Vista de Un modelo macroeconómico con agentes de vida finita y estocástica: cobertura de riesgo de mercado con derivados americanos | Economía teoría y práctica

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Texto completo

(1)

71

finita y estocástica: cobertura de riesgo

de mercado con derivados americanos

*

Ma. Teresa V. Martínez-Palacios** y Francisco Venegas-Martínez***

Resumen

En esta investigación se desarrolló un modelo de economía estocástica, pequeña y abier-ta, poblada por consumidores racionales idénticos que tienen vida finiabier-ta, pero estocásti-ca; además, son adversos al riesgo y disponen de una riqueza inicial. Estos agentes en-frentan la decisión de distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio de activos en un ambiente de riesgo de mercado y de política fiscal incierta. La cobertura se lleva a cabo mediante una opción americana de venta y su valuación se realiza en térmi-nos de cuánto está dispuesto a pagar el consumidor representativo por mantener dicho contrato a fin de cubrir un activo riesgoso contra caídas en su precio. El precio del con-trato se determina en términos del premio al riesgo, el cual se caracteriza mediante la solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. Por último, se ob-tiene una formula de aproximación para el precio de la opción americana y se realiza un análisis de sensibilidad de dicho precio con respecto de sus parámetros.

Palabras clave: decisiones de consumo y portafolio, valuación de productos derivados, política fiscal, riesgo de mercado, modelos de equilibrio.

Clasificación jel: D91, G13, E62, D50, D81.

Abstract

This paper develops a stochastic model of a small and open economy populated by identical rational consumers having finite life but stochastic, who are risk averse and have an initial wealth. These agents face the decision to allocate his wealth between consumption and investment in a portfolio of assets under an environment of risk market and uncertain fiscal policy. Hedging is performed via an American put option and its pricing is carried out in terms of how much the representative consumer is willing to pay to keep that contract to hedge a fall in the risky asset price. The option price is determined in terms of the risk premium, which is characterized by the solution of a second-order, linear partial differential equation. Finally, an approximated formula for the American option price is obtained, and a sensitive analysis of such a price with respect to its parameters is carried out.

Keywords: consumption y portfolio decisions, pricing contingent claims, fiscal policy, market risk, equilibrium models.

jel classification: D91, G13, E62, D50, D81.

* Fecha de recepción: 27/09/2012. Fecha de aprobación: 11/09/2014.

**Profesora-investigadora de tiempo completo en la Escuela Superior de Apan de la Universi-dad Autónoma del Estado de Hidalgo. Correo electrónico: terevioleta@hotmail.com.

***Profesor-investigador de tiempo completo definitivo, de la Escuela Superior de Economía del Instituto Politécnico Nacional. Correo electrónico: fvenegas1111@yahoo.com.mx.

(2)

Introducción

En un ambiente de incertidumbre económica y financiera como el que muestra la realidad contingente actual, con cambios constantes de política económica y volatilidad intermitente en los mercados financieros, las decisiones sobre con-sumo, portafolio y producción de los agentes económicos son afectadas. La ne-cesidad de los diversos agentes que participan en la economía de identificar los patrones que caracterizan estos cambios para tomar decisiones oportunas acor-des con el contexto es un tema que, sin duda, ha recobrado vigencia y relevan-cia actual.

A este respecto, existen diversos modelos disponibles en la literatura en los cuales se supone que las variables económicas y financieras relevantes son conducidas por procesos estocásticos de diferente naturaleza, por ejemplo, pro-cesos de difusión o de difusión con saltos, como se observa en Merton (1971; 1992), Turnovsky (1993), Hernández-Lerma (1994), Venegas-Martínez (2001; 2006) y Turnovsky y Smith (2006). Otro aspecto que es de igual relevancia es el desarrollo de modelos macroeconómicos estocásticos que expliquen hechos esti-lizados en las decisiones de consumo y portafolio de los agentes; véase, al res-pecto, Grinols y Turnovsky (1993); Venegas-Martínez (2004; 2005); Turnovsky y Smith (2006), y Venegas-Martínez, Ortiz-Arango y Castillo-Ramírez (2010), entre otros.

Una particularidad de los modelos estocásticos que da coherencia a la realidad contingente son las funciones de tiempo de paro; sobre este temas, se puede consultar a Bjork, Myhrman y Persson (1987); Karatzas y Shreve (1988); Merton (1992); Hernández-Lerma (1994); Shreve (1997); Kohn (2003); Bjork

(2004); Villeneuve (2007), y Kohn1 (2011), entre otros. Por ejemplo, Shreve

(1997) analiza el tiempo de ejercicio óptimo de opción de venta americana realizando su valuación mediante un modelo binomial en el que el tiempo de paro correspondiente se define como primer instante en que la opción es igual a su valor intrínseco. Así mismo, Hernández-Lerma (1994) aplica el concepto de tiempo de paro como un tiempo de salida óptima para procesos de difusión controlados. Por su parte, Bjork, Myhrman Persson (1987) y Björk (2004) imponen un tiempo de paro para no generar soluciones de control degeneradas.

1 Es oportuno mencionar que, a excepción de Kohn, los autores citados aplican tiempos de paro

en conjunto mediante la clase de modelos económico-matemáticos llamados de equilibrio general dinámico y estocástico (egde).

(3)

Dos de los temas distintivos, en el marco de los modelos anteriores, son la obtención de precios de activos financieros y la valuación de productos deriva-dos, cuya literatura es muy vasta y variada; considérense al respecto los artícu-los, algunos seminales y otros de referencia, de Black y Scholes (1973); Merton (1973); Cox y Ross (1976); Cox, Ingersoll y Ross (1985a; 1985b); Geske y Shas-tri (1985); Ho y Lee (1986); Hull y White (1987; 1993); Detemple y Tian (2002);

Venegas-Martínez (2006; 2007; 2010); Sierra (2007);2 Ángeles-Castro y

Vene-gas-Martínez (2010), y VeneVene-gas-Martínez y Cruz-Ake (2010), entre otros. Una característica común, tal vez una limitación, que guardan estas investigaciones es que consideran una temporalidad, infinita o finita, determinista para la valua-ción de derivados.

Las opciones americanas, a diferencia de las opciones europeas, pueden ser ejercidas en cualquier momento entre el día en que se pactan y el día de ven-cimiento, ambos inclusive, y se negocian en mercados organizados y reco-nocidos por las autoridades financieras (bolsas de opciones) o mercados

extra-busátiles (otc, por sus siglas en inglés: over the counter) o informales. No

obs-tante, es importante señalar que la mayor parte de las opciones que se operan en estos mercados son justamente del tipo americano. La investigación que se ha realizado en este tema es también muy extensa; véase, por ejemplo, Taylor (1967); Merton (1973); Cox, Ross y Rubinstein (1979); Whaley (1981); Barone-Adesi y Whaley (1987); Broadie y Detemple (1996; 2004); Huyen

(1997); Ju (1998); Broadie, Glasserman y Ha (2000); Fu et al. (2001); Duan

y Simonato (2001); Longstaff y Schwartz (2001); Clement, Lamberton y Protter (2002); Detemple y Tian (2002); Rogers (2002); Villeneuve y Zanette (2002); Detemple, Feng y Tian (2003); Kou y Wang (2004); Stentoft (2005); Ikonen y Toivanen (2008), y Kohn (2011), entre otros.

Como resultado de la temporalidad anticipada de una opción americana, parte del problema de valuación consiste en identificar la frontera de ejercicio que maximice el valor de la opción para el dueño del contrato; al respecto, véase Merton (1973) y Taylor (1967). A pesar de que lo más conveniente es disponer de una fórmula cerrada, no se cuenta con ella en este caso, por lo que los esfuer-zos en investigación se han concentrado en el desarrollo de métodos aproxima-dos. Así, por ejemplo, se encuentran entre los trabajos que utilizan métodos

2 Una particularidad del trabajo de este autor es que sus activos son modelados mediante

(4)

numéricos los de Villeneuve y Zanette (2002) e Ikonen y Toivanen (2008)3; el

método de diferencias finitas, el de Brennan y Schwartz (1977), y el método de árbol binomial, el de Cox, Ross y Rubinstein (1979). Por su parte, Whaley (1981) y Barone-Adesi y Whaley (1987) desarrollan una fórmula analítica aproximada que es muy rápida en comparación con otros métodos; así mismo, Kou y Wang (2004) demuestran que mediante un modelo de difusión con saltos se puede lle-gar a una aproximación analítica cuando el horizonte es finito. Algunos otros in-vestigadores adoptan un esquema de interpolación para el precio de la opción americana, como Broadie y Detemple (1996), Villeneuve y Zanette (2002) y

De-temple, Feng y Tian (2003). Dentro de los métodos4 que son esquemas de

aproxi-mación de frontera libre se encuentra el de representación integral; como ejemplo

se tienen las investigaciones de Broadie y Detemple (1996) y de Ju (1998).5 Una

característica común entre estos métodos es el uso de tiempos de paro para la valuación de los derivados americanos; véase al respecto Merton (1990); Ka-ratzas y Shreve (1988); Villeneuve y Zanette (2002); Detemple, Feng y Tian

(2003); Bjork (2004); Villeneuve (2007), y Kohn (2011),6 entre otros.

En este trabajo se desarrolla un modelo de una economía pequeña y abierta poblada por consumidores racionales, maximizadores de utilidad y ad-versos al riesgo, que disponen de una riqueza inicial y enfrentan la decisión de distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio cuando el hori-zonte de planeación del que disponen es finito con fecha final estocástica. En este modelo, los agentes se desenvuelven en un ambiente de riesgo de mercado y de política fiscal incierta. La valuación de la opción de venta americana es lle-vada a cabo en términos de cuánto está dispuesto a pagar un consumidor repre-sentativo por mantener un contrato de este tipo a fin de cubrir un activo riesgoso contra el riesgo de mercado al mismo tiempo que maximiza su utilidad por el consumo. Las características distintivas de este trabajo, en el marco de las inves-tigaciones anteriormente mencionadas, son: 1) la economía es pequeña y abierta;

3En realidad Ikonen y Toivanen (2008) describen y comparan cinco métodos numéricos para el precio de opciones americanas de venta bajo el modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993).

4 Algunos de estos métodos se deben a Geske y Johnson (1984) y Huang, Subrahmanyam y Yu

(1996), entre otros.

5 El método integral que utilizan Broadie y Detemple (1996), así como Ju (1998), involucra solamente la función normal acumulativa univariada, lo que lo hace muy rápido, aunque no muy preciso.

6 Kohn (2011) examina el problema del paro óptimo para maximizar el valor presente esperado

en el ejercicio de una opción de venta americana con tiempo de madurez perpetuo y también para el caso finito, sobre todos los posibles tiempos de ejercicio.

(5)

2) el horizonte de planeación es finito, de fecha final estocástica; 3) la valuación del producto derivado americano se efectúa con base en la racionalidad econó-mica y una tasa de interés no sólo libre de riesgo de incumplimiento, sino tam-bién de riesgo inflacionario; 4) el diseño del proceso de optimización evita que el

inversor caiga en bancarrota;7 5) el precio se caracteriza en términos del premio

al riesgo, el cual se calcula como la solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden.

Este trabajo consta de ocho partes, además de la introducción y las con-clusiones. En la primera, se describe el marco teórico de la investigación. En el segundo apartado, se establece la restricción presupuestal intertemporal del agente representativo de una economía con incertidumbre. La tercera sección introduce el horizonte de planeación finito y de magnitud estocástica a través de un problema de control en tiempo continuo de consumo e inversión óptimos en un ambiente de riesgo de mercado y de política fiscal incierta. En la restricción presupuestal se incluye la tenencia de una opción americana de venta con un subyacente conducido por el movimiento geométrico browniano.

En la cuarta parte se proporciona una solución al problema de control óptimo planteado, mediante la cual se obtienen como resultados centrales la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman y las condiciones de primer orden que llevan a las decisiones óptimas de las variables de control. En la quinta sección se obtiene el premio al riesgo de mercado de una opción ameri-cana de venta. Mientras tanto, en la sexta, se establece una caracterización del precio de una opción americana de venta en términos del premio al riesgo de mercado, el cual se obtiene mediante la solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. En la séptima sección se logra una aproxima-ción del precio de una opaproxima-ción americana de venta y se realiza un análisis de sen-sibilidad con respecto de sus parámetros. A su vez, en la octava, sección se lleva a cabo la verificación de la solución encontrada con programación dinámica del modelo. Por último, se presentan las conclusiones destacando las limitaciones e indicando aquellas extensiones que serán tomadas en cuenta en la agenda futura de investigación.

7 En realidad, el argumento que aquí se utiliza para evitar la bancarrota, interpretada como la insolvencia del agente económico, no cumple en el sentido amplio con el análisis realizado por Sethi (1997). El argumento de tiempo de paro en conjunción con la condición de frontera (véase al respecto Hernandez-Lerma (1994) y Bjork (2004)) impuesta a la ecuación de hjb y el uso de una función de utilidad de clase hara impiden que el problema degenere y, por ende, financieramente evite la bancarrota del agente económico representativo.

(6)

I. Marco teórico

A través del equilibrio general dinámico estocástico, se analiza un modelo de un

consumidor racional representativo8 que se desenvuelve en una economía

peque-ña y abierta, en la que se produce y se consume un solo bien de carácter perece-dero, que es internacionalmente comercializable.

1. Activos y rendimientos

Se considera un consumidor que es al mismo tiempo productor y un intervalo de

tiempo fijo [0, T] con T como una variable aleatoria que se definirá más adelante.

En el tiempo t= 0 el consumidor es dotado con una riqueza inicial X0 y el

proble-ma que enfrenta es cómo distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio, de tal forma que su riqueza se mantenga positiva sobre el horizonte de planeación y tal que maximice su utilidad total esperada y descontada. Espe-cíficamente, se supone que la utilidad del agente está dada por

 

 

EF t c t( ), d ( ) X 0

0

T

t + T

F

en donde F es la satisfacción (descontada) para consumo y F es la función de

legado o herencia (o función de retiro) al tiempo T, la cual mide la utilidad de

contar con recursos al final del período y F0 es la información relevante al

tiem-po t = 0.

Para maximizar dicha utilidad, se permite que el agente asigne sus recur-sos a consumo e inversión en activos con y sin riesgo: dinero (nominal)

domésti-co Mt , bonos gubernamentales (nominales) domésticos Bt , acciones domésticas

kt , un contrato doméstico de opción americana de venta Vt y bonos (reales)

ex-tranjeros bt*. De tal forma que la riqueza real total, x

t , está dada por

xt = mt + bt + kt + Vt + bt* (1)

donde Mt /Pt =mt son los saldos monetarios reales y Bt /Pt =bt es un bono

guberna-mental doméstico en términos reales.

(7)

2. Dinámica del nivel general de precios

Se supone que en esta economía el nivel general de precios domésticos Pt es

de-terminado por la condición de poder de paridad de compra, P e Pt = t t*, donde Pt* es

el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y etes el tipo de

cambio nominal. A efectos de simplificar el modelo, se supondrá, sin pérdida de generalidad, que el tipo de cambio nominal es “relativamente” estable, de tal

manera que se puede escribir et = cte. Por otro lado, como la economía es

peque-ña, ésta es precio aceptante de *

t

P y de la misma manera, sin restar generalidad,

se supondrá * 1.

t P

Así pues, se supone que el agente representativo percibe que la tasa de

inflación esperada dPt /Pt es conducida por el proceso markoviano de difusión:

dd , , d t

P P t

t

P t W

P (2)

donde π es la tasa media esperada de inflación, sP es la variación esperada de

la tasa de inflación y WP,t es un proceso de Wiener, también llamado

movimien-to browniano, que está definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada

(

, F,(FtW )

t∈[ 0,T ], P). En este caso, los parámetros p y sPson

exógenos.

3. Saldos monetarios reales

El agente económico mantiene saldos monetarios reales Mt /Pt= mt, donde Mtes

el acervo nominal de dinero. La tasa de retorno estocástica por la tenencia de saldos monetarios reales está dada por el cambio porcentual del precio del dine-ro en términos de los bienes. Se supone además que el rendimiento marginal del

dinero es cero, es decir, dMt = 0. La aplicación del lema de Itô al cambio

porcen-tual del inverso del nivel de precios cuando se considera al nivel general de és-tos como el proceso subyacente, conduce al rendimiento por la tenencia de sal-dos reales

R d

(

(

)

)

r t W

d t t d d ,

m,t m P Pt t t

M P

M P σ

= = − (3)

con 2.

m P

(8)

4. Bono cupón cero

El agente económico destina una parte de su riqueza a la inversión en un bono

gubernamental cupón ceroBt . Se supone que la tasa nominal de rendimiento que

pagan es i, es decir, dB B it = t (1−τ y)d , t con τy el impuesto aplicado a la tasa de

interés nominal de un bono gubernamental. El rendimiento por la tenencia de bonos gubernamentales está dado por la siguiente ecuación:

σ

dRb,t = rbdt PdWP,t (4)

donde

(

1

)

2.

b y P

r i= −τ − +π σ Adicionalmente se supone que

(

1

)

2,

y P

i −τ − >π σ

para asegurar que el rendimiento se mantenga positivo.

5. Acciones

Se supone que los consumidores también son productores y la empresa

represen-tativa tiene una función de producción y = Akt que ofrece títulos de capital

de acuerdo con el criterio (determinista) de maximización de su beneficio neto

Pt= Akt-rb kt donde rb es la tasa de interés que pagan los bonos

gubernamenta-les. Una condición necesaria de optimidad del problema anterior es rb =A. Así, en

lo que sigue, de manera indistinta se puede escribir rb o A, lo que determina el

equilibrio con el sector productivo.

Otra parte de su riqueza la invierte en una acción, en donde la tasa de rendimiento de las acciones sigue una ecuación diferencial estocástica:

d

d t d d ,

k k kt

t k

k

R r t W

k σ

≡ = + (5)

donde, rkR es el rendimiento medio esperado y sk> 0es la volatilidad

instantá-nea; como antes, Wk ,t es un proceso de Wiener, o movimiento browniano,

defini-do sobre un espacio de probabilidad adecuadefini-do.

6. Opción americana de venta

Con el propósito de cubrir su inversión en la acción, el agente también invierte en un contrato de opción americana de venta sobre dicha acción, que tiene precio

Vt (kt, t). En otras palabras, si el precio de la acción cae por debajo de un umbral

(9)

del umbral. El rendimiento de la opción está dado por el cambio porcentual de la prima, es decir,

d

d t

V t V R

V

(6)

en donde dVt se obtiene mediante el lema de Itô de la siguiente manera:

2 2 2 2

1

d d d .

2

k t k t k t k

t t

t t

t

t t

t

t t k r k k k t k W

V V V V

V

k

σ σ

∂ ∂ ∂  ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

 

Si se denotan

2 2 2 2

1 1

y 1

2

t t t t

V k t k t k t

t

V

t t

t t

V V

r k k k

t k k

V V

V k

r

V

σ σ σ

∂ ++ ∂  ∂

 

= =

 

 (7a)

se sigue que

d

d t d d

V V k

t

V t

V

R r t W

V σ

≡ = + (7b)

y Wk ,t es tal como se definió en el párrafo anterior y es claro que comparten esta

característica de riesgo toda vez que la opción hereda el riesgo de la acción.

7. Bonos internacionales

El agente representativo también tiene acceso a un bono internacional, el cual

paga una tasa de interés real r > 0, libre de riesgo de incumplimiento y constante

en todos los plazos. Por ello, el agente destina una parte de su riqueza a la

inver-sión, en el tiempo t, en un bono que satisface

dbt* = rbt*dt, con b0* dado,

lo cual implica que el rendimiento de dicho bono está dado por

, d

d d

.

t

t b b t

t b

R r t

b

∗ ∗ ∗

=

(8)

Con el supuesto de que la economía es pequeña, es decir, tomadora de precios, se asume en particular que es tomadora de la tasa de interés. En otras

palabras, la economía doméstica toma rb* como la tasa de interés real (libre

(10)

valua-ción de la opvalua-ción americana de venta. Si consideramos que la economía estadou-nidense representa al resto del mundo, sin duda la probabilidad de incumplimiento de los bonos del Tesoro es menor que la de los Cetes; por lo tanto, la tasa de interés real estadounidense es un mejor candidato como tasa libre de riesgo (de

incumpli-miento). Es de observar que en la economía doméstica la tasa real rb se calcula en

términos del diferencial de la tasa de interés nominal y la tasa de inflación, y que en esta última hay factores de riesgo que la afectan, como el nivel general de

pre-cios. Es decir, rb no necesariamente es una tasa de interés libre de todo riesgo.

8. Impuesto sobre la riqueza

Se considera un movimiento browniano

( )

Ut t0 definido en un espacio de

proba-bilidad fijo con su filtración aumentada

(

, , ( U) [0, ],

)

t tT

F F P . Se supone que el

agente económico prevé que su riqueza será gravada a una tasa incierta tt de

acuerdo con la siguiente ecuación diferencial estocástica:

0

d

d d

,

0,

t

t

t t τ W

τ

τ σ τ

τ =

+

> (9)

con

2

, 1

t P t t

W = ρW + −ρ U (10)

y

P t P t t

W W U t

cov

(

d ,d

(

1 2

)

)

d,

, ρ , + −ρ =ρ (11)

donde τt es la tasa media esperada de crecimiento del impuesto sobre la riqueza,

τ

σ es la volatilidad de la tasa impositiva sobre la riqueza y − ≤ ≤1 ρ 1es la

corre-lación entre los cambios en la infcorre-lación y los cambios en el impuesto sobre la

ri-queza. Se supone que los procesos WP t, , Ut y Wk t, son independientes dos a dos.

9. Restricción del tipo cash-in-advance

Se supone, además, que el consumidor demanda dinero para realizar sus

transac-ciones, lo cual se hace por medio de la restricción cash in advance propuesta por

Clower (1967):9

(11)

.

t t

mc (12)

En esta restricción, ct es el consumo y α >0 es el tiempo que se

mantie-ne el dimantie-nero para financiar el consumo. Esta restricción debe cumplirse en todo

momento, ya que determina el conjunto factible de la variable de control ct.

II. R

estricción presupuestal intertemporal del agente

representativo

Las proporciones de riqueza que se destinarán a los activos riesgosos, saldos mo-netarios reales, bonos cupón cero gubernamentales, acción doméstica, la opción americana de venta y el activo sin riesgo, el bono extranjero, en el portafolio de

inversión, al tiempo t, se denotarán mediante 1 2 3 4 1

4 2 3 4

1

, , , , y 1 1 ,

t t t t t t t t it

i

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

= − − − − = −

1 2 3 4 1

4 2 3 4

1

, , , , y 1 1 ,

t t t t t t t t it

i

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

=

− − − − = −

respectivamente; donde t

it t

j X

θ = es la proporción de la riqueza

que se destina al activo j, j m b k V b= , , , , *. En lo que sigue, c

t denota la tasa de

consumo, a la que se impone la condición ct≥0, ∀ ≥t 0.

Adicionalmente, se supone que todas las estrategias de consumo e inver-sión son autofinanciables y que, además, las negociaciones se llevan a cabo en forma continua (los mercados nunca cierran), sin incurrir en ningún momento en costos por comisiones a agentes de casas de bolsa. También, que están

permiti-das las ventas en corto (pedir acciones prestapermiti-das a agentes de bolsa).10

De esta manera, la dinámica del proceso de la riqueza del agente está dada por el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas siguiente:

*

(

)

1 2 3 4 ,

,

, , ,

4 1

0 0 0 0 0 0

0

d d d d d

+ +

1

0,

d 0,

d d 1 d,

d d ,

t

t t t t t t t t t V t

t i

m t

t t

b t k t

i

t

t c t

b t

t t t t

X X R X R X R X R

X R X

m

t c t

x b k V b

t τ W

θ θ θ θ

θ τ τ

τ τ τ σ τ τ

=

+ 

 

+ − +

  

= +

= + + + + =

 

>

+

 >

 *

(13)

donde τc es una tasa impositiva ad valorem del consumo. Al sustituir las

ecua-ciones (3) a (10) en el sistema de ecuaecua-ciones (13), se tiene que el proceso de la riqueza está dado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

(12)

(

)

( )

(

)

*

1 2 3 4

* 1

4 1

, , , 0 0 0 0 0

2 3 4 0

2

, 0

d 1 d

+

d d d d

+ + 1

d d + d 0,

1 , 0,

t t t t t t t t t V t it b t t c t

t t t

m b k

i

P t k t k t

P t t

p t t k t t V

t t t t

X X r X r X r X r X r X c t

X W X W X W x m b k V b

W U

t τ

θ θ θ

ρ ρ

θ θ τ τ

θ θ σ θ σ θ σ

τ τ τ σ τ τ

=

=+ +

 

 

+ = + + + + >

= + − >

− +

 

 −  

+ 



(14)

e

quivalentemente

(

, , , 2 ,

)

0 0 0 0 0 0

, 0

d d +

d d d d ,

d d , 0,

1 0,

t tx t p t P t t k t

P t t

k t

t t t t

r W W m V

W

X X t X X x b

t U

k b

τ

σ σ

τ τ τ σ τ ρ ρ τ

= = + + + + >

 +

= + − >

 

+

 (15)

donde

(

)

2 3 4

4

1

1

+ + 1 1

x t m tb tk t V it b t c t

t i

c

r r r r r

X

r θ θ θ θ θ ∗ τ τ

=

 

+ − − +

=

 − 

+

(

)

(

)

, 1 2 , 3 4

σp t= −θt−θ σt p y σk t = θ σt k+θ σt V . (16)

Al introducir la restricción cash in advance se tiene 1

1 ,

t t t

c =θ Xα− de

don-de (16) queda dada por

(

)

1

1

4 1

2 3 + 4 + 1 1

x t m t b t k t V it b t c t

i

r r r r r

r θ θ θ θ θ τ θ

α τ

= ∗

 

+ − − +

 − 

= +

con

(

)

(

)

, 1 2 , 3 4

σp t= −θt−θ σt p y σk t= θ σt k+θ σt V .

(17)

III. Problema de control óptimo estocástico

A continuación se establece el problema de control óptimo estocástico que debe resolver el consumidor-inversionista representativo.

1. Tiempo de paro

Para estar seguros de no formular un problema degenerado y sea posible para el agente representativo alcanzar el óptimo de su portafolio de consumo e

inver-sión, se restringirá el dominio (horizonte temporal) a D =

[

0,T

]

×

{

x x> 0

}

,

(13)

{ }

min inf t 0 Xt 0 ,T ,

ϕ =  > =  (18)

lo que formula al horizonte temporal finito como una variable aleatoria. La inter-pretación correspondiente es que cuando el proceso de riqueza alcance la fronte-ra del dominio se vuelva cero; entonces, la actividad se termina y ya no hay

he-rencia, de manera que lo natural es que Ф sea cero.

2. Problema de control óptimo estocástico

Al establecer formalmente el problema de la maximización de la utilidad del consumidor como un problema de control óptimo estocástico, se tiene

( )

(

)

1 2 3 4

, , 0 0 0 0 0

0 , , , ,

0

, , 0

0 0

2

, 0

MaximizarE , d ,

d d d + d , 0,

d d d d d ,

, 0, 0

1 0,

.

t t t t tc t

t t t p t t k t

t t t t

t

x P t k t

P t t

r W W m

F t c t

X X t X X x b k b

t

X x

c t

V

W U

θ θ θ

τ

ϕ

θ

σ σ

τ τ τ σ τ ρ ρ τ

 

 

 

 +

 = = + + + + >

= + − >

+ 

= ≥ ∀ ≥

F

(19)

IV. Programación dinámica: ecuación diferencial parcial

de Hamilton-Jacobi-Bellman

Para dar solución al problema (19) y encontrar las proporciones óptimas en el portafolio de inversión y el consumo del agente maximizador, definimos la fun-ción de valor del problema mediante la siguiente expresión:

( )

[ ]

( )

[ ]

( ) ( )

1 2 3 4 ,

1 2 3 4 , , , , ,0

d

, , , ,0

d

, , max E , d

max E , d , d .

t t t t t

t t t t s

s t

t t c s t

t t t

s s t

c t t t

J X t F c s s F

F c s s F c s s F

ϕ

ϕ ϕ

θ θ θ θ

ϕ

θ θ θ θ τ

∈ ≤

+

∈ ≤

+

 

=  

 

 

=  + 

 

R

R

(20)

Después de aplicar al primer sumando el teorema del valor medio del cálculo integral y recursividad al segundo sumando, se obtiene que

(14)

)

[ ]

(

)

( ) (

)

1,2, ,3 4 ,0 , d

, , max , d d d , d , d .

t t t t st t t

t t c t t t t t

J X τ t θ θ θ θ c t t o t J X τ τ t t F

+ ∈ ≤

= + + + + +

R

{

F ( Xt

}

Al emplear la expansión en serie de Taylor en el segundo sumando, se tiene

τ = + + τ + τ +

(

)

[ ]

( )

( ) (

)

(

) ( )

{

}

1t,2t, ,3t 4t ,0 s t t t, d

t t t t t t t

c t

J X t F c t t o t J X t J X t o t

θ θ θ θ ∈ ≤ +

F

, , max , d d , , d , , d

R ,

consecuentemente

[ ]

( ) ( ) ( )

1,2, ,3 4 ,0 , d

0 max , d d d , , .

t t t t cs t t t t t t t

F c t t o t J X t

θ θ θ θ ∈ ≤ + τ

= + +

R

{

F

}

Al aplicar el lema de Itô a dJ (Xt ,tt ,t

))

y simplificar, se obtiene

t t t

[ ]

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 3 4 ,d

, , , ,

, , , ,0

, 2 2 2 , 2 , , , , , , , ,

, , 1 , ,

2

1

t t t t s

t t

t t P t P t t k t k t

c t

t t t t t t

t P t t t t

t t

t t t t

t t t

t t

x

P

J X t

F c t t o t X W X W

X

J X t J X t J X t

W U X

t X

J X t X t

X

r

J

X

θ θ θ θ

τ τ

τ

σ σ

τ τ τ

τ σ τ σ

τ ρ

τ τ

ρ

τ τ σ

τ + ∈ ≤  ∂   = + + + ∂   ∂  + ∂ ∂ +      ∂ ∂ + + − ∂  ∂ ∂ + ∂ ∂ + R

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

}

2 , 2 2 2 2 2 , 2

2 2 2 2

2 , , 1 , 2 , t t

t t t P t

t t

t t

t t t

t

t k t

X t X X X X t J t J τ τ τ ρ ρ τ

σ τ σ σ

τ

τ τ σ τ σ

τ ρ  ∂ + +  ∂ ∂    ∂ + + − 

d F .

0 max , d d d d

d d

A continuación se encuentra el valor esperado de esta última ecuación y,

dado que dWP, t, dWk,t , y dUt se distribuyen N(0, dt), se eliminarán los términos con

movimientos brownianos, de lo que resulta

[ ]

{

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

1,2, ,3 4 ,0

2 2

2 2 2 2

, 2

2

2 2 2 2 2 2

,

2

,

, , , ,

, , 1 , , 2 , ,

2 , ,

d 1

t t t t st t t

t t t t

t t

c

t

t t t t t t

x

P t k t

t t t t t t P t

t t t t

t t t t t J X r J J J

t J X t

F c t t o t X

t X

J X t X t X t

X X X

X X

X t

θ θ θ θ

τ τ

τ

τ τ

τ τ τ

τ τ σ σ τ σ σ

τ τ

τ

τ σ τ

ρ ρ σ τ ρ + ∈ ≤ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ +  + ∂ ∂ ∂ ∂   ∂   ∂ + + 

+ − t Ft

}

.

0 max , d d

, d

R

(15)

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

1,2,3 y 4 ,0 , d

2 2 2

2 2 2 2 2 2

,

2 , , 2

, , , , , ,

0 max ,

, , , , , ,

1 2 .

2

t t t t st t t

t t t t t t

t t t t

c t x t

P t k t

t t t t t t

t t t t P t t

t t t t

J X t J X t J X t

F c t X

t X

X t X t X t

r

J J J

X X X

X X

θ θ θ θ

τ τ

τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ

σ σ τσ σρ τ σ

τ τ + ∈ ≤  ∂ ∂ ∂ =  + + +   ∂ ++∂    + ∂ ∂     R

A la última ecuación se le anexan las condiciones de frontera correspon-dientes, para obtener la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman (hjb):

[ ]

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1, , ,2 3 4 ,0 , d

2

2 2 2 2 2 2 , 2 2 , , 2 , , , ,

0 max ,

, , 1 , ,

2

, , , ,

2

t t t t st t t

t t t t

t t

c t

t t t t

t t t t

t t

t t t t

t t P t t

x

P t

t

k t

t t

J X t J X t

F c t X

t X r

J

J X t X t

X X

X

X t

J J X t

X X

θ θ θ θ

τ

τ τ

τ τ

τ τ σ σ

τ

τ τ

τ σ σ τ

τ ρ τ

+ ∈ ≤  ∂ ∂ =  + + +   ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ +

(

)

2 ,

, , 0

J x T

τ σ τ     =  

(

0,

)

J τ,t 0.               =  R (21)

Se observa que las condiciones de frontera ya incorporan el tiempo de paro.

1. Función de utilidad

Se supone ahora que la función de utilidad es de la forma

( )

, t

( )

t t

F c t =e V c−δ ,

donde V (ct

)

es un miembro de la familia de funciones de utilidad hara (siglas

del inglés hyperbolic absolute risk aversion) (Hakansson, 1970; Merton, 1990),

en consecuencia,

(

,

)

t t , 0 1.

t

c F c t e

γ

δ γ

γ

= < <

Se observa que V c

( )

t tiene la propiedad de que

( )

0 0 , t t t c c V c γ = ′ = = ∞

(16)

lo que forzará a que el consumo sea positivo a través del horizonte de planeación.

Así, al suponer un máximo y hacer las sustituciones de (16) y F c t

( )

, e V ct

( )

t = −δ t

en la ecuación diferencial parcial de hjb, se tiene que

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

1 2 3 4

2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 2

3 4 1 2

, ,

0 1

, , + , , 1 , ,

2 , , 2

+ + 1

t t t t t

t t t t t V it b t c

t t

t t t t t t

t t t p t p t

t t

t t

t t k t V t t t t

t t

m b k

i

J X t

c c

e X r r r r r

X X

J X t J X t J X t X

t X X t X X X J γ δ τ τ

θ θ θ θ θ τ τ

γ

τ τ τ τ τ σ θ σ θ

ρ τ

τ

θ σ θ σ τ σ θ θ

τ − = ∗ ∂   = + + − − + ∂  ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ + + − ∂   + − +  ∂  − + −

(

)

2

(

)

2 2

2 , , . t t p t t t J X τ τ

σ τ σ

τ       +  ∂ ∂ (22)

Al considerar la restricción cash in advance, se tiene

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

(

( )

)

( )

(

)

)

( ) 1 1 1

1 2 3 4

2 2 1 2 2 2 2

3 4 1

4 1 2 2 , , 0 1

, , + , , 1 , ,

2 , , 2

+ + 1

t t t t

t t

t t t t t V it b t c t

t t t t t t

t t t t t p

t t

t t

t t k t V t t t

t

m b

i

t

k

X J X t

e X r r r r r

X

J X t J X t X t X

t X t X X X J J X γ δ τ

θ α τ θ θ θ θ θ τ τ θ

γ

τ τ τ

τ τ θ θ σ

τ

τ

θ σ σ θ

α

ρ

θ τ σ

τ − − ∗ = ∂   = + + − − + ∂  ∂ ∂ ∂ + + − ∂ ∂ ∂ ∂ +   + −     − + + − ∂ ∂

( )

(

)

2 ( ) 2 2

2 2

, ,

,

t t

t p t

t

X t

J

τ

τ

θ σ τ σ

τ   −   ∂  ∂  + (23)

2.

Condiciones de primer orden

Ahora, lo que se requiere es optimizar la ecuación de hjb para ct, θ θ θ1t, , 2t 3ty , θ4t

por lo que se obtienen las condiciones de primer orden:

(

) ( )

1 , , t 1 .

c t t

t

t

J X t

c e

X

γ− =∂ τ δ +τ

∂ (24a)

Se nota que la condición de primer orden con respecto de θ1t, se puede

derivar a partir de las ecuaciones (22) y (23), las cuales se describen en las ecua-ciones (24b) y (24c) respectivamente:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 1 2 2

, , 1

0

, , , ,

t t t

t t t t t b t

t

t t t t

t t p t p p t p t

t

c m

t t

J X t

X e X X r X r X

X

X t X t

X X X J J X γ δ τ τ τ θ α α

τ τ σ σ τ σ σ θ σ θ

τ ρ − − − ∂  ∗ +  = + − − − −  ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ , (24b)

(17)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 2 2 , , , , 0 , ,

t t t t

t t b t t p

t t t

t t

t p p t p t

t m

J

J

J X t X t

X r X r X

X X

X t

X X

τ

τ τ τ σ ρσ

τ τ

σ σ θ σ θ ∗ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ − −

,

(24c)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 2 2 , , , , 0 , ,

t t t t

t t b t t p

t t t

t t

t p p t p t t

b

J

J

J X t X r X r X t X

X X

X t X

X

τ

τ τ

τ σ ρσ τ

τ

σ σ θ σ θ

∗ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ − −

,

(24d)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

2

3 4

2

, , , ,

0 t t t t ,

t t b t k k t

t k t V t

J X t X t

X r X r X

X J X

τ τ

σ σ θ σ θ

− +

∂ ∂

= +

∂ ∂ (24e)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

2

3 4

2

, , , , .

0 t t t t

t t b t V k t

t V t V t

J X t X t

X r X r X

X J X

τ τ

σ σ θ σ θ

+ − ∂ ∂ = + ∂ ∂ (24f)

Ahora para elegir la función J X

(

t t, ,τ t

)

que satisfaga la ecuación

dife-rencial parcial de hjb, se propone como candidato de solución un producto de funciones separables en variables, de tal forma que

(

, ,

)

t

( )

, t ,

t t e t x

J X τ t δh τ t γ

γ

= (25)

junto con h( , ) 0τt T = debido a las condiciones de frontera de la ecuación hjb.

Dado este candidato para J, se tiene que

(

)

( )

(

) ( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

1 2 2 2 2 2 1 2 2

, , , , , , 1 ,

, , , , , , , , , , , , , ,

t t t t t t

t t

t t

t t t t t t t t

t t t

t t

t t

t

t t t t

t t

J X t J X t

e h t e h t

X X

J X t h t J X t h t

e e

J X t h t

e h t

t t x x x x x γ γ δ γ δ δ δ δ γ γ τ τ

τ γ τ

τ τ τ τ

τ τ γ τ τ γ

τ τ δ τ − − − − − − − − ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂   +    

(

)

( )

1

2 , , ,

t t t t .

t t t t

J X t h t

e X x δ γ τ τ τ τ − − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ (26)

Si se sustituyen las derivadas parciales de (26) en las condiciones de pri-mer orden de (24), se obtiene

( )

(

)

1 , 1 1 .

t c

t t

(18)

Las demás condiciones de optimidad son:

( )

(

)

( )

(

)

(

) ( ) (

2

)

1 2

,

0 , t + 1 , ,

t b t p t P t t

t m

h t

h t r r τ h t

τ

τ τ σ σ γ τ σ θ θ

τ ρ

∗ ∂

= − − − +

∂ (27b)

( )

(

)

( )

(

)

(

) ( ) (

2

)

1 2

,

0 , t 1 , ,

t b p t t t

t

b t P

h t

h t r r τ h t

τ

τ τ σ σρ γ τ σ θ θ

τ

∗ ∂

= − −

− + + (27c)

( )

(

)

(

) ( ) (

3 4

)

0=X htγ τt,t r rk b+ γ1 h τt,t σ σ θk k t+σ θV t ,

  (27d)

( )

(

)

(

) ( ) (

3 4

)

0=X htγ τt,t r rV b+ γ1 hτt,t σ σ θV k t+σ θV t .

  (27e)

3. Decisiones óptimas

Se puede observar que la trayectoria óptima de consumo cˆt es lineal en la

rique-za. En contraste con un marco determinista en donde el individuo puede saber a ciencia cierta cuál será su trayectoria óptima de consumo, en el caso estocástico, desafortunadamente, ésta ya no puede ser determinada porque el consumo se convierte en una variable aleatoria, situación que más acorde con la realidad contingente de la economía en la que el individuo existe, así:

( )

1 1

(

)

1 1

,

ˆt h t t t 1 c

c = τ γ− x +τ γ− (28a)

En conclusión, la consideración del riesgo en los diversos factores que constituyen la economía induce cambios tanto cualitativos como cuantitativos importantes en las decisiones de consumo y portafolio. Ahora bien, a partir de (24b) (24c) y (26), se tiene que

=

(

) (

1 +

)

1

1 1

1 , 1

ˆt h t t γ c γ

θ α τ − τ − (28b)

En la ecuación (28b) θˆ1t es constante, pues sólo depende de los

paráme-tros que determinan las características estocásticas de la economía, en cuyo caso se puede afirmar que la actitud del agente económico hacia el riesgo y, por ende,

(19)

en su toma de decisiones de inversión es independiente de su riqueza. Si ahora se sustituye (28b) en (27c), se tiene que

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1

1 2

2

1 1 1

ˆ 1 ,

,

1

+ 1 , .

t P b b t c

t

t t P

t

r r h t

h t

h t

γ γ

τ

θ γ σ τ

τ

α τ

ρ

τ σ γ τ σ

τ − − − − ∗ − − − = − − − − − + ∂ ∂ (28c)

Esta ecuación muestra que θˆ2t también es independiente de la riqueza

del individuo. Es importante hacer notar que las ecuaciones (27b) y (27c) forman un sistema inconsistente. Obsérvese que al restar (27c) de (27b), se tiene que

( )(

)

0=h τt,t r rmb , situación que ocurre sólo si h

( )

τt,t =0 o rmrb= 0, pero

( )

t,

hτ t no puede ser cero, porque esa posibilidad lleva a un consumo nulo para

optimizar el problema de decisión del agente, lo que es un absurdo; por lo que en

el equilibrio sucede r rmb= ⇒0 rm=rb ⇔ =0 i

(

1−τy

)

, que implica que i = 0, es

decir, en esta economía no es óptimo para el gobierno emitir deuda, pero no quiere decir que no sea óptimo para el agente representativo mantener su inver-sión en bonos.

De las ecuaciones (27d) y (27e) se obtienen las proporciones óptimas para θ3t y ,θ4t

(

)

(

)

(

)

4

3 2 ˆ 1 ˆ , 1 b k t k k t

r r γ σ σ θ

θ γ σ ∗ + = − − − V (28d)

(

)

(

)

(

)

3

4 2

ˆ 1

ˆ .

1

b k V

t

V

V t

r r γ σ σ θ

θ γ σ ∗ + = − − − (28e)

Nótese que estas dos ecuaciones forman un sistema redundante:

(

)

(

)

(

)

(

)

4 3 2 3 4 2 ˆ 1 ˆ 1 b V t

t k

k k

b k t

t V v k V V r r r r σ θ θ λ

σ γ σ

σ θ

θ λ

σ γ σ

∗ ∗ − + − + = − = − = − = − (29)

al hacer V

k

σ ζ

σ

=

, se tiene

+ =

3 4

3 4

ˆ ˆ ,

ˆ

,

ˆ

t t

V k t t ζ λ ζ

θ θ λ

θ θ

+ =

(

30

)

(20)

 

    

  

  

 

4 1

3

1

. 1

ˆ

ˆt k

t V

A

θ λ

θ ζ

λ

ζ− =

 (31)

Sin embargo, de (31) se tiene que det( ) 0A = , por lo que el sistema no

tiene una única, sino una infinidad de soluciones. Esto quiere decir que los pre-mios al riesgo de mercado para la acción y para la opción son combinación lineal uno del otro, lo cual es lógico porque la opción hereda propiedades del proceso de precios del subyacente.

V. Premio al riesgo de mercado de una opción americana

de venta

A partir del sistema de ecuaciones (31), se tiene que

,

k V

λ =ζ λ

es decir, los premios al riesgo del mercado del subyacente y de la opción coinci-den, lo que se corrobora de (29), con lo cual se obtiene:

(

)

v

(

)

.

b b

k

k V

r r ∗ σσ = r r

Después de hacer las sustituciones de rV y σV, que se definen en (7a), se

obtiene,

2 2 2

2 0,

1 2

t t

k t t

t

t

b t

t b

S S

t S S

V V σ V rV r

∂ ∂ +

∂ + ∂ ∂ = (32)

la cual es la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes (1973) y Merton (1973), con la que se valuará la opción americana y a la que para tal efecto se deben de imponer las condiciones de frontera correspondientes a la opción americana de venta y al límite estocástico de tiempo de paro

min inf

{

t 0Xt 0 , ,

}

T

ϕ=  > =  esto es,

(

) ( )

2 2 2 2 1 2

, ,

,

0

0

m x

k t t

t t

t t

t t t

b t b

V V S V S

t S S

S t K

V

S

r r

V t

σ

ϕ

∗ ∗

++

∂ ∂

≥ −

=

∂ −

(21)

en donde K denota el precio de ejercicio de la opción americana en el tiempo de

ejercicio ϕ =min ,

{

ϕ ϕˆ

}

, donde ϕˆ es un tiempo de paro tal que se alcanza el

va-lor max

(

K St,0

)

.Obsérvese que la tasa de interés libre de riesgo es rb∗, dado

que la economía doméstica es precio aceptante y toma la tasa de interés

inter-nacional como dada, ya que en la economía doméstica la tasa real rb se calcula

en términos del diferencial de la tasa de interés nominal y la tasa de inflación, y en esta última hay factores de riesgo que la afectan, como el nivel general de precios.

VI. Caracterización del precio de una opción americana

de venta

La prima de la opción americana es más cara que la de una opción europea, ya que aquélla tiene la flexibilidad de ser ejercida en cada instante desde la emisión del contrato de opción y hasta el tiempo de madurez de la misma, lo que dota al poseedor del contrato del derecho de obtener ganancias mayores que cuando se trata de una opción europea, toda vez que en el ejercicio anticipado existe la po-sibilidad de obtener mejores ganancias. Esto hace del instrumento americano un

activo de inversión atractivo para quien posee el contrato11 (Wilmott, Howison

yDewynne 1999).

Es posible observar que en el tipo de problema de control óptimo que se está considerando, el tiempo de madurez es estocástico; lo anterior exige que el derivado obtenido pueda ser ejercido en cualquier momento. Ésta resulta ser, precisamente una característica de la opción americana. En el problema de va-luación de la opción americana, no sólo se debe de determinar su valor en cada instante, sino también hay que especificar si se ejerce o no la opción para cada

valor de kt. Usualmente, esto se lleva a cabo estableciendo un valor crítico de k

para cada t.

Sin pérdida de generalidad, se supone que dicho valor es único. Por lo

que si ktk ∗, se está en la región de ejercicio y es óptimo ejercer la opción, y si

kt> k ∗, no se está en la región de ejercicio y lo óptimo es mantener la opción

Venegas-Martínez (2008). De esta manera, si la opción es ejercida cuando

kt> k ∗, entonces el precio de la opción americana de venta, V V k t= t

( )

t, ,

satisfa-ce la ecuación diferencial parcial:

Figure

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Referencias

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