. 0. 0 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. Figura 15. Demanda de ACPM y PIB.. La gráfica muestra una clara relación entre consumo de ACPM y Producto Interno Bruto. Para el período entre 1990 y 2003 encontramos una correlación de 0.954, lo que confirma la existencia de una estrecha relación, esto nos permitirá modelar el consumo de ACPM en función del PIB. La ventaja de escoger el PIB como variable es que en general no se presentan grandes oscilaciones del PIB, y se pueden asumir crecimientos de la economía del orden de 3% en los próximos años12. Se corrió el siguiente modelo: DemandaACPM = α.PIB + ε , ε ~ N(0, σ2). Se obtuvieron los siguientes resultados:. 12. Para estimar el crecimiento de la economía colombiana se usarán los pronósticos de Corfivalle.. 56.

(56) II 04(1) 87. Tabla 16. Parámetros de la demanda de ACPM. Parámetro a s. Valor 125.3 995902. Unidades Barriles/Pesos Barriles. 57.

(57) II 04(1) 87. 4 Estimando las variaciones del Ingreso. 4.1 Metodología Después de estimar el comportamiento de todas las variables, es necesario consolidar los resultados para determinar la distribución de probabilidad del Ingreso. Si quisiera hacerse esto analíticamente, tendríamos que tener en cuenta que la suma de dos funciones de densidad de probabilidad debe ser la convolución de ambas funciones sobre el rango de los número reales. A su vez el producto de dos funciones de densidad de probabilidad es igual a la multiplicación de las dos funciones, en caso que se demuestre independencia de las variables. Esto, claro asumiendo que tengamos las funciones de densidad de probabilidad de cada variable. Si recordamos la ecuación que describía el comportamiento de los precios del petróleo, es fácil darse cuenta que ninguna distribución conocida puede llegar a capturar tanto los efectos continuos como discretos del comportamiento de los precios del petróleo. La moraleja es que es necesario recurrir a métodos no analíticos para estimar las distribuciones de probabilidad. El método que usaremos para estimar el VaR será una simulación de Montecarlo. La idea de la simulación es muy sencilla. Simplemente se corren todas las variables en conjunto y se generan 500 escenarios. Esos 500 escenarios nos proporcionan una distribución de probabilidad empírica para el Ingreso. Por ejemplo, si quisiera saber cuál es la probabilidad de que el Ingreso sea menor que algún número, lo que debo hacer es contar en cuántos escenarios ocurrió ese evento y eso número determina la probabilidad. Si por comodidad se quiere trabajar con distribuciones de probabilidad conocidas, se puede encontrar la distribución analítica más similar realizando pruebas de bondad de ajuste.. 58.

(58) II 04(1) 87. La simulación de Montecarlo se modeló en una hoja de Excel, cabe anotar que estrictamente la única variable que no aproximamos a una distribución analítica fue el precio del petróleo, dada su complejidad. Es decir que en última instancia la simulación de Montecarlo sólo se usó para modelar los precios del petróleo. En el caso de las demás variables no fue necesario, ya que, como lo mostramos a lo largo del trabajo, los errores de los modelos presentaban comportamientos que se podían expresar fácilmente a través de una distribución analítica.. 4.2 VaR del Precio del Petróleo Para modelar el precio del petróleo mes a mes o año a año, usamos la versión de tiempo discreto del modelo. A título ilustrativo a continuación mostramos la fórmula que se usó en Excel para plantear el modelo discreto del precio del petróleo:. =Velocidad de Reversión*(Media-Precio-1) + (Volatilidad*DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO())) + SI(ALEATORIO()<Prob.Salto.Positivo,(40- Precio-1) *DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),MediaSaltoP,DesvEstP),0)+SI(ALEA TORIO()<Prob.Salto.Negativo,( Precio-1-10) *DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),MediaSaltoN,DesvEstN)). Figura 16. Formulación en Excel del Modelo de Tiempo Discreto.. Veamos el VaR del precio del petróleo obtenido en el modelo mensual:. 59.