ALBERTO ISAAC PIERDANT RODRÍGUEZ* JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO*
INTRODUCCIÓN
El intenso uso de computadora en los diversos campos del conoci-miento han orillado a los fabricantes de programas de computado-ra o software a desarrollar una infinidad de aplicaciones que de una forma u otra tratan de satisfacer las crecientes necesidades de sus usuarios. Uno de estos programas de uso comercial muy cono-cido es la hoja electrónica EXCEL.
Una hoja electrónica es un programa de computadora que en la pantalla tiene la apariencia de una hoja cuadriculada, formada por columnas y renglones . El cruce de cada columna y renglón forma lo que se llama una celda . Una característica importante de esta hoja es que cada celda en ella es única.
Las hojas electrónicas se utilizan principalmente para realizar desde un cálculo aritmético simple como una suma o una resta, hasta cálculos trigonométricos , financieros , estadísticos, construc-ción de gráficos y en general cualquier tipo de cálculo numérico.
El presente capítulo tiene como objetivo mostrar precisamente algu-nas aplicaciones matemáticas de esta herramienta electrónica en diver-sos campos de las ciencias sociales, señalando la metodología a seguir así como los fundamentos matemáticos que sustentan dichas aplicaciones.
Los temas a considerar de aplicaciones matemáticas en este documento son los siguientes:
Tablas de una y dos entradas Tablas dinámicas Estadística Descriptiva Modelos
Base de datos • Modelo de Insumo-Producto
Los temas aquí mostrados son el resultado de un taller que sobre aplicaciones matemáticas ha desarrollado el grupo de matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales en la uAM Xochimilco y que forma par-te del acervo de conocimientos prácticos que hoy se imparpar-ten a los alumnos de Ciencias Sociales.
La presentación de los temas se realiza en el programa a través de un conjunto de ejercicios estructurados en un libro de trabajo de EXCEL denominado "Taller de Aplicaciones". La portada inicial de éste se muestra en la figura 1. En ella se puede observar que el acceso a los diversos temas del taller se realiza mediante botones programados con macroinstruccionesl en EXCEL.
Aplicaciones
r Matemáticas con EXCEL
figura 1
TABLAS DE UNA Y DOS ENTRADAS
En el análisis matemático de fórmulas , es muy común tratar de obte-ner diversos resultados o escenarios al aplicar una fórmula donde cam-biamos el valor de una variable involucrada en ella o el de dos variables involucradas . Este análisis puede simplificarse en EXCEL con el uso de la herramienta denominada tabla de una entrada en el caso de modificar el valor de una sola variable en la fórmula, o bien, la tabla de dos entradas si son dos las variables a modificar en la fórmula.
Para ilustrar el uso de las tablas de una y dos entradas, supo-nemos una empresa que tiene tres líneas de producción, cada una con diferente capacidad instalada (número teórico de artículos que puede producir) y a las cuales se puede especificar un determinado factor de planta (porcentaje real de producción de artículos). Así, por ejemplo , la producción real en la línea 1 estará definida como:
Línea 1 = capacidad instalada x factor de planta
En la figura 2, se muestra en las celdas : D8 a D10 la capacidad ins-talada de cada línea , y en las celdas C15, D15 y E15 las fórmulas: B15*producciónl , B15*producción2 y B15*producción3 . En las celdas B15 a B20 se definen los diversos valores que tomará la variable factor de planta y con ello los diversos niveles de producción en cada una de las líneas que tiene esta empresa. Los resultados de las diversas produc-ciones que se obtienen al variar el factor de planta se muestran en la tabla en las celdas C16 a E20.
Para obtener estos resultados utilizando una tabla de una entrada se debe seguir el procedimiento siguiente:
1. En una columna o renglón ubique los valores que tomará la variable. Para el ejemplo, el factor de planta (variable ) se ubica en la columna B15 a B20.
y- -1 Em— 5, a
Tabla de una Entrada
Suponga una empresa con las siguientes características
Producción instalada línea 1 Producción instalada INee Producción Instalada línea
5 YO -ajas
7500 alas
94 OC.u ajas
Variables Factor de planta y Costo por C91
n Produccló 3 Factor de P Producció rod
70% 38 , 5 0 525 65 8
75% 80% 83% 91% 98% 41,250 44,000 45 650 50,050 53 900 56,250 60,000 62 250 58 250 73 500 figura 2 70,500 75 200 78,020 85,540 92.120
2. Si los valores están en la columna , como en el ejemplo, ubique las fórmu-las en un renglón arriba del primer renglón a calcular (C15, D15 y E15). Vea la figura 3.
3. Seleccione el conjunto de celdas que contienen las fórmulas , los valo-res variables y las celdas de salida, como se muestra en la figura 3. 4. Del menú de "DATOS", seleccione la opción "TABLA".
5. Si los valores a substituir se encuentran en la primera columna de la tabla, como en nuestro ejemplo, entonces ubique la primera celda de ésta en la sec-ción de la ventana de TABLA denominada: celda de entrada (columna). En caso contrario, ubique la primer celda de la fila en: celda de entrada (fila). 6. Oprima el botón de Aceptar y observe los resultados del proceso en la
figura 2.
Tabla de una babada
Suponga une empresa con las siguientes caractedsucas
Producción instalada linea 1 55A^) cejas Producción instalada linee 7 75,om cejas Producción instalada 94000 ca1a` s.. emule
Variables Fectororde de plard
lerrteyCatop^,i Co
[Y •lr
figura 3
escenarios resultado de dicho cambio en la variable como se
mues-tra en la figura 2.
TABLAS DE DOS ENTRADAS
Si en el problema anterior, en la fórmula, no únicamente modifica-mos el factor de planta sino también el nivel de producción, enton-ces el problema presenta un cambio de valor para cada variable, el cual puede simularse mediante una tabla de dos entradas, como la mostrada en la figura 4.
En ella puede observarse que la fórmula se ubica en la celda
B27, los factores de planta están en las celdas B28 a B32 y los
dife-rentes niveles de producción en las celdas C27 a E27.
o:r oc, Eme, - L0.00 - ^-; ^ fflixi
1
Suponga una empresa con las siguientes características
Tabla de Dos Entradas Dato fila
Produoeion base: 50 000 Dato columna Factor PL.: 70%
Producci dn Estimada 35000 55000 65,000 75,000 75% 41250 48750 56,250 80% 44 000 52 000 60,000 Factor de PL 85% 46 750 55250 63,750 90% 49 500 58500 57,500 95% 52250 61750 71,250
figura 4
Tablas de 1 y 2 Entradas
Suponga una empresa con las siguientes características
Tabla de Dos Entradas Dato fila Praduceion base: 50600_ __ T Dato columna
Factor PL .:
Prnrinr n Fcr
1. Ubique la fórmula en la esquina superior izquierda de la tabla. Para el ejemplo, la celda B27 queda definida como: D24*D25 (producción base por factor de planta base).
2. Ubique en la primera fila de la tabla , la variable que cambia por fila; para el ejemplo, la producción estimada.
3. Ubique en la primera columna de la tabla de doble entrada el factor que cambia por columna . Para el ejemplo el factor de planta.
4. Seleccione el conjunto de celdas que forman la tabla de dos entradas. 5. Del menú de "DATOS", seleccione la opción "TABLA".
6. En la ventana de TABLA , asigne la celda que varía por fila a: celda de entrada(fila) y la celda que varía por columna a: celda de entrada (columna), como se muestra en la figura 5.
7. Oprima Aceptar y observe el resultado de una tabla de dos entradas como la mostrada en la figura 4.
En esta forma el cambio de valor para cada variable genera como resultado una tabla de dos entradas.
Datos d' ria[uras de dele universidad
60 1S5 153
1 70
1 68 164
1 72
154
1 61 1 5 1 73
1 65
1 65 1 70 1 75
1 62
53 ,lo 1 68 1 64
1 73
r,5
1 65
1 F
Estadística Descriptiva
Una aplicación interesante de la hoja electrónica EXCEL en el. ámbi-to de las Ciencias Sociales es el cálculo de estadísticos descriptivos de un conjunto de datos.
En EXCEL el subprograma que permite calcular estadísticos descriptivos recibe el nombre de "Estadística Descriptiva". Con él es posible calcular los estadísticos.siguientes:
Estadístico Descripción
Media Aritmética La suma de datos dividida entre el número de datos que forman el conjunto (promedio).
Error Estándar El error estándar de la media del co njunto de datos.
Mediana El dato de en medio cuando el conjunto de datos está ordenado en forma ascendente ( o descendente).
Moda El dato que se repite más en el conjunto (dato de mayor frecuencia).
Desviación Estándar La raíz cuadrada positiva de la varianza.
La suma de las desviaciones (cada dato menos la media Varianza aritmética) elevadas al cuadrado , divididas entre el número de
datos menos uno.
Kurtosis El nivel de pico o achatamiento de la distribución de los datos comparada con la distribución Normal.
Skewness El grado de asimetría de la distribución de los datos alrededor de su media.
Rango o Amplitud El dato más grande en el conjunto de datos menos el dato más pequeño en el mismo conjunto.
Mínimo El dato de menor valor en el co njunto de datos. Máximo El dato de mayor valor en el conjunto de datos. Suma La suma de los valores de los datos del co njunto. Cuenta El número de datos que forma el conjunto.
Para calcular los estadísticos descriptivos de un conjunto de datos es necesario realizar el procedimiento que a continuación se describe:
1. Capture en una hoja electrónica en fila o columna los datos a ser anali-zados mediante estadística descriptiva. Para mostrar un ejemplo, se utilizan las estaturas de 24 alumnos de la universidad.
3. De las opciones de Análisis de Datos seleccionar : "Estadística Descriptiva". 4. Con el cursor ubicado en "Rango de entrada", seleccionar el conjunto de
datos a analizar. Ver figura 7.
5. En la opción `Rango de salida", ubicar el cursor en la celda a partir de la cual deseamos obtener los resultados (figura 7).
6. Seleccionar la casilla denominada "Resumen de estadísticas" (figura 7). 7. Oprimir "Aceptar" con lo que obtenemos los cálculos . Ver la figura 8.
En la figura 8, se muestran los estadísticos calculados para nuestro ejemplo . En ella podemos observar que la estatura prome-dio (media aritmética) de los estudiantes del ejemplo es de 1.64 m, la desviación estándar es de 0.07 m , es decir, el 99% de las estaturas se encuentran entre 1.5o m y 1.78 m. También podemos observar que el estudiante de mayor estatura en el grupo tenía una estatu-ra de 1 . 75 m y el de menor estatuestatu-ra 1.52 m lo que establece una amplitud o rango entre estos datos de 0.23 m, es decir, la diferencia de estatura entre el alumno mas alto y el más bajo es de 23 cm.
Datos de estaturas de 24 alumnos de Dalos 150 1 55 153 r*,s.
1.70 ^'w de ,+„i, ^^ 1.68
164
172 r o x.,,,y..a,w
1 54 161 1 52 173 165
165 iva.u^m ae,s i.^ 7o ri ar ,ro 1, ^ 175 162 1 53 1 70 1 68 164 1 73 1.65 1 65 1 75 figura 7
W ra ^ 4: PN ', _ :.: id ^i w -18t6
Datos de estaturas de 24 alumnos de la universidad
1 60
1 55
53
1 70
1 68 0 iee ea esr
64
1.72 Media 1646666667 1 54 Ermr lipico 0 014727804
1.61 Mediana 1.65
1.52 Moda 165
173 D,mor:lanerar,dar o 01-121 1 65 VanarZO de la rnuo,ra 0055205797
165 cwoss -098270807
1 70 -G-a. 0.40507375
175 Rango 023
1 62 Mro rro 1 52
1.53 Maximo 175
170 suma 3952
BASE DE DATOS
Una base de datos es un almacén central de datos bien definido que puede ser utilizado para una gran variedad de aplicaciones diferentes. En este sentido, los datos pueden ser utilizados por usuarios de dife-rentes departamentos dentro de una organización.
Cualquier objeto o evento sobre el cual deseamos recolectar datos es llamado una entidad. Una entidad puede ser las características que definen a una persona, lugar o cosa, por ejemplo, el vendedor de una compañía, una ciudad, un directorio telefónico o un producto.
Así una entidad denominada producto, debe describirse con: la la-ve o código de clasificación del producto , su descripción, su unidad de medida (pieza, ton, m3, etcétera ), sus dimensiones, su precio por uni-dad, etcétera.
Las entidades están formadas por registros. Un registro es el conjun-to de daconjun-tos que tienen algo en común con la entidad que ha sido descrita. En EXCEL las bases-datos son almacenes de datos en forma de listas en columnas. Cada columna forma un "campo", el cual define la característica del contenido de la columna y los renglones en la lista forman los registros de la base.
En una hoja electrónica es necesario definir primeramente el con-tenido de la lista o base -datos. Por ejemplo, considere una base-datos de un directorio telefónico formado con los siguientes elementos:
DIRECTORIO PERSONAL = Nombre +
Apellido paterno +
Apellido materno +
La calle y número de su domicilio + La colonia de su domicilio + La delegación +
La ciudad + El código postal + Teléfono
DIRECTORIO PERSONAL
A. Paterno A . Materno Calle Colonia Delegación Ciudad C.P. Teléfono oberto López Hernández Calzada de la V La Purísima Atzcapotzalco México 03456 5469-3389 Juan Antonio López López Mártires di 3 Revolución Coyoacán México 02549 5689-1214
Luis Martínez Casas Ozumba 234 Edomex Azcapotzalco México 25698
Maria Casas 1 Ramírez Calzada la Viga Construccion Iztapalapa México 09876 5338-1256 Manuela Rosas Rosas Calzada de las Pilares Coyoacán México 78654 5445-7891 Margarita Magaña Fuentes Vírgenes 19 Purísima lztapalapa México 78965 2568-7894 Arturo López Vieyra Palma 735 Centro Alvaro Obregór México 89675 5799-3625 Alberto Robles Martínez Pedregales 134 Fuentes Sur Magdalena CorMéxico 07896 2358-4569
DIRECTORIO PERSONAL
Calzadz
Ciudad C .P. Teléfono México 03456 5469-3389 México 02549 5689-1214 México 25698 México 09876 5338-1256 México 78654 5445-7891 México 78965 2568-7894 México 89675 5789-3625 México 07896 2358-4569
Nombre (s) A Paterno A. Materno C
Roberto ópez Hernández uan Antonio López López
Luis Martínez Casas
María Casas Ramírez
Manuela Rosas Rosas
Margarita Magaña Fuentes
Arturo López Vieyra Alberto Robles Martínez
Mártire<_ Ozumb i,u,..' Calzad< T'4'- -~
CalzadzI 1rixs d, t b Virgene ^- «
Palma
Pedreg:
Una vez definidos los campos, se procede a crear la base-datos, para ello se deberá ubicar el cursor de la hoja en el primer renglón de datos a la altura del primer campo en la base-datos; posterior-mente deberá seleccionarse en el menú DATOS el subcomando FOR-MULARIO, como se muestra en la figura lo.
Con ello se ha creado en la hoja electrónica una estructura de base-datos o lista de datos que puede ser operada mediante el for-mulario que ha creado EXCEL. Con este forfor-mulario es posible agre-gar datos, buscar registros, modificar datos y eliminar datos en esta base-datos.
La figura 11, muestra el formulario que permite agregar nue-vos registros (renglones) a la base-datos. Esto es posible al selec-cionar el botón "Nuevo" en el formulario.
La figura 12, es el procedimiento en el formulario que permite buscar información en la base y para ello se utiliza el botón "Crite-rios". Se establece así el criterio o criterios de búsqueda de datos. Al oprimir el botón de "buscar siguiente" o "buscar anterior" se procede a buscar los registros que cumplan los criterios establecidos.
r~WO Edckn y" tnu.
DIRECTORIO PERSONAL
Nombr
Roberto
A. Paterno A. Materno Calle Colonia Delegación Ciudad C.P. Teléfono
ópez Hernández Calzada de la V La Purísima Atzcapotzalco México 03456 5469-3389 López Mártires #13 Revolución Coyoacán México 02549 5689-1214
Casas Ozumba 234 Edornex Azcapotzalco México 25698 Ramírez Calzada la Viga Construccion Iztapalapa México 09876 5336-1256 Rosas Calzad a de las Pilares Cnvnacán. México 76654 5445-7891 Juan Antonio López
Luis Martínez María Casas Manuela Rosas Margarita Magaña Arturo López Alberto Robles
DIFILETEMO El
Vieyra rlov^. e(:^, M„,, ^,m, .f rxbvo ragaro 'coi89675 5789-3625
Martínez,,, Iico 07896 2358-4569 A, Patean : -^ctHl.uws
évraln - :
l litarar
C~
1 DIRECTORIO/
;^ yrr r, EO &r '.d„ [rnctar Eanam berrunertas
DIRECTORIO PERSONAL
Nombre (s ) A. Paterno A. Materno Calle Colonia Delegación Ciudad C.P. Teléfono
Roberto López Hernández Calzada de la V La Purísima Atzcapotzalco México 03456 5469-3389
Juan Antonio López López Mártires #13 Revolución Coyoacán México 02549 5689-1214
Luis Martínez Casas Ozumba 234 Edomex Azcapotzalco México 25698
María Casas Ramírez Calzada la Viga Construccion Iztapalapa México 09976 5330-1256
Manuela Rosas Rosas Cazada de las Pilares Cnvnarán Méfxico 79654 5445-7091
Margarita Magaña Fuentes x t xico 78965 2568-7894
Arturo Alberto
López Robles
Vieyra N^xnb,3L Mar,uela Martínez
J oI rK ".i co sto
99675 07096
5789-3625 2358-4569
María Irma Castellanos Jiménez umba 256897
Cdo
E, ^ ^^ 3 xa a
^,_ auxar s„ee.^^.
1
euscer g1~e
CWdad
T,elcvx^: '
fl'4'E M\DIRECTORIO
figura 12
^tn Yes- losert,r Formero 4r rumias ortos mreaoa DIRECTORIO PERSONAL
Nombre (s) A. Paterno A. Materno Calle Colonia Dele ación Ciudad C.P. Teléfono
Roberto ¡López Hernández Calzada de la V La Purísima Atzcapotzalco México 03456 5469-3389
Juan Antonio López López Mártires #13 Revolución Coyoacán México 02549 5689-1214
Luis Martínez Casas Ozumba 234 Edomex Azcapotzalco México 25698
María Casas Ramírez Calzada la Viga Construccion lztapalapa México 09676 5338-1256
Manuela Rosas Rosas Cal:
n
México 78654 5445-7891
Margarita Magaña Fuentes s: ° - " S ico 78965 2568-7894
Arturo López Vieyra -, - --- _ s s xico 89675 5769-3625
Alberto Robles Martínez xico 07896 2358-4569
María Irma Castellanos Jiménez a. Pverr,. na„>,^, reuasc umba 256897
n,rmao,,,tatarnrr ,I,clls,o pre rotrdo.
4,> #I\DIRECTORIO/
La figura 13, nos muestra el procedimiento que permite borrar un registro (renglón) en la base-datos. Se utiliza en este caso el botón "Borrar" del formulario.
TABLAS DINÁMICAS
Una tabla dinámica, también conocida como tabla pivote, es una tabla en una hoja electrónica que permite resumir grandes canti-dades de datos y métodos de cálculo en la forma que el usuario lo determine. Es decir, el usuario establece, los renglones y columnas que requiere, los intercambia y los rota de acuerdo a las necesida-des que tiene para presentar esta información.
En una tabla dinámica el cambio en los valores de los datos puede reflejarse inmediatamente en una actualización de la mis-ma. Por otro lado, este tipo de tablas pueden utilizarse para formar
a—
F
BASE DE DATOS
Roee deNórt 1998
Zona Sucursal Responsable Enero Febrero Marzo Abril
Norte Norte la 2 Pérez 50000. 48000 45000 49000 Norte Norte lb L López 20000 19000 14000 12000 Norte Norte le L Martínez 34000 34200 32000 30000 Sur Alarnos L López 25000 35000 23000 29000 Sur Portales M Rodríguez 45000 50000 55000 52000
Centro Centro A M Júarez 15000 17000 13540 13920.
Sur Palpan R Romo 18920 14530 17000 18900 Norte Norte ld 2 Pérez 30560 31000 32400 32350
cuadros estadísticos de resultados de modelos matemáticos que hayan sido desarrollados en hojas electrónicas.
Los datos que pueden ser utilizados para construir tablas diná-micas se obtienen de:
Una lista de datos, una base-datos o cualquier rango de celdas que tengan una etiqueta que defina la columna.
Una colección de datos que se desea consolidar. En este caso los ren-glones y columnas deben tener etiquetas.
Una base de datos o tabla que ha sido creada en otra aplicación.
Para ilustrar el uso de las tablas dinámicas suponga la existencia de una base-datos de recaudación de ventas de electricidad en diversas zonas de un país (figural4). La compañía de electricidad cuenta al mis-mo tiempo con diversas oficinas en cada una de estas zonas(sucursales). Las tablas dinámicas permitirán entonces mostrar los resultados de
- ^,%ri cerfr, z;o^e aa^e4
^s,n?d ia;.ca^ 3T r^a^ ,^vya
c^+o-M.ix zx^^
recaudación de diversas maneras, por ejemplo, zona y responsable de zona, por zona del país y sucursal , etcétera.
Una vez que ha sido definido el origen de los datos que se dese-an dese-analizar, deberán de seguirse los pasos que se indicdese-an a conti-nuación para realizar la construcción de una tabla dinámica.
1. Seleccione el conjunto de celdas que forman los datos a analizar incluyendo las celdas con las etiquetas que definen a cada columna. Para el ejemplo, el conjunto de celdas estará formado por: B7:H15. 2. Del menú DATOS, seleccione: Informe de Tablas y gráficos dinámicos. 3. Confirme que se han seleccionado los datos y la opción de Tabla
diná-mica en el asistente de Tablas y gráficas dinádiná-micas. Ver figura 15. 4. En el paso 2 del asistente confirme que los datos seleccionados son los
correctos y oprima "siguiente" para ir al paso 3.
5. En el paso 3, seleccione la opción de "diseño", y defina con ello su tabla de resultados, como se muestra en la figura 16. Para definir una tabla deberá arrastrar la etiqueta correspondiente y ubicarla en la fila o en columna correspondiente según el diseño de la tabla deseada.
1
t i. -- _ ama 1 ene ...ima Febrero j ^_ Mar-.c
_ Suma be Abril
Lr Suma de Enero Suma tle Febrera ' la Suma de Marzo
rt Suma de AOri1 otal Suma de Ener etal Suma de Febrerr etal Suma de
Ma--otal Suma de Abril
L L6Gez L Martínez M Júareo M Rodrfüuez R Romo Total
45101 18, 5. 34- 15000 4` 1
17000 Se'.- 14
-•00 1354) 5`-_^170001
8 30000 1 SIC 5. '' 18900
figura 17
6. Seleccione entre ubicar la tabla en una nueva hoja y una hoja existente. Oprima finalizar y observe la tabla dinámica de resultado . Ver figura 17.
En la tabla dinámica de la figura 17 se puede observar un resu-men de los resultados de recaudación en cada zona del país por mes y el responsable de la misma . Así por ejemplo, J. Pérez responsable de la zona norte obtuvo una recaudación para el mes de enero de 80,560, L. López de 20,000 y L. Martínez de 34,000, lo que representó un total para ese período en la zona norte de 134,560.
MODELOS
Un modelo en general, puede definirse como una representación abstracta de la realidad. Un modelo matemático es una representa-ción simbólica de la realidad. Un modelo administrativo o de planifi-cación será la representación simbólica de un proceso o de algún aspecto que afecta la operación y el logro de los objetivos de una organización o empresa.
En EXCEL es posible construir modelos matemáticos que permi-tan analizar el comportamiento de una organización cuya operación este sujeta a diversos factores . SOLVER es la herramienta en EXCEL que permite desarrollar el análisis de este comportamiento a través del uso de un modelo.
SOLVER es un subprograma (add-in ) de EXCEL que permite la solución a tres tipos . de problemas o modelos de optimización: opti-mización lineal , optiopti-mización no lineal y optiopti-mización entera.
Los modelos de optimización lineal , no lineal y entera son aquellos que se expresan en las celdas de una hoja electrónica por medio de relaciones matemáticas o fórmulas entre los diversos ele-mentos que constituyen el problema y que tienen como objetivo maximizar o minimizar el uso de los recursos de una organización.
Los modelos lineales son problemas que involucran relaciones lineales entre las variables . Este tipo de problemas puede ser representado en forma gráfica mediante una línea recta. Estos problemas incluyen operaciones simples (suma y resta) y funcio-nes del propio paquete [SUMO, TRENDO, FORECASTO].
Los modelos de optimización no lineales son aquellos en los que no existe una relación proporcional entre los elementos o variables de un problema . Este tipo de problemas se representan en forma gráfica mediante curvas . Estos modelos incluyen operaciones como: multiplicaciones o divisiones entre pares de celdas, la opera-ción de exponenciaopera-ción y el uso de funciones logarítmicas o funcio-nes del paquete , como GRWTHO y raíz cuadrada SQRTO.
establecidas o los elementos que constituyen las variables del problema deben tomar un valor entero al encontrar la solución óptima.
Para poder solucionar modelos de optimización de cualquiera de estos tipos mediante SOLVER , el analista deberá especificar tres elementos básicos:
1. La celda objetivo o función objetivo , constituida por la celda del mode-lo que se desea maximizar, minimizar o ajustar a un vamode-lor específico. 2. Las celdas que contienen las variables del problema , conocidas como
las variables de decisión, cuyo valor afecta a la función objetivo. 3. Las restricciones, formadas por celdas cuyo valor estará sujeto a
cier-tos limites , o bien aquellas que deben de tomar valores predetermi-nados. Las restricciones pueden definirse tanto para la función objetivo como para las variables de decisión.
En la figura 18 se muestra un modelo prospectivo de una empresa que desea calcular diversos escenarios trimestrales. Para
Modelo Ptospectiro (SOLVER) CVátdla 1,
COnc _
'6Facto ettaeronal
(I Trim.t 7 ,'m.3 Trim . 3
'=-1 1=-= F C 8
rim. 4
I
Tota)
T 1 2
Unidades vendidos 3415 4173 3025 45531 15176 1
/regreso de ventee 1 $1 70 726 $200,665 $151,756 $227.635 $758 782
,
Costo de ventas 05363 104 333 75,878 113 8171 979 391
F
Ganoneie bruta 85 383 104,333 75 878 113 8171 379381
,1 11 sueldos
pp
9,000 0,000 9,000 I 9,000; 34,000
Publicidad 0,750 d 750 8,000 8 750¡ 35,000
1e Gatos generaks 25,609 31,300 22783 1411 113,817
t5 Gasms totales
G i 1., 9 42 359 04 3 40,050 $36 203 40 513 $3565
51 9951 162,817 061 22 8156 74 18
i anane a nata 4 0
Malyen de ganancia I! 25%
, 27% 3 23% 1 5 0 27%' 25%
20 Precio del produoto $50 00 Costo del mducto $25 X00
Formulas en el modelo
32
Unidades Vendidas - 35 - Factor Estacional ' (Publicidad+3000)^0.5
Ingreso de Ventas - Unidades Vendidas' Precio del Producto
Costo de Ventas - Unidades Vendidas ' Costo del Produoto
Ganancia Bruta - Ingreso de Ventas - Costo de Ventas
Gastos Generales - 15% (Ingreso de Ventas)
Ganancia Neta = Ganancia Bruta - Gastos Totales
Marga. de Ganancia = Ganancia Neta 1 1.9,... d. Ventas
figura 18
L
ello, la dirección propondrá una estimación anual sobre el "Ingreso Total de Ventas" lo que permitiría establecer el precio de venta y el costo de producción de su principal producto. La estructura mate-mática de ese modelo se define mediante las ecuaciones siguientes:
Unidades Vendidas = 35 (Factor Estacional)(Publicidad + 3000)0.5 Ingreso de Ventas = (Unidades Vendidas)(Precio del Producto) Costo de Ventas = (Unidades Vendidas) (Costo del Producto) Ganancia Bruta = Ingreso de Ventas - Costo de Ventas Gastos Generales = 15% (Ingresos de Ventas)
Ganancia Neta = Ganancia Bruta - Gastos Totales
Margen de Ganancia = Ganancia Neta / Ingresos de Ventas
Como primer paso, se construye el modelo en una hoja electró-nica como se muestra en la figura 18.
De la figura 18 se puede observar que, con un precio de venta del producto de $5o.00 y un costo de $25.00, el ingreso de ventas esperado
Gorree m 1 Trlm.1 Tnrn.2 Tnitn 3 T1rmffi.4Total
Fxmr estac8ensl . 09 11... 08 1 21
5nlWdes vendldas 3415 4.173. 3.035 4 553 15 176
Ingreso tle ventas $170726 $209565 1151756 $227,635 $759702
Costo de ventas 65 363 104 333 75 879 113 817 379 391
^OartarMa Wrrta 9 85 363 104 333 75 578 113 81711 379 391'.,
--- _ _____ 4 $5 _
Ganancia ne[a $_4_3 004 6,293 $35365 $Bt 9221 $196574 Margen de ganenc 25% 27% 23`/0 27%^ 28%
Sueldos 8 000 B 000 9000 9,0001 340001
Puólkidad V 0750 9 750 8 750 9 7501, 35 000
Gasros generales 25609 31300 222,763 34,1451 113817
Gastas roenles 42 359 40,050 40 513 51,8951 18281 7
Precio tlalpreduam $50.00 Costa del roducto $25.00
1
I al
Formulosenelmodelo
[atlaen.`.In=
Un Jades Vendldzs - 35' Factor Utaelonaf' (l 3 4 E f" s - _^ Ingreso de Ventas Unidades Vendidas ' Pr 5!aetesabc9p , rekn's Ms.+
----Cesen de Ventas = Unitlades Vendidas ' Cene, J ._I
Ganancia Bruta = Ingreso de Ventes - Costad Tp° flmtadaw taM
Gastos Generales 15% (Ingreso de Ventas )
Gananca Neta = Ganansa Bruta Gastos Tot
Margen de Ganancia = Ganancia Neta I Ingreso de Ven
calculado por el modelo sería de $758,782. Sin embargo la Dirección desea obtener un ingreso de ventas de $900,000 , entonces, la pregunta al modelo sería: ¿cuál deberá de ser el precio de venta y el costo del producto para lograr alcanzar esta meta? La solución con SOLVER se puede encontrar mediante el procedimiento siguiente:
1. Construya el modelo matemático en una hoja electrónica de EXCEL. 2. Del menú HERRAMIENTAS, seleccione la opción: SOLVER.2
3. Determine la celda objetivo del modelo. Para nuestro ejemplo, el ingreso anual de ventas: G8.
4. Establezca el valor de la celda objetivo. Para el ejemplo : 900,000, como se muestra en la figura 19.
5. Determine las celdas que cambian de valor y que permiten lograr el obje-tivo. Estas celdas son: C20 y C21 (precio de venta y costo del producto). 6. Oprima "Resolver" con lo que encontramos la solución del problema
como se muestra en la figura 20.
De la figura 20 se puede observar que para lograr la meta de ven-ta de $900,000 se requiere de un precio de venven-ta de: $59.31, con lo que se lograrían las ventas trimestrales siguientes : $202,500 el primer trimestre, $247,500 el segundo trimestre, $ 180,000 el tercero y $270,000 en el cuarto trimestre. Asimismo se lograría un margen de ganancia anual del 35%, el cual supera en 9 puntos porcentuales el margen de ganancia que se obtenía con el precio original del producto.
Otra de las ventajas que presenta SOLVER es que permite conser-var los valores originales del modelo o crear diversos escenarios de solución del problema. Si se desean crear escenarios , la solución encontrada deberá guardarse con un nombre , por ejemplo, el usuario del modelo del ejemplo , puede seleccionar que, con el precio inicial establecido para el ejercicio se forme el escenario denominado "base" y con el precio de $59.31 se forme otro escenario denominado "medid".
é x ,,tcc Eausn - weib na , H„+m.maa cca v«_s..,, t s121.J
>. e. c _ e c a il 3 F- 7
Modele Procpasnvo (SOLVER)
n,errcepro Trim.1
Faeror es
erxiunaÍ T 09.
THnr.1 TTrim.3 TrimA
00 1.2 T
1
Unidades vendidas 3415 4,173 3,035 4,553 15176
ngreso de venus $202,500 $247,500 $189. 00 $276 000 900 000
Co- de venta, 85,363 104333 75,078. 113817 379,391
Ganancia bruta 117137 143.167 104,122 1561031 520,509
Sueldos 9 000 8,000. 9,000. 9 000 34 000
Publicidad 8750 6 750 8,750 8 750 35 000
Gastos ger- aks 30375 37125 2,910 40500 135000
Gastos totales I 47 125 53,875 44,750 58,2501 204,000
Danarrcia nsu_ $70,012 $89,_292 $69,372__$97,8 $3766008
Margen de ganancia 35% 36% 33% 36 - 35%i
Pio delprodoeto $59 31
Cos
rec
to del rodu0to $25 00
Fórmulas en el modele
Unidades Vendidas - 35' Factor Estacional' (Publisidads 3000)^O.5
Ingreso de Ventas - Unidades Vendidas'Precio del Producto Co- de Vemas - Unidades Vendidas ' Costo del Producto
Ganancia Bruta - Ingreso de Ventas - Costo de Ventas
Gastos Generales - 15% (Ingreso de Ventas)
Ganancia Neta - Ganancia Bruta - Gastos Totales
Margen de Ganancia - Ganancia Neta 1 Ingreso de Vemos
figura 20
Unidades vendidas 3415 4173 3035 4,553
Pngreso de creso $202500 $247,500 $180,000 $270000 Costo de sesteas 85.363 104 333 75878 113 817
Ganancia bada 117,137 143167 104 122 156,1831
5 nidos 9 000 9,000 9,000 9 0001 34000
Publlnldad 0750 8,750 8750 0750/ 35,000
Gasrosgeneralae 30375 37125 27000. 40500 135000
PanGo del prodpero Costo dei roducro
47.125 53,875 44,750 58 2501 294,000
$70,012 _$89 372 $993-3^ $3198081 35% 36%. 33%. ,o-^oi 3s_
$5931 $25 00
Fórmulas en el modelo
Unidades Vendidas - 35' Factor Estacional' (Pabllcidadc3o0O)^0.5
Ingreso de Ventas - Unidades Vendidas ' Precio del Producto
Costo de Ventas - Unidades Vendidas ' Co- del Producto
Ganancia eruta - Ingreso de Ventas - Costo de Venta,
Gastos Generales - 15% (Ingreso de Vallas)
Ganancia Neta - Ganancia Brota - Gastos Totales
Margen de Ganancia - Ganancia Neta t Ingreso de Ventas
Estos escenarios son grabados en la ventana de SOLVER al oprimir el botón "guardar escenario". Más adelante el usuario del modelo puede consultar los distintos escenarios mediante el ADMINISTRADOR DE
ESCENARIOS ubicado en el menú de "Herramientas" como se muestra en la figura 21.
MODELO DE INSUMO -PRODUCTO
Wassily W. Leontief desarrolla la matriz de insumo-producto3 la cual señala las interrelaciones de oferta y demanda existentes entre los diversos sectores de una economía durante cierto periodo de tiem-po. Esta matriz se construye con los datos de un cuadro de transac-ciones interindustriales, el cuadro muestra como se interelacionan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiere produc-tos fabricados por los demás a fin de llevar a cabo su propio proceso.
En el siguiente ejemplo hipotético se representa una economía abierta simplificada, en la que sólo participan tres sectores, (agricul-tura, manufactura y servicios), complementados con la "demanda final" la cual esta integrada por las familias, el gobierno, etcétera.
Cuadro 1
Transacciones interindustriales
Compras Demanda intemedia Demanda Producción
Ventas Si S2 S3 Final Bruta
Si 200 300 400 100 1000
S2 500 600 900 200 2200
S3 300 1300 700 400 2700
Del cuadro anterior de transacciones interindustriales se obser-va que cada uno de los sectores están ubicados en un renglón y en una columna formando lo que se conoce como demanda intermedia.
La cuarta columna representa la demanda final cuyos asientos sumados a los totales de la demanda intermedia dan origen a la quinta columna que constituye la producción bruta de cada uno de los sectores en un determinado periodo.
Desde un punto de vista contable el cuadro 1 es de doble entrada, en los renglones se registran las ventas y en las columnas las com-pras. Cada registro representa el valor de los productos que normal-mente están expresados en unidades monetarias a precio de mercado.
Como ejemplo, en el primer renglón , se representa el total de la producción del sector uno; 200 unidades sirvieron de insumo al mismo sector uno (s1), 300 pasaron al sector dos , 400 fueron vendidas al sector tres y 100 llegaron en forma directa al sector de demanda final, siendo la producción bruta de 1000 . Lo anterior se puede expresar como:
200 + 300 + 400 + 100 = 1,000
El análisis de insumo -producto permite también estimar la producción total de cada sector si existe cambio en la demanda final; todo esto bajo el supuesto de que la estructura básica de la economía permanece sin cambio alguno (ceteris paribus). Este importante supuesto significa que, para cada sector , debe perma-necer fija la cantidad invertida en cada uno de los insumos por cada unidad monetaria invertida.
Matriz de coeficientes técnicos (insumo-producto)
Es importante establecer aquí la notación que se usa en este texto para definir las relaciones entre producción , demanda inter-media y demanda final que resultan del cuadro de transacciones interindustriales.
Simbolizamos con xZ la producción bruta del sector i , esto es:
1000
2200
Con y¡; se representa la demanda final del sector i:
[y1] F6001
y2
y
3200
400
xlj, representarán las ventas que el sector i ha efectuado al sec-torj, esto es:
XII x12 x131 200 300 400
x21 X-22 x23 500 600 900
x31 x32 X33 300 1300 700
Como la producción bruta de cada sector es igual a la suma de las ventas a demanda intermedia más las ventas a demanda final, las re-laciones entre producción y demanda se expresan en forma algebraica como sigue:
X1 =X11 +X12 +X13 +Y1
X2 = X21 + X22 + X23 + Y2 (I) X3 = X31 +.X32 + X33 + Y3
En forma matricial:
[
x
11
x2
x3
x11
x21
x31
x12 x13
X-22 X23
x32 x33
y
1Y2
y3
para producir una unidad de producto j. También los insumos que venden los sectores proveedores varían en la misma proporción en que se modifica la producción bruta del sector que los adquiere.
Con estos supuestos se calculan los coeficientes técnicos como sigue:
_ x11 = 200 a" 0.2
X1 1000
x21 _ 500
a21 = Xl 1000=0.5 x31 300
_ _
a31
_
0.3
Xl 1000
136 0
a12 X2 2200 .
272 0
a22
X2 2000 .
1300 x _
as2 _ X2 2200=0.591
a13=X3 = 2000=0.148
= 51
=
a23
900
0333X3 2700 .
51 = 700
0259a33 =
X3 2700 .
Al fabricar productos por valor de 1,ooo unidades el sector 1
(a11, a21, a31 ) adquiere 200 de sus propias unidades , 500 unidades del sector 2 y 30o del sector 3. Por consiguiente , por cada unidad monetaria de producción , el sector 1 invierte
en compras a sí mismo;
500 =0.5=$0.50 1000
en compras al sector 2, y
300=0.3=$0.30
100
en compras del sector 3.
De esta forma se obtiene la matriz de coeficientes técnicos, ajj siguiente:
a11 a12 a13 0. 2 0.136 0.148
-A = a21
a22 a23 = 0.5 0.273 0.333
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO EN EXCELDE LA MATRIZ DE TRANSACCIONES INTERINDUSTRIALES
1) Se despliega una hoja de cálculo.
2) $e captura la tabla de transacciones interindustriales como se mues-tra en la figura 22.
3) Se genera la matriz de coeficientes técnicos; para esto se divide cada valor de la Demanda intermedia de los sectores entre su correspon-diente valor de producción bruta. En la figura 23 , se muestra la celda 115, en la barra de edición de fórmulas aparece =+C8/$F$8, esto indica que el coeficiente de requerimientos directos por unidad de produc-ción bruta del sector dos al sector dos (a22) es igual a 0.273 unidades (600 / 2200). El requerimiento del sector uno al sector tres (a31), es de 0.3 unidades, es decir; a31 = B9/$F$7 = 300 / 1000 = 0.3
Si desea ver la fórmula de cada coeficiente técnico, bastará con seleccionar la celda correspondiente, y en la barra de funciones
tr,=r.o^ F,rrr o 7e ramentas Del. eeOf- Z =LJJ
XSI -- - 4 & * £ fZ1Á1 *3 •Q1
N X y 5 á ® $%. x i Ó 7 el _ V. ^ A
2 3
8 9
Transacciones interincustriales
Compras Demanda intermedia Demanda Producción
Ventas S1 S2 S3 final Bruta
si 200 300 400 100 1000
S2 500 600 900 200 2200
S3 300 1300 700 400 2700
12 13 14 1G
N 4 1 11\, ,. -aorrr ^Inzumo-Prodj Hoja'7,Hola'/
Lista
Inicie Micosof [ Excel - Apli._. Mlciosr,p Mkad Ma^iz:+el
figura 22
t 11^
A B C D
1 Transacciones interindustriales
meras Demanda intermedia Demanda Producción Venta Sl S2 S3 final Bruta
Si 200 300 400 100 1000
S2 500
QQ-900 200 83
S3 1300 400 27
riz de coeficientes técnicos
Lote
rtr^sxcanas f Insvr,o.Prod A Insumo -Prod t2t ,. Hoy / Hold 1
; Inicio Minosott Esed -Apl... MicroeeitWad-MalrierM
figura 23
Veptana ? ^8f X,.
mil JI131vI I I^tJI I I^ 1s
grchlw €daón v_n transar Formato Herrariertas Date
LI ® a a. y, k(m C Z Qrwwaria...
li ^, Autacorrección.
FI4 -1 _ A topuarda..
ompras
Venta
0.130 0.148
0.500 x0.273 0.333
300 0.591 0250
Demanda intermedia
si S2 S3
Loto
'Inicio ^Miaosai Wad - Malnead Micrn=ott Eral - Api...
figura 24
aparecerá la fórmula respectiva, si además se requiere visualizar las celdas involucradas en los cálculos, como en la figura 23, debe pulsar: [Herramientas] [Auditoría] [Rastrear procedentes].
En la figura 24 se muestra el menú de auditoría. Regresando al sistema de ecuaciones (i)
3
Xl = Ex;;
+ y¡
i =1,2,3 (II)J=1
si se reemplaza cada xjj por su equivalente ajj xj se tiene el sis-tema de ecuaciones:
3
X,
_ Eaj., + y,J=1
i = 1,2,3 (III)
se representa en forma de matriz:
a11
a21
a31
a12 a131 a22 a23
a32 a33
o en forma algebraica:
X=AX+y (V)
Los coeficientes ajj no varián durante un cierto periodo de tiempo lo que nos permite utilizar el sistema de ecuaciones (v) con el cual podemos determinar el nivel de producción bruta que se requiere en cada sector para satisfacer la demanda final prevista para el periodo siguiente. Si se supone que se requiere satisfacer un aumento en la demando final para el próximo periodo en 50 unidades en el sector 1 (agricultura), 50 unidades en el sector 2 (manufactura ) y 80 unidades en el sector 3 (servicios ); la pregunta a responder es: ¿Cuáles son los valores x1 , x2 y x3 que cubren esos incrementos? Esto se resuelve si en el sistema de ecuaciones expresamos una relación funcional entre producción bruta y demanda final en el que el vector x es la variable dependiente y el vector "y" es la variable independiente.
X=A•X+y
X-A•X=y
IX-AX=y (I-A)X=y
(I - A)-' (I - A)X = (I - Ay' y
IX=(I-A)-'y
X=(I-A)-'y
La matriz (i-A) es llamada matriz de Leontief y la matriz (I-A)-1 matriz inversa de Leontief, o "matriz de coeficientes de requeri-mientos directos e indirectos por unidad de "demanda final".
En este ejemplo, se tiene que:
1 0 0 0.2 0.136 0 .148 0.8 -0.136 - 0.148
[I-A]= 0 1 0 0.5 0.273 0 .333 = - 0.5 0.727 - 0.333
0 0 1 0.3 0.591 0 . 259 - 0. 3 - 0.591 0.741
[I
-Al'
=0.8 - 0.136 - 0.148
- 0.5 0.727 - 0.333 -0.3 -0.591 0.741
2.566 1.416 1.150 3.532 4.116 2.559
3.857 3.857 3.857
CÁLCULO DE LA MATRIZ DE LEONTIEF Y SU INVERSA MEDIANTE EXCEL
1) Se calcula la diferencia de la matriz identidad menos la matriz de coeficientes técnicos. Se captura la matriz identidad (la cual debe ser de igual dimensión m x n que la matriz de coeficientes técnicos), en seguida se le restan los valores de la matriz de coeficientes técnicos como se muestra en la figura 25.
una ventana de procedimiento, en ésta se selecciona la función [Matemáticas y Trigonométricas] [MINVERSA], ver figura 26.
Al pulsar MINVERSA aparecerá una ventana de proceso que indica
la operación a realizar (inversa de matriz), también presenta un área de capura en donde se anota la ubicación de la matriz a inver-tir, en este ejemplo la ubicación es J21 : L23, ver figuras 27 y 28.
Una vez anotada la ubicación de la matriz que se busca invertir se oprime Aceptar, en seguida aparece el resultado de la posición 1,1 (pri-mera fila, pri(pri-mera columna ) dado que requerimos todos los elementos de la inversa, hay que copiar la formula matricial . Se ubica el cursor en la celda que contiene la fórmula matricial a copiar, en seguida se selec-ciona , el área donde se desea copiar la fórmula , una vez hecho esto se activan las ?','unciones matemáticas oprimiendo la tecla F2 (ver figura 28), finalmente se pulsan simultaneamente las teclas [Shift] [Control]
[Enter] , y la inversa de la matriz (i-A)=(I-A} I o inversa de la matriz de Leontief aparecerá automáticamente (ver figura 29).
Esta matriz inversa se utiliza con fines de proyección después de haber verificado que los datos estén correctos para el año que se esta considerando . Por esto debe cumplirse
x(0) = [I -
Al' y(0)
en donde:
1000
Xt°' = 2200
2700
,y
.,y=
100
200
400
Al sustituir valores se tiene que:
2.566 1.416 1.150 100 1000 X(°) = 3.532 4.116 2.559 . 200 = 2200
3.857 3.857 3.857 400 2700
Todas Financieras Fecha y hora
tegorfs de ta tvncí n Usadas recientemente
Estadísticas Búsqueda y referencia Base de datos
Texto Lógicas
M.C.M
MDETERM
a
Multinomial
MULTINOMIAL MULTIPLO. INFERIOR MULTIPLO. SUPERIOR
MRound MMULT
NUMERO.POMANO
D''u&ve la r„,kri- ^nv ti3 iw una matriz derirrn de u:I^ «iaFnz
MMERSA(matriz)
figura 25
MINLéRSA •,I X _ =MINVERSAQ
M¿NVEa5rt
23 24
K L m N O P
DetixlCfvC W matráa,ucvsa da iu,amat+tz dense áe lna
attiz es - matr¢ rwmérkn ras d M« nm rnr^iern de f ., y calúm
Puede e rango de calda, aaa cMSFa^L2 fila2rY,1.^,.
} i 5 deado M tafámiJe
tihx^ifiea(
^lnícm .. ^MraosokWatl-fA
o-roe lz1 R la
a
0 800 _ -0 136 -0_500 0.727 -0.300, -0.591
t.;^triz identidad - Matriz de coeficientes técnicos (I-A)
Inversa de (I-A), (I-A)ti1
-0148 -0.3331 0.741
=MINVERSA(J21'L23
.v^.,Lírav^
NVERSA(J21
I-oeP od
M1Qo tErie1-Ap1i..
figura 27
=MINVERSA(J21 L-_
x.x r^Pl t é1 + +3
'2 •` 1 t ik
Matriz identidad - Matriz de coeficientes técnicosI
\ Miciosoll Excel - Aplicaciones
r la
9,lñLI
nia L 9
-Rauxrp . e alm
^, , 0q[ a^^:¿ -.
L11
-
LMatriz identidad - Matriz de coeficientes técnicos (I-A)
,nversa de (I-A) (I-A)ti1
0 8001 -0.136 -0.148 -0.5001 0.727 -0.333 -0.300 -0.591 0.741
figura 29
Regresando ahora a los incrementos previstos en la demanda final, se tiene que satisfacer para el año próximo:
100
200 +
400
50
50
80
150
250
480
que sustituidos en la ecuación:
x(1) = (I -Ay' -y(')
permiten obtener los siguientes niveles estimados:
2.566 1.416 1.150-3.532 4.116 2.559
3.857 3.857 3.857
150
250
480
1291.15
De aquí se deduce que para satisfacer la demanda final previs-ta, de 50 unidades de productos agrícolas, 50 unidades de productos manufactureros y 8o de servicios, se debe generar una producción bruta de 1291.15 unidades en el sector 1; 2787.13 unidades en el sec-tor 2 y 3394.29 unidades en el secsec-tor 3.
Comparando el vector x(1) con el vector x(0), se obtienen las cifras del incremento de producción de cada sector necesarios para satisfacer el incremento previsto en la demanda final.
AX = X(1) - X(°) =
1291.15
2787.13 3394.29
1000
2200
2700
291.15 587.13
694.29
así, para satisfacer los incrementos previstos de demanda final sectorial de:
Ay = 50
50
80
debe generarse una producción bruta en el sistema de:
AX=
291.15
587.13 694.29
C t rade laf+rd n
Usadas recientemente Todas
Financieras Fecha y hora
A+taren7atrc ;.< tttgCiPruRtcfpfC?
Estadísticas Búsqueda y referencia Base de datos Texto lógicas
MM11LT(matrizi;matrtz2
raaassss.^á^®áb^ pi 3 ;
Devuelve elprc^Jicto mstricial de cas r:4Erae, une rr t que M-Irill j'cclun gje Matra2,
con el rAi%mo rúner de filas
cancela
figura 30
^!13^tvr Ese
e de lafuntió?
LOG LOG10 M.C.D M,C,M MDETERM MINVERSA
f^V-'p ILT MRound
Multinomial MULTINOMIAL
r 1-gil-I(N1 4 1 l
^^^r. ^Yn^• t
Cn nieire e. [r„áxto rn e s d± d'ri T *Ka ., &r., .x.&r. y e rr.-.n.. rei ..so ie rUas o t htr-ti i rrlnr.gs qn Mr-r* .
Ikfi4 ñ1#
Cálculo del incremento en la producción bruta con EXCEL
En nuestro ejemplo, una vez que hemos calculado la matriz inversa de Leontief, es posible ahora, calcular incrementos en la producción bruta. En EXCEL este procedimiento se puede realizar como se describe a continuación:
1) Se calcula el producto de la matriz inversa de Leontief, (I-A)-1, por la matriz de demanda final (y). Es decir, el producto (I-A)-1 (y), esto per-mite probar que la matriz inversa de Leontief por la demanda final es igual a la producción bruta.
El producto de matrices se obtiene en forma automática pul-sando el icono fx y seleccionando las opciones [Matemáticas y tri-gonométricas] [MMULT], como se muestra en la figura 30.
Enseguida aparece una ventana de proceso (ver figura 31), en ésta se capturan los valores de las matrices 1 y 2, es decir las matrices (i-A)-1 e "y" . La captura se hace directamente al seleccio-nar con el ratón el área de las matrices ; por ejemplo para (I-A)-1 es J27:L29 y para "y" es N27 : N29, ver figuras 31 y 32.
2) Se calcula la producción bruta con incrementos en la demanda final. En este paso se multiplica la matriz inversa de Leontief por la demanda incrementada utilizando la función MMULT. El resultado de este paso se muestra en la figura 33.
3) El incremento en la producción bruta para satisfacer la variación de la demanda final se obtiene mediante la diferencia de Pl-PO como se muestra en la figura 34. Estos últimos cálculos se obtienen mediante la construcción de fórmulas directamente en la hoja electrónica.
inve rsa d ejI_AI-Ay-1 Y Producto de (I-A) 1 por Y
(Demanda Bnap
2.5W 1,416 1.150 100 1000
11' 3.532 4. 116 2 559 200 2200
3857 27:
I
T
_
_
T
figura 32
11
-9
"Inversa de (I-A) (I-A)t1 Y j Producto de (I-A) -i por
(Demanda flnap T
2.566 1.416 1.150 100 1000
3.532 4.116 2.559 200 2200
2 3.857 3.857 3.857 400 2700
,1 i -
-Yo Incremento Y1 Producto de ((I-AYL1)(Y1)
100 50 150 129115
200 50 250 2787 13
400 80 480 h 3394 29.
-- r.^ ^...v.oe (z]if1 ^ ^EY"dY^raaáxN rea ^._
I4k aault Eacd
Demanda final Incremento Y1
50 150
250 480
a
Producción bruta Incremento P1
291.15 1291.15
587.13 2787.13
694.29 3394.29
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