1. Considera el problema de maximización restringida max
x,y f(x, y)
s.a. g(x, y) =b
Denota la solución a este problema como(x∗(b), y∗(b))y defineV (b) =f(x∗(b), y∗(b)).
Demuestra que
V�(b) =λ,
dondeλes el multiplicador de Lagrange asociado al Lagrangeano de este problema.
A partir de este resultado, ¿qué interpretación le das al multiplicadorλ?
El Lagrangeano asociado al problema de maximización restringida es L(x, y, λ) =f(x, y) +λ[b−g(x, y)].
El punto crítico de ésta función se encuentra igualando sus derivadas parciales a cero:
Lx = fx(x∗(b), y∗(b))−λgx(x∗(b), y∗(b)) = 0
Ly = fy(x∗(b), y∗(b))−λgy(x∗(b), y∗(b)) = 0
Lλ = b−g(x∗(b), y∗(b)) = 0,
donde(x∗(b), y∗(b))denota la solución que buscamos, como función del parámetro
b.
La función V definida por V (b) = f(x∗(b), y∗(b)), es el valor maximizado de la
función objetivo cuando el lado derecho de la restricción es igual ab. Por lo tanto, tenemos que
V�(b) =fx d
dbx
∗(b) +f y d
dby
∗(b).
Usando las condiciones de primer orden podemos sustituirfx=λgxyfy=λgy:
V�(b) = fxd
dbx
∗(b) +f y d
dby
∗(b)
= λgx
d dbx
∗(b) +λg y
d dby
∗(b)
= λ
�
gx
d dbx
∗(b) +g y
d dby
∗(b)�
Finalmente, nótese que como g(x∗(b), y∗(b)) = b, entonces diferenciando ambos
lados con respecto abtenemos que
gx
d dbx
∗(b) +g y
d dby
∗(b) = 1,
que podemos sustituir en la anterior expresión para concluir queV�(b) =λ. Por lo
tanto, el multiplicador de Lagrange puede ser interpretado como elvalor marginal (en términos de la función objetivo) de relajar el lado derecho de la restricción.
2. Supón que las preferencias de un agente sobre secuencias de consumo{ct}estan dadas por
U({ct}) =
∞
�
t=0
cβtt.
La restricción presupuestal del agente está dada por
ct+bt+1=yt+ (1 +r)bt.
a). Asume que β(1 +r) = 1. Encuentra la restricción intertemporal del agente
(puedes asumir que la condición inicial para los bonos es igual a cero). Multiplicando porβ la restricción presupuestal obtenemos
bt=β(ct−yt) +βbt+1
Usando esta expresión de manera repetida obtenemos
bt = β(ct−yt) +βbt+1
= β(ct−yt) +β[β(ct+1−yt+1) +βbt+2]
...
= ∞ �
j=0
βj+1(ct+j−yt+j) + lim T→∞β
Tb t+T
Usando la condición inicial para los bonos y la condición de transversalidad
lim T→∞β
Tb
t+T = 0
obtenemos la restricción intertemporal
∞ �
t=0
donde
pt ≡ βt= 1 (1 +r)t
W ≡
∞ �
t=0
βty t
b). Encuentra una expresión para elctóptimo para cadat. (Hint: hay un resultado estandard de Eco 3 que pueden usar para responder este inciso).
Hay dos maners de proceder en esta pregunta: una fácil y otra fácil pero un poco mas tediosa. Si observan cuidadosamente, se pueden dar cuenta que las preferencias del agente son Cobb-Douglas sobre la secuencia de consumos{ct}. De Eco 3 saben
(ó se supone que deben de saber) que si las preferencias del agente están dadas por U(x, y) =xαyβy la restricción presupuestal está dada porp
xx+pyy≤I, entonces
las demandas porxyy están dadas por
x∗ = α
α+β I px
y∗ = β
α+β I py
Podemos usar este mismo resultado en nuestro caso, simplemente hay que observar que la suma de coeficientes es igual a
∞ �
t=0
βt= 1 1−β
Por lo tanto,
ct = (1−β)βtW
pt
= (1−β) [β(1 +r)]tW
= (1−β)W
El otro camino que podian seguir, es darse cuenta que
V ({ct}) = ln [U({ct})] = ∞ �
t=0
βtln (ct)
Como esta es una transformación monótona de las preferencias originales, las de-mandas óptimas para los ct�s son iguales antes y después de esta transformación
max {ct,bt+1}
∞ �
t=0
βtln (ct)
s.t. ct+bt+1=yt+ (1 +r)bt
El cual es un problema estandard de Eco V.
3. Considera una economía con un agente representativo que enfrenta el siguiente problema de maximización:
max
{ct,lt,bt+1}∞t=0 ∞
�
t=0
βtu(ct)
s.a. ct+bt+1=wlt+ (1 +r)bt
ct≥0, lt∈[0,1]
donde la función de utilidadu(·) es contínua, diferenciable conu� >0 ,u�� <0 y
satisfacelimc→0u�(c) = +∞.
a). Encuentra las condiciones de primer orden. Usa la condición de primer orden para ct y argumenta que ct = 0 nunca puede ser óptimo. Deriva la ecuación de Euler.
Lo primero que hay que notar es que como el agente no valúa el ocio vamos a tener lt= 1∀ten el óptimo. Ahora, el Lagrangeano de este problema está dado por
L= ∞ �
t=0
βt{u(ct) +λt[w+bt(1 +r)−ct−bt+1] +ψtct}
C.P.O.
[ct] : u�(ct)−λt+ψt= 0
(0.1)
[bt+1] : −λt+λt+1β(1 +r) = 0
(0.2)
Condiciones de holgura complementaria: ct≥0,ψt≥0, yψtct= 0.
También podemos escribir la condición de primer orden paract como
u�(ct)≤λt
con igualdad sict>0.
que(1) implica quect= 0 nunca puede ser óptimo, ya que la función de utilidad
cumple con la condición deInada
lim c→0u
�(c) = +∞
lo cual implica que enct= 0la condición de primer orden no se puede satisfacer.
Por lo tanto,ψt= 0 para todot.
Combinando(1)y(2)obtenemos laEcuación de Euler
u�(ct) =β(1 +r)u�(ct+1)
la cual se debe satisfacer para todot≥0.
b). Define θt = [β(1 +r)]tu�(ct). ¿Qué signo tiene θt? Escribe la Ecuación de Euler en términos de la nueva variable θ. Describe el comportamiento de θt a través del tiempo.
Comou�(c
t)≥0para todoct yβ(1 +r)>0, tenemos queθt≥0∀t. La ecuación
de Euler de la parte a) se puede escribir en términos deθt de la siguiente manera
θt=θt+1 ∀t≥0.
Esto quiere decir queθt=θ∀t. Nota en particular que comoθes constante a través
del tiempo debemos de tenerθ=u�(c0)(observa que esto implica0< θ <+∞).
c). Usa el resultado de la parte b) para determinar que le pasa al consumo en los siguientes casos:
• β(1 +r)<1
• β(1 +r)>1
• β(1 +r) = 1.
Cuandoβ(1 +r)<1tenemos que[β(1 +r)]t−→0, pero comoθ >0esto implica
que u�(ct) −→ ∞. Por lo tanto, en este casoct −→ 0, i.e. el consumo cae en la
medida que va pasando el tiempo.
Cuando β(1 +r) > 1 tenemos que [β(1 +r)]t −→ ∞, como 0 < θ < +∞ esto implica que u�(ct)−→ 0. Por lo tanto, en este caso ct −→ +∞, i.e. el consumo
crece a través del tiempo.
Cuando β(1 +r) = 1 tenemos que [β(1 +r)]t = 1 ∀t. Por la definición de θt
esto implicau�(ct) =θ∀t. Como u(·)es estrictamente cóncava, esto implica que
d). Supón que u(c) = ln (c) y que b0 = 0. Encuentra una expresión para b1.
¿Cómo dependeb1 deβ(1 +r)? ¿De qué otros términos dependeb1? Interpreta.
Con esta especificación para la función de utilidad la ecuación de Euler se reduce a ct+1=β(1 +r)ct=⇒ct= [β(1 +r)]tc0∀t≥0.
Podemos consolidar la restricción presupuestal que el agente enfrenta período trás período en una única restricción intertemporal
∞ �
t=0 � 1
1 +r
�t
ct= ∞ �
t=0 � 1
1 +r
�t
wlt.
Podemos sustituirlt= 1yct= [β(1 +r)]tc0en la anterior expresión para obtener
c0= (1−β) (1 +r)
w r
Sustituyendo en la restricción presupuestal del primer período obtenemos b1=
w
r [β(1 +r)−1].
Esta expresión indica que cuandoβ(1 +r)>1el agente ahorra, cuandoβ(1 +r)<
1 el agente pide prestado y cuando β(1 +r) = 1 el agente consume su dotación.
Observa que este comportamiento es congruente con los resultados que derivamos en la parte e).
Nota que la expresión parab1también depende del términow/r, el cual es conocido
como ellímite natural de endeudamiento. Para entender qué significa este término observa que la restricción de no negatividad sobre el consumo implica una restricción a la cantidad que el agente puede pedir prestado. A partir del períodotla restricción intertemporal del agente está dada por
∞ �
j=0 � 1
1 +r
�j
ct+j= ∞ �
j=0 � 1
1 +r
�j
wlt+j+bt(1 +r)
comoct+j ≥0∀j≥0, tenemos que ∞
�
j=0 � 1
1 +r
�j
wlt+j+bt(1 +r)≥0
⇒bt≥ − 1 1 +r
∞ �
j=0 � 1
1 +r
�j
wlt+j=−
w r
⇒bt≥ −
Si el agente no consumiera nada a partir del períodot, ésta cantidad sería la máxima que se podría comprometer a pagar, i.e. es su límite natural de endeudameinto.
4. Considera una economía donde el agente representativo enfrenta el siguiente problema:
max
{ct,lt,bt}∞t=0 ∞
�
t=0
βt
� ln
�
ct
cφt−1
�
+ ln (1−lt) �
s.a. ct+bt=Af(lt) + (1 +rt−1)bt−1
donde0< φ <1.
a). Grafica la funciónu(ct) = ln�ct/cφt−1
�
¿Qué interpretación le das a la función de utilidad del agente representativo?
La función de utilidad del agente refleja que éste se acostumbra al nivel de con-sumo que tuvo en el período anterior, por lo cual la utilidad del períodotdepende negativamente del consumo en el períodot−1. Esta función de utilidad pretende ilustrar la idea que hay detrás de la clase de funciones de utilidad de la forma
U(ct, ct−1, ct−2, . . .) =u(ct−ϕ(ct−1, ct−2, . . .))
que reflejan “habit formation”. Esto quiere decir que el consumo de períodos pasados - que pueden incluir una infinidad de períodos hacia atrás- afecta de manera negativa la utilidad del período corriente. A forma de ejemplo considera el caso en el cual
ϕ(ct−1, ct−2, . . .) = 1
T
T �
i=1
ct−i
y
u(x) = �√
x six >0
−∞ six <0.
b). Encuentra las condiciones de primer orden del problema. Usa las condiciones de primer orden para mostrar que la ecuación de Euler es la misma que en un modelo con φ= 0 (¿por qué es cierto este resultado?) Usando las condiciones de primer orden muestra que la decisión para la asignación de consumo-trabajo está distorsionada relativa al modelo conφ= 0. Interpreta este resultado.
El Lagrangeano de este problema está dado por
L= ∞ �
t=0
βt{ln (ct)−φln (ct−1) + ln (1−lt) +λt[Af(lt) + (1 +rt−1)bt−1−ct−bt]}
C.P.O.
∂L ∂ct
= 1
ct −
λt−βφ1
ct = 0
(0.3)
∂L ∂lt
= −1 1−lt
+λtAf�(lt) = 0
(0.4)
∂L ∂bt
= −λt+λt+1β(1 +rt) = 0
(0.5)
La ecuación(3)implica que
λt= 1
ct
[1−φβ].
Usando(3)podemos obtener la ecuación de Euler
ct+1
ct
=β(1 +rt)
que es la misma ecuación de Euler que obtendriamos en un modelo conφ= 0. Este
resultado no es un resultado general en los modelos de formación de hábitos, y en este caso es cierto porque la utilidad marginal del consumo del período corriente es independiente del consumo del período pasado.
Usando (2) y la expresión para el multiplicador de Lagrange obtenemos ct
1−lt
= (1−φβ)Af�(lt).
Esta expresión es distinta a la que resulta de un modelo en el cual φ= 0, por lo
tanto, la decisión de consumo-trabajo está distorsionada. El lado izquierdo de esta ecuación es igual que en el modelo con φ = 0, lo que cambia es el lado derecho.
c). Supón que f(l) = l. Como se compara el l óptimo cuando φ = 0 contra 0< φ <1 ?
En el modelo conφ= 0tenemos
lt= 1 2 ∀t.
En el modelo con0< φ <1tenemos
lt= 1−φβ
2−φβ ∀t.
Conφβ >0tenemos que el empleo cuando0< φ <1 es menor que cuandoφ= 0.
5. Considera una economía neoclásica en donde el gobierno ejerce un gasto gt que está destinado a crear infraestructura para la economía. La particularidad de esta economía es que el sector privado no puede producir si el gobierno no crea infraestructura, i.e. la función de producciónF(K, L, g)es tal queF(K, L,0) = 0 para todo(K, L). El gobierno recauda recursos por medio de un impuesto constante
τ al ingreso.
En particular, el problema de los hogares está dado por max
{ct,it,kt+1} ∞
�
t=1
βt−1ln (ct)
s.t. ct+it≤(1−τ)Akαtg γ t
kt+1= (1−δ)kt+it en dondeα+γ <1.
a). Encuentra las condiciones de primer orden para el problema de los hogares. Encuentra la Ecuación de Euler.
Como la función de utilidad es estrictamente creciente, la restricción presupuestal se cumple con igualdad. El Lagrangeano del problema está dado por
L= ∞ �
t=1
βt−1[ln (ct) +λt((1−τ)Akαtg γ
t + (1−δ)kt−ct−kt+1)]
C.P.O.
[ct] : 1
ct =λt
[kt+1] : λt=λt+1β�α(1−τ)Akαt+1−1g γ
De donde obtenemos la ecuación de Euler
ct+1
ct
=β�α(1−τ)Aktα+1−1gtγ+1+ (1−δ)�.
Alternativamente, podemos expresar la ecuación de Euler como
ct+1
ct =β
�
α(1−τ) �
yt+1
kt+1 �
+ (1−δ) �
dondeyt=Akαtg γ t.
b). Plantea la restricción presupuestal del gobierno. (Puedes asumir que el go-bierno mantiene un presupuesto balanceado todos los períodos). A partir de la restricción presupuestal del sector privado y la restricción presupuestal del gob-ierno encuentra la condición de vaciado de mercado en el mercado de bienes. Como el gobierno mantiene un presupuesto balanceado su restricción presupuestal es igual a
gt=τ Akαtgγt
ó bien
gt=τ yt.
Sustituyendo esta expresión en la restricción presupuestal de los agente obtenemos ct+kt+1+gt=Akαtg
γ
t + (1−δ)kt
o bien
ct+it+gt=yt.
Por lo tanto, en esta economía el producto se divide entre consumo privado, inver-sión y el gasto del gobierno.
c). Encuentra el nivel de capital del estado estacionario como función de los parámet-ros del modelo. Grafíca el nivel de capital del estado estacionario como función del impuestoτ. Interpreta tu resultado.
De la restricción presupuestal del gobierno tenemos que gt= (τ Aktα)
1 1−γ.
Esto implica que
α(1−τ)Akαt−1g γ
t = α(1−τ)Akαt−1(τ Akαt)
γ 1−γ
= α(1−τ)τ1−γγA1−1γkα−1
t k
αγ 1−γ
t
= α(1−τ)τ1−γγA 1 1−γk
α+γ−1 1−γ
De donde tenemos que la ecuación de Euler se convierte en
ct+1
ct =β
�
α(1−τ)τ1−γγA1−1γk α+γ−1
1−γ
t + (1−δ) �
.
Definamos
s(τ)≡(1−τ)τ1−γγ.
Entonces el capital del estado estacionariok está definido por1
1
β −(1−δ) =αA
1 1−γs(τ)k
α+γ−1 1−γ
⇒k(τ) = �
αβA1−1γs(τ)
1−β(1−δ) � 1−γ
1−(α+γ)
.
Observa que s(0) = s(1) = 0, lo cual implica que k(0) = k(1) = 0. Por otra
parte, si 0 < τ < 1 entonces s(τ) > 0, lo cual implica k(τ) > 0. La función
k : [0,1] −→ R+ tiene la forma de una U invertida, ya que k(τ) es proporcional
a s(τ), y ésta última tiene la forma de una U invertida en el intervalo [0,1]. Este tipo de resultado se conoce comocurva de Laffer.
La intuición de esta Curva de Laffer es la siguiente: a niveles bajos del impuesto la gente gana más a través del uso de la infraestructura que el gobierno provee de lo que pierde por concepto de impuestos. A niveles altos de éste, el efecto ingreso negativo ya es demasiado grande y la gente no puede invertir por lo cual el nivel de capital es bajo. Nótese que en los casos extremos el capital del estado estacionario es cero: cuando el impuesto es cero el gobierno no recuada por lo cual no se puede producir nada, cuando el impuesto es unitario el sector privado no tienen ingresos que pueda destinar a la inversión.
d). Encuentra el valor del impuesto que maximiza el nivel del capital del estado estacionario. Interpreta este resultado.
Observa que si definimos
Θ≡ �
αβA1−1γ
1−β(1−δ) � 1−γ
1−(α+γ)
podemos escribir
k(τ) = Θ [s(τ)]1−1(−αγ+γ).
1Observa que esta expresión para el capital del estado estacionario es muy parecida a la
De aquí se sigue que
max
τ k(τ) ⇐⇒ maxτ s(τ).
La condición de primer orden del segundo problema está dada por
(τ) : −τ1−γγ +
� γ
1−γ
�
(1−τ)τ21γ−−γ1 = 0
Re-organizando términos, podemos escribir la condición de primer orden como
� τ
1−τ
� =
� γ
1−γ
�
.
Por lo tanto, el impuesto óptimo esτ =γ.
Observa que
εy,g =
∂y ∂g.
g y
= �
γy g
� �g
y
�
= γ
es decir, γes la elasticidad del producto respecto al gasto del gobierno. Entonces, nuestro resultado nos dice que el impuesto óptimo es igual a la contribución del gasto del gobierno en el producto. Este resultado parece bastante intuitivo.
e)
Supón que en vez de asumirα+γ <1hubieramos asumidoα+γ= 1. ¿Qué pasaría
en este modelo?
Observa que en el inciso c), la ecuación que definía el estado estacionario era
1
β −(1−δ) =αA
1 1−γs(τ)k
α+γ−1 1−γ .
En esta ecuaciónkes una variable que se ajusta hasta que ésta relación sea cierta.
Nota que siα+γ= 1, entonces la anterior condición se convierte en
1
β −(1−δ) =αA
pero esta ecuación depende de puros parámetros. Por lo tanto, no necesariamente se cumple esta igualdad, ya que no hay ninguna variable que se pueda ajustar para hacer cumplir esta relación.
Por lo tanto, si asumimos α+γ = 1, en general el estado estacionario no existe,
por lo cual habría que buscar una senda de crecimiento balanceado.
6. Considera el caso de un hogar representativo, el cual está constituido por un continuo de miembros. En este caso el hogar decide que fracciónnde sus miembros
participará en el mercado laboral y también decide como dividir el consumo total
centre el consumocede los miembros empleados del hogar y el consumocu de los miembros no empleados. Un miembro empleado valora el consumo de acuerdo a la función de utilidad
u(ce) = �c1−σ
e (1+(σ−1)γ) σ
1−σ siσ�= 1 log (ce)−γ siσ= 1,
mientras que los miembros desempleados valoran el consumo de acuerdo a la función de utilidad
u(cu) = �c1−σ
u
1−σ siσ�= 1 log (cu) siσ= 1.
El parámetro γ > 0 mide la desutilidad del trabajo, mientras que el parámetro
σ > 0 desempeña varios papeles: controla la aversión al riesgo, la elasticidad de sustitución intertemporal y la complementariedad entre el consumo y el ocio (por lo tanto, este parámetro es importante para determinar la participación relativa de los empleados versus los desempleados en el consumo total del hogar).
La utilidad total del hogar representativo está dada por
∞
�
t=0
βt
�
nt
c1e,t−σ(1 + (σ−1)γ) σ
1−σ + (1−nt) c1u,t−σ 1−σ
�
.
El hogar representativo puede producir producto de acuerdo af(kt, nt) =Atkαtn1t−α y puede acumular capital en la forma usual: kt+1= (1−δ)kt+it.
El problema de maximización del hogar representativo está dado por:
max
{ce,t,cu,t,nt,kt+1}∞t=0 ∞
�
t=0
βt
�
nt
c1e,t−σ(1 + (σ−1)γ) σ
1−σ + (1−nt) c1u,t−σ 1−σ
�
s.a. ntce,t+ (1−nt)cu,t+it≤Atktαn1t−α
a). Plantea el Lagrangiano y las condiciones de primer orden para el anterior prob-lema de maximización.
El Lagrangeano está dado por
L= ∞
�
t=0 βt
�
nt
c1e,t−σ(1 + (σ−1)γ)σ
1−σ + (1−nt) c1u,t−σ
1−σ +λt
�
Atktαn1t−α+ (1−δ)kt−kt+1−ntce,t−(1−nt)cu,t
��
,
y las condiciones de primer orden son:
[ce,t] : ntce,t−σ(1 + (σ−1)γ) σ
−λtnt= 0 [cu,t] : (1−nt)cu,t−σ−λt(1−nt) = 0
[nt] : �
c1−e,tσ(1 + (σ−1)γ) σ
1−σ −
c1−u,tσ 1−σ
�
+λt�(1−α)Atktαn−tα−ce,t+cu,t�= 0
[kt+1] : −λt+βλt+1�αAt+1ktα+1−1n 1−α
t+1 + (1−δ) �
= 0
b). Define el consumo total del hogarct≡ntce,t+ (1−nt)cu,t. Usa las condiciones de primer orden para expresar el consumo de los empleados ce,t y el consumo de los desempleadoscu,t en términos del consumo total cty la fracción del hogar que participa en el mercado laboralnt.
De la condiciones de primer orden parace,tycu,ttenemos que
ce,t = λ−
1 σ
t (1 + (σ−1)γ)
cu,t = λ−
1 σ
t ,
de donde tenemos que
ct = ntλ−
1 σ
t (1 + (σ−1)γ) + (1−nt)λ−
1 σ
t
= λ−1σ
t [nt(1 + (σ−1)γ) + (1−nt)]
= λ−1σ
t [1 +nt(σ−1)γ]
podemos despejar
λ−1σ
t =
ct 1 +nt(σ−1)γ
.
ce,t =
ct(1 + (σ−1)γ) 1 +nt(σ−1)γ
cu,t = ct 1 +nt(σ−1)γ
.
c). Usa el resultado del inciso anterior para mostrar que si σ > 1, entonces los miembros empleados consumen más que los miembros desempleados del hogar. ¿Puedes dar una interpretación a éste resultado?
Usandos las expresiones parace,tycu,t derivadas en el inciso anterior tenemos que
ce,t
cu,t = 1 + (σ−1)γ.
Nótese que conγ >0,
ce,t
cu,t
>1 ⇐⇒ σ >1.
Por lo tanto, cuandoσ > 1los miembros empleados del hogar consumen más que
los desempleados.
Para interpretar el anterior resultado, sustituimos las expresiones para ce,t y cu,t
del incisio anterior en la función de utilidad del hogar para obtener
U(ct, nt) =
c1t−σ(1 + (σ−1)γnt)σ
1−σ .
Ahora, nótese que
Ucn= (σ−1)γσ
c
�
1 + (σ−1)γn c
�σ−1
>0 ⇐⇒ σ >1.
Es decir, cuandoσ >1aumentar el numéro de participantes del hogar en el mercado
d). Usa los resultados de los incisos anteriores para demostrar que podemos expre-sar el multiplicador de Lagrange como
λt= �
ct 1 + (σ−1)γnt
�−σ
.
En el incisob)usamos las condiciones de primer orden para obtener la expresión
λ−1σ
t =
ct 1 +nt(σ−1)γ
,
de donde podemos despejar
λt=
� c
t 1 + (σ−1)γnt
�−σ
.
Si tuvieramos unagente representativo con función de utilidad
U(ct, nt) =
c1t−σ(1 + (σ−1)γnt)σ
1−σ ,
entonces el anterior multiplicador de Lagrange sería igual a la utilidad marginal del consumo del agente representativo.
e). Usa las condiciones de primer orden para encontrar la Ecuación de Euler y la condición de optimalidad para la determinación de la fracción de miembros del hogar que trabajan cada periódo.
Usando la condición de primer orden para kt+1 y la anterior expresión para el
multiplicador de Lagrange obtenemos
�
ct+1
ct �σ�
1 + (σ−1)γnt+1 1 + (σ−1)γnt
�σ
=β�αAt+1ktα+1−1n1−t+1α+ (1−δ) �
o bien
�c t+1
ct �σ
=β
� 1 + (σ
−1)γnt 1 + (σ−1)γnt+1
�σ �
αAt+1kαt+1−1n 1−α
t+1 + (1−δ) �
,
que es la Ecuación de Euler en este caso.
De la condición de primer orden paranttenemos que
λt(1−α)Atktαnt−α=λt(ce,t−cu,t) + �
c1−u,tσ 1−σ −
c1−e,tσ(1 + (σ−1)γ) σ
1−σ
�
Usando las expresiones que ya hemos derivado para ce,t, cu,t y λt en la anterior
expresión obtenemos la condición de optimalidad σγct
1 + (σ−1)γnt
= (1−α)Atktαn− α t .
Nótese que el lado izquierdo de la anterior expresión es la tasa marginal de susti-tución entre ocio y consumo, −Un
Uc, para un agente representativo con función de
utilidad
U(ct, nt) =c 1−σ
t (1 + (σ−1)γnt)σ
1−σ .
7. Supón que un gobierno enfrenta una serie de gastos{Gt} que pueden financiar combrando impuestosτt ó emitiendo deudabt que paga una tasa de interésr. La restricción presupuestal del gobierno está dada por
Gt+rbt−1=τt+ (bt−bt−1)
Como los impuestos causan distorsiones en la economía, si el gobierno cobra im-puestos τt esto causa una pérdida en bienestar social igual a h(τt) = 12τt2 . El objetivo del gobierno es minimizar la suma descontada de estas distorsiones, las cuales descuenta con el factor de descuentoβ.
a). Asume queβ(1 +r) = 1. Encuentra la restricción intertemporal que enfrenta
el gobierno. ¿ Qué resultado está implícito en esta forma de escribir la restricción presupuestal del gobierno?
Es mas conveniente escribir la restricción presupuestal del gobierno como(1 +r)bt−1=
bt+ (τt−Gt). Multiplicando esta expresión porβ obtenemos
bt−1 = βbt+β(τt−Gt)
= β[βbt+1+β(τt+1−Gt+1)]
...
= ∞ �
j=1
βj(τt+j−Gt+j) + lim T→∞β
T+1b t+T
Asumiendo la condición inicialb−1= 0y la condición terminallimT→∞βT+1bt+T = 0, la restricción intertemporal del gobierno está dada por
∞ �
t=1 � 1
1 +r
�t
Gt= ∞ �
t=1 � 1
1 +r
�t
τt
El resultado que está implícito en esta manera de escribir la restricción presupuestal del gobierno es laequivalencia Ricardiana.
b). Plantea el problema de maximización del gobierno. ¿Cuál es el comportamiento óptimo de los impuestos a través del tiempo? ¿Cuál es la intuición detrás de este resultado?
El problema de maximización del gobierno está dado por
min {τt}∞t=0
∞ �
t=0
βt1
2τ 2 t s.t. ∞ � t=1 � 1
1 +r
�t
Gt= ∞ �
t=1 � 1
1 +r
�t
τt
El Lagrangeano y las condiciones de primer orden para este problema son
L= ∞ �
t=0
βt1
2τ 2 t +λ
�∞ �
t=1 �
1 1 +r
�t
Gt− ∞ �
t=1 �
1 1 +r
�t
τt �
C.P.O.
[τt] : βtτt−λ � 1
1 +r
�t = 0
Reorganizando esta expresión y haciendo uso del supuestoβ(1 +r) = 1, obtenemos
τt = λ para todo t. Por lo tanto, el comportamiento óptimo para el cobro de
impuestos es cobrar la misma cantidad en todos los periódos.
Para obtener un poco de intuición de este resultado, supongamos que el gobierno está considerando cobrar τL hoy y τH mañana (ó al reves, no importa), donde
τL < τH. Además, por simplicidad, supongamos queβ = 1. Asociado con esta
política está un valor para el gobierno igual a 1 2τ
2 L+ 12τ
2
H. Supongamos que en
veces de seguir esta política, el gobierno decide cobrarτM = 12τL+12τH en ambos
periódos. Nota que como h(τ) = 12τ2 es una función estrictamente convexa, la
siguiente desigualdad se cumple
1 2τ 2 L+ 1 2τ 2 H > �1
2τL+ 1 2τH
�2 = 1 2τ 2 M+ 1 2τ 2 M
c). Supón que Gt =g para toda t. ¿Cómo se comporta el déficit del gobierno a través del tiempo? ( el déficit del gobierno se define comoDt=τt−Gt).
Denotemos porτ¯el nivel de impuestos que cobra el gobierno en todos los periódos.
SustituyendoτtyGten la restricción intertemporal del gobierno obtenemosτ¯=g.
