miercoles 3agosto matematica2016-II

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(1)Matemática. Examen de admisión. 2016-II. Solucionario UNI. PREGUNTA N.o 1. Caso 2: a > 1. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 1 I. Si a > 0, entonces existe n0 ∈ N tal que a > . n0. Es evidente, ya que si n0 ∈ N, entonces. 1 ≤ 1. n0. II. Verdadera Por densidad de los racionales, entre dos números racionales existen infinitos números, de los cuales al menos uno será irracional.. II. Para cada a, b ∈ Q con a < b, existe c ∉ Q tal que a < c < b. III. Todo número irracional puede ser aproximado III. Verdadera por números racionales. ACADEMIA De la proposición anterior, cada irracional se puede acotar entre dos racionales; por lo cual se A) VVV B) VFF C) FVV puede aproximar a ellos por defecto o exceso. D) FFV E) FFF Ejemplo 5 = 2, 23606798... se puede expresar como Resolución fracción continua simple infinita. Tema: Números racionales 1 5 = 2+ =  2; 4  Se conoce el conjunto de los números naturales 1 4+ 1 N={1; 2; 3; ...} 4+ 4 +. CESAR VALLEJO. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. Análisis y procedimiento I.. Se concluye que. Verdadera. • Si 5 ≈ [ 2; 4 ] = 2 +. 1 Si a > 0, entonces ∃ n0 ∈ N tal que a > . n0. 1 9 = 4 4. • Si 5 ≈ [ 2; 4; 4 ] = 2 +. Caso 1: 0 < a ≤ 1 Ejemplo. 1 4+ 4. =. 38 17. En la recta real. 1 Si a = , entonces n0 ∈ {3; 4; 5; ...} 2 0. 1. 38 17 –∞. 1 1 1 1 1 1 a = > > > > > ... 2 3 4 5 6 . Respuesta: VVV. existen infinitos n0. 1. 0. 9 =2,25 4 +∞ 2,2352... 5.

(2) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 2. Calcule la suma de la media, la moda y la mediana de las calificaciones.. 3 Sean a; b; c ∈ N tales que (ab ) = 1c 8 ab. Entonces. el valor de 2b – a – c es A) 2 B) 3 D) 5 . A) 1,00 B) 4,72 D) 6,72 . C) 4 E) 6. Resolución. Resolución. Tema: Estadística Tenga en cuenta que. Tema: Potenciación Análisis y procedimiento Dado ab 3=1c8ab 3. Medidas de tendencia central. Notación. Media. x. → 1c ≥ a3. 1c 8 ab ab. C) 5,72 E) 8,72. a3 Se observa que a=2. Reemplazamos.. ACADEMIA. 2b3=1c82b 213=9261  243=13 824  253=15 625  263=17 576  293=24 389 . Mediana. Me. Moda. Mo. Análisis y procedimiento Del cuadro podemos indicar lo siguiente:. CESAR VALLEJO. Calificación. N.º de estudiantes. 1. 7. 2. 6. 3. 4. 4. 3. Verificamos por última cifra.. Se observa que b=4 y c=3. ∴ 2b – a – c=8 – 2 – 3=3. CREEMOS EN LA EXIGENCIA5 Total. Respuesta: 3. 5 25. Necesitamos calcular la media, la moda y la mediana de ese conjunto de datos.. PREGUNTA N.o 3 Se escogió un salón de clases de sexto grado con un total de 25 estudiantes y se les pidió a cada estudiante que evaluara un programa televisivo con una calificación de 1 a 5. (5=excelente, 4=bueno, 3=regular, 2=malo, 1=fatal). Los resultados se muestran en la siguiente tabla.. •. x=. 1×7 + 2× 6 + 3 × 4 + 4 × 3 + 5 × 5 = 2, 72 25. • La mediana divide al conjunto de datos, previamente ordenados, en dos partes iguales. . Me=2. 1. 3. 3. 4. 1. 2. 2. 2. 5. 1. • La moda de un conjunto de datos es el valor que se repite con mayor frecuencia.. 4. 5. 1. 5. 3. . 5. 1. 4. 1. 2. ∴ x+Mo+Me=2,72+1+2=5,72. 2. 1. 2. 3. 5. Respuesta: 5,72. 2. Mo=1.

(3) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 4. II. Verdadera. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). Sean a y b los valores reales positivos,. Si mg=mh tenemos que 2ab a+b. 2ab a+b , mg = ab y mh = . 2 a+b Si ma=mg, entonces ma=mg=mh.. . ab =. . ab (a + b ) = 2ab. II. Si mg=mh, entonces ma=mg=mh.. . a + b = 2 ab. III. Si ma ≠ mg, entonces a ≠ b.. . a + b − 2 ab = 0. . (. ma = I.. A) VVF B) VVV D) VFF . C) VFV E) FVV. a − b) = 0 2. →. a− b=0. Resolución. →. a = b (elevando al cuadrado). Tema: Promedios. → a=b Reemplazamos en. Análisis y procedimiento Se sabe que. • ma =. • mg = ab = b × b = b • mh =. Si ma=mg tenemos que. . a+b = ab 2 a + b = 2 ab. . a + b − 2 ab = 0. . (. a+b b+b = =b 2 2. CESAR VALLEJO. 2ab a+b ma = ; mg = ab ; mh = 2 a+b I. Verdadera. . ACADEMIA. 2b 2b × b = =b a+b b+b. Notamos que si mg=mh, entonces ma=mg=mh.. CREEMOS EN LAIII.EXIGENCIA Verdadera. Si ma ≠ mg tenemos que. a − b) = 0 2. . a+b ≠ ab 2. . a + b ≠ 2 ab. → a=b. . a + b − 2 ab ≠ 0. Reemplazamos en a+b b+b • ma = = =b 2 2. . (. →. a− b=0. →. a = b (elevando al cuadrado). • mg = a × b = b × b = b. a − b) ≠ 0 2. →. a− b≠0. →. a≠ b. → a≠b. 2ab 2b × b = =b a×b b+b Notamos que si ma=mg, entonces ma=mg=mh. • mh =. Notamos que si ma ≠ mh, entonces a ≠ b. Respuesta: VVV. 3.

(4) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 5. Análisis y procedimiento Sean los 35 impares consecutivos. Si se cumple ab5 (b −1)5 = c (b − 1) ( 2b + 4 ) ( 2b + 1) determine el valor de a+b+c. A) 8 B) 11 D) 19 . a+1; a+3; a+5; ...; a+69 siendo a par Nos piden en qué cifra termina N si. C) 15 E) 22. N=(a+1)+(a+3)+(a+5)+...+(a+69) – 42 35 impares consecutivos. Resolución. → N=35a+(1+3+5+...+69) – 42. Tema: Teoría de numeración. N=35a+352 – 42 N=35a + ...3 par. Análisis y procedimiento Del enunciado ab5. = c(b – 1) (2b+4) (2b+1). (b – 1) 5. N=...0+...3 ∴ N=...3. b<3. b>1. Analizando se concluye que 1<b<3 → b=2. Respuesta: 3. ACADEMIA PREGUNTA N.o 7 Reemplazando el valor de b en el dato, tenemos que . a2515=c185. CESAR VALLEJO. Sea N un número múltiplo de 6 formado por tres cifras pares. Si N+1 es múltiplo de 7 y N+2 es múltiplo de 8, entonces la suma de las cifras de N es. a×152+2×151+5=c×103+185. 225 a = 1000 c + 150 ...0  9 a = 40c + 6 = ...6 . ↓ 4 14. A) 6 B) 9 D) 18 . CREEMOS EN LAResolución EXIGENCIA. Tema: Teoría de divisibilidad. → c=3 ∴ a+b+c=14+2+3=19. Análisis y procedimiento. Respuesta: 19. Sea N=abc, donde a; b y c son cifras pares. Además:. PREGUNTA N.o 6. o. • abc = 6. Si a la suma de 35 números impares consecutivos se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del resultado final es A) 1 B) 3 D) 7 . C) 12 E) 21. o. o. • abc + 1 = 7 → abc = 7 − 1 o. o. • abc + 2 = 8 → abc = 8 − 2. C) 5 E) 9. Podemos indicar que. Resolución. o. 6. Tema: Operaciones fundamentales Recuerde 1+3+5+7+...+(2n – 1)=n2. abc =. o. 7 −1 o. 8−2. n impares. 4.

(5) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Luego. Luego A=Bq+rd=B(q+1) – re. o. 6+6 o. abc =. 7+6. → Bq + rd = Bq + B − re. o. ∴ rd+re=B. 8+6. II. Falsa Como. o. → abc = MCM (6; 7; 8 )+ 6 o. rd > re o rd < re. rd+re=B. → abc = 168 + 6. o rd = re. → abc=168×K+6; K ∈ Z Para garantizar que a; b y c sean pares, K=5.. entonces re > rd no necesariamente se cumple. Ejemplo. abc=168×5+6=846 Por lo tanto, la suma de cifras de N es. División por defecto. a+b+c=8+4+6=18. División por exceso. 19. Respuesta: 18. 19. 7 2 rd=5. ACADEMIA. 7 3 re=2. CESAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 8. ∴ rd > re. Sean A y B enteros positivos tales que A > B. Al dividir A entre B se obtiene rd residuo por defecto y re residuo por exceso. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. rd+re=A II. re > rd III. MCD(A; B)=MCD(rd, re). III. Verdadera. División por defecto A. División por exceso. B. A. CREEMOS EN LA EXIGENCIA r q. A) FFF B) FVV D) FVF . → A=Bq+rd (I) → A=B(q+1) – re (II). C) FFV E) VVV. Sea MCD(A; B)=n o. Tema: Operaciones fundamentales. A=Bq+rd A=B(q+1) – re . Análisis y procedimiento Falsa Por dato, A y B son enteros positivos; A > B. División por defecto A B rd q → A=Bq+rd. División por exceso A re. o. → A=n ∧ B=n Reemplazamos en (I) y (II).. Resolución. I.. re. d. B q+1. o. o. o. o. o. o. o. o. . n = n (q ) + rd n = n (q + 1) − re. . n = n + rd n = n − re o. o. → rd = n re = n. B q+1. Luego MCD(rd; re)=n ∴ MCD(A; B)=MCD(rd; re). → A=B(q+1) – re. Respuesta: FFV. 5.

(6) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 9. Entonces, Ran(f )=⟨2; +∞⟩. Sea f la función definida por. Hallamos f *.. f( x ). 2x − 1 = ,∀x>1 x −1. Sea y = 2 +. La inversa f * de esta función es A) f *( x ). x −1 = ; x > 1/2 2x − 1. B) f *( x ). x +1 1 = ;x< 2x + 1 2. C) f *( x ). x +1 = ; x > −2 x+2. D) f *( x ). x −1 = ; x < −2 x+2. E) f *( x ). x −1 = ;x>2 x−2. Resolución Tema: Funciones Análisis y procedimiento Nos piden la inversa f * de f( x ). 1 = y−2 x −1 x −1 =. 1 y−2. x = 1+. 1 y−2. x=. ACADEMIA. y −1 y−2. Entonces, f *( x ) =. CESAR VALLEJO. x −1 . x−2. Por lo tanto, la función inversa f * es x −1 f *( x ) = ; x>2 x−2 Respuesta: f *( x ) =. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. 2x − 1 = , x >1 x −1. x −1 ;x>2 x−2. PREGUNTA N.o 10 Halle la matriz A si sabemos que. Damos forma f( x ) = 2 +. 1 x −1. −1 2 1 2   Ax −1 = ( A −1 ) − A −1  , donde x =    3 5. 1 x −1. Hallamos Ran(f )..  1 A)  1  2. De x>1 x–1>0 1 >0 x −1 1 2+ >2 x −1.   −1 D)  − 1  2. f(x). 6. 1 3  1 3 .  1 B)  − 1  2. 1 3  1 3 . 1  1 −  − 3 3  C)  1  1  3 3 .  1   1 − 2 .  1 1  − 2 3  E)    1 − 1  3 .

(7) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Resolución. PREGUNTA N.o 11. Tema: Matrices. Sea D={(x; y) ∈ R2/x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≥ 2, x+y ≤ 4} Si a < 0 y b > 0, determine la solución del problema Máx ax + by  s.a. ( x; y ) ∈ D. Análisis y procedimiento Tenemos 2   Ax −1 = ( A −1 ) − A −1 . −1. 1 2 ;x=   3 5. Aplicando inversa tenemos. (. ( Ax −1 )−1 = ( A −1 ) 2 − A −1 . A) (0; 0) B) (0; 2) D) (2; 0) . ). −1 −1. Resolución Tema: Programación lineal. 2. → xA −1 = ( A −1 ) − A −1 xA −1 ⋅ A =. (( A −1 )2 − A −1 ) A. CESAR VALLEJO. Nos piden máx ax+by; a < 0 ∧ b > 0. → A – 1=x+I. De. Aplicamos inversa. A=(x+I) – 1  2 2 → A=   3 6 A −1 =. ∴ A. x + y ≥ 2  D = x + y ≤ 4  x ≥ 0; y ≥ 0 . ACADEMIA. x=A – 1 – I. −1. Análisis y procedimiento Reordenamos. ×A. Luego. C) (0; 4) E) (4; 0). Graficamos la región factible.. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. −1. Y. 1  6 −2 6  −3 2 . 4 2. 1   1 − 3 =  − 1 1   2 3 . Respuesta: A. x+y ≥ 2 → y ≥ 2 – x x+y ≤ 4 → y ≤ 4 – x. −1.   1 = − 1  2. D 2. 4. X. Sea f(x; y)=ax+by Como piden máxf(x; y), evaluamos en los extremos de D. 1 −  3  1  3 . f(2; 0)=2a f(4; 0)=4a f(0; 4)=4b f(0; 2)=2b. 7.

(8) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Como a < 0 ∧ b > 0. Luego. → máxf(x; y)=4b. ( B −1 · B. Por lo tanto, la solución del problema es (0; 4).. (I. Respuesta: (0; 4). PREGUNTA N.o 12.  B −1b  B)    Bx N . ).  xB  B −1 N  = B −1 · b  x N . ). I · x B + B −1 N · x N = B −1 · b. Sea A una matriz de orden 3×5 y B una submatriz cuadrada A de orden 3 tal que A=(B N) donde N es de orden 3×2 y B – 1 existe. Correspondientemente, en el sistema Ax=b, x se descompone como  xB  x= . Entonces una solución del sistema es  x N   B −1b  A)    Nx B .  xB  B −1 N  = B −1 · b  x N . Una solución es I · xB+B – 1N · xN=B–1 · b+0. ACADEMIA.  Bb  C)    Nb . xB=B –1 · b ∧ xN=0. CESAR VALLEJO Luego.  B −1b  D)    0 . Resolución. (B − I ) b  E)    0.  x B   B −1b  x= =   x N   0 . CREEMOS EN LA EXIGENCIA  B −1b . Tema: Sistema de ecuaciones. Respuesta:    0 . Análisis y procedimiento Tenemos que Ax=b.. PREGUNTA N.o 13 Tres números x, y, z forman una progresión geométrica creciente que cumplen: x+y+z=21 x · y · z=216 Determine la razón de la progresión dada.. x  (B N )  B  = b xN  Multiplicamos por B – 1 por la izquierda.  xB  B −1 · ( B N )  = B −1 · b  x N . A) B) C) D) E). En una matriz aumentada (B N) se cumple que M · (B N)=(M · B M · N). 8. 3/2 2 5/2 3 7/3.

(9) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Resolución. Resolución. Tema: Sistema de ecuaciones no lineales. Tema: Funciones. Análisis y procedimiento Se tiene lo siguiente: x+y+z=21 (I) xyz=216 (II). Análisis y procedimiento Nos piden el número de soluciones reales de la ecuación. senx = L n x − π. Por dato: x, y, z forman una PG.. f(x). g(x). Graficamos las funciones.. Sea q la razón geométrica. x; y=qx, z=xq2=xqq. Y g(x). Reemplazando en (II) obtenemos. 3. (qx) =216. f(x). qx=6 → x=. 6 , y = 6, z = 6q q. ACADEMIA. CESAR VALLEJO. π –1 π. π+1. 2π. X. Reemplazando en (I) obtenemos. 6 + 6 + 6q = 21 q 6 + 6q = 15 q. Observamos 4 cortes en el gráfico. Por lo tanto, la ecuación tiene 4 soluciones. Respuesta: 4. 2q2 – 5q+2=0. CREEMOS EN LA EXIGENCIA PREGUNTA N.o 15. (2q – 1)(q – 2)=0 → q=2 ∨ q =. Dada una proposición x, se define f como sigue: 1, si x es una proposición verdadera. f( x ) =  0, si x es una proposicción falsa.. 1 2. Por lo tanto, como la progresión es creciente, q=2.. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.. Respuesta: 2. I.. PREGUNTA N.o 14. III. f(p → q)=1+f(q) – f(p). Determine el número de soluciones reales de la ecuación sen(x) = Ln x − π A) 1 B) 2 D) 4 . f(p ∧ q)=f(p) · f(q). II. f(~ p)=1 – f(p). A) B) C) D) E). C) 3 E) 5. 9. solo I solo II I y II I y III II y III.

(10) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Resolución. . =1 – f(p) · f(∼ q) =1 – f(p)[1 – f(q)] ∴ f(p → q)=1 – f(p)+f(p) · f(q). Tema: Funciones Análisis y procedimiento I.. Respuesta: I y II. Verdadera Por tabla de verdad se conoce. PREGUNTA N.o 16 p. q. p∧q. V. V. V. → f(p)=1; f(q)=1; f(p ∧ q)=1 → f(p ∧ q)=f(p) · f(q). F. → f(p)=1; f(q)=0; f(p ∧ q)=0 → f(p ∧ q)=f(p) · f(q). V. F. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I.. Si 0 < a < b < c, entonces 2. 2. c−a c−b > . ac bc. 2. II. a − b ≤ a + b + 2 a b III. a + b + c ≥ a + b + c. A) VVV B) VVF C) VFF → f(p)=0; f(q)=1; D) FFV E) FFF F V F f(p ∧ q)=0 ACADEMIA → f(p ∧ q)=f(p) · f(q) Resolución → f(p)=0; f(q)=0; Tema: Desigualdades F F F f(p ∧ q)=0 Análisis y procedimiento → f(p ∧ q)=f(p) · f(q) I. Verdadera Tenemos que ∴ f(p ∧ q)=f(p) · f(q) 0 < a < b < c → cb > ca → cb – ab > ca – ab. CESAR VALLEJO. CREEMOS EN LA EXIGENCIA b (c − a ). II. Verdadera. →. Por tabla de verdad se conoce. abc. >. a (c − b ) c−a c−b → > abc ac bc. II. Verdadera. p. ∼p. V. F. → f(p)=1; f(∼ p)=0 → f(∼ p)=1– f(p). F. V. → f(p)=0; f(∼ p)=1 → f(∼ p)=1– f(p). Sabemos que |a|+| –b| ≥ |a+( – b)| ↔ |a|+|b| ≥ |a – b| 2. ↔ |a – b| ≤ |a|+|b| ↔ ( a − b ) ≤ ( a + b ) ↔ |a – b|2 ≤ |a|2+|b|2+2|a||b| III. Falsa Sabemos que. ∴ f(∼ p)=1 – f(p). |a|+|b| ≥ |a+b|. III. Falsa Tenemos que p → q ≡ ∼ p ∨ q ≡ ∼(p ∧ ∼ q) f(p → q)=f [∼(p ∧ ∼q] =1 – f(p ∧ ∼ q). → |a|+|b|+|c| ≥ |a+b|+|c| ≥ |a+b+c| → |a|+|b|+|c| ≥ |a+b+c| Respuesta: VVF. 10. 2.

(11) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 17 3. 3. PREGUNTA N.o 18. 3. Si a+b+c=1 y a +b +c =4, entonces el valor de 1 1 1 es M= + + a + bc b + ac c + ab A) – 2 B) – 1 D) 1 . Al dividir un polinomio P=P(x) de grado 3 entre (x+2) se obtiene un polinomio cociente Q=Q(x) y un resto de grado 1. Si se sabe que P(0)=– 1, P(– 2)=– 5 y Q(0)=1, halle la expresión del resto.. C) 0 E) 2. A) x+3 B) x+1 D) x – 3 . Resolución Tema: Productos notables. Resolución. Análisis y procedimiento Se conoce que 3 ( ) 3 = a3 a +b c + + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) b +. Tema: División de polinomios. 1. 4. C) x – 1 E) 2x – 1. Análisis y procedimiento Dato:. → (a+b)(b+c)(c+a)=– 1. x+2 mx + n Q(x) P( x ). Residuo de grado 1. Analizamos. 1 ACADEMIA a + bc = a ⋅ 1 + b ⋅ c = a (a + b + c) + b ⋅ c = además, P(0)=– 1; P(– 2)=– 5 y Q(0)=1. a2+ab+ac+bc Por la identidad fundamental tenemos → a+bc=(a+b)(a+c) P(x)=(x+2)Q(x)+mx+n. Análogamente • b+ac=(b+a)(b+c) • c+ab=(c+a)(c+b) Luego M=. CESAR VALLEJO. x=– 2: P(– 2)=– 2m+n=– 5 x=0: P(0)=2 · Q(0)+m· 0+n=– 1 como – 2m+n=– 5 → m=1. 1 1 1 + + a + bc b + ac c + ab. Por lo tanto, el resto de la división es x – 3.. 1 1 → M= + + (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) +. M=. Respuesta: x – 3. 1 (c + a)(c + b). PREGUNTA N.o 19. (b + c) + (c + a) + (a + b) 2(a + b + c) = (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(b + c)(c + a). M=. → n=– 3. 2+n=– 1 CREEMOS EN LA EXIGENCIA. Sea x tal que |x| < 1. Calcule, en función de x, el valor de la suma S=2+4x+6x2+8x3+10x4+.... 2(1) −1. A). ∴ M=– 2. D). Respuesta: – 2. 11. 1 1− x 2 2. x − x +1. B). 2 x −1. . C) E). 2 2. x − 2x + 1 2 2. x + x +1.

(12) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Resolución. C) Y. Tema: Series Análisis y procedimiento Dato: |x| < 1. 0. Nos piden el valor de la suma 2. 3. X. D) Y 4. S=2+4x+6x +8x +10x +... – xS=2x+4x2+6x3+8x4+10x5+.... 0. X. S – xS=2+2x+2x2+2x3+2x4+... (1 − x)S = S=. ∴ S=. 2 1− x. E). 2. 0. (1 − x)2. 1. 2. X. ACADEMIA Resolución. 2. CESAR VALLEJO. Tema: Funciones. 2. x − 2x + 1. Respuesta:. Y. 2 2. x − 2x + 1. PREGUNTA N.o 20. Análisis y procedimiento Nos piden la gráfica de f( x ) g( x ) = ; x > 0. x( x − 1)( x + 1, 5)2 3. f(x)=2kx +4kx CREEMOS EN LADato: EXIGENCIA. Por dato sabemos que f(– 1)=– 2. f(– 1)=– 2k+4k+3 – 9=– 2 → k=2. A) Y. Luego f(x)=4x3+8x2 – 3x – 9. 0. Factorizamos. X. f(x)=4(x – 1)(x+1,5)2. B) Y. 0. 2. – 3x – 9, además, el punto (– 1; – 2) pertenece a la gráfica de la función f(x).. El punto (– 1; – 2) pertenece a la gráfica de la función polinómica f(x)=2kx3+4kx2 – 3x – 9. Si f( x ) g( x ) = , ¿cuál de las siguientes x( x − 1)( x + 1, 5)2 gráficas corresponde a g para x > 0?. Por otro lado, g( x ) =. 1. → g( x ) =. 2 X. 12. 4( x − 1)( x + 1, 5)2 x( x − 1)( x + 1, 5)2. 4 ; x > 0; x ≠ 1 x. ;x>0.

(13) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática. Análisis y procedimiento. Cuya gráfica es Y 4. L. 0 1. X. r. 2R. R R. Nota La gráfica que más se aproxima es. 2R. Nos piden R/r.. Y. Dato: Vcono=Vcubo →. 0. Respuesta:. 2R. X. En el cono (que no menciona si es recto) se aplica semejanza de triángulos.. Y. R L = r L− R. ACADEMIA. 0. X. PREGUNTA N.o 21. πR 2 L ( ) 3 πL = 2R → R = 3 24. CESAR VALLEJO R L = r L − πL 24 24 R = ∴ r 24 − π →. El volumen de un cono de base circular de radio R y altura L es igual al volumen de un cubo de arista 2R. R Calcule , donde r es el radio de la circunferencia r menor del tronco de cono de altura R, obtenido del cono de base circular.. 24. CREEMOS EN LARespuesta: EXIGENCIA 24 − π. A). 64 64 − π. D). 12 12 − π. B). 32 32 − π. C). 24 24 − π. E). 6 6−π. PREGUNTA N.o 22 Halle el volumen del sólido que se genera al girar la figura sombreada alrededor del eje diametral CD  = 120º , r = 23 6 y AD = r . si mBC 4 C. Resolución. r. Tema: Tronco de cono. r. Volumen de un cono h R. B. πR 2h V= 3. A D. A) 43p B) 37p D) 30p . 13. C) 32p E) 25p.

(14) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Resolución. PREGUNTA N.o 23. Tema: Teorema de Pappus-Guldin. En la figura, AB=10 cm, BD=AC, DC=3 cm. Halle AP×PD.. Análisis y procedimiento B. Del gráfico. 2x C. Dato: 3. 120º. r=2 6. r. r. 3. A. 120º r. B. A r/4 D. 4. D. C C) 21,00 E) 49,00. ACADEMIA Resolución. CESAR VALLEJO. Tema: Congruencia de triángulos 0Análisis y procedimiento Del gráfico. Nos piden VSól · G. VSól · G=Vesfera – VSól · G BCA. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. 4 VSól · G= πr 3 − 2π xA 3 VSól · G=. P. A) 12,25 B) 20,25 D) 25,00 . 3r. r 3/2. 5x. 8x. . 4 3 1 (r 3 )  7r  r 3 1 πr − 2π ×  × 4 2 3 3 2 2. B 3x a. n. 8x. 5x S. 4 7  VSól · G=  −  πr 3  3 16 . 2x. A b. P.  10x 5x D b C n. Nos piden (AP)(PD).. 3 VSól · G=  64 − 21  π ( 23 6 ) = 43 π  48 . Datos: a=10; b=3 Se prolonga DA hasta S, de modo que BS=BC=.. Respuesta: 43p. 14.

(15) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Se nota que SD=BD=n y como AC=n. Resolución Tema: Cilindro. → SA=DC=b.. Análisis y procedimiento. De lo cual tenemos que. Nos piden vtronco.. AB=BD a=n → AP = PD =. 10 − 3 = 3, 5 2. B. ∴ (AP)(PD)=12,25 4. Respuesta: 12,25. C 1. r. Observación. 1. El problema es ABSURDO, ya que se encuentra que x=10º, a 10 por lo cual ≠ . ACADEMIA b 3. PREGUNTA N.o 24. 1. D. 4. CESAR VALLEJO. A. En la figura, el tronco de cilindro cuyas bases tienen áreas iguales y los planos que las contienen son perpendiculares; AB=8 u, CD=2 u. Halle el volumen de tronco de cilindro (en u3).. La igualdad de áreas de las bases permite aprovechar la simetría.. CREEMOS EN LA EXIGENCIA r=3/2 u. B 8 + 2  3 π  2   2. C 8. 2. ∴ Vtronco=22,5p u3. D. Observación. A A) 11,25p. 2. Vtronco =  . Para que haya solución, se asume que la sección recta es circular.. B) 22,5p. D) 90p . C) 45p. Respuesta: 22,5p. E) 180p. 15.

(16) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 25. PREGUNTA N.o 26. En un trapecio ABCD (AD // BC), las bisectrices exteriores de A y B se intersecan en P y las bisectrices exteriores de C y D se intersecan en Q. Si AD+BC=AB+CD=10 cm, entonces PQ en cm es. En la figura, mS AOC=120º. Halle el menor valor entero de x.. A) B) C) D) E). 2x – 4y. 8 10 12 14 16. x+3y O. C) 36º E) 38º. Resolución Tema: Ángulos. Tema: Cuadrilátero Análisis y procedimiento Por dato a+b=m+n=10. β. A. a. β m 2. θ m M 2 m θ 2 θ B. ACADEMIA. Análisis y procedimiento Nos piden xmenor Z.. CESAR VALLEJO. B. C. Nos piden PQ.. D. n 2 a+b 2 b. 2x – 4y x+3y O. A. Por dato. γ CREEMOS EN LA EXIGENCIA γ mSCOA=120º=3x – y → y=3x – 120º (I). n α N n 2 2 α α C. Q. Consideramos la expresión que contiene algún signo negativo para garantizar que dicho ángulo exista. 2x – 4y < 120º x – 2y < 60º (II) Reemplazamos (I) en (II).. Al trazar las medianas PM y QN se puede verificar que P, M, N y Q son colineales. ∴ PQ =. A. A) 34º B) 35º D) 37º . Resolución. P. B. C. x – 2(3x – 120º) < 60º . 180º < 5x. 36º < x. m n a b + + + = 10 2 2 2 2. ∴ xmenor Z=37º. Respuesta: 10. Respuesta: 37º. 16.

(17) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 27. PREGUNTA N.o 28. La base de un prisma recto es un hexágono regular de 2 m de lado. Si la arista lateral mide 6 3 m, halle el volumen (en m3) del prisma.. Dado el gráfico siguiente, se muestra una circunferencia. Determine la relación correcta.. A) B) C) D) E). B β. A. 72 96 108 136 154. C x. D. F. α E. Resolución A) x=a+b+90º. Tema: Prisma. B) 90º+x=a+b Análisis y procedimiento. C) a+b+180º=x D) a+x=b+180º. ACADEMIA. Nos piden V.. CESAR VALLEJO. E) 180º+x=a+b. Resolución. Tema: Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Análisis y procedimiento Nos piden una relación entre x; a y b.. 6 3. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. 2. 2. 2. A. Sabemos que. B β. Q. V = ( A base ) (altura ) (*). C. α. x β. D α.  22 3  → a base = 6  =6 3  4 . M. F. N. E ABCF está inscrito → mSCFN=mS ABC=b DCFE está inscrito → mS MCF=mS DEF=a. En (*). V = 6 3 × 6 3 = 108. ∴. Respuesta: 108. QCF: a+b=180º+x. Respuesta: 180º+x=a+b. 17.

(18) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 29. Del dato. (m 2 ) 2 = ( 2 m) (OQ). En una pirámide regular O-ABCD, la longitud de la distancia trazada de B a OD es 4 2 u y las regiones AOC y ABCD tienen igual área. Determine el volumen de la pirámide en (u3).. A). 20 10 3. B). 32 10 3. C). 40 10 3. 2. Como → θ=. → QO = 2m. BOQ es notable de. 53º 2. 53º 2. Como. BHO es notable de 53º. → BO = 5 2 Luego. D) 15 10 . m 5 = 5 2 → m = 10. E) 23 10. V=. ACADEMIA. CESAR VALLEJO. Resolución. ∴ V=. Tema: Pirámide Análisis y procedimiento. ABCD=A. En un triángulo isósceles ABC (AC ≅ BC) se traza por el vértice A un plano de modo que dista de C una longitud n unidades y de B una longitud 2n unidades. Si el segmento AB determina un ángulo de 45º con el plano y la proyección de CB sobre el plano mide 2n unidades. Calcule el área de la proyección del triángulo ABC sobre el plano.. BOD. 1 ( A base ) (altura ) 3 O θθ m 5. m. 53º H. m. m 2. Q. A) n 2 2 B) n 2 3. 4 2. B. A. 40 10 3. CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA N.o 30. Por dato. V=. 40 10 3. Respuesta:. Nos piden V.. A. 1 (m 2 ) 2 ( 2m) = 4 m3 3 3. m m. C) 2n 2 3. C. D) 3n 2 2 . m 2 D. E) 4 n 2 3. 18.

(19) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Resolución. PREGUNTA N.o 31. Tema: Geometría del espacio. Se consideran un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABE con E encima del plano del cuadrado. Halle el ángulo formado por el triángulo ABE y el cuadrado ABCD, si las áreas de los triángulos AEB y DCE están en la relación 3 .. Análisis y procedimiento Nos piden A. APQ. (área de la proyección de la región ABC sobre el plano P).. A) B) C) D) E). Datos CP=n, BQ=2n, mS BAQ=45º y PQ=2n. 15º 22º 30’ 30º 37º 60º. B. Resolución. . n 2n. L n. 2n. Q 2n 45º. A. P. Tema: Geometría del espacio. C. . ACADEMIA n. Análisis y procedimiento. CESAR VALLEJO. BQA: BQ=QA → QA=2n. P. Nos piden mS ENM=x. 2n. Datos:. A. CREEMOS EN LA. EBA. = 3y. A CED EXIGENCIA. EBA es equilátero.. Trazamos E. CL ⊥ BQ → CP=LQ=n Entonces BLC ≅ CPA. → AP=2n. Luego, se observa que. A ∴ A. APQ =. APQ =. ( 2n). 2. a. APQ es equilátero.. 3. a. 4. D. M. a 3 C. a. A. 2a. n2 3 Sea. Respuesta: n. 2. AB = 2a →. 3. 19. x. 2a. EN = a 3. a. N. a. B.

(20) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Como. Si T es punto de tangencia, entonces. A. EBA. A. CED. = 3 →. Se observa que el. EM = a. x = nm. MEN es notable de 30º y 60º.. Análisis y procedimiento Nos piden. ∴ x=30º. PM=a.. Respuesta: 30º. Por datos PM+QN=10. PREGUNTA N.o 32. RT=4. ABC es un triángulo circunscrito a una circunferencia,. PM > QN. la cual es tangente a los lados del triángulo en los puntos P, Q y R (P ∈ AB, Q ∈ BC y R ∈ AC). M ∈ AR. B. ACADEMIA. con PM ⊥ AC, N ∈ RC con QN ⊥ AC, T ∈ PQ con. CESAR VALLEJO. RT ⊥ PQ y PM > QN. Si RT=4 u y PM+QN=10 u,. P. T. entonces la longitud de PM (en u) es A) B) C) D) E). 6 13/2 7 15/2 8. A CREEMOS EN LA EXIGENCIA. a. M. 4. R. Q. b N. Del dato tenemos que a+b=10 (I). Resolución Tema: Semejanza Recuerde Teorema de Pappus. Por el teorema de Pappus ab = 4 → ab = 16 (II) De (I) y (II). A. a=8 ∧ b=2 n. M. B x T. ∴ PM=8. m N. Respuesta: 8. 20. C.

(21) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 33. Analizamos en la C.T.. Determine el conjunto A, definido por   π A =  x ∈ − ;  2 . A). D). 0;. Y.  π cos( x) − cos(3 x) < sen(2 x)  2 . p 6. B). π − ;0 2. p p ; 6 2. C). E). π 2. π π − ; 4 6 π π − ; 4 4 –. Resolución Tema: Inecuaciones trigonométricas Análisis y procedimiento. x. 1 2 senx. 0. 0 X. π 2. Del gráfico. ACADEMIA. Dato:. π 6. x ∈ 0;. π 6. CESAR VALLEJO π 6.    π π A =  x ∈  − ;  cos( x) − cos(3 x) < sen(2 x)  2 2  . ∴ A = 0;. Resolvemos la inecuación.. Respuesta: 0;. p 6.  π π cos x − cos 3 x < sen 2 x; x ∈  − ;   2 2 → − 2 sen 2 x sen(− x) < sen 2 x. CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA N.o 34 De un disco de cartulina de radio R=4 cm, se corta un sector circular de ángulo central q. Con la parte restante del disco, uniendo los bordes cortados se forma un cono. Si el ángulo en el vértice del cono construido mide 60º, determine cuánto mide el ángulo q.. sen 2 x(2 sen x − 1) < 0 2 sen x cos x (2 sen x − 1) < 0 +. → sen x (2 sen x − 1) < 0; cos x ≠ 0. A) 90º B) 115º D) 135º . Por el método de los puntos críticos, tenemos + –∞. – 0. Resolución Tema: Longitud de arco de circunferencia En un sector circular, se cumple. + 1 2. C) 120º E) 180º. +∞. r θrad r. 1 → 0 < sen x < 2. 21. . =q · r.

(22) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Análisis y procedimiento Nos piden la medida del ángulo q.. Focos: F1(h; k – c); F2(h; k+c) Y. Del enunciado. F2. B. . 60º. 2π – θ 4 cm 4 cm θ. A. R. C(h; k). g=4 cm. g=4 cm O. F1. C.  Análisis y procedimiento Del dato. =(2p – q)4 =2pR ABC equilátero → 2R=g=4 cm → R=2. 4x2+y2 – 8x+4y=8 Al agrupar términos tenemos. De los gráficos tenemos. =4(2p – q)=2pR. 4(x – 1)2+(y+2)2=16. ACADEMIA. Al reemplazar R=2, tenemos ∴ q=prad < >180º. CESAR VALLEJO →. ( x − 1)2 (y + 2)2 + =1 4 16. De la ecuación anterior se tiene una elipse de centro (1; – 2) y el eje focal paralelo al eje Y, donde. Respuesta: 180º. • a2=16 → a=4. PREGUNTA N.o 35. CREEMOS EN LA• EXIGENCIA b2=4 → b=2. Determine las coordenadas del foco de coordenadas positivas de la elipse 4x2+y2 – 8x+4y=8.. • c2=a2 – b2 → c2=16 – 4 → c=2 3. A) (1; − 2 − 2 3 ). Y. B) (1; − 2 + 2 3 ) C) (1; 2 + 2 3 ). F2. E) (1; 4 + 2 3 ). C(1; –2). D) (1; 4 − 2 3 ). X. F1. Resolución Tema: Elipse Ecuación de la elipse con centro en C(h; k) y eje focal paralelo al eje Y ( x − h)2 b. X. 2. +. (y − k)2 a2. F1 (1; − 2 − 2 3 ). F2 (1; − 2 + 2 3 ). Por lo tanto, el foco de coordenadas positivas es F2 (1; − 2 + 2 3 ). =1. Respuesta: (1; − 2 + 2 3 ). 22.

(23) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 36. Caso 2. El área de un sector circular cuyo ángulo central mide 60º es de 24p cm2. Si triplicamos el radio de dicho sector y disminuimos b radianes a su ángulo central, el área del nuevo sector disminuye un cuarto del anterior. ¿Cuál es el valor, en radianes, de b? A). 9 p 34. D). 12 p 36. 10 p 35. B). C). 11 p 36. E). 13 p 37. 3(1. 3r=. 3r=. 36. 1π π π  2 2 −β =  − β  (36 cm) = 18 π cm → 23 3 36 ∴ β=. ACADEMIA. A. r. . Análisis y procedimiento Del enunciado. 11π 36. Respuesta:. 11 p 36. CESAR VALLEJO. A=. 1 2 θr 2. PREGUNTA N.o 37 En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado, el punto M corresponde a un ángulo en posición normal q. Calcule el área de la región sombreada (en u2).. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. Y. Caso 1 r. O. 2. A=24π cm 60º <>. cm. A1=18p cm2. Tema: Área de un sector circular. θrad. A1=18π cm2. π – β rad 3. Resolución. r. 6 cm. =3. ) 2 cm. π rad 3. M. r Dato:. A=24p cm2 1 π 2 · · r = 24 π cm 2 2 3. A). 1 ( 2π − θ + sen(θ)) 2. B). 1 ( 2π − θ + cos(θ)) 2. C). 1 ( 2π + θ + sen(θ)) 2. D) 2π − θ + sen(θ) E) 2π − θ + cos(θ). r=12 cm. 23. A X.

(24) UNI 2016-II. Academia CÉSAR VALLEJO. Resolución. • Q=cot(760º) · sen(450º). Tema: Circunferencia trigonométrica. Q=cot(720º+40º) · 1 → Q=cot40º. Análisis y procedimiento Nos piden el área S sombreada.. • R=tan(1125º) · sec(720º) R=tan(1080º+45º) · 1 → R=tan45º=1. Y Y O 1 θ. S = SO. A. ∴ S=. A. cot40º. 40º tan40º. S M – SO. ( 2π − θ) ⋅ 1 2 2. 1. X. X A. M. M. S=. C.T.. 1 2π – θ. 1 ⋅ 1 ⋅ sen ( 2π − θ) − 2. 1 ( 2π − θ + sen θ) 2. ACADEMIA. CESAR VALLEJO. cot40º > 1 > tan40º. ∴ Q>R>P. Respuesta: Q > R > P. 1 Respuesta: ( 2π − θ + sen (θ)) 2. PREGUNTA N.o 38. Se cumple que. PREGUNTA N.o 39. CREEMOS EN LA EXIGENCIA π 7π Sea f:. Dados P=tan(400º)+cos(810º) Q=cot(760º) · sen(450º) R=tan(1125º) · sec(720º) indique la alternativa correcta.. 6. ;. 6. → R definida por. x  f ( x) = 2 ·cos 2  − x  + 4 ·cos( x). 2  Determine el rango de f.  3 A)  − 4; 2 . A) P > Q > R B) P > R > Q C) Q > P > R D) Q > R > P E) P = Q = R.  1+ 4 3 B)  − 4; 2 . Resolución Tema: Reducción al primer cuadrante.  1+ 2 3 C)  − 4; 2 . Análisis y procedimiento Datos: • P=tan(400º)+cos(810º) P=tan(360º+40º)+cos(720º+90º) P=tan40º+cos90º → P=tan40º. D) [ − 2;. 3. E) [ − 2; 2 3. 24.

(25) UNI 2016-II. Solucionario de Matemática Resolución. − 4 ≤ f ( x) <. Tema: Funciones trigonométricas directas. 1+ 4 3 2. Análisis y procedimiento Nos piden el Ranf..  1+ 4 3 ∴ Ranf =  − 4; 2 . Dato:.  1+ 4 3 Respuesta:  − 4; 2 . π 7π π  f ( x) = 2 cos 2  − x  + 4 cos x; < x < 2  6 6 f ( x) = 2 sen 2 x + 4 cos x. PREGUNTA N.o 40. f ( x) = 2 (1 − cos 2 x ) + 4 cos x = 2 − 2 cos 2 x + 4 cos x. Si tan( x) + cot( x) = calcule M2.. Completamos cuadrados. f ( x) = 4 − 2 (cos x − 1)2. sen(45 + x) 5 y M= , sen(135 + x) 2. A) 2 B) 9 D) 25 . C) 16 E) 36. Analizamos en la circunferencia trigonométrica.. ACADEMIA Resolución. Y. Tema: Identidades trigonométricas Por identidades trigonométricas del ángulo doble se cumple que tanq+cotq=2csc2q.. CESAR VALLEJO π 6. x. Análisis y procedimiento Por dato 4 5 5 tan x + cot x = → 2 csc 2 x = → sen 2 x = 5 2 2. X. 7π 6. CREEMOS EN LA EXIGENCIA 2 Nos piden M .. cosx. –1. 3 2. M=. Del gráfico −1 ≤ cos x <. 2( cos x + sen x ) cos x + sen x → M= 2 = cos x − sen x 2( cos x − sen x ) 2. 3 2. − 2 ≤ cos x − 1 <. 3−2 2. Elevamos al cuadrado.. 7−4 3 4 ≥ (cos x − 1) > 4. 4 + 1 + sen 2 x 1 5 M = = 4 1 − sen 2 x 1− 5. 2. − 8 ≤ − 2(cos x − 1)2 <. sen(45º + x) sen 45º cos x + cos 45º sen x = sen(135º + x) sen 135º cos x + cos 135º sen x. 2. 4 3 −7 2. ∴ M2 = 9. 1+ 4 3 − 4 ≤ − 2(cos x − 1) + 4 < 2 2. Respuesta: 9. 25.

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