Laboratorio F´ısica I
Gu´ıa 2
Pedro Miranda y Fabi´an Ju´arez
1.
Informes de laboratorio
1.1.
Introducci ´on
Uno de los elementos m´as utilizados en la comunicaci ´on de conocimientos es el informe. El prop ´osito de un informe es canalizar la informaci ´on breve y claramente. La brevedad es algo importante. La claridad se alcanza subdividiendo el informe en secciones, cada una con un rol determinado.
El dise ˜no de un informe no es r´ıgido. Sin embargo, a pesar de las variaciones que puedan encontrarse, el objetivo es el mismo documentar los hallazgos para comunicar el conocimiento que se ha adquirido a trav´es de la experiencia de laboratorio.
Si bien es cierto no existe una manera ´unica de escribir un reporte, existe un formato convenien-te de estructura que se puede ver en trabajos publicados en revistas cient´ıficas. La estructura que aqu´ı se presenta es un formato general, usado en la mayor´ıa de los trabajos de f´ısica experimental.
1.2.
Estructura de un informe
Los componentes t´ıpicos de un informe son los siguientes:
1.2.1. Resumen
El resumen es el informe en miniatura. Est´a constituido por un p´arrafo corto, de unas tres a cinco oraciones, descriptivas del cuerpo del informe. Un buen resumen permite al lector reconocer inmediatamente los conceptos m´as importantes incluidos en el informe. El resumen no debe esta-blecer los objetivos del trabajo. En cambio, debe estaesta-blecer la naturaleza del experimento, resumir los resultados e incertezas y los medios por los cuales fueron obtenidos, y resumir las conclusiones. Los datos y los c´alculos no deben mencionarse en el resumen. El resumen debe ser autocontenido, no puede hacer referencia a tablas, figuras o partes posteriores de texto. Se escribe el resumen como parte final de la escritura del informe, pero no se repiten trozos enteros del cuerpo del informe.
1.2.2. Introducci ´on
La introducci ´on debe cumplir con dos objetivos: debe establecer el prop ´osito del informe, y se debe familiarizar al lector con el experimento. Se debe ser capaz de contestar esta pregunta clara-mente. ¿ Cu´al es el contexto dentro del cual el experimento se realiza? Posteriormente la introduc-ci ´on es guiada por las siguientes preguntas ¿Qu´e se hizo? ¿C ´omo se hizo? Y ¿Para qu´e se hizo? Donde en esta ´ultima esta se establece el prop ´osito del informe y el prop ´osito del experimento.
1.2.3. Marco te ´orico
En esta secci ´on se indica la base te ´orica del experimento. En el cual se presentan la informa-ci ´on necesaria para entender el tema y los desarrollos hasta llegar a las ecuainforma-ciones ´utiles para el experimento. Las deducciones de estas ´ultimas se hacen en forma breve y relacionadas con la pro-blem´atica de estudio. Si son muy largas se dejar´an para un ap´endice. Por ning ´un motivo debe contener alcances hist ´oricos
1.2.4. Montaje experimental
Esta secci ´on se debe describir breve y claramente el arreglo experimental y c ´omo fue usado. En particular, se deber´a explicar c ´omo este aparato en particular permite probar o verificar los prin-cipios o cuestiones que est´an siendo examinados. ´Este es el lugar donde tambi´en se introducen y definen las cantidades medidas experimentalmente. Es aqu´ı donde se debe hacer un diagrama que muestre el equipo experimental y su disposici ´on. Este diagrama, as´ı como los gr´aficos subsiguien-tes, son llamados figuras, y se numeran secuencialmente a medida que se mencionan en el texto. Se cuenta lo que realmente se hizo y c ´omo.
1.2.5. Resultados y an´alisis
Aqu´ı se describen c ´omo fueron calculadas las cantidades derivadas a partir de los datos me-didos. Algunos ejemplos de c´alculo deber´an reservarse para los ap´endices. Se debe explicar en forma clara y concisa los pasos involucrados en el manejo de los datos. Las figuras, gr´aficos y ta-blas deben ir numeradas y con las unidades de los datos. Adem´as en las tata-blas se debe mostrar los errores de los valores. Estas pueden ayudar a sustentar sus resultados, pero no se debe apoyar solamente en ellos para reunir la informaci ´on esencial. Se enuncian todos los resultados significa-tivos expl´ıcitamente. Se escriben las ecuaciones y se muestran las tablas. El trabajo debe incluir un an´alisis apropiado de las incertezas asociadas a cada cantidad. Recuerde que los resultados deben redondearse de acuerdo a las incertezas.
1.2.6. Conclusi ´on
Se extraen conclusiones a partir de los resultados. Las conclusiones deben relacionarse con los prop ´ositos u objetivos que se establecieron al principio del informe. Se muestra hasta que pun-to ha cumplido los objetivos. Se respaldan las afirmaciones con evidencia, l ´ogica, o referencias espec´ıficas de la literatura. Se establece claramente lo que se ha logrado, junto con la incerteza por-centual asociada a los resultados. En esta secci ´on se puede tambi´en criticar el experimento y hacer recomendaciones para mejorarlo.
1.3.
Sobre gr´aficos y tablas
Para una buena presentaci ´on de informe es necesario mostrar limpios y claros gr´aficos y tablas. Los gr´aficos siempre se deben mostrar con un t´ıtulo claro o un pie extenso, numerados para luego referirse a ellos. Tambi´en deben llevar los ejes rotulados con las respectivas unidades. Con cada gr´afico debe mostrarse la tabla asociada de valores. Si los datos son muy extensos se pueden poner un ap´endice. En la Figura 1 se da una muestra aceptable para una gr´afica de este tipo.
En las tablas debe ir el nombre de la magnitud f´ısica con su unidad correspondiente y la incerti-dumbre asociada a ella. Si la incertiincerti-dumbre es la misma para todos los datos, puede ser nombrada en alguna parte del texto. A continuaci ´on se muestra la Tabla I que corresponde a los datos del gr´afico anterior.
Figura 1: Gr´afico de la frecuencia en funci ´on de la longitud de onda. Donde los puntos son los datos y la l´ınea punteada es la curva te ´orica.
Tabla I: Medici ´on de la longitud de onda variando la frecuencia a una profundidad de0,90±0,03
[cm]. La frecuencia tiene un error de±0,001[Hz] y la longitud de onda un error de0,01[cm].
Frecuencia [Hz] Longitud de onda [cm]
6,940 3,54 9,578 2,49 11,978 1,89 12,787 1,76 13,305 1,64 14,482 1,51 15,385 1,37 16,218 1,33 16,817 1,27 18,100 1,21 20,033 1,02
2.
Ajuste por m´ınimos cuadrados
Uno de los tipos m´as comunes de experimento involucra la medici ´on de varios valores de dos diferentes variables f´ısicas a fines de investigar la relaci ´on matem´atica entre las dos variables. En este laboratorio se han realizado experimentos de esta clase donde se ha ajustado a los datos una funci ´on propuesta, tal como una l´ınea recta. Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los par´ametros que mejor representan a un conjunto de datos, y es precisamente este tema el que trataremos en esta secci ´on. Para una profundizaci ´on del tema ver [1].
Los experimentos m´as comunes del tipo descrito m´as arriba son aquellos para los cuales la relaci ´on esperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo est´a cayendo con aceleraci ´on constanteg, entonces su velocidadv deber´a ser una funci ´on lineal del tiempot, como sigue
v=v0+gt
En forma m´as general, consideraremos un par cualquiera de variables f´ısicasxeyde las cuales sospechemos que est´an relacionadas en forma lineal
y=A+Bx,
dondeAyBson constantes. Si las dos variablesxeyest´an relacionadas de esta manera, entonces un gr´afico deyversusxdeber´a resultar en una l´ınea recta de pendienteB, que intersecta al ejey
eny=A. Si medimosN diferentes valores dexy los correspondientes valores dey, estos estar´an sujetos a incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la Figura 2.
P Q 1 1 P Q 2 2 y x
Figura 2: Para trazar la mejor recta por los puntos experimentales es necesario minimizar las dis-tancias de los puntosPiyQia la recta.
El m´etodo anal´ıtico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresi ´on lineal, o ajuste de m´ınimos cuadrados para una recta.
Para encontrar la rectay=A+Bxque mejor se ajusta a un conjunto de puntos(x1, y1), . . . ,(xN, yN)
haremos lo siguiente. Para simplificar, supondremos que s ´olo las incertezas de la variabley son apreciables. Esta suposici ´on es frecuentemente muy razonable, porque es com ´un el caso en que las incertezas en una variable son muchos m´as grandes que en la otra. Supondremos adem´as que todas las incertezas enytienen la misma magnitud. (Esta suposici ´on es tambi´en razonable en mu-chos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el an´alisis d´andole un peso adecuado a las distintas mediciones).
Si conoci´eramos las constantesAyB, entonces, para cualquier valorxipodr´ıamos calcular el
verdadero valoryique le corresponde:
yi=A+Bxi
La desviaci ´on de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces como:
δyi=yi−(A+Bxi)
El criterio para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones individualesδyi, llamado m´ınimos
cuadrados. Este m´etodo nos permitir´a obtener los valores de la pendienteB y el interceptoAde la recta. Y nos da las siguientes ecuaciones:
B(pendiente) =N P(x iyi)−PxiPyi NPx2 i −( Px i)2 A(intercepto) = P x2iP yi−PxiP(xiyi) NPx2 i −( Px i)2
dondePx
ies la abreviaci ´on de la expresi ´onP N i=1xi.
El principio de m´ınimos cuadrados tambi´en nos entrega los valores de la desviaci ´on est´andar de la pendiente y el intercepto. Y estas se calculan en t´erminos de la desviaci ´on est´andar de la distribuci ´on de valoresδyalrededor de la mejor l´ınea, que llamaremosSy. Y est´a dada por:
Sy=
r P
(δy)2 N−2
Luego, los valores de las desviaci ´on est´andar de la pendiente y el intercepto son respectiva-mente: SB =Sy× s N NPx2 i −( Px i)2 SA=Sy× s Px2 i NPx2 i −( Px i)2
2.1.
Ajuste por m´ınimos cuadrados en el programa
Excel
Excel dispone de un amplio n ´umero de funciones. Para ver la lista pinchar en el bot ´on “f(x)”, se elige la opci ´on todas y se recorre la ventana de la derecha para observar las distintas funciones dis-ponibles en la aplicaci ´on. Nosotros vamos a aprender a ocupar una de estas funciones realizando una regresi ´on lineal mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados.
Si tenemos un conjunto de datos(x1, y1), . . . ,(xN, yN)que los podemos ajustar por una l´ınea
rectay =mx+b. Por tanto, lo que necesitamos conocer es la pendientem, y la ordenadab. Para ello vamos a usar la funci ´on “ESTIMACION.LINEAL”. Esta funci ´on devuelve una matriz con los distintos resultados de hacer la regresi ´on (ver la ayuda). Para utilizar esta funci ´on, primero seleccionamos una celda libre y pinchamos en el bot ´on de funciones “f(x)” y seleccionamos la funci ´on “ESTIMACION.LINEAL” (ver Figura 3). A continuaci ´on, hacemos clic en el bot ´on del primer campo “Conocidoy” , y seleccionamos, mediante el rat ´on, los valores deyde los datos que
queremos aproximar.
Figura 3: Ejemplo de figura que aparece despu´es de seleccionar “ESTIMACI ´ON LINEAL. El segundo campo es el rango dex. En el tercero pondremos ”VERDADERO” para que calcule la ordenada en el origen de la rectaby en el ´ultimo tambi´en pondremos “VERDADERO” para que la funci ´on nos devuelva factores estad´ısticos adicionales. Pulsamos “Aceptar” para ejecutar la funci ´on.
Inicialmente, esta funci ´on s ´olo devuelve un valor que corresponde a la pendiente de la recta de regresi ´on. Sin embargo, esta funci ´on pertenece al tipo de funciones que son capaces de devolver una matriz de datos (y no s ´olo un valor ´unico). Si queremos acceder a algunos de estos datos, deberemos primero seleccionar un rango de celdas de 3 filas y 2 columna, situamos el cursor al lado de la funci ´on que aparece en la barra de f ´ormulas y pulsamos “Ctrl+May ´usculas+Enter” que es la combinaci ´on de teclas que usaExcelpara acceder a los resultados de las funciones que devuelven una matriz como resultado. Comprobaremos que ahora aparecen los resultados de la regresi ´on en las celdas que ten´ıamos seleccionadas. La primera celda (1,1) contiene el valor de la pendiente de la recta de regresi ´onm, y la siguiente a a derecha (1,2) el valor de la ordenada al origenb. Como se muestra en al Tabla II.
Tabla II: Ejemplo de seleccionar una celda de 2 columnas y 3 filas que nos entrega los valores de una regresi ´on lineal.
A B
1 m(pendiente de al recta) b(ordenada al origen) 2 Sm(error asociado am) Sb(error asociado ab)
3 R(coef. de correlaci ´on) σ(desviaci ´on est´andar)
Cualquier pregunta sobre como ocupar est´a funci ´on o como trabajar en una planilla enExcel pueden preguntarnos directamente o enviar sus conultas a los siguientes mail:
[email protected] [email protected]
Referencias
[1] D. C. Baird,Experimentaci´on, Cap´ıtulo 6-7 y Ap´endice A, (Pearson Educaci ´on , Segunda edici ´on, 1991).