FUNCIONES. d) Cuál es el dominio de estas b) f(0), g(0), h(0) Sol: 1,6,-4

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“FUNCIONES ”

1. Dadas las funciones polinómicas: f(x) = x2– 2x + 1, g(x) = x2 – 5x + 6 y h(x) = x2 – 4, calcula: a) f(-1), g(-1), h(-1) Sol: 4,12,-3

b) f(0), g(0), h(0) Sol: 1,6,-4 c) f(2), g(2), h(2). Sol: 1,0,0

d) ¿Cuál es el dominio de estas funciones? Sol: ℝ

2. A partir de las gráficas, halla los valores de las imágenes, así como los intervalos de monotonía. a) f(2), f(6), f(7), f(-3/2), f(-9/2)

Sol: 2,0,-1,-2,-2

b) g(-4), g(-1/2), g(0) Sol: 2, ,-3

3. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y Sol:

(

]

Do minio : Re corrido : −∞,2Sol:

[

)

[

]

Do minio : 2,3 Re corrido : 3,1 − − Sol:

(

) (

)

Do minio : Re corrido : −∞,22,+∞ ℝ

4. Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) 3 2 ( )= −4 − +1 f x x x x Sol: ℝ b) g x( )= 4x−2 Sol: 1, 2   +∞    c) ( ) 42 1 3 + = − x h x x Sol: ℝ−

{

3,3

}

d) 2 ( ) 2 + = − x x i x x Sol: ℝ−

{ }

2 e) ( ) 3 2 25 5 6 − = − + x k x x x x Sol: ℝ−

{

0,2,3

}

f) 2 ( )= −4 +4 l x x x Sol: g) m x( )= − +x 1 Sol:

(

−∞,1

]

h) ( ) 7 3 = − n x x Sol: ℝ−

{ }

3 i) ñ x( )= 5−2x Sol: ,5 2   −∞     j) ( ) 2 1 2 − = + x o x x x Sol: ℝ−

{ }

0,2 k) ( ) 3 5 7 6 − = − + p x x x Sol: ℝ−

{

1, 2, 3

}

l) q x( )= −4x+7 Sol: ,7 4   −∞     m) r x( )=8x+1 x Sol: ℝ−

{ }

0

(2)

5. Calcula la expresión analítica de la función representada en la figura, e indica su dominio. 2 x si - 6 x - 3 3 Sol : -2 si - 1 x 1 -x 5 si x 1  <   < <   +  

6. Indica, razonando la respuesta, si las siguientes funciones son pares o impares. Deduce la simetría que presentan: a) 3 ( )= − +2 f x x b) 2 ( )= +5 −1 g x x x c) 4 2 2 ( )= xx h x x d) 2 4 3 8 ( )= x +x i x x e) 3 ( )= −5 −2 j x x x f) 4 2 ( )= −3 +1 k x x x

Sol: a) Ni para ni impar b) Ni par ni impar c) Impar d) Impar e) Impar f) Par 7. Dadas las funciones ( )=2x

f x , 2 ( )=

g x x y h x( )= 1

x , calcula la composición de las funciones: a) f g b) g h c) h f d) g f e) h g f) f h

8. En una fábrica producen sillas con un coste, para el fabricante, de 20 euros cada una. En la fábrica calculan que si se venden las sillas a un precio de x euros cada una de ellas, se venderán al día aproximadamente 50 – x. Expresa la función que da el beneficio del fabricante, según el precio de venta. Sol: B(x)=

(

50x ·x

)

20· 50

(

x

) (

= 50x · x

) (

20

)

9. La base de un rectángulo mide x centímetros, siendo su altura 2x + 1 centímetros. Expresa el área del rectángulo en función de x. Sol: A(x)=x· 2x

(

+1

)

10. Un fontanero cobra por cada reparación que hace en el domicilio del cliente 25 euros por el desplazamiento y 16 euros más por cada hora de trabajo. Un segundo fontanero cobra 31 euros por el desplazamiento y 14 euros más por cada hora de trabajo.

a) Dibuja en dos gráficas el precio que deben pagar los clientes por cada fontanero hasta un total de 8 horas de trabajo.

b) ¿Qué fontanero resulta más económico?.

11. Representa gráficamente las siguientes parábolas, indicando los vértices y los puntos de corte con cada uno de los ejes coordenados:

a) 2 ( )= −2 +2 f x x x b) 2 ( )= −2 + −1 g x x x c) h x( )= − −x2 2 d) 2 ( )= −2 −8 i x x x e) 2 ( )= − +3 j x x x f) 2 ( )= +4 +4 k x x x g) l x( )=(2x−1)2 h) m x( )=(x−1)(x+2)

12. Determina la función de interpolación lineal que se ajusta a cada una de las siguientes tablas de datos: x -1/3 3/5 y -2 1/2 3 11 75 31 x 3 -2 y 4 1

(3)

13. Dadas las funciones f(x) =x2-1 y g(x)=g(x)= x 1 , calcula las composicionesf g yg f. Sol:

(

)( )

(

)( )

2 1 f g x 2x 2. Do minio : , 2 3 3 g f x 2x 3. Do minio : , , 2 2   = −  +∞     = − −∞ − ∪ +∞      

14. La gráfica muestra la relación existente entre la altura sobre el nivel del mar de una determinada región y la temperatura. Averigua qué expresión analítica le corresponde a dicha gráfica.

Sol: f(x)= −0,0065x+15

15. A partir de los puntos (-1, 4) y (2, -5) halla el valor correspondiente a x = 1 por interpolación lineal. Sol: La función de interpolación lineal es f(x)=-3x+1 y f(1)=-2

16. Queremos alquilar un apartamento en verano. Una agencia A, pide 200 € de entrada por costes diversos y 40 €diarios. Otra agencia, B, pide 100 € de entrada y 50 € diarios. Dibuja en un mismo sistema de referencia las gráficas que representan el precio del apartamento en función de los días, y determina a partir de cuántos días de alquiler resulta más económica la oferta de la agencia A. Sol: A partir de 10 días

17. Un centro de estudios alquila un autocar de 60 plazas para realizar una excursión. El alquiler es de 900 €. Por cada alumno que asista, la asociación de padres de la escuela subvenciona la salida con 2,50 €. El número mínimo de asistentes a la salida es de 25 alumnos. ¿Qué función relaciona el precio de la excursión por alumno con el número de alumnos que asistan? Realiza una gráfica que muestre esa relación y determina el dominio de dicha función.

Sol: La función que proporciona el coste por alumno, siendo 25≤ ≤x 60 su dominio, es: C(x) 900 2,5

x

 

= −

 

18. La longitud de una varilla de metal varía en función de la temperatura a la que se somete. La tabla muestra la relación entre la temperatura y la longitud de dicha varilla, que inicialmente está a 20 °C y mide 35 m de longitud.

Temperatura (ºC) 20 40 60 Longitud (cm) 3500 3501,176 3502,352

(4)

Sabiendo que la relación entre la longitud de la varilla y el incremento de temperatura es afín, halla la expresión analítica L(t). ¿Cuánto medirá la varilla a 80 °C? Sol: La función de interpolación lineal es L(t)=0,0588t+3498,824. Para 80ºC, la longitud es L(80) = 3503,528 cm.

19. Una empresa realiza un estudio comparativo sobre el coste que suponen dos piezas distintas. Estima que el coste en euros de la pieza tipo A, en función del número de miles de piezas, x, si el pedido no sobrepasa las 2 000 piezas, viene dado por la expresión:

CA(x)= -2x2 + 5x

Y el coste de la pieza tipo B en las mismas condiciones es: CB(x)= 2x2 - 3x + 2

a) ¿Para qué número de piezas es menor el coste de la producción de la pieza tipo A? b) Para un pedido de 2 000 piezas, ¿qué tipo de pieza produce menor coste a la empresa? c) ¿Cuántas piezas del tipo B producen menor coste?

Solución:

Debemos calcular los puntos de intersección de las dos gráficas, es decir, el número de piezas de un tipo u otro que producen a la empresa el mismo coste:

2 2 2 2 simplificando CA(x) CB(x) si 2x 5x 2x 3x 2 4x 8x 2 0 2x 4x 1 0 = − + = − + ⇒ + = + = Resolviendo obtenemos: x = 0,293 y x = 1,707. Como x viene dado en miles de piezas, la solución será 293 piezas y 1 707 piezas.

a) La pieza tipo A tiene menor coste para un pedido menor de 293 unidades o para un pedido de entre 1 707 y 2 000 unidades (el enunciado especifica que el pedido no sobrepase las 2 000 piezas).

b) Para un pedido de 2 000 piezas es menor el coste de la pieza tipo A, ya que si observamos en la gráfica el valor de x = 2 para las dos funciones, es menor en la función tipo A.

c) El mínimo de la función CB(x) se produce en el vértice de la función. 750 piezas.

20. El servicio de correos de un cierto país tiene las siguientes tarifas para el envío de cartas: - Hasta 20 g de peso, se paga 0,35 €.

- Por cada 10 g o fracción de 10 g de exceso de peso, se añaden 0,07 € más.

a) Expresa la relación entre el precio del envío, y, y el peso de la carta, x, hasta 50 g. b) Representa gráficamente la función.

Solución:

a) Se trata de una función definida a trozos: 0,35 si 0 x 20 0, 42 si 20 x 30 f(x) 0, 49 si 30 x 40 0,56 si 40 x 50 < ≤   < ≤  = < ≤   < ≤ b) La gráfica es:

21. El beneficio mensual de un artesano expresado en euros, cuando fabrica y vende x objetos, se ajusta a la función B(x)=-0,5x2 +50x - 800, donde 20≤ ≤x 60.

a) Determina el beneficio que obtiene cuando fabrica y vende 20 objetos y 60 objetos, respectivamente.

a) ¿Cuántos objetos debe fabricar y vender para obtener el máximo beneficio?, ¿a cuánto asciende?

(5)

b) El máximo se alcanza en el vértice V(50,450). Por tanto, el máximo beneficio se obtiene cuando fabrica y vende 50 objetos, siendo el beneficio obtenido de 450 €.

22. El beneficio (en miles de euros) de una empresa por la venta de x unidades de un producto, lo da por la función: B(x)=x2 + 300x - 16100, 50

x

250.

a) ¿Cuántas unidades habrá vendido si el beneficio que ha obtenido es de 3 900 miles de euros?

b) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende este beneficio?

c) ¿Cuántas unidades debe vender para no tener pérdidas? Solución:

a) Resolviendo la ecuación 3900 = - x2 + 300x – 16100, se obtiene que puede haber vendido 100 o

200 unidades del producto.

b) El vértice es V(150, 6400). Por tanto ha de vender 150 unidades del producto para obtener un beneficio máximo de 6400 miles de euros.

c) No tendrá pérdidas cuando el beneficio sea nulo o positivo. Resolviendo la ecuación B(x) = 0, se obtienen los valores que determinan el intervalo (70,230). Debe fabricar y vender entre 70 y 230 unidades, ambas inclusive

23. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) 3−x Sol:

(

−∞,3

]

b) f(x)=3x+ x−2 Sol:

[

0,+∞

)

c) 2 2 2x x 1 f(x) x x 1 + − = + + Sol: ℝ d) f(x) 1 x x 2 − = + Sol:

(

2,1

]

e) 2 x 1 f(x) x 3 − = + Sol:

(

−∞ −3

) (

∪ − − ∪3, 1

] [

1,+∞

)

f) 2 x 1 f(x) x 3 − = + Sol:

(

− +∞3,

)

g) f(x) 6x 1 x 1 − = − Sol:

[

0,1

) (

1,+∞

)

h) f(x) x 4 x 2 + = − Sol:

[

4, 2

) (

2,+∞

)

i) x 3 si x 3 3 - x f(x) -7 si x 4 1 si x 5 x - 10 +  <   = =   >Sol:

(

−∞,3

) { } (

45,10

) (

10,+∞

)

j)

(

2

)

2 7x 5 f(x) x 1 + = − Sol: ℝ− −

{ }

1 1, k) 2 f(x)= 9−x Sol:

[

3, 3

]

l) 2 2 x x f(x) x 2x + = − Solℝ−

{ }

0 2,

24. A partir de los siguientes pares de funciones: a) f(x) 2 3x = , g(x) 2x 3 = b) 2 f(x)= x +1, g(x) = 3 c) 2 f(x)=2x + −x 3, g(x) = 1 x 1+

Halla

(

f g (x) y

)

(

g f (x) , indicando su dominio.

)

a) Sol:

(

)( )

{ }

(

)( )

{ }

1 f g x . Do minio : 0 x 4 g f x . Do minio : 0 9x = − = − ℝ ℝ b) Sol:

(

)( )

(

)( )

f g x 10. Do minio : g f x 3. Do minio : = = ℝ ℝ c) Sol:

(

)( )

(

)

{ }

(

)( )

2 2 2 3x 5x f g x . Do minio : 1 x 1 1 1 17 g f x . Do minio : 2x x 2 4 − − = − − + − ±    = −  + −   ℝ ℝ

(6)

a) 2 x 10 si x 1 f(x) -1 si - 1 x 3 x 4x 6 si x 3 − < −   = < ≤  − − − >  2 x 2 si -2<x 0 f(x) x si 1 x 3 x 4x si x 3 − + ≤   = < ≤  − − >  b) f(x) 2x 2 si x 1 x 4 si x -1 − + < −  = − ≥  c) 2 x 1 si x 1 f(x) -x 2 si - 1 x 2 x 3 si x 2 − ≤ −   = + < <  − ≥  Solución: a) b) c) d)

26. La siguiente tabla refleja la relación entre la altura de los perales de una explotación agrícola y su producción anual:

Altura (cm) 160 166 172 Producción anual (kg) 52,6 56,8 61,3

a) Halla, por interpolación lineal, el peso esperado de la producción de un peral de 1,65 m de alto y otro de 1,70 m.

b) Determina qué altura corresponde a un peral que produce anualmente 58 kg de peras. Solución:

a) Llamamos x: altura e y: producción anual. Para determinar el peso para un peral de 1,65 m de altura, hallamos la función de interpolación para los valores 160 – 52,6 y 166 – 56,8.La función es f(x) 2x 808

3 15

= − . f(165) = 56,1 kg

Para el de 1,70 m trabajamos con los datos 166 – 56,8 y 172 – 61,3. La función es 3 677

f(x) x

4 10

= − . f(170) = 59,8 kg

b) La función de interpolación es La función es f(y) 4y 1354

3 15

= + . f(58) = 167,6 cm 27. La presión atmosférica, medida a diferentes alturas, ha dado los resultados siguientes:

(7)

Altura (m) 0 3000 6000 9000 12000 Presión (mm Hg) 760 523 349 226 141

Estima, mediante interpolación lineal, los valores que toma la presión atmosférica a 1000 m y a 5000 m de altura.

Solución:

A partir del primer tramo, la recta que pasa por los puntos (0,760) y (3000,523) tiene por ecuación: 237

f(x) x 760

3000

= + ⇒ . f(1000) = 681 mm Hg

Para calcular la presión a 5 000 metros, consideramos el segundo tramo. Los puntos por los que debe pasar la recta son (3 000, 523) y (6 000, 349).

29 f(x) x 697

500

= + ⇒ . f(5000) = 407 mm Hg

28. El precio de un viaje en tren es función, entre otras cosas, de los kilómetros recorridos. Recorrer 57 km cuesta 2,21 € y recorrer 68 km vale 2,54 €. Averigua:

a) La función afín que expresa el coste del billete en función de los kilómetros recorridos. b) Por extrapolación, el precio del billete cuando la distancia recorrida sea de 500 km. c) Si un billete cuesta 5,93 €, ¿cuántos kilómetros tiene el recorrido?

Solución:

a) x es la distancia recorrida, el precio del billete en función de la distancia es: p(x) = 0,03x + 0,5 b) p(500) = 15,50 €

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