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1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Definición de función
Una función real de variable real f es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y = f(x)”. Se suele representar así: f: R R , y = f(x)
Si en la función f sustituimos el valor x = a obtenemos el valor y = f(a), llamado imagen de “a”. El conjunto de todos los puntos del plano (x, y) que cumplen la fórmula o ecuación y = f(x) se llama gráfica de la función f.
Ejemplo:
Si f es la función dada por la expresión o fórmula f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = 3.4 + 2 = 14
La gráfica de esta función f es el conjunto de puntos (x, y) que cumplen y = 3x + 2 (que es una recta) Dominio de una función
El
dominio
de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que exista f(x). Se representa por D(f).Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 X Y D(f) = R – { – 4}
Si sólo tenemos la fórmula y queremos calcular el dominio tenemos que averiguar los valores de la “x” para los que se puede calcular la fórmula.
Ejemplo:
Si f(x) 3x 2 2x 1
, la fórmula no se puede calcular cuando el denominador es cero. Como 2x – 1 = 0 x = 1
2 D(f) = R – { 1 2} Puntos de corte de dos gráficas
Para calcular los puntos de corte de las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) resolvemos el sistema y f(x)
y g(x)
. Si el sistema no tiene solución entonces las gráficas no se tocan Puntos de corte de una función con el eje X
Como la ecuación del eje X es y = 0, para calcular los puntos de corte de la gráfica de una función f(x) con el eje X resolvemos el sistema y f(x)
y 0
. Obtenemos entonces la ecuación f(x) = 0. Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje X
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Si conocemos los puntos de corte con el eje X podemos saber en qué intervalo del eje X es f(x) > 0.
Por ejemplo, esta función corta al eje X en los puntos (– 1, 0) y (3, 0).
La función es positiva en el intervalo (– 1, 3) pues en este intervalo la gráfica está por “encima” del eje X
Puntos de corte de una función con el eje Y
Como la ecuación del eje Y es x = 0, para calcular el punto de corte con el eje Y resolvemos el sistema y f(x)
x 0
. Obtenemos entonces x = 0 , y = f(0), que da lugar al punto (0, f(0)). Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Y
Continuidad de una función
Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna “rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo.
Ejemplos
:Esta gráfica corresponde a una
función continua Esta gráfica corresponde a una función discontinua. Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 3
Monotonía de una función
Estudiar la monotonía de una función es averiguar los intervalos del eje X donde la función es creciente, decreciente o constante.
Ejemplo
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 X YEs creciente en el intervalo (– 2 , 1), pues la gráfica correspondiente es ascendente Es decreciente en (– 4 , – 2) U (1 , ∞) pues aquí su gráfica es descendente
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Extremos de una función
Estudiar los extremos de una función es determinar los máximos y mínimos relativos de la función. Una función tiene un
máximo relativo
en unpunto A(a,b), si en dicho punto la función es continua y pasa de creciente a decreciente.
Se suele decir que la función alcanza un máximo relativo en x = a y el valor máximo que alcanza es b.
Una función tiene un
mínimo relativo
en un punto A(a,b), si en dicho punto la función es continua y pasa de decreciente a creciente.Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en x = a y el valor mínimo que alcanza es b. Si el máximo relativo corresponde al mayor valor de la función se dice que el máximo es absoluto y si el mínimo relativo corresponde al menor valor se dice que el mínimo es absoluto
Ejemplo
Máximos relativos: A y B (A es un máximo absoluto). La función alcanza un máximo en x = 8 y en x = 16 .
Mínimo relativo: C (no es mínimo absoluto). La función alcanza un mínimo en x = 12
2.- FUNCIONES ELEMENTALES Funciones cuya gráfica es una recta
Todas las funciones cuya fórmula es del tipo f(x) = mx + n, con m, n ∈ R tienen como gráfica una línea recta. Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R.
El coeficiente de x se llama pendiente de la recta
Si la pendiente es positiva, la función es creciente, si es negativa decreciente y, si es 0, es constante
Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos:
-
Funciones lineales
: Son del tipo f(x) = mx , con m 0.- Página 4 -
Por ejemplo: f(x) = 3x , f(x) = –2x son funciones lineales.
X Y
Función
creciente
y = 3x
3
1
m = 3 > 0
Si la pendiente es positiva la función es creciente.
X Y
Función
decreciente
y = -2x
-2
1
m = -2 < 0
Si la pendiente es negativa la función es decreciente
-
Funciones afines
: Son del tipo f(x) = mx + n , con m , n 0.La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen.
La recta corta la eje Y en el punto (0, n)
Por ejemplo: f(x) = 2x – 5 , f(x) = –3x + 1 son funciones afines.
X Y
y = 2x
-
5
-5 1 -3La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5
X Y y =
-
3x + 1 -2 1 1La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1
-
Funciones constantes
: Son del tipo f(x) = n.La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n).
Por ejemplo: f(x) = 1 , f(x) = –5 son funciones constantes.
X Y y = 1 1 X Y y = -5 -5
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Funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado. Estas funciones se expresan de la forma f(x) = ax2 + bx + c , siendo a ≠ 0 y su gráfica es una parábola.
Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R. Si a > 0 , la parábola tiene las ramas hacía arriba.
Decimos entonces que la función es convexa
V(xv , yv) e: x = xv
V = vértice e = eje de simetría
El vértice V es un mínimo absoluto
Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava
V(xv , yv)
e: x = xv V = vértice e = eje de simetría
El vértice V es un máximo absoluto
El
vértice
de la parábola, V(xv , yv) , se calcula por las fórmulas:f( ) v v v b x = 2a y = x −
Funciones de proporcionalidad inversa Son aquellas del tipo f(x)k
x , siendo k ≠ 0. En estas funciones, D(f) = R – { 0 }
La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas.
Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas. Si k > 0 , la función es decreciente y la gráfica es
una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.
Ejemplo
:Si k < 0 , la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.
Ejemplo
:Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas Funciones exponenciales de base a
Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = ax , con a > 0, a ≠ 1
La gráfica de este tipo de funciones y que corta al eje Y en el punto (0,1) y tiene como asíntota horizontal al eje X.
- Página 6 - Si a > 1 , es creciente.
Ejemplo
: X Y y = 2x1
Si a < 1 , es decreciente.Ejemplo
: X Y y = (⅓
)x1
Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje X
La función exponencial más importante en matemáticas es la de base el número “e”: f(x) = ex , siendo lim 1 1 2, 718281828.... n n e n número irracional.
Funciones logarítmicas de base a
Su fórmula es del tipo y = loga (x) [logaritmo en base a de x] , con a > 0, a ≠ 1. En estas funciones D(f) = (0, ∞)
Recuerda: y = loga (x) ay = x
Si la base es 10, entonces log10 (x) se escribe simplemente log (x) y se llama logaritmo decimal de x Si la base es el número “e”, entonces loge (x) se escribe simplemente ln (x) ó L (x) y se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural de x
- Si queremos calcula log x ó ln x podemos hacerlo directamente con la calculadora usando las teclas log y ln, respectivamente
Por ejemplo, log 7 =0,84509804… ln 60 = 4,094344562… (compruébalo) - Si queremos calcular loga x (siendo a 10) podemos proceder así:
loga x = y ay = x ln(ay) = ln(x) y. ln(a) = ln(x) ln( ) log ( ) ln( )
ln( ) ln( )
x a x
y x
a a
Por ejemplo, para calcular log2 6, lo haríamos así:
log2 6 = y 2y = 6 ln(2y) = ln(6) y. ln(2) = ln(6) ln(6) 2, 584962501... ( ) ln(2)
y compruébalo
La gráfica de la función logarítmica de base a es una curva que corta al eje X en el punto (1, 0) y tiene como asíntota vertical al eje Y.
Si a > 1 , es creciente.
Ejemplo
: X Yy = log
2(x)
1
Si a < 1 , es decreciente.Ejemplo
: X Yy = log
1/3(x)
1
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Funciones definidas a trozos
Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un intervalo diferente. Por ejemplo, y = x 3 , si x 4
x , si x 4 − < − ≥
es una función definida en dos intervalos: En ( – ∞ , 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x – 3 de extremo A(4,1)
En [ 4 , ∞ ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = –x de extremo B(4,– 4)
X Y
4
y = x - 3
y = - x
Ejercicio de clase 1 Sea la función 2
2 1 , si x 0 f(x) x 1 , si 0 x 4 x 8x 17 , si x 4 .
Represente gráficamente la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
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Ejercicio de clase 2 El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) expresada a continuación
2 1 t t 5 , si 0 t 6 8 B(t) t 1 , si 6 t 12 2 , t es el tiempo
transcurrido en meses. Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió? (Propuesto PAU Andalucía 2011)
Solución
El beneficio fue máximo a los 12 meses (1 año) y ascendió a 6,5 miles de € (6500 €)
Ejercicio de clase 3 Sea la función
2 2 , si x 1 x f(x) x 4x 5 , si x 1 . Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 2010)
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Ejercicio de clase 4 El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función 2 5x 40x 60 , si 0 x 6 f(x) 5x 15 , si 6 x 10 2
donde x representa el gasto en publicidad, en miles de €. a) Represente la función f .
b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo? (Propuesto PAU Andalucía 2007)
Solución
) 2 000 € 10 000 € c) 2 000 € 6 000 € ) 4 000 € 20 000 €
b A partir de hasta Para y d con un beneficio de
Ejercicio de clase 5 Sea la función
2 x 2x , si x 4 f(x) 2 2x 8 , si x 4
. Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monotonía y sus extremos. (Propuesto PAU Andalucía 2005)
Solución
creciente en ( , 2) (4, ) ; decreciente en el int ervalo (2, 4)
máximo (relativo) : V(2, 2) ( x 2, y 2) ; mínimo (relativo): (4, 0) ( x 4, y 0)
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Ejercicio de clase 6 El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de pesetas produce una ganancia de f(x) millones de pts, siendo:
2 x 8x 8 , si 0 x 5 50 25 5 f(x) 5 , si x 5 2x
a) Represente la función f(x) b) Halle la inversión que produce máxima ganancia c) Halle el valor de la inversión que produce ganancia nula. (Propuesto PAU Andalucía 2001)
Solución
b) 5 millones de ptas c) 4 millones de ptas
Ejercicio de clase 7 Sea
x 2 2 , si x 1 f(x) x 3 , si 1 x 2 x 3 , si x 2
Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como su crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 2000)
Solución
máximo (relativo): (0, 3) ( x 0, y 3) ; mínimo (relativo) y absoluto : (2, 1) ( x 2, y 1) creciente en ( , 0) (2, ) ; decreciente en el int ervalo (0, 2)
- Página 11 - Ejercicio de clase 8 Dada la función 2
2x 3 , si x 1 f(x) x 2 , si 1 x 1 L(x) , si x 1
Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2000)
Solución
3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Tomemos, por ejemplo, la función f dada por la expresión
2x 1 , si x 3 y f(x) 1 , si x 3 x 3 Concepto de límite por la izquierda
Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x menores que 3, cada vez más próximos a 3.
Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores: Observamos que y tiende a 5.
Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la izquierda, la ”y” tiende a 5. Se simboliza así:
x 3
lim f(x) 5. Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la izquierda, es igual a 5” En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la izquierda es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” menores que “a” cada vez más próximos a “a”.
Se representa así:
x a
lim f(x)
En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞.
x 3– 2,8 2,9 2,99 … como x < 3, y = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …
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Concepto de límite por la derecha
Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x mayores que 3 y cada vez más próximos a 3
Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores: Observamos que y tiende a ∞.
Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la derecha, la”y” tiende a ∞ Se simboliza así:
x 3
lim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la derecha, es igual a ∞” En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la derecha es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” mayores que “a” cada vez más próximos a “a”.
Se representa así:
x a
lim f(x)
En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞ .
Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales
Interpretación sobre la gráfica
Gráficamente significa que:
- La gráfica que hay a la izquierda de 3 tiende al punto de valor y = 5 al acercarnos cada vez más al 3 - La gráfica que hay a la derecha de 3 se dirige hacia arriba al acercarnos cada vez más al 3
Límite de una función f en un punto x = a
Decimos que una función f tiene límite en un punto x = a cuando los límites laterales coinciden: x a lim f(x) = x a lim f(x)
El límite de la función f cuando x tiende a “a”,
x a
lim f(x), es el valor común de los límites laterales. En la función del ejemplo anterior,
x 3
lim f(x) pues los límites laterales no coinciden: x 3 lim f(x) 5, x 3 lim f(x)
Observaciones
- Si sólo se puede calcular uno de los límites laterales, diremos que la función tiene límite. - Para poder calcular los límites laterales en el punto x = a no es necesario que exista f(a).
Fíjate que en la función del ejemplo no existe f(3). Asíntotas verticales
Decimos que una función f tiene una asíntota vertical en un punto x = a si alguno de los límites laterales, o los dos, son ∞ ó –∞. La ecuación de la asíntota vertical es A.V. : xa
x 3+ 3,01 3,001 3,0001 … como x > 3, y =
1
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En el ejemplo anterior, la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical, pues
x 3
lim f(x)
Propiedades fundamentales de los límites puntuales.
xlim f(x)a g(x) xlim f(x)a xlim g(x)a xlim f(x).g(x)a
xlim f(x) . lim g(x)a xa x a x a x a lim f(x) f(x) lim g(x) lim g(x)
Cálculo de límites puntuales usando la fórmula
Basándose en las propiedades de los límites puntuales, si la función f viene dada por una fórmula, para calcular
xlim f(x)a , se sustituye “x” por “a” en la expresión de f(x).
Por ejemplo,
x l i m 2(3 x 1) 3 .( 2) 1 7
* Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo,
x l i m 3 7 7
* Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.
* Si al calcular
xlim f(x)a , sustituyendo “x” por “a”, obtenemos
L
0 , siendo L 0, debemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.
Los valores de los límites laterales siempre van a ser ∞ ó – ∞ pues al dividir un número no nulo, L, entre números que tienden a cero obtenemos valores que tienden a ∞ ó a –∞.
* Si al calcular x a p(x) lim q(x), obtuviéramos 0
0, debemos dividir ambos polinomios por (x – a) Continuidad a partir del límite puntual
Recuerda que para que una función sea continua, su gráfica no puede tener ninguna rotura.
Por ejemplo, la siguiente función no es continua en x = a porque las ramas no “conectan” , fíjate que los límites laterales en x = a son distintos, o dicho de otra forma, no existe
x a
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Tampoco es continua, en x = a, la siguiente función, porque aunque las ramas conectan (existe
xlim f(x)a = b), no coincide con f(a). Por eso su gráfica tiene un “agujero”
Luego, para que una función f sea continua en x = a se debe cumplir que
x a
lim f(x)= f(a) O lo que es lo mismo, se tienen que dar las siguientes condiciones:
C1: Debe existir f(a) C2: x a lim f(x) = x a lim f(x)= f(a)
Se puede demostrar que todas las funciones, que no sean definidas a trozos, son continuas en su dominio de definición.
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad asintótica o de salto infinito Se da cuando x a lim f(x) y/o x a lim f(x) .
Ejemplos:
x a lim f(x) x a lim f(x) x a lim f(x) x a lim f(x) L x a lim f(x) xlim f(x)a(f(a) ) (f(a) ) (f(a) = b ) En todos los casos, la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : x = a
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Discontinuidad de salto finito Se da cuando x a lim f(x) b, x a lim f(x) c, pero b ≠ c
Ejemplos:
x a lim f(x) b x a lim f(x) b x a lim f(x) b x a lim f(x) c x a lim f(x) c x a lim f(x) c(f(a) = c ) (f(a) ) (f(a) = d ) Discontinuidad evitable
Se da cuando
xlim f(x)a b, pero b ≠ f(a)
Ejemplos:
x a lim f(x) b x a lim f(x) b x a lim f(x) b x a lim f(x) b (f(a) = c) (f(a) ) Concepto de límite en +∞
Sea f la función dada por la expresión y = 6 x 1 3 x
Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x muy grandes y cada vez más grandes.
Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores
x ∞ 100 200 300 …
y =
6 x 1
3 x 2,0033 2,0017 2,0011 … Observamos que y tiende a 2. Se dice entonces que cuando “x” tiende a ∞, la ”y” tiende a 2.
Se simboliza así:
x
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En general, el límite de una función cuando x tiende a ∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” infinitamente grandes.
En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así:
x
lim f(x).
Interpretación sobre la gráfica
X
Y
2
Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la derecha, se aproxima cada vez más a la recta horizontal de ecuación y = 2.
Concepto de límite en –
∞
Sea f la función dada por la expresión y = 3x2Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x negativos y que en valor absoluto sean muy grandes y cada vez más grandes.
Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores
x – ∞ –100 –200 –300 …
y = 3x2 30 000 120 000 270 000 … Observamos que y tiende a ∞. Se dice entonces que cuando “x” tiende a –∞, la ”y” tiende a ∞. Se simboliza así:
xlim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a –∞, es igual a ∞”
En general, el límite de una función cuando x tiende a –∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” negativos e infinitamente grandes en valor absoluto.
En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así:
x
lim f(x).
Interpretación sobre la gráfica
X
Y
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Asíntotas horizontales
Decimos que una función f tiene una asíntota horizontal si alguno de los límites en ∞ ó –∞, o los dos, son un número, L. La ecuación de la asíntota horizontal es A.H : y = L
Por ejemplo, la función cuya gráfica es
X
Y
2
tiene una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación A.H.: y = 2 , porque
x
lim f(x) 2
Propiedades fundamentales de los límites en el infinito.
x x x
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x x x
lim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x)
x x x lim f(x) f(x) lim g(x) lim g(x)
Límite en el infinito de una función polinómica Fíjate: 4 x l i m ( 5 x 2 x 3) = 4 4 4 x 5 x 2 x 3 l i m . x x = 4 4 4 4 4 x 5 x 2 x 3 l i m . x x x x = t i e n d e a 0 t i e n d e a 0 t i e n d e a t i e n d e a 5 4 3 4 x 2 3 l i m 5 . x 5 . x x
Se puede demostrar que,
n n
xlim p(x) xlim ax , siendo ax el tér min o principal del polinomio p(x)
Razonando de igual forma:
n n
xlim p(x) xlim ax , siendo ax el tér min o principal del polinomio p(x)
En general:
n n
xlim p(x) xlim ax , siendo ax el tér min o principal del polinomio p(x)
Por ejemplo, 3 3 3 x l i m ( 2 x 7 x 1) x l i m ( 2 x ) 2 .( ) 2 .( ) Como
x l i m (p x) , las funciones polinómicas no tienen asíntotas Límite en el infinito de una función racional
Fíjate: 4 4 2 4 2 4 4 4 2 4 d i v i d i m o s p o r l a m a y o r p o t e n c i a d e x , q u e e s x 3 3 x x x 3 4 4 4 4 3 x 2 x 1 3 2 1 3 x 2 x 1 x x x x x 3 l i m l i m l i m 2 1 4 2 x x 4 2 x x 4 0 x x x x x x
- Página 18 - De otra forma, 4 2 4 4 2 x x 4 3 3 3 3 x x x x x l i m ( 3 x 2 x 1) l i m ( 3 x ) 3 x 2 x 1 3 x 3 3 l i m l i m l i m x . 2 2 2 x x 4 l i m (2 x x 4) l i m (2 x ) 2 x
Se puede demostrar que
m m n n x x p(x) ax
lim lim , siendo ax y bx los tér min os principales de los polinomio p(x) y q(x)
q(x) bx
Razonando de igual forma:
m m n n x x p(x) ax
lim lim , siendo ax y bx los tér min os principales de los polinomio p(x) y q(x)
q(x) bx En general: m m n n x x p(x) ax
lim lim , siendo ax y bx los tér min os principales de los polinomio p(x) y q(x)
q(x) bx
Se pueden demostrar las siguientes reglas: Sea f(x) p(x)
q(x)
; axm = término principal de p(x); bxn = término principal de q(x)
x
0, si m n. En este caso, hay una A.H. de ecuación A.H. : y 0
lim f(x) a a
, si m n. En este caso, hay una A.H. de ecuación A.H. : y
b b
Si m > n,
x
lim f(x) y, por tanto, no hay A.H.
Sin embargo, si m – n =1 hay una asíntota oblicua de ecuación A.O.: y = mx + n
siendo
x x f(x) m lim , n lim f(x) mx xPosición de la gráfica respecto de la asíntota La gráfica está por encima de la asíntota en +∞ cuando ygráfica > yasíntota. Es decir, cuando f(x) – yasíntota > 0
La gráfica estará por debajo de la asíntota en +∞ cuando ygráfica < yasíntota. Es decir, cuando f(x) – yasíntota < 0
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Ejercicio de clase 9 Sea f(t) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo t, medido en meses, transcurrido desde su inauguración:
2 5 t 20t , si 0 t 6 2 f(t) 90t 240 , si t 6 t 4
a) ¿Evoluciona la función f de forma continua?
b) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año? c) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40%?
d) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente? (Propuesto PAU Andalucía 2017)
Solución
a) Nos piden averiguar si f es continua. Observamos que f está definida en el int ervalo [0, ) 90t 240
y está compuesta por funciones continuas en su dominio. Observamos que en ,
t 4 t 4 anula el denominador ; pero esta fracción sólo se defin
2 2 t 6 t 6 t 6 t 6 2 e para t 6. Por tanto, para t 6, la función es continua.
5 5
lim f(t) lim t 20t .6 20.6 30
2 2
90t 240 90.6 240
Veamos el caso t 6 lim f(t) lim 30 . Por tanto, f es contin
t 4 6 4 5 f(6) .6 20.6 30 2 ua en t 6
Luego, f evoluciona de forma continua
90 . 24 240
b) Como 2 años 24 meses, nos piden f(24) 68,57%
24 4 2 2 2 5 t 20t 40 , si 0 t 6 2 c) Nos piden encontrar los valores de t para que f(t) 40
90t 240 40 , si t 6 t 4 5 5 * t 20t 40 t 20t 40 0 . 2 2
Resolviendo obtenemos t 4 (al estar entre 0 y 6 es una solución válida) 90t 240 * 40 90t t 4 240 40(t 4) .
Resolviendo obtenemos t 8 (al ser mayor que 6 también es una solución válida) Por tanto, la respuesta es a los 4 meses y a los 8 meses
tiende a 0 t t t t t tiende a 0 90t 240 240 90 90t 240 t t t 90
c) Nos piden averiguar si lim f(t) 100. lim f(t) lim lim lim 90
t 4 4
t 4 1 1
t t t
Por tanto, la respuesta es no. Porque como máximo llegaría al 90%
- Página 20 - Ejercicio de clase 10 Sea la función
2 1 , si x 0 x 4 f(x) x 3 , si 0 x 2 x 1 , si x 2
Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.
(Propuesto PAU Andalucía 2017)
Solución
x 0 x 0
x
x 0
1
Observamos que f está definida en R , pues. no se puede calcular si x 4, pero esta fracción sólo
x 4
se define para x 0.
Los úni cos puntos donde pudiera no ser continua son x 0 y x 2
1 1 1 lim f(x) lim x 4 0 4 4 x 0 lim f(x) lim 0 x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 2
(x 3) 0 3 3 . Por tan to, f tiene una discontinuidad de salto finito en x 0
1 1
f(0)
0 4 4
lim f(x) lim (x 3) 2 3 5
x 2 lim f(x) lim (x 1) 2 1 5 . Por tan to, f tiene es continua en x 2
f(2) 2 1 5
Ejercicio de clase 11 La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la función
150 5x , si 10 x 50 100 C(x) 200 10x , si x 50 25 3x
donde C y x están expresadas en miles
de euros. a) Justifique que C es una función continua. b) Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema. (Propuesto PAU Andalucía 2016)
Solución
) 50, ( ) exp
( 25 3 0 50)
a Para x C x es continua porque sus resiones corresponden a funciones continuas
observese que x cuando x
50 50 50 50 50 150 5 150 5 . 50 lim ( ) lim 4 100 100 150 5 . 50 50 ; (50) 4 200 10 200 10 . 50 100 lim ( ) lim 4 25 3 25 3 . 50 lim ( ) (50), 50 x x x x x x C x Si x C x C x x
Como C x C en x también es continua
200 10 10 10 10
) lim ( ) lim lim . . en :
25 3 3 3 3 x x x x x
b Como C x La asíntota horizontal en es A H y
x x
10
inf , 3, 333 3333 €
3
- Página 21 - Ejercicio de clase 12 Sea la función
3 2 2x 5 , si x 2 x 4 f(x) x 3x , si x 2
. Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función f corta al eje de ordenadas.
(Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
2.( 4) 5 13 4 0 4, ( 4) 4 4 0 Como x x f 4 13 lim ( ) , . .: 4 0 x y f x la asíntota vertical es AV x 3 2 3lim ( ) lim ( 3 ) lim
x x x
Como f x x x x No hay asíntota horizontal en
2 5 2
lim ( ) lim lim 2 . . en : 2
4
x x x
x x
Como f x La asíntota horizontal en es A H y
x x 2.0 5 5 ( ) : (0, (0)) (0, ) (0, ) 0 4 4
Punto de corte con el eje de ordenadas eje Y f
Ejercicio de clase 13 Se considera la función f, definida a trozos por la expresión 2 x x 6 , si x 2 f(x) x 2 , si x 2
a) Estudie la continuidad de la función.
b) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
) 2, ,
a Para x f es continua porque se compone de funciones polinómicas que son continuas
2 2 2 2 2 2 lim ( ) lim ( x 6 ) 4 ; (2) 4 2. , lim ( ) lim (x 2) 4 x x x x Estudio de la continuidad en x f x x
f f es continua en x Luego f es continua en R
f x
b) Puntos de corte con los ejes: Eje Y: (0, f(0)) ; corta al eje Y en (0, 6) Eje X: f(x) = 0 ;
2
x 6 0 2, 3 ( , 2)
( 2, 0)
2 0 2
x x x no válido pues debe ser x
corta al eje X en x x
- Página 22 - Ejercicio de clase 14 Se considera la función
2 x 2 , si 0 x 2 f(x) 8x a , si x 2 x 1 a) Determine el valor de a para que la función sea continua.
b) Halle sus asíntotas para a = – 10. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
2 ) 2, . 2 lim ( ) (2) xa Para x f es continua Debemos imponer que sea continua en x Se debe cumplir f x f
2 2 2 2 2 2 lim ( ) lim ( 2) 2 2 6 ; (2) 6 8 8.2 lim ( ) lim 16 1 2 1 2 6 16 10 x x x x f x x f x a a f x a x
Para que f sea continua en x debe ser a a
1 2 2 2, 0 2 ) 1 0, ( ) 8 1 0 ; 1 0 1, (1) 1 2 3 lim ( ) 3 . , 2 1 tan , 8 1 0 8 lim ( ) lim lim 8
1 x x x x x si x b P a ra a f x x x x p ero f y f x si x x P o r to n o h a y a sín to ta s vertica les x x f x x x C o m o , . . : 8
lim ( ) p o rq u e f só lo está d efin id a en [0, )
x la a sín to ta h o rizo n ta l en es A H y f x
Ejercicio de clase 15 Halle las asíntotas de la función p(x) 7x 3x 12
. (Propuesto PAU Andalucía 2015)
Solución
7.4 28 3 12 0 4, (4) 3.4 12 0 Como x x p 4 28 lim ( ) , . . : 4 0 x y p x la asíntota vertical es A V x 7 7 7 lim ( ) lim , . . : 3 3 3 x x xComo p x la asíntota horizontal es A H y
x
Ejercicio de clase 16 Para la función f definida de la forma f(x) ax x b
, determine, razonadamente,
los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = –2 y como asíntota horizontal la de ecuación y = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2012)
Solución
x x x tiende a 0 x 2 como a 0 ax a a xComo una A.H. es la recta y 3 lim f(x) 3 lim 3 lim 3 3 a 3
x b 1 b 1
x x x
2a
Como una A.V. es la recta x 2 lim f(x) 2 b 0 b 2
2 b
- Página 23 -
Ejercicio de clase 17 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:
2 t , si 0 t 5 P(t) 100t 250 , si t 5 t 5
a) Estudie la continuidad de la función P. b) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? (Propuesto PAU Andalucía 2012)
Solución
2 2 t 5 t 5 t 5 t 5 100t 250a) Observamos que P(t) está definida en [0, ), pues no se puede calcular si t 5, pero
t 5
esta fracción sólo se define para t 5.
El úni co punto donde pudiera no ser continua es t 5
lim P(t) lim t 5 25 lim P(t) lim 2 100t 250 100 . 5 250
25 . Por tan to, P(t) es continua en t 5
t 5 5 5
P(5) 5 25
Luego, P(t) es continua en su do minio
2 2 t 50 , si 0 t 5
b) Nos piden encontrar, si existiesen, los valores de t para que P(t) 50 100t 250
50 , si t 5 t 5
* t 50 t 50 7,07. Como t NO está entre 0 y 5, ninguna solución es válida
100t 250 * 50 100t 250 50(t 5) . t 5 Resolv
iendo obtenemos t 10 (al ser mayor que 5, es una solución válida) Por tanto, la respuesta es a los 10 meses
Ejercicio de clase 18 Sea la función
2 2 x 2ax 3 , si x 1 f(x) ax 6x 5 , si x 1
Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2010)
Solución
2 2 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 2lim f(x) lim ( x 2ax 3) 1 2a.1 3 2 2a
lim f(x) lim (ax 6x 5) a.1 6.1 5 a 1 .
f(1) 1 2a.1 3 2 2a
Por tanto, para que sea continua en x 1 debe ser 2 2a a 1 a 1
- Página 24 -
Ejercicio de clase 19 Sea la función f: R R definida mediante
x 3 e , si x 0 f(x) x x 1 , si x 0
¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 2009)
Solución
x 0 x 0 x 0 3 3 x 0 x 0 0 lim f(x) lim e e 1lim f(x) lim (x x 1) 0 0 1 1. Luego, f es continua en x 0
f(0) e 1
Como D(f) R y f está compuesta de funciones continuas f es continua en R
Ejercicio de clase 20 Sea la función
2 x 4 , si x 1 f(x) ax b , si x 1
Calcule a y b, sabiendo que f(2) = 7 y que f es continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2008)
Solución
2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 lim f(x) lim (x 4) 1 4 5lim f(x) lim (ax b) a.1 b a b para que sea continua en x 1 debe ser a b 5
. Por tanto, .
para que f(2) 7 debe ser 2a b 7
f(1) 1 4 5 Como f(2) 7 a.2 b 7 2a b 7 Resolviendo el si stema obtenemos : a2 , b3
Ejercicio de clase 21 Deduzca razonadamente las asíntotas de la función g definida de la forma
3 x g(x)
x 2
y determine la posición de la gráfica de la función g respecto de sus asíntotas.
(Propuesto PAU Andalucía 2005)
Solución
tiende a 0 x x x tiende a 0 x 2 3 x 3 1 1 x x xlim g(x) lim lim 1 La A.H. en es la recta y 1
x 2 2 1
1
x x x
3 2 1
Como x 2 anula el deno minador y lim g(x) La A.V. es la recta x 2
0 0 3 x 1
Posición de la gráfica respecto de la A.H. : g(x) ( 1) 1
x 2 x 2
1
Si x , 0, luego la gráfica está por encima de la A.H. en
x 2
1
Si x , 0, luego la gráfica está por debajo de la A.H. en
x 2 x 2 x 2 1 lim g(x) 0
Posición de la gráfica respecto de la A.V.: .
1 lim g(x) 0
- Página 25 - Ejercicio de clase 22 Sea la función
x 2 , si x 1 f(x) 2 , si x 1 x
. Calcule sus asíntotas. (Propuesto PAU Andalucía 2005)
Solución
x x
x
x x
2
lim f(x) lim 0 La A.H. en es la recta y 0
x
lim f(x) lim 2 0 La A.H. en es la recta y 0
2
x 0 anula el denominador de pero esta fracción sólo se define para x 1 x
Luego, no hay A.V. pues f no tiene discontinuidad de salto inf
inito
Ejercicio de clase 23 Calcule a y b para que la función
2 2 2x a , si x 1 f(x) 3x b , si 1 x 1 log x a , si x 1 sea continua
Solución
2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1lim f(x) lim (2x a) 2 a lim f(x) lim ( 3x b) b 3
lim f(x) lim ( 3x b) b 3 lim f(x) lim (logx a) log 1 a a
f( 1) 2 a f(1) log 1 a a
para que sea continua en x 1 deb Por tanto, e ser 2 a b 3
para que sea continua en x 1 debe ser b 3 a Resolviendo el sistema obtenemos : a 1 , b 4
Ejercicio de clase 24 Estudie la continuidad de la función f, determine sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto de ellas:
a) f(x) 23x x 2 b) 2 6 f(x) x 1 c) 3 2 x f(x) x 9 d) x 3 2 e , si x 0 f(x) x , si x 0 (x 2)
Solución
2 tiende a 0 2 2 x x x 2 2 2 tiende a 0 3xa) Al ser f(x) una función racional, f es continua en su do minio, que es R 2
x 2
N o es continua en x 2
3x 3
0
x x
lim f(x) lim lim 0 La A.H. en es la recta y 0
2 1
x 2 1
x
x x
Como x 2 anula el deno min a
x 2 3. 2 3 2dor y lim f(x) Las A.V. son las rectas x 2
0 0
- Página 26 - 2 2 2 3 x P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A .H . : f ( x ) 0 x 2 3 x S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A .H . e n x 2 3 x S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r d e b a j o d e l a A .H . e n x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 2 l i m f ( x ) 0 P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . V . x 2 : 3 2 l i m f ( x ) 0 3 2 l i m f ( x ) 0 P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . V . x 2 : 3 2 l i m f ( x ) 0 2 t ie n d e a 0 2 2 2 x x x 2 2 2 t ie n d e a 0 6 b ) A l s e r f ( x ) u n a fu n c ió n r a c io n a l , f e s c o n t in u a e n s u d o m in io , q u e e s R . L u e g o , n o h a y A .V . x 1 6 6 0 x x
lim f ( x ) lim lim 0 L a A .H . e n e s la r e c t a y 0
1 1 x 1 1 x x x 2 P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A .H . : 6 S i x , f ( x ) 0 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A .H . e n y e n x 1 3 2 3 x 3 x c ) A l s e r f ( x ) u n a fu n c ió n ra c io n a l , f e s c o n tin u a e n s u d o m in io , q u e e s R 3 x 9 N o e s c o n tin u a e n x 3 3 2 7 C o m o x 3 a n u la e l d e n o m in a d o r y lim f ( x ) L a s A .V . s o n la s re c t a s x 3 0 0 P o s ic ió n d e la g rá fic a re s p e c to d e la A .V . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 3 2 x x x 3 3 3 t ie n d e a 0 t ie n d e a 0 2 7 lim f ( x ) 0 : 2 7 lim f ( x ) 0 2 7 lim f ( x ) 0 P o s ic ió n d e la g rá fic a re s p e c to d e la A .V . x 3 : 2 7 lim f ( x ) 0 x 1 1 x
lim f ( x ) lim lim
1 9 0 x 9 x x x x
2 3 2 2 2 x x x x x N o h a y A .H. f ( x ) x x 9 xm lim lim 1 ; n lim f ( x ) m x lim x lim 0
x x 9 x 9 x 9 C o m o la A .O . e s la re c ta d e e c u a c ió n y m x n L a A .O . e n e s la re c t a y x 3 2 2 2 2 x 9 x P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . O . : f ( x ) x x x 9 x 9 9 x S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A . O . e n x 9 9 x S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r d e b a j o d e l a A . O . e n x 9
- Página 27 -
3 2 x x 2 2 x x xd) Al ser f(x) una función definida a trozos, los úni cos puntos donde puede no ser continua son x 0,
y x 2 (porque anula el deno min ador )
x
* lim f(x) lim No hay A.H. en
(x 2)
f(x) x
m lim lim 1 ; n lim f(x) mx
x (x 2) 3 2 2 2 x x x x x x 4x 4x lim x lim 4 (x 2) (x 2)
Como la A.O. es la recta de ecuación y mx n La A.O. en es la recta y x 4
* lim f(x) lim e 0 La A.H. en es la recta de ecuación y 0
3 2 2 x 12x 16
Posición de la gráfica respecto de la A.O. : Si x , f(x ) (x 4 ) x 4 0,
(x 2) (x 2)
luego la gráfica está por encim a de la A.O. en
x
Posición de la gráfica respecto de la A.H. : Si x , f(x ) 0 e 0, luego
la gráfica está por encim a de la A.H. en
x 0 x 0 x 0 3 2 x 0 x 0 lim f(x) lim e e 1 x 0
lim f(x) lim 0. Luego, f no es continua en x 0
4 (x 2) 0 f(0) 0 4 3 2 x 2 x 2 x 8
* Com o x 2 anula el deno m in ador y lim f(x ) lim La A.V. es la recta x 2
0 (x 2) x 2 x 2 8 lim f(x) 0 Posición de la gráfica respecto de la A.V. x 2 :
8 lim f(x) 0
Ejercicio de clase 25 El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función: 2 2 15 t P(t) (t 1)
donde t se mide en años transcurridos desde t = 0. Calcúlese:
a) La población inicial. b) El tamaño de la población a largo plazo
Solución
2 2
15 0
a) Población inicial es P(0) 15.Luego, es de 15 millones
(0 1) 2 2 2 2 t t t 15 t 15 t
b ) N os piden lim P(t) lim lim 1. Luego , será de 1 m illón
(t 1) t 2t 1
Ejercicio de clase 26 Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b g(x) = – x2 + c. Determínese a, b y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y (1, 0)
Solución
2 2
La gráfica de f pasa por ( 2, 3) f( 2) 3 ( 2) a . ( 2) b 3 2a b 7
La gráfica de g pasa por ( 2, 3) g( 2) 3 ( 2) c 3 c 1
2 2 L a g rá fic a d e f p a s a p o r (1 , 0 ) f (1 ) 0 1 a . 1 b 0 a b 1 L a g rá fic a d e g p a s a p o r (1 , 0 ) g(1 ) 0 1 c 0 c 1 2a b 7
R e so lv ien d o el sistem a o b ten em o s a 2 , b 3 . Lu eg o , a 2 , b 3 , c 1
a b 1
