Breve Tutorial de Geogebra
Geometr´ıa anal´ıtica I
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias
UNAM
Breve Tutorial Geogebra
Geometr´ıa Anal´ıtica I
Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Como breve tutorial del programa GeoGebra, vamos a justificar la construcci´
on siguiente:
Como se ve, esta construcci´
on es posible en tri´
angulos rect´
angulos cuya hipotenusa es
igual el doble de cateto m´
as peque˜
no. Los tri´
angulos construidos sobre cada lado del
tri´
angulo rect´
angulo, son equil´
ateros.
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Geometr´ıa Anal´ıtica I
Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema
La suma de los ´
angulos internos de un tri´
angulo es
180
◦.
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Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema
Los ´
angulos internos de un tri´
angulo equil´
atero son iguales a
60
◦.
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Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema
En un tri´
angulo equil´
atero, el incentro, el baricentro, el circuncentro y el
orto-centro coinciden en un mismo punto.
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Geometr´ıa Anal´ıtica I
¡Una sorpresa!
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¡Una sorpresa!
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Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema :
Pons Asinorum
-
Puente de Asnos
Los lados opuestos a los lados iguales de un tri´
angulo is´
oceles son iguales.
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Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema : (El otro teorema de Thales)
Si
A,
B
y
C
son puntos en una circunferencia, tal que el segmento
AC
es un
di´
ametro, entonces el ´
angulo
∠
ABC
es recto.
Demostraci´
on
α
+ (
α
+
β
) +
β
= 180
◦2(
α
+
β
) = 180
◦α
+
β
= 90
◦.
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Un puzzle
pitag´
orico
y el programa GeoGebra
Los siguientes teoremas nos ser´
an de utilidad.
Teorema : (El otro teorema de Thales)
Si
A,
B
y
C
son puntos en una circunferencia, tal que el segmento
AC
es un
di´
ametro, entonces el ´
angulo
∠
ABC
es recto.
Demostraci´
on
α
+ (
α
+
β
) +
β
= 180
◦2(
α
+
β
) = 180
◦α
+
β
= 90
◦.
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Vamos
a
construir
un
tri´
angulo
rect´
angulo
de
a
cuerdo
a
la
especificaci´
on
anterior (la hipotenusa igual
al doble del cateto menor).
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Note que
AD
=
AC
=
DC
y
AB
= 2AC
.
Asi que
4
ADB
cumple con las
es-pecificaciones que queremos.
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Ahora vamos a construir los
tri´
angulos
equil´
ateros
sobre
cada uno de los lados de
tri´
angulo rect´
angulo
4
ADB
.
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Los
tri´
angulos
4
ADF
,
4
BDE
y
4
ABG
son
equil´
ateros,
as´ı
que
sus
´
angulos internos miden
60
◦.
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Note que
]F DA+]ADB+]HDB= 180◦,
pero
]F DA= 60◦y
]ADB= 90◦,
por tanto]HDB = 30◦. Se sigue que
]BHD= 90◦,
de modo que el segmentoDHes
una altura del tri´angulo4BDF.
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¿C´
omo sabemos que la recta
J E
pasa por el punto
C
?
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Note que]CJ D = 90◦, y por tantoCEes paralela aAD, de donde
]CKD=]ADF= 60◦.
Y es claro tambi´en que
]BCK=]CAD= 60◦,
de donde
]ACK= 120◦,
pero tambi´en
]ADK=]ADJ+]BDH
= 90◦+ 30◦= 120◦.
Luego, el pol´ıgonoACKDes un
paralelogramo, y en consecuencia
F Hes paralela aAByAC = BK.
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Ahora, 4ADB ∼ 4CJ B, y por tanto
AD
CJ = AB
CB = 2,
de donde
AD=CJ+J K=1 2AD+J K,
y de ah´ı,
J K=1 2AD=
1
2AC.
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As´ı que la superficie del tri´angulo
4BDEes 3 veces la superficie
del tri´angulo4ADF.
