Universidad de los Andes
Departamento de F´
ısica
Monograf´
ıa de pregrado en F´
ısica
DIN ´
AMICA Y GEOMETR´
IA DE UN
PUENTE DE EINSTEIN-ROSEN
Por:
Sebasti´an Olivares Noguera
Director:
Pedro Bargue˜no de Retes, Ph.D.
Tabla de Contenidos
1 Introducci´on 4
2 Soluci´on de Schwarzschild y teorema de Birkhoff 5
2.1 Construcci´on de espacio-tiempo cuatridimensional esf´ericamente sim´etrico . . . 5
2.2 Espacio-tiempos estacionarios y est´aticos . . . 6
2.3 Soluci´on de Schwarzschild . . . 7
2.4 Caracter´ısticas f´ısicas de la soluci´on de Schwarzschild . . . 9
2.5 Discusi´on hist´orica de la soluci´on de Schwarzschild . . . 10
2.6 Teorema de Birkhoff . . . 13
3 An´alisis de soluci´on de Schwarzschild 16 3.1 Geod´esicas de tipo nulo . . . 16
3.2 Geod´esicas de tipo tiempo . . . 17
3.3 Naturaleza de la fronterar = 2M. . . 19
4 Coordenadas de Eddington-Finkelstein 21 5 Coordenadas de Kruskal-Szekeres 23 5.1 Extensiones maximales . . . 24
5.2 Deducci´on de coordenadas de Kruskal . . . 24
5.3 Relaci´on entre coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres . . . 25
5.4 Compactificaci´on de Carter-Penrose y estructura causal. . . 27
5.5 Otras extensiones maximales . . . 29
6 Puente de Einstein-Rosen 30 6.1 Identificaci´on del puente en coordenadas de Kruskal. . . 30
6.2 Diagramas de inserci´on y visualizaci´on de la din´amica del puente. . . 31
6.3 Tiempo de cerrado del puente. . . 38
6.4 Env´ıo de fotones a trav´es del puente. . . 38
6.5 Velocidad de cierre de la garganta . . . 40
7 Conclusiones 43
Ap´endices 46
A Definici´on de tensores, convenciones y ecuaciones de campo de Einstein 46
B Campos vectoriales de Killing 46
C Principio variacional y ecuaciones de Euler-Lagrange 47
Abstract / Resumen
En el presente trabajo se presenta un estudio detallado de la soluci´on de Schwarzschild, que con-stituye la soluci´on de vac´ıo correspondiente a la regi´on exterior de una masa esf´erica y est´atica, y representa la primera soluci´on exacta no trivial para las ecuaciones de campo de Einstein encon-trada en 1916. A pesar de esto, todav´ıa hoy existen discusiones acerca de la soluci´on y algunas de sus caracter´ısticas m´as interesantes. Este trabajo busca hacer, en primer lugar, una revisi´on bibli-ogr´afica de los aspectos conocidos de la soluci´on, como son la existencia del horizonte de eventos, los problemas de coordenadas y los sistemas de coordenadas que los resuelven. Adem´as, usando coordenadas de Kruskal, se busca evidenciar la existencia de una garganta que conecta dos uni-versos asint´oticamente planos, pero que se encuentran causalmente desconectados. Esta garganta presenta un comportamiento din´amico que tambi´en es objeto de estudio. Por ´ultimo, se busca presentar algunos c´alculos relacionados con esta garganta que no se encuentran en la literatura re-visada, constituyendo el resultado m´as importante del trabajo realizado. En particular, se calculan las trayectorias de los fotones que se env´ıan a trav´es del puente, evidenciando que ninguno de ellos puede escapar a la singularidad y, por tanto, no pueden llegar al otro universo asint´oticamente plano; tambi´en se realizan algunos c´alculos y discusiones acerca de la velocidad de cierre de la garganta.
The following document presents a detailed study of the Schwarzschild solution of the Einstein field equations. This solution is a vacuum solution and describes the exterior region of a spherical and static mass. Being the first exact solution of the field equations, besides Minkowski spacetime, found in 1916, it is surprising that even today there are discussions being held about this solution and its most important and interesting characteristics. For this project, a literary revision was made, regarding the widely known aspects of the Schwarzschild solution: the event horizon and the black hole behavior, the coordinate singularities and the coordinate systems that remove them. Having studied these aspects, and using Kruskal coordinates, the existence of the Einstein-Rosen bridge colloquially known as a wormhole is studied as a bridge between two asymptotically flat spacetimes that are nonetheless causally separated from one another. The dynamic behavior of this bridge is also studied. The most important result of the work done is the completion of some calculations regarding the bridge’s dynamics which were not found in the revised literature. Particularly, the paths followed by photons sent towards the bridge were calculated, showing that none of them can avoid the singularity at the origin and therefore are not able to reach the other asymptotically flat spacetime. In addition, the speed at which the bridge closes is also studied and discussed.
1 Introducci´on
La teor´ıa de la relatividad general, formulada por Albert Einstein en 1916, es una teor´ıa geom´etrica de la gravitaci´on. Bajo la perspectiva de la relatividad general, el espacio-tiempo es una variedad cuatridimensional, que viene provista de una m´etrica particular para medir el intervalo espacio-temporal que separa dos puntos de la misma. Desde el punto de vista matem´atico, la geometr´ıa diferencial nos ense˜na a manejar este tipo de variedades. Las ecuaciones de campo de Einstein son la base de la teor´ıa, al relacionar la curvatura del espacio-tiempo (a trav´es del tensor de Einstein) con la distribuci´on de materia y energ´ıa (a trav´es del tensor de energ´ıa-momento). De esta manera, la energ´ıa y materia en el espacio-tiempo determinan la curvatura del mismo. Las part´ıculas masivas y no masivas (fotones) se mueven en este espacio-tiempo siguiendo las geod´esicas de la variedad. La teor´ıa de la relatividad general es importante en la f´ısica moderna, puesto que constituye la teor´ıa m´as exitosa hasta el momento para explicar los fen´omenos gravitatorios, dando un paso m´as all´a de la teor´ıa newtoniana, aunque todav´ıa no se ha podido reconciliar con la teor´ıa cu´antica.
Las ecuaciones de campo de Einstein representan un sistema de ecuaciones diferenciales par-ciales de segundo orden no lineales acopladas. Encontrar una soluci´on de las mismas para cualquier distribuci´on de materia y energ´ıa no es una tarea sencilla, por lo cual es necesario usar aproxima-ciones en la gran mayor´ıa de casos. Sin embargo, en 1916, Karl Schwarzschild encuentra la primera soluci´on exacta no trivial, la cual describe una masa esf´erica y est´atica en el vac´ıo. La importan-cia de esta soluci´on es evidente, ya que describe una gran parte de los cuerpos encontrados en el universo: las estrellas no rotantes. A pesar de haber encontrado esta soluci´on hace casi 100 a˜nos, ´esta ha sido discutida extensamente y, hasta el d´ıa de hoy, se siguen aclarando caracter´ısticas de la soluci´on y estudiando los problemas que aparecen en la misma.
Cuando la masa del objeto est´a concentrada en una regi´on suficientemente peque˜na, la soluci´on de Schwarzschild describe lo que se conoce como un agujero negro. En el transcurso del trabajo, vamos a trabajar con un agujero negro que ha existido desde el inicio del universo y no como resultado del colapso gravitacional de una estrella. En otras palabras, no nos interesar´a c´omo ha surgido el agujero negro, sino sus propiedades. Por lo tanto, usamos el rango completo de las coordenadas que describen la soluci´on de Schwarzschild y no nos interesa una soluci´on interna.
Las coordenadas de Schwarzschild para describir esta soluci´on presentan problemas en la fron-tera r = 2M, conocida como el horizonte de eventos, por lo cual es necesario escoger otro sistema m´as apropiado para describirla. Se pueden utilizar los sistemas de coordenadas de Eddington-Finkelstein, obtenidos al adaptar las coordenadas a las trayectorias radiales seguidas por fotones. Tambi´en las coordenadas de Kruskal se pueden utilizar para describir esta soluci´on, con las cuales se obtiene una extensi´on maximal del espacio-tiempo. Cada uno de estos sistemas de coordenadas revela aspectos adicionales de la soluci´on de Schwarzschild que no eran evidentes en los dem´as sistemas. En particular, se hace evidente que r= 2M no es un punto especial de la variedad, sino que los problemas all´ı son el resultado de una mala selecci´on del sistema de coordenadas.
El sistema de coordenadas de Kruskal revela, adem´as, la existencia de dos universos asint´ otica-mente planos, los cuales est´an conectados por una garganta, conocida como agujero de gusano o puente de Einstein-Rosen, que tiene una din´amica. El estudio de la din´amica de esta garganta es el objetivo central del trabajo, cuya importancia radica en dos puntos: primero, aunque la soluci´on de agujero negro es bien conocida, su relaci´on con el llamado agujero de gusano es clara ´unicamente para aquellos que trabajan en estos temas; en segundo lugar, hay muchas afirmaciones relacionadas con el comportamiento de la garganta, cuyos c´alculos no se encuentran explicitados en la literatura. El objetivo del trabajo es, entonces, hacer evidente la relaci´on de los agujeros negros con los agujeros de gusano, as´ı como realizar algunos c´alculos que complementen lo que habitualmente se ense˜na en los libros de texto.
En el documento se presenta en el cap´ıtulo 2 la soluci´on de Schwarzschild, su obtenci´on y su relaci´on con el teorema de Birkhoff. Luego, en el cap´ıtulo 3, se estudian las geod´esicas de tipo nulo y tiempo de la variedad para analizar la soluci´on obtenida. Posteriormente, los cap´ıtulos 4 y 5 introducen, respectivamente, las coordenadas de Eddington-Finkelstein y de Kruskal. En este ´
ultimo, se estudia la compactificaci´on de Carter-Penrose como introducci´on a m´etodos globales usados en la relatividad general. El cap´ıtulo 6 estudia el puente de Einstein-Rosen como tal, presentando la existencia del mismo, los diagramas de inserci´on que permiten su visualizaci´on, y los c´alculos relacionados con el tiempo de cerrado, el env´ıo de fotones a trav´es del puente, y la velocidad de cierre de la garganta. Estos c´alculos constituyen el coraz´on del trabajo realizado. Se finaliza con las conclusiones en el cap´ıtulo 7.
2 Soluci´on de Schwarzschild y teorema de Birkhoff
En esta secci´on, se obtendr´a la soluci´on de Schwarzschild, que describe la regi´on del espacio-tiempo exterior a una masa esf´ericamente sim´etrica ubicada en el origen. Despu´es de ´esto, se realizar´an algunos comentarios acerca del desarrollo hist´orico de dicha soluci´on. Cabe anotar que su obtenci´on no es igual al planteamiento de Schwarzschild en 1916, sino basado en las deducciones de [1, 2, 3]. A continuaci´on se presentar´a el teorema de Birkhoff junto a su prueba y algunos comentarios.
2.1 Construcci´on de espacio-tiempo cuatridimensional esf´ericamente sim´etrico
En el espacio-tiempo de Minkowski, el elemento de l´ınea se puede escribir en coordenadas espaciales esf´ericas (r, θ, φ) de la siguiente manera: [1]
ds2 =−dt2+dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (1) La coordenada tcorresponde al tiempo, r a la distancia respecto al origen,θ es el ´angulo polar yφes el ´angulo azimutal. Una superficie conr y tconstante describe una 2-esfera, cuyo elemento de l´ınea est´a dado por:
dl2=r2(dθ2+ sin2θdφ2) :=r2dΩ2 (2)
En la ecuaci´on (2), est´a definido el elemento de ´angulo s´olido dΩ2. Cualquier variedad 2-dimensional con coordenadas θ y φ cuyo elemento de l´ınea est´e dado por la ecuaci´on (2) tiene la misma geometr´ıa de una 2-esfera, siempre que el coeficiente r2 sea independiente de θ y φ. La 2-esfera se identifica por un ´area superficial de 4πr2.
La soluci´on de Schwarzschild corresponde a un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico. El concepto de simetr´ıa esf´erica ser´a importante a lo largo de todo el documento, por lo cual es necesario definirlo a continuaci´on.
Definici´on de simetr´ıa esf´erica. En un espacio-tiempo cuatridimensionalM4 esf´ericamente sim´etrico, cada punto est´a ubicado sobre una 2-esfera que corresponde al conjunto de puntos que le son equivalentes bajo una rotaci´on de la variedad. Estas rotaciones est´an definidas por las matrices de rotaci´on A ∈ SO(3), manteniendo la m´etrica invariante. Sobre cada una de estas 2-esferas se definen las coordenadas angulares θ y φ, dando lugar a una m´etrica para la misma dada por la ecuaci´on (3), para alguna funci´on f(r′
, t) de las otras dos coordenadas de la variedad.
dl2 =f(r′
Coordenada radial. Se define la coordenada radial r en la variedad a partir de la siguiente relaci´on: r2 := f(r′
, t). Al hacerlo, se obtiene un nuevo sistema de coordenadas (t, r, θ, φ), donde la coordenada radialr no corresponde a la distancia propia al centro de la variedad. En cambio, el valor der para la superficie r=const. yt=const. est´a determinada por su ´area superficial 4πr2.
Coordenadas angulares θ y φ. Hasta el momento, se tiene una variedad cuatridimensional
M4 cuyas superficies r=const. yt=const. son 2-esferas, dotadas de un sistema de coordenadas propio (θ, φ) y una m´etrica definida por la ecuaci´on (3). En principio, no existe ninguna relaci´on entre los sistemas de coordenadas (θ, φ) de dos esferas distintas ubicadas enr yr+dr. Para una 2-esfera en M4 definida por r = const. y t = const., se escoge arbitrariamente el polo θ = 0 y el meridiano φ = 0. Se quiere extender esta definici´on de θ y φ para las dem´as 2-esferas de M4
de una manera consistente. Para hacerlo sobre la hipersuperficie con t = const., la curva con
θ =const. y φ=const. debe ser ortogonal a todas las 2-esferas. Esta curva tiene tangente ∂/∂r
por definici´on. Sobre la esfera, los vectores tangente son ∂/∂θ y ∂/∂φ. Por tanto, para que las curvas sean ortogonales a las 2-esferas, se requiere que, en todo punto de la variedad, se cumpla con:
grθ = (∂/∂r)·(∂/∂θ) = 0 (4)
grφ= (∂/∂r)·(∂/∂φ) = 0 (5)
De esta manera, hemos definido un sistema de coordenadas (r, θ, φ) para la hipersuperficie con
t=const.La m´etrica de la variedad est´a dada por:
ds2=gttdt2+ 2gtrdrdt+ 2gtθdθdt+ 2gtφdφdt+grrdr2+r2(dθ2+r2dφ2) (6)
Coordenada temporal. Hemos logrado una simetr´ıa esf´erica para cada una de las hipersu-perficies con t = const. Debemos extender esta simetria esf´erica a todo el espacio-tiempo. Para esto, la curva conr =const.,θ=const.yφ=const., cuya tangente es∂/∂t, debe ser ortogonal a todas las 2-esferas. Esto se asegura con las siguientes condiciones:
gtθ= (∂/∂t)·(∂/∂θ) = 0 (7)
gtφ= (∂/∂t)·(∂/∂φ) = 0 (8)
Elemento de l´ınea esf´ericamente sim´etrico. Con las relaciones anteriores, se logra re-ducir el elemento de l´ınea de un espacio-tiempo cuatridimensionalM4 esf´ericamente sim´etrico a la
siguiente expresi´on:
ds2 =gttdt2+ 2gtrdrdt+grrdr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (9)
En la ecuaci´on (9), las componentes de la m´etrica son funciones de r yt. No pueden depender de θo φpara mantener la simetr´ıa esf´erica del espacio-tiempo.
2.2 Espacio-tiempos estacionarios y est´aticos
El elemento de l´ınea dado por la ecuaci´on (9) describe un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico. Sin embargo, nada se ha dicho acerca de su dependencia temporal. Se presentan a continuaci´on las definiciones para un espacio-tiempo estacionario y uno est´atico.
Definici´on de espacio-tiempo estacionario. Un espacio-tiempo es estacionario cuando la geometr´ıa no depende expl´ıcitamente del tiempo, es decir,gµν,t= 0. De forma rigurosa, un
espacio-tiempo es estacionario si y s´olo si admite un campo vectorial de Killing de tipo tiempo [3]. Un ejemplo es una estrella que rote a velocidad constante. En este caso, la velocidad es independiente del tiempo y el sistema es estacionario. (Ver ap´endice B)
Definici´on de espacio-tiempo est´atico. Un espacio-tiempo es est´atico si no evoluciona. Esto significa que el sistema no debe cambiar si se invierte la direcci´on del tiempo. En este sentido, la estrella rotante no corresponde a una situaci´on est´atica, ya que invertir la direcci´on del tiempo implica invertir la direcci´on de rotaci´on. De una manera m´as formal, un espacio-tiempo es est´atico si y s´olo si admite un campo vectorial de Killing de tipo tiempo que sea ortogonal a hipersuperficies de tipo espacio. [3] La condici´on de estaticidad es m´as fuerte que la de un espacio-tiempo estacionario.
Espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico y est´atico. Imponemos ahora la condici´on de un espacio-tiempo est´atico. Entonces, todos los componentes de la m´etrica son independientes del tiempo, y la m´etrica debe mantenerse invariante al invertir la direcci´on del tiempo.
Matem´aticamente, invertir la direcci´on del tiempo implica realizar el cambio de coordenadas
t′
→ −t. Aplicar este cambio de coordenadas al elemento de l´ınea de la ecuaci´on (9) da lugar al siguiente elemento de l´ınea:
ds′2
=gttdt2−2gtrdrdt+grrdr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (10)
Se observa al comparar las ecuaciones (9) y (10) que el elemento de l´ınea se mantiene invariante si no hay t´erminos cruzados con la coordenada temporal, es decir,gtr = 0. Entonces, la m´etrica de
un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico y est´atico es:
ds2=−e2Φdt2+e2Λdr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (11) En la ecuaci´on (11), se han parametrizado los componentes gtt ygrr en t´erminos de
exponen-ciales de manera que se mantenga una m´etrica Lorentziana de signatura (−,+,+,+). El sistema de coordenadas utilizado es conocido como coordenadas de Schwarzschild. F´ısicamente, las coor-denadas θ y φ se interpretan como ´angulos sobre las 2-esferas de la variedad. Por construcci´on, la coordenada radial r se determina con el ´area superficial de cada 2-esfera (definida por r y t
constantes), la cual es 4πr2.
2.3 Soluci´on de Schwarzschild
Hasta ahora, se ha obtenido el elemento de l´ınea de la ecuaci´on (11) para un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico y est´atico. Para obtener la llamada soluci´on de Schwarzschild, que describe la geometr´ıa a la que da lugar una masa esf´erica est´atica localizada en el origen, se necesita utilizar las ecuaciones de campo de Einstein.
Nos interesa la soluci´on exterior a la masa, es decir, en el vac´ıo. Las ecuaciones de campo de Einstein en el vac´ıo est´an dadas por: (ver ap´endice A)
Gµν =Rµν−
1
2Rgµν = 0 (12)
Esto es equivalente a que el tensor de Ricci tambi´en se iguale a cero, es decir, Rµν = 0. Esto
nos brinda otra forma de resolver las ecuaciones de Einstein, que no presentamos, pero que consiste en obtener la expresi´on para la curvatura escalarR de un espacio gen´erico esf´ericamente sim´etrico,
con lo cual R = 0 se convierte en una ecuaci´on diferencial ordinaria. Comparando con el l´ımite Newtoniano, se obtienen las constantes de integraci´on apropiadas. El planteamiento a continuaci´on es el seguido por la mayor´ıa de libros de texto de relatividad general.
Si se calcula el tensor de Einstein Gµν para la m´etrica descrita por (11), se obtiene que las
componentes distintas de cero son:
Gtt=
1
r2e 2Φ d
dr
r 1−e−2Λ
(13)
Grr=−1
r2e 2Λ 1
−e−2Λ +2
rΦ
′
(14)
Gθθ =r2e
−2Λ
Φ′′ + (Φ′
)2+Φ ′
r −Φ
′ Λ′ −Λ ′ r (15)
Gφφ= sin2θGθθ (16)
donde las primas indican las derivadas respecto a r.
Las ecuaciones de campo implica que las expresiones (13) a (16) son iguales a cero. La compo-nentettde las ecuaciones de Einstein (en la expresi´on (13)) implica lo siguiente:
Gtt=
1
r2e 2Φ d
dr
r 1−e−2Λ
= 0 ⇒ r 1−e−2Λ
= 2M (17)
La cantidad r 1−e−2Λ
es una cantidad constante que llamaremos por ahora 2M. Por tanto,
e2Λ=
1−2M
r
−1
(18)
Usamos ahora la componente rr de las ecuaciones de Einstein (la expresi´on (14)),
Grr =−
1
r2e
2Λ 1−e−2Λ +2
rΦ
′
= 0 (19)
−e2Λ+ 1 + 2rΦ′
= 0 (20)
dΦ
dr =
e2Λ−1
2r (21)
e2Λ=
1−2M
r
−1
⇒ dΦ
dr = M
r(r−2M) (22) Para resolver la ecuaci´on diferencial (22), se debe imponer alguna condici´on de frontera. F´ısica-mente, buscamos que en el espacio lejos de la masa, la m´etrica sea plana, es decir, de Minkowski. Esta es la condici´on de frontera para las ecuaciones de campo. Para cumplirla se necesita lo siguiente:
lim
r→∞Λ(r) = limr→∞Φ(r) = 0 (23)
La primera condici´on se cumple con la expresi´on (18). La segunda condici´on impone una condici´on de frontera a la ecuaci´on diferencial para Φ en (22), cuya soluci´on est´a dada por:
Φ = 1 2ln
1−2M
r
(24)
Soluci´on de Schwarzschild. Habiendo resuelto las ecuaciones de campo en el vac´ıo, se obtiene que la m´etrica de Schwarzschild o elemento de l´ınea de Schwarzschild est´a dado por:
ds2 =−
1−2M
r
dt2+
1−2M
r
−1
2.4 Caracter´ısticas f´ısicas de la soluci´on de Schwarzschild
L´ımite newtoniano de la soluci´on de Schwarzschild. La m´etrica debe reducirse en el l´ımite Newtoniano de campos gravitacionales d´ebiles de la siguiente manera [3] (consideramos unidades en las que c= 1 yG= 1):
gtt = 1−
2M
r ≃1 + 2φ= 1−
2m
r (26)
donde se tuvo en cuenta que el potencial gravitacional de una masa m en la teor´ıa Newtoniana es φ = −m/r. Por tanto, se concluye que la constante M resultante de la integraci´on en el elemento de l´ınea de Schwarzschild corresponde a la masa del objeto que produce dicha geometr´ıa,
m (en unidades G = c = 1). Se observa que si dicha masa es cero, la m´etrica se reduce a la de Minkowski, es decir, al espacio-tiempo plano. Adem´as, cuandor → ∞, el espacio-tiempo tambi´en es asint´oticamente plano o Minkowski.
La soluci´on no es regular Otro aspecto de la soluci´on de Schwarzschild que cabe anotar es que las componentes de la m´etrica no son regulares en r = 0 ni en r = 2M. En estos puntos, algunos componentes de la m´etrica divergen. La discusi´on del significado de estos dos l´ımites ser´a importante a lo largo de todo el presente documento. Para una primera aproximaci´on al tema, consid´erese el siguiente invariante de curvatura, conocido como escalar de Kretschmann [2]:
K=RαβγδRαβγδ=
48M2
r6 (27)
Se observa que este invariante diverge para r = 0, pero no para r = 2M. Por tanto, se espera que la divergencia en r = 2M sea debida ´unicamente a un problema de coordenadas y no a una singularidad real de la variedad, a diferencia de lo que ocurre en r = 0. Otros invariantes de curvatura se anulan para este espacio-tiempo, como son: R yRicci2 =RµνR
µν.
Campo vectorial de Killing de tipo tiempo. En la regi´on donde r >2m, las coordenadas
t y r son de tipo tiempo y de tipo espacio, respectivamente, de acuerdo con el signo de gtt y grr.
Las coordenadas est´an adaptadas a un campo vectorial de Killing de tipo tiempo definido por
ξα=δtα=∂/∂t. Para este campo vectorial de Killing,
ξα=gαβξβ =gαβδtβ =gαt=−(1−2M/r,0,0,0) (28) ξα es un campo de Killing ortogonal a hipersuperficies de tipo espacio si ξα=λf,α para alguna
funci´on f(xµ) que define las mismas. En este caso, se tiene que
λ=gtt f(xα) =t (29)
Por tanto, el campo vectorial de Killing ξα=∂/∂tes ortogonal a la familia de hipersuperficies definidas por f(xα) =t=const. [3] (Ver ap´endice B)
Resumen. Lo que hemos logrado hasta ahora es partir de un espacio esf´ericamente sim´etrico, para el cual se dedujo que el elemento de l´ınea correspond´ıa a la ecuaci´on (9). Supusimos adem´as que el espacio-tiempo era est´atico, con lo cual llegamos al elemento de l´ınea de la ecuaci´on (11). Por ´ultimo, utilizamos las ecuaciones de campo de Einstein en el vac´ıo para encontrar las funciones
desconocidas Λ(r) y Φ(r), suponiendo adem´as que el espacio-tiempo fuera asint´oticamente plano. Con estas suposiciones, llegamos finalmente al elemento de l´ınea de Schwarzschild en (25). Existen otras deducciones de la m´etrica de Schwarzschild que no suponen un espacio-tiempo est´atico ni asint´oticamente plano, pero dicha discusi´on es m´as apropiada en el contexto del teorema de Birkhoff. Por ahora, realizaremos una breve discusi´on hist´orica acerca de la obtenci´on de esta soluci´on.
2.5 Discusi´on hist´orica de la soluci´on de Schwarzschild
El art´ıculo original de Karl Schwarzschild (Alemania, 1873-1916) traducido al ingl´es [4] se titula On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory. En ´el, la deducci´on del elemento de l´ınea es diferente y, de hecho, tiene algunas diferencias importantes con el presentado en la ecuaci´on (25).
Soluci´on original de Schwarzschild. Schwarzschild [4] solucion´o las ecuaciones de campo de Einstein que fueron publicadas el 11 de Noviembre de 1915, las cuales no correspond´ıan a la versi´on definitiva publicada despu´es. Dichas ecuaciones no eran completamente covariantes, porque s´olo admit´ıan transformaciones unimodulares, y estaban obligadas a cumplir con|gµν|=−1 (denominada ecuaci´on del determinante). Las ecuaciones de campo en el vac´ıo estaban escritas de la siguiente forma:
∂Γα µν ∂xα + Γ
α
µβΓβνα= 0 (30)
Aunque las ecuaciones tienen las mismas soluciones que la versi´on final, estaban restringi-das a transformaciones unimodulares. Schwarzschild comienza definiendo coordenarestringi-das espaciales
x1, x2, x3y coordenada temporalx4. Supone una masa est´atica en el origen y movimiento rectil´ıneo
y uniforme (m´etrica de Minkowski) en el infinito. Einstein ya hab´ıa demostrado las siguientes cuatro condiciones que utiliza Schwarzschild:
1. Todos los componentes de la m´etrica son independientes del tiempo x4, es decir, la soluci´on
es estacionaria.
2. Las ecuaciones gi4 = g4i = 0 se cumplen para i = 1,2,3. No hay t´erminos cruzados con el
tiempo en la m´etrica, lo cual implica una soluci´on est´atica.
3. La soluci´on es esf´ericamente sim´etrica respecto al origen del espacio. Si x1, x2, x3 son
someti-dos a una transformaci´on ortogonal de rotaci´on, la soluci´on no debe cambiar.
4. En el infinito, el espacio-tiempo es asint´oticamente plano, cumpliendo con la m´etrica de Minkowski: g44 = 1, g33 = g22 = g11 = −1. N´otese que la m´etrica que toma Schwarzschild
tiene el signo contrario a la deducci´on que se realiz´o en este documento, lo cual no cambia la f´ısica de la soluci´on.
El problema planteado por Schwarzschild es encontrar el elemento de l´ınea que cumpla con las ecuaciones de campo (30), la ecuaci´on del determinante |gµν|=−1 y las cuatro condiciones
ante-riores. Schwarzschild anota que Einstein ya hab´ıa resuelto el problema mediante aproximaciones de primer y segundo orden. La de primer orden reproduce la ley de Newton, mientras que la de segundo orden explica la precesi´on del perihelio de la ´orbita de Mercurio. Sin embargo, la soluci´on que Schwarzschild deduce en su art´ıculo es exacta.
Schwarzschild encuentra un elemento de l´ınea que cumple con las condiciones de Einstein, y transforma a coordenadas polares. Sin embargo, esta transformaci´on no es unimodular ni cumple
con la ecuaci´on del determinante, por lo cual se ve obligado a definir un conjunto de coordenadas que denomin´o coordenadas polares con determinante 1, definidas por:
x1=
r3
3, x2 =−cosθ, x3 =φ (31)
En este sistema peculiar de coordenadas, obtiene un elemento de l´ınea definido as´ı:
ds2 =f4dx24−f1dx21−f2
dx22
1−x2 2 −
f3(1−x22)dx23 (32)
Las funcionesf en el elemento de l´ınea deben cumplir con condiciones de frontera en el infinito, la ecuaci´on del determinante (que se reduce a f1f2f3f4 = 1) y las ecuaciones de campo. Adem´as
Schwarzschild le exige a las funciones f que sean continuas en todo el espacio-tiempo. Hay que anotar que este elemento de l´ınea del cual parte Schwarzschild no tiene nada que ver con el elemento de l´ınea (11) que se le atribuye. El elemento de l´ınea (11) tiene dos funciones independientes, mientras que el elemento usado por Schwarzschild tiene tres funciones independientes (f1, f2 =f3
yf4).
Schwarzschild deriva las componentes de la conexi´on af´ın Γαµνa partir de un principio variacional. Luego, utiliza las ecuaciones de campo en el ecuador (x2 = 0) aprovechando que el espacio goza
de simetr´ıa esf´erica. Al hacerlo, obtiene expresiones para las funciones f1, f2, f4 que dependen de
tres constantes de integraci´on λ, α y ρ. Por condiciones de frontera, λ= 1. Schwarzschild nota que el elemento de l´ınea que obtiene es discontinuo en el punto 3x1 =α3−ρ. Como ´el buscaba un
elemento de l´ınea continuo en el intervalo 0< x1 <∞, obliga a dicha discontinuidad a ubicarse en
el origen, fijandoα3=ρ. Obtiene as´ı el elemento de l´ınea siguiente:
ds2 =1− α
R
dt2− dR
2
1−α/R −R
2(dθ2+ sin2θdφ2), R= (r3+α3)1/3 (33)
La soluci´on que obtiene Schwarzschild es distinta a la soluci´on que se encontr´o en (25). De-pende de una constante de integraci´on α que se relaciona con la masa en el origen, al realizar una aproximaci´on Newtoniana. El elemento de l´ınea es adem´as continuo en todo el espacio-tiempo a excepci´on del origen. Schwarzschild anota que hay m´ultiples soluciones dependiendo del par´ametro
ρ escogido. Al escoger ρ =α3 para ubicar la discontinuidad de la variedad en el origen, concluye que la soluci´on es ´unica.
Lo interesante de este recuento es que Schwarzschild nunca public´o el elemento de l´ınea (25). De hecho las caracter´ısticas son distintas, en cuanto a la regularidad de los elementos de l´ınea.
La pregunta es porqu´e el elemento de l´ınea (25) es conocido como la m´etrica de Schwarzschild en pr´acticamente todos los libros y publicaciones de relatividad general. Esta no es una discusi´on menor, porque la naturaleza de la frontera r = 2M ha interesado a los f´ısicos durante d´ecadas despu´es de la muerte de Schwarzschild. La mayor´ıa de relativistas inicialmente consideraban que la regi´on r <2M no ten´ıa significado f´ısico y buscaron probar que no se pod´ıa acceder a ella desde el exterior. Luego de la d´ecada de 1950, los relativistas cambiaron de opini´on y se convencieron de que dicha regi´on era f´ısicamente significativa y que existen geod´esicas que permiten acceder a esa regi´on. [5] La opini´on prevalente hoy en d´ıa es que enr= 2M no existe un problema en la variedad y es el resultado de una mala selecci´on de parte de Schwarzschild. Sin embargo, Schwarzschild nunca escogi´o este sistema.
Rese˜na de Phillip Frank. El art´ıculo original de Schwarzschild iba acompa˜nado de una breve rese˜na por parte de Phillip Frank (Austria, 1884-1966) que pudo haber contribuido a la confusi´on,
al dejar de lado dos aspectos importantes del art´ıculo. En primer lugar, no menciona la raz´on detr´as de la selecci´on de las coordenadas polares de determinante 1, con lo cual pareciera necesaria una condici´on adicional sobre las coordenadas. Esta condici´on era la ecuaci´on del determinante que Schwarzschild utiliza y Frank no explica. A´un m´as importante es la siguiente omisi´on, referente a las constantes de integraci´on. Schwarzschild ya hab´ıa notado que la soluci´on ten´ıa una singularidad y deliberadamente coloca dicha singularidad en el origen de la variedad. No se enuncia este problema que Schwarzschild ya hab´ıa encontrado. Esto contribuy´o a que la soluci´on original no se entendiera en su totalidad. [6]
Soluci´on obtenida por Hilbert. Hilbert (Prusia, 1862-1943) termina por atribuirle a Schwarz-schild la soluci´on (25) err´oneamente, al publicar una revisi´on de la soluci´on est´atica y esf´ericamente sim´etrica de Schwarzschild en 1917. En primer lugar, Hilbert utiliza la versi´on final de las ecuaciones de Einstein, que eran completamente covariantes, con lo cual no estaban limitadas a transforma-ciones unimodulares. Por tanto, Hilbert hace una transformaci´on a coordenadas polares, llegando al siguiente elemento de l´ınea:
ds2 =H(r)dt2−F(r)dr2−G(r)(dθ2+ sin2θdφ2) (34) Schwarzschild deb´ıa cumplir con la ecuaci´on del determinante para lo cual necesitaba tres par´ametros libres. Sin embargo, Hilbert no estaba obligado a hacerlo al gozar de las ecuaciones de campo completas. Entonces una de las tres funciones H, F o G pod´ıa ser fijada arbitrariamente. Hilbert hace esto al definir una nueva coordenada de la siguiente forma:
r∗
=pG(r) (35)
Con esta definici´on contin´ua su deducci´on y llega al elemento de l´ınea (25) (con un cambio de signo sin repercusi´on f´ısica). El cambio de coordenadas est´a permitido. Sin embargo, Hilbert supone que el rango de la nueva coordenadar∗
contin´ua siendo 0< r∗
<∞. Sin embargo, el rango de r∗
es arbitrario y depende de la funci´on G(r) que es desconocida. Por tanto, fijar el rango de la soluci´on entre 0 e ∞ es equivalente a imponer la siguiente condici´on arbitraria: G(0) = 0. Es por esto que la soluci´on obtenida por Hilbert s´olo tiene una constante de integraci´onM, mientras que Schwarzschild obtiene dos. En otras palabras, Hilbert encontr´o s´olo una de las m´ultiples soluciones encontradas por Schwarzschild. Schwarzschild solucion´o el problema colocando la singularidad en el origen. Sin embargo, si hubiera decidido fijar la constante de integraci´onρ= 0, hubiera encontrado la soluci´on de Hilbert.
Hilbert publica su soluci´on en 1917 y la atribuye err´oneamente a Schwarzschild dejando para siempre el nombre de m´etrica de Schwarzschild para el elemento (25). Hilbert nota, por supuesto, la singularidad que se encontraba en r= 2M. Se convenci´o de que la regi´onr >2M era la ´unica con significado f´ısico y que la singularidad era inherente al espacio-tiempo. De hecho, Hilbert men-ciona en un pie de p´agina: Transformar al origen la posici´onr =α, como hizo Schwarzschild, no es aconsejable en mi opini´on; m´as a´un, la transformaci´on de Schwarzschild no es la m´as sencilla que logra ese alcance [6]. Sin embargo, la soluci´on de Hilbert evidenci´o la presencia de una singu-laridad aparte del origen, que m´as adelante se pudo eliminar con una mejor selecci´on del sistema de coordenadas. Los invariantes que se contruyen con la m´etrica, el tensor de Riemann y sus derivadas covariantes (como el invariante de Kretschmann) exhiben una singularidad en el origen, evidenciando su car´acter intr´ınseco al espacio-tiempo.
2.6 Teorema de Birkhoff
En la deducci´on de la m´etrica de Schwarzschild hemos supuesto un espacio esf´ericamente sim´etrico, est´atico y asint´oticamente plano. Como se coment´o, no es necesario suponer un espacio-tiempo est´atico ni asint´oticamente plano para obtener la soluci´on de Schwarzschild. Esto nos lleva a enunciar el teorema de Birkhoff. [3]
Teorema de Birkhoff: Una soluci´on esf´ericamente sim´etrica de las ecuaciones de campo en el vac´ıo es necesariamente est´atica en la regi´on exterior (r >2M).
Sobre la regi´on interior, hablaremos m´as adelante. Otra forma equivalente de enunciar el teo-rema es la siguiente. [2]
Teorema de Birkhoff: Sea la geometr´ıa de una regi´on dada del espacio-tiempo que i) sea esf´ericamente sim´etrica, y ii) sea soluci´on de las ecuaciones de campo en el vac´ıo. Entonces, esa geometr´ıa necesariamente es una porci´on de la geometr´ıa de Schwarzschild.
Implicaciones f´ısicas. Este teorema es sorprendente porque implica que la regi´on exterior a una fuente esf´ericamente sim´etrica es est´atica. En la teor´ıa newtoniana, no existe relaci´on alguna entre la simetr´ıa esf´erica y la dependencia temporal. El teorema de Birkhoff implica, en el caso de una estrella, que si ´esta cambia su masa, vibra, se expande o colapsa, la soluci´on externa se mantendr´a est´atica, siempre y cuando la estrella mantenga su simetr´ıa esf´erica en todo momento. Las perturbaciones de simetr´ıa esf´erica de una fuente esf´ericamente sim´etrica no generan pertur-baciones en la regi´on externa, es decir, no emite ondas gravitacionales. La m´etrica del espacio exterior a la estrella ser´a adem´as siempre la de Schwarzschild. Cabe anotar que el converso del teorema no es cierto: si una fuente da lugar a una soluci´on tipo Schwarzschild en la regi´on exterior, no necesariamente es esf´ericamente sim´etrica. Las fuentes no heredan la simetr´ıa del campo ex-terno. El teorema nos permite entender porqu´e no es necesario asumir un espacio-tiempo est´atico ni asint´oticamente plano para derivar el elemento de l´ınea de Schwarzschild. Cualquier soluci´on esf´ericamente sim´etrica tendr´a la m´etrica de Schwarzschild. [3]
Prueba. Procede ahora probar el teorema de Birkhoff. [2, 3] En las deducciones anteriores, llegamos al elemento de l´ınea (9) para un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico. Los componentes
gtt, gtrygrrde la m´etrica son funciones derytya que no se ha supuesto un espacio-tiempo est´atico.
Se reproduce el elemento esf´ericamente sim´etrico a continuaci´on:
ds2 =gttdt2+ 2gtrdrdt+grrdr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (36)
Este elemento de l´ınea se puede reducir a una forma m´as simple, realizando un cambio de coordenadas. [3] Consideremos el siguiente diferencial:
gtt(t, r)dt+gtr(t, r)dr (37)
Dicho diferencial siempre puede ser multiplicado por un factor integrante,I(t, r) que lo convierte en un diferencial total de una funci´ont′
(t, r). Esta ser´a nuestra nueva coordenada temporalt′ . As´ı,
dt′
=I(t, r) [gtt(t, r)dt+gtr(t, r)dr] (38)
Elevando esta expresi´on al cuadrado, se obtiene:
dt′2
=I2 gtt2dt2+ 2gttgtrdtdr+g2trdr2
De all´ı se puede despejar el t´ermino gttdt2+ 2gtrdtdr el cual aparece en el elemento de l´ınea
(36).
gttdt2+ 2gtrdtdr=I−2gtt−1dt
′2
−gtr2g−1
tt dr2 (40)
Reemplazando esta expresi´on en el elemento de l´ınea (36),
ds2=I−2
g−1
tt dt
′2
+ (grr−gtr2g−1
tt )dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (41)
Se eliminan las primas de la expresi´on anterior y se realizan las siguientes definiciones para mantener una m´etrica Lorentziana:
−e2Φ(t,r)=I−2
g−1
tt (42)
e2Λ(t,r)=grr−gtr2g
−1
tt (43)
Se obtiene el siguiente elemento de l´ınea para un espacio-tiempo esf´ericamente sim´etrico, sin imponerle estaticidad al mismo. Obs´ervese que el elemento de l´ınea es similar al elemento (11) donde las funciones desconocidas Φ y Λ son ahora funciones det yr.
ds2=−e2Φ(t,r)dt2+e2Λ(t,r)dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (44) Con esta m´etrica, se obtienen las siguientes componentes del tensor de Einstein en coordenadas de Schwarzschild. Adem´as, todas las componentes deben ser igual a cero, de acuerdo a las ecuaciones de campo en el vac´ıo.
Gtt=
1
r2e 2Φ d
dr
r 1−e−2Λ
= 0 (45)
Gtr =Grt= 2 ˙Λ
r = 0 (46)
Grr=−1
r2e 2Λ 1
−e−2Λ +2
rΦ
′
= 0 (47)
Gθθ =r2e−2Λ
Φ′′
+ (Φ′ )2+Φ
′
r −Φ
′ Λ′ −Λ ′ r
−r2e−2Φh¨
Λ + ˙Λ2− ˙Λ ˙Φi= 0 (48)
Gφφ= sin2θGθθ (49)
La componente Gtr garantiza que Λ ser´a una funci´on de r ´unicamente. La componente Gtt
tiene la misma forma anterior, por lo cual Λ se podr´a definir de manera igual:
e2Λ=
1−2M
r
−1
(50)
La componente Grr tiene la misma forma que para la m´etrica de Schwarzschild, por lo cual la
soluci´on para Φ ser´a igual, exceptuando una funci´on det adicional, debido a que Φ s´ı puede tener dependencia temporal:
Φ = 1 2ln
1−2M
r
+h(t) (51)
Al reemplazar las expresiones para Φ y Λ en la m´etrica (44), se obtiene:
ds2 =−e2h(t)
1−2M
r
dt2+ dr
2
1−2M/r +r
Es posible definir una nueva coordenada temporal, definida por:
t∗ =
Z
eh(t)dt ⇒ dt∗
=eh(t)dt (53)
De esta manera, el elemento de l´ınea (eliminando el asterisco para la nueva coordenada temporal) queda de la forma:
ds2 =−
1−2M
r
dt2+
1−2M
r
−1
dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (54)
Este elemento es funcionalmente igual al elemento de l´ınea (25). En conclusi´on, cuando el espacio-tiempo es esf´ericamente sim´etrico, uno puede introducir coordenadas tales que la m´etrica sea de Schwarzschild. Esto implica que la soluci´on ser´a est´atica y asint´oticamente plana siempre en la regi´on exterior. Q.E.D.
Consideraciones hist´oricas. Al igual que la soluci´on de Schwarzschild, el teorema de Birkhoff tambi´en tiene controversias de tipo hist´orico. En 1923, Birkhoff (Estados Unidos, 1884-1944) prob´o que la m´etrica de Schwarzschild era v´alida sin suponer un espacio-tiempo est´atico a priori, siempre y cuando la simetr´ıa esf´erica se mantuviera. [7] Sin embargo, el teorema hab´ıa sido descubierto tres a˜nos antes por parte de Jebsen, quien lo public´o a trav´es de la Academia Sueca de Ciencias. Jebsen (Suecia, 1888-1922) prob´o el teorema inspirado en la derivaci´on de la m´etrica de Schwarzschild por parte de Hilbert, la cual se mencion´o anteriormente. La prueba del art´ıculo de Jebsen [8] es equivalente a la forma como se prob´o aqu´ı y en la mayor´ıa de textos de relatividad general.
El art´ıculo de Jebsen se titula Sobre las soluciones esf´ericamente sim´etricas generales de las ecuaciones gravitacionales de Einstein en el vac´ıo [8]. Jebsen comienza mencionando las solu-ciones de las ecuasolu-ciones de campo de Einstein por parte de Schwarzschild y Hilbert para el caso est´atico. Contin´ua diciendo que se esperar´ıa que, al eliminar la restricci´on de estaticidad, se obtenga una soluci´on de mayor generalidad que la de Schwarzschild. Sin embargo, a trav´es de un cambio apropiado de la coordenada del tiempo, se obtiene la misma soluci´on que para el caso esf´ericamente sim´etrico y est´atico. Jebsen comienza la deducci´on con las mismas suposiciones de Hilbert: co-ordenadas Gaussianas (no hay t´erminos cruzados con el tiempo), la m´etrica es expl´ıcitamente independiente del tiempo (espacio-tiempo estacionario), y hay simetr´ıa esf´erica. Hace una trans-formaci´on a coordenadas polares y, a partir de un principio variacional, obtiene las componentes de la conexi´on af´ın, con los cuales calcula el tensor de Riemann y de Ricci. Usando las ecuaciones de Einstein, deriva una m´etrica en la cual una de sus componentes depende del tiempo. Sin embargo, a trav´es de un cambio apropiado de variable, se obtiene una m´etrica de Schwarzschild est´atica. Concluye enunciando el teorema: En un caso no est´atico, para el cual las fuerzas gravitacionales est´an dispuestas de forma esf´ericamente sim´etrica alrededor de un punto, el origen, siempre ser´a posible escoger la unidad de tiempo tal que el fen´omeno sea est´atico [8].
Jebsen se interes´o por los temas de relatividad durante sus estudios, realizando una tesis so-bre problemas electrodin´amicos en la teor´ıa de la relatividad especial, colaborando con Oseen en Noruega. Jebsen de hecho se mud´o all´ı para trabajar en relatividad, pero el propio Oseen era esc´eptico acerca de la teor´ıa. Jebsen trabaj´o en otras soluciones a las ecuaciones de campo y se interes´o especialmente por las simetr´ıas de las mismas. Sin embargo, muere en 1922, tan s´olo un a˜no despu´es de publicado su art´ıculo y antes de que Birkhoff publicara su prueba. [8]
3 An´alisis de soluci´on de Schwarzschild
La m´etrica de Schwarzschild describe la geometr´ıa que resulta de la presencia de una masa de simetr´ıa esf´erica ubicada en el origen. Es necesario analizar cu´ales son las consecuencias f´ısicas de dicha geometr´ıa. Para esto, debemos estudiar las geod´esicas de tipo nulo que siguen los rayos de luz en esta geometr´ıa, as´ı como las geod´esicas de tipo tiempo que siguen las part´ıculas masivas. Dicho an´alisis nos va a permitir profundizar en el car´acter de la frontera r = 2M. Reproducimos el elemento de l´ınea de la ecuaci´on (25) expresado en las llamadas coordenadas de Schwarzschild (t, r, θ, φ).
ds2 =−
1−2M
r
dt2+
1−2M
r
−1
dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (55)
3.1 Geod´esicas de tipo nulo
De acuerdo con la relatividad general, si se tiene una m´etrica que cumple con las ecuaciones de campo de Einstein, como es el caso de la m´etrica de Schwarzschild, los rayos de luz o fotones seguir´an trayectorias determinadas por las geod´esicas de tipo nulo de la variedad. ´Estas se caracterizan por un intervalo espacio-temporal ds2 = 0. Nos concentraremos en geod´esicas radiales que son
suficientes para determinar las caracter´ısticas principales de la soluci´on de Schwarzschild. Entonces, imponemos las siguientes condiciones:
ds2= ˙θ= ˙φ= 0 (56)
A partir del principio variacional (ver ap´endice C), se tienen las siguientes ecuaciones para las geod´esicas de una variedad: [3]
2K :=gµνx˙µx˙ν =α (57)
∂K ∂xβ −
d du
∂K ∂x˙β
= 0 (58)
En estas ecuaciones,ues el par´ametro af´ın de la geod´esica, yαtoma el valor de 0 para geod´esicas nula, +1 para geod´esicas de tipo tiempo y -1 para geod´esicas de tipo espacio. As´ı mismo, el punto denota la diferenciaci´on respecto al par´ametro af´ın u.
La ecuaci´on (57) para el caso de las geod´esicas de tipo nulo corresponde a:
2K=
1−2M
r
˙
t2−
1−2M
r
−1 ˙
r2 = 0 (59)
Aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange (58) para β= 0, se obtiene:
∂K ∂t − d du ∂K ∂t˙
= 0 (60)
d du
1−2M
r
˙
t
= 0 (61)
1−2M
r
˙
t=k (62)
˙
t=
1− 2M
r
−1
Reemplazando esta expresi´on en la ecuaci´on (59), resulta:
k2−r˙2 = 0 ⇒ r˙=±k ⇒ r=±ku+C (64) Queda claro que r es una transformaci´on lineal del par´ametro af´ınu, por lo cualrtambi´en debe ser un par´ametro af´ın de la geod´esica. Podemos buscar la ecuaci´on de la geod´esica parametrizada en t´erminos deu, o tambi´en podemos buscar la ecuaci´on t=t(r) de la siguiente forma:
dt dr = dt/du dr/du = ˙ t ˙
r =±
1−2M
r
−1
=± r
r−2M (65)
Al integrar esta ´ultima expresi´on, se obtiene la expresi´on para las geod´esicas de tipo nulo expresadas en coordenadas de Schwarzschild. [3]
t(r) =±(r+ 2Mln|r−2M|+C) (66)
Interpretaci´on f´ısica. Como se observa, existen dos clases de geod´esicas de tipo nulo, de acuerdo al signo de la ecuaci´on (66). El signo determina si la geod´esica corresponde a una geod´esica entrante (el fot´on dirigido hacia el origen) o saliente (el fot´on se dirige hacia el exterior). En la regi´onr >2M, la ecuaci´on (65) nos indica que el signo positivo corresponde adr/dt >0, es decir, quer aumenta a medida quettambi´en lo hace, lo cual corresponde a la situaci´on de una geod´esica saliente. En la misma regi´on, el signo negativo implicadr/dt <0, es decir una geod´esica entrante, en la cual r disminuye a medida quet aumenta. Si pasamos a la regi´on 0< r <2M, los signos de la pendientedr/dtcambian de signo para las geod´esicas entrantes y salientes. En ambos casos, las geod´esicas de tipo nulo determinan el cono de luz en cada punto de la variedad, definiendo as´ı la estructura causal del espacio-tiempo. [3]
En la figura 1, se observan las geod´esicas de tipo nulo radiales expresadas en coordenadas de Schwarzschild. Las curvas de color azul corresponden a las geod´esicas nulas salientes mientras que las curvas de color negro corresponden a las geod´esicas nulas entrantes. En rojo, est´a la frontera
r= 2M. Se muestran tambi´en los conos de luz sobre algunos puntos de la variedad. Para la regi´on
r > 2M, las geod´esicas salientes corresponden a fotones que se alejan del origen de la variedad, mientras que las geod´esicas entrantes tienden hacia ella. Las geod´esicas en el infinito tienden a formar 45◦
con el eje r, lo cual muestra que el espacio-tiempo de Schwarzschild es asint´oticamente plano. En esta regi´on, los conos de luz muestran que las part´ıculas masivas pueden alejarse o acercarse a la frontera r = 2M sin problema. Sin embargo, ninguna geod´esica cruza r = 2M ya que, a medida que r → 2M, t → ∞. En la regi´on r < 2M, los conos de luz apuntan hacia la singularidad. Todas las geod´esicas de tipo nulo y de tipo tiempo terminan inevitablemente en el origen r = 0. Tambi´en se observa que, para las geod´esicas entrantes en esta regi´on, t decrece a medida que r decrece, mostrando parte del problema con la coordenada t de Schwarzschild. Cabe anotar que en estas coordenadas no queda claro c´omo un fot´on o part´ıcula masiva puede cruzar la frontera r= 2M.
3.2 Geod´esicas de tipo tiempo
Las part´ıculas masivas se mueven en geod´esicas de tipo tiempo, las cuales se pueden describir usando la ecuaci´on (57) como:
2K=
1−2M
r
˙
t2−
1−2M
r
−1 ˙
Figure 1: Geod´esicas de tipo nulo radiales en coordenadas de Schwarzschild.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange (58) para β= 0 se reducen a la misma expresi´on que el caso de las geod´esicas de tipo nulo, donde la constante de integraci´on k corresponde a las condiciones iniciales. Si tomamos k= 1, esta situaci´on corresponde a una part´ıcula cayendo desde el infinito con velocidad inicial cero:
˙
t=
1− 2M
r
−1
(68)
Al reemplazar esta expresi´on en (67), se obtiene el siguiente resultado:
1−2M
r
−1
1−r˙2
= 1 (69)
1−r˙2 = 1−2M
r (70)
2M r = ˙r
2 (71)
All´ı se observa que cuando r → ∞, ˙r→ 0 lo cual corresponde a velocidad inicial cero como se afirm´o al principio del c´alculo. Recordando que el par´ametro af´ın de las geod´esicas de tipo tiempo corresponde al tiempo propio, τ, se obtienen las siguientes expresiones para la trayectoria de la part´ıcula en funci´on del tiempo propio:
dτ dr
2 = r
2M (72)
τ −τ0 =
2 3(2M)1/2
r03/2−r3/2 (73)
Figure 2: Gr´afica de tiempo coordenado,t, (curva azul) y tiempo propio,τ (curva negra) en funci´on de la coordenada r para uan geod´esica radial de tipo tiempo.
manera similar al anterior caso:
dt dr =
dt/dτ dr/dτ =
˙
t
˙
r =−
r 2M
1/2
1−2M
r
−1
(74)
t−t0=−
2 3(2M)1/2
r3/2−r03/2+ 6M r1/2−6M r01/2+ 2M log
r1/2+ (2M)1/2h
r10/2−(2M)1/2i
h
r01/2+ (2M)1/2i
r1/2−(2M)1/2 (75)
3.3 Naturaleza de la frontera r= 2M.
Tiempo propio vs. tiempo coordenado. Ambas ecuaciones (73) y (75) describen la misma trayectoria. Sin embargo, las diferencias entre ambas brinda luces sobre la naturaleza de la frontera
r= 2M. La ecuaci´on (73) refleja que el tiempo propio que tarda la part´ıcula en llegar a r= 2M es finito. Para llegar ar= 0, el tiempo propio tambi´en es finito. Al observar la trayectoria expresada en t´erminos del tiempo coordenadot, se observa que dicho tiempo diverge cuando r→2M.
Cuando la part´ıcula cae hacia el origen, el tiempo que mide es el tiempo propio. El hecho de que dicho tiempo sea finito para llegar ar = 2M y al origen implica que la part´ıcula no encuentra ning´un problema en llegar a esta frontera y sobrepasarla. El tiempo coordenado t corresponde al tiempo que mide un observador en el infinito. Este observador ve a una part´ıcula que cae pero toma un tiempo infinito en llegar a r = 2M, es decir, nunca la ve llegar a la frontera. Esta aparente contradicci´on es un indicio de que el tiempo coordenadotno es apropiado para describir el movimiento de part´ıculas en la m´etrica de Schwarzschild. [2, 3]
En la figura 2, se muestran estos resultados. El tiempo all´ı est´a medido en unidades arbitrarias. Se nota que el tiempo propio (curva negra) que mide la part´ıcula en llegar a la fronterar = 2M y a la singularidad enr = 0 es finito. El tiempo coordenadottiende a infinito a medida quer →2M.
G´enero de las coordenadastyr. Al observar las componentes de la m´etrica de Schwarzschild en la ecuaci´on (25), se comprueba que gtt y grr cambian de signo entre las regiones r > 2M y
r < 2M. Cuando r > 2M, la coordenada radial r es de g´enero espacio (grr > 0) y la temporal t es de g´enero tiempo (gtt <0). En el caso r < 2M, la coordenada radial r es de g´enero tiempo
(grr <0) y la temporal es de g´enero espacio (grr >0). Por tanto, el paso del tiempo se ve reflejado
en esta regi´on por medio de la coordenada r. En esta regi´on, todas las part´ıculas disminuyen su coordenada radialrdesde 2Mhasta 0 sin pausa a medida que el tiempo propio avanza. De la misma manera como no hay ninguna trayectoria f´ısica ni fuerza que pueda devolver el tiempo en el espacio de Minkowski, las part´ıculas masivas no tienen ninguna forma de frenar o aumentar su coordenada radial. Inevitablemente, una vez hayan cruzado la fronterar= 2M caer´an a la singularidad en un tiempo propio finito. La implicaci´on que esto tiene se observa en los conos de luz en esta regi´on. All´ı se observa que el cono de luz est´a dirigido en todo punto hacia la singularidad en r = 0. Los rayos de luz tambi´en caen hacia la singularidad; ninguno de ellos puede salir despu´es de haber cruzado la fronterar= 2M. Es por estas razones que la fronterar= 2M se conoce comohorizonte de eventos y la soluci´on total comoagujero negro. La estructura causal del espacio-tiempo en esta regi´on implica que ning´un evento al interior de r = 2M puede ser observado al exterior de dicha regi´on. [2]
Invariante de Kretschmann. Cabe recordar en este punto el invariante de Kretschmann que se hab´ıa mencionado anteriormente. Dicho invariante se expresa as´ı:
K=RαβγδRαβγδ=
48M2
r6 (76)
El hecho de que sea un invariante implica que es igual en todos los sistemas de coordenadas. Dicha cantidad s´olo presenta problemas en r = 0 indicando que ´esta es una singularidad esencial del espacio-tiempo. En r = 2M no hay ning´un problema en el invariante, por lo cual se deduce que, aunque haya componentes de la m´etrica que divergen en dicha frontera, dicha divergencia es causada por una mala selecci´on de coordenadas. Basado en las consideraciones anteriores, se puede pensar que escoger una coordenada temporal m´as apropiada eliminar´a la singularidad de coordenadas enr = 2M.[2]
Indicios acerca de un mejor sistema de coordenadas. En la fronterar = 2Mpara tiempos
−∞< t <∞, la componente gtt de la m´etrica es igual a cero. Esto sugiere que esta frontera no es
una superficie tridimensional, sino bidimensional, lo cual implica que encierra un volumen cero, y es una superficie de tipo nulo. Adem´as, se observa que todas las geod´esicas terminan o comienzan en los puntost=±∞, es decir, que toda la f´ısica de la fronterar = 2M est´a confinada a estos dos puntos. Esto nos da un indicio de que un mejor sistema de coordenadas ser´a uno que extienda los puntos r = 2M, t= ±∞ sobre una l´ınea y comprima la l´ınea r = 2M,−∞ < t < ∞ a un punto. Los sistemas de coordenadas que se presentar´an a continuaci´on tienen este efecto. [2]
Singularidad en r = 0. A pesar de que la mayor parte del documento se enfocar´a en la naturaleza de la fronterar= 2M, cabe una peque˜na discusi´on sobre la singularidad enr= 0. Hemos visto que el invariante de Kretschmann nos indica que dicha singularidad es esencial, intr´ınseca a la variedad y ning´un sistema de coordenadas puede eliminarla matem´aticamente. Lo que sucede en ese punto de la variedad es un misterio, ya que la relatividad general predice su propio colapso en la regi´on, al diverger all´ı la curvatura del espacio-tiempo. Sin embargo, lo que suceda en esa singularidad no es observable en la regi´on externa, como hemos visto, al estar oculta tras el horizonte de eventos. Esto lleva a Penrose a la siguiente conjetura, llamada de censura c´osmica: que las singularidades en la curvatura del espacio-tiempo causadas por procesos f´ısicamente posibles estar´an siempre ocultas tras un horizonte de eventos. [9] Aunque Penrose propone esta conjetura,
´el reconoce que es dif´ıcil escribirla en t´erminos precisos, que no se ha podido probar y que existen muchas otras soluciones de las ecuaciones de campo que tienen singularidades desnudas. [10] Hoy en d´ıa, la presencia de singularidades es uno de los problemas que las teor´ıas cu´anticas para la gravedad buscan solucionar.
4 Coordenadas de Eddington-Finkelstein
Hemos visto en la secci´on anterior que las part´ıculas masivas y los fotones pueden atravesar la frontera r = 2M sin problema y llegar a la singularidad en un tiempo propio finito. Por tanto, ser´ıa conveniente modificar la coordenada temporal t de manera que las geod´esicas de tipo nulo sean l´ıneas rectas a 45◦
, como en el espacio plano de Minkowski. Esto fue logrado por Eddington en 1924 y redescubierto por parte de Finkelstein en 1958.
Coordenadas de Eddington avanzadas o entrantes. Recordando la ecuaci´on (66), las geod´esicas entrantes de tipo nulo est´a descrita por la siguiente ecuaci´on:
t(r) =−r−2Mln|r−2M|+C (77) De esta expresi´on, queda claro que una coordenada temporal apropiada ser´ıa la siguiente: [9]
¯
t=t+ 2Mln|r−2M| (78) Con esta nueva coordenada, las geod´esicas de tipo nulo entrantes est´an descritas por l´ıneas rectas: ¯t+r =C. Se puede deducir el elemento de l´ınea con esta nueva coordenada de la siguiente forma, reemplazando en el elemento de Schwarzschild:
dt¯=dt+ 2M
r−2Mdr (79)
dt=d¯t− 2M
r−2Mdr (80)
ds2=−
1−2M
r
"
d¯t2− 4M
r−2Mdtdr¯ +
1
r/2M−1 2
dr2
# +
1−2M
r
−1
dr2+r2dΩ2 (81)
ds2 =−
1−2M
r
d¯t2+ 4M
r d¯tdr+
1 +2M
r
dr2+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (82)
Esta es la forma del elemento de l´ınea de Eddington-Finkelstein. [2, 3, 9] Se observa de forma clara que la soluci´on es anal´ıtica en todo el rango 0< r <∞. Al hacer el cambio de coordenadas, definida por (78), se ha logrado extender el rango de la soluci´on de r >2M hasta el origen. Las coordenadas utilizadas se llaman coordenadas entrantes. El elemento de l´ınea se puede escribir tambi´en en t´erminos de la coordenada nula v = ¯t+r que es constante para las geod´esicas nulas entrantes. Esta coordenada se conoce como par´ametro de tiempo avanzado, por lo cual las coorde-nadas (v, r, θ, φ) se llaman coordenadas avanzadas. Con estas coordenadas, el elemento de l´ınea se escribe como:
ds2 =−
1−2M
r
dv2+ 2dvdr+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (83)
Figure 3: Diagrama espaciotemporal de la soluci´on de Schwarzschild en coordenadas avanzadas de Eddington, mostrando las geod´esicas de tipo nulo y algunos conos de luz
En el diagrama de la figura 3 se puede observar la soluci´on expresada en coordenadas de Eddington-Finkelstein, donde todas las geod´esicas de tipo nulo entrantes (curvas negras) son l´ıneas rectas a -45◦
en el plano rt¯. Las geod´esicas salientes (curvas azules) tienden a formar ´angulos de 45◦
en el infinito. All´ı el espacio es asint´oticamente plano. A medida que se acerca a r= 2M, las geod´esicas salientes se van cerrando, hasta llegar a la ser una recta vertical en el punto r = 2M. Esto indica que los fotones salientes en r= 2M se quedan en dicha frontera. En la regi´onr <2M, las geod´esicas entrantes tambi´en apuntan hacia la singularidad. En este diagrama, es m´as claro observar que los fotones y las part´ıculas masivas, si pasan el horizonte r = 2M, se ven obligados a caer hacia r = 0. Adem´as, la coordenada temporal ¯t est´a m´as acorde con la noci´on intuitiva de tiempo, ya que todas las geod´esicas de tipo tiempo avanzan en el sentido de ¯tcreciente en todas las regiones, a diferencia de las geod´esicas en coordenadas de Schwarzschild, donde alguna geod´esicas de tipo tiempo avanzan en el sentido de tdecreciente en la regi´onr <2M. [2, 3, 9]
Coordenadas de Eddington retardadas o salientes. Al introducir coordenadas ¯ty v en lugar de la coordenada temporal t, hemos logrado expresar las geod´esicas de tipo nulo entrantes como l´ıneas rectas. Se pueden introducir otras coordenadas para que las geod´esicas de tipo nulo salientes sean l´ıneas rectas. Estas coordenadas son llamadas coordenadas de Eddington salientes o retardadas definidas as´ı:
t∗
=t−2Mln|r−2M| (84)
w=t∗
−r (85)
Usando estas coordenadas se puede expresar el elemento de l´ınea de Schwarzschild, de la sigu-iente forma: [2, 3, 9]
ds2=−
1−2M
r
dt∗2
−4M
r dt
∗
dr+
1 +2M
r
Figure 4: Diagrama espaciotemporal de la soluci´on de Schwarzschild en coordenadas salientes de Eddington, mostrando las geod´esicas de tipo nulo y algunos conos de luz
ds2=−
1−2M
r
dw2−2dwdr+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (87)
En estas coordenadas, las geod´esicas de tipo nulo salientes se expresan como: w=t∗
−r =const.
En la figura 4, se muestra el diagrama espaciotemporal de la soluci´on de Schwazrschild en coordenadas de Eddington salientes. Las coordenadas de Eddington salientes corresponden a la soluci´on entrante con el tiempo invertido como se puede observar a partir de los diagramas. En este caso se puede observar que las geod´esicas de tipo nulo salientes son rectas a 45◦
en el plano
rt∗
. Las geod´esicas nulas entrantes tienden hacia la frontera r = 2M pero no la cruzan. En la regi´on r > 2M estas geod´esicas definen conos de luz tales que ninguna part´ıcula masiva puede cruzar la fronterar= 2M de afuera hacia adentro. En cambio, las part´ıculas masivas y los fotones est´an obligadas a cruzar la frontera r = 2M en un tiempo finito. Esta es la situaci´on invertida respecto al agujero negro descrito por las coordenadas de Eddington entrantes y se conoce como agujero blanco. Cabe anotar que en este caso la singularidad se puede considerar desnuda ya que lo que sucede all´ı podr´ıa ser observado, en principio, en el exterior. De acuerdo con la conjetura de censura c´osmica, esta situaci´on es f´ısicamente imposible.[9]
5 Coordenadas de Kruskal-Szekeres
En la ´ultima secci´on hemos extendido la soluci´on de Schwarzschild para r > 2M a la regi´on 0 < r < ∞ al utilizar las geod´esicas nulas dando lugar a las soluciones de Eddington-Finkelstein avanzadas o retardadas. Ahora, queremos ver si es posible extender a´un m´as esta soluci´on. Primero introducimos la noci´on de una geometr´ıa maximal, y luego las coordenadas de Kruskal-Szekeres que corresponden a una extensi´on maximal de la geometr´ıa para la soluci´on de Schwarzschild.
5.1 Extensiones maximales
Una variedad con una m´etrica es maximal si todas las geod´esicas que pasen por cualquier punto se pueden extender a valores infinitos del par´ametro af´ın de la geod´esica en ambas direcciones o terminan en singularidades intr´ınsecas a la variedad. Ni la m´etrica de Schwarzschild ni las de Eddington-Finkelstein son maximales, puesto que algunas geod´esicas no pueden extenderse m´as all´a de r = 2M. Las coordenadas de Kruskal constituyen la extensi´on m´aximal de la soluci´on de Schwarzschild. [3]
5.2 Deducci´on de coordenadas de Kruskal
Las coordenadas de Kruskal-Szekeres fueron obtenidas de forma independiente en el a˜no 1960 por parte de Kruskal y Szekeres. La idea es adaptar las coordenadas a la estructura de los conos de luz de la variedad, introduciendo simult´aneamente las coordenadas avanzadas y retardadasv yw, en reemplazo de las coordenadast yr. [2, 9, 11] Recordamos a continuaci´on la definici´on de estas coordenadas de tipo nulo:
v= ¯t+r=t+ 2Mln|r−2M|+r (88)
w=t∗
−r=t−2Mln|r−2M| −r (89) La transformaci´on inversa se expresa de la siguiente forma:
v−w= 2r+ 4Mln|r−2M| ⇒ dv−dw=
2 + 4M
r−2M
dr= 2r
r−2Mdr (90)
v+w= 2t ⇒ dv+dw= 2dt (91)
Al reemplazar estas expresiones en el elemento de l´ınea de Schwarzschild, se obtiene:
ds2=−
1−2M
r
1
4(dv+dw)
2+
1−2M
r
−1 1 4
1−2M
r
2
(dv−dw)2+r2dΩ2 (92)
ds2=−
1−2M
r
dvdw+r2(dθ2+ sin2θdφ2) (93)
La variable r viene definida de forma impl´ıcita por la expresi´on (90).
En el horizonte r = 2M, el sistema de coordenadas no se comporta adecuadamente, ya que el elemento de l´ınea queda reducido a una funci´on de dθ y dφ. Para superar este inconveniente, es necesario reparametrizar las coordenadasv yw de la siguiente manera sugerida por Kruskal:
U =−√1 2Me
−w/4M
=− r 2M −1
1/2
er/4Me−t/4M
⇒ dU = √1 2M
1 4Me
−u/4M
du (94)
V = √1
2Me
v/4M = r
2M −1
1/2
er/4Met/4M ⇒ dV = √1
2M
1 4Me
v/4Mdv (95)
Al reemplazar en la ecuaci´on (93),
ds2 =−
1−2M
r
32M3eu−v
4M dU dV +r2dΩ2 (96)
ds2 =−
1−2M
r
32M3e−r/2M 1
r−2MdU dV +r
2dΩ2 (97)
ds2 =−32M
3
r e
−r/2M
La variable r viene definida impl´ıcitamente como funci´on de U yV multiplicando (94) y (95):
−U V = r 2M −1
er/2M (99)
Las coordenadas U y V son de tipo nulo, ya que gU U = gV V = 0. Se pueden introducir
coordenadas de tipo tiempo y de tipo espacio T y R definidas a partir de:
T = 1
2(V +U) = r
2M −1
1/2
er/4Msinh
t
4M
(100)
R= 1
2(V −U) = r
2M −1
1/2
er/4Mcosh
t
4M
(101)
Usando estas coordenadas, dT2−dR2 =dU dV, por lo cual el elemento de l´ınea expresado en las coordenadas de Kruskal (T, R, θ, φ) es, junto con la definici´on impl´ıcita der en t´erminos de T
yR: [2, 11]
ds2= 32M
3
r e
−r/2M
−dT2+dR2
+r2(dθ2+ sin2θdφ2); T2−R2 =1− r 2M
er/2m (102)
Aunque el elemento de l´ınea de Kruskal es anal´ıtico en r = 2M, la transformaci´on de coorde-nadas (100) y (101) no lo es, debido a que en r < 2M las transformaciones son imaginarias. Por tanto, es necesario modificar esta transformaci´on para la regi´on r < 2M. Las leyes de transfor-maci´on de coordenadas de Schwarzschild a coordenadas de Kruskal-Szekeres completas son: [2]
P ara r >2M,
(
T =± 2Mr −11/2
er/4Msinh 4Mt
R =± 2Mr −11/2
er/4Mcosh t
4M
(103)
P ara r <2M,
(
T =± 1−2Mr 1/2
er/4Msinh 4Mt
R =± 1−2rM1/2
er/4Mcosh t
4M
(104)
5.3 Relaci´on entre coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres
La m´etrica expresada en coordenadas de Kruskal de la ecuaci´on (102) nos permite deducir varias caracter´ısticas de la soluci´on de Schwarzschild que no son evidentes en los dem´as sistemas de coordenadas que hemos visto.
Singularidades r = 0 y regiones exteriores. Recordamos la definici´on impl´ıcita de r en t´erminos deT yR
T2−R2 =1− r 2M
er/2m (105)
La singularidad en r = 0 est´a definido por T2−R2 = 1. Esta ecuaci´on tiene dos soluciones:
T = ±√1 +R2. Esto significa que en realidad la variedad tiene dos singularidades r = 0 y no
s´olo una como se podr´ıa deducir de las coordenadas de Schwarzschild. Adem´as, la regi´on externa que est´a determinada por r ≫ 2M, se refleja en R2 ≫ T2. Esta desigualdad tambi´en tiene dos
soluciones: R≫ ± |T|. La variedad tiene tambi´en dos regiones asint´oticamente planas.
La explicaci´on de que aparezcan dos singularidades y dos regiones asint´oticamente planas con-siste en que las coordenadas de Schwarzschild cubr´ıan tan s´olo parte del espacio-tiempo. Las coordenadas de Kruskal extienden la soluci´on a toda la variedad. La extensi´on de la soluci´on es